ม.6 เพิ่มเติม เล่ม 1

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 139 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 • บทนิยาม iii ให A ⊂  จะกลาววา x∈ เปน จุดลมิ ิต (limit point) ของเซต A กต็ อเม่ือ สาํ หรับทุก ε > 0 ชวง (x − ε, x + ε ) จะตอ งมสี มาชกิ ในเซต A ในชวง (x − ε, x + ε ) ทไี่ มใชจ ดุ x กลาวคือ x เปนจดุ ลิมิตของเซต A กต็ อเมื่อ ∀ε > 0, ( x − ε, x + ε ) ∩ ( A −{x}) ≠ ∅ ตวั อยา ง จํานวนจรงิ ทกุ จํานวนเปน จดุ ลิมติ ของเซตของจํานวนจรงิ เน่ืองจาก สาํ หรบั ทุก x∈ จะไดว า ( x − ε , x + ε ) ∩ ( −{x}) ≠ ∅ ทุก ε > 0 • บทนยิ าม iv ให A ⊂  ฟง กช ัน f : A →  และ a∈ A จะกลาววา จํานวนจริง L เปน ลมิ ิตของ f เมื่อ x เขา ใกล a ซึ่งเขยี นแทนดวย lim f (x) = L ก็ตอเม่ือ สาํ หรับทกุ ε > 0 จะมี x→a δ > 0 ซึง่ ทาํ ให f ( x) − L < ε สําหรบั ทุก x∈ A ท่ี x − a < δ กลา วคอื lim f ( x) = L กต็ อเมื่อ ถา ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ A, x − a < δ แลว f ( x) − L < ε x→a • ทฤษฎบี ท v ให A ⊂  ฟงกชนั f : A →  และ a ∈ A 1. ถา lim f ( x) > 0 แลว จะมี δ ซง่ึ f ( x) > 0 ทกุ x ∈(a − δ , a + δ ) ∩ ( A −{a}) x→a 2. ถา lim f ( x) < 0 แลว จะมี δ ซง่ึ f ( x) < 0 ทกุ x ∈(a − δ , a + δ ) ∩ ( A −{a}) x→a 3. ถา lim f ( x) ≠ 0 แลว จะมี δ ซงึ่ f ( x) ≠ 0 ทุก x ∈(a − δ , a + δ ) ∩ ( A −{a}) x→a • บทนยิ าม vi ให A ⊂  ฟง กช นั f : A →  และ c∈ A จะกลาววา f เปน ฟงกช ันตอเนอ่ื งที่ x = c กต็ อเมื่อ lim f ( x) = f (c) x→c สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบอื้ งตน 140 คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 • บทนิยาม vii ให A ⊂  ฟงกช ัน f : A →  และ a∈ A อนพุ ันธของฟงกช นั f ท่ี a เขียนแทนดว ย f ′(a) คอื f ′(a) = lim f (a + h) − f (a) h→0 h ถาเราให x= a + h เราจะเหน็ วา เมื่อ h ลูเขาสู 0 แลว x จะลูเขาสู a โดยการเปล่ียนตวั แปร จะสามารถเขียนอนุพันธของฟงกชนั f ที่ a ไดอีกวธิ ีดงั น้ี f ′(a) = lim f ( x) − f (a) x→a x − a • ทฤษฎบี ท viii ให A ⊂  ฟงกชนั f : A →  และ a∈ A ถา f มอี นุพันธท ี่ a แลว f จะมีความตอเน่ืองท่ี a • ทฤษฎีบท ix (ทฤษฎบี ทคา มัชฌิม : Mean Value Theorem) ให f :[a, b] →  เปนฟงกช นั ตอเน่ือง และมีอนุพันธท่ที ุกจดุ ในชวง (a, b) แลว จะมี c∈(a, b) ซงึ่ f ′(c) = f (b) − f (a) b−a • บทนิยาม x ให A ⊂  และ f : A →  เปน ฟงกช นั จะกลา ววา 1. f เปนฟง กชันเพิ่ม (increasing function) กต็ อ เมือ่ สําหรับทกุ x, y ∈ A ถา x < y แลว f ( x) < f ( y) 2. f เปน ฟง กช ันลด (decreasing function) ก็ตอเม่ือ สาํ หรบั ทุก x, y ∈ A ถา x < y แลว f ( x) > f ( y) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 141 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 • บทนิยาม xi ให A ⊂  จะกลาววา 1. u เปนขอบเขตบน (upper bound) ของเซต A ถา u ≥ a ทกุ a ∈ A และจะกลา ววา A มีขอบเขตบน (bounded above) เม่ือมีจํานวนจริง u ที่เปนขอบเขตบนของ A 2. l เปนขอบเขตลาง (lower bound) ของเซต A ถา l ≤ a ทุก a ∈ A และจะกลาววา A มีขอบเขตลา ง (bounded below) เมอ่ื มจี ํานวนจริง l ทเี่ ปน ขอบเขตลา งของ A จะกลาววา A เปน เซตมีขอบเขต (bounded set) เม่ือ A มที ง้ั ขอบเขตบนและขอบเขตลา ง • ทฤษฎบี ท xii ให f :[a, b] →  เปนฟง กช ันตอเนื่องบนชวง [a, b] แลว เรนจของ f เปนเซตปดท่ีมขี อบเขต • บทนยิ าม xiii ให A ⊂  เรยี กจํานวนจรงิ x วาเปน ขอบเขตบนนอยสดุ (least upper bound) หรือ ซูพรมี ัม (supremum) ของ A เขียนแทนดวย x = sup A ก็ตอเม่ือ 1. x เปนขอบเขตบนของ A 2. ถา y เปน ขอบเขตบนของ A แลว x ≤ y • บทนิยาม xiv ให A ⊂  เรยี กจํานวนจริง x วาเปน ขอบเขตลา งมากสุด (greatest lower bound) หรอื อินฟมัม (infimum) ของ A เขียนแทนดวย x = inf A ก็ตอเม่ือ 1. x เปน ขอบเขตลา งของ A 2. ถา y เปนขอบเขตลางของ A แลว y ≤ x • ทฤษฎีบท xv ให A เปนเซตปดท่ีไมเ ปน เซตวา ง 1. ถา A มีขอบเขตบน แลว sup A∈ A 2. ถา A มขี อบเขตลา ง แลว inf A∈ A สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 142 คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 สวนที่ 2 แนวทางการพสิ ูจนท ฤษฎีบทในหนงั สือเรยี น • ทฤษฎีบท 1 ให a เปน จาํ นวนจรงิ จะไดว า 1. limc = c เมือ่ c เปน คา คงตวั ใด ๆ x→a 2. lim xn = an เมื่อ n ∈  x→a พสิ ูจน 1. จากบทนิยาม iv จะเห็นวาในที่นี้ f ( x) = c L = c และ A =  ให ε > 0 เลือก δ = ε ให x ∈ A ท่ี x − a < δ จะไดว า f ( x) − L = c − c = 0 < ε นน่ั คอื lim c = c x→a 2. ในการพิสจู นวา lim xn = an จะแบง การพิสจู นอ อกเปน 2 ขน้ั คอื x→a ขั้นที่ 1 จะแสดงวา lim x = a x→a ข้นั ที่ 2 จะแสดงวา lim xn = an เมือ่ n∈ โดยท่ี n ≠1 x→a ขั้นที่ 1 ให ε > 0 เลือก δ1 = ε สาํ หรบั ทุก x∈ ที่ x − a < δ1 จะไดว า x − a < ε น่นั คอื lim x = a x→a ข้นั ที่ 2 ให n∈ โดยที่ n ≠1 เนอื่ งจาก lim x = a x→a จะมี δ2 > 0 ที่สาํ หรบั ทกุ x∈ A ถา x − a < δ2 แลว สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 143 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 x−a < 1 x − a ≤ x−a < 1 x < 1+ a พิจารณา xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 +  + an−2 x + an−1 ≤ xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 +  + an−2 x + an−1 = x n−1 + a x n−2 + a2 x n−3 +  + an−2 x + an−1 ( ) ( ) ( ) ( )< 1 + a n−1 + a 1 + a n−2 + a2 1 + a n−3 + + an−2 1 + a + an−1 ( ) ( ) ( ) ( )ให kn = 1 + a n−1 + a 1 + a n−2 + a2 1 + a n−3 + + an−2 1 + a + an−1 จะไดว า kn > 0 ให ε > 0 ดังนัน้ ε > 0 kn เลือก δ =  ε  min δ2 , kn    ให x∈ A ที่ x − a < δ จะไดว า xn − an ( )( )= x − a ⋅ xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 +  + an−2 x + an−1 = x − a ⋅ xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 +  + an−2 x + an−1 ( )( ) ( ) ( ) ( )≤ x − a ⋅ 1 + a n−1 + a 1 + a n−2 + a2 1 + a n−3 + + an−2 1 + a + an−1 < δ ⋅ kn ≤ ε ⋅ kn kn =ε นน่ั คอื lim xn = an เม่อื n∈ x→a สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน 144 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 • ทฤษฎบี ท 2 กําหนดให a, L และ M เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ ถา f และ g เปนฟงกชนั ท่มี โี ดเมนและ เรนจเปน สับเซตของเซตของจํานวนจรงิ โดยที่ lim f (x) = L และ lim g (x) = M แลว x→a x→a 1. =lim cf ( x) c=lim f ( x) cL เมื่อ c เปนคาคงตวั ทเ่ี ปน จํานวนจริง x→a x→a 2. lim ( f ( x) + g ( x)) =lim f ( x) + lim g ( x) =L + M x→a x→a x→a 3. lim ( f ( x) − g ( x)) =lim f ( x) − lim g ( x) =L − M x→a x→a x→a 4. lim ( f ( x) ⋅ g ( x)) =lim f ( x) ⋅ lim g ( x) =L ⋅ M x→a x→a x→a  f (x) lim f ( x) L เมือ่ M ≠ 0 5. lxi→ma= g ( x)  xl=i→ma g ( x) M x→a n =lim f ( x) ( )6. l=im( f ( x))n Ln เมื่อ n∈  x→a x→a พสิ จู น 1. สมมติ D=f D=g A โดยที่ A เปนสบั เซตของเซตของจํานวนจริงที่ไมเปน เซตวา ง ให c เปน คา คงตัวทเ่ี ปน จาํ นวนจรงิ และ ε > 0 เนือ่ งจาก c ≥ 0 ดังนน้ั c +1 > 0 จะไดว า ε > 0 c +1 เนื่องจาก lim f ( x) = L x→a จะมี δ > 0 ทสี่ าํ หรบั ทกุ x∈ A ถา x − a < δ แลว f ( x) − L < ε c +1 ให x∈ A ที่ x − a < δ จะไดวา cf ( x) − cL = c f ( x) − L < c ⋅ ε < ε c +1 นั่นคือ lim cf ( x=) c=L c lim f ( x) x→a x→a 2. ให ε > 0 เนอื่ งจาก lim f ( x) = L x→a สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 145 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 จะมี δ1 > 0 ทีส่ ําหรับทกุ x∈ A ถา x − a < δ1 แลว f (x)− L < ε 2 เนื่องจาก lim g ( x) = M x→a จะมี δ2 > 0 ทีส่ าํ หรบั ทุก x ∈ A ถา x−a < δ2 แลว g(x)− M <ε 2 เลือก δ = min{δ1, δ2} ให x∈ A ท่ี x − a < δ จะไดวา ( f (x) + g(x)) −(L + M ) = ( f (x) − L) + (g(x) − M ) ≤ f (x)− L + g(x)− M < ε +ε 22 =ε น่ันคือ lim ( f ( x) + g ( x)) =L + M =lim f ( x) + lim g ( x) x→a x→a x→a 3. ให ε > 0 เนอ่ื งจาก lim f ( x) = L x→a จะมี δ1 > 0 ท่สี ําหรบั ทกุ x∈ A ถา x − a < δ1 แลว f (x)− L < ε 2 เน่ืองจาก lim g ( x) = M x→a จะมี δ2 > 0 ที่สําหรับทกุ x ∈ A ถา x−a < δ2 แลว g(x)− M <ε 2 เลอื ก δ = min{δ1, δ2} ให x∈ A ท่ี x − a < δ จะไดว า ( f (x) − g(x)) −(L − M ) = ( f (x) − L) −(g(x) − M ) ≤ f (x)− L + g(x)− M < ε +ε 22 =ε นน่ั คือ lim ( f ( x) − g ( x)) =L − M =lim f ( x) − lim g ( x) x→a x→a x→a สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบื้องตน 146 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 4. ให ε > 0 เนอ่ื งจาก lim g ( x) = M x→a จะมี δ1 > 0 ทสี่ ําหรับทุก x∈ A ถา x − a < δ1 แลว g(x)− M < 2( ε + 1) L และจะมี δ2 > 0 ท่ีสําหรบั ทุก x∈ A ถา x − a < δ2 แลว g(x)− M < 1 g(x) − M < g(x)− M < 1 g(x) < 1+ M เนอื่ งจาก lim f ( x) = L x→a จะมี δ3 > 0 ทสี่ ําหรับทกุ x∈ A ถา x − a < δ3 แลว f (x)− L < ε M ) 2 (1 + เลอื ก δ = min{δ1, δ2, δ3} ให x∈ A ท่ี x − a < δ จะไดวา f (x)⋅ g(x)− L⋅M = f (x)⋅ g(x)− L⋅ g(x)+ L⋅ g(x)− L⋅M = ( f (x)⋅ g(x) − L⋅ g(x)) + (L⋅ g(x) − L⋅M ) ≤ f (x)⋅ g(x)− L⋅ g(x) + L⋅ g(x)− L⋅M = g(x) ⋅ f (x)− L + L ⋅ g(x)− M < (1 + M )⋅ ε M ) + L ⋅ 2( ε + 1) L 2 (1 + < ε +ε 22 =ε น่ันคือ lim ( f ( x) ⋅ g ( x)) =L ⋅ M =lim f ( x) ⋅ lim g ( x) x→a x→a x→a สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 147 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 5. สมมติให M ≠ 0 ตอ งการแสดงวา lim 1 = 1 M x→a g(x) เน่อื งจาก lim g ( x=) M ≠ 0 x→a โดยทฤษฎีบท v จะไดว า มี δ1 > 0 ซ่ึง g ( x) ≠ 0 สาํ หรบั x∈(a − δ1, a + δ1 ) ∩ ( A −{a}) กลาวคอื ท่ีรอบ ๆ จดุ a คา ของ g (x) ≠ 0 เนอ่ื งจาก lim g ( x) = M x→a ดงั นน้ั สําหรบั x − a < δ1 จะไดวา M − g(x) ≤ g(x)− M M < ให ε > 0 M − g(x) 2 g(x) M < 1 2 >M g ( x) 2 <2 M จะไดว า M 2ε >0 2 จาก lim g ( x) = M x→a จะมี δ2 > 0 ท่ีสําหรับทุก x∈ A ถา x − a < δ2 แลว g(x)− M < M 2 ε 2 เลือก δ = min{δ1, δ2} ให x∈ A ท่ี x − a < δ จะไดว า สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบอื้ งตน 148 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 g 1 ) − 1 = M − g(x) M M ⋅ g(x) (x = 1 ⋅ 1 ⋅M − g(x) M g(x) = 1 ⋅ 1 ⋅ g(x)− M M g(x) < 1 ⋅ 2 M 2ε ⋅ MM 2 =ε นน่ั คือ lim 1 = 1 M n→∞ g ( x) จากบทพิสจู นกอนหนา จะไดวา  f (x) lim  f ( x) ⋅ 1  lxi→ma= g ( x)    x→a g (x) = lim f ( x) ⋅ lim g 1 x→a x→a (x) = L⋅ 1 M =L M lim f ( x) = x→a lim g ( x) x→a นน่ั คอื lim  f (x) =L lim f ( x)  g ( x)= M x→a x→a lim g ( x) x→a 6. เนื่องจาก lim f ( x) = L x→a จะมี δ1 > 0 ที่สําหรับทกุ x∈ A ถา x − a < δ1 แลว f (x)− L < 1 f (x) − L ≤ f (x)− L < 1 f (x) < 1+ L สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 149 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ให n∈ โดยที่ n ≠ 1 พจิ ารณา ( f ( ))x n−1 + L ⋅ ( f ( ))x n−2 + L2 ⋅ ( f ( ))x n−3 + + Ln−2 ⋅ f ( x) + Ln−1 ≤ ( f ( x))n−1 + L ⋅ ( f ( x))n−2 + L2 ⋅ ( f ( x )) n−3 + + Ln−2 ⋅ f ( x) + Ln−1 = f ( x) n−1 + L ⋅ f ( x) n−2 + L2 ⋅ f ( x) n−3 +  + Ln−2 ⋅ f ( x) + Ln−1 ( ) ( ) ( ) ( )< 1 + L n−1 + L 1 + L n−2 + L2 1 + L n−3 +  + Ln−2 1 + L + Ln−1 ( ) ( ) ( ) ( )ให kn = 1 + L n−1 + L 1 + L n−2 + L2 1 + L n−3 + + Ln−2 1 + L + Ln−1 จะเหน็ วา kn > 0 สมมติ ε > 0 เนอ่ื งจาก lim f ( x) = L x→a จะมี δ2 > 0 ทีส่ ําหรบั ทุก x∈ A ถา x − a < δ2 แลว f (x)− L < ε kn เลอื ก δ = min{δ1, δ2} ให x∈ A ที่ x − a < δ จะไดวา ( f ( x))n − Ln ( )= ( f ( x) − L) ⋅ ( f ( ))x n−1 + L ⋅ ( f ( ))x n−2 + L2 ⋅ ( f ( ))x n−3 + + Ln−2 ⋅ f ( x) + Ln−1 = f ( x) − L ⋅ ( f ( ))x n−1 + L ⋅ ( f ( x))n−2 + L2 ⋅ ( f ( ))x n−3 + + Ln−2 ⋅ f ( x) + Ln−1 ( )( ) ( ) ( ) ( )≤ f ( x) − L ⋅ 1 + L n−1 + L 1 + L n−2 + L2 1 + L n−3 + + Ln−2 1 + L + Ln−1 < ε ⋅ kn kn =ε n lim f ( x) ( )นั่นคือ lim( f ( x))=n L=n เม่อื n∈ x→a x→a สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 150 คูม อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 • ทฤษฎบี ท 3 ให p เปน ฟง กช นั พหุนาม และ a เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ จะไดวา lim p(x) = p(a) x→a พิสจู น ให p(x)= cn xn + cn−1xn−1 + cn−2xn−2 + + c1x + c0 เมื่อ c0, c1,..., cn เปน คาคงตัว ท่เี ปน จาํ นวนจรงิ และ n เปน จาํ นวนเตม็ ทมี่ ากกวา หรอื เทากับศนู ย จะไดว า ( )lim x→a lim p(x) = cn xn + cn−1xn−1 + cn−2 xn−2 +  + c1x + c0 x→a ( ) ( ) ( ) ( )lim = x→a cn xn + lim cn −1 x n −1 + lim cn−2 xn−2 +  + lim c1x + lim c0 = x→a x→a x→a x→a = = cn lim xn + cn−1 lim xn−1 + cn−2 lim xn−2 ++ c1 lim x + lim c0 x→a x→a x→a x→a x→a cnan + cn−1an−1 + cn−2an−2 +  + c1a + c0 p(a) • ทฤษฎบี ท 4 ให f เปน ฟงกช ันท่ี f (x) = p(x) เมอ่ื p และ q เปนฟงกชนั พหนุ าม q(x) จะไดวา lim f ( x) = p(a) สาํ หรบั จาํ นวนจริง a ใด ๆ ที่ q(a) ≠ 0 q(a) x→a พสิ ูจน ให f (x) = p(x) เม่อื p(x) และ q(x) เปนฟง กช นั พหนุ าม q(x) พจิ ารณา สาํ หรบั a∈ ซง่ึ q(a) ≠ 0 จะไดวา p(x) lim p ( x) p(a) lim f (x) = lim = x→a = q(a) q(x) x→a x→a lim q ( x) x→a สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 151 คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 • ทฤษฎบี ท 5 ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x = a แลว 1. f + g เปนฟงกชนั ตอเนอ่ื งท่ี x = a 2. f − g เปน ฟงกชนั ตอเน่ืองที่ x = a 3. f ⋅ g เปน ฟงกชันตอเนื่องท่ี x = a 4. f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x = a เม่ือ g (a) ≠ 0 g พสิ จู น ให f และ g เปน ฟง กช ันตอเนื่องที่ x = a ดังนั้น lim f (x) = f (a) และ lim g(x) = g (a) x→a x→a 1. lim ( f + g )(x) = lim ( f (x) + g(x)) x→a x→a = lim f (x) + lim g(x) x→a x→a = f (a) + g(a) = ( f + g)(a) น่ันคอื f + g เปนฟง กช ันตอเนอื่ งที่ x = a 2. lim ( f − g )(x) = lim ( f (x) − g(x)) x→a x→a = lim f (x) − lim g(x) x→a x→a = f (a) − g(a) = ( f − g)(a) น่ันคือ f − g เปนฟง กช นั ตอเนอื่ งที่ x = a 3. lim ( f ⋅ g )(x) = lim ( f (x) ⋅ g(x)) x→a x→a = lim f (x) ⋅ lim g(x) x→a x→a = f (a)⋅g(a) = ( f ⋅ g)(a) นนั่ คือ f ⋅ g เปน ฟง กชันตอเนื่องท่ี x = a สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 152 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 4. พิจารณา สําหรับ a ∈ ซงึ่ g (a) ≠ 0 จะไดว า lim f (x) = lim f (x) x→a g x→a g(x) lim f (x) = x→a lim g(x) x→a = f (a) g(a) =  f   g  (a)   นัน่ คือ f เปนฟงกชนั ตอเนอื่ งท่ี x = a เม่ือ g (a) ≠ 0 g • ทฤษฎบี ท 6 สําหรบั จํานวนจริง a ใด ๆ ฟงกช ันพหุนาม p เปนฟง กช นั ตอเนอื่ งที่ x = a พสิ ูจน ให p เปน ฟง กช ันพหนุ าม โดยทฤษฎบี ท 3 จะไดวา lim p( x) = p(a) x→∞ นนั่ คือ ฟงกชนั พหนุ าม p เปนฟง กชนั ตอเนือ่ งท่ี x = a • ทฤษฎบี ท 7 ถา f เปน ฟง กช นั ที่ f (x) = p(x) เมอื่ p และ q เปน ฟง กช นั พหนุ าม q(x) แลว f เปนฟงกชันตอเน่ืองท่ี x = a เมื่อ a จํานวนจริงใด ๆ ท่ี q(a) ≠ 0 พสิ ูจน ให f (x) = p(x) เม่อื p(x) และ q(x) เปน ฟง กช นั พหนุ าม q(x) พจิ ารณา สําหรบั a∈ ซ่งึ q(a) ≠ 0 โดยทฤษฎีบท 4 จะไดวา lim f (x) = p(a) q(a) x→a นัน่ คือ ฟงกช ัน f เปน ฟงกช นั ตอเนื่องท่ี x = a เมอื่ a จาํ นวนจริงใดๆ ที่ q(a) ≠ 0 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 153 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 • สูตรท่ี 9 ถา f หาอนพุ นั ธไดที่ x และ g หาอนุพันธไดที่ f (x) แลว ( g = f )′ ( x) g′( f ( x)) ⋅ f ′( x) พิสจู น สมมติให f หาอนพุ นั ธไ ดท่ี x และ g หาอนพุ ันธไดท่ี f (x) พจิ ารณา (g  f )(x + h)−(g  f )(x) lim h→0 h g( f (x + h)) − g( f (x)) = lim h→0 h = lim g( f (x + h)) − g( f (x)) f (x + h) − f (x)⋅ เม่ือ f (x + h)− f (x) ≠ 0 h→0 f (x + h)− f (x) h เนื่องจาก f หาอนพุ นั ธไดที่ x จะไดวา lim f ( x + h) − f ( x) = f ' ( x) h→0 h พจิ ารณา g( f (x + h)) − g( f (x)) lim f (x + h)− f (x) h→0 ให k= f ( x + h) − f ( x) จะเหน็ วา ถา h เขา ใกล 0 แลว k จะเขา ใกล 0 ดงั นัน้ lim g( f (x + h)) − g( f (x)) = lim g( f (x)+ k)− g( f (x)) h→0 f (x + h)− f (x) k →0 k จาก g หาอนุพันธไดที่ f (x) จะไดว า g( f (x)+ k)− g( f (x)) = g′( f (x)) lim k→0 k สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้อื งตน 154 คูม ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 ดังนั้น (g  f )(x + h)−(g  f )(x) = lim g( f (x + h)) − g( f (x)) ⋅ f (x + h)− f (x) lim h→0 f (x + h)− f (x) h h→0 h = lim g ( f ( x) + k ) − g ( f ( x)) ⋅ lim f ( x + h) − f ( x) k→0 k h→0 h = g′( f (x))⋅ f ′(x) นน่ั คอื ( g  f )′ ( x) = g′( f ( x)) ⋅ f ′( x) • ทฤษฎบี ท 8 ให f เปนฟง กชันที่หาอนุพันธไดบนชว ง A ซ่ึงเปนสบั เซตของโดเมนของฟงกช ัน f 1. ถา f ′(x) > 0 สาํ หรบั ทุก x ในชว ง A แลว f เปนฟงกชนั เพม่ิ บนชวง A 2. ถา f ′(x) < 0 สาํ หรบั ทกุ x ในชวง A แลว f เปนฟงกช นั ลดบนชว ง A พสิ ูจน เนอ่ื งจาก f เปนฟงกชนั ทห่ี าอนพุ นั ธไ ดบ นชว ง A ดงั น้นั f เปนฟงกชนั ตอเน่อื งบนชว ง A ให a, b∈ A โดยท่ี a < b ดังน้นั f เปน ฟง กช ันตอเนือ่ งบนชวง [a, b] และ มีอนพุ นั ธบ นชว ง (a, b) โดยทฤษฎีบทคามัชฌิม จะมี c∈(a, b) ท่ี f ′(c) = f (b) − f (a) b−a 1. สมมตใิ ห f ′(x) > 0 สาํ หรบั ทกุ x ในชว ง A จะได f (b) − f (a) > 0 b−a ดังน้ัน f (b) − f (a) > 0 หรือ f (b) > f (a) นนั่ คือ f เปน ฟง กชันเพ่ิมบนชวง A 2. สมมตใิ ห f ′(x) < 0 สาํ หรบั ทุก x ในชวง A จะได f (b) − f (a) < 0 b−a ดังนน้ั f (b) − f (a) < 0 หรือ f (b) < f (a) นนั่ คือ f เปน ฟง กช นั ลดบนชวง A สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอื้ งตน 155 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 • ทฤษฎบี ท 9 ให f เปน ฟงกชันทีน่ ิยามบนชวง (a, b) และ c∈(a, b) ถา ฟง กชัน f มคี าสูงสุดสัมพทั ธหรือคาตาํ่ สดุ สมั พทั ธท่ี x = c และ f ′(c) มคี า แลว f ′(c) = 0 พสิ ูจน สมมตใิ ห f มีคา สงู สดุ สัมพัทธที่ x = c และ f ′(c) มีคา จะไดวา f (c) ≥ f (x) ทุก x ในชวง (a, b) เมอ่ื x > c จาก x − c > 0 และ f (c) ≥ f ( x) จะได f (x)− f (c) ≤ 0 x−c ดังน้ัน lim f ( x) − f (c) ≤ 0 x→c+ x − c เมอ่ื x < c จาก x − c < 0 และ f (c) ≥ f ( x) จะได f (x)− f (c) ≥0 x−c ดงั นั้น lim f (x)− f (c) ≥0 x→c− x−c เน่ืองจาก f ′(c) มคี =า ดังนน้ั f ′(c) f (x)− f (c) 0 หมายเหตุ li=m x→c x − c กรณี ถา f มคี าตาํ่ สุดสัมพัทธที่ x = c และ f ′(c) มคี า แลว f ′(c) = 0 สามารถ พิสูจนไดใ นทํานองเดยี วกัน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน 156 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 • ทฤษฎีบท 10 ให f เปน ฟงกช นั ท่ีหาอนุพันธไดบนชว ง (a, b) และ c∈(a, b) เปน คาวิกฤตของ f ถา f ′(x) เปลี่ยนจากจํานวนจริงบวกเปนจาํ นวนจริงลบ เม่ือ x เพ่ิมขน้ึ รอบ ๆ c แลว f (c) เปน คา สูงสดุ สมั พทั ธข อง f ถา f ′(x) เปล่ียนจากจํานวนจริงลบเปนจาํ นวนจรงิ บวก เมื่อ x เพ่ิมขึ้นรอบ ๆ c แลว f (c) เปน คา ตํา่ สุดสมั พัทธของ f พสิ ูจน สมมติ f ′(x) เปลีย่ นจากจาํ นวนจริงบวกเปน จาํ นวนจริงลบ เม่ือ x เพิม่ ขนึ้ รอบ ๆ c นัน่ คอื จะมี δ >0 ท่ี f ′( x) > 0 ทกุ x ∈(c − δ , c) และ f ′( x) < 0 ทกุ x ∈(c, c + δ ) ให x ∈(c − δ , c) จะไดวา f เปนฟง กช นั ทตี่ อเน่ืองบนชว ง [x, c] และมีอนุพันธบ นชวง (x, c) โดยทฤษฎบี ทคามัชฌมิ จะมี d ∈( x, c) ท่ี f ′(d) = f (c)− f (x) และ f ′(d) >0 c−x จะไดว า f (c) − f ( x) > 0 เนื่องจาก c − x > 0 ดงั น้ัน f (c) > f ( x) ทุก x ในชวง (c −δ , c) ให x ∈(c, c + δ ) จะไดวา f เปนฟง กช นั ที่ตอเนื่องบนชวง [c, x] และมีอนุพันธบนชวง (c, x) โดยทฤษฎบี ทคามชั ฌมิ จะมี e∈(c, x) ที่ f ′(e) = f (x)− f (c) และ f ′(e) < 0 x−c จะไดว า f ( x) − f (c) < 0 เนอ่ื งจาก x − c > 0 ดังน้ัน f (c) > f ( x) ทุก x ในชวง (c, c + δ ) ฉะนั้น f (c) ≥ f ( x) ทกุ x ในชว ง (a, b) น่นั คือ f (c) เปนคาสงู สุดสมั พัทธข อง f หมายเหตุ กรณี ถา f ′(x) เปลยี่ นจากจาํ นวนจรงิ ลบเปนจาํ นวนจรงิ บวก เมื่อ x เพ่มิ ขนึ้ รอบ ๆ c แลว f (c) เปนคาตา่ํ สดุ สมั พัทธของ f สามารถพสิ จู นไดใ นทํานองเดยี วกนั สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 157 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 • ทฤษฎบี ท 11 กาํ หนดให f เปนฟง กชันทต่ี อเน่อื งบนชว ง (a, b) และ c∈(a, b) เปนคาวกิ ฤตของ f ซงึ่ f ′(c) = 0 และ f ′′(c) มคี า 1. ถา f ′′(c) > 0 แลว f (c) เปน คา ต่ําสุดสัมพัทธของ f 2. ถา f ′′(c) < 0 แลว f (c) เปน คาสงู สุดสัมพัทธของ f พิสจู น สมมตใิ ห f ′′(c) > 0 จากบทนิยามของอนุพนั ธ จะไดวา f \" (c) = lim f ′( x) − f ′(c) x→c x − c f ′(x) = lim x→c x − c เนือ่ งจาก f ′′(c) > 0 จะไดว า lim f ′( x) > 0 x→c x − c กรณี x < c จะเห็นวา x − c < 0 ดังนัน้ f ′( x) < 0 กรณี x > c จะเหน็ วา x − c > 0 ดังนัน้ f ′( x) > 0 โดยทฤษฎีบท 10 จะไดว า f (c) เปนคาตาํ่ สุดสมั พัทธข อง f หมายเหตุ กรณี ถา f ′′(c) < 0 แลว f (c) เปน คาสงู สดุ สัมพัทธข อง f สามารถพิสูจนไ ดใ น ทํานองเดียวกนั สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 158 คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 • ทฤษฎบี ท 12 ถา f เปนฟงกช ันตอ เน่ืองบนชวง [a, b] แลว f จะมีท้งั คาสูงสุดสมั บูรณแ ละคาตาํ่ สดุ สมั บรู ณ บนชวง [a, b] พสิ ูจน เนือ่ งจาก [a, b] เปนชวงปด และ f เปนฟงกชันตอเน่อื งบนชว ง [a, b] โดยทฤษฎบี ท xii จะไดว า Rf เปนเซตปดที่มีขอบเขต ให z = sup Rf และ w = inf Rf จะไดวา w ≤ f ( x) ≤ z ทกุ x ในชวง [a, b] เนื่องจาก Rf เปนเซตปด ท่ีมีขอบเขต โดยทฤษฎบี ท xv จะไดว า z ∈ Rf และ w∈ Rf ดงั นั้น จะมี c, d ∈[a, b] ท่ี z = f (c) และ w = f (d ) จาก f (c) ≥ f ( x) และ f (d ) ≤ f ( x) ทกุ x ในชวง [a, b] จะเหน็ วา f (c) เปนคาสงู สุดสัมบูรณ และ f (d ) เปนคา ตํ่าสุดสมั บูรณ บนชว ง [a, b] น่ันคอื f มีคา สูงสุดสมั บรู ณและคา ตาํ่ สุดสมั บูรณบ นชวง [a, b] ความสมั พนั ธร ะหวา งอนุพันธแ ละความตอ เนื่องของฟง กชนั f ทจ่ี ุด c ให f เปน ฟงกช นั ทีน่ ยิ ามบนชว งเปด (a, b) และ c∈(a, b) ถา f มีอนุพนั ธท ่ี c แลว f จะมีความตอ เนื่องที่ c แสดงการพิสูจนไดดังน้ี พิสจู น ให f เปนฟง กชนั ทน่ี ิยามบนชวงเปด (a, b) และ c∈(a, b) สมมตวิ า f มอี นุพนั ธที่ c สําหรับ x∈(a, b) ซ่ึง x ≠ c จะไดว า สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 159 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 f (x)− f (c) = f (x)− f (c) ⋅(x −c) x−c  f ( x) − f (c)  ( )lim( f ( x) − f (c))  lim − c ⋅  x→c x  x→c = lim( x − c) x→c = f ′(c)⋅0 =0 นน่ั คอื lim f ( x) = f (c) x→c ดงั นั้น f มคี วามตอ เนื่องที่ c หมายเหตุ ในทางตรงกนั ขาม ถา f มคี วามตอ เนื่องท่ี c แลว อนพุ นั ธข อง f ท่ี c อาจไมมีคา กไ็ ด เชน ในกรณีท่ี f (x) = x เขียนกราฟของ f ไดด งั นี้ จากกราฟ จะเหน็ วา f เปนฟงกชันตอ เนื่องที่ x = 0 แตจ ากตวั อยางที่ 25 จะไดว า f ′(0) ปริพันธไมตรงแบบ (Improper Integral) ปริพนั ธจ ํากดั เขต b ที่มีคา a หรือ b เปนอนนั ต หรือฟง กช ัน f ไมต อเนอื่ ง ∫ f (x) dx a อยางนอย 1 จดุ ในชว ง [a,b] เราจะเรียกปริพนั ธท ่ีอยูในรปู ดงั กลาววา ปริพนั ธไ มต รงแบบ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน 160 คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 บทนยิ ามท่สี าํ คัญเกี่ยวกับปริพันธไมต รงแบบมีดังน้ี บทนิยาม 1 (ปริพันธไ มต รงแบบเม่ือชวงของการหาปริพันธเปน อนนั ต) 1. ถา f (x) ตอ เนื่องบน [a,∞) แลว ∞t เมอ่ื t มคี า ∫ ∫f (x) dx = lim f (x) dx ∫lim f (x) dx t→∞ t→∞ aa a 2. ถา f (x) ตอ เนื่องบน (−∞,b] แลว b b เมื่อ b มคี า ∫ ∫f (x) dx = lim f (x) dx ∫lim f (x) dx t →−∞ −∞ t t→∞ t จะกลาววา ปรพิ นั ธไมตรงแบบลเู ขา เมือ่ ลิมิตมีคา และจะกลาววาปรพิ ันธไมต รงแบบลูออก เมอ่ื ลิมติ ไมมีคา 3. ถา f (x) ตอ เน่ืองบน (−∞,∞) แลว ∞ c∞ ∫=f (x) dx ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx −∞ −∞ c เมือ่ c เปนจํานวนจริงใดๆ และ c f (x) dx และ ∞ ลเู ขา ∫ ∫ f (x) dx −∞ c บทนยิ าม 2 (ปรพิ ันธไ มต รงแบบเมือ่ ฟง กชนั ไมต อเนือ่ งบางจดุ ในชว งของการหาปริพันธ) 1. ในชว ง [a,b] ถา f (x) ตอเน่ืองทุกคา x ยกเวน ที่ x = a แลว b f (x) dx = lim b f (x) dx เมอ่ื lim b f (x) dx มคี า t→a+ ∫ ∫ t→a+ ∫ at t 2. ในชวง [a,b] ถา f (x) ตอ เนื่องทกุ คา x ยกเวน ที่ x = b แลว bt เมอ่ื lim t f (x) dx มีคา ∫ ∫f (x) dx = lim f (x) dx t →b− ∫ t →b− a aa จะกลา ววา ปรพิ นั ธไมต รงแบบลเู ขา เม่ือลิมติ มีคา และจะกลาววา ปริพนั ธไ มตรงแบบลอู อกเมื่อ ลิมิตไมมีคา 3. ในชว ง [a,b] ถา f (x) ตอเน่ืองทกุ คา x ยกเวน ท่ี x = c เมือ่ c∈(a,b) แลว b cb เมือ่ c f (x) dx และ ∞ ลเู ขา ∫=f (x) dx ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx ∫ ∫ f (x) dx −∞ c a ac สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบอื้ งตน 161 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 2.7 ตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท ในสวนน้ีจะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 2 แคลคูลัสเบื้องตน สําหรับรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู ทตี่ อ งการวดั ผลประเมินผล ตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บท 1. จงหา 1) lim f ( x) เม่ือ f ( x) = 5 + x − 5 2) f (x) − f (3) เม่ือ f ( x) = 16x2 x→0 2x lim x→3 x − 3 2. จงพิจารณาวาฟงกช นั ตอไปน้ีเปนฟงกชันตอเนือ่ ง ณ จุดท่ีกําหนดหรือไม  x2 −1 x ≠ −1  , ท่ีจดุ x = −1 1) f ( x) =  x +1 −2 , x =−1 2) f ( x ) = −x , x ≤ 0 ท่จี ุด x = 0   x2 , x>0 3. กาํ หนดให A, B และ C เปนจํานวน=จริงใด ๆ โดยท่ี A li=m x2 − x − 2 , f (1) B และ x→2 x − 2 1 − x2 , x < 1 =f ( x) =0 , x 1 ถา f ตอเนอ่ื งที่ x =1 แลว A + B เทากับเทา ใด 3x − C , x > 1 C 2+ 5−b , x ≤1   x +1 , 1< x < 6 เม่ือ a และ b เปน จาํ นวนจริง 4. =กําหนดให f (x)  x3 −1 , x≥6   x2 −1  x−2+a   13 − x ถา f เปนฟง กชนั ตอ เน่ืองที่ x =1 และ x=6 แลว 3 a−x เทา กับเทาใด lim x→14 x − b สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้อื งตน 162 คูม อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 กาํ หนดให =y ( )( )1 + จงหา dy x3 + 3 dx 5. x2 + 2x +1 x2 − 5x − 4 6. เสน ตรง l สัมผสั เสน โคง y = f ( x) โดยท่ี y = 5x3 + 2x2 − 7x + 9 ท่ี x =1 3x จงหาวาเสน ตรง l ทาํ มุมกี่องศากับแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬิกา 7. จงหา ( f  g )′ (2) เมื่อกาํ หนดให f ( x) = 2x2 −1 และ g (=x) x3 + 8 x 8. กาํ หนดให f ( x=) (1− 2x) 4 จงหา f ′′( x) 9. จงหา ∫1)  x3 + 5x2 − 4  2) ∫ (3x + 4)2 dx   dx  x2  10. กําหนดให y = f ( x) และอัตราการเปลย่ี นแปลงของ y เทียบกับ x คือ ax3 −12x + 8 เมอื่ x และ a เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ ถา f (0) =1 และ f ′(1) = 0 แลว f (a − 2) เทากบั เทาใด 11. กาํ หนดให g (x=) x6 − 3x ถา a เปน จํานวนจริงท่ีทาํ ให a −1 แลว 6 16 ∫ g′′( x) dx = −a g′(a) เทา กับเทา ใด 12. จงหาพ้ืนที่ที่ปด ลอมดวยเสนโคง =y x2 + 4x กบั แกน X จาก x = −5 ถงึ x =1 13. ให f และ g เปน ฟง กชนั ตอเน่ืองบนชวง [1, 2] โดยที่ f ( x) +=1 g ( x) + x จงหา 2 f ( x) − g ( x))2 dx ∫( 1 14. กําหนดให เสน โคง  มีความชันท่จี ุด (1, 3) เทา กบั −1 และ f ( x) = ax2 + bx + c ถา 1 แลว f (2) เทา กับเทา ใด ∫ f ( x) dx = 0 0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 163 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 เฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บท 1. 1) จาก f ( x) = 5 + x − 5 2x จะได lim f ( x) = lim 5 + x − 5 x→0 x→0 2x = lim  5+x − 5⋅ 5+x + 5  2x 5+x + 5  x→0 ( ) (2 )2 5+x − 5 ( )= lim x→0 2x 5 + x + 5 5+ x−5 ( )= lim x→0 2x 5 + x + 5 x ( )= lim x→0 2x 5 + x + 5 1 ( )= lim x→0 2 5 + x + 5 ( )= 1 2 5+0+ 5 =1 45 2) จาก f ( x) = 16x2 จะได f (x) − f (3) ( )16x2 −16 32 lim = lim x→3 x − 3 x→3 x − 3 ( )16 x2 − 32 = lim x→3 x − 3 16( x − 3)( x + 3) = lim x→3 x − 3 = lim(16( x + 3)) x→3 = 16(3 + 3) = 96 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 164 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 2. 1) จากฟงกชนั f ทกี่ ําหนดให จะได f (−1) =−2 และ lim f ( x) =  x2 −1 x→−1 xl→im−1  x +1   ( x −1)( x +1)  = lim   x→−1 x +1  = lim ( x −1) x→−1 = −1−1 = −2 จะเหน็ วา lim f ( x=) f (−1) x→−1 ดงั น้นั ฟง กชัน f เปน ฟงกชันตอเน่อื งท่ี x = −1 2) จากฟงกช ัน f ที่กาํ หนดให จะได f (0) = 0 จาก lim f ( x) = lim (−x) = 0 x→0− x→0− และ lim f ( x) = lim x2 = 0 x→0+ x→0− จะไดว า lim f ( x) = lim f ( x) x→0− x→0+ ดังน้นั lim f ( x) = 0 x→0 จะเห็นวา lim f ( x) = f (0) x→0 ดังนนั้ ฟง กช นั f เปนฟงกชนั ตอเนื่องท่ี x = 0 3. จาก A = x2 − x − 2 จะได lim x→2 x − 2 ดงั นน้ั ( x − 2)( x +1) A = lim x→2 x − 2 = lim( x +1) x→2 = lim x + lim1 x→2 x→2 = 2+1 A=3 ----- (1) สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 165 คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 1 − x2 , x < 1 f ( x) = 0 จาก , x =1 3x − C , x > 1 จะได f (1) = 0 ดังน้ัน B = 0 ----- (2) ----- (3) จาก f ตอเนื่องที่ x =1 จะไดวา f (1) = lim f ( x) x→1 ดงั นัน้ lim f ( x) = 0 x→1 น่ันคอื li=m f ( x) li=m f ( x) 0 x →1− x →1+ จาก lim f ( x) = lim (3x − C ) x →1+ x →1+ จะได 0 = 3 − C ดงั น้ัน C = 3 จาก (1), (2) และ (3) จะไดวา A=+ B 3=+ 0 1 C3 4. จาก f เปนฟงกชันตอเนื่องท่ี x =1 จะไดว า lim f ( x) = f (1) x→1 นน่ั คอื lim f ( x) = lim f ( x) ----- (1) x →1− x →1+ จากฟง กชนั f ท่ีกาํ หนดให จ=ะได lim f (x) xli=→m1−  2 +x +51− b  2+ 5−b ----- (2) x →1− 2 และ ( )=lim f ( x) x →1+ xli=→m1+  xx32 −−11   ( x −1) x2 + x +1  =x2 x++x1+1  3 lim  ( x −1=)( x +1)  lim 2 ----- (3) x→1+  x →1+ จาก (1), (2) และ (3) จะได 2 + 5 − b = 3 ----- (4) ----- (5) 22 ดงั นน้ั b = 4 จาก f เปน ฟง กชนั ตอ เนื่องที่ x = 6 จะไดวา lim f ( x) = f (6) x→6 น่ันคอื lim f ( x) = lim f ( x) x→6− x→6+ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 166 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 จากฟง กช นั f ท่ีกําหนดให จะได= lim f (x) xl=→im6−  xx32 −−11  43 ----- (6) x→6− 7 และ=lim f ( x) xl=→im6+  x13−−2 x+ a  2+a ----- (7) x→6+ 7 จาก (5), (6) และ (7) จะได 43 = 2 + a ----- (8) 77 ดังนัน้ a = 41 จาก (4) และ (8) จะได =lim 3 a − x li=m 3 41− x 3 x→14 x − b x→14 x − 4 10 จาก 1+ x3 + 3 −1 + x2 + 2x + 1 x3 + 3 ( )( ) ( ) ( )( )y = 5. x2 + 2x +1 x2 − 5x − 4 = x2 − 5x − 4 ( )จะได ( ) ( )( )dy = d x3 + 3 −1 + x2 + 2x +1 x2 − 5x − 4 dx dx ( )( ) ( )( )= d x3 + 3 −1 + d x2 + 2x +1 x2 − 5x − 4 dx dx พจิ ารณา ( )d x3 + 3 −1 dx ให =u x3 + 3 ( )จะได ( )d x3 + 3 −1 = d u−1 ⋅ du dx du dx ( )= −u−2 ⋅ d x3 + 3 dx − 3x2 x3 + 3 2 ( )= ----- (1) พจิ ารณา ( )d ( x2 + 2x +1)( x2 − 5x − 4) dx จาก ( )d ( x2 + 2x +1)( x2 − 5x − 4) dx = ( x2 − 5x − 4) d ( x2 + 2x +1) + ( x2 + 2x +1) d ( x2 − 5x − 4) dx dx = ( x2 − 5x − 4)(2x + 2) + ( x2 + 2x +1)(2x − 5) ( ) ( )= 2x3 − 8x2 −18x − 8 + 2x3 − x2 − 8x − 5 = 4x3 − 9x2 − 26x −13 ----- (2) สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอื้ งตน 167 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 จาก (1) และ (2) จะได dy 3x2 x3 + 3 ( ) ( )dx = − 2 + 4x3 − 9x2 − 26x −13 6. จาก y = f ( x) โดยที่ y = 5x3 + 2x2 − 7x + 9 3x จะได f ( x)= 5x3 + 2x2 − 7x + 9= 5 x2 + 2 x − 7 + 3x−1 3x 3 3 3 ดงั น้ัน ความชนั ของเสนสมั ผัสเสน โคง y = f (x) นี้ ที่ x ใด ๆ คอื f ′(x) = d  5 x2 + 2 x − 7 + 3x−1  dx  3 3 3  = 10 x + 2 − 3 3 3 x2 จาก เสน ตรง l สมั ผสั เสน โคง y = f (x) ที่ x =1 จะไดวา ความชันของเสน ตรง l คือ f ′(1) = 10 (1) + 2 − 3 = 10 + 2 − 3 = 1 3 33 3 (1)2 ดังนน้ั เสนตรง l ทํามุม 45 องศากับแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬิกา 7. จาก f ( x=) 2x2 −=1 2x − x−1 x จะได f ′(x)= 2 + 1 x2 จาก g (=x) x3 + 8 จะได g (2)= 23 + 8= 4 ให =u x3 + 8 จะได g (=x) 1 =u u 2 ดังนน้ั g′(x) = dy ⋅ du du dx = = ( )1 u − 1  3x2 2 2   3x2 2 x3 + 8 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบอื้ งตน 168 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 จาก ( f  g )′ ( x) = f ′( g ( x)) ⋅ g′( x) ดังน้นั ( f  g )′ (2) = f ′( g (2)) ⋅ g′(2) = f ′(4)⋅ g′(2) ( )=    2 + 1   3 22   42   2 23 +  8 =  33  3   16  2  = 99 32 8. ให u= 1− 2x จะได y =(1− 2x)4 =u4 ดังนนั้ dy = dy ⋅ du dx du dx ( )= d u4 ⋅ d (1− 2x) du dx = (4u3 )(−2) = −8(1− 2x)3 ให u= 1− 2x จะได dy =−8(1− 2x)3 =−8u3 dx ดงั นน้ั d2y = d  dy  dx2 dx  dx  = d  dy  ⋅ du du  dx  dx ( )= d −8u3 ⋅ d (1− 2x) du dx = (−24u2 )(−2) = 48(1− 2x)2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 169 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1  x3 + 5x2 − 4   x3 5x2 4  ∫ ∫9. 1) =  x2 + x2 − x2   x2  dx   dx   = ∫ ( x + 5 − 4x−2 ) dx = x2 + 5x + 4x−1 + C เมื่อ C เปนคา คงตวั 2 2) ∫ (3x + 4)2 dx = ∫ (9x2 + 24x +16) dx = 3x3 +12x2 +16x + C เมอ่ื C เปนคาคงตัว 10. จาก y = f ( x) และอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x คือ ax3 −12x + 8 จะได f ′( x) = ax3 −12x + 8 จาก f ′(1) = 0 จะได 0 = a(13 ) −12(1) + 8 นั่นคือ a = 4 ดังน้นั f ′( x) = 4x3 −12x + 8 จะได f ( x) = ∫(4x3 −12x + 8) dx = x4 − 6x2 + 8x + C เม่ือ C เปนคาคงตวั จาก f (0) =1 จะได 1 = 04 − (6 02 ) + 8(0) + C นนั่ คือ C = 1 ดังนน้ั f ( x) = x4 − 6x2 + 8x +1 พิจารณา f (a − 2) = f (4 − 2) = f (2) = 24 − (6 22 ) + 8(2) +1 =9 ดงั นั้น f (a − 2) =9 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้อื งตน 170 คูมือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 11. จาก ∫ g′′( x=) dx g′( x) + C จะได a ----- (1) ∫ g′′( x) dx= g′(a) − g′(−a) −a จาก g ( x=) x6 − 3x 6 จะได g′( x=) x5 − 3 จาก a dx = −1 และ (1) จะได 16 ∫ g′′( x) −a − 1 = g′(a) − g′(−a) 16 ( )( )− 1 = a5 − 3 − (−a)5 − 3 16 − 1 = a5 − 3 + a5 + 3 16 − 1 = 2a5 16 a5 = − 1 32 a = −1 2 ดงั นน้ั g′(a) =g ′  − 1  = − 1 5 − 3 =− 97  2  2  32 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน 171 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 12. พจิ ารณากราฟของบริเวณท่ปี ดลอมดว ยเสนโคง =y x2 + 4x กบั แกน X จาก x = −5 ถึง x =1 ดงั นี้ จะไดว า พนื้ ที่ทีป่ ดลอมดวยดว ยเสน โคง =y x2 + 4x กบั แกน X จาก x = −5 ถึง x =1 เทากับ ∫ (−4 x2 + 4x) ∫ (dx − 0 x2 + 4x) dx + ∫ (1 x2 + 4x) dx ตารางหนว ย −5 −4 0 จาก ( )∫ x2 + 4x dx =x3 + 2x2 + C เมื่อ C เปนคาคงตัว 3 จะได ∫ ( )−4 x2 + 4x dx =  x3 + 2 x2  −4 −5   −5  3  =  ( −4 )3 + 2 ( −4 )2  −  ( −5)3 + 2 ( −5)2      3 3 = 61 −18 3 ∫ ( )0 x2 + 4x dx =  x3 + 2 x 2  0 −4   −4  3  ( )=  03 + 2 02   ( −4 )3 + 2 ( −4 )2   3  −     3 = 64 − 32 3 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 172 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ( )และ ∫1 x2 + 4x dx =  x3 + 2 x 2  1 0  3  0    13   03  ( ) ( )=  + 2 12  −  3 + 2 02   3    = 1+2 3 ดงั นน้ั พื้นทีท่ ป่ี ดลอมดวยดว ยเสน โคง =y x2 + 4x กับแกน X จาก x = −5 ถึง x =1 เทากับ  61 − 18  −  64 − 32  +  1 + 2  =46 ตารางหนว ย  3   3   3  3 13. จาก f ( x) +=1 g ( x) + x จะได f ( x) − g ( x) =x −1 และ ( f ( x) − g ( x))2 =( x −1)2 = x2 − 2x +1 ดงั นัน้ 22 ∫( f ( x) − g ( x))2 dx = ∫( x2 − 2x +1)dx 11 =  x3 − x2 + 2  3   x 1 =  23 − 22 + 2  −  13 − 12 +   3   3 1     =1 3 14. จาก f ( x) = ax2 + bx + c จะได f ′(=x) 2ax + b และ ∫ f ( x) dx = ax3 + bx2 + cx + D เมอ่ื D เปนคาคงตวั ใด ๆ 32 เนอ่ื งจาก เสน โคง ของฟง กชัน f มคี วามชันท่ีจุด (1, 3) เทากบั −1 จะไดวา f (1) = 3 และ f ′(1) = −1 น่นั คือ a + b + c =3 ----- (1) และ 2a + b =−1 ----- (2) จาก 1 ∫ f ( x) dx = 0 0 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 173 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 จะไดว า a + b + c =0 น่นั คอื 2a + 3b + 6c =0 ----- (3) 32 จาก (1), (2) และ (3) จะได a =− 21, b =20 และ c = −13 22 นัน่ คือ f ( x) =− 21 x2 + 20x − 13 22 ดงั นั้น f (2) (=− 21 22 ) + 20(2) − 13 =−17 2 22 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

174 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 เฉลยแบบฝกหัดและวธิ ีทาํ โดยละเอียด บทที่ 1 ลาํ ดับและอนุกรม แบบฝก หดั 1.1.1 1. 1) แทน n ใน a=n 2n + 5 ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่ีพจนแ รกของลาํ ดับดังนี้ a1 = 2(1) + 5 = 7 a2 = 2(2) + 5 = 9 a3 = 2(3) + 5 = 11 a4 = 2(4) + 5 = 13 ดังน้นั สีพ่ จนแ รกของลาํ ดับนี้ คอื 7, 9,11 และ 13 2) แทน n ใน an =  1 n ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่ีพจนแ รกของลําดับดังน้ี  2  a1 =  1 1 = 1  2  2 a2 =  1 2 = 1  2  4 a3 =  1 3 = 1  2  8 a4 =  1 4 = 1  2  16 ดงั นั้น สี่พจนแรกของลําดับนี้ คอื 1 , 1 , 1 และ 1 2 4 8 16 3) แทน n ใน an = (−2)n ดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่ีพจนแรกของลําดบั ดังนี้ a1 = (−2)1 = −2 a2 = (−2)2 = 4 a3 = (−2)3 = −8 a4 = (−2)4 = 16 ดงั นน้ั ส่ีพจนแ รกของลาํ ดับน้ี คอื −2, 4, − 8 และ 16 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 175 4) แทน n ใน an = n +1 ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่พี จนแรกของลําดบั ดังนี้ n a1 = 1+1 = 2 1 a2 = 2+1 = 3 22 a3 = 3+1 = 4 33 a4 = 4+1 = 5 44 ดงั นั้น สพี่ จนแ รกของลําดับน้ี คอื 2, 3 , 4 และ 5 23 4 5) แทน n ใน 1+ (−1)n ดวย 1, 2, 3 และ 4 จะได สี่พจนแรกของลําดบั ดังน้ี an = n 1 + (−1)1 1−1 =0 1 a1 = 1 = 1+ (−1)2 1+1 =1 2 a2 = 2 = 1+ (−1)3 1−1 =0 3 a3 = 3 = 1+ (−1)4 1+1 =1 4 2 a4 = 4 = ดังน้นั สพ่ี จนแ รกของลาํ ดับนี้ คอื 0,1, 0 และ 1 2 6) แทน n ใน an = 2n ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได สพี่ จนแ รกของลําดบั ดังน้ี 3n a1 = 21 = 2 31 3 a2 = 22 = 4 32 9 a3 = 23 = 8 33 27 a4 = 24 = 16 34 81 ดงั น้นั สพี่ จนแรกของลาํ ดับนี้ คือ 2 , 4 , 8 และ 16 3 9 27 81 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

176 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 7) แทน n ใน an =(n −1)(n +1) ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่พี จนแ รกของลาํ ดบั ดังน้ี a1 = (1−1)(1+1) = 0(2) = 0 a2 = (2 −1)(2 +1) = 1(3) = 3 a3 = (3 −1)(3 +1) = 2(4) = 8 a4 = (4 −1)(4 +1) = 3(5) = 15 ดงั นน้ั ส่พี จนแ รกของลําดับน้ี คือ 0, 3, 8 และ 15 8) แทน n ใน an =n(n −1)(n − 2) ดว ย 1, 2, 3 และ 4 จะได ส่พี จนแรกของลาํ ดับดังนี้ a1 = 1(1−1)(1− 2) = 1(0)(−1) = 0 a2 = 2(2 −1)(2 − 2) = 2(1)(0) = 0 a3 = 3(3 −1)(3 − 2) = 3(2)(1) = 6 a4 = 4(4 −1)(4 − 2) = 4(3)(2) = 24 ดงั น้นั ส่พี จนแ รกของลาํ ดับนี้ คือ 0, 0, 6 และ 24 2. 1) แทน n ใน an= an−1 + n −1 ดว ย 2, 3, 4 และ 5 จะได a2 = a1 + 2 −1 = 0 + 2 −1 = 1 a3 = a2 + 3 −1 = 1 + 3 −1 = 3 a4 = a3 + 4 −1 = 3 + 4 −1 = 6 a5 = a4 + 5 −1 = 6 + 5 −1 = 10 ดังนั้น หาพจนแรกของลําดับน้ี คอื 0, 1, 3, 6 และ 10 2) แทน n ใน an = 1+ (0.05)an−1 ดว ย 2, 3, 4 และ 5 จะได a2 = 1+ (0.05) a1 = 1+ (0.05)(1,000) = 51 a3 = 1+ (0.05) a2 = 1+ (0.05)(51) = 3.55 a4 = 1+ (0.05) a3 = 1+ (0.05)(3.55) = 1.1775 a5 = 1+ (0.05) a4 = 1+ (0.05)(1.1775) = 1.058875 ดังน้นั หาพจนแรกของลาํ ดับนี้ คือ 1000, 51, 3.55, 1.1775 และ 1.058875 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 177 3) แทน n ใน an = 6an−1 ดว ย 2, 3, 4 และ 5 จะได a2 = 6a1 = 6(2) = 12 a3 = 6a2 = 6(12) = 72 a4 = 6a3 = 6(72) = 432 a5 = 6a4 = 6(432) = 2,592 ดังนั้น หาพจนแ รกของลําดับนี้ คือ 2, 12, 72, 432 และ 2,592 4) แทน n ใน =an an−1 + 2an−2 ดว ย 3, 4 และ 5 จะได a3 = a2 + 2a1 = 2 + 2(1) = 4 a4 = a3 + 2a2 = 4 + 2(2) = 8 a5 = a4 + 2a3 = 8 + 2(4) = 16 ดังน้ัน หาพจนแ รกของลําดับน้ี คอื 1, 2, 4, 8 และ 16 5) แทน n ใน =an an−1 + an−2 ดว ย 3, 4 และ 5 จะได a3 = a2 + a1 = 0 + 2 = 2 a4 = a3 + a2 = 2 + 0 = 2 a5 = a4 + a3 = 2 + 2 = 4 ดังน้นั หาพจนแ รกของลาํ ดบั น้ี คอื 2, 0, 2, 2 และ 4 3. เน่อื งจากจาํ นวนเต็มบวกท่หี ารดว ย 2 และ 7 ลงตวั คือ จาํ นวนเตม็ บวกท่หี ารดว ย 14 ลงตัว จะไดว า จํานวนเตม็ บวกท่ีหารดวย 2 และ 7 ลงตัว เขยี นอยใู นรูป 14n เม่อื n เปนจาํ นวนเต็มบวก นั่นคือ ลาํ ดบั ของจํานวนเตม็ บวกทีห่ ารดวย 2 และ 7 ลงตวั มีพจนท ว่ั ไป คือ an =14n เมอ่ื n เปนจํานวนเต็มบวก แทน n ใน an =14n ดวย 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 จะได เจ็ดพจนแ รกของลาํ ดับของจํานวนเต็มบวกท่ีหารดว ย 2 และ 7 ลงตวั คือ 14, 28, 42, 56, 70, 84 และ 98 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

178 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 แบบฝก หดั 1.1.2 1. 1) จาก a1 = 2 และ d = 4 จะได a2 = a1 + d = 2 + 4 = 6 a3 = a2 + d = 6 + 4 = 10 a4 = a3 + d = 10 + 4 = 14 ดงั นั้น สี่พจนแ รกของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คอื 2, 6,10 และ 14 2) จาก a1 = 3 และ d = 5 จะได a2 = a1 + d = 3 + 5 = 8 a3 = a2 + d = 8 + 5 = 13 a4 = a3 + d = 13 + 5 = 18 ดงั นน้ั สพ่ี จนแ รกของลาํ ดับเลขคณิตนี้ คือ 3, 8,13 และ 18 3) จาก a1 = −3 และ d = 3 จะได a2 = a1 + d = −3 + 3 = 0 a3 = a2 + d = 0 + 3 = 3 a4 = a3 + d = 3 + 3 = 6 ดังนน้ั สพ่ี จนแรกของลําดับเลขคณติ นี้ คือ −3, 0, 3 และ 6 4) จาก a1 = − 4 และ d = 2 จะได a2 = a1 + d = − 4 + 2 = −2 a3 = a2 + d = −2 + 2 = 0 a4 = a3 + d = 0 + 2 = 2 ดังนั้น ส่พี จนแ รกของลําดับเลขคณติ น้ี คอื −4, − 2, 0 และ 2 5) จาก a1 = 5 และ d = −2 จะได a2 = a1 + d = 5 + (−2) = 3 a3 = a2 + d = 3 + (−2) = 1 a4 = a3 + d = 1 + (−2) = −1 ดังนั้น สี่พจนแรกของลาํ ดับเลขคณิตนี้ คอื 5, 3,1 และ −1 6) จาก a1 = −3 และ d = −4 จะได a2 = a1 + d = (−3) + (− 4) = −7 a3 = a2 + d = (−7) + (− 4) = −11 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 179 a4 = a3 + d = (−11) + (− 4) = −15 ดังนนั้ สพี่ จนแรกของลาํ ดับเลขคณิตนี้ คอื −3, − 7, −11 และ −15 7) จาก a1 = 1 และ d =1 จะได 2 2 a2 = a1 + d = 1+1 =1 22 a3 = a2 + d = 1+ 1 =3 2 2 a4 = a3 + d = 3+1 =2 22 ดงั นน้ั สีพ่ จนแ รกของลําดับเลขคณติ น้ี คอื 1 , 1, 3 และ 2 22 8) จาก a1 = 5 และ d = −3 จะได 2 2 a2 = a1 + d = 5 +  − 3  =1 2  2  a3 = a2 + d = 1 +  − 3  = −1  2  2 a4 = a3 + d =  − 1  +  − 3  = −2  2   2  ดังนั้น ส่ีพจนแรกของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คือ 5 ,1, − 1 และ −2 22 2. 1) เนื่องจาก a1 = 4, d = 3 และ an = a1 + (n −1)d จะได a3 = 4 + (3 −1)(3) = 4 + (2)(3) = 10 ดงั น้ัน a3 =10 2) เน่ืองจาก a1 = 7, d = −3 และ an = a1 + (n −1)d จะได a12 = 7 + (12 −1)(−3) = 7 + (11)(−3) = −26 ดังนนั้ a12 = −26 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

180 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 3) เนือ่ งจาก a1 = 4 , d= −1 และ an = a1 + (n −1)d จะได 5 a20 = 4 + (20 −1)(−1) 5 = 4 + (19)(−1) 5 = − 91 5 ดงั นน้ั a20 = − 91 5 4) เนอ่ื งจาก a1 = 4, d = 1 และ an = a1 + (n −1)d จะได 2 a11 = 4 + (11 − 1)  1   2  = 4 + (10)  1   2  =9 ดงั นน้ั a11 = 9 3. 1) จากลาํ ดับเลขคณิต −2, 4,10, จะได a1 = −2 และ d = 4 − (−2) = 6 เนอื่ งจากพจนท ัว่ ไปของลาํ ดบั เลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = −2 + (n −1)(6) = −2 + 6n − 6 = 6n − 8 ดงั นนั้ พจนท วั่ ไปของลาํ ดับเลขคณิตน้ี คือ 6n −8 2) จากลาํ ดับเลขคณติ − 1 , 1 , 1 , 662 จะได a1 = −1 และ d= 1 −  − 1  = 2= 1 6 6  6  6 3 เนื่องจากพจนท ว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 181 จะได an = − 1 + ( n −1)  1  6  3  = −1+1n−1 63 3 = 1n−1 32 ดังนน้ั พจนท ว่ั ไปของลาํ ดบั เลขคณิตน้ี คือ 1 n − 1 32 3) จากลําดบั เลขคณติ 11, 27 ,16, 2 จะได a1 = 11 และ d = 27 −11 = 5 2 2 เน่อื งจากพจนทั่วไปของลําดบั เลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = 11 + ( n − 1)  5   2  = 11+ 5 n − 5 22 = 5 n + 17 22 ดังนนั้ พจนทั่วไปของลาํ ดบั เลขคณิตนี้ คือ 5 n + 17 22 4) จากลําดับเลขคณติ 19.74, 22.54, 25.34, จะได a1 = 19.74 และ d = 22.54 −19.74 = 2.80 เนอ่ื งจากพจนทว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณิต คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = 19.74 + (n −1)(2.80) = 19.74 + 2.80n − 2.80 = 2.80n +16.94 ดงั นัน้ พจนท วั่ ไปของลําดบั เลขคณิตน้ี คอื 2.80n +16.94 5) จากลาํ ดับเลขคณติ x, x + 2, x + 4, จะได a1 = x และ d = ( x + 2) − x = 2 เนือ่ งจากพจนทั่วไปของลาํ ดับเลขคณติ คือ an = a1 + (n −1)d สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

182 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 จะได an = x + (n −1)(2) = x + 2n − 2 = 2n + x − 2 ดงั น้นั พจนท ว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คือ 2n + x − 2 เมื่อ x เปน จํานวนจรงิ 6) จากลําดบั เลขคณติ 3a + 2b, 2a + 4b, a + 6b, จะได a=1 3a + 2b และ d =(2a + 4b) − (3a + 2b) =−a + 2b เนอ่ื งจากพจนทว่ั ไปของลําดบั เลขคณิต คือ an = a1 + (n −1)d จะได an = (3a + 2b) + (n −1)(−a + 2b) = 3a + 2b + (−a + 2b) n + a − 2b = 4a + (−a + 2b) n ดงั น้นั พจนทัว่ ไปของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คอื 4a + (−a + 2b)n เมอ่ื a และ b เปน จาํ นวนจรงิ 4. 1) จาก a1 = 13 และ a2 = 25 จะได d = 25 −13 = 12 นนั่ คือ a3 = a2 + d = 25 +12 = 37 a4 = a3 + d = 37 +12 = 49 a5 = a4 + d = 49 +12 = 61 ดงั นน้ั พจนทีข่ าดหายไป คือ 37, 49 และ 61 ตามลําดบั 2) จาก a1 = 18, a3 = 11 และ an = a1 + (n −1) d จะได 11 = 18 + (3 −1)d d = −7 2 น่นั คือ a2 = a1 + d = 18 +  − 7  = 29  2  2 a4 = a3 + d = 11 +  − 7  = 15  2  2 a5 = a4 + d = 15 +  − 7  =4 2  2  ดังนั้น พจนทีข่ าดหายไป คอื 29 , 15 และ 4 ตามลาํ ดับ 22 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 183 3) จาก a1 = 13, a5 = 33 และ an = a1 + (n −1) d จะได 33 = 13 + (5 −1)d d =5 น่ันคอื a2 = a1 + d = 13 + 5 = 18 a3 = a2 + d = 18 + 5 = 23 a4 = a3 + d = 23 + 5 = 28 a6 = a5 + d = 33 + 5 = 38 ดงั น้ัน พจนทีข่ าดหายไป คอื 18, 23, 28 และ 38 ตามลําดบั 4) จาก a3 = 100, a6 = 142 และ an = a1 + (n −1) d จะได 100 = a1 + (3 −1) d ----- (1) 142 = a1 + (6 −1) d ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได d =14 และ a1 = 72 นน่ั คือ a2 = a1 + d = 72 +14 = 86 a4 = a3 + d = 100 + 14 = 114 a5 = a4 + d = 114 + 14 = 128 a7 = a6 + d = 142 + 14 = 156 ดังนนั้ พจนทข่ี าดหายไป คือ 72, 86, 114, 128 และ 156 ตามลําดับ 5. จากลําดบั เลขคณติ 3, 8, 13, 18, 23, … จะได a1 = 3 และ d = 8 − 3 = 5 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a15 = 3 + (15 −1)(5) = 3 + (14)(5) = 73 ดงั น้ัน พจนท่ี 15 ของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 73 6. จากพจนท ี่ n ของลาํ ดบั ท่ีกาํ หนดให ซึง่ คือ an =−n − 3 จะได a20 = −20 − 3 = −23 และ a50 = −50 − 3 = −53 ดงั น้นั พจนท ี่ 20 ของลําดับเลขคณิตนี้ คือ −23 และพจนท่ี 50 ของลาํ ดับเลขคณติ น้ี คอื −53 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

184 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 7. จาก an = a1 + (n −1)d จะได ----- (1) ----- (2) 12 = a1 + (6 −1) d 16 = a1 + (10 −1) d จาก (1) และ (2) จะได d =1 และ a1 = 7 ดังนั้น พจนแรกของลาํ ดับเลขคณติ นี้ คือ 7 8. จาก an = a1 + (n −1)d จะได ----- (1) ----- (2) 20 = a1 + (3 −1) d 32 = a1 + (7 −1) d จาก (1) และ (2) จะได d = 3 และ a1 =14 น่นั คอื a25 = 14 + (25 −1)(3) = 14 + (24)(3) = 86 ดังนัน้ พจนท่ี 25 ของลาํ ดับเลขคณติ นี้ คือ 86 9. จาก an = a1 + (n −1)d จะได 16 = a1 + (2 −1) d ----- (1) 116 = a1 + (12 −1) d ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได d =10 และ a1 = 6 นน่ั คือ an = 6 + (n −1)(10) = 6 +10n −10 = 10n − 4 ดังนัน้ =an 10n − 4 และ d =10 10. ลําดับเลขคณติ ที่กาํ หนดใหมี a1 = −1 และ d =−6 − (−1) =−5 จาก an = a1 + (n −1) d จะได −176 = −1+ (n −1)(−5) n = 36 ดังนั้น −176 เปน พจนที่ 36 ของลาํ ดบั เลขคณติ น้ี 11. ให a เปนพจนของลาํ ดบั เลขคณิตที่อยูระหวาง 39 และ 51 จะได 39, a, 51 เปนสามพจนเรียงกันของลําดบั เลขคณิต จาก =d an+1 − an สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 185 จะได d =a2 − a1 =a − 39 และ d = a3 − a2 = 51− a ดงั นน้ั a − 39 = 51− a 2a = 90 a = 45 นัน่ คือ 45 เปนพจนข องลําดับเลขคณติ ที่อยูร ะหวา ง 39 และ 51 12. จาํ นวนนบั ทนี่ อยทีส่ ุดท่ีมากกวา 100 ซึ่งหารดวย 13 ลงตวั คอื 104 เนอ่ื งจาก 1,000 หารดวย 13 ไดผลหาร 76 เหลอื เศษ 12 ดงั นั้น จาํ นวนนบั ท่ีมากที่สุดท่ีนอ ยกวา 1,000 ซง่ึ หารดวย 13 ลงตัว คือ 1,000 −12 =988 จะไดว า ลาํ ดับของจาํ นวนนบั ทีอ่ ยูระหวาง 100 ถงึ 1,000 ซึง่ หารดวย 13 ลงตวั เปนลาํ ดบั เลขคณติ ที่มีพจนแรกเปน 104 ผลตา งรวมเปน 13 และพจนท่ี n เปน 988 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 988 = 104 + (n −1)(13) 988 = 91+13n 13n = 897 n = 69 ดังนัน้ จํานวนนับท่อี ยูระหวาง 100 ถึง 1,000 ที่หารดวย 13 ลงตัว มีทงั้ หมด 69 จาํ นวน 13. เนือ่ งจาก a, 6a + 2, 8a +1 เปนสามพจนแรกของลําดับเลขคณติ จาก =d an+1 − an จะได d = a2 − a1 = (6a + 2) − a = 5a + 2 และ d = a3 − a2 = (8a +1) − (6a + 2) = 2a −1 ดงั นนั้ 5a + 2 = 2a −1 3a = −3 a = −1 นัน่ คือ สามพจนแรกของลาํ ดับเลขคณิต คือ −1, − 4, − 7 จะได a1 = −1 และ d =−4 − (−1) =−3 จาก an = a1 + (n −1)d จะได an = −1+ (n −1)(−3) = −1− 3n + 3 = 2 − 3n ดังนัน้ a ในลาํ ดับเลขคณิตทก่ี ําหนดให คือ −1 และพจนท ว่ั ไปของลําดับ คือ 2 − 3n สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

186 คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 14. ให a1, a2, a3 เปน สามพจนแรกของลาํ ดับเลขคณิต โดยที่ a1 + a2 + a3 =12 และ a13 + a23 + a33 =408 จาก an = a1 + (n −1) d จะได a1 + a2 + a3 = 12 a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) = 12 ----- (1) a13 + a23 + a33 = 408 3a1 + 3d = 12 a1 + d = 4 และ จาก (1) จะได a13 + (a1 + d )3 + (a1 + 2d )3 = 408 (4 − d )3 + 43 + (4 + d )3 = 408 ( ( ) ) ( ( ) )64 − 3 42 d + 3(4)d 2 − d 3 + 43 + 64 + 3 42 d + 3(4)d 2 + d 3 = 408 64 +12d 2 + 64 + 64 +12d 2 = 408 24d 2 = 216 d2 = 9 นั่นคอื d = 3 หรอื d = −3 กรณี d = 3 จาก (1) จะได a1 =1 นน่ั คือ an =1+ (n −1)(3) =3n − 2 ดังนั้น พจนทวั่ ไปของลําดบั นี้ คือ 3n − 2 กรณี d = −3 จาก (1) จะได a1 = 7 น่ันคอื an =7 + (n −1)(−3) =−3n +10 ดังน้ัน พจนทัว่ ไปของลาํ ดบั น้ี คือ −3n +10 หมายเหตุ อาจหาพจนท่ัวไปของลาํ ดบั ที่กาํ หนด โดยให a2 = a จะไดวา a1= a − d และ a3= a + d เมอ่ื d เปน ผลตางรว ม จากนน้ั ดําเนนิ การตามวธิ ขี า งตน สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 187 15. สมศกั ด์ิไดรบั เงนิ เดือนเดือนละ 25,000 บาท และไดรบั เงินเดือนเพ่ิมขึน้ ปละ 1,000 บาท นน่ั คอื เม่ือสมศักด์ทิ าํ งานได 1 ป เขาจะไดร บั เงนิ เดอื นเดือนละ 25,000 +1,000 =26,000 บาท เมอื่ สมศักด์ทิ ํางานได 2 ป เขาจะไดรบั เงินเดอื นเดอื นละ 26,000 +1(1,000) =27,000 บาท เม่ือสมศกั ด์ิทํางานได 3 ป เขาจะไดรับเงนิ เดือนเดอื นละ 26,000 + 2(1,000) =28,000 บาท ในทํานองเดียวกัน จะไดว าเมื่อสมศักด์ทิ ํางานได n ป เขาจะไดร บั เงินเดือนเดอื นละ 26,000 + (n −1)(1,000) บาท จะไดวา ลําดบั ของเงนิ เดอื นที่สมศกั ด์ิไดร บั เมื่อทาํ งานได 1, 2, 3, …, n, … ป คือ 26000, 27000, 28000, , 26000 + (n −1)(1000),  ซ่งึ เปน ลาํ ดับเลขคณิตท่ีมีพจนแรกเปน 26,000 และผลตา งรวมเปน 1,000 เมอ่ื สมศกั ดท์ิ ํางานได 6 ป เขาจะไดรบั เงนิ เดือนเทา กับพจนท่ี 6 ของลําดับน้ี ดงั นั้น เมอื่ สมศกั ดทิ์ ํางานได 6 ป เขาจะไดรับเงินเดอื นเดือนละ 26,000 + (6 −1)(1,000) =31,000 บาท 16. บริษทั แหงหนึ่งรบั ซือ้ รถยนตทใี่ ชแ ลว 1 ปในราคาท่ตี าํ่ กวาราคาทีบ่ ริษัทขาย 100,000 บาท สาํ หรับรถยนตทใ่ี ชแ ลวเกนิ 1 ป ราคาซื้อคืนจะลดลงอีกปละ 70,000 บาท วธิ ีที่ 1 พิจารณาราคาที่บริษัทรบั ซ้ือรถคนื เนอ่ื งจาก ซื้อรถยนตจ ากบริษัทนม้ี าในราคา 1,000,000 บาท สาํ หรบั รถยนตท ี่ใชแลว 1 ป บริษัทจะรับซื้อรถคนื ในราคา 1,000,000 −100,000 =900,000 บาท สําหรบั รถยนตทใี่ ชแ ลว 2 ป บรษิ ทั จะรบั ซ้ือรถคืนในราคา 900,000 − (2 −1)(70,000) =830,000 บาท สําหรับรถยนตทใ่ี ชแ ลว 3 ป บริษทั จะรับซื้อรถคนื ในราคา 900,000 − (3 −1)(70,000) =760,000 บาท ในทํานองเดียวกนั จะไดว าสาํ หรบั รถยนตทีใ่ ชแ ลว n ป บริษทั จะรับซื้อรถคนื ในราคา 900,000 − (n −1)(70,000) บาท จะได ลําดบั ของราคาทีบ่ ริษัทจะรับซ้ือคืน สําหรับรถยนตท ่ีใชไปแลว 1, 2, 3, …, n, … ป คือ 900000, 830000, 760000, , 900,000 − (n −1)(70,000),  ซงึ่ เปน ลาํ ดบั เลขคณติ ที่มพี จนแรกเปน 900,000 และผลตางรวมเปน 70,000 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

188 คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 เม่ือใชร ถยนตไปแลว 5 ป ราคาทบี่ รษิ ัทจะรบั ซื้อคืนเทากับพจนที่ 5 ของลําดับนี้ ดงั นน้ั เมือ่ ใชรถยนตไ ปแลว 5 ป ราคาท่ีบรษิ ัทจะรับซ้ือคืนเทากบั 900,000 − (5 −1)(70,000) =620,000 บาท นั่นคอื เม่ือใชรถยนตไปแลว 5 ป บรษิ ทั จะรบั ซื้อรถยนตคนื ในราคาทตี่ ํา่ กวาราคา ที่ซ้อื จากบรษิ ทั 1,000,000 − 620,000 =380,000 บาท วธิ ีท่ี 2 พจิ ารณาสวนตา งของราคาขายและราคาซ้ือคืน สาํ หรับรถยนตที่ใชแลว 1 ป สวนตางของราคาขายและราคาซื้อคืนเทากับ 100,000 บาท สําหรับรถยนตท ใ่ี ชแลว 2 ป สวนตา งของราคาขายและราคาซ้ือคืนเทา กบั 100,000 + (2 −1)70,000 =170,000 บาท สาํ หรับรถยนตทใี่ ชแ ลว 3 ป สวนตางของราคาขายและราคาซอ้ื คืนเทา กบั 100,000 + (3 −1)70,000 =240,000 บาท ในทํานองเดยี วกนั จะไดวา สาํ หรบั รถยนตท ใี่ ชแลว n ป สว นตางของราคาขายและ ราคาซอ้ื คนื เทากับ 100,000 + (n −1)(70,000) บาท จะได ลําดับของสวนตางของราคาขายและราคาซือ้ คืน สาํ หรบั รถยนตท ี่ใชไปแลว 1, 2, 3, …, n, … ป คอื 100000, 170000, 240000,, 100000 + (n −1)(70000),  ซงึ่ เปน ลําดับเลขคณติ ที่มีพจนแรกเปน 100,000 และผลตา งรวมเปน 70,000 เมื่อใชรถยนตไปแลว 5 ป สว นตางของราคาขายและราคาซ้อื คืนเทากบั พจนท ่ี 5 ของ ลําดับน้ี ดังนนั้ เมื่อใชรถยนตไ ปแลว 5 ป สวนตา งของราคาขายและราคาซอ้ื คืนเทากบั 100,000 + (5 −1)(70,000) =380,000 บาท น่ันคอื เมื่อใชรถยนตไปแลว 5 ป บรษิ ทั จะรับซ้ือรถยนตคนื ในราคาทีต่ ่ํากวาราคา ทีซ่ ้อื จากบรษิ ทั 380,000 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี