Γ Λυκείου - Ολοκληρωτικός Λογισμός - Περιεχόμενα

Ολοκληρωτικός { {Λογισμός Αναλυτικά περιεχόμενα του βιβλίου Νέα Μουδανιά • Σεπτέμβριος 2020



Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός Περιεχόµενα ~ Περιεχόµενα ~ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ Αρχική συνάρτηση (αόριστο ολοκλήρωµα) Ορισμός. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα συνάρτησης Πρόταση. Μορφή παραγουσών μιας συνάρτησης Σημαντικές παρατηρήσεις και σχόλια Πώς θα βρεις τις αρχικές (παράγουσες) μιας συνάρτησης διπλού τύπου ︎ Λυμένες ασκήσεις: 1η κατηγορία ασκήσεων ︎ Αρχική συνάρτηση 2η ΕΝΟΤΗΤΑ Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισµένο ολοκλήρωµα Τι είναι το ολοκλήρωμα; Πρόταση. Μορφή παραγουσών μιας συνάρτησης Ορισμός. Αόριστο ολοκλήρωμα συνάρτησης (εκτός ύλης!) Τι είναι το ορισμένο ολοκλήρωμα Πρόταση. Θεμελιώδες θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού β ∫Ιδιότητα 1. f′(x) dx = ⎡⎣⎢ f(x)⎥⎤⎦ β = f(β) − f(α) α α Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός Περιεχόµενα α ∫Ιδιότητα 2. f(x) dx = 0 α βα ∫ ∫Ιδιότητα 3. f(x) dx = − f(x) dx αβ β ∫Ιδιότητα 4. c dx = c ⋅ (β − α) , για οποιοδήποτε c ∈ ! α ββ ∫ ∫Ιδιότητα 5. λ ⋅ f(x) dx = λ ⋅ f(x) dx , λ ∈ ! αα β ββ ∫ ∫ ∫Ιδιότητα 6. ⎣⎡⎢λ ⋅ f(x) ± µ ⋅ g(x)⎦⎤⎥ dx = λ ⋅ f(x) dx ± µ ⋅ g(x) dx , λ , µ ∈ ! α αα Ιδιότητα. ⎢⎡⎣ λ ⋅ f(x)⎦⎥⎤ β = λ ⋅ ⎢⎣⎡ f(x)⎦⎤⎥ β , λ ∈ ! α α Ιδιότητα. ⎢⎡⎣ f(x)⎦⎤⎥ β = − ⎣⎡⎢f(x)⎤⎥⎦ α α β 1η ΟΜΑΔΑ “Απλά” ολοκληρώµατα Πώς θα καταλάβεις ότι ένα ολοκλήρωμα είναι «απλό» Πώς θα υπολογίσεις ολοκλήρωμα μόνο με ρίζα ︎ Λυμένες ασκήσεις: 2η κατηγορία ασκήσεων ︎ «Απλά» ολοκληρώματα Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός Περιεχόµενα 2η ΟΜΑΔΑ Ολοκλήρωση κατά παράγοντες β ∫Πώς θα υπολογίσεις ολοκλήρωμα της μορφής P(x) ⋅ eQ(x) dx , όπου P(x), Q(x) πολυώ- α νυμα β ∫Πώς θα υπολογίσεις ολοκλήρωμα της μορφής ℓnκx dx , κ ∈ \"* α β ∫Πώς θα υπολογίσεις ολοκλήρωμα της μορφής P(x) ⋅ ℓnκx dx , κ ∈ \"* , P(x) πολυώνυμο α ββ ∫ ∫Πώς θα υπολογίσεις ολοκλήρωμα της μορφής P(x) ⋅ ηµQ(x) dx , P(x) ⋅ συνQ(x) dx , αα με P(x), Q(x) πολυώνυμα ββ ∫ ∫Πώς θα υπολογίσεις ολοκλήρωμα της μορφής P(x) ⋅ ηµ2x dx , P(x) ⋅ συν2x dx , με αα P(x) πολυώνυμο Σύνοψη χαρακτηριστικών μορφών ολοκληρωμάτων, που υπολογίζονται με ολοκλήρωση κατά παράγοντες ︎ Λυμένες ασκήσεις: 3η κατηγορία ασκήσεων ︎ Ολοκλήρωση κατά παράγοντες (παραγοντική ολοκλήρωση) 3η ΟΜΑΔΑ Μέθοδος της αλλαγής µεταβλητής (µέθοδος της αντικατάστασης) Μερικές εξειδικευμένες αντικαταστάσεις ︎ Λυμένες ασκήσεις: 4η κατηγορία ασκήσεων ︎ Μέθοδος της αλλαγής μεταβλητής (μέθοδος της αντικατάστασης) Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός Περιεχόµενα 4η ΟΜΑΔΑ Ολοκλήρωµα σύνθετης συνάρτησης (χρήση του διαφορικού µιας συνάρτησης) Τι είναι το διαφορικό μιας συνάρτησης ︎ Λυμένες ασκήσεις: 5η κατηγορία ασκήσεων ︎ Ολοκλήρωμα σύνθετης συνάρτησης (χρήση του διαφορικού μιας συνάρτησης) 5η ΟΜΑΔΑ Ολοκλήρωµα ρητής συνάρτησης 1ος τρόπος Σαν «απλό» ολοκλήρωμα 2ος τρόπος Σαν σύνθετη συνάρτηση (ισοδύναμα, με το διαφορικό συνάρτησης) β κ λx + µ ∫Πώς θα υπολογίσεις ολοκλήρωμα της μορφής dx , κ,λ,µ ∈ !* α β P′(x) P(x) ∫Πώς θα υπολογίσεις ολοκλήρωμα της μορφής dx , όπου P(x) πολυώνυμο α 3ος τρόπος Με «σπάσιμο» του κλάσματος σε άθροισμα/διαφορά απλούστερων κλασμάτων Περίπτωση (α) Ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή Περιπτώσεις (β) και (γ) Ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος ή μεγαλύτερος του βαθμού του παρονομαστή ︎ Λυμένες ασκήσεις: 6η κατηγορία ασκήσεων ︎ Ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός Περιεχόµενα 3η ΕΝΟΤΗΤΑ “Θεωρητικά” θέµατα στο ορισµένο ολοκλήρωµα Παράγραφος 1 Ορισµός του ορισµένου ολοκληρώµατος και βασικές ιδιότητές του Ορισμός. Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Σχόλια Ιδιότητες Σημαντικά σχόλια Παράγραφος 2 Επιπλέον ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµατος και ανάλυσή τους Βασικά θεωρήµατα Ιδιότητες β γβ ∫ ∫ ∫Πρόταση f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx α αγ Πρόταση. Θεμελιώδες θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Πρόταση. Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες Πρόταση. Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής β ββ ∫ ∫ ∫Ι. Ανάλυση της ιδιότητας ⎢⎣⎡f(x) + g(x)⎤⎦⎥ dx = f(x) dx + g(x) dx α αα β γβ ∫ ∫ ∫ΙΙ. Ανάλυση της ιδιότητας f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx α αγ Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός Περιεχόµενα β ββ ∫ ∫ ∫ΙΙΙ. Σύγκριση των ιδιοτήτων ⎣⎡⎢f(x) + g(x)⎦⎤⎥ dx = f(x) dx + g(x) dx α αα β γβ ∫ ∫ ∫και f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx α αγ Παράγραφος 3 Μέθοδοι ολοκλήρωσης και υπολογισµοί ολοκληρωµάτων στις “θεωρητικές” ασκήσεις: σηµαντικές παρατηρήσεις και κατευθύνσεις Α. Μέθοδος της αντικατάστασης και σύνθετες μορφές μιας συνάρτησης. Χαρακτηριστικές αντικαταστάσεις Β. Ολοκλήρωμα άρτιας συνάρτησης Γ. Ολοκλήρωμα περιττής συνάρτησης Δ. Ολοκλήρωμα περιοδικής συνάρτησης Ε. Ολοκλήρωμα συνάρτησης διπλού τύπου Ολοκλήρωμα που περιέχει απόλυτη τιμή ΣΤ. Αναγωγικοί τύποι Ζ. Ολοκλήρωμα της αντίστροφης συνάρτησης Παράγραφος 4 Ολοκληρώµατα και ανισότητες Ιδιότητα Σημαντικά σχόλια Α. Πώς θα αποδείξεις μονή ανισοϊσότητα με ένα ολοκλήρωμα Β. Πώς θα αποδείξεις μονή ανισοϊσότητα με δύο ολοκληρώματα Γ. Πώς θα αποδείξεις διπλή ανισοϊσότητα με ολοκλήρωμα στην μέση Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός Περιεχόµενα Δ. Πώς θα αποδείξεις γνήσια ανισότητα, μονή ή διπλή, με ολοκλήρωμα Πρόταση Σημαντικά σχόλια ︎ Λυμένες ασκήσεις: 7η κατηγορία ασκήσεων ︎ «Θεωρητικά» θέματα στο ορισμένο ολοκλήρωμα 4η ΕΝΟΤΗΤΑ Εµβαδόν επίπεδου χωρίου Παράγραφος 1 Στο σχηµατιζόµενο χωρίο συµµετέχει µόνο µία συνάρτηση Ορισμός. Εμβαδόν επίπεδου χωρίου β ∫Πρόταση. Αν f(x) ≥ 0 , για κάθε x ∈ ⎡⎣⎢α , β⎥⎤⎦ , τότε f(x) dx ≥ 0 α β ∫Ιδιότητα. c dx = c ⋅ (β − α) , c ∈ ! α ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Α Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f και τον άξονα x΄x Γενικές και σημαντικές παρατηρήσεις Πώς θα καταλάβεις ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται του x΄x Αν η συνάρτηση είναι διπλού τύπου ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Β Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός Περιεχόµενα Σημαντικές παρατηρήσεις α) Αν η συνάρτηση είναι διπλού τύπου β) Αν μία από τις δύο κατακόρυφες ευθείες δεν είναι σταθερή αλλά μεταβλητή ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Γ Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και την ευθεία x = α ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Δ Εμβαδόν χωρίου και αντίστροφη συνάρτηση Τελευταία σχόλια ︎ Λυμένες ασκήσεις: 8η κατηγορία ασκήσεων ︎ Εμβαδόν επίπεδου χωρίου, το οποίο σχηματίζεται από μία συνάρτηση και τον άξονα x΄x (και μία ή δύο κατακόρυφες ευθείες) Παράγραφος 2 Στο σχηµατιζόµενο χωρίο συµµετέχουν δύο συναρτήσεις ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Α Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f και g Γενικές και σημαντικές παρατηρήσεις Πώς θα καταλάβεις ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται με την γραφική παράσταση της g ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Β Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f και g και τις ευθείες x = α και x = β Σημαντική παρατήρηση Αν μία από τις δύο κατακόρυφες ευθείες δεν είναι σταθερή αλλά μεταβλητή Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Γ΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Ολοκληρωτικός Λογισμός Περιεχόµενα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Γ Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f και g και την ευθεία x = α ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Δ Εμβαδόν χωρίου μεταξύ της f και της αντίστροφης συνάρτησης Παρατηρήσεις για τα κοινά σημεία της f και της αντίστροφής της Πρόταση Αν η f είναι γνησίως μονότονη στο Df , τότε και η f−1 είναι γνησίως μονότονη στο f(Df ) , με το ίδιο είδος μονοτονίας Τελευταία σχόλια ︎ Λυμένες ασκήσεις: 9η κατηγορία ασκήσεων ︎ Εμβαδόν επίπεδου χωρίου, το οποίο σχηματίζεται από δύο συναρτήσεις (και μία ή δύο κατακόρυφες ευθείες) Σημαντική υπενθύμιση Πώς θα κάνεις την γραφική παράσταση ενός τριωνύμου f(x) = αx2 + βx + γ , α ≠ 0 , β , γ ∈ ! 5η ΕΝΟΤΗΤΑ Ασκήσεις εφ’ όλης της ύλης Ασκήσεις εφ’ όλης της ύλης Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΟΥ ΜΟΡΦΗ ΠΑΡΕΧΕΤΑΙ ΓΙΑ ΔΩΡΕΑΝ ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΤΕΚΙ” - www.mathsteki.gr