ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - Εισαγωγικό κεφάλαιο (θεωρία)

Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα Εισαγωγικό κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Νέα Μουδανιά • Νοέµβριος 2021

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1 Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Το λεξιλόγιο της Λογικής ~ Περιεχόμενα κεφαλαίου ~ Παράγραφος 1 Το λεξιλόγιο της Λογικής 1. Η συνεπαγωγή ........................................................................................................................................................................3 2. Η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή ..........................................................................................................................4 3. Ο σύνδεσμος «ή» ..................................................................................................................................................................6 4. Ο σύνδεσμος «και» ..............................................................................................................................................................7 Παράγραφος 2 Σύνολα 1. Η έννοια του συνόλου .......................................................................................................................................................8 2. «Καλώς ορισμένο» σύνολο .............................................................................................................................................8 3. Τα σύνολα των αριθμών ..................................................................................................................................................9 4. Τα σύμβολα “∈ ” και “∉ ” .................................................................................................................................................9 5. Παράσταση συνόλου ......................................................................................................................................................10 Πρώτος τρόπος Με αναγραφή των στοιχείων του .....................................................................................10 -1 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ ∆εύτερος τρόπος Με περιγραφή των στοιχείων του ................................................................................11 6. Τα σύνολα αριθμών, πώς συμβολίζονται και πώς παριστάνονται ......................................................12 7. Ίσα σύνολα .............................................................................................................................................................................13 8. Υποσύνολα ενός συνόλου ...........................................................................................................................................13 9. Το κενό σύνολο ...................................................................................................................................................................13 10. Πράξεις με σύνολα ........................................................................................................................................................14 -2 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Όπως αναφέρεται και στο σχολικό βιβλίο, «Στην παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στην συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για την σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων κ.τ.λ.». Λέξη­κλειδί αποτελεί η λέξη «ισχυρισμός», δηλαδή μια πρόταση, με απλούστερα λό- για. Στους ισχυρισμούς αυτούς έχουμε το μέρος της πρότασης στο οποίο υπάρχουν οι προϋποθέσεις, τα δεδομένα, η υπόθεση του ισχυρισμού, και το μέρος της πρότασης στο οποίο διατυπώνεται το συμπέρασμα του ισχυρισμού. Απλό παράδειγμα τέτοιας πρότασης είναι το ακόλουθο, το οποίο είδες στο Γυμνάσιο: Αν ισχύει α ⋅ γ = β ⋅ γ και είναι γ ≠ 0 , τότε ισχύει και α = β . Στην πρόταση αυτή: • οι προϋποθέσεις του ισχυρισμού είναι «Αν ισχύει α ⋅ γ = β ⋅ γ και είναι γ ≠ 0 », • το συμπέρασμα είναι «τότε ισχύει και α = β ». Στην συνέχεια, στο «λεξιλόγιο της Λογικής» θα διαβάσεις για: • την συνεπαγωγή, • την ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή, • τον σύνδεσμο «ή», • τον σύνδεσμο «και». 1. Η συνεπαγωγή Πολλές προτάσεις στα Μαθηματικά (ορισμοί, θεωρήματα, ιδιότητες) διατυπώνονται υπό την μορφή «Αν... , τότε... ». Οι προτάσεις αυτές στηρίζονται στον ακόλουθο ορισμό: Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P ⇒ Q . -3 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Ο ισχυρισμός «P ⇒ Q » λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «Αν Ρ, τότε Q». Ο Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα της συνεπαγω- γής. Παράδειγµα 1 Αν δύο αριθμοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους είναι ίσα. Γράφουμε: α = β ⇒ α2 = β2 . Παράδειγµα 2 Αν διαιρέσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με θετικό αριθμό, τότε δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας. Με απλούστερα λόγια επομένως, συνεπαγωγή είναι κάθε πρόταση που διατυπώνεται υπό την μορφή: • «Αν... , τότε... » ή • «Όταν... , τότε... » ή • «Ισχύει... , όταν... ». 2. Η ισοδυναµία ή διπλή συνεπαγωγή Αρκετές προτάσεις, επίσης, διατυπώνονται υπό την μορφή «Αν... , τότε... και αντίστροφα» ή «Ισχύει... , αν και μόνο αν... ». Οι προτάσεις αυτές στηρίζονται στον ακόλουθο ορισμό: -4 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q και, όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο Ρ, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q και γράφουμε P ⇔ Q. Ο ισχυρισμός «P ⇔ Q » λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q». Παράδειγµα 3 Στα μέλη μιας ισότητας μπορούμε να προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό. Γράφουμε: α = β ⇒ α + γ = β + γ . Αυτό ισχύει και αντίστροφα όμως, δηλαδή από τα μέλη μιας ισότητας μπορούμε να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό. Γράφουμε: α + γ = β + γ ⇒ α = β . Συνοπτικά επομένως, γράφουμε: α = β ⇔ α + γ = β + γ . Παράδειγµα 4 Τα μέλη μιας ανισότητας μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο θετικό αριθμό και η φορά της ανισότητας δεν αλλάζει. Γράφουμε: Αν α < β και γ > 0 , τότε α ⋅ γ < β ⋅ γ . Αυτό ισχύει και αντίστροφα όμως, δηλαδή τα μέλη μιας ανισότητας μπορούμε να τα διαιρέσουμε με τον ίδιο θετικό αριθμό και η φορά της ανισότητας δεν αλλάζει. Γράφουμε: Αν α ⋅ γ < β ⋅ γ και γ > 0 , τότε α < β . Συνοπτικά επομένως, γράφουμε: α < β ⇔ α ⋅ γ < β ⋅ γ , όπου γ > 0 . Με απλούστερα λόγια δηλαδή, ισοδυναμία είναι κάθε πρόταση που διατυπώνεται υπό την μορφή -5 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ • «Αν ισχύει... , τότε προκύπτει... και αντίστροφα» ή • «Ισχύει... , αν και μόνο αν ισχύει... ». Σχόλιο Σε προτάσεις που έχουν τέτοιας μορφής διατύπωση πολλές φορές μιλάμε για το «ευθύ» και το «αντίστροφο» της πρότασης, αν και αυτό είναι σχετικό, εξαρτάται δη- λαδή ποιο μέρος της πρότασης διατυπώνεται στην αρχή της (αυτό εκλαμβάνεται ως «ευθύ») και ποιο στο τέλος της (αυτό εκλαμβάνεται ως «αντίστροφο»). Με λίγα λόγια δηλαδή, το «ευθύ» και το «αντίστροφο» μπορούμε να πούμε ότι είναι υποκειμενικά. 3. Ο σύνδεσµος “ή” Άλλες προτάσεις στηρίζονται στην ισχύ μίας εκ των προϋποθέσεων που τίθενται και ο ακόλουθος ορισμός το εξηγεί. Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ ή Q αληθεύει, μόνο στην περί- πτωση που ένας, τουλάχιστον, από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει. Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q» λέγεται διάζευξη των Ρ και Q. Παράδειγµα 5 Το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας, τουλάχιστον, από τους αριθμούς αυτούς είναι ίσος με το μηδέν. Γράφουμε: α ⋅ β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0 . Αναλύοντας περισσότερο την πρόταση του παραδείγματος 5: • αν το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, τότε ο πρώτος αριθμός είναι ίσος με το μηδέν ή ο δεύτερος αριθμός είναι ίσος με το μηδέν (είναι το «ευθύ» του σχο- λίου που έγινε παραπάνω). -6 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ • αν ένας εκ δύο αριθμών είναι ίσος με το μηδέν, τότε και το γινόμενό τους θα είναι ίσο με το μηδέν (είναι το «αντίστροφο» του σχολίου που έγινε στην σελίδα 6). Το παράδειγμα 5 είναι μία από τις χαρακτηριστικότερες προτάσεις διάζευξης, προτά- σεις δηλαδή που στηρίζονται στο «ή». 4. Ο σύνδεσµος “και” Τέλος, υπάρχουν και προτάσεις οι οποίες στηρίζονται στην ισχύ όλων των προϋποθέ- σεων που τίθενται και ο ακόλουθος ορισμός το εξηγεί. Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αληθεύει, μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν. Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q. Παράδειγµα 6 Το γινόμενο δύο αριθμών είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνο αν και οι δύο αριθ- μοί είναι διάφοροι του μηδενός. Γράφουμε: α ⋅ β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 . Αναλύοντας περισσότερο την πρόταση του παραδείγματος 6: • αν το γινόμενο δύο αριθμών είναι δεν ίσο με το μηδέν, τότε ο πρώτος αριθμός δεν είναι ίσος με το μηδέν, αλλά ούτε και ο δεύτερος αριθμός είναι ίσος με το μηδέν (είναι το «ευθύ» του σχολίου της σελίδας 6). • αν δύο αριθμοί δεν είναι ίσοι με το μηδέν, τότε και το γινόμενό τους δεν είναι ίσο με το μηδέν (είναι το «αντίστροφο» του σχολίου της σελίδας 6). Το παράδειγμα 6 είναι μία από τις χαρακτηριστικότερες προτάσεις σύζευξης, προτά- σεις δηλαδή που στηρίζονται στο «και». Όσα αναφέρθηκαν στις προηγούμενες σελίδες αποτελούν βασικότατα στοιχεία του λε- ξιλογίου της θεωρίας των Μαθηματικών (ήδη είδες τις έννοιες που προαναφέρθηκαν σε αρκετά σημεία στην θεωρία στα Μαθηματικά του Γυμνασίου). Όχι μόνο δεν αλλάζει αυτό στο Λύκειο, αλλά αποκτά ακόμη μεγαλύτερη σημασία. -7 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2 Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Σύνολα 1. Η έννοια του συνόλου Η έννοια του συνόλου κάθε άλλο παρά δημιούργημα των Μαθηματικών είναι. Σύνολα δημιουργούν όλοι οι άνθρωποι, άλλοτε συνειδητά και άλλοτε ασυνείδητα: • το σύνολο των ανθρώπων που συνιστούν την οικογένειά μας, • το σύνολο των ανθρώπων που συνιστούν τον κύκλο των φίλων μας, • τις κάλτσες μας τις έχουμε σε συγκεκριμένο συρτάρι (και έτσι δημιουργούμε το σχετικό σύνολο) και ο κατάλογος είναι ατελείωτος. Σύμφωνα με τον μαθηματικό Cantor, Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που προέρχονται από την εμπειρία ή την διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα αντικείμενα αυτά, που αποτελούν το σύνολο, ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. 2. “Καλώς ορισµένο” σύνολο Ένα σύνολο πρέπει να είναι, όπως συνηθίζουμε να λέμε, «καλώς ορισμένο», δηλαδή τα στοιχεία του να μπορούν να αναγνωρίζονται με σιγουριά. Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να μιλάμε για το σύνολο των μεγάλων πραγματικών αριθμών. Αυτό δεν είναι σύνολο, με την μαθηματική έννοια του όρου, διότι δεν υπάρ- χει κανόνας που να καθορίζει αν ένας πραγματικός αριθμός είναι ή δεν είναι μεγάλος. Αν θεωρήσουμε, όμως, τους πραγματικούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 1000, τότε αυτοί αποτελούν σύνολο. -8 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ 3. Τα σύνολα αριθµών Ένα ακόμη σημαντικότατο θέμα που πρέπει να γνωρίζεις άριστα, είναι τα σύνολα των αριθμών και πώς αυτά συμβολίζονται. • Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με ! . Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι 0, 1, 2, 3, 4, ... Οι φυσικοί αριθμοί λέγονται και θετικοί ακέραιοι (θα το δεις αρκετές φορές στην θεωρία και τις ασκήσεις). • Το σύνολο των ακέραιων αριθμών συμβολίζεται με ! . Οι ακέραιοι αριθμοί είναι οι ... , ­4, ­3, ­2, ­1, 0, 1, 2, 3, 4, ... • Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με ! . Οι ρητοί αριθμοί είναι τα κλάσματα εκείνα, των οποίων ο αριθμητής και ο παρονο- μαστής είναι ακέραιοι αριθμοί και ο παρονομαστής είναι διάφορος του μηδενός. • Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με ! . Οι πραγματικοί είναι όλοι οι παραπάνω αριθμοί, καθώς και τα κλάσματα των οποί- ων ο αριθμητής ή ο παρονομαστής δεν είναι ακέραιοι αριθμοί. Σε επόμενη υποπαράγραφο («Παράσταση συνόλου») θα γράψουμε με καλύτερο τρόπο τα παραπάνω βασικότατα σύνολα. 4. Τα σύµβολα “∈” και “∉ ” Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε x ∈ A και διαβά- ζουμε «το x ανήκει στο Α». Για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε x ∉ A και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α». Το παράδειγμα που θα δεις στην συνέχεια έχει και πρακτική αξία, διότι θα στηριχθεί στα βασικά σύνολα των αριθμών αφ’ ενός, αφ’ ετέρου θα σου δείξει πώς θα αναγνω- ρίσεις αν ένας αριθμός ανήκει ή όχι σε κάποιο από τα παραπάνω σύνολα και πώς αυ- τό θα το γράψεις. -9 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 7 • Ο αριθμός 5 είναι φυσικός, οπότε γράφουμε 5 ∈ ! . • Ο αριθμός 3 δεν είναι φυσικός, οπότε γράφουμε 3 ∉ ! . 4 4 • Ο αριθμός ­4 είναι ακέραιος, οπότε γράφουμε −4 ∈ ! . • Ο αριθμός − 1 δεν είναι ακέραιος, οπότε γράφουμε − 1 ∉ !. 2 2 • Ο αριθμός 4 είναι ρητός, οπότε γράφουμε 4 ∈!. 5 5 • Ο αριθμός 2 δεν είναι ρητός, οπότε γράφουμε 2 ∉!. 2 2 Όλοι οι αριθμοί του παραδείγματος 7 όμως, είναι πραγματικοί αριθμοί. 5. Παράσταση συνόλου Για να παραστήσουμε (όπως λέμε) ένα σύνολο, χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους ακόλουθους τρόπους: Πρώτος τρόπος ­ Με αναγραφή των στοιχείων του α) Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του συνόλου και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφου- με τα στοιχεία αυτά μεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντάς τα με κόμμα. Παράδειγµα 8 Aν ένα σύνολο Α έχει τους περιττούς αριθμούς από το 1 έως το 10, τότε γράφουμε Α = {1, 3 , 5, 7 , 9} . β) Όταν ένα σύνολο έχει πολλά ή άπειρα στοιχεία, τότε γράφουμε μερικά μόνο από αυτά τα στοιχεία και αποσιωπούμε (γράφοντας τρεις τελείες) τα υπόλοιπα, αρκεί όμως να είναι σαφές ποια είναι τα στοιχεία που παραλείπονται. - 10 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 9 Αν ένα σύνολο Β έχει τους φυσικούς αριθμούς από το 1 έως το 1000, τότε γράφουμε Β = {1, 2, 3 ,...,1000} . Επίσης, αν ένα σύνολο Γ περιλαμβάνει κλάσματα της μορφής 1 , όπου ν ∈ ! , ν ≠ 0 , ν τότε γράφουμε Γ = ⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪1, ,...⎭⎪⎪⎪⎪⎫⎬ . 1 , 1 , 1 2 3 4 Δεύτερος τρόπος ­ Με περιγραφή των στοιχείων του Ο πρώτος τρόπος παράστασης ενός συνόλου δεν επαρκεί στις περισσότερες περιπτώ- σεις όμως. Για παράδειγμα, δεν επαρκεί για να παραστήσουμε το σύνολο των θετικών πραγματι- κών αριθμών ή το σύνολο των ρητών αριθμών. Έτσι, αν από ένα σύνολο Ω επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα Ι, τότε το σύνολο αυτό το συμβολίζουμε {x ∈ Ω / x εχει την ιδιοτητα Ι} και διαβάζουμε «Το σύνολο των x ∈ Ω , όπου x έχει την ιδιότητα Ι». Παράδειγµα 10 Το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών, για το οποίο μίλησα παραπάνω, θα το παραστήσουμε έτσι: A = {x ∈ ! / x > 0}. Παράδειγµα 11 Το σύνολο των άρτιων ακέραιων θα το παραστήσουμε έτσι: B = {x ∈ ! / x = 2κ , κ ∈ !} . Τώρα πλέον μπορούμε να παραστήσουμε με τον σωστό τρόπο τα σύνολα των αριθμών (σελίδα 9) και αυτόν τον τρόπο πρέπει να γνωρίζεις άριστα. Μάλιστα, θα δεις και μια πολύ σημαντική συμπλήρωση, η οποία δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο. - 11 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ 6. Τα σύνολα αριθµών, πώς συµβολίζονται και πώς παριστάνονται • Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με ! και είναι ! = {0 ,1, 2, 3 ,...} . Οι φυσικοί αριθμοί λέγονται και θετικοί ακέραιοι. Με !* συμβολίζεται το σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο δεν περιλαμβάνει το μηδέν, δηλαδή είναι !* = {1, 2, 3 , 4 ,...} . • Το σύνολο των ακέραιων αριθμών συμβολίζεται με ! και είναι ! = {...,− 4 ,− 3 ,− 2,− 1, 0 ,1, 2, 3 , 4 ,...} . Με !* συμβολίζεται το σύνολο των ακέραιων αριθμών, το οποίο δεν περιλαμβάνει το μηδέν, δηλαδή είναι !* = {...,− 4 ,− 3 ,− 2,− 1,1, 2, 3 , 4 ,...} . • Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με ! και είναι ! = ⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩ α / α ∈ \" , β ∈ \"* ⎭⎪⎬⎪⎪⎪⎫ . β Με !* συμβολίζεται το σύνολο των ρητών αριθμών, το οποίο δεν περιλαμβάνει το μηδέν, δηλαδή είναι !* = ⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎩ α / α , β ∈ \"* ⎫⎭⎪⎪⎬⎪⎪ . β • Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με ! . Με !* συμβολίζεται το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο δεν περιλαμ- βάνει το μηδέν. - 12 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ 7. Ίσα σύνολα Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. Με άλλα λόγια, δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β, αλλά και αντίστροφα, κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α. Όταν δύο σύνολα είναι ίσα, γράφουμε Α = Β . 8. Υποσύνολα ενός συνόλου Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή, γράφουμε Α ⊆ Β . Άμεσες συνέπειες του παραπάνω ορισμού, είναι οι: α) Α ⊆ Α , για κάθε σύνολο Α. β) Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Γ , τότε Α ⊆ Γ . γ) Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Α , τότε Α = Β . Στα σύνολα αριθμών, ισχύει ! ⊆ \" ⊆ # ⊆ $ . 9. Το κενό σύνολο Κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν έχει στοιχεία. { }Το σύνολο αυτό συμβολίζεται με ∅ ή (σχεδόν πάντα χρησιμοποιούμε τον πρώ- το συμβολισμό). - 13 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή ισχύει ∅ ⊆ Α , για κάθε σύνολο Α. 10. Πράξεις µε σύνολα Κάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλος που λέγεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω. Για παράδειγμα, τα σύνολα ! , \" , # είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου Ω = ! . Οι πράξεις που γίνονται μεταξύ συνόλων είναι οι ακόλουθες (οι δύο πρώτες είναι οι βασικότερες και πιο συνηθισμένες): α) Ένωση συνόλων Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοι- χείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολί- ζεται με Α ∪ Β . Δηλαδή είναι Α ∪ Β = {x ∈ Ω / x ∈ Α η x ∈ Β} . Παράδειγµα 12 Αν Ω = {1, 2, 3 ,...,10} είναι ένα βασικό σύνολο και Α = {1, 2, 3 , 4} , Β = {3 , 4 , 5, 6} δύο υποσύνολά του, τότε η ένωση των Α και Β είναι το σύνολο Α ∪ Β = {1, 2, 3 , 4 , 5, 6} . β) Τομή συνόλων Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοι- χείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α, Β και συμβολίζεται με Α ∩ Β . Δηλαδή είναι Α ∩ Β = {x ∈ Ω / x ∈ Α και x ∈ Β} . - 14 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Ά λγε β ρ α Α ΄Λ υκε ί ου Εισαγωγικό κεφάλαιο • ΘΕΩΡΙΑ Παράδειγµα 13 Αν Ω = {1, 2, 3 ,...,10} είναι ένα βασικό σύνολο και Α = {1, 2, 3 , 4} , Β = {3 , 4 , 5, 6} δύο υποσύνολά του, τότε η τομή των Α και Β είναι το σύνολο Α ∩ Β = {3 , 4} . Στην περίπτωση που δύο σύνολα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία, δηλαδή όταν είναι Α ∩ Β = ∅ , τότε τα δύο σύνολα λέγονται ξένα μεταξύ τους. γ) Συμπλήρωμα συνόλου Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α′ . Δηλαδή είναι Α′ = {x ∈ Ω / x ∉ Α} . Παράδειγµα 14 Αν Ω = {1, 2, 3 ,...,10} είναι ένα βασικό σύνολο και Α = {1, 2, 3 , 4} ένα υποσύνολό του, τότε το συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο Α′ = {5, 6 , 7 , 8 , 9 ,10} . - 15 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Μόνο εδώ θα βρεις τα αναλυτικότερα βιβλία Μαθηµατικών του διαδικτύου!