Calculus For Midterm II

- The Cross Productcvector Produeh → U ✗ V.lu/1v1sinf vector น Q→ ะ0 U✗V ะ 0 2 ว ขนาน => 1 uxvl.lu/IvlsInf.lWn. จาก ห -V ) หระยะการ น ส Torquแรง ด ( T Fee) >- ะ r✗ แรงกระ . Linesand Planesin Space เ น- ตรง tyjyk: จาก Po CXo.Y.io ) ตาม V ะ YI parameterizatim ของ rcts.ro + tv ; t- น < <น Yoro ะ < ✗o, Zo > , parametric ะ µ✗ ะ ✗ + y . yotty ty2 % + อ จากาง ด เ น- ระยะ-ตรงd 1: ะ |1 sint ะ |# |× ะ vectcr ฉาก nzai + + ck , bjง- สมการระนาบ ะ ด Pocxo yo, นา , Vpop bly %)Xoท . ะ al ✗ - )+ - + CCZ -Zo ) 20 สมการ ระนาบ iaxtbytcznd ; dzaxotbyo + CZ o ้ัตุจีณ้สุจ่ห้สำทิปุมักัต

เ น- ตรง ด น cintersect ) => บาท × ท2 , เ นคสพ ของ ะคสพระนาม ไใ า1 การ แทน า week 4 Q เ . | ก | Bjด PJาง- ระยะ จาก -ระนาบ ะ d. . i m Ai + + Ck 051 1)- ม ระห างระนาบ 0 C- hi ^ 2 ะะ lniln2 .ly/indersandQuadricSurfaces.ParabolicCylinders → By- Quadric Surfaces 2 Czำ Dz [ → A ×ำ + . - Ellipsoid → + ะ1 - Hyperbolicparabdoid → E :c > 0 นkา 0 _ K >0 k k< 0 ะ ๋ํญ้ืฏ้ัฐ๋ืฏ้ัฎ่วุมุจ่ห้ด่ค้ช้สักัต่ีท้ส

12 : Vector-Valued Functions and Motion in Space - Curresin Spaceand Their Tangents positimvectcr ะ rctifctitgctsj + hctik Limitsandcontinuity Derivativesand Motim irrctntctitgctythchk เอกตอ เความ ว ivctnritndr ivelocity dt ispeed |§ |เขนาดความ ว ilvctihlrlhl ะ ¥ วะเ งเอกเตอ ความ ะ actnvitn acceleraticn ¥unitvectcr i 2 จะ , Difterentiaticn Rulesfw Vector Functicns - Integrals ot Vectw Functims ; Projectile Moticn Integrals otvector Functicns → frctidtn Rctnl Irctsdt→ ะ Rc b) - Rc a) The Vectorand Parametric Equaticnsfor Ideal Projeotile Moticn → Von Vocosai + vosinaj sina.ggr/-u3xjoPtrvoojetcctoilemMitoityimow÷viothtWindGusts → xmailrxctiiymaxzlryctd ่ร่ร็ร็รัร

. Arc Lengthin Space rctnxcti + yctsjtzcbk ; aat:b vctnxitityctytzitik b |L ะ 1 งµ dt ะ Ilvctidt าฏ๋เ ม lvctid T Pct า → sct . Unit Tangentvector แว กาตอ ม ส เห อยา v. # → T ะ Mt ) . Ur mtd dt T ะ drct ง . เอกาตอ แห ง เค อนds ระยะ ทางการ - Curvaturfand Normal Vectorsotalurve IN ะ 0 → vectcr ง ฉาก น โ งความ ck า k ะ 1 dT lvl dt เอ กาตอ า ห วยห ก c Prinicpal unitnamalvectan dT N.at dT dt ัล่น่ว้คัก้ัต่ีท่ืล่นำตัร่นัผัสัร่ีท่ิร่ํรุหำท

13 : Partial Derivatives Functimsot Several Variables - ว แปร ตาม ว แปร๖ สร Y f. _ Y fld 2)=) ะ Xn )' ( ✗ ✗ ✗ ,, ✗ 3แ ว , , ,. . . \" ว อ functims - Domainsand Range - Functimsof Two Variables LER → ก bounded mdefined → mbamded - Graphs , Lerel Curvesand Ccntavrsof Fmoticnsof Two Variabks วาด งดความ ตาม า tcx,yา กราฟ น ว 13 D) fcxipวาดเ นระ บ c- กราฟ นคอน ว ( 2 D) - - Functicns of Three Variables อากรแปะ กด น ว ระ บ fcx.yis.cn กราฟ น วระ บ าย างๆ อ 3 D) ่ต่ค่ีทัดิผ้ืพ่ีทัดิผ้ืพ์รัท้ันัด้สิผ้ืพ่คูสุจูถ่ยัตัตัต

. Limitsand Continuityin Higher Dimensims limitfcrfmcticnsof Two Variables Two - Path Iest fcr Nonexistence ofa Limit ไการทดสอบ การ 1 imit → เ า 2 ด จารณา เ า น→ ตไ เา น ไ→ ต , Partial Derivatires - The Chain Rule fcgcw . ✗า ) → .figcxn.gl ✗ 1 w.fi ✗, y , 2) mtaip ¥\" ¥¥ ¥ + ¥+ ่ืษุ๊ษ๋ัภ๊ืย่ืฏ่ืฏ่พิมิลีม่มัก่ท่มิมิลีมัก่ทิพ่ีทุจู่ส้ขู่ลีม่ม

เ องราว า midterm Ch เอ. . หา d t → แทน cxip → dicsxhisyำ studyplanp.2.H.N.week1Q.it cos - sinh ำ | → หา linetanyenttothecurve , slopeofthecurve H ¥+→ . dt b LIengthotcurve h→ 1 1 jdt Surtace area Irevolution } → × - axis b [dt , yaxis 5 21T× 1 µ¥+ dt Snf ะIy 1 ¥1ำ 1 Polar Coordinate cr เงา x.rcost.y.rsint , 2 → r ำ ✗ำ y Symmetric polar ourve → ✗ - axis อาcr - 1- r กอง , cosi-G.co s Q sini.tn - sinf ,, sincA.tn sinf y - axis sinl 0- +1T ) ะ - sinf Lr กอง f)( r-- #cosc นะ - cost origin , ,, +1Tงtr coscftt cosf , , cr, ) แ - .sflio#pseinfo+ffpiQoclaorsc_ufr;rv.fechIlcr,fd)yf'iQcost-fiQsintArea.poIarco rdi si t.1.gs2 t เอา า เ + coszf nates → intheplane A. ± ifclndt ; rnfck 2 Regim→ ofthe เอาเอา; 0 < rะr < เรา A ง dt fcosnfd t.si ก า _, _ - Lengthofapolarcurve h rijdli fsinnfdt > - coscnh lengthofspiral hะ> m df n ๊ืฏ์ุผ์ุผ่ปุทุ้กุ้กุ่ผูห่บ้ทุ้ผ่ป่ป่ืฏุ่ฏ๊ืฏ่ืฎ้ืฏ๋ัฎ้ทู้ร่น่ืร

Ch แ- . distancespoint.point.point-line.point.pl ane → lppinsxhisyhiszำ vector ✗→ ะ Rcost y Rsint , → component < Rcosf Rsint > , ใ มา → vector imagnitudexm umagnitude แ V1| Ve หา จาก → Midpoint า Myxy , หา ภื๊า 2# ) Dotproduct → G. \" i ij .k.knii.kj.j.tะn0 cos 1IWuml → scalarcomponent ofudirectimotv ะ Uv 1 V1 → projin ( µ ข Crossproduct → ux v. I Ih dotproduct . อ → perpendicu 1am →1 Cross product . อ → parallel Ui Uz \" 3 V1 V2 V3 jluxvl→ ทรท . . Parameterizaticn tcrlines → ✗ nxo-iyt.y.y.ir,1- , Zizotyt ✗ -axisi v41 , 0,07 y - axis ะ V ะ < 41,0 > Pol Xo , yo , Zo ) YNYY t V32 kา 2- 2 ✗ IS : V40 0,1 > , Equaticnsfcrlines D. Axoi Byo + Czo Bj; Pocxnyo, นา , ทา Ai + + Ck studyplm 11.5 Po Qo Ro → POT × p . . Ai + Bjdk ,, distance point - Iine point - plme , lineplane, plmephone d. PJ xv → point.li ne d. B. → point.plme.plane.plane , Nl , Inl angleplane-plane.line-line.line.plme ( 1)E.co 5 ท . ทะ plane.pl me af 1 11 กะ 1ine- Iine 1T -0- ุทีทีทีทูพาฺช้ห

Ch -12 , alt วะ ¥ ¥ งvctn * a- V ะ 0 * Parametric equatimforthelinesx.xotyt.y.yow.tn 2 % + Projectile [ µ ]1 Hir→ tj t.y.yotv.si→ ✗ ix.+1แ cosd) ท มา t . ✗ lvocosมา + g.+ cvosindst - → t.2v.sina ¥Ri 5in 2✗ 49 , ตน . maximumheight → Ymax ะ lvosind ำ 2g lengthoftheindicatedportimofthecurve → 1. [ lvldt Pointcnthe curve t pointi A , B ( ง , sctnf Bjlvldt → rcsitn ะ Ai + + Ch to Lengthparameteralmgtheourve sitnjlvldT to Unit Imyent Titn , Principal mitnormalvector Nid Tldt ¥ cosh ¥ ง . ฐ sinhl E) d Tldt C 05h2 ✗ - sinh2× . า Curvature forplanearve h ะ 1 d T.lt \"cml N dt [ า + ifi × ] } #Eguatimforcirclecurvature → cx -× + ly - %)ำ ะ; r yjNmxi + xo ✗ ✗,> - , yiyiy ilxiyp โจท หนด t Vhftotalcurvatare → | ¥ 1 dt to ำก์ยู่ท้ภ้ทูข๋อุ๋ท

Ch -13 i า0 µ2#0 hcst ;D > 0 Domain lim tariixy ) . เ dim 5 ✗ 1. , L ✗ ,yเ → 10,0 ง ✗y ✗> o Partial Derivative Wxy . d ¥. d / ) → Nxy า Nyx % dydx >> d2f.tt txy - 1 ¥) dydx dxdy Chain Rule ¥ ¥mfcxip → ±+ . wifcxig ฐdw2) าdw ✗+ + ฐาน #. ,+ dtะ dx Implicit Differentiaticn ndy F Fxะ > § Fy=> 2. - e- ✗- [ะ × Fy fz Fz ¥ ¥Gradients r f. ji + {Directicnalderivative n Daf ะ ห × + uy ; A. Pit Bj → ui A ¥ 1A 1 → Duipo ะ 1 ) ะ CDftp.lhlrfllulcosf แ max สท D- ufyy ทะ - lrfcxig , ะง | 6 17 tmy /2 า , , Dutyyp , ะ Equatimfw tangentline ttylxofxlxnyoแ✗ - xo ) , yo Hy - เงา 0 Chain Rule fcr Paths → rctnxctiiiyctsjtzctsk mfcrctn ไใบอก , d- fcrctn ะ Dflrch ) . rit ง dt ้วู้ร้ห่ฑ๋ืฏ่ืฏุ๊ผ๊ืฎ่ืห่ัฎ้ผุ่ท