Επανάληψη Γυμνασίου - Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών (Θ)

Η επανάληψη του Γυµνασίου Ενότητα 1 Πράξεις µεταξύ αριθµών Θεωρία - Μεθοδολογία Νέα Μουδανιά • Ιούνιος 2022 www.mathsteki.gr

~ Περιεχόμενα ενότητας 1 ~ 1. Τα σύνολα των αριθμών ...................................................................................................................................1 2. Χαρακτηρισμοί κλασμάτων ............................................................................................................................2 3. Χαρακτηρισμοί αριθμών ..................................................................................................................................3 4. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ...................................................................................................................4 Α. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης ....................................................................................................................5 Β. Πώς θα προσθέσεις/αφαιρέσεις αρνητικούς ή ετερόσημους αριθμούς .....................5 Γ. Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού ....................................................................................................6 ∆. Κανόνες των προσήμων .............................................................................................................................7 Ε. Γινόμενα ετερόσημων αριθμών ............................................................................................................7 ΣΤ. Ιδιότητες μεταξύ των τεσσάρων πράξεων ...................................................................................8 5. Πώς κάνεις πράξεις με κλάσματα .............................................................................................................10 Α. Πώς θα προσθέσεις/αφαιρέσεις κλάσματα .................................................................................10 Β. Πώς θα βρεις το Ε.Κ.Π. δύο (ή περισσότερων) αριθμών ......................................................11 Γ. Πώς θα πολλαπλασιάσεις κλάσματα ................................................................................................13 ∆. Πώς θα διαιρέσεις κλάσματα Πώς θα δουλέψεις με σύνθετα κλάσματα ....................................................................................14 Ε. Πράξεις που μπορείς να κάνεις σε ένα κλάσμα Αναλογίες ...........................................................................................................................................................16

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών ~ Ενότητα 1 ~ Πράξεις μεταξύ αριθμών 1. Τα σύνολα των αριθμών Οι αριθμοί διακρίνονται στους: α) φυσικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι οι 0 , 1, 2 , 3 , 4 , ... β) ακέραιους αριθμούς, οι οποίοι είναι οι φυσικοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητι- κούς αριθμούς, δηλαδή είναι οι αριθμοί ... , −4 , −3 , −2 , −1, 0 , 1, 2 , 3 , 4 , ... Οι ακέραιοι αριθμοί διακρίνονται στους άρτιους (ή ζυγούς) αριθμούς και τους περιτ- τούς (ή μονούς) αριθμούς. • Άρτιοι λέγονται οι ακέραιοι αριθμοί οι οποίοι διαιρούνται με το 2. Ένας άρτιος αριθμός α έχει την μορφή α = 2ν , όπου ν ακέραιος. • Περιττοί λέγονται οι ακέραιοι αριθμοί οι οποίοι δεν διαιρούνται με το 2. Ένας περιττός αριθμός α έχει την μορφή α = 2ν+1, όπου ν ακέραιος. Μπορεί, επίσης, να γραφεί και με την μορφή α = 2ν−1, όπου ν ακέραιος. Οι φυσικοί αριθμοί λέγονται και θετικοί ακέραιοι (ισοδύναμα, οι θετικοί ακέραιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί). Το αναφέρω διότι θα συναντήσεις πολλές φορές αυτήν την ονομασία των φυσικών αριθμών σε διατυπώσεις προτάσεων και εκφωνήσεις ασκήσε- ων. -1- ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών γ) ρητούς αριθμούς, οι οποίοι είναι οι αριθμοί που έχουν (ή μπορούν να πάρουν) την μορφή ενός κλάσματος µ , όπου μ, ν ακέραιοι αριθμοί και ν ≠ 0 . ν δ) άρρητους αριθμούς, οι οποίοι είναι όλοι οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, δεν μπο- µ ρούν δηλαδή να γραφούν υπό την μορφή ενός κλάσματος ν , όπου μ, ν ακέραιοι και ν≠0. ε) πραγματικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι όλοι οι αριθμοί που προαναφέρθηκαν. Πρόσεξε το εξής ! Ένα λάθος που γίνεται είναι να θεωρείται ως ρητός αριθμός κάθε κλάσμα. Όχι ! Ρητός αριθμός είναι εκείνο το κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ακέραιοι αριθμοί και όχι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί! Για παράδειγμα, τα κλάσματα 3 ,− 2 , π δεν είναι ρητοί αριθμοί αφού ένας 2 5 6 τουλάχιστον εκ των όρων τους δεν είναι ακέραιος αριθμός. 2. Χαρακτηρισμοί κλασμάτων α) Ανάγωγο λέγεται ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής δεν έχουν κοινό διαιρέτη (δηλαδή το κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί). β) Ομώνυμα λέγονται δύο (ή περισσότερα) κλάσματα τα οποία έχουν τον ίδιο παρο- νομαστή. -2- ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών γ) Ετερώνυμα λέγονται δύο (ή περισσότερα) κλάσματα τα οποία έχουν διαφορετι- κούς παρονομαστές. δ) Σύνθετο λέγεται ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής ή ο παρονομαστής (ή και οι δύο) είναι κλάσμα. 3. Χαρακτηρισμοί αριθμών α) Πρώτος λέγεται ένας αριθμός ο οποίος διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και την μονάδα (το 1 δηλαδή). β) Σύνθετος λέγεται ένας αριθμός ο οποίος διαιρείται, εκτός από τον εαυτό του και την μονάδα (το 1 δηλαδή), και με άλλους αριθμούς (οι οποίοι λέγονται διαιρέτες του). γ) Ομόσημοι λέγονται δύο αριθμοί οι οποίοι έχουν το ίδιο πρόσημο. δ) Ετερόσημοι λέγονται δύο αριθμοί οι οποίοι έχουν αντίθετα πρόσημα. ε) Αντίθετοι λέγονται δύο αριθμοί οι οποίοι έχουν άθροισμα μηδέν. στ) Αντίστροφοι λέγονται δύο αριθμοί οι οποίοι έχουν γινόμενο την μονάδα. Πρόσεξε το εξής ! Μεταξύ της έννοιας των ετερόσημων και αντίθετων αριθμών δημιουργείται πολλές φορές η εξής σύγχυση: Eπειδή βλέπουμε αντίθετα πρόσημα σε δύο αριθμούς, τους χαρακτηρίζουμε ως αντί- θετους. Όχι ! -3- ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών Το να έχουν δύο αριθμοί αντίθετα πρόσημα δεν αρκεί για να χαρακτηρισθούν αντίθετοι ! Γι' αυτό, επισημαίνω ότι: • δύο ετερόσημοι αριθμοί μπορεί να είναι αντίθετοι, αλλά όχι απαραιτήτως. • δύο αντίθετοι αριθμοί είναι πάντα ετερόσημοι. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 2 και −2 είναι αντίθετοι (αυτομάτως είναι και ετερόσημοι), ενώ οι αριθμοί 2 και −5 είναι ετερόσημοι (αλλά όχι αντίθετοι). 4. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι οι τέσσερις πράξεις που γίνονται μεταξύ των αριθμών. Επειδή όμως: α) ισχύει α +β = α +(−β), η αφαίρεση είναι, στην ουσία, πρόσθεση. β) ισχύει α:β= α =α⋅ 1 = 1 ⋅α , β≠0 , β β β η διαίρεση είναι πολλαπλασιασμός. Λόγω των παραπάνω, οι πράξεις μεταξύ των αριθμών είναι, στην πραγματικότητα, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. -4- ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών Α. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης ▶︎ Ιδιότητα 1 α+0 = 0+α =α . Το 0 λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης διότι δεν μεταβάλλει τον αριθμό στον οποίο προστίθεται. ▶︎ Ιδιότητα 2 - Αντιμεταθετική ιδιότητα α+β= β+α . ▶︎ Ιδιότητα 3 - Προσεταιριστική ιδιότητα α +(β+ γ)= (α +β)+ γ . Η ιδιότητα αυτή σου επιτρέπει να τοποθετείς τους όρους ενός αθροίσματος με όποια σειρά θέλεις. ▶︎ Ιδιότητα 4 α +(−α)= 0 . Είναι η ιδιότητα που έχουν δύο αντίθετοι αριθμοί. Β. Πώς θα προσθέσεις/αφαιρέσεις αρνητικούς ή ετερόσημους αριθμούς Για να προσθέσεις/αφαιρέσεις: α) δύο (ή περισσότερους) αρνητικούς αριθμούς, βάλε « − » και πρόσθεσε τους αριθ- μούς. -5- ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών Παράδειγμα 1 • −2−3 = −(2+3) = −5 . • −1−9 = −(1+9) = −10 . β) δύο (ή περισσότερους) ετερόσημους αριθμούς, βάλε το πρόσημο αυτού που έχει την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή και κάνε αφαίρεση. Παράδειγμα 2 • 7+(−5)= 7−5 = 2 . • 5+(−7) = 5−7 = −2 . Γ. Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού ▶︎ Ιδιότητα 1 α ⋅1= 1⋅α = α , για κάθε πραγματικό αριθμό α. Το 1 λέγεται ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού διότι δεν μεταβάλλει τον αριθμό τον οποίο πολλαπλασιάζει. ▶︎ Ιδιότητα 2 α ⋅ 0 = 0 ⋅α = 0 , για κάθε πραγματικό αριθμό α. ▶︎ Ιδιότητα 3 - Αντιμεταθετική ιδιότητα α⋅β=β⋅α . ▶︎ Ιδιότητα 4 - Προσεταιριστική ιδιότητα α ⋅(β ⋅ γ)= (α ⋅ β)⋅ γ . -6- ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών Η ιδιότητα αυτή σου επιτρέπει να τοποθετείς τους όρους ενός γινομένου με όποια σειρά θέλεις. ▶︎ Ιδιότητα 5 - Επιμεριστική ιδιότητα • Ως προς την πρόσθεση: α ⋅(β+ γ) = α ⋅ β+α ⋅ γ . • Ως προς την αφαίρεση: α ⋅(β−γ) = α ⋅ β−α ⋅ γ . Η επιμεριστική ιδιότητα είναι από τις πλέον συνηθισμένες πράξεις που γίνονται στις ασκήσεις. Συναντάται, επίσης, υπό την μορφή (α +β)⋅(γ+δ)= α ⋅ γ+α ⋅ δ+β ⋅ γ+β ⋅ δ , τροποποιούμενη καταλλήλως, αν κάπου υπάρχει « − ». ∆. Κανόνες των προσήμων Σε πολλαπλασιασμούς μεταξύ θετικών ή/και αρνητικών αριθμών, ισχύουν οι εξής κα- νόνες προσήμων: (+)⋅(+)= (+) , (+)⋅(−)= (−) , (−)⋅(+)= (−) , (−)⋅(−)= (+). Οι ίδιοι ακριβώς κανόνες ισχύουν και για την διαίρεση. Ε. Γινόμενα ετερόσημων αριθμών Σε γινόμενο πολλών παραγόντων, μεταξύ των οποίων υπάρχουν και αρνητικοί αριθ- μοί, το τελικό πρόσημο προκύπτει ως εξής: • αν το πλήθος των αρνητικών όρων είναι άρτιο, βάλε « + ». • αν το πλήθος των αρνητικών όρων είναι περιττό, βάλε « − ». Για την διαίρεση ισχύουν οι ίδιοι κανόνες. -7- ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών ΣΤ. Ιδιότητες μεταξύ των τεσσάρων πράξεων ▶︎ Ιδιότητα 1 Αν ⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ α = β και ⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ , τότε α+γ =β+δ . γ=δ Τι λέει η ιδιότητα ∆ύο ισότητες μπορείς να τις προσθέσεις κατά μέλη. Επίσης, μπορείς να τις αφαιρέσεις κατά μέλη. ▶︎ Ιδιότητα 2 Αν ⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎩ α = β και ⎪⎪⎪⎫⎪⎪⎭⎬ , τότε α⋅γ=β⋅δ . γ=δ Τι λέει η ιδιότητα ∆ύο ισότητες μπορείς να τις πολλαπλασιάσεις κατά μέλη. Επίσης, μπορείς να τις διαιρέσεις κατά μέλη. ▶︎ Ιδιότητα 3 α=β ⇔α+γ =β+γ . Τι λέει η ιδιότητα Μπορείς να προσθέσεις στα δύο μέλη μιας ισότητας τον ίδιο αριθμό (αυτό δείχνει η φορά ⇒ ). Επίσης, μπορείς από τα δύο μέλη μιας ισότητας να αφαιρέσεις τον ίδιο αριθμό (αυτό δείχνει η φορά ⇐ ). -8- ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών ▶︎ Ιδιότητα 4 Αν γ ≠ 0 , τότε: α = β ⇔ α ⋅ γ = β ⋅ γ . Τι λέει η ιδιότητα Μπορείς και τα δύο μέλη μιας ισότητας να τα πολλαπλασιάσεις με τον ίδιο μη μηδενι- κό αριθμό (αυτό δείχνει η φορά ⇒ ). Επίσης, μπορείς και τα δύο μέλη μιας ισότητας να τα διαιρέσεις με τον ίδιο μη μηδενι- κό αριθμό (αυτό δείχνει η φορά ⇐ ). ▶︎ Ιδιότητα 5 α⋅β=0⇔α=0 ή β=0. Τι λέει η ιδιότητα Το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον εξ αυ- τών είναι ίσος με μηδέν. Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται πολύ συχνά στην επίλυση εξισώσεων. Συνέπεια της ιδιότητας 5 είναι η ακόλουθη, η οποία είναι πολύ σημαντική: α ⋅ β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 . Τι λέει η ιδιότητα Το γινόμενο δύο αριθμών δεν είναι ίσο με μηδέν, αν και μόνο αν και οι δύο αριθμοί δεν είναι ίσοι με μηδέν. -9- ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών 5. Πώς κάνεις πράξεις με κλάσματα Οι πράξεις μεταξύ κλασμάτων (ειδικά η πρόσθεση και η αφαίρεση) αποτελούν εφιάλτη για πολλούς μαθητές, ακόμη και μέχρι την Γ’ Λυκείου! Και όμως, είναι πράξεις εντελώς τυποποιημένες (δηλαδή πάντα γίνονται ακριβώς τα ίδια βήματα) και -ειλικρινά- δεν καταλαβαίνω γιατί τόσος φόβος, σφίξιμο και απέχθεια για τα κλάσματα. Ας δούμε και ξεκαθαρίσουμε (ελπίζω μια για πάντα) τις πράξεις μεταξύ τους. Α. Πώς θα προσθέσεις/αφαιρέσεις κλάσματα α) Για να προσθέσεις/αφαιρέσεις κλάσματα τα οποία είναι ομώνυμα, πρόσθεσε/ αφαίρεσε τους αριθμητές τους, δηλαδή α ± β = α±β . γ γ γ Πρόσεξε το εξής ! Αν γράψεις και διαβάσεις την σχέση αυτή «από την ανάποδη», δηλαδή α±β = α ± β , γ γ γ προκύπτει ότι μπορείς να «σπάσεις» ένα κλάσμα σε άθροισμα/διαφορά επιμέρους κλασμάτων, καθένα εκ των οποίων θα έχει ως αριθμητή καθέναν από τους όρους του αθροίσματος/διαφοράς. β) Για να προσθέσεις/αφαιρέσεις κλάσματα τα οποία είναι ετερώνυμα, πρώτα κάντα ομώνυμα (βρίσκοντας το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των παρονομαστών τους) και μετά πρόσθεσε/αφαίρεσέ τα. - 10 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών Β. Πώς θα βρεις το Ε.Κ.Π. δύο (ή περισσότερων) αριθμών Υπάρχουν δύο τρόποι και συστήνω τον δεύτερο, διότι είναι ισχυρότερος του πρώτου και εφαρμόζεται άνετα και στην περίπτωση αλγεβρικών παραστάσεων, κάτι που δεν καλύπτει ο πρώτος. Όποιον τρόπο και αν επιλέξεις, φτάνει να γνωρίζεις την προπαίδεια και να κάνεις πολ- λαπλασιασμό (τόσο απλό είναι!). Θα δείξω πώς θα το κάνεις για δύο αριθμούς. 1ος τρόπος Πες την προπαίδεια κάθε αριθμού και σταμάτα στο πρώτο κοινό τους πολλαπλάσιο. Αυτό θα είναι το Ε.Κ.Π. Παράδειγμα 3 Για να βρω το Ε.Κ.Π. των αριθμών 6 και 9, λέω την προπαίδεια του 6 (6, 12, 18, 24, ...) και του 9 (9, 18, 27, ...), οπότε βλέπω ότι το πρώτο κοινό τους πολλαπλάσιο είναι το 18, άρα το 18 είναι το Ε.Κ.Π του 6 και του 9. Η αδυναμία αυτού του τρόπου είναι όταν οι αριθμοί είναι «μεγάλοι» ή «περίεργοι» (για παράδειγμα, το Ε.Κ.Π. των 15 και 11 έχει περισσότερη δουλειά) ή όταν είναι πε- ρισσότεροι από δύο. Ακόμη μεγαλύτερη είναι η αδυναμία αυτή όταν πρέπει να βρεις το Ε.Κ.Π. αλγεβρικών παραστάσεων. 2ος τρόπος Ανάλυσε κάθε αριθμό σε γινόμενο δύο άλλων. Αν υπάρξει κοινός παράγοντας στα δύο γινόμενα, τότε αυτός μπαίνει στο Ε.Κ.Π. Στους παράγοντες των γινομένων που περισσεύουν: - 11 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών • αν αυτοί είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε το γινόμενό τους μπαίνει στο Ε.Κ.Π. • αν δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε αυτοί ξανά πρέπει να γραφούν ως γινόμενο δύο αριθμών και η παραπάνω διαδικασία επαναλαμβάνεται. Παράδειγμα 4 Για να βρω το Ε.Κ.Π των αριθμών 12 και 18: • γράφω το 12 ως 12 = 2 ⋅ 6 και το 18 ως 18 = 3 ⋅ 6 . • το 6, που είναι κοινό, μπαίνει στο Ε.Κ.Π., ενώ τα 2 και 3, που δεν έχουν κοινό παράγο- ντα (είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους), μπαίνουν στο Ε.Κ.Π με το γινόμενό τους. • άρα το Ε.Κ.Π. του 12 και του 18 είναι το 6 ⋅ 2 ⋅ 3 = 36 . Αν είχα αναλύσει το 12 ως 12 = 3 ⋅ 4 και το 18 ως 18 = 2 ⋅ 9 , τότε παρατηρώ ότι κοινός παράγοντας σε όλα δεν υπάρχει · το 4 και το 9 αναλύονται ξανά, το οποίο σημαίνει ότι οι αναλύσεις του 12 και του 18 δεν βολεύουν για να βρω το Ε.Κ.Π. τους. Για την πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων ισχύουν και τα ακόλουθα: α) α+ β = α ⋅ γ+β . β) α +γ= α+β⋅γ . γ γ β β γ) α− β = α ⋅ γ−β . δ) α −γ= α−β⋅ γ . γ γ β β - 12 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών Γ. Πώς θα πολλαπλασιάσεις κλάσματα Για να πολλαπλασιάσεις δύο (ή περισσότερα) κλάσματα, δεν ενδιαφέρει αν είναι ομώ- νυμα ή όχι. Πολλαπλασίασε μεταξύ τους τους αριθμητές και τους παρονομαστές, δηλαδή α ⋅ γ = α⋅γ . β δ β⋅δ 1. Ισχύει λ⋅ α = α ⋅λ= α⋅λ , β β β δηλαδή όταν ένας αριθμός πολλαπλασιάζει ένα κλάσμα «από τα αριστερά» ή «από τα δεξιά» του, τότε πολλαπλασιάζει τον αριθμητή του κλάσματος. 2. Αν γράψεις και διαβάσεις την ιδιότητα αυτή «από την ανάποδη», δηλαδή α⋅λ =λ⋅ α = α ⋅λ , β β β τότε προκύπτει ότι, όταν ένας αριθμός πολλαπλασιάζει τον αριθμητή ενός κλάσματος, μπορείς να τον «κατεβάσεις» αριστερά ή δεξιά του κλάσματος. 3. Πριν κάνεις τον πολλαπλασιασμό, κοίταξε για πιθανές απλοποιήσεις! ∆ηλαδή, πρώτα δες αν κάποιοι αριθμοί από τους αριθμητές απλοποιούνται με αντί- στοιχους από τους παρονομαστές και μετά κάνε πράξεις! - 13 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών Παράδειγμα 5 ∆ες το γινόμενο 36 ⋅ 25 . 5 9 1ος τρόπος - προτεινόμενος 36 ⋅ 25 = 36 ⋅ 25 = 4⋅5= 4 ⋅ 5 = 20 . 5 9 5 9 11 (Έγινε απλοποίηση μεταξύ του 36 και του 9, καθώς και του 25 με το 5) 2ος τρόπος - μακριά! 36 ⋅ 25 = 36 ⋅ 25 = 900 = 20 . 5 9 5 ⋅ 9 45 Στην δεύτερη περίπτωση, όπου υπάρχει «μεγάλος» αριθμός στον αριθμητή, είναι αμφίβολο αν θα έκανες απλοποίηση. Γενικότερα στις πράξεις μεταξύ κλασμάτων, να θυμάσαι: πρώτα δες αν γίνονται απλοποιήσεις, μετά κάνε πράξεις! ∆. Πώς θα διαιρέσεις κλάσματα Πώς θα δουλέψεις με σύνθετα κλάσματα Για να διαιρέσεις δύο κλάσματα, δεν ενδιαφέρει αν είναι ομώνυμα ή όχι. Αντίστρεψε το δεύτερο κλάσμα και πολλαπλασίασέ τα, δηλαδή α : γ = α ⋅ δ . β δ β γ Και εδώ, πρώτα κοίταξε αν μπορεί να γίνει κάποια απλοποίηση και μετά κάνε την διαίρεση των κλασμάτων. - 14 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών Η διαίρεση κλασμάτων εμφανίζεται με τα λεγόμενα σύνθετα κλάσματα, για τα οποία έχουμε τα ακόλουθα: 1. Για να κάνεις ένα σύνθετο κλάσμα απλό, κάνε ό,τι φαίνεται στον ακόλουθο τύπο: α β = α⋅δ . γ β⋅γ δ Τι λέει η ιδιότητα Αντίστρεψε το κλάσμα του παρονομαστή του σύνθετου κλάσματος και πολλαπλασί- ασέ το με το κλάσμα του αριθμητή. 2. Σε κάποιες μορφές σύνθετων κλασμάτων μπορούν να γίνουν απλοποιήσεις. Ειδικότερα: α α) β = α ⋅γ = γ , α β⋅ α β γ α δηλαδή β = γ . α β γ Τι λέει η ιδιότητα Όταν σε ένα σύνθετο κλάσμα οι αριθμητές είναι ίσοι, τότε προκύπτει ένα κλάσμα που έχει τους παρονομαστές «με αντίστροφη σειρά». Γενικότερα, σε ένα σύνθετο κλάσμα δες αν μπορεί να γίνει απλοποίηση μεταξύ των αριθμητών των δύο κλασμάτων. - 15 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών α β) β = α⋅β = α , γ β ⋅γ γ β α δηλαδή β = α . γ γ β Τι λέει η ιδιότητα Όταν σε ένα σύνθετο κλάσμα οι παρονομαστές είναι ίσοι, τότε προκύπτει ένα κλάσμα που έχει τους αριθμητές «με την ίδια σειρά». Γενικότερα, σε ένα σύνθετο κλάσμα δες αν μπορεί να γίνει απλοποίηση μεταξύ των παρονομαστών των δύο κλασμάτων. Αν δεν συμβαίνει τίποτα από τα προηγούμενα, τότε δεν γίνεται καμία απλοποίηση και η πράξη γίνεται όπως ακριβώς αναφέρεται στον πρώτο τύπο νωρίτερα στο 1. Ε. Πράξεις που μπορείς να κάνεις σε ένα κλάσμα Αναλογίες Σε ένα κλάσμα μπορείς: α) να πολλαπλασιάσεις τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό. β) να διαιρέσεις τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό. Η ενέργεια (β) είναι η γνωστή απλοποίηση του κλάσματος και καλό είναι πάντα να το ελέγχεις στις πράξεις, όπως ήδη τόνισα σε προηγούμενες παρατηρήσεις. - 16 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών Αναλογίες Αναλογία ονομάζεται η ισότητα δύο (ή περισσοτέρων) κλασμάτων. Οι βασικότερες ιδιότητές τους είναι: ▶︎ Ιδιότητα 1 α = γ ⇔α⋅δ=β⋅γ (εφόσον βδ ≠ 0 ). β δ Η φορά « ⇒ » της ιδιότητας δίνει τον γνωστό χιαστί πολλαπλασιασμό, μια κίνηση πολύ συνηθισμένη στις πράξεις μεταξύ κλασμάτων, αρκεί βέβαια αυτά να είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτό που πρέπει να προσέξεις είναι η αντίστροφη πορεία (η φορά ⇐ ), η οποία δίνει την δυνατότητα να μετατρέψεις την ισότητα δύο γινομένων σε ισότητα δύο κλασμά- των. Αποδεικνύεται ιδιαίτερα χρήσιμη αυτή η κίνηση κάποιες φορές. ▶︎ Ιδιότητα 2 α = γ ⇔ α± β = γ± δ (εφόσον βδ ≠ 0 ). β δ β δ Τι λέει η ιδιότητα Στους αριθμητές μπορείς να προσθέσεις τους παρονομαστές ή μπορείς να αφαιρέσεις τους παρονομαστές από τους αριθμητές. - 17 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 1 - Πράξεις μεταξύ αριθμών ▶︎ Ιδιότητα 3 α = γ ⇔ α = γ = α+γ (εφόσον βδ(β+δ) ≠ 0 ). β δ β δ β+δ Τι λέει η ιδιότητα Από δύο ίσα κλάσματα μπορεί να προκύψει και τρίτο, προσθέτοντας τους αριθμητές με τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους παρονομαστές. - 18 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr



Στο «Μαθηματικό στέκι» θα βρεις την αναλυτικότερη θεωρία - μεθοδολογία και τις αναλυτικότερα λυμένες ασκήσεις του διαδικτύου www.mathsteki.gr