Επανάληψη Γυμνασίου - Ενότητα 9 - Γραμμικά συστήματα 2Χ2 (Θ)

Η επανάληψη του Γυµνασίου Ενότητα 9 Γραµµικά συστήµατα 2 Χ 2 Θεωρία - Μεθοδολογία Νέα Μουδανιά • Ιούνιος 2022 www.mathsteki.gr

~ Περιεχόμενα ενότητας 9 ~ Πώς θα λύσεις ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ...........................................................................83 1η μέθοδος Μέθοδος της αντικατάστασης .......................................................................................83 2η μέθοδος Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών .....................................................................84

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 9 - Γραμμικά συστήματα 2 Χ 2 ~ Ενότητα 9 ~ Γραμμικά συστήματα 2 Χ 2 Πώς θα λύσεις ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων Όταν σε μια άσκηση πρέπει να βρεις τις τιμές δύο αγνώστων, τότε χρειάζεσαι δύο εξι- σώσεις που να τους συνδέουν. Οι δύο αυτές εξισώσεις συνιστούν ένα σύστημα εξισώ- σεων. Όταν οι εξισώσεις αυτές έχουν την μορφή α x +βy = γ , όπου α, β, γ πραγματικοί αριθμοί, τότε το σύστημα λέγεται σύστημα γραμμικών εξισώσεων (επειδή οι εξισώσεις παρι- στάνουν ευθείες γραμμές σε ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο). Για να λύσεις τέτοιο σύστημα, υπάρχουν δύο μέθοδοι. ▶ 1η μέθοδος Μέθοδος της αντικατάστασης Λύσε μία εξίσωση ως προς έναν από τους αγνώστους και αντικατάστησέ τον στην άλ- λη εξίσωση. Η μέθοδος αυτή είναι καλή, αν ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές των αγνώστων είναι το 1 ή το −1. Αν δεν συμβαίνει αυτό, τότε καλό είναι να μην χρησιμοποιήσεις αυ- τήν την μέθοδο και να προτιμήσεις την δεύτερη. - 83 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 9 - Γραμμικά συστήματα 2 Χ 2 Παράδειγμα 71 Ας λύσουμε το σύστημα ⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎩⎪ x + y = 20 ⎪⎪⎪⎫⎪⎭⎬⎪ . x +3y = 44 Από την πρώτη εξίσωση έχω x + y = 20 ⇔ x = 20−y (1) Αντικαθιστώ την (1) στην κάτω εξίσωση του συστήματος και έχω 20−y +3y = 44 ⇔ 2y = 24 ⇔ y =12 . Για y =12 , από την (1) έχω x = 20−12 = 8 . Άρα, λύση του συστήματος είναι η (x, y) = (8,12) . ▶ 2η μέθοδος Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών Με την μέθοδο αυτή επιδιώκεις να δημιουργήσεις αντίθετους συντελεστές σε έναν άγνωστο (αν δεν υπάρχουν ήδη), πολλαπλασιάζοντας την μία εξίσωση (ή και τις δύο) με κατάλληλο αριθμό. Η επόμενη κίνηση είναι να προσθέσεις κατά μέλη τις δύο εξισώσεις που προκύπτουν, ώστε να απαλειφθεί ο άγνωστος αυτός. Η μέθοδος αυτή είναι η κύρια μέθοδος επίλυσης γραμμικών συστημάτων! Υπερτερεί σε σχέση με την μέθοδο της αντικατάστασης (ειδικά όταν κανένας εκ των συντελεστών δεν είναι το 1 ή το −1), διότι έχει λιγότερες και συντομότερες πράξεις. - 84 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Η επανάληψη του Γυμνασίου Ενότητα 9 - Γραμμικά συστήματα 2 Χ 2 Παράδειγμα 72 Ας λύσουμε το σύστημα ⎪⎧⎩⎪⎪⎨⎪⎪ 2x−5y =−11 ⎬⎪⎫⎪⎪⎭⎪⎪ . 4x +3y =17 Έχω ⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 2x−5y =−11 ⎪⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎫ ⋅3 ⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨ 6x−15y =−33 ⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎬⎪ . 4x +3y =17 20x +15y = 85 ⇔ ⋅5 Προσθέτω κατά μέλη τις δύο εξισώσεις και έχω 26x = 52 ⇔ x = 2 . Από την εξίσωση 4x +3y =17 έχω τότε 4⋅2+3y =17 ⇔ 3y = 9 ⇔ y = 3 . Άρα, λύση του συστήματος είναι η (x, y) = (2,3) . - 85 - ∆ημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος • Μαθηματικό στέκι • www.mathsteki.gr

Στο «Μαθηματικό στέκι» θα βρεις την αναλυτικότερη θεωρία - μεθοδολογία και τις αναλυτικότερα λυμένες ασκήσεις του διαδικτύου www.mathsteki.gr