Calculus For Final I

Applications of Definite Integrals Using. Volumes Cross - Sectionsi ป มาตรโดยใ ภาพ ดขวางง เ ดป มาตร อย :SV. Ah . Acxา 1 ✗ icingby51 Parallel PI anesi การ เ อนโดย ระบบขนาน) 4 [ปผลรวม มาตร อย แ ง แบบ ท → นา → V. lim A \"\" ^✗ หา Acmd ✗ n →น kn ยาม ป มาตร Acmดของพก> ภาพ ขวาง หาป น ไ จาก aไป b VIAc✗า dx PrincipleCavalieris งะ ทรง นใด พท ห า ดเ ยว น เ า น ป มาตร เ า น . ป มาตร ห นจาก การ ของ จาน รอบ แกน ✗ [ AIV ะ Amd ✗ ะ [ Rm ]\" dx yรอบแกน ะ> V%bAwpdy.IT/abIRiyIdy [ Rm ]ำ [ rc✗ [ เงยห นป มาตร จาก การ ของทรงกลวง กลาง V.V านนอก - V านใน ะ 1T ✗ แกน ✗ :[V. Af Rwp ]ำ [reyiidy yะา แกน - Volumes Using Cylindrical Shells |- ตอบเ ยว น 51icingwith Cylinders Shells Method [ [ IRV. 21T ( () ) dx า 21T mhcxsdx แกน✗ R >- ระยะ างระห าง แกนห น น×, ๆ ใด µ. ๆ V. 2A fab Riyihwpdy yแกน ม งh → ครา ✗ y ใด , ๆ . Arc Length ะ y.tn [ [ µงหมดค. ยาว =L ะ เ + lflx#✗ า 1 + 2 dx ำdds . d × ะ> 5 ะ ค. ยาวจ งบนเ นกราฟ F อเ องใน ¥ tcyการ จารณา ค ไ mdefined ✗ใด ก บ วแปร :X . →ๆ [L ะ เ+1ฑื๊ dy mtiy dy fScx แ เ + ifltndt ; 1- → วแปร วคราว ✗ → ว แปร ห ก ัลัต่ัชัต้ทุ๋ฏัตัล่ีท่ืน่ต่มิพ้สิรู้ง้ัท่ีทุสักุม่ว่หุ่ญุ๋ฑ้ืหักีดำค้ด้ดุมิรุมิรัก่ทิรัก่ทูสักีดัต้น้ต้ด์ธัพิร่ีทัติริน่บ่ยิรืฉ่ยิริกัต้ชิร

i Areasot Surfacesot Revolution [ห นการ รอบแกน ✗ ะ> Sn 2A fcx) เ + cfl✗าำ dx fabgcyรอบแกน n 5 ะ 21T dy 21T 1 + cgiyndy ✗ เ +1 g) ะ i Workand FI uid Forces คง→ งาน กระ โดยแรง แรง W ะ F. d n 3 → งาน กระ โดย แรง แปร าไ ตาม เ น ir W.lim 4 Fcxrpsxn [ะ Fc✗า dx n →น Kา1 ต IF.mgการ ยก ) AF . เค. หนาแ น i Nlm3nAV , → แรง นและ แรง ของไหล 1 Fluid Pressureand Forcest F. pA. สดหนาแ น g i ห ก อ ป มาตร 1 hA บ แ น แนว งในของไหล wfstrip ะF. lim I weightdensity tength ������ n → น kn → แรง น กระ deptn / hyn) dyn µ Transcendental Funtions Inverse Functicnsand Their Derivatives . กราฟt to\" 1- ด→ 1 => งเ น: ลาก แนว ดา ynfcx ) Hyง น ผก น → แ✗ Dfm → Rfly) Rfm → Df\" cy ) f f)(.\" a) ะ ✗ lfofhy า - y o - , อ น อ นงของ น ผก น หา ไ Ilflf \"( ✗า ] ะ d f- 1 1 \" ะ lf เ✗า ะ 1 ะ เ✗ า _ I fitlxn f [✗ 1 - Natural Logarithms ยาม → I ¥lnx > dt ; × >0 ญื่อ น ของ ydnx -> Ilnx ะ d- enm ¥ ✗ dx lnlxl า 1 ilnx , lnax , lnlxl อ→ น Iะ ✗ ์ธัพุน่ัห์ธัพุนินุ่ท้ด์ธัพุน่ีทัผัช์กัฟ์ธัพุนัผัช์กัฟีมุจัต้ัต้สุ๋ง๋ํญ์ุหุก่ืฏ๋ํน์พ์ุฎ้ัต่ผักำทัด์พัดิร่ตันำ้น้ย่น่นุถัว้ส้ด่คำท่ีทำท๊ืฏู้ผุม

กราฟ ของ ย แวน ของ lnx → Domain . เอ, น 1 Range ะ l -8 น) , ป น | hdu -> fidu.tn/ul+ fIdxnlnlxltC ป น ของ tanx.secx.co/-x,cscxsftanudu.lnlsecul+C fsecuduilnlsecuttanul + C fcscudui.tn/cscu+cotuI+C fcotudunlnlsinult C อ นการหา แบบ ลอกา ม → taheln + limplicit Differentatim i Exponentials Fmcticns ผก น ระห าง lnx และ ว เลข e → lnx ekexpx) เ น f\" ผก น , → Domain , Range ส บ น RangeDomain ):c>- :( 0,81 - น, อ , m ำ ✗ → ะeำ inlne ำ ✗ → ln .tn e. 1 อ น และ ปร น ของ #\" \" ลอกา มฐาน a %\" ✗ ; ✗>0 กฎ การ ยก ง ir e า e ira าย \" dห logacaำะ ✗ _ d✗ อ น logaและ ป น ของ ✗ ir logax ะ (d)(f) rfeเ \" dune \" + c fe \" dxie \" + c ¥ logau 1ะ !.)( ti\" el\" \" × เ☒ ะ ✗ f ¥ #109 1 )dx\"2✗ะ( ln 2 + C ✗ el enlnx\" (✗และ . \"× \" ๆ, วเลขe แสดง ค. ม น เ น limit เ• e. limc | + ✗ ✗ →0 อน \" el ำ\" ของ a ,• a ir d I. lnacaำ dx ำ\" du a ะ lnaca d✗ irf du\" า | \" + C a a lna fa\" dxn 1 \" + C a lnx ์ธัพุน๋ัส็ป์ธัพัสัต้วัลำก่ผีปัพิร์ธัพุน้ยึธิร๋ย์ธัพ์ธัพุน่อ่ืยืย๋ยักัลัผู่ค็ปัต่วัผู่คึธิร์ธัพุน์ธัพิร­C์ธัพิรำจัสิพ

ละปแบบ ไ กฎจารณา ไ และ ของ ลอ ปแบบ (G) (จารณาไ ไ → lim Fc× แ น | ำ แำ, , เอ . นา เอ - นา เอ , , , a.li✗→ Hopitals irtmgm อ นRull ไ fc gcหา → a) ะ a) ะ 0 และ (a) ± 0 µ ntia.limf glx→ ' × →a ) g เอา อ ป อ ป ป. ในกร ไ Domainate Functicns \" ำ Iogx ใน ผลหาร อง ด ใ ใน ของ ผลหาร กาว หาร ใน a > × - ใน กร ,เ น ญกI d → takeln ปด ผลหาร วหาร เ น Domainatekmotims ¥× lim lnfc × วะ L limfcm ะ #a × ✗ →a ×→a Techniques of Integration i Using Basic Integratim Fcrmulcs - [ntegraticn.by Parts fudv ะ uv - fvdu / gex า timd✗ ะ fmgcx) - ffcmglmdx ! Ifi Detinite Integralsby Parts ะ> Ifmgindx ะ fcmgcxา | - gmdx - Trigonometric Integrals fsinmxcos\"× dx imn เ น I mln ะจน. m n แยก เทอม ออก , m , กะ จาน ปการ ลด ยก ง สว การ แยก เค องหาย กร ณ ใ→ สม ต ไก ณ k เอง อ . ncos 20 ณผล sin cos 2 , ูคีริตับ้ช่ฑ่ืรัต่ีทัลำกูรู่ค่ีคู่ค่ีค็ป้ยุท็ปัตีม่ีทูรัจัล็ป่ีทีณุรีม่ีทูรู่ย้หัจ้ตูรู่ย่ม่ีทีณุทู่กุ่ย้ด์ธัพุน้ด่มิพ่ีทูรัติป้ด่มิพ่ีทูร

Trigonometric- Substitutims ะเ ม วย ✗ - เสมอ . . .. . . Integratimof Rational Funetimsbypartial Fractims การแยก เศษ วน อย เ น การ ด ง น ด เวนและ แยกออก น ผล รวม เทอมของ เศษ วน อย ( Partial Fractimsง ว ง วหาร [± 5 ✗ -3 A B 3 +3 y1 → 3 - ✗2- 2✗ -3 z + 3 y วง ว< หา ระ> 1 y +y Xt 1 ✗ -3 ะ # + Bภื๊ า\" + + Dx + E 91 µ 1 ✗4 xc × -แงะ 3 +3 i. ว ง ก > วหาร หาร ยาว อน _ ,_ ป tactorการส ง า ของ Heaviside เ• ง 1 factorไ น cnly หา . ส ของ .. - Improper Integrals ำ น น| [ ##→ dx dx #dt ,, า าห ง r ำ fb/# dx → eim d✗ # #b → น , ่ึน่ค่คักำ้ซ่มัลำกัลำก่กัตีรีด้ัตัตุ้หุ๋ห้ท๋ืภฺศุ๋ภ๋ํญุ๊หุ๋หัต่รำค้ัตัตุ่ทุ้หุ๋หัต้ัตัต่ย่ส็ป่สัสัช์กัฟัจ็ป่ย่สีธิว้ด่ิร

Infinite Sequences and Series Sequehcl- 5แ บ ะล M23และ า \" \" เทอม วไป ยาม บ aidzig . . . . . ลก า ตL lim ani L เ า เ า × เ าใด า ห ง า n→น Sn า เ า า L าn มากพอ L า ด → เ า Cccnverge จะใ อไ ออก เ ม นเ อย . ก บไป ม ไ เา าใด าห ง ๆ , น ออก c Diverge ง ะใ อไ ไ ๆ การ นวณ หา า ต 1 ของ บ บ ยก \" เา 0 า1×| < 1 //และ ออก า ✗ > 1 ง i Sn ะ ✗ บ expo #ะ Sn ะ เ า อ p >0 อ ควร ระ ง ir บ รวม ต( เ า) # อย เ า # } { } bn 1-บ { 2,3 1 } }an ะ antbn{ } { } เ าgo อะ→ 1 >- ออก 1. 2. ออก-3า - → , ... . , . .. ,. . . , The Sandwich Theorem ใ lan} {bn } { Cn } เ น บ นวนจ ง า an Ebn EC n ก า ท มากก า N และ limanzlimcnnl แ ว limbnn L , ทาน ท→ น h→ นะElbnl bnlbn / CnEC> n = > - ECn ะ> า Cn → 0 แ ว → 0 วย The Ccntinuous Functicn Theoremfor Sequences fเ น t\" L - อเ องา fcan ง → fcl ) an เ น บ นวน จ ง an → L และ ใ 1ล ตาล > สามารถใ กฎใจ ตาล วม วย 6 แ ว liman ะ L วย limfcm L> n→น ✗→น .การ เ า ของ หก lบ irlim ะ0 lim ก\" ใน / \" lim xn ะ ๐ \"\" ., n → นก ทาน lim h lim ,แn × ×แ น × .อ n →น Rccursively า1 การ าง ) และ ะ 2 22.2 d3.224+ , arid3) +3+ . . . . . + Cn - 1) เ Bounded Monotonic Sequences \" า an Bounded Monotme → เ า , . Infinite Series n แทะ definite → Sni ผลรวมบาง วน → อ กรม ด thanSnns ะ infinite 5.5 งหมด กรมอ น 4 an นะ กะ → ผลรวม อ→ ยาม { Sn } เ า เ อ ใ น 5mL ออก → ± น , าย =1 ขวา oo อ กรม เรขาค ต LGeometric Series) อ น \" \"\" 2 \" ar i a r t a ra - + + ar + . .. = . .. 1 1¥ |วน Snผลรวมบาง ผล รวม เขา → นา → 5 ะ 4 ; lr 1<1 a-> ; r# ะ 1- r , telescopic → # ะ ti # ู, Inการ ทดสอบ เทอม อ กรมขา ออก ะ> า lim anto ห อ ไ สตแว an จะ ออก n→น nn 1 ู่ลุ๋ฎ้ลิมีม่มืร้ถู่ลุน่ีทุข่สำท์ตันิณุน้ซุ่ลุท่ืม้ขู่ลิน์ตันุน้ัทักำจุน่ส้ขู่ลีม้ถ้ํซ้อ๋ยำทุทัดำล้ขู่ล้ด้ล้ด่ริป้ชิป้ชึท่ืน่ต็ป้ถิรำจัดำล็ป้ด้ล้ถำต้ล่ว่คุท้ถิรำจัดำล็ป้ห้ขู่ลู่ลู่ล้ขู่ล่ยัดำล้ขู่ลิมิลีมัดำลัว้ขู่ส้ขู่ลัดำล้ถู่ล้ถู่ส้ขู่ลัลำกัดำลัดำลิมิล่คำค้ด่ม่ต้ชู่ล่ือ่ึน่ค่คู่ส้ขู่ล่มัล่ืร้ึข่ิพู่ล้ด่ต้ช้ขู่ลักำจ่คีม่คีม่คู่ส้ขู่ล่คีม่ึน่ค่คู่ส้ขู่ล้ขู่ลิมิล่คีมัดำลิน่ัทัดำล

. The Integral Test ไผลรวม บาง วน อ กรมแบบ ลดลง Cncndecreasingpartialsums ง นะ fcn) เ อ tcx ) า แลด ลง าเ นบวก Smi Sntan แ ว So ำE E. _ .ESn ES n แ- E. .. . อ กรม 4 an เ นา วนบวก และ ผล รวม บาง Sn ขอบเขต l Bounded ) แ ว อ กรม จะ เ า ป. การ ทดสอบ น → นะ tcn) เ อ tm า แลดลง น เ า แ ว Ian จะ เ า { }fc ✗ า > 0 [เ นา บวก >- fcxidx วออก แ ว Ian ออก → fmdx - Comparism Test เป ยบเ ยบ- การ ทดสอบ การ ir 2am 4cm 4 dn เ นอ กรม าเทอม บวก หบ นวน ม N ใด n >N ๆ ำ ำา แว 4 dn เ า แ ว Ean จะ เ า [ กมาก า เ า แ ว อย ก า เ า ] > an > { cn ออก แ ว { an จะ ออก [ กมาก า ออก แ ว อยก า ออก ] ะ เปการ ทดสอบ การ ยบเ ยบ ตา• an Ebn µ เ อนก า ทาน า C c > 0 → 4am kbn จะ เ าไ งออก น นะา 0 และ 2bn เ า → Ian เ า cbn แกง นานา ทน bnและ 4 ออก → 4 an ออก cbn Ean ) .. Absolute Ccnvergence ; The Ratio and Root Tests อ กรม ง นเ ดเทอม บอกและ เทอม ลบ ทรท. 41 an / นจะมาก ก า า 4 an เสมอ สม รทราบ บท → การ เ า ของ า บอก ง การ เ า าา 41 anl เ า → 4 เ า Ratio Test ใ อ กรม 4 an เ น อ กรม บ ของ ตรา วน an+ เ |lim anu p p < 1-> Ian เ า an ทาน an p Ianp > 1 ออก , .น → เ ยวp ไะ 1 บอก บ การ เ า ของ 4an TestRoot ใ อ กรม 1 แ เ นอ กรม ราก n ของ บ an 1 น \" Ianlp p < 1-> Ian เ า p Ianp > 1 ออก , .น → เ ยวp ไะ 1 บอก บ การ เ า ของ dan ้ขู่ลัก่ีก่มู่ล้ขู่ลุทัดำล่ีทีม่ีทุน็ปุน้ห้ขู่ลัก่ีก่มู่ล้ขู่ล่สัอัดำลีม่ีทุน็ปุน้ห้ขู่ล้ขู่ล้ถ้ขู่ลึถ์ณูบ่ค้ขู่ลีฎ่ค่ว้ัน้ึขิก่ีท้ัทีม่ีทุนู่ลู่ลู้ผ้ถ้ขู่ล้ขู่ลุ่ผ้ถู่ค้ัทู่ล็ก่ม้ขู่ล่ืมู้ผ้ถ่คุทีมัสีทีรู่ล่ว้น้ลู่ล่วู่ล้ลู่ล้ขู่ล่ว้น้ล้ขู่ล่ว้ขู่ล้ล้ขู่ล้ล๋ํยืป้ถ่ีทีทำจัรำส่คีม่ีทุน็ปีทีรู่ฉ้ลู่ลุ๋ย้ขู่ล้ล้ขู่ล็ป่คีม่ต่คีม่ืม์ธัพิร้ขู่ลุน้ลีม่สีม็ป่คีมุน้ล็ป่คีม่ต่คีม่ืม่มุน่ส

. AHernating Seriesand Ccnditional Convergenee : อ กรม ส บ า ernatingอการทดสอบ กรม ส บ า c AH Series Test ง อ ปแบบ § นะอ กรม ใน az 3- 24a - 1-+ + เ าจะ>. า 02am <an และ lim นะ 0 → c- , + . .. น+ + . .. . n→น ขอบเขต ความ ดพลาด ของ อ กรม ส บ า \" ในai เ น ผลรวม บาง วน ของ อ กรมส บ า และ ใ 5. Sn ใ Sn 2. i. Iา1 สมม am0 < < 2n และ ต liแm นะ 0ท→ / 5- Sนn < an- การ ดอ กรม ( Rearranging Series) รณะ เ า b น bn เ น ดให4( น เ ของ บ { an } แ ว 4bn จะ เ าและ Ibn Ian > an ล การ ดให ห บ อ กรม เ า ม และ , , ,. . . . ... การ Mn 1 V ทา 1 n า1 ใน an.to → ออก - 1 <r < 1 /1→ / p → าน→ 1 \" - Power Series เ อ1 \" - ax เา -เ<×< 1 . อ กรม คงง รอบ ด × ะ a → ผล รวม า ผล ณ ระห าง า บ า ยก ง cx a- ) ด คงณ าารอบ ✗ ะ 0 → ผล รวม ผล ระห าง บ ายก ง ของ [✗ ) ทฤษ การ เ า ห บ อ กรม ง c The Ccnvergence Iheoremfor Power Series) ใน ม รอ กรม ง \" ละ ำ น \" เา อ กรมแ ว× เ า อ าง เ อ 1 × | < lcl แ า อ กรม ออก xnd แ วอ กรมจะ เ า อ างแ นอนเ อ kl > Idl ✗ × ×+ + +. . . c- น× . + ... #0 จะ - ศ ของ การ เ อาของ กรม ง cThe Radiusot Ccnvergenceofa Power Series ) การ เ าของ อ กรม ง อ กรม\" Rเ า ศ เ าะ ✗ า 0 → ะ0 R ะ ศ การ เ า โดย วง การ เ า cintervalofccnvergence า ของอ กรม การ Cnl ✗- ลง → อ lpอ วง ระห าง a- R บ a-เรา โดยไ รวม ง ด ปลาย อ กรม เ า วย [ าp เ น เทอม 1×-21 แ ว / ะ 1) p า คง → Rntp อ กรม เ า ก า ✗ → Ris อ กรม เ า บาง 1✗ ะ ✗- ศก . และ ออก :| ✗ -21 > ไ <R ุ่ลำลำค้ขู่ลุน้ล็ป้ถ้ด้ขู่ลุน่ีทุจึถ่มัก่วู่ย่ีท่ชืค่คุท้ขู่ลุน่ีท่คีมุน้ขู่ล่ช้ขู่ลีมัร้ขู่ลีมัร้ขู่ลุนุ๋ฐัลำกุน้ขู่ลัลำกุน้ขู่ลีมัร่ืม่น่ย้ขู่ลุน้ล่ีทู่ลุน้ถ่ต่ืม์ณูบัส่ย้ขู่ลุน้ล่ีท้ขู่ลุวัลำกุนัลำกุนัรำส้ขู่ลีฎัลำก่คัก่ีท่ค่วูค่คุจัลำก่คัก่ีท่ค่วูค่คุจัลำกุน่ืม้ขู่ล้ขุท๊ืหฺนู่ล้ขู่ล้ลัดำล่มัจ็ป้ขูบัส้ขู่ลุนัรำส่มัจุนัจิมิลีมิต้ห่คัลุน่ส็ปืท้ห่คัลุนิผ้ถ้ขู่ล๋ํท๊ทูรู่ยุน่คัลุน่คัลุน

→ แยก อ กรม A B , }3 <ไง ✗ ง แรก → ×✗ × ก , i Taylorand Maclaurin Series tftakx ahffcxnfca) f\" 3 \" %° f\" k Tay / or Series Around ✗ า 2 f- a) + \" + a) (× , 4. ลง (a)(✗- a) \" (a) (✗ - t '\" n! \"\" 21 31 µ \" \" \" น \"\" \" เอา ✗ + เอา( 2 f) . . Maclaurin Series × ะ 0 fmnf t f ำ f XP f\" \" k! เอา + เอา + เอา ๆ +. .. k ะ0 + +. .. 2 1 31 Taylor Polynomials Aroundxra tca) + flaxx-a) \"3 caxx a)+ + +- . .. 4) ± f ลง t Flakx\" \" -ลง + (a)[✗- 21 3! n! - Convergenceot Taylor Series 9. 10 ุคุ่ยัลำกุน

\" dcsin × า = cosx § ccosxn -sin ✗ ctanxnsec\"× 1sec✗ งะ Secxtanx # ccotx าะ - csck ccscxncscxcotx เ อยา d✗ CH -6 Using6. 1) Volumes Cross - sectims By Slicing IAV. mdx ห น รอบ แกน ✗ [V. Amdg yห น รอบ แกน Bgdiskmethod [V ะ IRcxidx รอบ แกน × % µby Shell Method → V. 21 | dx - xaxis cytdyV. AR yรอบ แกน washermethodv.INBy RIN rlxndx รอบ แกน × - IIV. c Ryi - riyndy yรอบแกน 6. 2) Volumes Using Cylindrical She 11s ห นรอบ ✗ - axis ะ V. ใาiµ )(sh ) d✗ radius . yในเทอม , , ห นรอบ y - axisi V 21T fsrhadeiluls /% 1dg _ 6.3) Arc Length b b |dx ะ | + Itiyndy จ งค . ยาว บนเ น กราฟ d ot curves |:L ะ า + ltix ส ำdds . d× 2 6. 4) Areasof surface otrevoluticn surface areai 5 dx x - axis ะ µ 1C 1 tflx ำ dx LS ะ 21T lymoม✗ ✗ 1 + cfix b [ dyy - axis n ะ Icx NHHIy [S ะ 2Icx เทอม yk เ +cfiyndy 6.5) Workand Fluid Forces IFWork of Springs Wnjk ำ×>- cmdx ; Fcxhkx b Work & pumpingdiquidstrom containers ะ WfiwaterweighnAmpdy a ้ทำน้ตุ้หำง้สิรุ่ญุ้ห์ุฏุมุ่ญ๋ืห๊ีภู๋ฎุมู๋ผืผู๋หุ๋ผุมุม่ืฐ่ืฎู๊ญ่น่ืร

CH -7 . 7. แ Inverse Functimsand Their Derivatives f ำ ✗ ง → fcx า ส บ y✗ แ ว าย เ น y เทอม ✗ , Df ะ Rf Rf Df-1 ะ d f\" , . #× #ะ ×, 7.2) Natural logarithms ¥y.huำ clnu → ¥£ 1ะ 1 1h ✗ ) ะ1 ☒ Domainln ✗ → co น ง Range → c- นานา , f utdu ะ lnlultc 7. 3) [xponential Functicns ¥ #\" าย 109 au ะ 1 # III. ¥ ) f {109 ✗ dx า |1h2 ำ + C eha ฎา \" .ch \" . a ลง c a f #\"du ะ \" a la ) + C 7. 5) Indeterminate Forms andl ' Hosiptats Rule ig น ำำ, อ อ น. . น น. . . µ %→ ใน %าา า ; giarto I ำ: > × อ ป logx→ ว หาร อง ใน ะ takeln 1\" \" dim ะ a >✗ > >- เลขยก ง ป ogx→ ว หาร ใน ✗ภ2 T ¥× × ¥× lnfcx ) Lา → limfcxnel a1 ✗ ~ × →a ุทุ่มูรัตัลำกูรู่ย้ตัตุท่ืห้ย่ทฺฐ็ป้ย้ลัล่ีท

CH -8 8. แ Vsing Basic Integraticn Fcrmulas น. 2) Integratim by Parts → fudv.uv.fr du ใเการ อก dv -> อ าหา เ อก ln → ควร sinx cosx ,, → fgmtlmdx.fmgcx า - ffcmglmdx >- b µ - Itcmglndx Lgcmflndxiffcmgcm 8.3) Trigonometric Integrals → fsinmxcos\"✗ ; mnt I ๋ mln- ะจ น . → m ท → แยก เทอม . - ป→ ลด ยก ง ละ ว m ทะ จน , → การ แยก ง 2 ะ สม ต โกณ AC 0 ะ 1 + 2A si A. nocny , → ผล ณ ะ sinios 8.4) Trigonometric Substituticns ×→ asinf✗2 ละ\" → Nasect เคาะ → ✗ ะ atanf - →ะ ✗- ,, 8. 5) Integraticnot Raticnal Functimsby Partial Fractions → f- ; ก fcx ) > gcx ) → หารยาว อน Z gcx ) mii ๋→ ÷ 1า- . A + B✗ + C ๋ \" \" E →Q \" cxf ¥๋ ่ , 2 ✗2+ . ✗ × 2+ เ L✗ 4 2 c×2. 2 ( ำ2 แ แ c 2 แ ×แ แ 8. แ Improper Integrals Ifcmdxn ใน b Lfcmdx ้งำน้เู่ภำน๋ัหู่ภ่กีรีด้ฎูค้ทุห้วีริตับัลำกัตีทัลำกูรู่ค่ีคู่คู่ค๋ย้ชืล่ยืล

CH - q . 9. แ Sequences divergesSn \" %\" \" ex ะ✗ :| × 1 < 1-> cmverges 1×1>1 → ในC 0การerges → lmf . อ n→น , ใน แก , #Sn - :p > 0 sccnverges lim { ใน × 0,1×1m ภื๋1 น า0 \" n→น ×y 9. 2) Intinite Series converges → lim Sn ะ L ทาน นะ 2 า #- , 1- r telescopic ะ 1 \" ncnm \"\" น 9.4) Integrals Test น ffcmdx ccnverges แ ว Lan จะ cmverges 2 an น m ttcmdx diverges แ ว 4 an จะ diverges 9.5) Compariscn Iest Direct Cmparism Test :O Efcmtgcx ง •8 µ ¢✗า ccnverqes → ffc✗า ccnverges a นน Lgm diverges → fafcxidiverges limit Ccmparism Test : fm , gcxา > 0 ฒุ1ฐาน .li l0 < < น ° เห อน น p Lgcm . ffcm convergescr diverges ล 9. แ Ihe Ratioand Root Tests Ratio Test p 1→ ะ 1 am an Root Test → pdim \" Ianl n →น 9. แ AHernating Seriesand Conditional Ccnvergence ำน° { แ-1 .. t C-1 → ccnverqes า 0h2m , < an และ lim an ะ 0 ทาน mเC-1J Canhdidztag -24 + . anhlanl/\" \" ยาว an \"\" 2→ หา →๚ ุ๋ฎ้ถนฺทักืม้ล้ล๋ก่กุทุทำท

9.นา Power Series เ า cccnvergesา [\" → ccnverges →* . อ ศ การ เ า การ → cnlx -ลง 0 ทา 0 >- allx R .น → บาง ✗ 1 ✗-21 < R diverges 1 al R→ > → บาง ✗ ✗- | ÷ |p น ะ \" า1 าคง → B. lim n→ น 9. 9) Taylcrand Maclurin Series Taylor ะ fcxnfcai.fcaitflaxx.as.it \" \" \" f aแ \" เอา cx - .. . . . ✗-ลง \" a n x a ำ + f แวะ ✗ - t ลงe. . . + . µ c 2! 3! n! fcm.fm tf ำ XP t Iokxf \" 4ะ fkcoic ✗ ง\" + เอา 4) Maclurin f\" \" + +. . . \" k0 K! เอา( , +. . . เอา( ✗ + 2! 3! n! Polynomial → Pnm ± tcanflaxx.as.it \"canxahf\"iaxx.ae . . + tำแ \" . ✗ - ลง 2! 3! n! ำลุ่ทุ้น่ัก่ีท่คีม้ขฺหุทุหำค้ขู่ล้ขู่ลีมัร

เ อnth - Term → ccnverges 1in an ะ0 ทน → diverges เ อ น ห =1 อ doesritexist . Compariscn Tests dn In< EC n - }→ { cnanverges :L anconverges ไปทาง เ ยว น → 2 cndiverges ะ 2 andiverges p - series 1+ → p > เ :c cnverges nP Alternating Series Test น µ u.iu3.ua + . . . 2 \"\" c- แ unn hา 1 converges → u sallpositive dim an . อ → ccnverges n→น Root Test lim Thp → p < เ :ccnvergesabsolutdy h →น p > 1 ะ diverges p า 1 ะ Incondusive Integrals Test . ffmdx → diverges doesritexist Ratio Test | ÷ |lim p p > 1 ะ diverges n, น pn าะ incondusire pu :c onrerges Taylorseries น \" \" c-แ 4 แ→ cosx → ้ [ 2 ทา ! ทา 0 4 ำน \"\" → → sinx \" c- แ c × ทาย ้ !( 2 ทา # ฐึ→ \" #→ \"\" 1×14 ๒✗ \" × ✗ c- แ × ; e→ ✗ \"\" า . lnl HX ) → \"\" \" ✗- ภื๋+ - . .. น ; 1×1 ะ 1 #× % นtailx ) → . ุ๋รุ้หุ๋ญ้ทู๋ฐ้ทฺบ่ทักีดุทุ่ห่ืม่ืม