ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Κωνικές τομές - Παράγραφος 1 (ασκήσεις Κ1)

Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Κωνικές τομές Παράγραφος 1 Ο κύκλος ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορία 1 Νέα Μουδανιά • Αύγουστος 2020



ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1η κατηγορία ασκήσεων Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου Εισαγωγικό σχόλιο Οι ασκήσεις εδώ στηρίζονται στις δύο μορφές που δόθηκαν στην θεωρία για την εξίσω- ση ενός κύκλου. Η λύση κάθε άσκησης χωρίζεται σε δύο στάδια: • το πρώτο στάδιο είναι το γεωμετρικό, δηλαδή η ερμηνεία των δεδομένων και η «με- τάφρασή» τους από την θεωρία του κύκλου (και των ευθειών, πολλές φορές), • το δεύτερο στάδιο είναι το αλγεβρικό, όπου πλέον έχουν τεθεί στην λύση οι αλγε- βρικές σχέσεις που θα δώσουν τους αγνώστους. Κάθε στάδιο θέλει προσοχή φυσικά. Όπως πάντα, να προσέχεις πώς παρουσιάζουμε την λύση. - 677 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 436 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο το Κ(2 ,− 1) , ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(3 , 2) . Λύση Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Κ(2 ,− 1) , η εξίσωσή του είναι c : (x − 2)2 + (y + 1)2 = ρ2 , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος διέρχεται από το Α, θέτω x = 3 , y = 2 στην εξίσωσή του και έχω (3 − 2)2 + (2 + 1)2 = ρ2 ⇔ ρ2 = 10 . Άρα, η εξίσωση του κύκλου είναι c : (x − 2)2 + (y + 1)2 = 10 . Άσκηση 437 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(−2 , 3) και εφάπτεται του άξονα x΄x στο σημείο του Β(−1, 0) . Λύση Η εξίσωση του κύκλου είναι c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο και ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος διέρχεται από το Α, θέτω x = −2 , y = 3 στην (1) και έχω (−2 − x0)2 + (3 − y0)2 = ρ2 . Αφού ο κύκλος εφάπτεται στον x΄x, ισχύει ρ = y0 ⇔ ρ2 = y0 2 = y20 (2) Λόγω της (2), από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι ισχύει (2 + x0)2 + (3 − y0)2 = y20 (3) Αφού ο κύκλος εφάπτεται του x΄x στο Β, είναι x0 = xΒ = −1 . - 678 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Από την (3) έχω τότε (2 − 1)2 + (3 − y0)2 = y20 ⇔ 1+ 9+ y20 − 6y0 = y20 ⇔ 6y0 = 10 ⇔ y0 = 10 ⇔ y0 = 5 . 6 3 Τότε, από την (2) έχω ότι ρ2 = ⎜⎜⎛⎝⎜ 5 ⎟⎟⎠⎞⎟⎟2 ⇔ ρ2 = 25 . 3 9 Τελικά, από την (1) έχω ότι η εξίσωση του κύκλου είναι c : (x + 1)2 + ⎜⎛⎝⎜⎜y − 5 ⎟⎞⎟⎟⎟⎠2 = 25 . 3 9 Άσκηση 438 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(3 ,− 1) , Β(4 , 2) και Γ(4 , 0) . Λύση Η εξίσωση του κύκλου είναι c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο και ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος διέρχεται από: • το Α, θέτω x = 3 , y = −1 στην (1) και έχω (3 − x0)2 + (−1 − y0)2 = ρ2 (2) • το Β, θέτω x = 4 , y = 2 στην (1) και έχω (4 − x0)2 + (2 − y0)2 = ρ2 (3) • το Γ, θέτω x = 4 , y = 0 στην (1) και έχω (4 − x0)2 + (0 − y0)2 = ρ2 (4) Από τις (3) και (4) προκύπτει (4 − x0)2 + (2 − y0)2 = (4 − x0)2 + y20 ⇔ (2 − y0)2 = y20 ⇔ - 679 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ⇔ 2 − y0 = y0 ή 2 − y0 = − y0 ⇔ 2y0 = 2 ή 2 = 0 (άτοπο) ⇔ y0 = 1 . Θέτω y0 = 1 στις (2) και (3) και επειδή τα δεξιά τους μέλη είναι ίσα, έχω ότι (3 − x0)2 + (−1 − 1)2 = (4 − x0)2 + (2 − 1)2 ⇔ 9+ x 2 − 6x0 +4 = 16 + x20 − 8x0 +1 ⇔ 0 ⇔ 13 − 6x0 = 17 − 8x0 ⇔ 2x0 = 4 ⇔ x0 = 2 . Από την (4) έχω τότε ότι ρ2 = (4 − 2)2 + 12 ⇔ ρ2 = 5 . Τελικά, από την (1) έχω ότι η εξίσωση του κύκλου είναι c : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 5 . Δεύτερος τρόπος Ο ζητούμενος κύκλος είναι ο περιγεγραμμένος του τριγώνου ΑΒΓ, κέντρο του οποίου είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών του (που, υπενθυμίζω, ονομάζε- ται περίκεντρο του τριγώνου) και η ακτίνα του είναι ίση με την απόσταση του κέ- ντρου από οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου. Ας είναι (µ1) η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΒ και (µ2) η μεσοκάθετος της ΑΓ. Τότε, το σημείο τομής τους θα είναι το κέντρο Κ του κύκλου. Εξίσωση της (µ1) Αν είναι Μ το μέσο της ΑΒ, τότε αυτό έχει συντεταγμένες Μ⎜⎜⎛⎝⎜⎜ xΑ + xΒ , yΑ + yΒ ⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟ ≡ Μ⎜⎜⎝⎛⎜3 + 4 , −1 + 2⎠⎟⎟⎟⎟⎞ ≡ Μ⎜⎛⎝⎜⎜27 , 21 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟ . 2 2 2 2 Είναι µ1 ⊥ ΑΒ , οπότε ισχύει λµ1λΑΒ = −1 , όπου λΑΒ = yΒ − yΑ = 2+1 =3. xΒ − xΑ 4−3 Άρα είναι λµ1 ⋅3 = −1 ⇔ λµ1 = − 1 3 και η (µ1) έχει εξίσωση - 680 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος µ1 : y− yΜ = λµ1 (x − xΜ) ⇔ µ1 : y− 1 = − 1 ⋅⎜⎜⎛⎝⎜x − 27 ⎟⎟⎠⎞⎟⎟ ⇔ µ1 : y− 1 = − 1 x + 7 ⇔ 2 3 2 3 6 ⇔ µ1 : 6y − 3 = −2x + 7 ⇔ µ1 : 2x + 6y = 10 ⇔ µ1 : x + 3y = 5 (1) Εξίσωση της (µ2) Αν είναι Ν το μέσο της ΑΓ, τότε αυτό έχει συντεταγμένες Ν⎜⎜⎜⎝⎛⎜ xΑ + xΓ , yΑ + yΓ ⎟⎟⎞⎟⎟⎟⎠ ≡ Ν⎝⎛⎜⎜⎜3 + 4 , −1 + 0⎟⎟⎠⎞⎟⎟ ≡ Ν⎜⎝⎜⎜⎛27 , − 21⎟⎟⎞⎟⎟⎠ . 2 2 2 2 Είναι µ2 ⊥ ΑΓ , οπότε ισχύει λµ2λΑΓ = −1 , όπου λΑΓ = yΓ − yΑ = 0+1 =1. xΓ − xΑ 4−3 Άρα είναι λµ2 ⋅ 1 = −1 ⇔ λµ2 = −1 και η (µ2) έχει εξίσωση µ2 : y − yΝ = λµ2 (x − xΝ) ⇔ µ2 : y + 1 = −⎜⎜⎝⎛⎜x − 27 ⎟⎟⎞⎟⎠⎟ ⇔ µ2 : y + 1 = −x + 7 ⇔ 2 2 2 ⇔ µ2 : x + y = 3 (2) Από την επίλυση του συστήματος των (1) και (2) προκύπτει x = 2 , y = 1 , οπότε το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο Κ(2 ,1) . Η ακτίνα του είναι ίση με ρ = (ΚΓ) ⇔ ρ2 = (ΚΓ)2 = (xΓ − xΚ )2 + (yΓ − yΚ )2 = (4 − 2)2 + (0 − 1)2 ⇔ ρ2 = 5 . Τελικά, ο κύκλος έχει εξίσωση c : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 5 . Σημαντικά σχόλια Η δεύτερη λύση δόθηκε για δύο λόγους: 1ος Για να δείξω έναν ακόμη τρόπο αντιμετώπισης της άσκησης. Προσωπικά όμως δεν θα ακολουθούσα αυτόν τον δρόμο. Ο πρώτος τρόπος επίλυσης - 681 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος της άσκησης είναι σαφώς πιο βατός, λιγότερο «τεχνικός», αν και με περισσότερες πρά- ξεις. 2ος Για να δείξω πώς θα έπρεπε να λύσεις την άσκηση, αν είχε την ισοδύναμη εκφώ- νηση: «Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ, όπου Α..., Β..., Γ... ». Στην περίπτωση αυτή βέβαια, πάλι ο πρώτος τρόπος θα ήταν καλύτερος, αρκεί να ξε- κινούσε η λύση ως εξής: «Αφού ο ζητούμενος κύκλος είναι ο περιγεγραμμένος του τριγώνου ΑΒΓ, ο κύκλος διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ, οπότε...». Άσκηση 439 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 4) και Β(−3 , 0) και έχει ακτίνα 10 . Λύση Αφού ο κύκλος έχει ακτίνα 10 , η εξίσωσή του είναι c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = 10 (1) όπου K(x0 , y0) το κέντρο του. Αφού ο κύκλος διέρχεται: • από το Α, θέτω x = 1 , y = 4 στην (1) και έχω (1 − x0)2 + (4 − y0)2 = 10 . • από το Β, θέτω x = −3 , y = 0 στην (1) και έχω (−3 − x0)2 + (0 − y0)2 = 10 ⇔ (3 + x0)2 + y20 = 10 (2) Στις δύο αυτές σχέσεις τα δεξιά μέλη είναι ίσα, οπότε προκύπτει (1 − x0)2 + (4 − y0)2 = (3 + x0)2 + y20 ⇔ ⇔ 1+ x20 − 2x0 + 16 + y20 − 8y0 = 9 + x 2 + 6x0 + y20 ⇔ 0 - 682 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ⇔ 17 − 2x0 − 8y0 = 9 + 6x0 ⇔ 8 x0 + 8 y0 = 8 ⇔ x0 + y0 = 1 ⇔ y0 = 1 − x0 (3) Αντικαθιστώ την (3) στην (2) και έχω (3 + x0)2 + (1 − x0)2 = 10 ⇔ 9 + x20 + 6x0 + 1 + x20 − 2x0 − 10 = 0 ⇔ 2x 2 + 4x0 = 0 ⇔ 0 ⇔ x20 + 2x0 = 0 ⇔ x0(x0 + 2) = 0 ⇔ x0 = 0 ή x0 + 2 = 0 ⇔ x0 = 0 ή x0 = −2 . Ι. Για x0 = 0 , από την (3) έχω y0 = 1 , οπότε από την (1) έχω τον κύκλο c : x2 + (y − 1)2 = 10 . ΙΙ. Για x0 = −2 , από την (3) έχω y0 = 1 + 2 = 3 , οπότε από την (1) έχω τον κύκλο c : (x + 2)2 + (y − 3)2 = 10 . Άσκηση 440 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει ακτίνα 2, διέρχεται από το σημείο ( )Α 2, 3 και έχει το κέντρο του στον άξονα x΄x. Λύση Αφού ο κύκλος έχει ακτίνα 2 και το κέντρο του είναι στον άξονα x΄x, η εξίσωσή του είναι c : (x − x0)2 + y2 = 4 (1) , όπου K(x0 , 0) το κέντρο του. Αφού ο κύκλος διέρχεται από το Α, θέτω x = 2 , y = 3 στην (1) και έχω (2 − x0)2 + 3 2 = 4 ⇔ (2 − x0)2 = 1 ⇔ 2 − x0 = 1 ή 2 − x0 = −1 ⇔ x0 = 1 ή x0 = 3 . Έτσι, από την (1) έχω δύο κύκλους, τους c1 : (x − 1)2 + y2 = 4 , c2 : (x − 3)2 + y2 = 4 . - 683 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 441 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, όπου Α(−2 , 0) , Β(4 , 0) . Λύση Αφού το ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου: α) το μέσο Μ του ΑΒ είναι το κέντρο του κύκλου και έχει συντεταγμένες Μ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ xΑ + xΒ , 0⎟⎟⎟⎞⎠⎟⎟ ≡ Μ⎜⎜⎝⎛⎜−22+ 4 , 0⎟⎠⎞⎟⎟⎟ ≡ Μ(1, 0) . 2 β) η ακτίνα ρ του κύκλου ισούται με ρ = (ΜΑ) = (ΜΒ) = 1 ⋅ (ΑΒ) , οπότε 2 ρ2 = (ΜΑ)2 = xΑ − xΜ 2 = −2 − 1 2 ⇔ ρ2 = 9 . Τελικά, η ζητούμενη εξίσωση είναι c : (x − 1)2 + y2 = 9 . Άσκηση 442 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α(−2 ,1) και εφάπτε- ται του άξονα y΄y στο σημείο Β(0 ,− 3) . Λύση Η εξίσωση του κύκλου είναι c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο και ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα y΄y, ισχύει οπότε είναι ρ = x0 ⇔ ρ2 = x0 2 = x20 , c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = x20 (2) Αφού ο κύκλος εφάπτεται του y΄y στο Β, είναι y0 = −3 . Άρα από την (2) έχω ότι ο κύκλος έχει εξίσωση - 684 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος c : (x − x0)2 + (y + 3)2 = x20 (3) Αφού ο κύκλος διέρχεται από το Α, θέτω x = −2 , y = 1 στην (3) και έχω (−2 − x0)2 + (1 + 3)2 = x20 ⇔ (2 + x0)2 + 16 = x20 ⇔ 4+ x 2 + 4x0 + 16 = x20 ⇔ 0 ⇔ 4x0 = −20 ⇔ x0 = −5 . Τελικά, από την (3) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : (x + 5)2 + (y + 3)2 = 25 . Άσκηση 443 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει ακτίνα 2 και εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου c1 : x2 + y2 = 9 στο σημείο του Α(0 , 3) . Λύση Αφού ο ζητούμενος κύκλος έχει ακτίνα 2, έχει εξίσωση c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = 4 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο του. Αφού ο (c) εφάπτεται εξωτερικά του (c1) , ισχύει (OK) = ρc + ρc1 , όπου (ΟΚ) είναι η απόσταση των κέντρων των δύο κύκλων (ο δεύτερος κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο), ρc είναι η ακτίνα του κύκλου (c) και ρc1 η ακτίνα του (c1) . Έτσι, από την σχέση (OK) = ρc + ρc1 έχω (OK) = 2 + 3 ⇔ (OK) = 5 ⇔ (OK)2 = 25 ⇔ x20 + y20 = 25 ⇔ x20 = 25 − y20 (2) Αφού ο κύκλος (c) εφάπτεται του (c1) στο Α, το Α ανήκει στον (c), οπότε θέτω x = 0 , y = 3 στην (1) και έχω (2) (0 − x0)2 + (3 − y0)2 = 4 ⇔ x20 + (3 − y0)2 = 4 ⇔ 25 − y20 + 9 + y20 − 6y0 = 4 ⇔ ⇔ 6y0 = 30 ⇔ y0 = 5 . - 685 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Από την (2) έχω τότε x20 = 25 − 52 ⇔ x20 = 0 ⇔ x0 = 0 . Τελικά, από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : x2 + (y − 5)2 = 4 . Άσκηση 444 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(3 ,− 2) και εφάπτεται της ευθείας ε : y = 3x − 1 . Λύση Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το K(3 ,− 2) , έχει εξίσωση c : (x − 3)2 + (y + 2)2 = ρ2 (1) , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται της (ε), ισχύει d(Κ , ε) = ρ . Είναι ε : y = 3x − 1 ⇔ ε : 3x − y − 1 = 0 , οπότε από την προηγούμενη σχέση έχω 3 ⋅ 3 − (−2) − 1 =ρ⇔ρ= 10 ⇔ ρ2 = 100 ⇔ ρ2 = 10 . 32 + (−1)2 10 10 Έτσι, από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : (x − 3)2 + (y + 2)2 = 10 . - 686 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 445 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται της ευθείας ε : 3x − 2y = 10 και εί- ναι ομόκεντρος του κύκλου c1 : 3x2 + 3y2 + 2x − 6y − 1 = 0 . Λύση Η εξίσωση του (c1) ισοδύναμα γράφεται x2 + y2 + 2 x − 2y − 1 = 0. 3 3 Κέντρο του (c1) είναι το σημείο Κ ⎜⎜⎜⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜− 2 , − −22⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞ ≡ Κ ⎛⎝⎜⎜⎜− 1 ,1⎟⎟⎞⎠⎟⎟ . 3 3 2 Αφού ο ζητούμενος κύκλος είναι ομόκεντρος του (c1) , έχει και αυτός κέντρο το Κ, άρα η εξίσωσή του είναι c : ⎜⎜⎜⎝⎛x + 1 ⎟⎟⎟⎞⎟⎠2 + (y − 1)2 = ρ2 (1) , 3 όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο (c) εφάπτεται της (ε), ισχύει d(Κ , ε) = ρ . Είναι ε : 3x − 2y = 10 ⇔ ε : 3x − 2y − 10 = 0 και από την προηγούμενη σχέση έχω 3 ⋅ −1 − 2 ⋅1 − 10 = ρ ⇔ ρ = 13 ⇔ ρ2 = 132 ⇔ ρ2 = 13 . 3 13 13 32 + (−2)2 Άρα από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : ⎜⎝⎜⎜⎛x + 1 ⎠⎟⎞⎟⎟⎟2 + (y − 1)2 = 13 . 3 - 687 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 446 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο την κοινή χορδή των κύκλων c1 : x2 + y2 − 2x − 1 = 0 , c2 : x2 + (y + 1)2 = 4 . Λύση Η εξίσωση του κύκλου (c2) ισοδύναμα γράφεται c2 : x2 + y2 + 1 + 2y − 4 = 0 ⇔ c2 : x2 + y2 + 2y − 3 = 0 . Τα άκρα της κοινής χορδής των δύο κύκλων είναι τα σημεία τομής των κύκλων και οι συντεταγμένες τους θα προκύψουν από την επίλυση του συστήματος ⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪ c1 : x2 + y2 − 2x − 1 = 0 ⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪ . c2 : x2 + y2 + 2y − 3 = 0 Αφαιρώντας την πρώτη εξίσωση από την δεύτερη, προκύπτει 2 y + 2x − 2 = 0 ⇔ x + y − 1 = 0 ⇔ y = 1 − x (1) Αντικαθιστώ την (1) στην εξίσωση του (c1) και έχω x2 + (1 − x)2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x2 + 1 + x2 − 2x − 2x − 1 = 0 ⇔ 2x2 − 4x = 0 ⇔ ⇔ x2 − 2x = 0 ⇔ x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ή x − 2 = 0 ⇔ x = 0 ή x = 2 . α) Για x = 0 , από την (1) έχω y = 1 , οπότε ένα κοινό σημείο είναι το A(0 ,1) . β) Για x = 2 , από την (1) έχω y = 1 − 2 = −1 , οπότε δεύτερο κοινό σημείο είναι το B(2 ,− 1) . Επομένως, ο ζητούμενος κύκλος έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, άρα: Ι. το κέντρο του Κ είναι το μέσο του ΑΒ, με συντεταγμένες Κ ⎜⎜⎜⎝⎜⎛ xΑ + xΒ , yΑ + yΒ ⎟⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ≡ Κ ⎜⎜⎝⎜⎛ 0 + 2 , 1 − 1⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ≡ Κ(1 , 0) . 2 2 2 2 ΙΙ. η ακτίνα του είναι ρ = (ΚΑ) = (ΚΒ) = 1 ⋅ (ΑΒ) ⇔ ρ2 = (ΚΑ)2 = (xΑ − xΚ )2 + (yΑ − yΚ )2 = 2 - 688 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος = (0 − 1)2 + (1 − 0)2 ⇔ ρ2 = 2 . Τελικά, η ζητούμενη εξίσωση είναι η c : (x − 1)2 + y2 = 2 . Άσκηση 447 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(−3 ,1) και αποκόπτει από την ευθεία ε : 3x + 4y = 0 χορδή μήκους 8. Λύση Αφού το Κ(−3 ,1) είναι το κέντρο του κύκλου, αυτός έχει εξίσωση c : (x + 3)2 + (y − 1)2 = ρ2 (1) , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Η ευθεία (ε) αποκόπτει από τον κύκλο την χορδή ΑΒ (σχήμα), με μήκος 8. Φέρνω το απόστημα ΚΜ της χορδής ΑΒ. Υπενθύμιση από την Γεωμετρία Το απόστημα μιας χορδής κύκλου είναι κάθετο στην χορδή και μάλιστα στο μέσο αυτής. Τότε είναι (ΑΜ) = 1 ⋅ (ΑΒ) = 1 ⋅8 = 4 και (ΚΑ) = ρ . 2 2 Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΜΑ προκύπτει ότι (ΚΑ)2 = (ΚΜ)2 + (ΑΜ)2 ⇔ ρ2 = ⎡⎢⎣d(Κ , ε)⎤⎥⎦2 + 42 ⇔ ρ2 = ⎜⎜⎛⎜⎜⎜⎝ 3 ⋅ (−3) + 4 ⋅1 ⎟⎟⎟⎞⎟⎠⎟⎟2 + 16 ⇔ ⇔ ρ2 = ⎜⎜⎛⎜⎝55⎞⎟⎟⎟⎠⎟2 + 16 ⇔ ρ2 = 17 . 32 + 42 Πρόσεξε πολύ ότι (ΚΜ) = d(Κ , ε) ! Άρα από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : (x + 3)2 + (y − 1)2 = 17 . - 689 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 448 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος εφάπτεται της ευθείας y = 2x + 3 στο σημείο της Α(−1,1) και έχει ακτίνα 20 . Λύση Αφού ο κύκλος έχει ακτίνα 20 , η εξίσωσή του είναι c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = 20 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο του. Είναι ε : y = 2x + 3 ⇔ ε : 2x − y + 3 = 0 . Αφού ο κύκλος εφάπτεται της (ε), ισχύει d(Κ , ε) = ρ , από όπου έχω 2x0 − y0 + 3 = 20 ⇔ 2x0 − y0 + 3 = 20 ⇔ 2x0 − y0 + 3 = 5 ⋅ 20 ⇔ 22 + (−1)2 5 ⇔ 2x0 − y0 + 3 = 10 (2) Αφού ο κύκλος εφάπτεται της (ε) στο Α, το Α ανήκει στον κύκλο, οπότε θέτω x = −1 , y = 1 στην (1) και έχω (−1 − x0)2 + (1 − y0)2 = 20 (3) Από την (2) προκύπτει 2x0 − y0 + 3 = 10 ή 2x0 − y0 + 3 = −10 ⇔ ⇔ y0 = 2x0 − 7 (4) ή y0 = 2x0 + 13 (5) α) Αντικαθιστώ την (4) στην (3) και έχω (1 + x0)2 + (1 − 2x0 + 7)2 = 20 ⇔ (1 + x0)2 + (8 − 2x0)2 = 20 ⇔ ⇔ 1 + x20 + 2x0 + 64 + 4x20 − 32x0 − 20 = 0 ⇔ 5x 2 − 30x0 + 45 = 0 ⇔ 0 ⇔ x20 − 6x0 + 9 = 0 ⇔ (x0 − 3)2 = 0 ⇔ x0 − 3 = 0 ⇔ x0 = 3 . Τότε από την (4) έχω ότι y0 = 2 ⋅ 3 − 7 = −1 και από την (1) προκύπτει ο κύκλος - 690 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος c1 : (x − 3)2 + (y + 1)2 = 20 . β) Αντικαθιστώ την (5) στην (3) και έχω (1 + x0)2 + (1 − 2x0 − 13)2 = 20 ⇔ (1 + x0)2 + (−2x0 − 12)2 = 20 ⇔ ⇔ 1 + x 2 + 2x0 + 4x20 + 144 + 48x0 − 20 = 0 ⇔ 5x20 + 50x0 + 125 = 0 ⇔ 0 ⇔ x20 + 10x0 + 25 = 0 ⇔ (x0 + 5)2 = 0 ⇔ x0 + 5 = 0 ⇔ x0 = −5 . Τότε από την (5) έχω ότι y0 = 2 ⋅ (−5) + 13 = 3 και από την (1) προκύπτει ο κύκλος c2 : (x + 5)2 + (y − 3)2 = 20 . Δεύτερος τρόπος Αφού ο κύκλος έχει ακτίνα 20 , η εξίσωσή του είναι c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = 20 (1) όπου K(x0 , y0) το κέντρο του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία ε : y = 2x + 3 , ας είναι Α το σημείο επαφής. Τότε η ΚΑ είναι κάθετη στην (ε), οπότε ισχύει λΚΑλε = −1 ⇔ λΚΑ ⋅2 = −1 ⇔ λΚΑ = − 1 . 2 Έτσι, η εξίσωση της ΚΑ είναι ΚΑ : y − yΑ = λΚΑ (x − xΑ) ⇔ ΚΑ : y −1 = − 1 (x + 1) ⇔ ΚΑ : 2y −2 = −x −1 ⇔ 2 ⇔ ΚΑ : x + 2y = 1 . Το Κ ανήκει στην ΚΑ, οπότε θέτω x = x0 , y = y0 στην εξίσωση της ΚΑ και έχω ότι x0 + 2y0 = 1 ⇔ x0 = 1 − 2y0 (2) Αφού ο κύκλος εφάπτεται στην (ε) στο Α, ισχύει (ΚΑ) = ρ , από όπου έχω - 691 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος (2) (ΚΑ)2 = ρ2 ⇔ (xΑ − xΚ )2 + (yΑ − yΚ )2 = 20 ⇔ (−1 − x0)2 + (1 − y0)2 = 20 ⇔ ⇔ (−1 − 1 + 2y0)2 + (1 − y0)2 = 20 ⇔ (2y0 − 2)2 + (y0 − 1)2 = 20 ⇔ ⇔ ⎢⎡⎣2(y0 − 1)⎦⎥⎤2 + (y0 − 1)2 = 20 ⇔ 4(y0 − 1)2 + (y0 − 1)2 = 20 ⇔ 5 (y0 − 1)2 = 20 ⇔ ⇔ (y0 − 1)2 = 4 ⇔ y0 − 1 = 2 ή y0 − 1 = −2 ⇔ y0 = 3 ή y0 = −1 . α) Για y0 = 3 , από την (2) έχω ότι x0 = 1 − 2 ⋅ 3 = −5 , οπότε από την (1) έχω τον κύκλο c1 : (x + 5)2 + (y − 3)2 = 20 . β) Για y0 = −1 , από την (2) έχω ότι x0 = 1 − 2 ⋅ (−1) = 3 , οπότε από την (1) έχω τον κύκλο c2 : (x − 3)2 + (y + 1)2 = 20 . Άσκηση 449 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες ε1 : 3x + 2y + 1 = 0 και ε2 : 9x + 6y = 10 και το ένα σημείο επαφής είναι το Α(1,− 2) . Λύση Παρατηρώ ότι λ ε1 = − 3 , λ ε2 = − 9 = − 3 , άρα οι (ε1) , (ε2) είναι μεταξύ τους παράλ- 2 6 2 ληλες. Επίσης, παρατηρώ ότι, αν θέσω x = xA = 1 , y = yA = −2 στην εξίσωση της (ε1) , προ- κύπτει 3 ⋅1 + 2 ⋅ (−2) + 1 = 4 − 4 = 0 , το οποίο σημαίνει ότι το Α ανήκει στην (ε1) . Προς τι αυτές οι παρατηρήσεις; Σε τι αποσκοπούν; Η αρχική παρατήρηση, ότι οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, δίνει ως συμπέρασμα (λόγω του ότι εφάπτονται στον κύκλο) πως τα σημεία επαφής είναι τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου. - 692 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Ελέγχοντας σε ποια από τις δύο ευθείες ανήκει το Α, το αντιδιαμετρικό αυτού (ας το ονομάσουμε Β) θα δίνει την διάμετρο ΑΒ του κύκλου, η οποία θα είναι κάθετη στις δύο ευθείες. Άρα, θα μπορέσω να βρω και το Β, οπότε γνωρίζοντας τα άκρα της διαμέτρου, θα μπορέσω να βρω το κέντρο και την ακτίνα του ζητούμενου κύκλου. Αφού το Α ανήκει στην (ε1) , η ΚΑ θα είναι κάθετη στην (ε1) (ως ακτίνα που καταλή- γει στο σημείο επαφής), οπότε αν ονομάσω Β το αντιδιαμετρικό του Α στον κύκλο, η ΑΒ θα είναι διάμετρος του κύκλου και κάθετη στις δύο ευθείες. Είναι ΑΒ⊥ ε1 , οπότε ισχύει λΑΒλε1 = −1 ⇔ λΑΒ ⋅ −3 = −1 ⇔ λΑΒ = 2 , 2 3 επομένως η ΑΒ έχει εξίσωση ΑΒ : y − yΑ = λΑΒ(x − xΑ ) ⇔ ΑΒ : y +2 = 2 (x − 1) ⇔ ΑΒ : 3y +6 = 2(x − 1) ⇔ 3 ⇔ ΑΒ : 3y + 6 = 2x − 2 ⇔ ΑΒ : 2x − 3y = 8 . Από το σύστημα ⎪⎨⎧⎩⎪⎪⎪⎪ ΑΒ : 2x − 3y = 8 ⎪⎭⎫⎪⎪⎪⎬⎪ προκύπτει x=2, y=− 4 , οπότε είναι ε2 : 9x + 6y = 10 3 Β⎜⎛⎝⎜⎜2 ,− 4 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞ . 3 Έτσι, αφού το τμήμα ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου: α) το μέσο Κ του ΑΒ θα είναι το κέντρο του κύκλου, με συντεταγμένες Κ⎜⎛⎜⎝⎜⎜ xΑ + xΒ , yΑ + yΒ ⎟⎠⎞⎟⎟⎟⎟ ≡ Κ ⎜⎜⎜⎜⎛⎜⎝⎜⎜⎜⎜1 + 2 , −2− 4 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎟⎠ ≡ Κ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎜⎜⎜ 32 , − 10 ⎠⎟⎟⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ≡ Κ⎜⎜⎛⎝⎜32 ,− 35⎟⎠⎟⎟⎟⎞ . 2 2 2 2 3 3 2 β) η ακτίνα του κύκλου θα είναι ρ = (ΚΑ) = (ΚΒ) = 1 ⋅ (ΑΒ) ⇔ ρ2 = (ΚΑ)2 = (xΑ − xΚ )2 + (yΑ − yΚ )2 ⇔ 2 ⇔ ρ2 = ⎜⎜⎜⎝⎛1 − 3 ⎠⎟⎟⎟⎟⎞2 + ⎜⎝⎜⎜⎛−2 + 5 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞2 = ⎝⎜⎜⎛⎜− 1 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞2 + ⎜⎜⎝⎜⎛− 1 ⎟⎟⎟⎟⎞⎠2 = 1 + 1 ⇔ ρ2 = 13 . 2 3 2 3 4 9 36 Τελικά, η εξίσωση του κύκλου είναι c : ⎜⎝⎜⎛⎜x − 3 ⎞⎟⎟⎠⎟⎟2 + ⎜⎜⎝⎛⎜y + 5 ⎞⎟⎟⎟⎠⎟2 = 13 . 2 3 36 - 693 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 450 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα σημεία τομής των κύ- κλων c1 : x2 + y2 − 2x + 4y − 20 = 0 , c2 : x2 + y2 + x − 2y − 20 = 0 και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία ε : 3x + 2y + 1 = 0 . Λύση Η εξίσωση του ζητούμενου κύκλου είναι c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο και ρ > 0 η ακτίνα του. Τα σημεία τομής των (c1) , (c2) προκύπτουν από την επίλυση του συστήματος ⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ c1 : x2 + y2 − 2x + 4y − 20 = 0 ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪ . c2 : x2 + y2 + x − 2y − 20 = 0 Αφαιρώ την πρώτη εξίσωση από την δεύτερη και έχω 3x − 6y = 0 ⇔ 3x = 6y ⇔ x = 2y (2) Αντικαθιστώ την (2) στην εξίσωση του (c2) και έχω (2y)2 + y2 + 2y − 2y − 20 = 0 ⇔ 4y2 + y2 = 20 ⇔ 5y2 = 20 ⇔ y2 = 4 ⇔ y = ± 4 ⇔ ⇔ y = 2 ή y = −2 . α) Για y = 2 , από την (2) έχω x = 2 ⋅ 2 = 4 , οπότε ένα σημείο τομής είναι το A(4 , 2) . β) Για y = −2 , από την (2) έχω x = 2 ⋅ (−2) = −4 , οπότε δεύτερο σημείο τομής είναι το B(−4 ,− 2) . Αφού ο ζητούμενος κύκλος διέρχεται από: Ι. το Α, θέτω x = 4 , y = 2 στην (1) και έχω (4 − x0)2 + (2 − y0)2 = ρ2 . ΙΙ. το Β, θέτω x = −4 , y = −2 στην (1) και έχω (−4 − x0)2 + (−2 − y0)2 = ρ2 . - 694 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Τα δεξιά μέλη είναι ίσα στις δύο αυτές σχέσεις, οπότε έχω ότι (4 − x0)2 + (2 − y0)2 = (4 + x0)2 + (2 + y0)2 ⇔ ⇔ 16 + x20 − 8x0 + 4 + y20 − 4y0 = 16 + x 2 + 8x0 + 4 + y20 + 4y0 ⇔ 0 ⇔ −8x0 − 4y0 = 8x0 + 4y0 ⇔ 16x0 + 8y0 = 0 ⇔ 2x0 + y0 = 0 (3) Αφού το κέντρο Κ ανήκει στην (ε), θέτω x = x0 , y = y0 στην εξίσωση της (ε) και έχω ότι ισχύει 3x0 + 2y0 + 1 = 0 (4) Από το σύστημα των (3) και (4) προκύπτει x0 = 1 , y0 = −2 . Τότε, από την σχέση (4 − x0)2 + (2 − y0)2 = ρ2 έχω ρ2 = (4 − 1)2 + (2 + 2)2 ⇔ ρ2 = 25 . Τελικά, από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : (x − 1)2 + (y + 2)2 = 25 . Άσκηση 451 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτε- ται στην ευθεία ε : 3x − 4y + 20 = 0 . Λύση Αφού το κέντρο του κύκλου είναι το O(0 , 0) , αυτός έχει εξίσωση c : x2 + y2 = ρ2 (1) , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται στην (ε) ισχύει d(Ο, ε) = ρ , από όπου έχω 3 ⋅ 0 − 4 ⋅ 0 + 20 = ρ ⇔ ρ = 20 ⇔ ρ = 4 ⇔ ρ2 = 16 . 32 + (−4)2 5 Άρα από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : x2 + y2 = 16 . - 695 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 452 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α(2 ,1) και εφάπτεται στην ευθεία ε : y = x στην αρχή των αξόνων. Λύση Η εξίσωση του κύκλου είναι c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο και ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος διέρχεται από το Α, θέτω x = 2 , y = 1 στην (1) και έχω (2 − x0)2 + (1 − y0)2 = ρ2 (2) Είναι ε : y = x ⇔ ε : x − y = 0 και επειδή ο κύκλος εφάπτεται στην (ε), ισχύει d(Κ , ε) = ρ ⇔ x0 − y0 = ρ ⇔ ρ2 = x0 − y0 2 ⇔ ρ2 = (x0 − y0 )2 (3) 12 + (−1)2 2 2 Αφού ο κύκλος εφάπτεται στην (ε) στο Ο(0 , 0) , το Ο ανήκει στον κύκλο, οπότε θέτω x = 0 , y = 0 στην (1) και έχω ότι (0 − x0)2 + (0 − y0)2 = ρ2 ⇔ x20 + y20 = ρ2 (4) Από τις (3) και (4) έχω ότι ισχύει (x0 − y0)2 = x20 + y20 ⇔ x20 + y20 − 2x0y0 = 2x20 + 2y20 ⇔ x20 + y20 + 2x0y0 =0⇔ 2 ⇔ (x0 + y0)2 = 0 ⇔ x0 + y0 = 0 ⇔ y0 = −x0 (5) Από τις (2) και (4) έχω ότι ισχύει (5) (2 − x0)2 + (1 − y0)2 = x20 + y20 ⇔ (2 − x0)2 + (1 + x0)2 = x20 + (−x0)2 ⇔ ⇔ 4+ x 2 − 4x0 + 1 + x20 + 2x0 = 2x20 ⇔ 5 − 2x0 = 0 ⇔ 2x0 = 5 ⇔ x0 = 5 . 0 2 Τότε, από την (5) έχω ότι y0 = − 5 . 2 - 696 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Επίσης, από την (4) έχω ρ2 = ⎝⎛⎜⎜⎜ 5 ⎟⎟⎞⎠⎟⎟2 + ⎛⎜⎜⎜⎝− 25⎠⎟⎞⎟⎟⎟2 = 2 ⋅ ⎜⎜⎜⎛⎝ 5 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞2 = 2⋅ 25 ⇔ ρ2 = 25 . 2 2 4 2 Τελικά, από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : ⎜⎜⎜⎛⎝x − 25⎟⎞⎟⎟⎟⎠2 + ⎜⎜⎝⎛⎜y + 5 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟2 = 25 . 2 2 Άσκηση 453 Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ, όπου Α(1,− 1) , Β(3 ,1) , Γ(−1, 3) . Λύση Δες ξανά την άσκηση 438 και το σχόλιο που έγινε εκεί. Πρώτος τρόπος Η εξίσωση του κύκλου είναι c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο και ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο ζητούμενος κύκλος είναι ο περιγεγραμμένος του τριγώνου ΑΒΓ, ο κύκλος διέρχεται από τα Α, Β, Γ, οπότε αφού διέρχεται: • από το Α, θέτω x = 1 , y = −1 στην (1) και έχω (1 − x0)2 + (−1 − y0)2 = ρ2 (2) • από το Β, θέτω x = 3 , y = 1 στην (1) και έχω (3 − x0)2 + (1 − y0)2 = ρ2 (3) • από το Γ, θέτω x = −1 , y = 3 στην (1) και έχω (−1 − x0)2 + (3 − y0)2 = ρ2 (4) - 697 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Από τις (2) και (3) προκύπτει (1 − x0)2 + (−1 − y0)2 = (3 − x0)2 + (1 − y0)2 ⇔ ⇔ 1 + x20 − 2x0 + 1 + y20 + 2y0 = 9 + x20 − 6x0 + 1 + y20 − 2y0 ⇔ ⇔ −2x0 + 1 + 2y0 = 9 − 6x0 − 2y0 ⇔ 4x0 + 4y0 = 8 ⇔ x0 + y0 = 2 (5) Από τις (3) και (4) προκύπτει (3 − x0)2 + (1 − y0)2 = (−1 − x0)2 + (3 − y0)2 ⇔ ⇔ 9 + x20 − 6x0 + 1 + y20 − 2y0 = 1 + x20 + 2x0 + 9 + y20 − 6y0 ⇔ ⇔ −6x0 − 2y0 = 2x0 − 6y0 ⇔ 8x0 − 4y0 = 0 ⇔ 2x0 − y0 = 0 (6) Από το σύστημα των (5) και (6) προκύπτει x0 = 2 , y0 = 4 . 3 3 Από την (2) έχω τότε ⎛⎜⎜⎝⎜1 − 2 ⎟⎠⎟⎞⎟⎟2 + ⎜⎜⎛⎝⎜−1 − 4 ⎠⎟⎞⎟⎟⎟2 = ρ2 ⇔ ρ2 = ⎜⎜⎜⎝⎛ 1 ⎠⎟⎟⎟⎞⎟2 + ⎛⎜⎝⎜⎜− 7 ⎟⎟⎞⎠⎟⎟2 = 1 + 49 ⇔ ρ2 = 50 . 3 3 3 3 9 9 9 Τελικά, από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : ⎝⎜⎜⎛⎜x − 2 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟2 + ⎜⎛⎜⎝⎜y − 4 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟2 = 50 . 3 3 9 Δεύτερος τρόπος Αφού ο ζητούμενος κύκλος είναι ο περιγεγραμμένος του τριγώνου ΑΒΓ: • το κέντρο του είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών του ΑΒΓ. • η ακτίνα του είναι ίση με την απόσταση του περίκεντρου από οποιαδήποτε κορυφή του ΑΒΓ. Έτσι, αν ονομάσω (µ1) , (µ2) τις μεσοκαθέτους των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, τότε το ση- μείο τομής τους (έστω Κ) είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου. - 698 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Εξίσωση της (µ1) Αν Μ είναι το μέσο της ΑΒ, τότε Μ⎛⎜⎜⎜⎝⎜ xΑ + xΒ , yΑ + yΒ ⎟⎟⎟⎠⎟⎞⎟ ≡ Μ⎛⎝⎜⎜⎜1 + 3 , −1 + 1⎟⎟⎟⎠⎞⎟ ≡ Μ(2 , 0) . 2 2 2 2 Αφού είναι µ1 ⊥ ΑΒ , ισχύει λµ1λΑΒ = −1 , όπου λΑΒ = yΒ − yΑ = 1+1 = 2 =1, xΒ − xΑ 3−1 2 οπότε λµ1 ⋅ 1 = −1 ⇔ λµ1 = −1 και η (µ1) έχει εξίσωση µ1 : y − yΜ = λµ1 (x − xΜ) ⇔ µ1 : y − 0 = −1 ⋅ (x − 2) ⇔ µ1 : y = −x + 2 ⇔ ⇔ µ1 : x + y = 2 (1) Εξίσωση της (µ2) Αν N είναι το μέσο της ΑΓ, τότε Ν⎝⎜⎜⎜⎛⎜ xΑ + xΓ , yΑ + yΓ ⎟⎟⎞⎟⎠⎟⎟ ≡ Ν⎝⎜⎜⎜⎛1 − 1 , −1 + 3 ⎠⎟⎟⎟⎟⎞ ≡ Ν(0 , 1) . 2 2 2 2 Αφού είναι µ2 ⊥ ΑΓ , ισχύει λµ2λΑΓ = −1 , όπου λΑΓ = yΓ − yΑ = 3+1 = 4 = −2 , xΓ − xΑ −1 − 1 −2 οπότε λµ2 ⋅ (−2) = −1 ⇔ λµ1 = 1 2 και η (µ2) έχει εξίσωση µ2 : y − yΝ = λµ2 (x − xΝ) ⇔ µ2 : y −1 = 1 (x − 0) ⇔ µ2 : 2y −2 = x ⇔ 2 ⇔ µ2 : x − 2y = −2 (2) - 699 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Από την επίλυση του συστήματος των (1) και (2) προκύπτει x = 2 , y= 4 , οπότε το 3 3 K ⎜⎜⎛⎜⎝ 2 4 ⎟⎞⎠⎟⎟⎟ κέντρο του ζητούμενου κύκλου είναι το 3 , 3 . Η ακτίνα του ρ είναι ρ = (ΚΑ) ⇔ ρ2 = (ΚΑ)2 = (xΚ − xΑ )2 + (yΚ − yΑ )2 = ⎝⎜⎜⎜⎛1 − 2 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞2 + ⎜⎛⎝⎜⎜−1 − 4 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞2 = ⎛⎝⎜⎜⎜ 1 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟2 + ⎜⎜⎜⎛⎝− 7 ⎠⎟⎟⎞⎟⎟2 = 3 3 3 3 = 1 + 49 ⇔ ρ2 = 50 . 9 9 9 Τελικά, ο ζητούμενος κύκλος είναι ο c : ⎛⎜⎝⎜⎜x − 2 ⎟⎟⎟⎠⎟⎞2 + ⎜⎜⎜⎝⎛y − 4 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟2 = 50 . 3 3 9 Άσκηση 454 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ημιαξόνων Οx, Oy και της ευ- θείας ε : 3x + 4y − 12 = 0 . Λύση Η εξίσωση του κύκλου είναι c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο (με x0 > 0 , y0 > 0 , αφού εφάπτεται των ημιαξόνων Ox και Oy) και ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται: (2) y0>0 α) στον Ox, ισχύει ρ = y0 ⇔ ρ = y0 x0>0 β) στον Oy, ισχύει ρ = x0 ⇔ ρ = x0 (3) γ) στην ευθεία (ε), ισχύει d(Κ , ε) = ρ , από όπου έχω 3x0 + 4y0 − 12 =ρ⇔ρ= 3x0 + 4y0 − 12 ⇔ 3x0 + 4y0 − 12 = 5ρ . 32 + 42 5 Από τις (2) και (3) προκύπτει - 700 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ρ = x0 = y0 (4) , οπότε έχω ότι 3x0 + 4x0 − 12 = 5x0 ⇔ 7x0 − 12 = 5x0 ⇔ 7x0 − 12 = 5x0 ή 7x0 − 12 = −5x0 ⇔ ⇔ 2x0 = 12 ή 12x0 = 12 ⇔ x0 = 6 ή x0 = 1 . Ι. Για x0 = 6 , από την (4) έχω ότι y0 = 6 , ρ = 6 , οπότε από την (1) έχω τον κύκλο c : (x − 6)2 + (y − 6)2 = 36 . ΙΙ. Για x0 = 1 , από την (4) έχω ότι y0 = 1 , ρ = 1 , οπότε από την (1) έχω τον κύκλο c : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1 . Άσκηση 455 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(1,− 2) και εφάπτεται εσωτε- ρικά του κύκλου c′ : x2 + y2 − 2x − 15 = 0 . Λύση Αφού το Κ(1,− 2) είναι το κέντρο, ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση c : (x − 1)2 + (y + 2)2 = ρ2 (1), όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Το κέντρο Κ΄ του κύκλου (c′) είναι το Κ′⎜⎜⎝⎛⎜− −2 ,− 0 ⎟⎟⎟⎟⎞⎠ ≡ Κ′(1, 0) , ενώ η ακτίνα του ρ′ 2 2 είναι ρ′ = 1 ⋅ (−2)2 + 02 − 4 ⋅ (−15) = 1 ⋅ 64 = 1 ⋅ 8 = 4. 2 2 2 Αφού ο κύκλος (c′) εφάπτεται εσωτερικά του ζητούμενου κύκλου, ισχύει δ = ρ − ρ′ , όπου δ = (ΚΚ′) η διάκεντρος των δύο κύκλων. Άρα είναι ρ = δ + ρ′ = (ΚΚ′) + 4 = yΚ′ − yΚ + 4 = 0 + 2 + 4 ⇔ ρ = 6 . Τελικά, από την (1) έχω τον κύκλο c : (x − 1)2 + (y + 2)2 = 36 . - 701 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 456 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(1, 0) και εφάπτεται της ευθείας ε : 3x + 4y + 2 = 0 . Λύση Αφού το Κ(1, 0) είναι το κέντρο, η εξίσωση του κύκλου είναι c : (x − 1)2 + (y − 0)2 = ρ2 ⇔ c : (x − 1)2 + y2 = ρ2 (1) όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο (c) εφάπτεται της (ε), ισχύει d(Κ , ε) = ρ , από όπου έχω ρ= 3 ⋅1 + 4 ⋅0 + 2 = 5 =1. 32 + 42 5 Άρα, από την (1) έχω ότι c : (x − 1)2 + y2 = 1 . Άσκηση 457 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(2α − 3β , 3α + 2β) . Λύση Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Ο, έχει εξίσωση c : x2 + y2 = ρ2 (1) , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού διέρχεται από το Α, θέτω x = 2α − 3β , y = 3α + 2β στην (1) και έχω (2α − 3β)2 + (3α + 2β)2 = ρ2 ⇔ ρ2 = 4α2 + 9β2 − 12αβ + 9α2 + 4β2 + 12αβ ⇔ ⇔ ρ2 = 13α2 + 13β2 ⇔ ρ2 = 13(α2 + β2) . Άρα, από την (1) έχω ότι c : x2 + y2 = 13(α2 + β2) . - 702 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 458 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Α(1, 0) και Β(3 , 4) και έχει το κέντρο του στην ευθεία ε : y = 2x − 3 . Λύση Ο κύκλος έχει εξίσωση c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο και ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος διέρχεται από το Α, θέτω x = 1 , y = 0 στην (1) και έχω (1 − x0)2 + (0 − y0)2 = ρ2 ⇔ (1 − x0)2 + y20 = ρ2 (2) Αφού ο κύκλος διέρχεται από το Β, θέτω x = 3 , y = 4 στην (1) και έχω (3 − x0)2 + (4 − y0)2 = ρ2 . Στις δύο τελευταίες εξισώσεις τα δεξιά μέλη είναι ίσα, οπότε έχω (1 − x0)2 + y20 = (3 − x0)2 + (4 − y0)2 ⇔ ⇔ 1 + x20 − 2x0 + y20 = 9 + x20 − 6x0 + 16 + y20 − 8y0 ⇔ 1 − 2x0 = 25 − 6x0 − 8y0 ⇔ ⇔ 4x0 + 8y0 = 24 ⇔ x0 + 2y0 = 6 (3) Αφού το κέντρο Κ ανήκει στην (ε), ισχύει y0 = 2x0 − 3 (4) Από το σύστημα των (3) και (4) προκύπτει x0 = 12 , y0 = 9 . 5 5 Από την (2) έχω τότε ⎛⎜⎜⎜⎝1 − 152⎟⎟⎟⎞⎟⎠2 + ⎜⎜⎜⎛⎝ 9 ⎟⎟⎠⎟⎟⎞2 = ρ2 ⇔ ρ2 = ⎝⎜⎜⎜⎛− 7 ⎟⎠⎞⎟⎟⎟2 + 81 = 49 + 81 = 130 ⇔ ρ2 = 26 . 5 5 25 25 25 25 5 Τελικά, από την (1) έχω ότι c : ⎛⎜⎝⎜⎜x − 12 ⎟⎠⎟⎟⎞⎟2 + ⎜⎝⎜⎛⎜y − 9 ⎟⎟⎟⎟⎞⎠2 = 26 . 5 5 5 - 703 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 459 Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το τμήμα ΑΒ, όπου Α(1, 3) , Β(−3 , 5) . Λύση Αφού το ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου, το κέντρο Κ του κύκλου θα είναι το μέσο του ΑΒ, οπότε είναι Κ⎝⎜⎜⎜⎛⎜ xΑ + xΒ , yΑ + yΒ ⎟⎟⎞⎠⎟⎟⎟ ≡ Κ ⎜⎜⎛⎝⎜1 − 3 , 3 + 5⎟⎟⎟⎟⎞⎠ ≡ Κ(−1 , 4) . 2 2 2 2 Επίσης, η ακτίνα ρ του κύκλου ισούται με ρ = 1 ⋅ (ΑΒ) ⇔ ρ2 = 1 ⋅ (ΑΒ)2 = 1 ⋅ ⎢⎡⎣(xΒ − xΑ )2 + (yΒ − yΑ )2 ⎤⎦⎥ = 1 ⋅ ⎣⎡⎢(−3 − 1)2 + (5 − 3)2 ⎤⎦⎥ = 2 4 4 4 = 1 ⋅ (16 + 4) ⇔ ρ2 = 5 . 4 Άρα, ο κύκλος έχει εξίσωση (x + 1)2 + (y − 4)2 = 5 . Άσκηση 460 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(3 ,1) και Β(−1, 3) και έχει το κέντρο του στην ευθεία ε : y = 3x − 2 . Ο κύκλος έχει εξίσωση Λύση c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο και ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος διέρχεται από το Α, θέτω x = 3 , y = 1 στην (1) και έχω (3 − x0)2 + (1 − y0)2 = ρ2 (2) Αφού ο κύκλος διέρχεται από το Β, θέτω x = −1 , y = 3 στην (1) και έχω (−1 − x0)2 + (3 − y0)2 = ρ2 . Στις δύο τελευταίες εξισώσεις τα δεξιά μέλη είναι ίσα, οπότε έχω - 704 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος (3 − x0)2 + (1 − y0)2 = (−1 − x0)2 + (3 − y0)2 ⇔ ⇔ 9 + x20 − 6x0 + 1 + y20 − 2y0 = 1 + x20 + 2x0 + 9 + y20 − 6y0 ⇔ ⇔ −6x0 − 2y0 = 2x0 − 6y0 ⇔ 8x0 − 4y0 = 0 ⇔ 2x0 − y0 = 0 (3) Αφού το κέντρο του κύκλου ανήκει στην (ε), ισχύει y0 = 3x0 − 2 (4) Από το σύστημα των (3) και (4) προκύπτει x0 = 2 , y0 = 4 . Από την (2) έχω τότε ρ2 = (3 − 2)2 + (1 − 4)2 = 1 + 9 ⇔ ρ2 = 10 . Τελικά, από την (1) έχω ότι c : (x − 2)2 + (y − 4)2 = 10 . Άσκηση 461 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει ακτίνα 5 και τέμνει τον άξονα y΄y στα σημεία Α(0 ,− 3) , Β(0 , 5) . Λύση Αφού ο κύκλος έχει ακτίνα 5, έχει εξίσωση c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = 25 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο του. Αφού ο κύκλος τέμνει τον y΄y: • στο Α, θέτω x = 0 , y = −3 στην (1) και έχω (0 − x0)2 + (−3 − y0)2 = 25 (2) • στο Β, θέτω x = 0 , y = 5 στην (1) και έχω (0 − x0)2 + (5 − y0)2 = 25 (3) Από τις (2) και (3) έχω ότι x20 + (3 + y0)2 = x20 + (5 − y0)2 ⇔ (3 + y0)2 = (5 − y0)2 ⇔ ⇔ 3 + y0 = 5 − y0 ή 3 + y0 = −5 + y0 ⇔ 2y0 = 2 ή 3 = −5 (αδύνατο) ⇔ y0 = 1 . - 705 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Για y0 = 1 , από την (2) έχω x20 + (−3 − 1)2 = 25 ⇔ x20 = 9 ⇔ x0 = ± 9 ⇔ x0 = 3 ή x0 = −3 . α) Για x0 = 3 , y0 = 1 , από την (1) έχω τον κύκλο c : (x − 3)2 + (y − 1)2 = 25 . β) Για x0 = −3 , y0 = 1 , από την (1) έχω τον κύκλο c : (x + 3)2 + (y − 1)2 = 25 . Σχόλιο Το y0 θα μπορούσε ευκολότερα να βρεθεί έτσι: Αφού ο κύκλος τέμνει τον y΄y στα Α και Β, η ΑΒ είναι χορδή του και η τεταγμένη του μέσου του ΑΒ θα δώσει την τεταγμένη του κέντρου, δηλαδή το y0 . Έτσι, αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, τότε Μ⎜⎜⎜⎜⎛⎝0 , yA + yB ⎞⎟⎠⎟⎟⎟⎟ ≡ M⎜⎜⎛⎜⎝0 , 5 − 3 ⎟⎟⎞⎟⎠⎟ ≡ M(0 ,1) , 2 2 συνεπώς είναι y0 = 1 . Για να βρω και το x0 , θα πρέπει να πω ότι το Α ανήκει στον κύκλο (ή να πω το ίδιο για το Β) και θα οδηγηθώ στην (2) (ή στην (3), αν πω για το Β). - 706 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 462 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(3 ,− 1) και αποκόπτει από την ευθεία ε : 2x − 5y + 18 = 0 χορδή μήκους 6 μονάδων μήκους. Λύση Αφού το Κ(3 ,− 1) είναι το κέντρο, ο κύκλος έχει εξίσωση c : (x − 3)2 + (y + 1)2 = ρ2 (1) , όπου ρ > 0 είναι η ακτίνα του κύκλου. Φέρνω το απόστημα ΚΜ της χορδής ΑΒ. Τότε το τρίγωνο ΚΜΑ είναι ορθογώνιο στο Μ, οπότε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχω ⎡⎣⎢d(Κ , ε)⎥⎦⎤2 ⎢⎣⎡⎢ (ΑΒ) ⎦⎤⎥⎥ 2 2 (ΚΜ)2 + (ΜΑ)2 = (ΚΑ)2 ⇔ + = ρ2 . Είναι d(Κ , ε) = 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ (−1) + 18 = 29 = 2 29 , 29 = 22 + (−5)2 29 29 οπότε από την προηγούμενη σχέση έχω 2 + ⎜⎛⎝⎜⎜ 6 ⎟⎟⎠⎞⎟⎟2 = ρ2 ⇔ ρ2 = 29 + 9 ⇔ ρ2 = 38 . 2 29 Τελικά, από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : (x − 3)2 + (y + 1)2 = 38 . - 707 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 463 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο (−2 ,1) και διέρχεται από το σημείο (−2 , 3) . Λύση Αφού το σημείο (−2 ,1) είναι το κέντρο του κύκλου, αυτός έχει εξίσωση c : (x + 2)2 + (y − 1)2 = ρ2 (1) , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος διέρχεται από το σημείο (−2 , 3) , θέτω x = −2 , y = 3 στην (1) και έχω (−2 + 2)2 + (3 − 1)2 = ρ2 ⇔ ρ2 = 4 . Άρα από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : (x + 2)2 + (y − 1)2 = 4 . Άσκηση 464 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται του άξονα x΄x στο σημείο Α(1, 0) και διέρχεται από το σημείο Β(−2 , 3) . Λύση Έστω K(x0 , y0) το κέντρο και ρ > 0 η ακτίνα του κύκλου. Αφού εφάπτεται του x΄x στο Α(1, 0) , είναι x0 = 1 , οπότε Κ(1, y0) . Άρα η εξίσωσή του είναι c : (x − 1)2 + (y − y0)2 = ρ2 (1) Αφού εφάπτεται του x΄x, ισχύει ρ = y0 (2) Αφού διέρχεται από το Β, θέτω x = −2 , y = 3 στην (1) και έχω (−2 − 1)2 + (3 − y0)2 = ρ2 (2) 9 + (3 − y0)2 = y0 2 ⇔ 9 + (3 − y0)2 = y20 ⇔ ⇔ ⇔ 9 + 9 + y20 − 6y0 = y20 ⇔ 6y0 = 18 ⇔ y0 = 3 . Τότε, από την (2) έχω και ρ = 3 = 3 , οπότε τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι c : (x − 1)2 + (y − 3)2 = 9 . - 708 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 465 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(1,1) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Λύση Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Κ(1,1) , έχει εξίσωση c : (x − 1)2 + (y − 1)2 = ρ2 (1) , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού διέρχεται από το Ο, θέτω x = 0 , y = 0 στην (1) και έχω (0 − 1)2 + (0 − 1)2 = ρ2 ⇔ ρ2 = 2 . Τελικά, η ζητούμενη εξίσωση είναι c : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2 . Άσκηση 466 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(8 ,− 6) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Λύση Αφού το Κ(8 ,− 6) είναι το κέντρο, ο κύκλος έχει εξίσωση c : (x − 8)2 + (y + 6)2 = ρ2 (1) , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος διέρχεται από το Ο, θέτω x = 0 , y = 0 στην (1) και έχω (0 − 8)2 + (0 + 6)2 = ρ2 ⇔ ρ2 = 100 . Τελικά, η ζητούμενη εξίσωση είναι c : (x − 8)2 + (y + 6)2 = 100 . - 709 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 467 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτε- ται της ευθείας ε : 3x + y = 10 . Λύση Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Ο, έχει εξίσωση c : x2 + y2 = ρ2 (1) , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται της ευθείας ε : 3x + y = 10 ⇔ ε : 3x + y − 10 = 0 , ισχύει d(Ο, ε) = ρ ⇔ ρ = 3 ⋅ 0 + 0 − 10 = 10 ⇔ ρ2 = 102 = 100 ⇔ ρ2 = 10 . 32 + 12 10 10 2 10 Άρα από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : x2 + y2 = 10 . Άσκηση 468 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει ακτίνα 4, εφάπτεται του άξονα x΄x και διέρχεται από το σημείο Α(5, 4) . Λύση Αφού ο κύκλος έχει ακτίνα 4, έχει εξίσωση c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = 16 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται του x΄x, ισχύει ρ = y0 ⇔ y0 = 4 ⇔ y0 = 4 ή y0 = −4 . Αφού ο κύκλος διέρχεται από το Α(5, 4) , θέτω x = 5 , y = 4 στην (1) και έχω (5 − x0)2 + (4 − y0)2 = 16 (2) α) Για y0 = 4 , από την (2) έχω (5 − x0)2 + (4 − 4)2 = 16 ⇔ (5 − x0)2 = 16 ⇔ 5 − x0 = ± 16 ⇔ - 710 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ⇔ 5 − x0 = 4 ή 5 − x0 = −4 ⇔ x0 = 1 ή x0 = 9 . Τότε, από την (1) έχω τους κύκλους (x − 1)2 + (y − 4)2 = 16 , (x − 9)2 + (y − 4)2 = 16 . β) Για y0 = −4 , από την (2) έχω (5 − x0)2 + (−4 − 4)2 = 16 ⇔ (5 − x0)2 + 64 = 16 ⇔ (5 − x0)2 + 48 = 0 , άτοπο, αφού είναι (5 − x0)2 + 48 > 0 , για κάθε x0 ∈ ! . Άσκηση 469 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(−3 , 2) και εφάπτεται του άξονα y΄y. Λύση Αφού το K(−3 , 2) είναι το κέντρο, ο κύκλος έχει εξίσωση c : (x + 3)2 + (y − 2)2 = ρ2 , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται του y΄y, ισχύει ρ = −3 = 3 ⇔ ρ2 = 9 . Άρα, ο κύκλος έχει εξίσωση c : (x + 3)2 + (y − 2)2 = 9 . Άσκηση 470 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(3 , 3) και εφάπτεται των αξόνων x΄x και y΄y. Λύση Αφού το Κ(3 , 3) είναι το κέντρο, ο κύκλος έχει εξίσωση c : (x − 3)2 + (y − 3)2 = ρ2 , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται στους x΄x και y΄y, ισχύει ρ = yK = xK = 3 = 3 ⇔ ρ2 = 9 . - 711 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άρα, ο κύκλος έχει εξίσωση c : (x − 3)2 + (y − 3)2 = 9 . Άσκηση 471 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(−3 ,1) και εφάπτεται της ευθείας ε : 4x − 3y + 5 = 0 . Λύση Αφού το Κ(−3 ,1) είναι το κέντρο, ο κύκλος έχει εξίσωση c : (x + 3)2 + (y − 1)2 = ρ2 (1) , όπου ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται της (ε), ισχύει d(Κ , ε) = ρ ⇔ ρ = 4 ⋅ (−3) − 3 ⋅1 + 5 = −10 = 10 ⇔ ρ = 2 ⇔ ρ2 = 4. 42 + (−3)2 5 5 Άρα από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : (x + 3)2 + (y − 1)2 = 4 . Άσκηση 472 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο που σχηματί- ζει η ευθεία ε : x + y − 6 = 0 με τους άξονες x΄x και y΄y. Λύση Ο κύκλος έχει εξίσωση c : (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2 (1) , όπου K(x0 , y0) το κέντρο και ρ > 0 η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος στο αναφερόμενο τρίγωνο, εφάπτεται στις πλευρές του, άρα: α) εφάπτεται στους Ox, Oy, οπότε ισχύουν ρ = x0 = y0 . Είναι x0 > 0 , y0 > 0 , οπότε x0 = x0 και y0 = y0 , άρα ισχύουν - 712 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος ρ = x0 = y0 (2) Επίσης, με την βοήθεια του σχήματος συμπεραίνω ότι 0 < x0 < 6 , 0 < y0 < 6 . β) εφάπτεται της (ε), οπότε ισχύει d(Κ , ε) = ρ ⇔ x0 + y0 − 6 = ρ ⇔ x0 + y0 − 6 = (2) 2x0 ⇔ 12 + 12 2 ρ ⇔ x0 + x0 − 6 = ⇔ 2x0 − 6 = 2 x0 ⇔ 2x0 − 6 = 2 x0 ή 2x0 − 6 = − 2 x0 ⇔ ( ) ( )⇔ 2x0 − 2 x0 = 6 ή 2x0 + 2 x0 = 6 ⇔ 2 − 2 x0 = 6 ή 2 + 2 x0 = 6 ⇔ ⇔ x0 = 6 2 ή x0 = 6 2 ⇔ 2− 2+ (6 2 + 2 ) (6 2 − 2 ) ή x0 = 2 + 2 2 − 2 ⇔ ( )( ) ( )( )⇔ x0 = 2 − 2 2 + 2 ⇔ x0 = (6 2 + 2 ) x0 = ( ) ( ) ( )6 2− 2 ή ⇔ x0 = 3 2 + 2 ή x0 = 3 2 − 2 ⇔ 2 2 22 − 22 − 2 2 ⇔ x0 = 6 + 3 2 > 6 (απορρίπτεται) ή x0 = 6 − 3 2 < 6 . Είναι και 6−3 2 >0 ⇔ 6>3 2 ⇔ 2> 2 ⇔ 22 > 2 2 ⇔ 4 > 2 , που ισχύει. Άρα η τιμή x0 = 6 − 3 2 είναι δεκτή. ( )Τότε από την (2) έχω και y0 = 3 2 − 2 . Επίσης, ( )2 ρ = 6 − 3 2 ⇔ ρ2 = 6 − 3 2 = 36 + 9 ⋅ 2 − 36 2 ⇔ ρ2 = 54 − 36 2 . Τελικά, από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, ( ) ( )c : ⎢⎡⎣x − 3 2 − 2 ⎥⎦⎤2 + ⎡⎢⎣y − 3 2 − 2 ⎥⎤⎦2 = 54 − 36 2 . - 713 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 473 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται της διχοτόμου της γωνίας xOy και είναι ομόκεντρος του κύκλου x2 + y2 − 2x + 4y + 1 = 0 . Λύση Ας είναι (c) ο ζητούμενος κύκλος. Η διχοτόμος της γωνίας xOy έχει, ως γνωστόν, εξίσωση ε:y=x ⇔ ε:x−y=0. Ο κύκλος c1 : x2 + y2 − 2x + 4y + 1 = 0 έχει κέντρο το Κ ⎜⎛⎝⎜⎜− −2 ,− 4 ⎟⎟⎟⎠⎞⎟ ≡ Κ(1 , − 2) . 2 2 Αφού οι δύο κύκλοι είναι ομόκεντροι, είναι c : (x − 1)2 + (y + 2)2 = ρ2 (1) , όπου ρ > 0 η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου. Αφού ο κύκλος (c) εφάπτεται της (ε), ισχύει d(Κ , ε) = ρ ⇔ ρ = 1 − (−2) 3 ⇔ ρ2 = ⎜⎛⎝⎜⎜⎜ 3 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞2 ⇔ ρ2 = 9 . = 2 2 2 12 + (−1)2 Άρα από την (1) έχω την ζητούμενη εξίσωση, c : (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 . 2 - 714 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 474 Δίνονται τα σημεία Α(1, 2) , Β(2 , 4) , Γ(3 ,1) . α. Να δείξετε ότι η γωνία ΒΑΓ είναι ορθή. β. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα Α, Β, Γ. Λύση α. Αρκεί να δείξω ότι ισχύει !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" ΑΒ ⊥ ΑΓ ⇔ ΑΒ ⋅ ΑΓ = 0 . • !!!\" = (xΒ − xΑ , yΒ − yΑ) = (2 − 1 , 4 − 2) = (1,2) . ΑΒ • !!!\" = (xΓ − xΑ , yΓ − yΑ) = (3 − 1 , 1 − 2) = (2,− 1) . ΑΓ Άρα είναι !!!\" !!!\" !!!\" !!!\" ΑΒ ⋅ ΑΓ = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ (−1) = 2 − 2 ⇔ ΑΒ ⋅ ΑΓ = 0 . β. Πρόσεξέ το πάρα πολύ! Αφού το τρίγωνο ΒΑΓ είναι ορθογώνιο στο Α και ο ζητούμενος κύκλος διέρχεται από τα Α, Β, Γ (δηλαδή είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ΒΑΓ), η γωνία Α θα είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο γωνία και, ως ορθή, θα βαίνει σε ημικύκλιο, δηλαδή η ΒΓ θα είναι διάμετρος του ζητούμενου κύκλου. Άρα, αν Κ είναι το κέντρο του κύκλου, τότε το Κ θα είναι το μέσο του ΒΓ, δηλαδή Κ ⎜⎜⎜⎜⎝⎛ xΒ + xΓ , yΒ + yΓ ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞ ≡ Κ ⎜⎝⎛⎜⎜ 2 + 3 , 4 + 1⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ≡ Κ ⎜⎜⎜⎛⎝ 52 , 52⎟⎟⎟⎞⎠⎟ . 2 2 2 2 Επίσης, θα είναι ρ = 1 ⋅ (ΒΓ) ⇔ ρ2 = 1 ⋅ (ΒΓ)2 = 1 ⋅ ⎡⎢⎣(xΓ − xΒ)2 + (yΓ − yΒ)2 ⎤⎦⎥ = 1 ⋅ ⎡⎣⎢(3 − 2)2 + (1 − 4)2⎤⎥⎦ = 2 4 4 4 = 1 ⋅ 10 ⇔ ρ2 = 5 . 4 2 Έτσι, η ζητούμενη εξίσωση είναι η c : ⎛⎜⎜⎜⎝x − 5 ⎟⎞⎠⎟⎟⎟2 + ⎝⎜⎜⎛⎜y − 25⎟⎠⎟⎟⎟⎞2 = 5 . 2 2 - 715 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 • Κωνικές τομές ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. Ο κύκλος Άσκηση 475 Πρόσεξέ την πάρα πολύ! Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου, που διέρχεται από τα σημεία Α(3α , 0) , Β(0 , 3α) , Γ(0 ,− 3α) , α > 0 . Λύση Είναι: !!!\" • ΑΒ = (xΒ − xΑ , yΒ − yΑ) = (0 − 3α , 3α − 0) = (−3α , 3α) . • !!!\" = (xΓ − xΑ , yΓ − yΑ) = (0 − 3α , − 3α − 0) = (−3α ,− 3α) . ΑΓ Παρατηρώ ότι !!!\" !!!\" ΑΒ ⋅ ΑΓ = −3α ⋅ (−3α) + 3α ⋅ (−3α) = 9α2 − 9α2 = 0 , !!!\" !!!\" οπότε είναι ΑΒ⊥ ΑΓ , που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α και ο ζητούμενος κύκλος διέρχεται από τα Α, Β, Γ (δηλαδή είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ΒΑΓ), η γωνία Α θα είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο γωνία και, ως ορθή, θα βαίνει σε ημικύκλιο, δηλαδή η ΒΓ θα είναι διάμετρος του ζητούμενου κύκλου. Επειδή τα Β, Γ είναι σημεία του y΄y και συμμετρικά ως προς το Ο, το μέσο του ΒΓ (που θα είναι και το κέντρο του ζητούμενου κύκλου) θα είναι το Ο. Επίσης είναι ρ = 1 ⋅ (ΒΓ) = (ΟΒ) = yΒ = 3α ⇔ ρ2 = 9α2 . 2 Άρα, ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση c : x2 + y2 = 9α2 . - 716 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΟΥ ΜΟΡΦΗ ΠΑΡΕΧΕΤΑΙ ΓΙΑ ΔΩΡΕΑΝ ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΤΕΚΙ” - www.mathsteki.gr