ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.2 - Παράγραφος 2.4 (θεωρία)

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Οι πραγµατικοί αριθµοί Παράγραφος 2.4 Ρίζες πραγµατικών αριθµών ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Νοέµβριος 2021

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4 Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Ρίζες πραγµατικών αριθµών ~ Περιεχόμενα παραγράφου 4 ~ 1. Ορισμός τετραγωνικής και ν-στής ρίζας .............................................................................................................56 2. Ιδιότητες των ριζών ..........................................................................................................................................................56 3. Πώς κάνεις πράξεις με ρίζες ........................................................................................................................................61 Α. Πρόσθεση/αφαίρεση ριζών ................................................................................................................................61 Β. Πολλαπλασιασμός/διαίρεση ριζών ................................................................................................................61 Γ. Ρίζα σε παρονομαστή κλάσματος ...................................................................................................................61 1η περίπτωση Όταν στον παρονομαστή έχεις μία τετραγωνική ρίζα, με ή χωρίς συντελεστή .........................................................................................................61 2η περίπτωση Όταν στον παρονομαστή έχεις μια τετραγωνική ρίζα, που προστίθεται ή αφαιρείται με κάποιον άλλον αριθμό ή άλλη τετραγωνική ρίζα ....................................................................................................62 ∆. Το υπόρριζο δεν είναι τέλειο τετράγωνο ...................................................................................................63 Γενική παρατήρηση στις πράξεις με ρίζες ........................................................................................................64 - 55 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί 1. Ορισµός τετραγωνικής και ν-στής ρίζας Η τετραγωνική ρίζα είναι ήδη γνωστή από το Γυμνάσιο και ορίστηκε ως εξής: Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με α και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Μπορούμε επομένως να πούμε ότι: Αν α ≥ 0 , η α παριστάνει την μη αρνητική λύση της εξίσωσης x2 = α . Γενικεύοντας τώρα, για κάθε θετικό ακέραιο ν (δηλαδή φυσικό αριθμό), ορίζουμε την ν-στή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού ως εξής: Για κάθε θετικό ακέραιο ν, η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολί- ζεται με ν α και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει τον α. Ο αριθμός ν λέγεται τάξη της ρίζας και ο αριθμός α λέγεται υπόρριζο. Γράφουμε 1 α = α και 2 α = α . Έτσι, αν α ≥ 0 , η ν α παριστάνει την μη αρνητική λύση της εξίσωσης xν = α . Ειδικότερα, αν ν = 2 , έχουμε την τετραγωνική ρίζα, ενώ αν ν = 3 , έχουμε την τρίτη ή κυβική ρίζα. 2. Ιδιότητες των ριζών Οι ακόλουθες ιδιότητες είναι οι πολύτιμοι βοηθοί στις ασκήσεις στις οποίες εμφανίζο- νται ρίζες. ❖ Ιδιότητα 1 ( )ν Αν α ≥ 0 , τότε ν α = α και ν αν = α . - 56 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Για την τετραγωνική ρίζα, ισχύουν: ( )2 2 α) α = α = α , αν α ≥ 0 . β) α2 = α , για κάθε α ∈ ! . ΠΡΟΣΟΧΗ ! Οι ιδιότητες (α) και (β) είναι πάρα πολύ σημαντικές και συναντώνται πάρα πολύ συχνά στις ασκήσεις! Είναι η γνωστή φράση «το τετράγωνο με την ρίζα φεύγει», το οποίο όμως δημιουρ- γεί συνεχώς το ίδιο λάθος! Το λάθος γίνεται όταν το υπόρριζο είναι αλγεβρική παράσταση και όχι αριθμός (όχι ότι δεν γίνεται και με αριθμούς αυτό το λάθος) και είναι το εξής: «φεύγει» η ρίζα και γράφω ό,τι βλέπω κάτω από την ρίζα. Έτσι απλά... ... μα εντελώς λανθασμένα! Δεν πάει έτσι απλά, «το τετράγωνο με την ρίζα φεύγει»! Γι' αυτό, ας διορθώσουμε άπαξ διά παντός το θέμα! Όταν μια ρίζα υψώνεται στο τετράγωνο, δες πού είναι το τετράγωνο: είναι μέσα στην ρίζα ή είναι έξω από την ρίζα; α) αν το τετράγωνο είναι μέσα στην ρίζα, τότε δεν χρειάζεται να τεθεί περιορισμός στο υπόρριζο· η ρίζα «φεύγει» και μένει η απόλυτη τιμή του υπόρριζου. β) αν το τετράγωνο είναι έξω από την ρίζα, τότε τίθεται ο περιορισμός, το υπόρ- ριζο να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός (μη αρνητικό δηλαδή)· η ρίζα «φεύγει» και μένει το υπόρριζο «σκέτο». ❖ Ιδιότητα 2 Αν α , β ≥ 0 , τότε ν α ⋅ ν β = ν α ⋅ β . Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για περισσότερες ρίζες, δηλαδή ν α1 ⋅ ν α2 ⋅ ... ⋅ ν ακ = ν α1 ⋅ α2 ⋅ ... ⋅ ακ . Στην περίπτωση που είναι α1 = α2 = ... = ακ = α ≥ 0 , ισχύει - 57 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ( )κ ν ακ = ν α . Για την τετραγωνική ρίζα, ισχύει α ⋅ β = α⋅β . Τι λέει η ιδιότητα Το γινόμενο δύο ριζών μπορεί να «ενωθεί» σε μία ρίζα, που έχει ως υπόρριζο το γινό- μενο των υπόρριζων των δύο ριζών. Επίσης, όταν μία ρίζα έχει γινόμενο μέσα της, τότε μπορεί να «σπάσει» σε γινόμενο δύο ριζών, καθεμία εκ των οποίων θα έχει ως υπόρριζο έναν παράγοντα του γινομένου (αν η ιδιότητα διαβαστεί «από την ανάποδη»). Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για περισσότερες από δύο ρίζες, δηλαδή α1 ⋅ α2 ⋅ ... ⋅ αν = α1 ⋅ α2 ⋅ ... ⋅ αν . ❖ Ιδιότητα 3 Αν α ≥ 0 , β > 0 , τότε να =ν α . νβ β Για την τετραγωνική ρίζα, ισχύει α= α . β β Τι λέει η ιδιότητα Το πηλίκο δύο ριζών μπορεί να «ενωθεί» σε μία ρίζα, που έχει ως υπόρριζο το πηλίκο των υπόρριζων των δύο ριζών. Επίσης, όταν μία ρίζα έχει πηλίκο μέσα της, τότε μπορεί να «σπάσει» σε πηλίκο δύο ριζών, καθεμία εκ των οποίων θα έχει ως υπόρριζο τον αντίστοιχο όρο του πηλίκου (αν η ιδιότητα διαβαστεί «από την ανάποδη»). ❖ Ιδιότητα 4 Αν α ≥ 0 , τότε µ ν α = µ⋅ν α . - 58 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Τι λέει η ιδιότητα Όταν μία ρίζα έχει ως υπόρριζο άλλη ρίζα, τότε προκύπτει μία ρίζα η οποία έχει ως τάξη το γινόμενο των τάξεων των δύο ριζών. Πρόκειται για μια ιδιότητα που δεν συναντάται συχνά (αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι δεν πρέπει να την γνωρίζεις!). ❖ Ιδιότητα 5 Αν α ≥ 0 , τότε αν⋅ρ µ⋅ρ = ν αµ . Τι λέει η ιδιότητα Όταν το υπόρριζο είναι δύναμη και ο εκθέτης της έχει κοινό παράγοντα με την τάξη της ρίζας, τότε ο κοινός αυτός παράγοντας απλοποιείται. Πρόκειται για μια ιδιότητα που δεν συναντάται συχνά (αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι δεν πρέπει να την γνωρίζεις!). ❖ Ιδιότητα 6 Αν α , β ≥ 0 , τότε ν αν ⋅ β = α ⋅ ν β . Για την τετραγωνική ρίζα, ισχύει α2 ⋅ β = α ⋅ β . Τι λέει η ιδιότητα Όταν στο υπόρριζο υπάρχει γινόμενο και ο ένας παράγοντας είναι (ή μπορεί να γρα- φεί σαν) τετράγωνο ενός αριθμού, τότε έξω από την ρίζα «βγαίνει» η βάση του τετρα- γώνου και μέσα μένει ο δεύτερος παράγοντας του γινομένου. Διάβάζοντας την ιδιότητα «από την ανάποδη» έχουμε ότι μπορούμε να βάλουμε τον συντελεστή της ρίζας μέσα στην ρίζα, υψώνοντάς τον στο τετράγωνο. Στην γενική της μορφή, ν αν ⋅β = α ⋅ ν β , η ιδιότητα λέει ότι μπορούμε να βάλουμε τον συντελεστή της ρίζας μέσα στην ρίζα, υψώνοντάς τον σε εκθέτη ίσο με την τάξη της ρίζας. Η ιδιότητα αυτή χρησιμεύει πάρα πολύ στις απλοποιήσεις ριζών και συναντάται πολύ συχνά στις ασκήσεις! - 59 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Στην συνέχεια («Πώς κάνεις πράξεις με ρίζες») θα δεις πώς χρησιμοποιείται αυτή η ιδιότητα. ❖ Ιδιότητα 7 - Δυνάµεις µε ρητό εκθέτη Αν α > 0 , μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε µ α ν = ν αµ . µ Επιπλέον, αν μ, ν θετικοί ακέραιοι (δηλαδή φυσικοί αριθμοί), τότε ορίζουμε 0 ν = 0 . Η ιδιότητα αυτή χρησιμεύει πολύ όταν πρέπει να γίνουν πράξεις με μη τετραγω- νικές ρίζες. Τότε μετατρέπουμε την ρίζα σε δύναμη με εκθέτη κλάσμα και οι πράξεις πλέον γίνο- νται βάσει των ιδιοτήτων των δυνάμεων (που είναι σαφώς πιο εύχρηστες σε σχέση με τις πράξεις των ριζών). Στο τέλος των πράξεων, συνήθως ξαναμετατρέπουμε την δύνα- μη σε ρίζα. Για την τετραγωνική ρίζα, ισχύει 1 α =α2 και πρόκειται για μια κλασική μετατροπή που γίνεται στις ασκήσεις. ❖ Ιδιότητα 8 Αν α , β ≥ 0 , τότε ισχύει: α < β ⇔ ν α < ν β . Για την τετραγωνική ρίζα, ισχύει: α<β⇔ α < β . Τι λέει η ιδιότητα Αν σε μια ανισότητα μεταξύ μη αρνητικών αριθμών πάρουμε ρίζες σε κάθε μέλος, τότε η φορά της ανισότητας δεν αλλάζει. Επίσης, από μια ανισότητα μεταξύ ριζών μεταφερόμαστε στην αντίστοιχη μεταξύ των υπόρριζών τους, χωρίς να αλλάξει η φορά της ανισότητας (αν η ιδιότητα διαβαστεί «από την ανάποδη»). - 60 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί 3. Πώς κάνεις πράξεις µε ρίζες Θα αναφερθώ στις πράξεις με τετραγωνικές ρίζες διότι αυτές κυριαρχούν στις ασκή- σεις (αν εμφανιστεί ρίζα τάξης διαφορετικής του 2, στηρίξου στις ιδιότητες της θεωρί- ας που προηγήθηκαν). Α. Πρόσθεση/αφαίρεση ριζών Μπορεί να γίνει μόνο όταν τα υπόρριζα είναι ίσα! Τότε γίνεται πρόσθεση/αφαίρεση μεταξύ των συντελεστών που υπάρχουν μπροστά από τις ρίζες. Παράδειγµα 35 • 6 2 − 3 2 + 5 2 − 10 2 = −2 2 . • 3 2−5 3 +4 2− 3 = 7 2−6 3 . Β. Πολλαπλασιασµός/διαίρεση ριζών Εδώ δεν ενδιαφέρει αν τα υπορρίζα είναι ίσα ή διαφορετικά. Πολύ περισσότερο σε σχέση με την πρόσθεση/αφαίρεση, οι ιδιότητες των ριζών βοηθούν στις πράξεις που θα γίνουν (όχι ότι οι ιδιότητες δεν μπορεί να χρησιμεύσουν και σε πρόσθεση ή αφαίρεση ριζών· κάθε άλλο). Γ. Ρίζα σε παρονοµαστή κλάσµατος Πρόκειται για μια πολύ συνηθισμένη περίπτωση που συναντάται στις ασκήσεις. Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις: ❖ 1η περίπτωση - Όταν στον παρονοµαστή έχεις µία τετραγωνική ρίζα, µε ή χωρίς συντελεστή Τότε πολλαπλασίασε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την τετραγωνική ρίζα. - 61 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Παράδειγµα 36 1 = 1⋅ 2 = 2 = 2 . 2 2⋅ 2 2 2 2 Γενικώς, για κλάσμα της μορφής 1 , α > 0 , ισχύει α 1= 1⋅ α = α = α , α α⋅ α α 2 α δηλαδή 1= α . α α Παράδειγµα 37 2 = 2⋅ 5 = 2 5 = 25 = 25 . 35 3 5⋅ 5 3 3⋅5 15 2 5 Παράδειγµα 38 3= 3⋅ 3 = 33 = 33 = 3. 3 3⋅ 3 3 2 3 Γενικώς, για κλάσμα της μορφής α , α > 0 , ισχύει α α= α⋅ α = α α = αα = α, α α⋅ α α α 2 δηλαδή α = α. α ❖ 2η περίπτωση - Όταν στον παρονοµαστή έχεις µια τετραγωνική ρίζα, που προστίθεται ή αφαιρείται µε κάποιον άλλον αριθµό ή άλλη τετραγωνική ρίζα Τότε πολλαπλασίασε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την συζυγή παράσταση του παρονομαστή. Δηλαδή, αν στον παρονομαστή έχεις την παράσταση: - 62 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί • α + β , τότε η συζυγής παράσταση είναι η α − β . • α − β , τότε η συζυγής παράσταση είναι η α + β . Παράδειγµα 39 ( )1 = ( )( )2 + 1 1⋅ 2 −1 = 2 −1 = 2 −1 = 2 −1. 2 +1 2 −1 2−1 2 − 12 2 Παράδειγµα 40 ( ) ( )2 = ( )( )3 − 2 2⋅ 3+ 2 = 2 3+ 2 = 6+2 2 = 6+2 2. 3− 2 3+ 2 9−2 7 32 − 2 2 Παράδειγµα 41 ( ) ( ) ( )2 = ( )( )2 + 3 2⋅ 2− 3 2 2− 3 = 2 2− 3 = = 2 − 2 2−3 2+ 3 2− 3 2 3 ( )2 2 − 3 ( ) ( )= −1 = − 2 2 − 3 = 2 3 − 2 . Παράδειγµα 42 ( )1 = ( )( ) ( )2 2 −1 1⋅ 2 2 +1 = 2 2+1 = 2 2+1 = 2 2+ 1 . 2 2 −1 2 2 +1 4⋅2−1 7 2 2 2 − 12 Δ. Το υπόρριζο δεν είναι τέλειο τετράγωνο Πολλές φορές θα συναντήσεις στις ασκήσεις ρίζες, κάτω από τις οποίες υπάρχει αριθ- μός που δεν είναι τέλειο τετράγωνο (για παράδειγμα 8 , 12 , 32 ). Πρόκειται για ένα πολύ συνηθισμένο φαινόμενο, το οποίο αντιμετωπίζεται πολύ εύκο- λα ως εξής: - 63 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί 1ο βήμα «Σπάσε» τον αριθμό που έχεις κάτω από την ρίζα σε γινόμενο δύο αριθμών, εκ των οποίων ο ένας να είναι τέλειο τετράγωνο (αν αυτό δεν γίνεται, τότε η ρίζα δεν απλο- ποιείται με αυτόν τον τρόπο ή και καθόλου). 2ο βήμα Βγάλε έξω από την ρίζα τον αριθμό που είναι στην βάση του τετραγώνου που έγρα- ψες. Παράδειγµα 43 8 = 4 ⋅ 2 = 22 ⋅ 2 = 2 2 . Παράδειγµα 44 12 = 4 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3 = 2 3 . Παράδειγµα 45 32 = 16 ⋅ 2 = 42 ⋅ 2 = 4 2 . Παράδειγµα 46 48 = 16 ⋅ 3 = 42 ⋅ 3 = 4 3 . Παράδειγµα 47 75 = 25 ⋅ 3 = 52 ⋅ 3 = 5 3 . Γενική παρατήρηση στις πράξεις µε ρίζες Πάντα πρέπει να είναι έτοιμες προς χρήση οι ιδιότητες των ριζών! Όσα αναφέρθηκαν ήδη δεν αποτελούν μονόδρομο, αφού μπορεί κάλλιστα κάποια ιδιότητα των ριζών να αλλάξει την πορεία. Για παράδειγμα, κάποιος μπορεί να πει ότι η πρόσθεση 2 + 8 δεν είναι εφικτή, αφού τα υπόρριζα είναι διαφορετικά. Και όμως! Επειδή είναι 8 = 4 ⋅ 2 = 2 2 , έχουμε - 64 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί 2 + 8 = 2 +2 2 =3 2 . Επίσης, τόσο κατά τον πολλαπλασιασμό, όσο και κατά την διαίρεση ριζών, ακόμη και για κλάσματα με ρίζα στον παρονομαστή, κάποια ιδιότητα των ριζών μπορεί να εξοι- κονομήσει χρόνο και πράξεις! Παράδειγµα 48 Για το κλάσμα 10 , επειδή υπάρχει ρίζα στον παρονομαστή, κάποιος θα μπορούσε 5 να κάνει τα εξής (σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στο τι πρέπει να γίνει, όταν υπάρχει ρίζα στον παρονομαστή): 10 = 10 ⋅ 5 = 50 = 50 = 25 ⋅ 2 = 52 = 2. 5 5⋅ 5 5 5 5 2 5 Σωστά μεν, αλλά πολλή φασαρία για το τίποτα! Πολύ πιο οικονομικά, έχουμε: 10 = 10 = 2 ή και 10 = 5 ⋅ 2 = 2 . 5 5 55 - 65 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!