مراد هادي ولي حكمي

‫حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض‬ ‫اسم الطالب‪ /‬مراد هادي ولي حكمي‬ ‫الصف ‪ /‬الثالث متوسط تحفيظ‬ ‫اسم المعلم‪ /‬خالد يحي حكمي‬

‫حل نظام من معادلتين‬ ‫خطيتين بيانيًا‬

‫كما قلنا سابقًا أنه إذا كان هناك متغير‬ ‫واحد في المعادة فهذا المعادلة يمكن‬ ‫حلها بسهولة أما إذا كان هناك‬ ‫متغيران في المعادلة مث ًًل (س ‪ +‬ص‬ ‫= ‪ )20‬فًل بد من إيجاد معادلة‬ ‫أخرى للجمع بينهم مث ًًل‬ ‫س ‪ +‬ص = جـ‬ ‫‪5‬س ‪ 5 +‬ص = و‬ ‫عند الجمع بين المعادلتين في حل‬ ‫واحد فذلك يسمى نظا ًما‪ ،‬وهو‬ ‫المقصود بالنظام في قولنا (حل نظام‬ ‫من معادلتين خطيتين بيانيًا)‪.‬‬

‫النظام‪ :‬معادلتان يتم إيجاد حلهم في‬ ‫وقت واحد (إيجاد قيمة “س” و‬ ‫“ص‪”.‬‬ ‫فإذا كان الطريقة التي سنتبعها في‬ ‫حل هذا النظام هي التمثيل البياني‪،‬‬ ‫فتك هي حل نظام من معادلتين‬ ‫خطيتين بيانيًا‬ ‫أنواع الأنظمة‬ ‫الأنظمة التي تعرفنا عليها سابقًا لها‬ ‫مسميات وفقًا لحلولها وهي كالتالي‪:‬‬

‫• نظام متسق‪ :‬هو النظام الذي له‬ ‫حل‪ ،‬سواء هذا الحل وحيد أو عدد‬ ‫لا نهائي من الحلول‪.‬‬ ‫• نظام غير متسق‪ :‬هو النظام الذي‬ ‫ليس له حل‪.‬‬ ‫إذًا كلمة متسق ترد للدلالة على‬ ‫الحلول‪ ،‬إذا كان للنظام حل أم لا‪.‬‬ ‫أما النظام المتسق فله أنواع هي‪:‬‬ ‫• مستقل‪ :‬هو النظام المتسق الذي له‬ ‫حل وحيد‪ ،‬ويسمى (نظام متسق‬ ‫ومستقل)‪.‬‬ ‫• غير مستقل‪ :‬هو النظام المتسق‬ ‫الذي له عدد لا نهائي من الحلول‪،‬‬

‫ويسمى (نظام متسق وغير‬ ‫مستقل)‪.‬‬ ‫كما أنه يمكن تسمية النظام من‬ ‫التمثيل البياني على النحو التالي‪:‬‬ ‫• إذا كان المستقيمان متقاطعان في‬ ‫نقطة واحدة (مثل الصورة‬ ‫الأولى) فالتقاطع في نقطة واحدة‬ ‫أي حل وحيد‪ ،‬وبذلك يسمى النظام‬ ‫(متسق مستقل)‪.‬‬

‫• إذا كان المستقيمان متطابقان أعلى‬ ‫بعض‪ ،‬بالتالي فأن المستقيمان‬ ‫متقاطعان في عدد لا نهائي من‬ ‫النقاط وكما قلنا إن التقاطع هو‬ ‫نقطة الحل‪ ،‬فبالتالي هنا لدينا عدد‬ ‫لا نهائي من الحلول‪ ،‬ويسمى‬ ‫النظام (متسق غير مستقل)‪.‬‬

‫• إذا كان المستقيمان متوازيان‪،‬‬ ‫فبالتالي لا يوجد تقاطع أب ًدا ويكون‬ ‫النظام مستحيل الحل‪ ،‬ويسمى‬ ‫النظام (غير متسق)‪.‬‬

‫كذلك يمكن معرفة نوع النظام دون‬ ‫الرسم عن طريق الميل كالتالي‪:‬‬ ‫• إذا كان ميل المستقيم الأول لا‬ ‫يساوي ميل المستقيم الثاني فإن‬ ‫النظام (متسق مستقل)‬ ‫• إذا كان الميل في المستقيم الأول‬ ‫يساوي الميل في المستقيم الثاني‬ ‫(م‪= 1‬م‪ )2‬ويتساوى الجزء‬ ‫المقطوع من المستقيم الأول‬ ‫الجزء المقطوع من المستقيم‬ ‫الثاني (ب‪ = 1‬ب‪ )2‬فإن النظام‬ ‫(تسق وغير مستقل)‪.‬‬ ‫• إذا كان الميل في المستقيم الأول‬ ‫يساوي الميل في المستقيم الثاني‬ ‫(م‪= 1‬م‪ )2‬والجزء المقطوع من‬

‫المستقيم الأول لا يساوي الجزء‬ ‫المقطوع من المستقيم الثاني فإن‬ ‫المستقيمان متوازيان وبالتالي لا‬ ‫يوجد نقاط تقاطع والنظام هنا‬ ‫(غير متسق)‪.‬‬ ‫يمكنك أي ًضا الاضطًلع‬ ‫على ‪:‬منشور رباعي طوله ‪ 5‬سم‬ ‫وعرضه ‪ 3‬سم وارتفاعه ‪ 2‬سم‬ ‫احسب حجمه‬ ‫مثال محلول على النظام‬ ‫لكي تثبت المعلومات يجب التطبيق‬ ‫عليها‪ ،‬ذلك نقدم لكم حل المثال‬ ‫التالي‪:‬‬

‫السؤال يقول‬ ‫المعادلة الأولى‪:‬‬ ‫ص = ‪2-‬س ‪3 +‬‬ ‫ص= س – ‪5‬‬ ‫طريقة الحل‬

‫أول خطوة هي تحديد المستقيمان في‬ ‫الرسم البيان ومن ثم مًلحظة سلوك‬ ‫المستقيمان (عًلقتهما مع بعض)‬ ‫نجد أن المستقيمان متقطعان في نقطة‬ ‫واحدة‪ ،‬بذلك كما تعلمنا نعرف أن‬ ‫هذا النظام متسق ومستقل ينتج منه‬ ‫حل وحيد‪.‬‬ ‫المعادلة الثانية‪:‬‬ ‫ص= ‪2-‬س – ه‬ ‫ص= ‪2-‬س ‪3+‬‬ ‫يمكنك أي ًضا الاضطًلع على ‪:‬نموذج‬ ‫كتابة تقرير عن نشاط مدرسي أو‬ ‫رحلة أو زيارة‬ ‫طريقة الحل‬

‫أول خطوة هي تحديد المستقيمان في‬ ‫الرسم البيان‪ ،‬ومن ثم مًلحظة سلوك‬ ‫المستقيمان نجد أن المستقيمان‬ ‫متوازيان لا يتقاطعان؛ أي لا يوجد‬ ‫نقاط التقاء ومستحيل الحل‪ ،‬وكما‬ ‫تعلمنا سابقًا أن النظام مستحيل الحل‬ ‫يسمى غير متسق‪.‬‬ ‫بهذا نكون قد حددنا حل كل نظام‬ ‫على حدة‪.‬‬

‫طريقة بالمثال لحل نظام من معادلتين خطيتين‬ ‫ً‬ ‫بيانيا‬ ‫‪:‬مثال‬ ‫‪:‬النظام لدينا هو‬ ‫ص = م‪ 1‬س ‪ +‬ب‪1‬‬ ‫ص = م‪ 2‬س ‪ +‬ب‪2‬‬ ‫الحلول الممكنة لحل هذا النظام المكون من معادلتين بيانيًا‬ ‫‪:‬ثًلثة هي‬ ‫حل وحيد •‬ ‫عدد لا نهائي من الحلول •‬ ‫مستحيل الحل •‬ ‫إذا كان النظام له حل وحيد سيكون على شكل زوج مرتب‬ ‫(س ‪ ،‬ص) له إحداثي على محور الصادات وإحداثي على‬ ‫‪.‬محور السينات‬