ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - Ευθείες - Παράγραφος 2 (θεωρία)

Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Η ευθεία στο επίπεδο Παράγραφος 2 Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας Νέα Μουδανιά • Αύγουστος 2020



ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2 Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Στην παράγραφο αυτή θα συμπληρωθούν μερικά ακόμη στοιχεία στην θεωρία των ευ- θειών (το κύριο μέρος αναπτύχθηκε στην παράγραφο 1). Θα δεις επίσης πώς θα αντι- μετωπίσεις μερικά εξειδικευμένα θέματα στις ευθείες, ένα εκ των οποίων είναι η περί- πτωση που μια ευθεία έχει έναν, τουλάχιστον, εκ των συντελεστών του x ή του y σε παραμετρική μορφή. Το ακόλουθο θεώρημα είναι βασικότατο και σε αυτό θα στηριχθείς σε μια ιδιαίτερη κατηγορία ασκήσεων (θα αναφερθεί στην συνέχεια). Θεώρηµα Η εξίσωση της µορφής Ax + By + Γ = 0 Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Αx + By + Γ = 0 , με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0 , και αντίστροφα, κάθε εξίσωση της παραπάνω μορφής παριστάνει ευθεία γραμμή. Ο συντελεστής διεύθυνσής της είναι λ=− Α , Β στην περίπτωση που αυτός ορίζεται Η ακόλουθη πρόταση (ειδικά το (α)) θα αποτελέσει ένα βασικότατο εργαλείο για κά- ποιες πολύ χαρακτηριστικές ασκήσεις (θα αναφερθούν στην συνέχεια). Πρόταση Διάνυσµα παράλληλο σε ευθεία. Διάνυσµα κάθετο σε ευθεία Η ευθεία με εξίσωση Ax + By + Γ = 0 : ! α) είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (Β ,− Α) . !\" β) είναι κάθετη στο διάνυσμα n = (Α , Β) . Στην συνέχεια θα αναλύσω μερικά πολύ χαρακτηριστικά και σημαντικά θέματα που θα συναντήσεις στις ασκήσεις και τα οποία αντιμετωπίζονται με τις προτάσεις που προαναφέρθηκαν. - 495 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Η εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, µε Α, Β, Γ παραµετρικές παραστάσεις Στην παράγραφο 1 και την υποπαράγραφο «Σχετική θέση δύο ευθειών» αναφέρθηκαν οι σημαντικές προτάσεις περί της σχετικής θέσης δύο ευθειών και πώς τα συστήματα εμπλέκονται στο θέμα. Εκεί αναφέρθηκε ότι, «Βέβαια, η παραλληλία αντιμετωπίζεται πολύ καλύτερα μέσω των συντελεστών δι- εύθυνσης των ευθειών και έτσι να δουλέψεις αν τίθεται θέμα παράλληλων ευθειών (αρκεί σε κανέναν εκ των συντελεστών των εξισώσεων των ευθειών να μην υπάρχει παράμετρος).» Τι θα κάνεις, επομένως, στην περίπτωση που έχεις εξίσωση της μορφής Ax + By + Γ = 0 και ένας, τουλάχιστον, εκ των Α, Β, Γ είναι παραμετρική παράσταση; Τα θέματα που θα συναντήσεις αναπτύσσονται στην συνέχεια. ❖ Θέµα 1ο - “Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ευθεία” Πρόκειται για μια πολύ χαρακτηριστική εκφώνηση, ένα πολύ χαρακτηριστικό ζητούμε- νο, το οποίο αντιμετωπίζεται με τον τρόπο που θα δείξω στην συνέχεια. Η αντιμετώπι- ση στηρίζεται στο θεώρημα της σελίδας 495. Στην άσκηση θα δίνεται εξίσωση της μορφής Ax + By + Γ = 0 , όπου Α και Β θα είναι παραμετρικές παραστάσεις, ίσως είναι και η Γ. Γράψε «Η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩ Α=0 ⎪⎪⎬⎪⎭⎪⎫ ». και Β = 0 Στο σύστημα αυτό θα έχεις δύο εξισώσεις με μία παράμετρο (συναντάται στην πλειο- νότητα των σχετικών ασκήσεων). Λύσε κάθε εξίσωση χωριστά. Κοινή λύση μεταξύ των δύο εξισώσεων δεν θα προκύψει, οπότε γράψε στο τέλος «άτοπο, διότι η παράμετρος δεν μπορεί να λαμβάνει ταυτόχρονα δύο διαφορετικές τιμές» και έτσι έχεις αποδείξει το ζητούμενο. Βέβαια, οι δύο εξισώσεις μπορεί να δώσουν και περισσότερες από δύο διαφορετικές λύσεις. - 496 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Παράδειγµα 36 Να δείξετε ότι η εξίσωση (λ − 1)x + (λ − 2)y + 1 = 0 παριστάνει ευθεία για κάθε λ∈!. ~ Λύση ~ Η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎪ λ−1= 0 ⎪⎪⎪⎪⎬⎭⎫ ⇔ ⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎩ λ=1 ⎪⎪⎫⎭⎪⎬⎪ , και λ − 2 = 0 και λ = 2 άτοπο, διότι η παράμετρος λ δεν μπορεί να λαμβάνει ταυτόχρονα δύο διαφορετικές τιμές. Αυτό σημαίνει ότι η δοθείσα εξίσωση παριστάνει ευθεία, για κάθε λ ∈ ! . ❖ Θέµα 2ο - “Να βρείτε για ποιες τιµές της παραµέτρου η εξίσωση παριστάνει ευθεία” Το σενάριο είναι παρόμοιο με αυτό της περίπτωσης 1 που προηγήθηκε, μόνο που τώρα είναι σχεδόν σίγουρο ότι θα εξαιρεθούν κάποιες τιμές της παραμέτρου. Και εδώ, η αντιμετώπιση στηρίζεται στο θεώρημα της σελίδας 495. Κάνε ακριβώς τα ίδια με την περίπτωση 1, αλλά στο σύστημα μάλλον θα υπάρξει κοι- νή λύση μεταξύ των δύο εξισώσεων. Παράδειγµα 37 Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ ! εξίσωση (λ2 − 1)x + (λ − 1)y + 1 = 0 παριστάνει ευθεία γραμμή. ~ Λύση ~ Η εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία, όταν ισχύουν ⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎨ λ2 − 1 = 0 ⎪⎬⎪⎫⎪⎪⎭ ⇔ ⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪ λ2 = 1 ⎪⎭⎫⎬⎪⎪⎪ ⇔ ⎪⎩⎧⎨⎪⎪⎪ λ = 1 η λ = −1 ⎪⎭⎫⎬⎪⎪⎪ , και λ − 1 = 0 λ=1 λ=1 δηλαδή όταν είναι λ = 1 . Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε λ ≠ 1 . - 497 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας ΠΡΟΣΟΧΗ ! Μετά την παράθεση των περιπτώσεων 1 και 2, πρέπει να γίνουν οι εξής επισημάνσεις: α) αν υπάρξει εξίσωση της μορφής Ax + By + Γ = 0 και Α, Β είναι παραμετρικές πα- ραστάσεις (η Γ μπορεί να είναι μπορεί και όχι, αδιάφορο) και δεν αναφέρει η εκφώ- νηση «δίνεται η ευθεία», αλλά «δίνεται η εξίσωση», τότε πρέπει να γίνει έλεγχος για το αν και πότε αυτή παριστάνει ευθεία! β) στην πραγματικότητα, εξισώσεις τέτοιας μορφής παριστάνουν ευθείΕΣ και όχι ευθείΑ (αφού κάθε φορά που η παράμετρος λαμβάνει μια τιμή προκύπτει η εξίσωση μιας ευθείας). Άρα, το σωστό είναι να αναφερόμαστε σε πληθυντικό αριθμό και όχι σε ενικό. Τώρα, γιατί γράφουμε «η εξίσωση παριστάνει ευθείΑ» και όχι ευθείΕΣ... ε, εί- ναι μια σιωπηρή σύμβαση η οποία δεν δημιουργεί κακό. ❖ Θέµα 3ο - “Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σηµείο” Στην άσκηση έχει πρώτα δοθεί εξίσωση της μορφής Ax + By + Γ = 0 , με Α, Β, Γ πα- ραμετρικές παραστάσεις (σίγουρα οι Α, Β, ίσως και η Γ) και είτε έχει δοθεί ότι παρι- στάνει ευθεία είτε έχει ζητηθεί πρώτα να δείξεις ότι παριστάνει ευθεία (ή να βρεις τις τιμές της παραμέτρου για τις οποίες αυτή παριστάνει ευθεία) και στην συνέχεια τίθε- ται το θέμα του παραπάνω τίτλου. Το θέμα αντιμετωπίζεται με δύο τρόπους, εκ των οποίων συστήνω τον πρώτο (χωρίς να απορρίπτω τον δεύτερο, αφού υπάρχουν ασκήσεις που ο δεύτερος δουλεύει καλύ- τερα). Και εδώ στηριζόμαστε στο θεώρημα της σελίδας 495. Ευθείες που διέρχονται από σταθερό σημείο λέμε ότι αποτελούν μια δέσμη ευθειών και το σταθερό σημείο από το οποίο όλες διέρχονται λέγεται κέντρο της δέσμης. 1ος τρόπος (προτεινόμενος) Απαραιτήτως η εξίσωση πρέπει να είναι στην μορφή Ax + By + Γ = 0 . Αν δεν είναι, κάνε τις απαραίτητες πράξεις και φέρ' την στην μορφή αυτή. Στην συνέχεια: 1ο βήμα Θέσε αυθαίρετα στην παράμετρο δύο διαφορετικές τιμές. Προτίμησε να βάλεις τιμές που μηδενίζουν τους συντελεστές των x και y (αν υπάρχουν - 498 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας τέτοιες, βεβαίως). Για κάθε τιμή που έβαλες, θα προκύψει η εξίσωση μιας ευθείας. 2ο βήμα Λύσε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών που προέκυψαν στο 1ο βήμα. Έτσι θα βρεις το σημείο τομής τους. 3ο βήμα Θέσε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών που βρήκες στο 2ο βήμα, στα x και y της αρχικής εξίσωσης της άσκησης. Μετά τις απαραίτητες πράξεις, θα πρέπει να καταλήξεις σε μια σχέση που ισχύει και θα έχεις αποδείξει το ζητούμενο. Μάλιστα, οι συντεταγμένες του σταθερού σημείου από το οποίο θα διέρχονται όλες οι ευθείες, θα είναι αυτό που βρήκες από την επίλυ- ση του συστήματος στο 2ο βήμα. Παράδειγµα 38 Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες (α2 + 1)x + (α − 1)y − 3α2 + α − 4 = 0 , α ∈ ! , διέρχονται από το ίδιο σημείο (διέρχονται από σταθερό σημείο). ~ Λύση ~ 1ο βήμα Θέτω στο α αυθαίρετα δύο τιμές. Θέτω α = 0 και έχω την ευθεία ε1 : (02 + 1)x + (0 − 1)y − 3 ⋅ 02 + 0 − 4 = 0 ⇔ ε1 : x − y − 4 = 0 . Θέτω α = 1 και έχω την ευθεία ε2 : (12 + 1)x + (1 − 1)y − 3 ⋅ 12 + 1 − 4 = 0 ⇔ ε2 : 2x − 6 = 0 ⇔ ε2 : x = 3 . 2ο βήμα Λύνω το σύστημα των εξισώσεων των παραπάνω ευθειών. Από το σύστημα ⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎩⎪ ε1 : x − y − 4 = 0 ⎪⎪⎬⎭⎪⎪⎪⎪⎫ προκύπτει x=3 , y = −1 , οπότε οι ευθείες ε2 : x = 3 (ε1) , (ε2) τέμνονται στο σημείο Α(3 ,− 1) . - 499 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 3ο βήμα Βάζω τις παραπάνω τιμές των x, y στην αρχική εξίσωση της άσκησης. Θέτω x = 3 , y = −1 στην εξίσωση της εκφώνησης και έχω ότι (α2 + 1) ⋅ 3 + (α − 1) ⋅ (−1) − 3α2 + α − 4 = 0 ⇔ ⇔ 3α2 + 3 − α + 1 − 3α2 + α − 4 = 0 ⇔ 0 = 0 , που ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ευθεία που παριστάνει η εξίσωση της εκφώνησης διέρχεται από το σταθερό σημείο Α(3 ,− 1) και έτσι αποδεικνύεται το ζητούμενο. 2ος τρόπος Θεωρώντας τα x, y της εξίσωσης ως «γνωστούς» αριθμούς και την παράμετρο ως «άγνωστο­μεταβλητή», κάνε πράξεις στην εξίσωση (αν αυτή είναι στην μορφή Ax + By + Γ = 0 ), ώστε αυτή να διαταχθεί κατά φθίνουσα σειρά των δυνάμεων της παραμέτρου (δηλαδή η εξίσωση θα γραφεί σαν πολυώνυμο ως προς την παράμετρο). Για να δείξεις ότι οι ευθείες που παριστάνονται από αυτήν την εξίσωση διέρχονται από σταθερό σημείο, πρέπει να βρεις τις συντεταγμένες ενός σημείου οι οποίες να την επαληθεύουν, για κάθε τιμή της παραμέτρου. Ουσιαστικά, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μηδενίσεις τους συντελεστές των δυνάμεων της παραμέτρου και τον σταθερό όρο του πολυωνύμου που προέκυψε. Έτσι θα προκύψει ένα σύστημα με άγνωστα τα x, y, η λύ- ση του οποίου θα δώσει τις συντεταγμένες του σταθερού σημείου. Παράδειγµα 39 Η εξίσωση (3λ + 1)x + (2λ − 2)y + 7λ + 5 = 0 παριστάνει ευθείες, για κάθε λ ∈ ! . Να δείξετε ότι αυτές διέρχονται από σταθερό σημείο. ~ Λύση ~ Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται 3λx + x + 2λy − 2y + 7λ + 5 = 0 ⇔ (3x + 2y + 7) ⋅ λ + (x − 2y + 5) = 0 (1) Για να δείξω ότι όλες οι ευθείες της εξίσωσης της εκφώνησης (άρα και της (1)) διέρ- χονται από σταθερό σημείο, αρκεί να βρω τις συντεταγμένες ενός σημείου, οι οποίες επαληθεύουν την (1), για κάθε λ ∈ ! . Οι συντεταγμένες αυτού του σημείου θα πρέπει να μηδενίζουν τις παραστάσεις 3x + 2y + 7 και x − 2y + 5 , δηλαδή να αποτελούν λύση του συστήματος - 500 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας ⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 3x + 2y + 7 = 0 ⎪⎫⎭⎪⎪⎬⎪⎪ . x − 2y + 5 = 0 Από το σύστημα προκύπτει x = −3 , y = 1 , οπότε όλες οι ευθείες διέρχονται από το σταθερό σημείο Α(−3 ,1) . ❖ Θέµα 4ο - Παραλληλία και καθετότητα Αν και η πρώτη σκέψη είναι πάντα οι γνωστές συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, εντούτοις εδώ που υπάρχει παράμετρος ο τρόπος αυτός δεν συστήνεται, διότι πολλές φορές απαιτείται διερεύνηση λόγω του κλάσματος που υπάρχει στον τύ- πο του συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας. Αυτή η διερεύνηση συχνά δεν γίνεται, κά- τι που αυτομάτως αλλοιώνει την λύση. Όμως, ακόμη και αν γίνει, δίνει λύση μεγαλύτε- ρη αυτής που χρειάζεται. ! Με την βοήθεια του διανύσματος δ = (Β ,− Α) , το οποίο είναι παράλληλο στην ευθεία Ax + By + Γ = 0 , συστήνεται η αντιμετώπιση θεμάτων παραλληλίας ή καθετότητας ευθειών, όταν ένας, τουλάχιστον, εκ των συντελεστών είναι παραμετρικός. Έτσι, αν ε1 : Α1x + Β1y + Γ1 = 0 , ε2 : Α2x + Β2y + Γ2 = 0 είναι δύο ευθείες και κάποιος από τους συντελεστές Α1 , Β1 , Α2 , Β2 (κυρίως) ή τους σταθερούς όρους Γ1 , Γ2 έχει παράμετρο, τότε τα διανύσματα ( ) ( )!\" !\" δ1 = Β1 , − Α1 , δ2 = Β2 , − Α2 είναι, αντίστοιχα, παράλληλα σε αυτές, οπότε ισχύουν: !\" !\" !\" !\" ( )α) ε1 / / ε2 ⇔ δ1 / / δ2 ⇔ det δ1 , δ2 = 0 . !\" !\" !\" !\" β) ε1 ⊥ ε2 ⇔ δ1 ⊥ δ2 ⇔ δ1 ⋅ δ2 = 0 . Μεταφέροντας το θέμα σε παραλληλία­καθετότητα διανυσμάτων η όλη λύση απλοποι- είται τόσο στο σκεπτικό της, όσο και στις πράξεις της. Στις ασκήσεις το ζητούμενο εί- ναι συνήθως να βρεις την τιμή της παραμέτρου, ώστε δύο ευθείες να είναι παράλληλες ή κάθετες μεταξύ τους. - 501 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Παράδειγµα 40 Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx + (λ + 1)y + 1 = 0 , ε2 : x + 2y + 2 − λ = 0 , λ ∈ ! . Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε αυτές να είναι: α) παράλληλες μεταξύ τους. β) κάθετες μεταξύ τους. ~ Λύση ~ ( )!\" Το διάνυσμα δ1 = λ + 1 , − λ είναι παράλληλο στην (ε1) και το διάνυσμα ( )!\" δ2 = 2 ,− 1 είναι παράλληλο στην (ε2) . α. Είναι !\" !\" ( )!\" !\" λ+1 −λ ε1 / / ε2 ⇔ δ1 / / δ2 ⇔ det δ1 , δ2 = 0 ⇔ 2 −1 = 0 ⇔ −(λ + 1) + 2λ = 0 ⇔ ⇔ −λ − 1 + 2λ = 0 ⇔ λ = 1 . β. Είναι !\" !\" !\" !\" ε1 ⊥ ε2 ⇔ δ1 ⊥ δ2 ⇔ δ1 ⋅ δ2 = 0 ⇔ 2(λ + 1) − λ ⋅ (−1) = 0 ⇔ 2λ + 2 + λ = 0 ⇔ ⇔ 3λ = −2 ⇔ λ = − 2 . 3 Πώς θα βρεις την οξεία γωνία δύο ευθειών Ζητείται η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 : Α1x + Β1y + Γ1 = 0 , ε2 : Α2x + Β2y + Γ2 = 0 . Αν οι εξισώσεις των ευθειών δεν είναι στην παραπάνω μορφή, τότε πρώτα να τις φέ- ρεις σε αυτήν και μετά να ξεκινήσεις την παρακάτω διαδικασία. 1ο βήμα (ε1) , (ε2) !\" !\" θ γωνία των και φ την γωνία των δ1 , δ2 , όπου ( ) ( )Ονόμασετην οξεία !\" !\" δ1 = Β1 ,− Α1 , δ2 = Β2 ,− Α2 τα διανύσματα που είναι παράλληλα στις (ε1) , (ε2) αντίστοιχα. - 502 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Γράψε μετά «Τότε η γωνία θ είναι ίση ή παραπληρωματική της φ». 2ο βήμα !\" !\" Βρες την γωνία φ από τον τύπο συνϕ = !δ\"1 ⋅ δ!2\" , οπότε: δ1 ⋅ δ2 • αν βρεις ότι είναι συνϕ > 0 , τότε η ίδια θα είναι και η τιμή του συνθ , από όπου θα βρεις την ζητούμενη γωνία των ευθειών. • αν βρεις ότι είναι συνϕ < 0 , τότε η αντίθετη τιμή θα είναι η τιμή του συνθ , από όπου θα βρεις την ζητούμενη γωνία των ευθειών. Παράδειγµα 41 ( )Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε1 : y = − 2 + 3 x , ε2 : y = −x . ~ Λύση ~ ( )Είναι ε1 : 2 + 3 x + y = 0 , ε2 : x + y = 0 . !\" !\" Έστω θ η γωνία των (ε1) , (ε2) και φ η γωνία των δ1 , δ2 , όπου ( ) ( )!\" !\" δ1 = 1 , − 2 − 3 , δ2 = 1,− 1 τα διανύσματα που είναι παράλληλα στις (ε1) , (ε2) αντίστοιχα. Η γωνία θ είναι ίση ή παραπληρωματική της φ. Είναι συνϕ = !\" !\" (1) , όπου: !δ\"1 ⋅ δ!2\" δ1 ⋅ δ2 ( )!\" !\" • δ1 ⋅ δ2 = 1 ⋅1 + −2 − 3 ⋅ (−1) = 1 + 2 + 3 = 3 + 3 . !\" 2 ( ) ( )• δ1 = 12 + −2 − 3 = 1 + 4 + 3 + 4 3 = 8 + 4 3 = 4 2 + 3 = 2 2 + 3 . !\" • δ2 = 12 + (−1)2 = 2 . - 503 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄Λυκείου • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 • Η ευθεία στο επίπεδο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Άρα από την (1) έχω ( )συνϕ = 3 + 3 = 3 + 3 = 3 + 3 = 3+ 3 = 2 2+ 3 ⋅ 2 2 2 2+ 3 2 4+2 3 2 3+1+2 3 ( )( )= 3 −1 ( ) ( ) ( )( )2 = 3+ 3 = 3+ 3 = 3+ 3 = 3+ 3 3 −1 32 + 12 + 2 3 2 2 3 +1 2 3 +1 2 3 +1 =3 3−3 + 3− 3 = 2 3 ⇔ συνϕ = 3 . 2⎜⎜⎛⎜⎝ 32 − 12⎞⎠⎟⎟⎟ 2 ⋅2 2 Άρα είναι και συνθ = 3 , οπότε τελικά η ζητούμενη γωνία είναι θ = 30ο . 2 Σχόλιο Αν προέκυπτε συνϕ = − 3 , τότε θα ήταν συνθ = 3 , άρα θ = 30ο . 2 2 - 504 - Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών • www.mathsteki.gr



Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΟΥ ΜΟΡΦΗ ΠΑΡΕΧΕΤΑΙ ΓΙΑ ΔΩΡΕΑΝ ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΤΕΚΙ” - www.mathsteki.gr