ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.3 - Παράγραφος 3.2 (θεωρία)

Β΄ Λυκείου - Άλγεβρα Τριγωνοµετρία Παράγραφος 2 Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Σεπτέµβριος 2021

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2 Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΘΕΩΡΙΑ Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες ~ Περιεχόμενα παραγράφου 2 ~ Τύποι της θεωρίας (τριγωνομετρικές ταυτότητες) ...............................................................................................11 Πώς χρησιμοποιούνται οι τριγωνομετρικές ταυτότητες στις ασκήσεις ..................................................12 1ο ΕΙ∆ΟΣ Αποδεικτικές ασκήσεις ............................................................................................................................12 2ο ΕΙ∆ΟΣ Ταυτότητες υπό συνθήκη .....................................................................................................................19 - 10 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΘΕΩΡΙΑ Τους τύπους που θα δεις στην συνέχεια, να τους μάθεις απ’ έξω κι ανακατωτά! Είναι πάρα πολύ σημαντικοί και χρησιμοποιούνται διαρκώς στις ασκήσεις. Τύπος 1 Ισχύει ηµ2x + συν2x = 1 , για οποιαδήποτε γωνία x. Από τον τύπο 1 προκύπτουν και οι ακόλουθοι, οι οποίοι χρησιμοποιούνται πάρα πολλές φορές στις ασκήσεις: Α) ηµ2x = 1 − συν2x ⇔ 1 − συν2x = ηµ2x . Β) συν2x = 1 − ηµ2x ⇔ 1 − ηµ2x = συν2x . Τύπος 2 Ισχύει εϕx = ηµx . συνx Τύπος 3 Ισχύει σϕx = συνx . ηµx Τύπος 4 Ισχύει εϕx ⋅ σϕx = 1 . Από τον τύπο 4 προκύπτουν και οι ακόλουθοι, οι οποίοι χρησιμοποιούνται συχνά στις ασκήσεις: Α) εϕx = 1 ⇔ 1 = εϕx . σϕx σϕx Β) σϕx = 1 ⇔ 1 = σϕx . εϕx εϕx Τύπος 5 Ισχύει συν2x = 1 . 1 + εϕ2x - 11 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΘΕΩΡΙΑ Τύπος 6 Ισχύει ηµ2x = εϕ2x . 1 + εϕ2x Πώς χρησιµοποιούνται οι τριγωνοµετρικές ταυτότητες στις ασκήσεις Παρακάτω θα δεις δύο χαρακτηριστικά είδη ασκήσεων, στα οποία η χρήση των τύπων που αναφέρθηκαν λίγο νωρίτερα κυριαρχεί. Φυσικά, οι τύποι αυτοί χρησιμεύουν σε όλες τις ασκήσεις της Τριγωνομετρίας και όχι μόνο στις περιπτώσεις που θα δεις στην συνέχεια. 1ο είδος Αποδεικτικές ασκήσεις Έχουν την εκφώνηση «Να δείξετε ότι ισχύει Α = Β» (Α και Β είναι τριγωνομετρικές παραστάσεις) και αντιμετωπίζονται με τους εξής τρόπους: Πρώτος τρόπος (προτεινόµενος -συνήθως η εφαρµογή του οδηγεί στην λύση) Ξεκίνα από το Α, κάνε πράξεις και προσπάθησε να καταλήξεις στο Β. Επίσης, μπορείς να ξεκινήσεις από το Β και να καταλήξεις στο Α (από πού θα ξεκινή- σεις εξαρτάται από το ποιο μέλος έχει περισσότερες κινήσεις­πράξεις να κάνεις). «Κάνε πράξεις» σημαίνει κάνε κάποιες από τις επόμενες κινήσεις (όχι απαραιτήτως όλες): • κάνε επιμεριστικούς πολλαπλασιασμούς. - 12 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΘΕΩΡΙΑ • κάνε αναγωγή ομοίων όρων (το «συμμάζεμα», μετά την εκτέλεση πράξεων). • κάνε ομώνυμα κλάσματα (φυσικά, αν υπάρχουν κλάσματα). • κάνε παραγοντοποίηση. • χρησιμοποίησε κάποια από τις βασικές ταυτότητες της Άλγεβρας: Τ1. (α + β)2 = α2 + β2 + 2αβ ⇔ α2 + β2 + 2αβ = (α + β)2 . Τ2. (α − β)2 = α2 + β2 − 2αβ ⇔ α2 + β2 − 2αβ = (α − β)2 . Τ3. (α + β)(α − β) = α2 − β2 ⇔ α2 − β2 = (α + β)(α − β) . Τ4. (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 ⇔ α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 = (α + β)3 . Τ5. (α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3 ⇔ α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3 = (α − β)3 . Τ6. α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2) ⇔ (α + β)(α2 − αβ + β2) = α3 + β3 . Τ7. α3 − β3 = (α − β)(α2 + αβ + β2) ⇔ (α − β)(α2 + αβ + β2) = α3 − β3 . Τ8. (α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2βγ + 2γα . • χρησιμοποίησε κάποιον­κάποιους από τους τύπους της Τριγωνομετρίας; Παράδειγµα 5 Να δείξετε ότι ισχύει ηµα + ηµα = 2 . 1 + συνα 1 − συνα ηµα Λύση Είναι ηµα + ηµα = ηµα ⋅ (1 − συνα) + ηµα ⋅ (1 + συνα) = 1 + συνα 1 − συνα (1 + συνα)(1 − συνα) = ηµα ⋅ (1 − συνα + 1 + συνα ) = 2 ηµα = 2 . 12 − συν2α ηµ 2α ηµα - 13 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 6 Να δείξετε ότι ισχύει ηµ2α ⋅ συν2β − ηµ2β ⋅ συν2α = ηµ2α − ηµ2β . Λύση Είναι ηµ2α ⋅ συν2β − ηµ2β ⋅ συν2α = ηµ2α ⋅ (1 − ηµ2β) − ηµ2β ⋅ (1 − ηµ2α) = = ηµ2α − ηµ2α ⋅ ηµ2β − ηµ2β + ηµ2β ⋅ ηµ2α = ηµ2α − ηµ2β . Παράδειγµα 7 Να δείξετε ότι ισχύει 1 − εϕx = σϕx − 1 . 1 + εϕx σϕx + 1 Λύση Είναι 1 − εϕx 1− 1 σϕx − 1 σϕx − 1 1 + εϕx σϕx σϕx σϕx + 1 = = = . 1 σϕx + 1 1+ σϕx σϕx Παράδειγµα 8 Να δείξετε ότι ισχύει συνθ − ηµθ = συνθ − ηµθ . 1 + εϕθ 1 + σϕθ Λύση Είναι συνθ − ηµθ = συνθ − ηµθ = συνθ − ηµθ = 1 + εϕθ 1 + σϕθ συνθ + ηµθ ηµθ + συνθ 1+ ηµθ 1+ συνθ συνθ ηµθ συνθ ηµθ = συν2θ − ηµ2θ = συν2θ − ηµ2θ = (συνθ − ηµθ) (συνθ + ηµθ) = συνθ − ηµθ . ηµθ + συνθ ηµθ + συνθ ηµθ + συνθ ηµθ + συνθ - 14 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 9 συνx − ηµx = 1 . Να δείξετε ότι ισχύει 2 2 2 ηµx συνx 2 2 Λύση Είναι συνx − ηµx = συνx ⋅ συνx − ηµx ⋅ −ηµx = συν2x + ηµ2x = συν2x + ηµ2x = 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ηµx συνx 2 2 Δεύτερος τρόπος (προκύπτει µόνος του, αν ο πρώτος δεν δώσει αποτέλεσµα) Ξεκίνα από το Α, με σκοπό να καταλήξεις στο Β (ή από το Β, με σκοπό να καταλήξεις στο Α που είναι, όπως είπα νωρίτερα, ισοδύναμη κίνηση). Δεν καταλήγεις όμως. Τι φταίει; α) Κάπου έκανες λάθος στις πράξεις (αρκετά πιθανό). β) Κάνεις πολλές πράξεις, δημιουργείς παραστάσεις αρκετά σύνθετες, πελαγώνεις και σταματάς. Γι' αυτό μάλλον φταίει ότι, σε κάποιο σημείο της λύσης, επέλεξες να κάνεις μια κίνη- ση, η οποία τελικά σε οδηγεί σε αδιέξοδο (ή ότι κάπου έκανες λάθος στις πράξεις). Σε αυτήν την περίπτωση, κάνε το εξής: Πάρε το πρόβλημα από την αρχή και εντόπισε μία προς μία τις κινήσεις που έκανες. Η αλλαγή μιας εξ αυτών πιθανότατα να αλλάξει την ροή της άσκησης και να σε οδη- γήσει στην λύση. γ) Υπάρχει ένα κρίσιμο σημείο στην λύση, μια κρίσιμη παρατήρηση στις παραστάσεις που έχεις, την οποία δεν εντοπίζεις. Γι' αυτό δεν φταίς απαραίτητα εσύ, μπορεί να συμβεί σε οποιονδήποτε. - 15 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΘΕΩΡΙΑ Συμπερασματικά, επομένως: Αν ξεκινήσεις από το Α και δεν φτάνεις στο Β, αλλά σε μια παράσταση Γ, τότε είναι πολύ πιθανό να χρειαστεί να πάρεις και το Β, να κάνεις πράξεις και να καταλήξεις επίσης στο Γ. Τότε θα έχεις λύσει την άσκηση! Αν και πάλι δεν καταλήγεις από το Β στο Γ, τότε κάπου κάτι πρέπει να σου ξεφεύγει. Παράδειγµα 10 Να δείξετε ότι ισχύει 1 − 1 = εϕ4θ + εϕ2θ . συν4θ συν2θ Λύση Είναι 1 − 1 = 1 − συν2θ = ηµ2θ . συν4θ συν2θ συν4θ συν4θ Επίσης, εϕ4θ + εϕ2θ = ηµ4θ + ηµ2θ = ηµ4θ + ηµ2θ ⋅ συν2θ = ηµ2θ ⋅ (ηµ2θ + συν2θ) = ηµ2θ . συν4θ συν2θ συν4θ συν4θ συν4θ Παράδειγµα 11 Να δείξετε ότι ισχύει ⎝⎜⎜⎜⎛η1µθ − συνθ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎜⎝⎜⎜⎛η1µθ + συνθ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = σϕ2θ + ηµ2θ . Λύση Είναι σϕ2θ + ηµ2θ = συν2θ + ηµ2θ = συν2θ + ηµ4θ . ηµ2θ ηµ2θ Επίσης, ⎜⎜⎝⎛⎜ η1µθ − συνθ⎞⎟⎟⎠⎟⎟⎛⎜⎜⎜⎝ 1 + συνθ⎟⎟⎟⎟⎠⎞ = 1 − συν2θ = 1 − ηµ2θ ⋅ συν2θ = ηµ2θ + συν2θ − ηµ2θ ⋅ συν2θ = ηµθ ηµ2θ ηµ2θ ηµ2θ = ηµ2θ ⋅ (1 − συν2θ) + συν2θ = ηµ2θ ⋅ ηµ2θ + συν2θ = ηµ4θ + συν2θ . ηµ2θ ηµ2θ ηµ2θ - 16 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 12 Να δείξετε ότι ισχύει 1 + εϕ3x = ⎛⎜⎜⎜⎝11 + εϕx ⎟⎟⎟⎟⎠⎞3 . 1 + σϕ3x + σϕx Λύση Είναι 1 + εϕ3x = 1 + εϕ3x = 1 + εϕ3x = εϕ3x . Επίσης, 1 + σϕ3x 1+ 1 εϕ3x + 1 εϕ3x εϕ3x ⎜⎛⎜⎜⎝11 + εϕx ⎞⎠⎟⎟⎟⎟3 = ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛⎜⎜⎜⎜⎜ 1 + εϕx ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟3 = ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛⎜⎜⎝ 1 + εϕx ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎟⎟3 = (εϕx)3 = εϕ3x . + σϕx 1+ 1 εϕx + 1 εϕx εϕx Τρίτος τρόπος Γράψε στην αρχή της λύσης σου ­απαραιτήτως!­ «Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει», κάνε πράξεις στο Α, κάνε πράξεις και στο Β ταυτόχρονα (αν βέβαια μπορούν να γί- νουν κάποιες πράξεις) και τελικός σου σκοπός είναι να καταλήξεις σε μία σχέση που ισχύει. Τότε θα έχεις αποδείξει το ζητούμενο. Να σημειωθεί ότι, επειδή οι πράξεις γίνονται ταυτόχρονα και στα δύο μέλη της ζη- τούμενης σχέσης, καθ' όλη την διάρκειά τους να χρησιμοποιείς το σύμβολο “ ⇔ ” (εξάλλου, όταν στην αρχή λες «ισοδύναμα», οπότε μόνο με αυτό το σύμβολο μπορείς να συνεχίσεις). Ο τρόπος αυτός προτείνεται, όταν η ζητούμενη σχέση έχει κλάσματα (τουλάχιστον αποτελεί μια καλή σκέψη για να ξεκινήσει η λύση). Λέγοντας στην αρχή της λύσης σου την πρόταση που ανέφερα παραπάνω, κάνε απαλοιφή παρονομαστών και συνέχισε με όποιες πράξεις προκύπτουν στην πορεία. Έτσι γλιτώνεις τα κλάσματα, άρα και κουρα- στικές πράξεις μεταξύ τους, ενώ σε αρκετές περιπτώσεις γλιτώνεις και αρκετό γράψι- μο! - 17 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 13 Να δείξετε ότι ισχύει ηµα + ηµα = 2 . 1 + συνα 1 − συνα ηµα Λύση Κάνοντας απαλοιφή των παρονομαστών, ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει ηµ2α ⋅ (1 − συνα) + ηµ2α ⋅ (1 + συνα) = 2(1 + συνα)(1 − συνα) ⇔ ⇔ ηµ2α ⋅ (1 − συνα + 1 + συνα ) = 2(12 − συν2α) ⇔ 2ηµ2α = 2ηµ2α , που ισχύει. Άρα αποδείχθηκε το ζητούμενο. Παράδειγµα 14 Να δείξετε ότι ισχύει 1 − 1 = 1 . ηµ2θ ⋅ συν2θ ηµ2θ συν2θ Λύση Κάνοντας απαλοιφή των παρονομαστών, ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει 1 − συν2θ = ηµ2θ ⇔ ηµ2θ + συν2θ = 1 , που ισχύει. Παράδειγµα 15 Να δείξετε ότι ισχύει 1 − συνx = ηµx . ηµx εϕx Λύση Κάνοντας απαλοιφή των παρονομαστών, ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει εϕx − ηµx ⋅ συνx = ηµ2x ⋅ εϕx ⇔ εϕx − ηµ2x ⋅ εϕx = ηµx ⋅ συνx ⇔ ⇔ εϕx ⋅ (1 − ηµ2x) = ηµx ⋅ συνx ⇔ ηµx ⋅ συν 2 x = ηµx ⋅ συνx ⇔ ηµx ⋅ συνx = ηµx ⋅ συνx , συνx που ισχύει. - 18 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΘΕΩΡΙΑ 2ο είδος Ταυτότητες υπό συνθήκη Έχουν την εκφώνηση, «Αν ισχύει... , τότε να δείξετε ότι ισχύει...». Ισοδύναμες εκφωνήσεις: • «Να δείξετε ότι ισχύει... , όταν είναι...». • «Δίνεται ότι... Να δείξετε ότι ισχύει...». Η «συνθήκη» (το δεδομένο δηλαδή) βρίσκεται στις εκφράσεις «Αν ισχύει...», «όταν είναι...», «Δίνεται ότι...». Η «ταυτότητα» είναι η σχέση που ζητείται να αποδειχθεί. Πώς θα δουλέψεις Ο προτεινόμενος τρόπος είναι ο εξής: γράψε στην αρχή της λύσης σου ­απαραιτήτως!­ «Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει» και επεξεργάσου την ζητούμενη σχέση κάνοντας πράξεις. Συχνά συμβαίνει η κίνηση αυτή να σε οδηγεί στην σχέση που δόθηκε ότι ισχύει στην εκφώνηση (την «συνθήκη» που προανέφερα), οπότε έχεις λύσει την άσκηση. Αν δεν συμβεί αυτό, τότε δουλεύοντας στην ζητούμενη σχέση φέρ' την σε μια άλλη μορφή (επιθυμητό είναι να έχει μορφή «βολικότερη» αυτής που ζητήθηκε να αποδει- χθεί), την οποία και θα επιδιώξεις πλέον ν' αποδείξεις ότι ισχύει. Πάρε το δεδομένο («συνθήκη») της άσκησης, επεξεργάσου το και μπορεί έτσι να κα- ταλήξεις στην νέα μορφή που είπες ότι θα αποδείξεις ότι ισχύει. Αν η «συνθήκη» δεν σε οδηγήσει στην νέα μορφή, τότε πιθανότατα θα χρειαστεί να κάνεις κάποια αντικατάσταση στην νέα μορφή και να καταλήξεις σε μία σχέση που να ισχύει. - 19 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Άλγεβ ρ α Β΄ Λυ κεί ο υ • Κ ΕΦΑ Λ Α Ι Ο 3 • Τρ ι γωνομ ετρ ί α Παράγραφος 2 • Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες • ΘΕΩΡΙΑ Ένας ακόµη τρόπος είναι ο εξής: ξεκίνα από την «συνθήκη» και κάνε πράξεις. Σε κάποιες ασκήσεις συμβαίνει να οδη- γείσαι στην λύση της (στην ζητούμενη δηλαδή σχέση). Παράδειγµα 16 Αν ισχύει εϕ2α = 1 + 2εϕ2β , να δείξετε ότι συν2β = 2συν2α . Λύση Με την βοήθεια του τύπου συν2x = 1 της θεωρίας, ισοδύναμα θα δείξω ότι 1 + εϕ2x ισχύει 1 = 2 ⋅ 1 + 1 ⇔ 1 + εϕ2α = 2(1 + εϕ2β) ⇔ 1 + εϕ2α = 2 + 2εϕ2β ⇔ 1 + εϕ2β εϕ2α ⇔ εϕ2α = 1 + 2εϕ2β , που ισχύει από το δεδομένο. Παράδειγµα 17 Αν ισχύει συνx − ηµx = 2ηµx , να δείξετε ότι συνx + ηµx = 2συνx . Λύση Από την σχέση που δίνεται έχω ότι ( )συνx = ηµx + 2 ηµx ⇔ συνx = 1 + 2 ηµx . Έτσι, ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει ( ) ( )1 + 2 ηµx + ηµx = 2 1 + 2 ηµx ⇔ ηµx + 2 ηµx + ηµx = 2 ηµx + 2ηµx ⇔ ⇔ 2ηµx = 2ηµx , που ισχύει. Άρα αποδείχθηκε το ζητούμενο. - 20 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!