ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Κεφ.2 - Παράγραφος 2.3 (θεωρία)

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Οι πραγµατικοί αριθµοί Παράγραφος 2.3 Απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού ΘΕΩΡΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Νέα Μουδανιά • Νοέµβριος 2021

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3 Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού ~ Περιεχόμενα παραγράφου 3 ~ 1. Ορισμός της απόλυτης τιμής ......................................................................................................................................47 2. Ιδιότητες των απόλυτων τιμών .................................................................................................................................48 3. Απόσταση δύο αριθμών ...............................................................................................................................................53 - 46 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί 1. Ορισµός απόλυτης τιµής Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με α και ορίζεται από τον τύπο α = ⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪ α , αν α ≥ 0 . −α , αν α < 0 Αυτός είναι ο αλγεβρικός ορισμός της απόλυτης τιμής. Γεωμετρικά, η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού, πάνω στον άξονα των πραγ- ματικών αριθμών, είναι η απόσταση του αριθμού από το μηδέν. Ο αλγεβρικός ορισμός είναι πάρα πολύ χρήσιμος όταν πρέπει να απλοποιήσεις μια απόλυτη τιμή, δηλαδή να γράψεις μια αλγεβρική παράσταση που είναι μέσα σε απόλυτη τιμή, χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό και τις περιπτώσεις που αναφέρονται σε αυτόν, για να γίνει αυτή η απλοποίηση πρέπει να ξέρεις το πρόσημο της παράστασης που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή. Παράδειγµα 32 Πώς θα απλοποιήσω την α2 + 1 ; Επειδή είναι α2 + 1 > 0 , για κάθε α ∈ ! (δηλαδή το περιεχόμενο της απόλυτης τιμής είναι θετικό), θα είναι α2 + 1 = α2 + 1 . Σημαντικό σχόλιο Πρέπει εδώ να τονιστεί ότι, στην πραγματικότητα, ισχύει α2 + 1 ≥ 1 , για κάθε α ∈ ! . Γενικώς, ισχύει α2 + θ ≥ θ , για κάθε α ∈ ! και θ > 0 , δηλαδή «Τετράγωνο + θετικός αριθμός, είναι μεγαλύτερο ή ίσο του θετικού αριθμού». Συνήθως, όμως, λέμε «Τετράγωνο + θετικός αριθμός, είναι θετικό» και μας καλύπτει στις περισσότερες περιπτώσεις που το συναντούμε. - 47 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Τονίζεται ότι το ίδιο συμπέρασμα προκύπτει για οποιονδήποτε άρτιο φυσικό εκθέτη. Παράδειγµα 33 Πώς θα απλοποιήσω την −α2 − 3 ; ( )Επειδή είναι −α2 − 3 = − α2 + 3 < 0 , για κάθε α ∈ ! (δηλαδή το περιεχόμενο της απόλυτης τιμής είναι αρνητικό), θα είναι −α2 − 3 = α2 + 3 . Παράδειγµα 34 Πώς θα απλοποιήσω την x − 2 ; Επειδή η παράσταση x − 2 δεν έχει σταθερό πρόσημο, θα εφαρμόσω και τις δύο περι- πτώσεις του ορισμού της απόλυτης τιμής, δηλαδή θα είναι x−2 = ⎪⎪⎨⎧⎩⎪⎪⎪ x−2 , αν x −2 ≥ 0 = ⎧⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎪ x−2 , αν x ≥2 . 2−x , αν x −2 < 0 2−x , αν x <2 2. Ιδιότητες των απόλυτων τιµών Οι ακόλουθες ιδιότητες είναι οι πολύτιμοι βοηθοί στις ασκήσεις στις οποίες εμφανίζο- νται απόλυτες τιμές. ❖ Ιδιότητα 1 Ισχύει α ≥ 0 , για κάθε α ∈ ! . Η ιδιότητα 1 προκύπτει από τον ορισμό της απόλυτης τιμής (σελίδα 58). Ειδικότερα, είναι: α) α > 0 ⇔ α ≠ 0 . Δηλαδή, μια απόλυτη τιμή είναι θετική, αν και μόνο αν το περιεχόμενό της είναι διάφορο του μηδενός. - 48 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί β) α = 0 ⇔ α = 0 . Δηλαδή, μια απόλυτη τιμή είναι ίση με το μηδέν, αν και μόνο αν το περιεχόμενό της είναι ίσο με το μηδέν. Η ιδιότητα 1 είναι πάρα πολύ σημαντική και η χρήση της τακτική! ❖ Ιδιότητα 2 Ισχύει α = −α , για κάθε α ∈ ! . Η ιδιότητα 2 προκύπτει από τον ορισμό της απόλυτης τιμής (σελίδα 47). Τι λέει η ιδιότητα Eντός της απόλυτης τιμής μπορείς να βάλεις την αντίθετη παράσταση από αυτήν που υπάρχει και η νέα απόλυτη τιμή είναι ίση με την αρχική. Η ιδιότητα 2 ερμηνεύεται και έτσι: αντίθετες παραστάσεις έχουν ίσες απόλυτες τιμές. ❖ Ιδιότητα 3 Ισχύουν α ≥ α και α ≥ −α , για κάθε α ∈ ! . ❖ Ιδιότητα 4 Ισχύει α 2 = α2 , για κάθε α ∈ ! . Τι λέει η ιδιότητα Όταν μια απόλυτη τιμή είναι υψωμένη στο τετράγωνο, τότε η απόλυτη τιμή «φεύγει» και μένει η παράσταση που είναι εντός αυτής, υψωμένη στο τετράγωνο. Επίσης, μια παράσταση υψωμένη στο τετράγωνο μπορεί να γραφεί σαν απόλυτη τιμή, βάζοντας την βάση της εντός της απόλυτης τιμής (αν διαβάσουμε την ιδιότητα «από την ανάποδη»). Η ιδιότητα 4 ισχύει για οποιονδήποτε άρτιο εκθέτη, αλλά συναντάται κυρίως με τε- τράγωνο. - 49 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Ιδιότητα 5 Αν θ > 0 , τότε: x = θ ⇔ x = θ ή x = −θ . Η ιδιότητα 5 χρησιμεύει πολύ στην επίλυση εξισώσεων με απόλυτες τιμές (θα τις δεις στο κεφάλαιο 3). ΠΡΟΣΟΧΗ ! Αν είναι: α) θ = 0 , τότε ισχύει: x = 0 ⇔ x = 0 . β) θ < 0 , τότε η εξίσωση x = θ είναι αδύνατη, αφού είναι x ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! . ❖ Ιδιότητα 6 Ισχύει: x = α ⇔ x = α ή x = −α . Η ιδιότητα 6 χρησιμεύει πολύ στην επίλυση εξισώσεων με απόλυτες τιμές (θα τις δεις στο κεφάλαιο 3). ❖ Ιδιότητα 7 Ισχύει α ⋅ β = α ⋅ β , για κάθε α , β ∈ ! . Τι λέει η ιδιότητα Όταν μέσα στην απόλυτη τιμή υπάρχει γινόμενο, τότε αυτή «σπάει» στο γινόμενο των απόλυτων τιμών κάθε παράγοντα του γινομένου. Επίσης, το γινόμενο δύο απόλυτων τιμών μπορεί να «ενωθεί» σε μία απόλυτη τιμή που θα περιλαμβάνει τα «περιεχόμενα» των δύο απόλυτων τιμών (αν διαβάσουμε την ιδιότητα «από την ανάποδη»). Η ιδιότητα 7 ισχύει και για περισσότερους από δύο παράγοντες, δηλαδή α1 ⋅ α2 ⋅ ... ⋅ αν = α1 ⋅ α2 ⋅ ... ⋅ αν . Ειδικότερα, αν είναι α1 = α2 = ... = αν , τότε ισχύει αν = α ν . - 50 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ❖ Ιδιότητα 8 Ισχύει α = α , για κάθε α ∈ ! και β ∈ !* . β β Τι λέει η ιδιότητα Όταν μέσα στην απόλυτη τιμή υπάρχει πηλίκο, τότε αυτή «σπάει» στο πηλίκο των απόλυτων τιμών του αριθμητή και του παρονομαστή. Επίσης, το πηλίκο δύο απόλυτων τιμών μπορεί να «ενωθεί» σε μία απόλυτη τιμή που μέσα της θα έχει κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή τα περιεχόμενα των απόλυτων τιμών του αριθμητή και παρονομαστή, αντίστοιχα, του αρχικού πηλίκου (αν διαβάσου- με την ιδιότητα «από την ανάποδη»). ❖ Ιδιότητα 9 Ισχύει α + β ≤ α + β , για κάθε α , β ∈ ! . Τι λέει η ιδιότητα ΄Όταν μέσα σε μια απόλυτη τιμή υπάρχει άθροισμα, τότε η απόλυτη τιμή «σπάει» στο άθροισμα των απόλυτων τιμών των δύο όρων του αθροίσματος, όχι με ισότητα, αλλά με ανισοϊσότητα! Η ιδιότητα 9 ισχύει και για περισσότερους προσθετέους, δηλαδή α1 + α2 + ... + αν ≤ α1 + α2 + ... + αν . Επίσης, ισχύει και α − β ≤ α + β , για κάθε α , β ∈ ! , αφού α − β = α + (−β) ≤ α + −β = α + β . ❖ Ιδιότητα 10 Αν ρ > 0 , τότε: x < ρ ⇔ −ρ < x < ρ . Η ιδιότητα 10 χρησιμεύει ιδιαίτερα στην επίλυση ανισώσεων με απόλυτες τιμές (θα τις δεις στο κεφάλαιο 4). - 51 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί ΠΡΟΣΟΧΗ ! Αν είναι ρ = 0 ή ρ < 0 , τότε η ανίσωση είναι αδύνατη, αφού είναι x ≥ 0 , για κάθε x∈!. ❖ Ιδιότητα 11 Αν ρ > 0 , τότε: x ≤ ρ ⇔ −ρ ≤ x ≤ ρ . Η ιδιότητα 11 χρησιμεύει ιδιαίτερα στην επίλυση ανισώσεων με απόλυτες τιμές (θα τις δεις στο κεφάλαιο 4). ΠΡΟΣΟΧΗ ! Αν είναι: α) ρ = 0 , τότε είναι x ≤ 0 , οπότε ισχύει x = 0 ⇔ x = 0 . β) ρ < 0 , τότε η ανίσωση είναι αδύνατη, αφού είναι x ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! . ❖ Ιδιότητα 12 Αν ρ > 0 , τότε: x > ρ ⇔ x < −ρ ή x > ρ . Η ιδιότητα 12 χρησιμεύει ιδιαίτερα στην επίλυση ανισώσεων με απόλυτες τιμές (θα τις δεις στο κεφάλαιο 4). ΠΡΟΣΟΧΗ ! Αν είναι: α) ρ = 0 , τότε ισχύει: x > 0 ⇔ x ≠ 0 . β) ρ < 0 , τότε η ανίσωση αληθεύει για κάθε x ∈ ! , αφού είναι x ≥ 0 , για κάθε x∈!. ❖ Ιδιότητα 13 Αν ρ > 0 , τότε: x ≥ ρ ⇔ x ≤ −ρ ή x ≥ ρ . - 52 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί Η ιδιότητα 13 χρησιμεύει ιδιαίτερα στην επίλυση ανισώσεων με απόλυτες τιμές (θα τις δεις στο κεφάλαιο 4). ΠΡΟΣΟΧΗ ! Αν είναι ρ = 0 ή ρ < 0 , τότε η ανίσωση αληθεύει για κάθε x ∈ ! , αφού είναι x ≥ 0 , για κάθε x ∈ ! . ❖ Ιδιότητα 14 Ισχύει x + y ≥ 0 , για κάθε x , y ∈ ! . Ειδικότερα: • x + y >0⇔ x≠0 ή y≠0. • x + y = 0 ⇔ x = 0 και y = 0 . 3. Απόσταση δύο αριθµών Αν θεωρήσουμε δύο αριθμούς α και β, που παριστάνονται, πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, με τα σημεία Α και Β αντιστοίχως, τότε το μήκος του τμή- ( )ματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών α και β, συμβολίζεται με d α , β και είναι ίση με α − β . Είναι δηλαδή d(α , β) = α − β . Ισχύει d(α , β) = d(β , α) . Στην περίπτωση που είναι α < β , τότε η απόσταση των α και β είναι ίση με β − α και λέγεται μήκος του διαστήματος ⎢⎣⎡α , β⎦⎥⎤ . Έτσι, αν θεωρήσουμε ένα διάστημα ⎢⎡⎣α , β⎥⎤⎦ : α) ο αριθμός β − α λέγεται μήκος του διαστήματος. - 53 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Κεφάλαιο 2 • Οι πραγµατικοί αριθµοί β) ο αριθμός α+β , που αντιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήματος ΑΒ, λέγεται κέντρο 2 του διαστήματος. γ) ο αριθμός ρ = β−α λέγεται ακτίνα του διαστήματος. 2 Οι ονομασίες αυτές ισχύουν και για τα διαστήματα (α , β) , ⎣⎡⎢α , β) , (α , β⎦⎤⎥ . - 54 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!