Άλγεβρα Β Λυκείου - Κεφάλαιο 5 - Παράγραφος 5.2 (θεωρία)

Β΄ Λυκείου - Άλγεβρα Εκθετική και λογαριθµική συνάρτηση Παράγραφος 2 Λογάριθµοι ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Δεκέµβριος 2021

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2 Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ Λογάριθµοι Ορισµός και ιδιότητες του λογάριθµου Ο λογάριθμος σαν έννοια είναι κάπως περίεργος, αλλά η εξοικείωση μαζί του μέσω των ασκήσεων τον καθιστά λιγότερο περίεργο (θυμήσου ότι το ίδιο συνέβη και με την έννοια και τον συμβολισμό της νιοστής ρίζας, με την τετραγωνική ρίζα να είχε «σύρει τον χορό» στην Β΄ Γυμνασίου). Πέραν αυτού όμως, είναι μια σημαντική έννοια της Άλγεβρας, με ευρύ πεδίο εφαρμογών στα Μαθηματικά (και γενικότερα στις Θετικές Επιστήμες). Βάσει οδηγίας του Υπουργείου, διδάσκονται μόνο οι λογάριθμοι που έχουν ως βάση το 10 ή το e και σε αυτούς θα δοθεί η μεγαλύτερη βαρύτητα (ιδίως στον λογάριθμο με βάση το e, που πρακτικά μονοπωλεί τα θέματα της Γ΄ Λυκείου, όποτε εμφανίζεται λο- γάριθμος σε αυτά). Ασφαλώς, εδώ και στις λυμένες ασκήσεις, θα αναφερθούν όλες οι περιπτώσεις. Ορισµός του λογάριθµου Λογάριθμο του θ ως προς βάση α ονομάζουμε την μοναδική λύση της εξίσωσης αx = θ , όπου α > 0 , α ≠ 1 , θ > 0 , και την συμβολίζουμε με ℓogαθ . Έτσι, αν α > 0 , α ≠ 1 , θ > 0 , τότε: αx = θ ⇔ x = ℓogαθ . Ισοδύναμα αυτό διατυπώνεται ως εξής: ο ℓogαθ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α, για να βρούμε θ. Σημαντικό σχόλιο Από τον ορισμό προκύπτει ότι, όταν έχεις λογάριθμο, τότε ο περιορισμός που πρέπει να θέσεις είναι το περιεχόμενό του να είναι θετικό. Έτσι συμπληρώνεται η «αγία τριάδα» των περιορισμών: - 131 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ α) ένας παρονομαστής πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός. β) ένα υπόρριζο πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. γ) το περιεχόμενο ενός λογάριθμου πρέπει να είναι θετικό. Άµεσες συνέπειες του ορισµού του λογάριθµου Αν α > 0 , α ≠ 1 , θ > 0 , x ∈ ! , τότε ισχύουν: 1. ℓogααx = x . Δηλαδή, όταν μέσα στον λογάριθμο υπάρχει δύναμη της οποίας η βάση είναι ίδια με την βάση του λογάριθμου, στο τέλος μένει μόνο ο εκθέτης της δύναμης. Διαβάζοντας «ανάποδα» την ιδιότητα (δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά), έχουμε και το εξής: οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μπορεί να γραφεί σαν λογάριθμος, μέσα στον οποίο υπάρχει δύναμη με βάση ίδια με την βάση του λογάριθμου και εκθέτη τον πραγ- ματικό αυτόν αριθμό. 2. αℓogαθ = θ . Δηλαδή, όταν μια δύναμη έχει στον εκθέτη της λογάριθμο, η βάση του οποίου είναι ίδια με την βάση της δύναμης, στο τέλος μένει ο αριθμός που είναι μέσα στον λογά- ριθμο. Διαβάζοντας «ανάποδα» την ιδιότητα (δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά), έχουμε και το εξής: οποιοσδήποτε θετικός αριθμός μπορεί να γραφεί σαν δύναμη, στον εκθέτη της οποίας υπάρχει λογάριθμος με βάση ίδια με την βάση της δύναμης, ενώ μέσα στον λογάριθμο είναι ο θετικός αυτός αριθμός. - 132 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ 3. ℓogα1 = 0 . Δηλαδή, όταν μέσα στον λογάριθμο υπάρχει το 1, τότε το αποτέλεσμα είναι ίσο με μη- δέν, όποια και αν είναι η βάση του λογάριθμου. Διαβάζοντας «ανάποδα» την ιδιότητα (δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά), έχουμε και το εξής: το μηδέν μπορεί να γραφεί σαν λογάριθμος με όποια βάση θέλουμε (θετική και διά- φορη του 1 πάντα) και μέσα στον λογάριθμο να είναι το 1. 4. ℓogαα = 1 . Δηλαδή, όταν ο αριθμός που είναι μέσα στον λογάριθμο είναι ίδιος με την βάση του λογάριθμου, το αποτέλεσμα είναι ίσο με 1. Διαβάζοντας «ανάποδα» την ιδιότητα (δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά), έχουμε και το εξής: το 1 μπορεί να γραφεί σαν λογάριθμος οποιουδήποτε θετικού αριθμού, διάφορου του 1, ο οποίος θα είναι και στην βάση του λογάριθμου. - 133 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ Ιδιότητες των λογάριθµων Αν α > 0 , α ≠ 1 , τότε για οποιαδήποτε θ1 , θ2 , θ > 0 και κ ∈ ! ισχύουν: ( )1. ℓogα θ1θ2 = ℓogαθ1 + ℓogαθ2 . Δηλαδή, όταν μέσα στον λογάριθμο υπάρχει γινόμενο δύο παραγόντων, τότε ο λογά- ριθμος «σπάει» στο άθροισμα των λογάριθμων κάθε παράγοντα του γινομένου. Διαβάζοντας «ανάποδα» την ιδιότητα (δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά), έχουμε και το εξής: το άθροισμα δύο λογάριθμων «ενώνεται» σε έναν λογάριθμο, μέσα στον οποίο υπάρχει το γινόμενο των αριθμών/παραστάσεων που ήταν μέσα σε κάθε λογάριθμο χωριστά. Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για γινόμενο περισσότερων παραγόντων εντός του λογά- ριθμου, δηλαδή ( )ℓogα θ1 ⋅ θ2 ⋅ ... ⋅ θν = ℓogαθ1 + ℓogαθ2 + ... + ℓogαθν . 2. ℓogα θ1 = ℓogαθ1 − ℓogαθ2 . θ2 Δηλαδή, όταν μέσα στον λογάριθμο υπάρχει πηλίκο, τότε ο λογάριθμος «σπάει» στην διαφορά του λογάριθμου του παρονομαστή από τον λογάριθμο του αριθμητή. Διαβάζοντας «ανάποδα» την ιδιότητα (δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά), έχουμε και το εξής: η διαφορά δύο λογάριθμων μπορεί να «ενωθεί» σε έναν λογάριθμο, μέσα στον οποίο θα υπάρχει το πηλίκο του αριθμού που είναι μέσα στον πρώτο λογάριθμο της διαφο- ράς προς τον αριθμό που είναι μέσα στον δεύτερο λογάριθμο. - 134 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ 3. ℓogαθκ = κ ⋅ ℓogαθ . Δηλαδή, όταν μέσα στον λογάριθμο υπάρχει δύναμη, η βάση της οποίας όμως δεν εί- ναι ίδια με την βάση του λογάριθμου, τότε ο εκθέτης της δύναμης πολλαπλασιάζει τον λογάριθμο. Διαβάζοντας «ανάποδα» την ιδιότητα (δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά), έχουμε και το εξής: όταν ο λογάριθμος πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, τότε ο αριθμός αυτός γίνεται εκθέτης του αριθμού που είναι μέσα στον λογάριθμο. ΠΡΟΣΟΧΗ ! ( )Είναι ℓogανθ = ℓogαθ ν και εδώ δεν ισχύει η ιδιότητα 3! Το σημειώνω διότι πρόκειται για ένα λάθος που γίνεται αρκετές φορές στις ασκήσεις, όταν εμφανίζεται δύναμη σε λογάριθμο. Σε τέτοια περίπτωση, πρέπει να προσέξεις πού είναι ο εκθέτης: στο γράμμα «g» ή στον αριθμό/παράσταση που είναι μέσα στον λογάριθμο; Όπως φαίνεται παραπάνω, όταν ο εκθέτης είναι στο «g», τότε δεν ισχύει η ιδιότητα 3. 4. ℓogα ν θ = 1 ⋅ ℓogαθ , όπου ν ∈ ! , ν ≥ 2 . ν Δηλαδή, όταν μέσα στην ρίζα υπάρχει ν-οστή ρίζα και το υπόρριζο έχει εκθέτη 1, τότε η τάξη της ρίζας αντιστρέφεται και πολλαπλασιάζει τον λογάριθμο. Διαβάζοντας «ανάποδα» την ιδιότητα (δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά), έχουμε και το εξής: όταν ο λογάριθμος πολλαπλασιάζεται με κλάσμα το οποίο έχει αριθμητή το 1 και πα- ρονομαστή φυσικό αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 2, τότε ο αριθμός που είναι μέσα στον λογάριθμο γίνεται το υπόρριζο μιας ρίζας, της οποίας η τάξη είναι ο φυσικός αριθμός του παρονομαστή του συντελεστή του λογάριθμου. - 135 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ Η ιδιότητα αυτή ισχύει και όταν το υπόρριζο έχει εκθέτη ακέραιο αριθμό, δηλαδή ℓogα ν θµ = µ ⋅ ℓogαθ , ν όπου ν ∈ ! , ν ≥ 2 , µ ∈ \" . Δεκαδικοί λογάριθµοι Όταν η βάση του λογάριθμου είναι το 10, τότε ο λογάριθμος λέγεται δεκαδικός λογάριθμος και συμβολίζεται απλά με ℓogθ , θ > 0 και όχι με ℓog10θ , θ > 0 . Ο ορισμός του λογάριθμου, οι άμεσες συνέπειές του και οι ιδιότητες των λογάριθ- μων, στην περίπτωση του δεκαδικού λογάριθμου προσαρμόζονται ως εξής: 1. Ορισμός ( )6. ℓog θ1θ2 = ℓogθ1 + ℓogθ2 , θ1 , θ2 > 0 . 10x = θ ⇔ x = ℓogθ , θ > 0 . 7. ℓog θ1 = ℓogθ1 − ℓogθ2 , θ1 , θ2 > 0 . 2. ℓog10x = x . θ2 3. 10ℓog x = x , όπου x > 0 . 8. ℓogθκ = κ ⋅ ℓogθ , θ > 0 , κ ∈ ! . 4. ℓog1 = 0 . 9. ℓog ν θ = 1 ⋅ ℓogθ , θ > 0 , ν ∈ ! , ν ≥2. ν 5. ℓog10 = 1 . 10. ℓog ν θµ = µ ⋅ ℓogθ , θ>0 , µ∈!, ν ν∈! , ν≥2. ΠΡΟΣΟΧΗ στην ιδιότητα 8 ! ( )Είναι ℓogνθ = ℓogθ ν και δεν ισχύει η ιδιότητα 8. Οι ιδιότητες του δεκαδικού λογάριθμου είναι πολύ σημαντικές και πρέπει να τις ξέρεις όλες άριστα! - 136 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ Νεπέριοι λογάριθµοι (ή φυσικοί λογάριθµοι) Όταν η βάση του λογάριθμου είναι το e, τότε ο λογάριθμος λέγεται νεπέριος (ή φυ- σικός) λογάριθμος και συμβολίζεται απλά με ℓnθ , θ > 0 και όχι με ℓogeθ , θ > 0 . Ο ορισμός του λογάριθμου, οι άμεσες συνέπειές του και οι ιδιότητες των λογάριθ- μων, στην περίπτωση του νεπέριου λογάριθμου προσαρμόζονται ως εξής: 1. Ορισμός ( )6. ℓn θ1θ2 = ℓnθ1 + ℓnθ2 , θ1 , θ2 > 0 . ex = θ ⇔ x = ℓnθ , θ > 0 . 7. ℓn θ1 = ℓnθ1 − ℓnθ2 , θ1 , θ2 > 0 . 2. ℓnex = x . θ2 3. eℓnx = x , όπου x > 0 . 8. ℓnθκ = κ ⋅ ℓnθ , θ > 0 , κ ∈ ! . 4. ℓn1 = 0 . 9. ℓn ν θ = 1 ⋅ ℓnθ , θ > 0 , ν ∈ ! , ν ≥2. ν 5. ℓne = 1 . 10. ℓn ν θµ = µ ⋅ ℓnθ , θ>0 , µ∈! ν ν∈! , ν≥2. ΠΡΟΣΟΧΗ στην ιδιότητα 8! ( )Είναι ℓnνθ = ℓnθ ν και δεν ισχύει η ιδιότητα 8. Σημαντικό σχόλιο Στα θέματα της Γ΄ Λυκείου ο νεπέριος λογάριθμος συναντάται σχεδόν κατ' αποκλει- στικότητα, γι' αυτό τις παραπάνω ιδιότητες και τα θέματα περί λογαριθμικών εξισώ- σεων και ανισώσεων με νεπέριο λογάριθμο που θα δεις στην παράγραφο 3, πρέπει να τα ξέρεις άριστα! Επίσης, οι ιδιότητες των λογάριθμων συνολικά έχουν τεράστια σημασία στις ασκήσεις που απαιτείται η χρήση λογάριθμων. Τα χαρακτηριστικότερα θέματα είναι η απλοποί- ηση αλγεβρικών ή και αριθμητικών παραστάσεων, οι λογαριθμικές εξισώσεις και ανι- σώσεις. - 137 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ Τύπος αλλαγής βάσης των λογάριθµων Αν α , β > 0 , με α , β ≠ 1, τότε, για κάθε θ > 0 , ισχύει ℓogβθ = ℓogαθ . ℓogαβ • Μετατροπή σε δεκαδικό λογάριθμο: ℓogβθ = ℓogθ . ℓogβ • Μετατροπή σε νεπέριο λογάριθμο: ℓogβθ = ℓnθ . ℓnβ Όπως λέει το ίδιο το όνομα του τύπου, μας εξυπηρετεί στον υπολογισμό ενός λογά- ριθμου μετατρέποντάς τον σε πηλίκο «ευκολότερων» λογάριθμων (που είναι οι δεκα- δικοί και ­κυρίως­ οι νεπέριοι, με τους οποίους συνήθως δουλεύουμε στις ασκήσεις). Είναι αλήθεια όμως, ότι ο τύπος αυτός δεν πολυχρησιμοποιείται στις ασκήσεις. Πώς χρησιµεύουν - αξιοποιούνται οι ιδιότητες των λογάριθµων στις ασκήσεις Οι χαρακτηριστικότερες ασκήσεις είναι αυτές στις οποίες ζητείται να βρεθεί η τιμή μιας παράστασης που περιέχει λογάριθμους ή να απλοποιηθεί μια τέτοια παράσταση ή να βρεθεί η τιμή ενός λογάριθμου (κάπως σύνθετου βέβαια). Ακόμη, οι ιδιότητες των λογάριθμων χρησιμοποιούνται κατά κόρον στις λογαριθμικές εξισώσεις και λογαριθμικές ανισώσεις (θα δεις πώς, στην παράγραφο 3). Οι ιδιότητες των λογάριθμων χρησιμοποιούνται και «από την καλή» και «από την ανάποδη». Για παράδειγµα, κάπου θα συναντήσεις τον ℓogx3 και θα γράψεις 3ℓogx (χρήση της ιδιότητας ℓogxν = ν ⋅ ℓogx «από την καλή»), αλλού όμως θα συναντήσεις 3ℓogx και θα γράψεις ℓogx3 (χρήση της ίδιας ιδιότητας, «από την ανάποδη»). Το αν θα χρησιμοποιήσεις μια ιδιότητα «από την καλή» ή «από την ανάποδη» είναι ξεκάθαρα θέμα των αναγκών της άσκησης (ισχύει δηλαδή ό,τι και για τις ιδιότητες - 138 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ των δυνάμεων ή των ριζών, όπως είδες κατά κόρον να χρησιμοποιούνται «από την καλή και από την ανάποδη» στις εκθετικές εξισώσεις και αλλού). Τα ακόλουθα παραδείγματα αντλήθηκαν από το βιβλίο του Βασίλη Παπαδάκη, «Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Β΄ τεύχος», εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012. Παράδειγµα 30 Να υπολογίσετε τους επόμενους λογάριθμους: α) ℓog3 1 . β) ℓog 1 5 . γ) ℓog927 . δ) ℓog 10 . ε) ℓn e . ( )στ) ℓog ℓog1010 . 9 100 5 Λύση Σχόλιο Στα (α), (β) και (γ) επίτηδες επέλεξα να βάλω και λογάριθμους «εκτός ύλης», ώστε να δεις πώς δουλεύουν οι γενικές ιδιότητες των λογάριθμων και για αυτούς. α) Είναι ℓog3 1 = ℓog3 1 = ℓog 3 3−2 = −2 . 9 32 Χρησιμοποίησα την ιδιότητα ℓogααx = x . β) Είναι ℓog 1 5 = 1 = ℓog ⎜⎛⎜⎝⎜ 1 ⎟⎟⎟⎞⎠⎟− 1 = − 1 . 5 2 2 5 ℓog 1 52 1 5 5 Χρησιμοποίησα την ιδιότητα ℓogααx = x . Β΄τρόπος - προτεινόμενος Έστω ότι ℓog 1 5=x. 5 ⎜⎜⎛⎝⎜ ⎟⎞⎠⎟⎟⎟x Τότε είναι 1 = 5 ⇔ 5−x = 1 ⇔ −x = 1 ⇔ x = − 1 , 5 2 2 52 δηλαδή ℓog 1 5 = − 1 . 2 5 - 139 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ Στηρίχθηκα στην ισοδυναμία του ορισμού: αx = θ ⇔ x = ℓogαθ . γ) Είναι ( ) ( )ℓog927 = ℓog933 = ℓog9 3 ⋅ 32 = ℓog9 = ⎛⎜⎜⎜⎜⎝9 1 ⋅ 91⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎠ = 1 +1 = 3 = 3 9 ⋅9 ℓog9 2 2 . ℓog 9 92 ℓog 9 9 2 Β΄τρόπος - προτεινόμενος Έστω ότι ℓog927 = x . Τότε είναι ( )9x = 27 ⇔32x = 33 ⇔ 32x = 33 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3 , 2 δηλαδή ℓog927 = 3 . 2 Στηρίχθηκα στην ισοδυναμία του ορισμού: αx = θ ⇔ x = ℓogαθ . δ) Είναι ℓog 10 = ℓog 10 − ℓog100 = 1 ℓog10 − ℓog102 = 1 ⋅ 1 − 2 = 1 −2 = − 3 . 100 2 2 2 2 ε) Είναι ℓn e = 1 ℓne = 1 ⋅1 = 1 . 2 2 2 στ) Είναι ( )ℓog ℓog1010 = ℓog(10 ⋅ ℓog10) = ℓog(10 ⋅1) = ℓog10 = 1 . - 140 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 31 Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α) ℓog4 + ℓog25 . β) ℓog40 − ℓog4 . γ) ℓog2 − ℓog200 . δ) 3ℓog2 + ℓog125 . ε) ℓog5 + 5ℓog2 − 2ℓog4 . στ) ℓog2 + ℓog12 − ℓog3 . ℓog14 − ℓog7 Λύση α) Είναι ( )ℓog4 + ℓog25 = ℓog 4 ⋅ 25 = ℓog100 = ℓog102 = 2 . β) Είναι ℓog40 − ℓog4 = ℓog 40 = ℓog10 = 1 . 4 γ) Είναι ℓog2 − ℓog200 = ℓog 2 = ℓog 1 = ℓog 1 = ℓog10−2 = −2 . 200 100 102 δ) Είναι ( )3ℓog2 + ℓog125 = ℓog23 + ℓog125 = ℓog8 + ℓog125 = ℓog 8 ⋅125 = ℓog1000 = ℓog103 = 3 . Β΄τρόπος Είναι 3ℓog2 + ℓog125 = 3ℓog2 + ℓog53 = 3ℓog2 + 3ℓog5 = 3(ℓog2 + ℓog5) = 3ℓog(2 ⋅ 5) = = 3ℓog10 = 3 ⋅1 = 3 . Αν είναι εφικτό, να προτιμάς να δουλεύεις με μικρούς αριθμούς. Ο πρώτος τρόπος, αν και σωστός φυσικά, δεν ενδείκνυται εδώ, λόγω ότι μεγαλώνουν πολύ οι αριθμοί. ε) Είναι ℓog5 + 5ℓog2 − 2ℓog4 = ℓog5 + 5ℓog2 − 2ℓog22 = ℓog5 + 5ℓog2 − 4ℓog2 = ℓog5 + ℓog2 = = ℓog(5 ⋅ 2) = ℓog10 = 1 . - 141 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ στ) Αριθμητής ( )ℓog2 + ℓog12 − ℓog3 = 24 ℓog23 ℓog 2 ⋅12 − ℓog3 = ℓog24 − ℓog3 = ℓog 3 = ℓog8 = = = 3ℓog2 . Παρονομαστής ℓog14 − ℓog7 = ℓog 14 = ℓog2 . Άρα το κλάσμα ισούται με 7 3 ℓog2 = 3 . ℓog2 Παράδειγµα 32 Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: ( ) ( )α) 2ℓn 2 + 3 + ℓn 7 − 4 3 . β) ℓn 3 9 + ℓn3 4 − ℓn3 25 . γ) 2ℓog40 − ℓog20 − 1 . ℓn6 − ℓn5 2 − ℓog50 Λύση α) Ονομάζω Α την παράσταση. Είναι 2 ( ) ( ) ( ) ( )2ℓn 2 + 3 = ℓn 2 + 3 = ℓn 4 + 3 + 4 3 = ℓn 7 + 4 3 , οπότε ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )Α = ℓn 7 + 4 3 + ℓn 7 − 4 3 = ℓn ⎡⎣⎢ 7 + 4 3 7 − 4 3 ⎦⎥⎤ = ℓn ⎢⎢⎣⎡72 − 4 3 2⎤⎥⎦⎥ = ℓn 49 − 48 = = ℓn1 = 0 ⇒ Α = 0 . β) Ονομάζω Β την παράσταση. Αριθμητής ( )ℓn3 9 + ℓn3 4 − ℓn3 25 = 1 1 1 1 3 ℓn9 + 3 ℓn4 − 3 ℓn25 = 3 ℓn9 + ℓn4 − ℓn25 = = 1 ⋅ ⎡⎢⎣ℓn(9 ⋅ 4) − ℓn25⎤⎥⎦ = 1 ⋅(ℓn36 − ℓn25) = 1 ⋅ ℓn 36 = 1 ⋅ ℓn ⎝⎜⎜⎜⎛ 6 ⎟⎠⎟⎟⎞⎟2 = 2 ⋅ ℓn 6 . 3 3 3 25 3 5 3 5 - 142 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 • Εκ θ ετι κ ή κ α ι λογα ρ ι θ μ ι κ ή συνά ρτηση Παράγραφος 2 • Λογάριθµοι • ΘΕΩΡΙΑ Παρονομαστής ℓn6 − ℓn5 = ℓn 6 . 5 Άρα είναι 2 ⋅ ℓn 6 2 3 5 3 Β= ⇒ Β= . 6 ℓn 5 γ) Ονομάζω Γ την παράσταση. Αριθμητής ( )2ℓog40 − ℓog20 − 1 = ℓog402 − ℓog20 − ℓog10 = ℓog1600 − ℓog20 + ℓog10 = ( )= ℓog1600 − ℓog 1600 ℓog23 20 ⋅10 = ℓog1600 − ℓog200 = ℓog 200 = ℓog8 = = 3ℓog2 . Παρονομαστής 2 − ℓog50 = ℓog102 − ℓog50 = ℓog100 − ℓog50 = ℓog 100 = ℓog2 . 50 Άρα είναι Γ = 3 ℓog2 ⇒ Γ = 3 . ℓog2 - 143 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!