ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.2 - Παράγραφος 2.2 (θεωρία)

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Οι πραγµατικοί αριθµοί Παράγραφος 2.2 Διάταξη πραγµατικών αριθµών ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Νοέµβριος 2021

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2 Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Διάταξη πραγµατικών αριθµών ~ Περιεχόμενα παραγράφου 2 ~ 1. Η έννοια της διάταξης .....................................................................................................................................................31 2. «Πώς διαβάζεται ; ». Βασικές υπενθυμίσεις και παρατηρήσεις ..............................................................32 3. Πώς θα εξετάσεις αν ένας αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός ..............................................................33 4. Πώς θα εξετάσεις αν ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από έναν άλλον αριθμό ................................................................................................................................................33 5. Πάρα πολύ σημαντικές προτάσεις ..........................................................................................................................34 Πρόταση 1 α, β ομόσημοι ⇔ α ⋅ β > 0 ⇔ α >0 ......................................................................................34 β Πρόταση 2 α, β ετερόσημοι ⇔ α ⋅ β < 0 ⇔ α <0 ..................................................................................35 β Πρόταση 3 Ισχύει α2 ≥ 0 , για κάθε α ∈ ! .......................................................................................................35 Πρόταση 4 Ισχύει α2 +β2 ≥ 0 , για κάθε α , β∈ ! ......................................................................................36 6. Ιδιότητες των ανισοτήτων ............................................................................................................................................36 7. ∆ιαστήματα ...........................................................................................................................................................................40 8. Κατευθύνσεις για τις ασκήσεις ...................................................................................................................................42 Α. Πώς θα αποδείξεις μονή ανισότητα ..............................................................................................................42 1η κατηγορία Χωρίς να δίνεται ότι ισχύει κάτι σαν δεδομένο (ασκήσεις χωρίς συνθήκη) .................................................................................................42 - 29 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί 2η κατηγορία Να δίνεται ότι ισχύει κάτι σαν δεδομένο (ασκήσεις υπό συνθήκη) .....................................................................................................43 Β. Απόδειξη διπλής ανισότητας .............................................................................................................................44 - 30 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί 1. Η έννοια της διάταξης Οι έννοιες «μεγαλύτερος από», «μικρότερος από», που είναι γνωστές από το Γυμνά- σιο, ορίστηκαν ως εξής: Έστω δύο αριθμοί α και β. Λέμε ότι ο αριθμός α είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό β, όταν η διαφορά α − β είναι θετικός αριθμός. Τότε γράφουμε α >β ⇔ α−β>0. Επίσης, ισοδύναμα λέμε ότι ο αριθμός β είναι μικρότερος από τον αριθμό α. Γεωμετρικά, η ανισότητα α > β σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, ο αριθμός α είναι δεξιότερα του αριθμού β. Στην περίπτωση που ισχύει α > β ή α = β , τότε λέμε ότι ο αριθμός α είναι μεγαλύτε- ρος ή ίσος του β και γράφουμε α ≥ β . Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει και ότι: ο αριθμός α είναι μικρότερος από τον αριθμό β, όταν η διαφορά α − β είναι αρνη- τικός αριθμός. Τότε γράφουμε α <β ⇔ α−β<0. Επίσης, ισοδύναμα λέμε ότι ο αριθμός β είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό α. Γεωμετρικά, η ανισότητα α < β σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, ο αριθμός α είναι αριστερότερα του αριθμού β. Στην περίπτωση που ισχύει α < β ή α = β , τότε λέμε ότι ο αριθμός α είναι μικρότε- ρος ή ίσος του β και γράφουμε α ≤ β . - 31 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί 2. “Πώς διαβάζεται;” Βασικές υπενθυµίσεις και παρατηρήσεις Η λανθασμένη ανάγνωση βασικών συμβολισμών στην διάταξη οδηγεί πολλές φορές σε λανθασμένη αντίληψη και κατανόηση βασικών εννοιών της. Γι’ αυτό, καλό είναι να γί- νει υπενθύμιση των παρακάτω: α) Η ανισότητα α > 0 διαβάζεται «ο αριθμός α είναι θετικός». β) Η ανισότητα α ≥ 0 διαβάζεται «ο αριθμός α είναι μεγαλύτερος ή ίσος του μηδε- νός» ή «ο αριθμός α είναι μη αρνητικός» και σημαίνει ότι μπορεί να είναι α > 0 ή α=0. Όταν είναι α ≥ 0 , τότε ο α δεν είναι θετικός και δεν διαβάζεται «θετικός»! γ) Η ανισότητα α < 0 διαβάζεται «ο αριθμός α είναι αρνητικός». δ) Η ανισότητα α ≤ 0 διαβάζεται «ο αριθμός α είναι μικρότερος ή ίσος του μηδενός» ή «ο αριθμός α είναι μη θετικός» και σημαίνει ότι μπορεί να είναι α < 0 ή α = 0 . Όταν είναι α ≤ 0 , τότε ο α δεν είναι αρνητικός και δεν διαβάζεται «αρνητικός»! ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ ! Οι ορισμοί της σελίδας 31 παρέχουν έναν αρκετά καλό τρόπο για να ελέγξεις (να εξε- τάσεις) αν ένας αριθμός: α) είναι θετικός ή αρνητικός. β) είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από έναν άλλο. Πώς γίνεται ο έλεγχος αυτός; Και στις δύο περιπτώσεις, η αρχή είναι η ίδια. - 32 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί 3. Πώς θα εξετάσεις αν ένας αριθµός είναι θετικός ή αρνητικός Υπόθεσε αυθαίρετα ότι ο αριθμός είναι θετικός (αν υποθέσεις ότι είναι αρνητικός δεν έχει καμία σημασία, το ίδιο κάνει). Στην συνέχεια, εκτέλεσε επιτρεπτές πράξεις και δες πού θα σε οδηγήσουν. • Αν το τελικό συμπέρασμα είναι σωστό, τότε η αρχική σου υπόθεση ήταν σωστή και ο αριθμός είναι θετικός (αντίστοιχα αρνητικός, αν αυτό υπέθεσες εξαρχής). • Αν το τελικό συμπέρασμα δεν είναι σωστό, τότε η αρχική σου υπόθεση δεν ήταν σωστή και ο αριθμός είναι αρνητικός (αντίστοιχα θετικός). Παράδειγµα 27 Ο αριθμός 7 − 5 είναι θετικός ή αρνητικός; 3 4 ~ Λύση ~ Υποθέτω αυθαίρετα ότι είναι θετικός. Τότε έχω 7 − 5 >0 ⇔ 7 > 5 ⇔ 7⋅4 >3⋅5 ⇔ 28 > 15 , που ισχύει. 3 4 3 4 Άρα ο αριθμός 7 − 5 είναι πράγματι θετικός. 3 4 Aν είχα υποθέσει ότι είναι αρνητικός, τότε πάλι τις ίδιες ακριβώς πράξεις θα έκανα, μόνο που στο τέλος θα συμπέραινα ότι 28 < 15 , που προφανώς είναι λάθος. Αυτό θα σήμαινε ότι η υπόθεσή μου δεν ήταν σωστή, δηλαδή ο αριθμός είναι θετικός. 4. Πώς θα εξετάσεις αν ένας αριθµός είναι µεγαλύτερος ή µικρότερος από έναν άλλον αριθµό Υπόθεσε αυθαίρετα, ότι ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο (αν υποθέσεις ότι ο πρώτος είναι μικρότερος από τον δεύτερο δεν αλλάζει τίποτα, το ίδιο κάνει). Στην συνέχεια, εκτέλεσε επιτρεπτές πράξεις και δες πού θα σε οδηγήσουν. • Αν το τελικό συμπέρασμα είναι σωστό, τότε η αρχική σου υπόθεση ήταν σωστή και ο πρώτος αριθμός είναι όντως μεγαλύτερος από τον δεύτερο (αντίστοιχα, ο πρώτος είναι μικρότερος από τον δεύτερο, αν αυτό είχες υποθέσει εξαρχής). - 33 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί • Αν το τελικό συμπέρασμα δεν είναι σωστό, τότε η αρχική σου υπόθεση δεν ήταν σωστή και ο πρώτος αριθμός είναι μικρότερος από τον δεύτερο τελικά. Παράδειγµα 28 Ο αριθμός 7 είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από τον 5 ; 3 4 ~ Λύση ~ Υποθέτω αυθαίρετα ότι είναι 7 < 5 . Τότε έχω 3 4 7 ⋅ 4 < 3 ⋅ 5 ⇔ 28 < 15 , το οποίο προφανώς είναι λάθος. Άρα είναι 7 > 5 . 3 4 Aν είχα υποθέσει ότι ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο, τότε πάλι τις ίδιες ακριβώς πράξεις θα έκανα, μόνο που στο τέλος θα συμπέραινα ότι 28 > 15 , που προφανώς είναι σωστό. Αυτό θα σήμαινε ότι η αρχική μου υπόθεση ήταν σωστή, δηλαδή ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο. 5. Πάρα πολύ σηµαντικές προτάσεις! Από τον τρόπο που γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, προκύπτουν οι εξής πάρα πολύ σημαντικές προτάσεις: ❖ Πρόταση 1 Ισχύει: α, β ομόσημοι ⇔ α ⋅ β > 0 ⇔ α >0. β Η πρόταση αυτή λέει ότι: • όταν θέλεις να εξετάσεις αν δύο αριθμοί είναι ομόσημοι, τότε εξέτασε αν το γινόμε- νο ή το πηλίκο τους είναι θετικό. • αν θέλεις να αποδείξεις ότι δύο αριθμοί είναι ομόσημοι, τότε αρκεί να αποδείξεις ότι το γινόμενο ή το πηλίκο τους είναι θετικό (αυτός είναι ένας τρόπος απόδειξης, όχι ο μοναδικός). - 34 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί • όταν γνωρίζεις ότι δύο αριθμοί είναι ομόσημοι, τότε γνωρίζεις (συμπεραίνεις) ότι το γινόμενό (αλλά και το πηλίκο) τους είναι θετικό. • όταν γνωρίζεις ότι το γινόμενο (ή το πηλίκο) δύο αριθμών είναι θετικό, τότε γνωρί- ζεις (συμπεραίνεις) ότι οι δύο αριθμοί είναι ομόσημοι. ❖ Πρόταση 2 Ισχύει: α, β ετερόσημοι ⇔ α ⋅ β < 0 ⇔ α <0. β Η πρόταση αυτή λέει ότι: • όταν θέλεις να εξετάσεις αν δύο αριθμοί είναι ετερόσημοι, τότε εξέτασε αν το γινό- μενο ή το πηλίκο τους είναι αρνητικό. • αν θέλεις να αποδείξεις ότι δύο αριθμοί είναι ετερόσημοι, τότε αρκεί να αποδείξεις ότι το γινόμενο ή το πηλίκο τους είναι αρνητικό (αυτός είναι ένας τρόπος απόδει- ξης, όχι ο μοναδικός). • όταν γνωρίζεις ότι δύο αριθμοί είναι ετερόσημοι, τότε γνωρίζεις (συμπεραίνεις) ότι το γινόμενό τους είναι αρνητικό, αλλά και το πηλίκο τους. • όταν γνωρίζεις ότι το γινόμενο (ή το πηλίκο) δύο αριθμών είναι αρνητικό, τότε γνω- ρίζεις (συμπεραίνεις) ότι οι δύο αριθμοί είναι ετερόσημοι. ❖ Πρόταση 3 Ισχύει α2 ≥ 0 , για κάθε α ∈ ! . Δηλαδή, το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός (όχι θετικό, αλλά μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός). Ειδικότερα, είναι: Ι. α2 > 0 ⇔ α ≠ 0 . Δηλαδή, ένα τετράγωνο είναι θετικό, αν και μόνο αν η βάση του είναι διάφορη του μηδενός. ΙΙ. α2 = 0 ⇔ α = 0 . Δηλαδή, ένα τετράγωνο είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν η βάση του είναι ίση με το μηδέν. - 35 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Η πρόταση 3 ισχύει για οποιονδήποτε άρτιο εκθέτη. ❖ Πρόταση 4 Ισχύει α2 + β2 ≥ 0 , για κάθε α , β ∈ ! . Δηλαδή, το άθροισμα δύο τετράγωνων είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός (όχι θετικό, αλλά μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός). Ειδικότερα, είναι: Ι. α2 + β2 = 0 ⇔ α = 0 και β = 0 . Δηλαδή, το άθροισμα δύο τετραγώνων είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν οι βά- σεις και των δύο τετραγώνων είναι ταυτόχρονα ίσες με το μηδέν. ΙΙ. α2 + β2 > 0 ⇔ α ≠ 0 η β ≠ 0 . Δηλαδή, το άθροισμα δύο τετραγώνων είναι θετικό, αν και μόνο αν η βάση του πρώτου τετραγώνου είναι διάφορη του μηδενός ή η βάση του δεύτερου τετραγώ- νου είναι διάφορη του μηδενός. Η πρόταση 4 προκύπτει από την πρόταση 3. Μάλιστα, η πρόταση 4 ισχύει για οποιουσδήποτε άρτιους εκθέτες. 6. Ιδιότητες των ανισοτήτων Είτε σε μία ανισότητα είτε μεταξύ δύο ανισοτήτων υπάρχουν κάποιες επιτρεπτές και μη επιτρεπτές πράξεις, τις οποίες θα δεις στις ιδιότητες που ακολουθούν. Να θυμάσαι το εξής βασικότατο! Όταν πρόκειται να κάνεις μια ενέργεια πάνω σε μια ανισότητα, θέσε τα ακόλου- θα ερωτήματα (ακριβώς με την σειρά που είναι γραμμένα): Ι. Επιτρέπεται να το κάνω; ΙΙ. Μπορώ να το κάνω ελεύθερα ή υπό προϋποθέσεις; ΙΙΙ. Αλλάζει η φορά της ανισότητας ή όχι; - 36 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Ιδιότητα 1 Αν ⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ α > β και ⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪ , τότε α>γ (μεταβατική ιδιότητα). β>γ ❖ Ιδιότητα 2 α >β ⇔ α+ γ >β+ γ . Τι λέει η ιδιότητα: στα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να προσθέσεις τον ίδιο αριθμό (αυτό προκύπτει από την φορά ⇒ ). Επίσης, από τα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να αφαιρέσεις τον ίδιο αριθμό (αυτό προκύπτει από την φορά ⇐ ). ❖ Ιδιότητα 3 Αν γ > 0 , τότε: α > β ⇔ α ⋅ γ > β ⋅ γ . Τι λέει η ιδιότητα: τα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να τα πολλαπλασιάσεις με τον ίδιο θετικό αριθμό και η φορά της ανισότητας δεν αλλάζει (αυτό προκύπτει από την φορά ⇒ ). Επίσης, τα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να τα διαιρέσεις με τον ίδιο θετικό αριθμό και η φορά της ανισότητας δεν αλλάζει (αυτό προκύπτει από την φορά ⇐ ). ❖ Ιδιότητα 4 Αν γ < 0 , τότε: α > 0 ⇔ α ⋅ γ < β ⋅ γ . Τι λέει η ιδιότητα: τα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να τα πολλαπλασιάσεις με τον ίδιο αρνητικό αριθμό και η φορά της ανισότητας αλλάζει (αυτό προκύπτει από την φορά ⇒ ). Επίσης, τα μέλη μιας ανισότητας μπορείς να τα διαιρέσεις με τον ίδιο αρνητικό αριθ- μό και η φορά της ανισότητας αλλάζει (αυτό προκύπτει από την φορά ⇐ ). Οι ιδιότητες 3 και 4 εφαρμόζονται κατά κόρον στην επίλυση ανισώσεων. - 37 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Ιδιότητα 5 Αν ⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪ α > β και ⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪ , τότε α+γ>β+δ. γ>δ Τι λέει η ιδιότητα: δύο ανισότητες της ίδιας φοράς μπορείς να τις προσθέσεις κατά μέλη. ΠΡΟΣΟΧΗ ! Δεν μπορείς να τις αφαιρέσεις κατά μέλη! Η ιδιότητα 5 ισχύει και για περισσότερες από δύο ανισότητες. ❖ Ιδιότητα 6 Αν α, β, γ, δ είναι θετικοί αριθμοί και ⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪ α > β και ⎪⎪⎬⎪⎭⎪⎪⎫ , τότε α⋅γ >β⋅δ. γ>δ Τι λέει η ιδιότητα: δύο ανισότητες της ίδιας φοράς και μεταξύ θετικών αριθμών μπορείς να τις πολλαπλασιάσεις κατά μέλη. ΠΡΟΣΟΧΗ ! Δεν μπορείς να τις διαιρέσεις κατά μέλη! Η ιδιότητα 6 ισχύει και για περισσότερες από δύο ανισότητες. ❖ Ιδιότητα 7 Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί και ν είναι θετικός ακέραιος (δηλαδή, φυσικός αριθμός), τότε: α > β ⇔ αν > βν . Τι λέει η ιδιότητα: τα μέλη μιας ανισότητας μεταξύ θετικών αριθμών μπορείς να τα υψώσεις στον ίδιο εκθέτη, φυσικό αριθμό. Επίσης, μια ανισότητα μεταξύ δύο δυνάμεων με θετικές βάσεις και εκθέτη τον ίδιο φυσικό αριθμό, μεταφέρεται στην ανισότητα μεταξύ των βάσεων, με την ίδια φορά. ❖ Ιδιότητα 8 Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί και ν είναι θετικός ακέραιος (δηλαδή, φυσικός αριθμός), τότε: α = β ⇔ αν = βν . - 38 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Τι λέει η ιδιότητα: τα μέλη μιας ισότητας μεταξύ θετικών αριθμών μπορείς να τα υψώσεις στον ίδιο εκθέτη, φυσικό αριθμό. Επίσης, μια ισότητα μεταξύ δύο δυνάμεων με θετικές βάσεις και εκθέτη τον ίδιο φυσι- κό αριθμό, μεταφέρεται στην ισότητα μεταξύ των βάσεων. Η ιδιότητα 8 προκύπτει από την ιδιότητα 7. ❖ Ιδιότητα 9 Αν α, β είναι ομόσημοι αριθμοί, τότε: α>β⇔ 1 < 1 . α β Τι λέει η ιδιότητα: τα μέλη μιας ανισότητας μεταξύ ομόσημων αριθμών μπορείς να τα αντιστρέψεις και η φορά της ανισότητας θα αλλάξει. Καλό είναι να γνωρίζεις και τις ακόλουθες ιδιότητες: α) Ισχύει α2 + β2 ≥ 2αβ , για κάθε α , β ∈ ! . β) Αν α > 0 , τότε α + 1 ≥2 . α - 39 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί 7. Διαστήµατα Α. Κλειστό διάστηµα Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x, με α ≤ x ≤ β , λέγεται κλειστό διάστημα από το α μέχρι το β και συμβολίζεται με ⎡⎢⎣α , β⎤⎥⎦ . Γράφουμε: x ∈ ⎢⎣⎡α , β⎦⎥⎤ ⇔ α ≤ x ≤ β . Β. Ανοικτό διάστηµα Αν από το κλειστό διάστημα ⎡⎢⎣α , β⎦⎤⎥ παραλείψουμε τα α και β προκύπτει το αντίστοιχο ανοικτό διάστημα από το α μέχρι το β, που συμβολίζεται με (α , β) . Γράφουμε: x ∈ (α , β) ⇔ α < x < β . α) Οι αριθμοί α και β λέγονται άκρα των διαστημάτων. β) Κάθε αριθμός μεταξύ των α και β λέγεται εσωτερικό σημείο του διαστήματος. γ) Η διαφορά β − α λέγεται μήκος του διαστήματος. δ) Ο αριθμός α+β λέγεται κέντρο του διαστήματος. 2 ε) Ο αριθμός β−α λέγεται ακτίνα του διαστήματος. 2 Οι ονομασίες (α) έως (ε) ισχύουν και για τα διαστήματα που αναφέρονται στις σημει- ώσεις (Γ) και (Δ) που ακολουθούν. Γ. Ανοικτό δεξιά διάστηµα )Το διάστημα ⎣⎢⎡α , β , το οποίο αποτελείται από τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει α ≤ x < β , λέγεται ανοικτό δεξιά διάστημα. Γράφουμε: x ∈ ⎡⎣⎢α , β) ⇔ α ≤ x < β . - 40 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Δ. Ανοικτό αριστερά διάστηµα (Το διάστημα α , β⎦⎥⎤ , το οποίο αποτελείται από τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει α < x ≤ β , λέγεται ανοικτό αριστερά διάστημα. Γράφουμε: x ∈ (α , β⎦⎥⎤ ⇔ α < x ≤ β . Όταν πρόκειται να παραστήσουμε οποιοδήποτε από τα διαστήματα αυτά στην ευθεία των πραγματικών αριθμών: • σε διάστημα με ανοικτό άκρο βάζουμε «ανοικτό» κυκλάκι στον αριθμό πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. • σε διάστημα με κλειστό άκρο βάζουμε «κλειστό» κυκλάκι στον αριθμό πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Άλλες µορφές διαστηµάτων )1. Το διάστημα ⎡⎢⎣α , + ∞ αποτελείται από τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει x ≥ α , ενώ το σύμβολο “+∞ ” διαβάζεται συν άπειρο. Γράφουμε: x ∈ ⎣⎢⎡α , + ∞) ⇔ x ≥ α . ( )2. Το διάστημα α , + ∞ αποτελείται από τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει x > α , ενώ το σύμβολο “+∞ ” διαβάζεται συν άπειρο. Γράφουμε: x ∈ (α , + ∞) ⇔ x > α . (3. Το διάστημα −∞ , α⎥⎦⎤ αποτελείται από τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει x ≤ α , ενώ το σύμβολο “−∞ ” διαβάζεται πλην άπειρο. Γράφουμε: x ∈ (−∞ , α⎦⎥⎤ ⇔ x ≤ α . ( )4. Το διάστημα −∞ , α αποτελείται από τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει x < α , ενώ το σύμβολο “−∞ ” διαβάζεται πλην άπειρο. - 41 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Γράφουμε: x ∈ (−∞ , α) ⇔ x < α . Όταν πρόκειται να παραστήσουμε οποιοδήποτε από τα διαστήματα αυτά στην ευθεία των πραγματικών αριθμών: • σε διάστημα με ανοικτό άκρο βάζουμε «ανοικτό» κυκλάκι στον αριθμό πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. • σε διάστημα με κλειστό άκρο βάζουμε «κλειστό» κυκλάκι στον αριθμό πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Τα σύμβολα +∞ και −∞ δεν παριστάνουν αριθμούς και πάντα το σχετικό άκρο σε κάποιο διάστημα που τα έχει, είναι ανοικτό (παρένθεση δηλαδή). 8. Κατευθύνσεις για τις ασκήσεις Α. Πώς θα αποδείξεις µονή ανισότητα Οι ασκήσεις αυτές ταξινομούνται σε δύο κατηγορίες: ❖ 1η κατηγορία - Χωρίς να δίνεται ότι ισχύει κάτι σαν δεδοµένο (ασκήσεις χωρίς συνθήκη) Παράδειγμα τέτοιας άσκησης είναι το ακόλουθο: «Να δείξετε ότι ισχύει 2x ≤ 1 , για κάθε x ∈ ! ». x2 + 1 Γράψε στην αρχή της λύσης «Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει», μετάφερε όλους τους όρους σε ένα μέλος (προτίμησε να τα μεταφέρεις σε εκείνο το μέλος, από το οποίο θα προκύψει ανισότητα ≥ 0 ή > 0 ) και, με κατάλληλες πράξεις (π.χ. επιμεριστικούς πολλαπλασιασμούς, ανάπτυξη ταυτοτήτων, παραγοντοποίηση) προσπάθησε να καταλήξεις σε μια σχέση που ισχύει Συχνό είναι το φαινόμενο να ζητείται να αποδείξεις ότι ισχύει μια ανισοϊσότητα, οπότε στο τέλος συνήθως προκύπτει: - 42 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί • ένα τέλειο τετράγωνο ότι είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός (γενικότερα, μια άρ- τια δύναμη ότι είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός) ή ότι • ένα άθροισμα τετραγώνων ότι είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός (γενικότερα, ένα άθροισμα άρτιων δυνάμεων). Παράδειγµα 29 Να δείξετε ότι ισχύει 2x ≤ 1 , για κάθε x ∈ ! . x2 + 1 ~ Λύση ~ Επειδή είναι x2 + 1 > 0 , για κάθε x ∈ ! , απαλείφοντας τον παρονομαστή ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει ( )2x x−1 2 ≥ 0, x2 + 1 ≤ 1 ⇔ 2x ≤ x2 + 1 ⇔ x2 − 2x + 1 ≥ 0 ⇔ το οποίο ισχύει για κάθε x ∈ ! . ❖ 2η κατηγορία - Να δίνεται ότι ισχύει κάτι σαν δεδοµένο (ασκήσεις υπό συνθήκη) Παράδειγμα τέτοιας άσκησης είναι το ακόλουθο: «Αν ισχύει 0 < x < y , να δείξετε ότι x < y ». 1+ x 1+ y Γράψε στην αρχή της λύσης «Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει», μετάφερε όλους τους όρους σε ένα μέλος (προτίμησε να τα μεταφέρεις σε εκείνο το μέλος, από το οποίο θα προκύψει ανισότητα ≥ 0 ή > 0 ) και, με κατάλληλες πράξεις (π.χ. επιμεριστικούς πολλαπλασιασμούς, ανάπτυξη ταυτοτήτων, παραγοντοποίηση) προσπάθησε να καταλήξεις σε μια σχέση που ισχύει Αυτό που θα ισχύει μπορεί να είναι η συνθήκη που δόθηκε στην αρχή της άσκησης ή σε κάποια άλλη σχέση που ισχύει (στην περίπτωση αυτή, η συνθήκη θα έχει κάπου αξιοποιηθεί κατά την πορεία των πράξεών σου). - 43 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Παράδειγµα 30 Αν ισχύει 0 < x < y , να δείξετε ότι x < y . 1+ x 1+ y ~ Λύση ~ Επειδή είναι x > 0 και y > 0 , είναι και 1 + x > 0 , 1 + y > 0 οπότε, απαλείφοντας τους παρονομαστές, ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει x < y ⇔ x(1 + y) < y(1 + x) ⇔ x + xy < y + xy ⇔ x < y, 1+ x 1+ y το οποίο ισχύει όμως, αφού δόθηκε ότι 0 < x < y . Β. Απόδειξη διπλής ανισότητας Όταν ζητείται να αποδείξεις ότι ισχύει μια διπλή ανισότητα (είτε τίθεται συνθήκη στην εκφώνηση είτε όχι), τότε η συνήθης κίνηση είναι να «σπάσεις» την διπλή ανισότητα σε δύο επιμέρους ανισότητες και να αποδείξεις ότι ισχύει καθεμία εξ αυτών. Έτσι, αν ζητείται να αποδείξεις ότι ισχύει μια διπλή ανισότητα της μορφής α < β < γ , τότε πρώτα απόδειξε ότι ισχύει α < β και μετά ότι ισχύει β < γ . Η απόδειξη γίνεται με κάποιον από τους τρόπους που αναφέρθηκαν στην περίπτωση Α που προηγήθηκε (σελίδα 42). Παράδειγµα 31 Αν είναι α < β , να δείξετε ότι ισχύει α < α+β <β. 2 ~ Λύση ~ Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύουν α< α+β και α+β <β. 2 2 Απόδειξη πρώτης ανισότητας Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει α< α+β ⇔ 2α < α + β ⇔ α < β , 2 - 44 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί το οποίο ισχύει από το δεδομένο. Απόδειξη δεύτερης ανισότητας Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει α+β < β ⇔ α + β < 2β ⇔ α < β , 2 το οποίο ισχύει από το δεδομένο. Το παράδειγμα 31 μπορείς να το αντιμετωπίσεις και έτσι: Ο αριθμός α+β είναι το μέσο του διαστήματος ⎡⎢⎣α , β⎦⎥⎤ , οπότε προφανώς βρίσκεται 2 μεταξύ των α και β, δηλαδή ισχύει η ζητούμενη ανισότητα. Σχόλιο Θεώρησα το διάστημα ⎣⎡⎢α , β⎥⎤⎦ . Κάλλιστα όμως θα μπορούσα να θεωρήσω το διάστημα (α , β) ή το (α , β⎥⎦⎤ ή το )⎢⎡⎣α , β . Δεν θα άλλαζε τίποτα στον τρόπο επίλυσης της άσκησης. - 45 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!