หัวข้อ 1_4

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 39 – ดร.บรรทม สุระพร1.4 การจดั หมู่ ( Combinations ) เป็นวธิ กี ารทเ่ี รานาส่ิงของ จานวนหนง่ึ มาจดั เรียง ซ่งึ ในการจดั เรียงน้นั ไม่คานึงถึงลาดับของ การเรียง เช่น AB กบั BA ถอื เปน็ วธิ ีเดียวกนั คือ A และ B ถูกเลอื กมา กาหนดให้ A = { a, b, c } นามาเรยี งกนั ทลี ะ 2 ตัว โดยคานงึ ถงึ ลาดบั เป็นสาคัญ และไม่คานงึ ถงึ ลาดับเป็นสาคญัคานึงถงึ ลาดบั เป็นสาคญั ไม่คานึงถึงลาดับเปน็ สาคัญ( การเรียงสับเปลี่ยน ) ( การจัดหมู่ )ab, ba abac, ca acbc, cb bc1.4.1 วธิ จี ดั หมสู่ ่ิงของทีแ่ ตกตา่ งกนั ทงั้ หมด1.4.1.1 วธิ ีจดั หมู่ส่งิ ของที่แตกต่างกนั n สิ่ง เปน็ หมูๆ่ ละ r สง่ิ ให้ r และ n เปน็ จานวนเต็มท่ไี มเ่ ป็นลบ โดยท่ี r  n nCr หรอื Cn,r แทนการจดั หมขู่ องกลมุ่ ส่ิงของ n ส่ิงทีแ่ ตกต่างกันคราวละ r สง่ิ nCr อา่ น “n เลือก r” ซง่ึ เราจะไดว้ า่ nCr = nPr = n! r! (n  r)!r!ข้อสงั เกต 1. nC0 = n = 1 และ nCn = n = 1      0   n  2. nCr = n = nCnr = n      r   n  r  3. n1Cr1+ n1Cr = nCr = n    r ตวั อย่างท่ี 1.4.1 มีนักเรียน 20 คน จะเลอื กนักเรยี นเป็นตัวแทนของหอ้ ง 5 คน จะมีตวั แทน ชุดต่างๆ กนั ทัง้ หมดกี่ชุด วธิ ที า นกั เรยี น 20 คน เลือกมาคราวละ 5 คน จะเลือกได้ C(20,5) 20C5 = C(20,5) =  20 = 20! = 20x19x18x17x16x15!  15, 504   (20  5)!5! 5x4x3x2x1!15!  5  ดังนนั้ มีชุดตัวแทนตา่ งๆ ทั้งหมด 15,504 ชดุตวั อย่างที่ 1.4.2 มีนกั เรียน 20 คน เป็นชาย 12 คน เป็นหญิง 8 คน เลือกนักเรยี นเปน็ ตวั แทนของห้อง 5 คน โดยเป็นชาย 3 คน เป็นหญิง 2 คน จะมีตัวแทนชุด ต่างๆ กันท้ังหมดก่ชี ุด วิธีทา มีนกั เรียนชาย 12 คน เลอื กเป็นตัวแทนของห้อง 3 คน เลอื กได้ C(12,3) ทานองเดียวกันมีหญงิ 8 คนเลือกมาจานวน 2 คน เลือกได้ C(8,2) แต่ท้ังสองกระทาพรอ้ มกนั ดงั นัน้ มวี ธิ เี ลอื กได้ C(12,3)xC(8,2) วิธี วธิ ีC(12,3)xC(8,2) = 12x11x10 x 8x7 3x2 2  6,160

คณิตศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 40 – ดร.บรรทม สุระพรตวั อยา่ งท่ี 1.4.3 พนัสมีเสอ้ื 8 ตวั กางเกง 6 ตวั จะเดินทางไปต่างจงั หวดั และตอ้ งการนาเสอื้ ไปใช้ 3 ตวั กางเกง 3 ตวั จะมวี ิธเี ลือกเส้ือและกางเกง กี่วธิ ีวิธีทา มีวิธเี ลอื กเสอื้ 3 ตวั จาก 8 ตวั C(8,3) = 8C3 = 8!  56 วธิ ี (8  3)!3! มวี ธิ ีเลือกกางเกง 3 ตวั จาก 6 ตวั C(6,3) = 6C3 = (6 6!  20 วธิ ี  3)!3! โดยหลกั การคณู จานวนวธิ เี ลอื กเสือ้ 3 ตัวและกางเกง 3 ตวั ได้ 56x20 = 1,120 วิธีตัวอยา่ งที่ 1.4.4 มเี ส้นขนาน 2 ชุด ชุดแรกมี 5 เส้น อีกชดุ หน่งึ มี 4 เส้น เสน้ ขนาน 2 ชุดน้ี ตดั กนั จะมีรปู สีเ่ หลย่ี มดา้ นขนานที่เกิดจากการตัดกนั ของเสน้ ขนาน 2 ชดุ นท้ี ัง้ หมดกรี่ ูปวธิ ีทา เส้นขนานชดุ ที่หน่ึงมี 5 เส้น ต้องใช้ 2 เสน้ จึงจะเปน็ ด้านสองดา้ นของ ส่ีเหลยี่ มด้านขนาน มีวธิ ีจดั ได้ C(5,2) วิธี คือมีคู่ของเส้นขนาน C(5,2) คูไ่ ม่ ซ้ากัน และเสน้ ขนานชดุ ทีส่ องมี 4 เสน้ ซ่ึงต้องใช้ 2 เส้น ทาเป็นดา้ นของ สเ่ี หลีย่ มดา้ นขนาน มวี ิธจี ดั ได้ C(4,2) วธิ ี คือมีคขู่ องเส้นขนาน C(5,2) คู่ ที่ไม่ซา้ กนั และเลือกคู่ของเส้นขนาน C(4,2) คู่อกี ดา้ น ดังน้ัน จะเกดิ สเ่ี หล่ยี มดา้ นขนานไดท้ ั้งหมด C(5x2)xC(4,2) = 60 รูป หรอื หากเรามองส่เี หล่ียมจะได้ 3x4 รูป โดยใช้วิธีคิด ตามตัวอย่างที่ 1.2.6 ดังน้ันสามารถหาจานวนส่เี หล่ียมได้ท้งั หมดคือ 3 x 4 = 12 2x4= 8 1x4= 4 3x3 = 9 2x3= 6 1x3= 3 3x2 = 6 2x2= 4 1x2= 2 3x1 = 3 2x1= 2 1x1= 1 รวมเปน็ 30 20 10 จึงได้รูปส่เี หล่ยี มด้านขนาน จานวน 30 + 20 + 10 = 60 รูป เช่นกันเดอ้ตัวอย่างท่ี 1.4.5 วงกลมมีจุดบนเส้นรอบวงกลมอยู่ 8 จุด จงหา 1. จานวนเส้นคอรด์ โดยมีจดุ เหลา่ นเี้ ปน็ จุดปลายคอร์ด 2. จานวนสามเหลีย่ มที่มีจดุ เหลา่ นเ้ี ป็นจุดมุม วิธีทา 1. จานวนคอรด์ ของวงกลม  พิจารณา การลากเสน้ คอรด์ โดยมีจุด 8 จุด เป็นจดุ  ปลายคอรด์ โดยการลากเสน้ คอรด์ นั้น เราจาเป็นตอ้ ง  ใช้ 2 จดุ ทุกครั้ง ดงั น้นั จานวนคอรด์ ที่มีจดุ เหลา่ นีท้ ้ัง  8 จดุ เปน็ จดุ ปลายคอร์ด คอื  8 8! (8  2)!2! =เส้นC(8,2) 8C2 =  2    28 

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 41 – ดร.บรรทม สุระพรวิธที า 2. จานวนสามเหลีย่ มท่มี จี ุดเหลา่ นีเ้ ป็นจุดมมุ  พิจารณา การสร้างรูปสามเหล่ียมเราจาเป็นตอ้ งลากเส้นโดยใชจ้ ุด 3  จุด จึงไดส้ ามเหลยี่ ม 1 รูป ดังนัน้ เรามจี ดุ บนเสน้ รอบวงอยู่ 8 จุด 8 8! เลือกทีละ 3 จุด จงึ ได้ C(8,3) = 8C3 =  3  (8  3)!3!  56 รูป  ตวั อย่างที่ 1.4.6 มเี พ่อื น 4 คน เรามวี ธิ เี ชิญมาร่วมรบั ประทานอาหารอย่างน้อย 1 คน ได้ ก่ีวิธี วธิ ที า การเชิญอย่างนอ้ ย 1 คน คอื เชิญ 1 คน หรือ 2 คน หรอื 3 คน หรอื ท้งั 4 คน เชญิ 1 คน กระทาได้ C(4,1) = 4 วิธี เชญิ 2 คน กระทาได้ C(4,2) = 6 วิธี เชิญ 3 คน กระทาได้ C(4,3) = 4 วิธี เชญิ 4 คน กระทาได้ C(4,4) = 1 วิธี ดังนนั้ การเชิญอย่างน้อย 1 คน กระทาได้ 4 + 6 + 4 + 1 = 15 วธิ ี หรือเราสามารถคิดไดอ้ ีกวธิ หี นง่ึ คอื สาหรบั เพอ่ื นคนหน่งึ เรามีวธิ เี ลือก 2 ทาง คอื เชิญมาหรอื ไมเ่ ชิญมา เพอื่ น 4 คน จึงมวี ิธเี ลอื ก 24 = 16 วิธี ดงั นน้ั การเชิญมาอยา่ งน้อย 1 คน กระทาได้ 16 – 1 = 15 วธิ ี (ลบออกจาก 1 วธิ คี ือ เชิญมา 0 คนหรือคือไมเ่ ชิญมาสกั คน)ตัวอย่างที่ 1.4.7 มจี ุดอยู่ 5 จดุ โดยไมม่ ี 3 จดุ อยูบ่ นเสน้ ตรงเดยี วกัน (หรอื อาจกล่าววา่ มี จดุ 5 จดุ อย่บู นเสน้ รอบวงกลม) จงหาจานวนรูปหลายเหลยี่ มท่ีบรรจุบน วงกลม โดยมีจุดเหล่านเ้ี ป็นจดุ มมุวิธีทา เรามาพจิ ารณาการสร้างรูปหลายเหล่ียม ซึง่ จะเริ่มจากรปู สามเหลี่ยม (สองเหลยี่ มไมม่ จี ้า) โดยการสรา้ งรปู สามเหล่ียมเราตอ้ งใช้สามจดุ ในการ ลากเสน้ เชือ่ มจดุ เช่นกนั สเี่ หลี่ยมกต็ ้องใช้ส่จี ดุ ดังนัน้ จึงได้วา่ 5 5! 5x4 (5  3)!3! 2 รูปสามเหลี่ยมมี รปูC(5,3)5C3 = =  3    = 10   5 5! (5  4)!4! รปู สี่เหลยี่ มมี รูปC(5,4)5C4 = =  4   =5   5 5! (5  5)!5! รปู หา้ เหล่ยี มมี รูปC(5,5)=5C5=  5   =1   จึงได้รูปเหลี่ยมทีบ่ รรจุในวงกลม จานวน 10 + 5 + 1 = 16 รูป

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 42 – ดร.บรรทม สุระพรตัวอย่างที่ 1.4.8 มรี ปู ห้าเหลีย่ ม เราสามารถลากเสน้ ทแยงมุมได้กเี่ สน้วิธีทา เรามาพิจารณาการลากเสน้ ทแยงมมุ เราจาเป็นตอ้ งใชส้ องจดุ ลากเส้น เชอ่ื มจุด แนวคดิ คลา้ ยตวั อยา่ งท่ี 1.4.5 แตต่ ่างกนั คอื รูปเหลีย่ มต่างๆ เสน้ คอร์ดของขอบเหลยี่ มเขาลากไว้ใหแ้ ลว้ เราหาจานวนเส้นคอร์ด แล้วลบด้วยเสน้ คอร์ดรอบรูปเหลยี่ มออกดังนนั้ เรามีจุดอยู่ 5 จุด จานวนเส้นคอรด์ ทมี่ จี ดุ เหลา่ น้คี อื C(5,2) = 5C2= 5  5! = 10 เส้น   3!2!  2 แต่ตอ้ งลบเส้นคอร์ดของขอบรูป 5 เหลี่ยม จงึ ได้ 10 – 5 = 5 เส้น จึงไดเ้ สน้ทแยงมมุ คือ 5 เสน้ หรืออาจใชส้ ตู รคือ n(n 3) เม่ือ n คอื จานวนเหลยี่ ม 2ในกรณนี ้ี n = 5 จงึ ได้ 5(5  3)  5x2 5 เส้น ดังนนั้ เพ่ือให้ การ 2 2พจิ ารณาเป็นกรณที ว่ั ไป เราพจิ ารณา n เหลี่ยมใดๆเราลากเสน้ คอร์ดท้ังหมดได้ n  n! เสน้   (n  2)!2!  2 ดงั น้นั เส้นทแยงมุม คอื เส้นคอร์ดทง้ั หมด ลบดว้ ยเสน้ คอร์ดรอบนอก จงึ ได้n n  n! n  (n  2)!2! 2   n(n 1) n 2  n(n 1)  2n  n(n 1 2)  n(n  3) คอื สูตรการหา 2 2 2เสน้ ทแยงมุมนั่นเอง จ้า1.4.1.2 วิธีจดั หมูส่ ิง่ ของท่แี ตกต่างกัน n สง่ิ เป็น k หมู่ แต่ละหมู่มสี ่งิ ของไม่เทา่ กนัพจิ ารณาการแบ่งหมู่อกั ษร A,B,C ออกเปน็ สองหมู่ หมูแ่ รก มี 2 ตวั หมทู่ ีส่ องมี 1ตัวแบง่ ไดด้ งั นี้ AB และ C , AC และ B , BC และ A ซ่ึงมี 3 วิธี จะเหน็ ว่าเลอื ก 2ตวั เปน็ หมู่แรกก่อน จะเหลืออกั ษรเป็นหมู่ท่ีสองดังนนั้ วธิ ีการจัดหมูเ่ ทา่ กับ เลือกอกั ษร 2 ตวั จาก 3 ตัว ( เหลอื อักษร 1 ตัว )ซง่ึ เทา่ กบั C(3,2) = 3C2 = 3  3  3!  3 วธิ ี  2   1  (3  2)!2! กรณีมีส่ิงของ n สง่ิ ต้องการแบง่ เป็นสองหมู่ หมู่ละ n1 และ n2 สง่ิ ตามลาดับโดยที่ n1  n2 และ n1 + n2 = nจานวนวธิ ีการจัดหมู่ เทา่ กบั C(n,n ) = n  n!  n! วิธี 1   n!n !  n  (n  n )!n! 1 1 1 12ตวั อยา่ งที่ 1.4.9 มีสม้ อยู่ 13 ผล ต้องการแบง่ สม้ ออกเปน็ สามกองๆ ละ 6, 4 และ 3 ผลตามลาดบั จะแบง่ ได้กว่ี ธิ ีวิธที า แบง่ ผลส้มออกเป็น 3 กลุ่ม ซง่ึ แต่ละกลมุ่ มจี านวนไมเ่ ท่ากนัดังน้นั จานวนวิธีการจดั ผลส้มเป็น 13!  13x11x10x3x2x7 = 60,060 วธิ ี 6!4!3!

คณิตศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 43 – ดร.บรรทม สุระพร1.4.1.3 วิธจี ัดหมสู่ ง่ิ ของที่แตกต่างกัน n สิ่งเป็น k หมู่ แตล่ ะหมู่มีส่งิ ของเทา่ กนัพิจารณาการแบ่งอักษร A,B,C,D ออกเปน็ สองหมู่ๆ ละ 2 ตวัจานวนวธิ ีแบง่ = 4!  6 วธิ ี แบง่ ได้ดงั น้ี 2!2!หมู่ท่ี 1 หมูท่ ่ี 21 AB CD2 AC BD3 AD BC4 BC AD5 BD AC6 CD ABจะเห็นวา่ แบบที่ 1 และแบบท่ี 6 เป็นแบบเดยี วกนั เพราะไม่ถอื ความแตกตา่ งของหมู่แบบที่ 2 และแบบที่ 5 เป็นแบบเดียวกันเพราะไมถ่ อื ความแตกต่างของหมู่แบบท่ี 3 และแบบที่ 4 เปน็ แบบเดยี วกนั เพราะไม่ถอื ความแตกตา่ งของหมู่แตล่ ะหมู่เรยี งสับเปลีย่ นกนั ได้ 2! วธิ ี จึงมวี ธิ ซี ้ากนั อยู่ 2! วธิ ีดงั นนั้ จานวนวธิ ีการแบง่ จงึ เทา่ กับ 6! วธิ ี 2! 6!ถ้ามี 6 สง่ิ แบ่งเป็น 3 หม่หู มู่ละเท่าๆ กนั จะจดั ได้ 2!2!2!  6! วธิ ี 3! 2!2!2!3!มีสิ่งของแตกต่างกนั n ส่ิง แบ่งเป็ น k กลมุ่ ๆ ละ m สิ่ง จานวนวธิ ีการแบ่ง เท่ากบั n! วธิ ี (m!)k k !ตวั อยา่ งท่ี 1.4.10 แบง่ นักเรยี น 15 คน ออกเป็น 5 กลุ่มๆ ละ 3 คน แบ่งไดก้ ่วี ธิ ีวธิ ีทา n = 15 , k = 5 , m = 3 แบง่ ได้ =15! (3!)5 5!= วิธี15x14x13x12x11x10x9x8x7x6 5x7x13x11x5x8x7 = 1,401,400 6x6x6x6x6ตวั อย่างท่ี 1.4.11 แบง่ นกั เรียน 18 คน ออกเปน็ 7 กลมุ่ โดยที่ 4 กลุม่ ๆ ละ 3 คน และ 3กลมุ่ ๆ ละ 2 คน จะแบ่งไดก้ ่วี ิธีวธิ ที า เนือ่ งจาก กล่มุ ละไมเ่ ทา่ กัน แบ่งได้ =18! (3!)4 (2!)3=18x17x16x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 18x17x16x15x 6x6x6x6x2x2x2วิธี14x13x11x10x7x5x4x3 =13366080 x 46200 = 61,751,289,600

คณิตศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 44 – ดร.บรรทม สุระพร1.4.2 วิธจี ดั หมสู่ ่งิ ของบางกล่มุ ทไ่ี ม่แตกต่างกันทงั้ หมดพิจารณาตวั อยา่ งต่อไปน้ีมหี นังสือ 3 ประเภท คอื หนงั สอื คณิตศาสตรเ์ หมือนกนั มากกวา่ 6 เลม่ หนังสือเคมีเหมอื นกนั มากกวา่ 6 เล่ม และหนงั สอื ภาษาอังกฤษเหมอื นกันมากกว่า 6 เล่ม ต้องการเลอื กหนงั สอื ทัง้ สามประเภทมาเพียง 6 เล่ม แต่ละประเภทเลือกซ้ากันได้ จะมวี ธิ ี การเลือกก่วี ิธี ให้ M แทนหนงั สอื คณติ ศาสตร์ 1 เล่ม จานวนหนังสอื เทา่ กบั MMMMMM_ _ __ _ ให้ C แทนหนังสือเคมี 1 เลม่ จานวนหนงั สอื เท่ากบั CCCCCC_ _ _ _ _ _ ให้ E แทนหนังสือภาษาอังกฤษ 1 เลม่ จานวนหนังสอื เท่ากบั EEEEEE_ _ _ _ __ _ให้ x แทนจานวนหนงั สือในการเลือกแต่ละประเภท การเลือก 6 เลม่ ในแตล่ ะคร้ังจะเกิดการเปลีย่ นแปลงของจานวน x ในแต่ละกลุ่ม เช่น xMx xxCx Exเลอื กหนงั สือคณติ ศาสตร์ 2 เล่ม เลอื กเคมี 3 เลม่ และเลอื กภาษาอังกฤษ 1 เล่ม หรือ xxx xxxเลอื กหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม เลือกเคมี 3 เล่ม และไม่เลือกภาษาองั กฤษ หรือ xx x xxxเลอื กหนงั สือคณติ ศาสตร์ 2 เลม่ เลอื กเคมี 1 เลม่ และเลอื กภาษาอังกฤษ 3 เลม่ขอ้ สังเกต ในการเลือกแต่ละคร้งั จะมี x อยู่ 6 ตัว และ จานวน 2 อัน ดังน้ันในการเลอื กแต่ ละคร้ังคอื เรยี งสับเปลย่ี นของกลมุ่ x และ สองกลมุ่ ด้งั น้นั ในการเลือกเทา่ กบั 8! = 28 วธิ ี 6!2!โดยทัว่ ไป ถ้ามีส่งิ ของแตกตา่ งกัน n ประเภท แต่ละประเภทมีสิง่ ของเหมือนกนั ต้องการเลือกส่ิงของเหลา่ น้ีมา r ส่งิ โดยเลือกซ้าประเภทได้ น้ันคือ ประเภทที่ 1 ประเภทท่ี 2 ประเภทที่ 3 ……………. ประเภทที่ n xxx….xxxx xxx…..xxxx xxx……xxxx ……………. xxx…..xxxxในท่นี ้ี จานวนอกั ษร x มี r ตวั และ มี n –1 อัน ตาแหนง่ ท้ังหมด r +n –1 ตาแหนง่ เลอื ก r ตาแหนง่ เพื่อวาง x จานวนวิธใี นการเลอื ก เท่ากับ  r  n 1 วิธี  r   ใหเ้ ซต A เป็ นเซตท่ีมีจานวนสมาชิก n ตวั ตอ้ งการเลือกสมาชิกของเซต A คร้ังละ r ตวั โดยสามารถเลือกสมาชิกซ้าได้ จานวนวธิ ีการเลือก เท่ากบั C(r + n – 1, n– 1) = C(r + n – 1,r)พสิ ูจน์ กาหนด A = {a1, a2, a3,…., an} ให้ x แทนการเลอื กสมาชกิ ของเซต A 1 ตวั ซึง่ มีรปู แบบการเลือกดงั น้ี xx_a_1 x xx_a_2 x xx_a3_ x …………………… xxa_n_ x ซึ่งการเลือกแต่ละคร้ัง มีจานวนของ x อยู่ r ตัว และมี อยู่ n –1 ตวั

คณิตศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 45 – ดร.บรรทม สุระพรผลบวกของ x และ ในการเลือกแตล่ ะครั้งเทา่ กับ r + n –1 อนัดงั นนั้ ในการเลอื กสมาชกิ ของเซต A ครงั้ ละ r ตวั โดยเลอื กซ้ากันได้ จะเท่ากับการเรียงสับเปลี่ยนของกล่มุ x และ ซ่ึงมีจานวนวธิ ีเท่ากบั (r  n 1)! = r  n 1 วิธี (n 1)!r!    r ให้ r และ n เป็ นจานวนเตม็ บวก จานวนคาตอบของสมการ X1+ X2+ X3+…+ Xn = rเม่ือ Xi เป็ นจานวนเตม็ ที่ไม่เป็ นลบ สาหรับ i = 1, 2, 3,…, n มีคาตอบที่เป็ นไปไดท้ ้งั หมดจานวน C(r + n – 1, n– 1) = C(r + n – 1, r) คาตอบตวั อย่างที่ 1.4.12 มีลูกบอลสีแดง สดี า และสีเขียว แตล่ ะสีมอี ยา่ งน้อยสีละ 8 ลกู จงหา1. จานวนวิธีหยบิ ลูกบอล 8 ลกูวธิ ีทา ให้ X1 เปน็ จานวนลกู บอลสีแดง X2 เป็นจานวนลูกบอลสดี า X3 เปน็ จานวนลูกบอลสเี ขียวหยิบลกู บอลมา 8 ลูก ดังนั้น และX1+ X2+ X 3 = 8 X1, X2, X3  0ได้ r = 8 และ n =3 จึงไดจ้ านวนวิธหี ยบิ ลกู บอล คอื 8  3 1    8 10  = 10x9  45 วธิ ี  2 8 2. จานวนวธิ หี ยิบลูกบอล 8 ลูก แตล่ ะครงั้ มีบอลอยา่ งนอ้ ยสลี ะ 1 ลกูวธิ ีทา ให้ X1 เปน็ จานวนลกู บอลสแี ดง X2 เป็นจานวนลกู บอลสีดา X3 เปน็ จานวนลูกบอลสีเขียว หยิบลูกบอลมา 8 ลกู โดยแต่ละครั้งมบี อลอยา่ งน้อยสลี ะ 1 ลูก ดงั นั้นจงึ เขยี นสมการไดเ้ ป็น และX1 + X2 + X3 = 8 X1, X2, X3  1 จึงแปลงตัวแปรเปน็ (X+1)+(Y+1)+(Z+1) = 8 = X+Y+Z+3 = 8 หรอื X + Y + Z = 8 – 3 = 5 จึงได้ r = 5 และ n =3 ดังนน้ั จานวนวธิ ี หยิบลูกบอล คอื 5  3 1 = 7 = 7x6  21 วธิ ี     2  5   5 ตวั อยา่ งท่ี 1.4.13 ในกล่องมลี ูกบอล 4 สี ในจานวนน้มี ีสีดารวมอย่ดู ้วย แต่ละสีมจี านวนไม่ นอ้ ยกว่า 8 ลกู ตอ้ งการหยิบลูกบอลมา 8 ลกู จะมีวิธหี ยบิ ไดก้ ี่วธิ ี ถ้า1.) ไม่มเี ง่ือนไขวธิ ที า ให้ X1 แทนจานวนลูกบอลสีดา X2, X3, X4 แทนจานวนลกู บอลสีอืน่ ๆ ยกเวน้ สีดา ไดส้ มการเป็น X1 + X2 + X3 + X4 = 8 จึงได้ r = 8 และ n = 4 เราได้ = วิธี8  4 111 จานวนวธิ หี ยิบลูกบอล คือ     = 11x10x9 =11x15 =165  8   8  3x2

คณิตศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 46 – ดร.บรรทม สุระพร2.) ไดบ้ อลสีดา 3 ลูกวธิ ีทา จากสมการ X1 + X2 + X3 + X4 = 8 โดยที่ X1 = 3ได้ 3 + X2 + X3 + X4 = 8 จงึ ได้ X2 + X3 + X4 = 8 – 3 = 5เราไดว้ า่ r = 5 และ n = 3 จานวนวธิ ีหยิบลกู บอล คือ 5  3 1    5 =75  = 7x6 = 21 วิธี  23.) ไดบ้ อลสดี า 5 ลกูวธิ ีทา จากสมการ X1 + X2 + X3 + X4 = 8 โดยท่ี X1 = 5ได้ 5 + X2 + X3 + X4 = 8 จึงได้ X2 + X3 + X4 = 8 – 5 = 3เราไดว้ ่า r = 3 และ n = 3 จานวนวิธหี ยบิ ลกู บอล คือ 3  3 1    3 =5 = 5x4 = 10 วธิ ี 3 24.) ได้บอลสดี ามากกว่า 2 ลกู และบอลสแี ดงมากกว่า 1 ลกูวิธที า ไดส้ มการ (X1+3) + (X2+2) + X3 + X4 = 8จงึ ได้ X1 + X2 + X3 + X4 = 8 – 5 = 3เราไดว้ ่า r = 3 และ n = 4 จานวนวธิ ีหยบิ ลกู บอล คือ 3  4 1    3 =63  = 6x5x4 = 20 วิธี  3x2ตวั อย่างท่ี 1.4.14 มีผลไม้ 3 ประเภท คอื สม้ โอ มังคุด ทเุ รียน แตล่ ะประเภทมมี ากกว่า 5 ผลตอ้ งการแบง่ ผลไม้ท่มี ีอยูใ่ ห้ญาตจิ านวน 5 ผล จะแบ่งได้กวี่ ิธีวธิ ที า มผี ลไม้ 3 ประเภท เราให้ X1 แทนจานวนผลไมข้ องสม้ โอ X2 แทนจานวนผลไมข้ องมงั คุด X3 แทนจานวนผลไมข้ องทเุ รียนจึงได้ X1 + X2 + X3 = 5 ดงั น้ัน r = 5 และ n =3 จงึ ไดจ้ านวนวิธีแบง่ผลไม้ได้ =5  3 1 7 = 7x6 = 21 วธิ ี    5  2  5  ตัวอย่างที่ 1.4.15 จงหาจานวนคาตอบของสมการ X + Y + Z = 25 เม่ือ X, Y, Z เป็นจานวนเตม็ ทไ่ี มเ่ ป็นลบวธิ ีทา เราพิจารณาปญั หานี้ เปน็ การเลอื กสง่ิ ของ 25 ช้ิน จากสงิ่ ของ 3 ประเภทโดยประเภทที่ 1 เลือกได้ X สิ่ง ประเภทที่ 2 เลอื กได้ Y สิง่ และประเภทที่ 3 เลอื กได้ Z สิ่ง เมอื่ X, Y, Z เปน็ จานวนเต็มทไ่ี ม่เปน็ ลบจานวนคาตอบของสมการนีเ้ ทา่ กับ  25  3 1 =  27 = 27x26 = 351วธิ ี     2  25   25 

คณิตศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 47 – ดร.บรรทม สุระพรตวั อยา่ งที่ 1.4.16 กาหนดสมการ X1 + X2 + X3 + X4 = 25 จงหา 1.) จานวนคาตอบท่ที กุ ค่าของตวั แปรเป็นจานวนเต็มทไ่ี ม่เป็นลบ (Xi  0)2.) จานวนคาตอบทท่ี กุ ค่าของตัวแปรเปน็ จานวนเตม็ บวก 3.) มกี ่คี าตอบถา้ X1 > 0, X2 > 2, X3 > 1 และ X4  0วธิ ีทา 1.) ให้ X = {X1, X2, X3, X4} ดังนน้ั จานวนสมาชิกของ X เท่ากับ 4 โดยท่ี แตล่ ะคาตอบท่ีทกุ คา่ ของตัวแปรเป็นจานวนเตม็ ท่ีไมเ่ ป็นลบ คือการ เลอื กสมาชกิ ใน X ครง้ั ละ 25 ตวั ซงึ่ มี C(25+4–1, 25) = 4,914 วิธี2.) จานวนคาตอบทีท่ กุ ค่าเปน็ จานวนเต็มบวก กลา่ วคอื ค่าตวั แปรมาก กว่า 0 (ไมเ่ ทา่ กบั 0) จงึ ได้ (Y1+1)+ (Y2+1)+ (Y3+1)+ (Y4+1) = 25 เราไดส้ มการใหม่เปน็ Y1+ Y2 + Y3 + Y4 = 25 – 4 = 21 เราไดว้ า่ r = 21 และ n = 4 จานวนคาตอบสมการ คือ  21 4 1  21    =  24 = 24x23x22 = 2,024 คาตอบ  21 3x23.) จานวนคาตอบท่ี และ 0X1 > 0, X2 > 2, X3 > 1 X4  ให้ และX1 = Y1+1, X2 = Y2+3, X3 = Y3+2 X4 = Y4 จากเงือ่ นไขของ Xi ไดว้ า่ Yi  0 จากสมการตวั แปร Xi ดังน้ี X1 + X2 + X3 + X4 = 25 จะได้สมการตวั แปร Yi คอื + + + หรือ +(Y1+1) (Y2+3) (Y3+2) Y4 = 25 Y1+Y2+Y3 Y4 = 25 – 6 = 19 เราได้ว่า r = 19 และ n = 4 จานวนคาตอบสมการ คือ 19 4  1  19    =  22 = 22! = 1,540 คาตอบ  19  3!x19! ตวั อย่างท่ี 1.4.17 จงหาจานวนวิธที จี่ ะนาหนงั สอื ทีเ่ หมือนกนั 10 เลม่ แจกนักเรียน 4 คนให้แจกทั้งหมดโดยทีแ่ ต่ละคนตอ้ งไดร้ ับไม่น้อยกว่า 1 เลม่วธิ ีทา นาหนังสือแจกให้กอ่ นคนละ 1 เล่ม เหลอื หนังสือ 6 เลม่ แจกให้คน 4 คนกระทาได้ C(6+4–1, 6) =  6  4 1 = 9 = 84 วธิ ี      6   6 หรือ เราอาจคิดให้ X1, X2, X3 และ X4 เป็นจานวนหนงั สอื ทน่ี กั เรยี นคนท่ี 1, 2, 3 และ 4 ได้รับ เราจึงได้สมการเป็น X1 + X2 + X3 + X4 = 10และ X1, X2, X3 และ X4 มคี ่ามากกวา่ หรอื เท่ากับ 1 เราจึงเปลยี่ นตัวแปรเป็น X1 = Y1+1, X2 = Y2+1, X3 = Y3+1 และ X4 = Y4+1 เราไดส้ มการใหม่เปน็ หรอื(Y1+1)+(Y2+1)+(Y3+1)+(Y4+1) =10 Y1+Y2+Y3+Y4 = 6เราไดว้ ่า r = 6 และ n = 4 จึงได้จานวนวธิ ีแจกหนังสือ ได้  6  4 1    6 =9  = 9! = 9x8x7 = 84 วิธี  6  6!x3! 3x2

คณิตศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 48 – ดร.บรรทม สุระพรให้ r และ n เป็ นจานวนเตม็ บวก จานวนคาตอบของอสมการ X1+X2+X3+…+Xn  rเม่ือ Xi เป็ นจานวนเตม็ ที่ไมเ่ ป็ นลบ สาหรับ i = 1, 2, 3,…, n มีคาตอบที่เป็ นไปไดท้ ้งั หมดจานวน C(r + n , n) = C(r + n, r) คาตอบตวั อยา่ งที่ 1.4.18 จงหาจานวนคาตอบท่ีเป็นจานวนเตม็ ท่ีไม่เป็นลบของอสมการ X + Y + Z  25วิธที า เราใช้จากทฤษฎี เรามี r = 25 และ n = 3 จงึ ไดจ้ านวนคาตอบเทา่ กับ  25  3 คาตอบ25  3 25  =  3  = 28x27x26 = 3,276    3x2หรอื จากอสมการเราสามารถที่จะแปลงเป็นสมการได้โดยใช้อีกตวั แปรเพ่ิม สมการใหมเ่ ป็น X+Y+Z+W = 25 จะได้ r = 25 และ n = 4 จงึได้จานวนคาตอบเท่ากับ  25 4 1 =  28 = 28x27x26 =3,276 คาตอบ  25   25 3x2   ตัวอยา่ งท่ี 1.4.19 จงหาจานวนวธิ ีท่ีจะนาหนงั สือท่ีเหมอื นกัน 10 เล่ม แจกนกั เรยี น 4 คนโดยทแี่ ตล่ ะคนตอ้ งได้รับไมน่ อ้ ยกว่า 1 เลม่ หนังสอื แจกไมห่ มดก็ได้วธิ ีทา ถ้าแจกไมห่ มดกไ็ ด้ เราเพม่ิ ผรู้ บั หนงั สืออกี หนงึ่ คน คอื เป็นส่วนทีไ่ ม่แจก ดงั นั้น เม่อื แจกหนงั สอื คนละเล่ม 4 คนแล้วเหลอื หนงั สอื อกี 6 เลม่ นามา แจกคน 5 คน กระทาได้  6  5 1 = 10  = 10! = 210 วิธี     6!x4!  6   6 หรอื อาจจะเปรยี บเทยี บเป็นอสมการ X1 + X2 + X3 + X4  10และ Xi > 0 จะได้ (Y1+1)+ (Y2+1)+ (Y3+1)+ (Y4+1)  10 หรือY1+ Y2+Y3+Y4  10 – 4 = 6 เราแปลงจากอสมการให้เป็นสมการ ได้Y1+ Y2+Y3+Y4+W = 6 จะได้ r = 6 และ n = 5 จึงไดจ้ านวนคาตอบ เทา่ กบั 6  5 1 = 10  = 10x9x8x7 = 210 วิธี     4x3x2  6   6 ตัวอย่างท่ี 1.4.20 มีลูกบอลสีแดง 3 ลูก สขี าว 4 ลูก และสีดาจานวนมาก ถ้านามา 8 ลูก จะเป็นลกู บอลสตี ่างๆ กันก่ีวธิ ี (ลูกบอลแต่ละสเี หมือนกนั ) วิธีทา จานวนลกู บอลสแี ดง สขี าว และสดี า ทเี่ ป็นไปได้ มี 20 แบบ เปน็ ดงั นี้ 008 107 206 305 017 116 215 314 026 125 224 323 035 134 233 332 044 143 242 341 คิดอีกวธิ หี น่ึง สมมติว่ามีลูกบอลแตล่ ะสจี านวนไม่ตา่ กว่า 8 ลกู ให้ A เป็น เซตของวธิ ที ่มี ลี กู บอลสแี ดงเกิน 3 ลกู B เป็นเซตของวธิ ีทีม่ ลี ูกบอลสขี าว เกนิ 4 ลกู เราต้องการหาจานวนในเซต AcBc โดยที่ n(AcBc) = n(AB)c = N – n(AB)

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 49 – ดร.บรรทม สุระพร เมอื่ N เป็นจานวนวธิ ีการจดั ลูกบอล (เม่อื แตล่ ะสมี จี านวนลกู บอลมาก กวา่ 8 ลกู ) หาค่า N ได้ N = C(8+3–1, 8) = 10  = 10x9 = 45   2  8  n(A) = C(4+3–1, 4) = 6 = 6x5 = 15   2  4  n(B) = C(3+3–1, 3) = 5 = 5x4 = 10  3 2  n(AB) = 0 (จานวนวธิ ที ่ไี ดส้ ีแดงมากกวา่ 3 ลกู และสีขาวมากกว่า 4 ลกู จากท้งั หมด 8 ลูก ซง่ึ เปน็ ไปไม่ได้) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 15 + 10 – 0 = 25 ดงั นนั้ จานวนวธิ ีที่ได้สแี ดงไม่เกนิ 3 ลกู และสีขาวไม่เกิน 4 ลูก เท่ากับ 45 – 25 = 20 วธิ ีตวั อยา่ งท่ี 1.4.21 จงหาจานวนวธิ แี จกกล้วย 3 ลกู ส้ม 5 ผล ให้ลิง 4 ตัว ได้กว่ี ิธี (แจกหมด แต่ลิงบางตวั อาจจะไม่ไดร้ บั ก็ได้) วธิ ีทา มีวิธีแจกกล้วย 3 ลูก ให้ลงิ 4 ตัว ได้ 3  4 1 = 6 = 6x5x4 = 20 วธิ ี     3x2  3   3  วิธี5  4 1 8 มวี ิธแี จกส้ม 5 ลูก ใหล้ งิ 4 ตัว ได้   =   = 8x7x6 = 56  5   5  3x2 ดงั น้ัน เรามีวธิ ีแจกกล้วยและสม้ ได้ 20x56 = 1,120 วิธี หรือเราอาจจะใช้สมการช่วย เชน่ มีวธิ ีแจกกล้วย 3 ลกู ใหล้ ิง 4 ตัว ได้ X1 + X2 + X3 + X4 = 3 จะได้ r = 3 และ n = 4 จึงไดจ้ านวนวธิ ีแจก กล้วย คือ 3 4 1 =  6 = 20 วิธี      3   3 1.4.3 การจัดหมู่หลายหมู่สมมตวิ ่ามีจดหมาย 9 ฉบับ จัดลงตู้ไปรษณยี ์ 3 ตู้ จานวน 2, 3 และ 4 ฉบับตามลาดบั โดยท่กี ารสลบั ที่ภายในต้ไู ปรษณียไ์ ม่ถือเป็นวิธใี หม่ เราคดิ จานวนวิธไี ด้เช่นเดยี วกับจัดซองจดหมาย เรยี งแถวท้งั หมด จะสลับทีก่ ันได้ 9! วธิ ี โดย 2 ฉบับลงตแู้ รกถัดมา 3 ฉบบั ลงตถู้ ดั มา และอกี 4 ฉบบั ลงตูส้ ดุ ท้าย ซึ่งการสลบั ท่ขี องซองจดหมายเหลา่ น้ีในระหวา่ งพวกเดยี วกันไมถ่ ือเปน็ วธิ ใี หม่ดังน้ัน การจดั จดหมาย 9 ฉบบั ลงต้ไู ปรษณีย์ 3 ตู้ ตลู้ ะ 2, 3 และ 4 ฉบบั จะจัดได้ 9!  1, 260 วธิ ี หรอื อาจคดิ อกี วิธหี นงึ่ ไดด้ งั น้ี2!3!4!จากซองจดหมาย 9 ฉบบั เลือกหยอดตู้ไปรษณีย์แรก 2 ฉบับ เลือกได้  9  = 36 วิธี  2   เหลอื จดหมาย 7 ฉบับ เลือกหยอดลงตู้ทสี่ อง 3 ฉบับ เลือกได้ 7 = 35 วิธี และ    3 ทเ่ี หลืออีก 4 ฉบับ หยอดลงตู้ทีส่ ามทัง้ หมด เลอื กได้ 4 = 1 วิธี ดังนนั้ จัดซองจดหมาย    4 9 ฉบับ ลงตไู้ ปรษณยี ์ 3 ตู้ๆ ละ 2, 3 และ 4 ฉบบั กระทาได้ 36x35x1 = 1,260 วิธี เจ้าคา่

คณิตศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 50 – ดร.บรรทม สุระพรในกรณีทวั่ ไป ถา้ มีส่ิงของ n สิ่ง จดั เป็ น k หม่ๆู ละ n1, n2,…,nk ส่ิง โดยท่ี n1+n2+…+nk= nจานวนวธิ ีของการจดั หมูด่ งั กล่าวเขียนสญั ลกั ษณ์เป็น n  n! วธิ ี    n1 n2...nk  n1!n2 !...nk !ตัวอยา่ งที่ 1.4.22 มีสมาชิกชมรมผู้ไมช่ อบความรนุ แรง 10 คน จะจดั ใหเ้ ป็นหัวหน้าชมรม คนหนงึ่ รองหัวหนา้ ชมรมคนหนง่ึ และเป็นเจ้าหนา้ ที่สวัสดิการ 2 คน จัด ไดก้ ีว่ ธิ ี วธิ ีทา หลกั การคิดเช่นเดียวกบั มีสมาชิก 10 คน จัดเปน็ 4 หมู่ หม่ลู ะ 1, 1, 2 และ 6 คนตามลาดับ จดั ได้  10  = 10! = 10x9x8x7 =2,520 วธิ ี 1 1 2  1!1!2!6! 2 6 มีสิ่งของ n ช้นิ จดั เปน็ k หมู่ หมทู่ หี่ นึ่งจานวน n1 ช้นิ หมทู่ ่ีสองจานวน n2 ชิ้น... หมู่ที่ kจานวน nk ชิน้ โดยที่ n1+ n2+...+ nk = n จากสงิ่ ของ n ช้นิ เลอื กมาลงหมู่ท่ีหน่งึ n1 ช้ิน กระทาได้ n วิธี    n1  จากสง่ิ ของที่เหลอื n–n1 ชิ้น เลอื กมาลงหมู่ทส่ี อง n2 ช้นิ กระทาได้  n  n1  วธิ ี    n2  จากส่งิ ของทเี่ หลือ n–n1–n2 ชิ้น เลือกลงหมทู่ สี่ าม n3 ชิ้น กระทาได้  n  n1  n2  วธิ ี  n3    เชน่ น้ไี ปเรอ่ื ยๆ จากสิ่งของที่เหลือ n–( n1+ n2+...+ nk-1) ชิน้ เลือกมาลงหมู่ที่ k จานวน nk ชิ้น กระทา ได้ n  (n1  n2  ...  nk 1 )  วธิ ี  nk    ดงั นัน้ การจดั สงิ่ ของ n ช้นิ จัดเปน็ k หมู่ ดังกลา่ ว กระทาได้… = n   n  n1   n  n1  n2   n  (n1  n2  ...  nk 1 )   n   n!  nk   n2 ...nk  n1!n2 !...nk n1   n2  n3     n1  !    ในการจัดของ n ช้ิน จดั เปน็ k หมูน่ นั้ ถา้ แต่ละหมู่มีจานวนไมเ่ ทา่ กัน ซงึ่ แต่ละหมู่กย็ อ่ มไมเ่ หมือนกนั แตถ่ ้ามบี างหม่มู จี านวนเทา่ กนั อาจจะมหี มู่ใดหมู่หนึ่งเหมอื นกนั จานวนวิธที ่ีแตกต่างกนั จะน้อยลง จานวนวธิ ีการจดั หม่ตู อ้ งหารด้วยจานวนการสลบั ท่ที ี่ซ้ากนั

คณิตศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 51 – ดร.บรรทม สุระพรตัวอยา่ งที่ 1.4.23 มตี ารวจหญิง 10 คน จัดเป็น 3 หมูๆ่ ละ 3 คน อีกคนหนึ่งใหเ้ ป็นหัวหน้าจะมวี ธิ ีจดั ไดก้ ว่ี ธิ ีวธิ ีทา ถ้าคดิ ว่าแตล่ ะหมู่นัน้ ตา่ งกัน เชน่ เรียกชื่อเป็นหมทู่ ีห่ น่ึง หมู่ทส่ี อง หรือหมู่ทสี่ าม จะมีวิธจี ัดกระทาได้  10  = 10! = 16,800 วิธี แต่ถา้ ไม่  33 1 3!3!3!1!  3เรยี กชือ่ เฉพาะลงไป การคดิ จานวนวธิ ีตามข้างบนจะมีกรณซี ้า เชน่ abcอยหู่ มทู่ ่ีหน่งึ def อยู่หมทู่ ี่สอง ย่อมจะเหมือนกบั abc อยูห่ มทู่ สี่ อง และdef อยู่หมทู่ ห่ี นึ่ง หมทู่ มี่ จี านวนเท่ากัน 3 หมู่ สลับทกี่ ันได้ 3! วิธี ซึ่งการสลับท่ขี องหมู่ถอื ว่าเปน็ วิธีซา้ ดงั นัน้ เรามีวธิ ีจัดหมูแ่ บบตา่ งๆ ไมซ่ ้ากันได้ 10  1 วธิ ี นัน่ คอื เรามีวธิ จี ดั หม่แู บบตา่ งๆ ได้เพยี ง 2,800 วิธี 1 3 3 3 3!ตวั อยา่ งท่ี 1.4.24 มีลูกบอลสีต่างๆ 7 ลกู จะจัดลงกลอ่ งต่างๆ กัน 3 ใบ มวี ธิ ีจัดไดก้ ีว่ ิธี ถ้าก. ไมม่ ีข้อจากดั เพ่มิ เติมข. ใส่ลูกบอลหรอื ไมใ่ ส่กไ็ ด้ (มลี ูกบอลอยู่นอกกล่องกไ็ ด้)ค. ลกู บอลอยใู่ นกล่องในแบบ 412 คอื ลงกลอ่ งใบแรก 4 ลกู ลงกลอ่ งใบ ทส่ี อง 1 ลกู และลงกลอ่ งใบท่สี าม 2 ลกูง. มีข้อกาหนดว่าใหก้ ลอ่ งแตล่ ะใบไมว่ า่ ง (แต่ละกล่องมีลกู บอลอย่าง นอ้ ย 1 ลูก)จ. มกี ลอ่ งวา่ งอยา่ งนอ้ ย 1 ใบวธิ ที า ก. ลูกบอลแตล่ ะลกู เลอื กลงกลอ่ งได้ 3 วิธี คอื ลงใบไหนก็ได้ ดงั นนั้ ลกู บอล 7 ลูก จะมวี ิธจี ดั ลงกล่องได้ 37 = 2,187 วิธี (กรณนี ้ีอาจมีกลอ่ ง วา่ งก็ได้)ข. ลกู บอลอยนู่ อกกลอ่ งได้ ดงั นนั้ ลูกบอลแตล่ ะลกู เลอื กลงกลอ่ งได้ 4 วธิ ี (คอื ลงกลอ่ งได้ 3 วิธี และอยนู่ อกกล่องอกี 1 วิธี) ดังนัน้ ลกู บอล 7 ลูก มวี ธิ จี ดั ลงกล่องได้ 47 = 16,384 วิธีค. ลกู บอลอยใู่ นกล่องแบบ 412 กระทาได้ 7 = 7! = 105 วธิ ี   4!1!2!  4 1 2 ง. มขี อ้ กาหนดว่ากลอ่ งแต่ละใบไมว่ า่ งเลย ดงั นนั้ จานวนลกู บอลในกลอ่ ง จะมแี บบ 115 หรือ 124 หรอื 133 หรือ 223 ในกรณีแบบ 115 หมายถงึ ลูกบอลกลอ่ งใบทห่ี นึ่ง 1 ลกู ใบทส่ี อง 1 ลูกและใบท่ีสาม 5 ลกู กรณนี ้อี าจสลบั ที่จานวนลกู บอลได้เปน็ 151 หรือ 511 ซึง่ สลับท่ี ได้ 3! = 3 วธิ ี ทานองเดยี วกัน 124 สลบั ท่ีได้ 3! = 6 วธิ ี แบบ 133 2! สลบั ทีไ่ ด้ 3 วธิ ี และ 223 สลับท่ีได้ 3 วธิ ี จะได้ว่า การจดั ลกู บอลลงกลอ่ งในแบบ 115 กระทาได้  7  x3 = 126 วิธี 1 1  5  การจดั ลูกบอลลงกลอ่ งในแบบ 124 กระทาได้  7 4  x 6 = 630 วธิ ี 1 2  

คณิตศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 52 – ดร.บรรทม สุระพรการจดั ลกู บอลลงกล่องในแบบ 133 กระทาได้  7  x3 = 420 วิธี 1 3  3 การจัดลกู บอลลงกลอ่ งในแบบ 223 กระทาได้  2 7 3  x3 = 630 วธิ ี  2   ดังนน้ั การจดั ลกู บอลลงกลอ่ งโดยไมใ่ ห้มีกล่องว่าง จะกระทาได้ ทัง้4 กรณี คอื 126+630+420+630 = 1,806 วิธีจ. จานวนวธิ ีของการจดั ลกู บอลลงกล่อง โดยให้กลอ่ งวา่ งอย่างน้อย 1กลอ่ ง อาจหาได้จากการเอาจานวนวธิ ีจดั ท้งั หมดลบออกด้วยจานวนวธิ จี ัดลงกล่อง เม่ือไมม่ ีกล่องว่าง น่ันคอื การจัดลูกบอลลงกล่องโดยให้มกี ลอ่ งวา่ งอยา่ งนอ้ ย 1 ใบ กระทาได้ 2,187 – 1,806 = 381 วิธีหรอื อาจแสดงวธิ นี บั จานวนวิธขี องการจดั เช่นเดยี วกบั ข้อ ข . คอืจานวนลกู บอลในกลอ่ งจะมแี บบเป็น 007 หรอื 016 หรอื 025 หรอื034 และกรณที ี่จานวนเหลา่ น้ีสลบั ทีก่ นัการจัดลกู บอลลงกลอ่ งในแบบ 007 กระทาได้  0 7 7  x3 = 3 วธิ ี  0   การจดั ลกู บอลลงกลอ่ งในแบบ 016 กระทาได้  0 7 6  x 6 = 42 วธิ ี  1   การจดั ลกู บอลลงกล่องในแบบ 025 กระทาได้  0 7 5  x 6 = 126 วิธี  2   การจดั ลกู บอลลงกล่องในแบบ 034 กระทาได้  0 7 4  x 6 = 210 วธิ ี  3   ดังน้ัน การจัดลูกบอลลงกล่องโดยให้มกี ล่องว่างอย่างนอ้ ย 1 กล่องจะกระทาได้ ทั้ง 4 กรณี คือ 3+42+126+210 = 381 วิธี ท้อเด๋ยวแบบฝกึ หดั ที่ 1.4 1. ดินสอ 8 ประเภท ประเภทละไมต่ ่ากว่า 4 แท่ง จงหาจานวนวิธีเลอื กดินสอ 4 แทง่ (165) 2. มขี องขวญั เหมือนกัน 6 ชิน้ จะให้ของขวัญทงั้ หมดนแี้ กค่ น 4 คน คนละกีช่ ิน้ ก็ได้ กระทาได้กว่ี ธิ ี (84) 3. มขี องขวญั เหมอื นกัน 6 ชิน้ จะใหข้ องขวัญนี้แก่คน 4 คน คนละกี่ชิ้นกไ็ ด้ (ไม่จาเป็นต้องใหห้ มด) กระทาไดก้ ่วี ิธี (210) 4. มีหนงั สือคณิตศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์ และภาษาองั กฤษอยา่ งละ 6 เล่ม จะมีวธิ ีแจกหนงั สือเหล่านี้ จานวน 6 เล่มให้นักเรียนคนหนึง่ ไดก้ ีว่ ิธี (28) 5. มีหนงั สอื คณิตศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์ และภาษาองั กฤษอย่างละ 6 เล่ม จะมีวธิ แี จกหนงั สอื เหลา่ นี้ จานวน 6 เล่มให้นกั เรียนคนหน่ึงได้กวี่ ธิ ี โดยให้มีห นงั สอื คณติ ศาสตรอ์ ยา่ งน้อย 1 เลม่ และ ภาษาองั กฤษอย่างนอ้ ย 2 เล่ม ใหเ้ ขยี นแจกแจงวธิ ตี า่ งๆ (10) 6. ลูกบอลดา ลกู บอลแดง และลกู บอลขาวจานวนมาก หยิบลูกบอลมา 10 ลกู ต้องการให้ได้ลูก บอลดา 5 ลกู จะมีวธิ ีหยิบได้ก่วี ิธี (6)

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 53 – ดร.บรรทม สุระพร7. หนงั สือบนชัน้ มี 11 เล่ม จงหาจานวนวธิ ใี นการเลือกหนังสอื มา 4 เล่ม โดยหนงั สอื ท่ีเลอื กไม่มสี องเล่มใดอย่ตู ดิ กนั (120)8. จงหาจานวนคาตอบที่เปน็ จานวนเต็มท่ีไมเ่ ป็นลบของสมการ x + y + z = 10 (66)9. จงหาจานวนคาตอบที่เป็นจานวนเต็มบวกของสมการ x + y + z = 10 (36)10. จงหาจานวนคาตอบที่เป็นจานวนเต็มทไ่ี ม่เป็นลบของอสมการ x + y + z  10 (286)11. จงหาจานวนคาตอบทีเ่ ป็นจานวนเตม็ บวกของอสมการ x + y + z  10 (120)12. จงหาจานวนวธิ ีแจกส้ม 6 ผล ให้ลงิ 3 ตัว ได้ก่ีวธิ ี ถา้ มลี งิ ตวั หน่ึงทช่ี ือ่ จ่นุ ได้ไม่เกนิ 3 ผล (22)13. มลี ูกอม 6 รส แตล่ ะรสมีจานวนมาก ตอ้ งการหยบิ ลกู อมมา 12 ลูก จะมีวิธีหยิบได้ก่วี ิธี ถ้า13.1 หยบิ รสใดก็ได้ (6,188)13.2 ไดล้ ูกอมครบทุกรส (462)14. มีปากกา 3 ดา้ ม ดินสอจานวนมาก และไม้บรรทัดจานวนมาก จะแจกส่ิงของเหลา่ น้ี 6 ช้ิน ให้เด็กคนหนึง่ ได้กว่ี ิธี (22)15. ในกล่องมีลูกบอลสีแดง 6 ลูก ลูกบอลสขี าว 8 ลูก ลกู บอลสีเขียว 4 ลูก ลกู บอลสีฟา้ เหมอื นกัน 7ลกู และบอลสเี หลือง 6 ลูก ต้องการสุ่มหยิบลูกบอลมา 5 ลกู จะมีวธิ หี ยิบไดก้ วี่ ิธี ถ้า15.1 ได้บอลสีใดก็ได้ (169,911) 15.4 ไดบ้ อลสเี หลอื งและสเี ขยี ว ( )15.2 ได้บอลครบทุกสี ( ) 15.5 ไม่ได้บอลสขี าว ( )15.3 ได้บอลสีแดงหรอื บอลสีฟ้า ( )16. จงหาจานวนคาตอบทเ่ี ป็นจานวนเตม็ ของสมการ x+y+z =10 เม่อื 0  x  5, y  1 และ z  0 (45)17. จงหาจานวนคาตอบทีเ่ ป็นจานวนเตม็ ของอสมการ x + y + z  10 เม่อื x  2, y  1 และ z  0(12)18. จงหาจานวนคาตอบทไี่ มเ่ ป็นลบของสมการ 3x+y+z+w = 14 (680)19. จากสมการ X1+ X2+ X3+ X4 = 30 จงหา19.1 จานวนคาตอบของสมการที่ไม่เปน็ ลบ (5,456)19.2 จานวนคาตอบของสมการท่ีมากกว่าศูนย์ (3,654)19.3 จานวนคาตอบของสมการที่ X1>0, X2>2, X3>4, X4  0 (2,024)20. มนี าฬิกา 8 เรอื น จะมวี ิธีแจกนาฬกิ าเหล่านท้ี ้งั หมด ใหส้ มชาย สมหญงิ และสมทรง ได้กว่ี ธิ ี ถ้าสมชายได้ไมเ่ กิน 3 เรือน และสมหญิงได้ไมเ่ กิน 2 เรือน (189)21. ที่รา้ นขายเทป มเี ทปเพลงไทยลกู ท่งุ 3 ตลับ เพลงไทยสากล 4 ตลบั และเพลงสากล 6 ตลับ แต่ละชนดิ เหมือนกนั จะมีวิธซี อื้ เทปเหล่านี้ได้ก่วี ิธี21.1 ซือ้ 10 ตลบั (10) 21.3 ซอื้ อย่างนอ้ ย 1 ตลับและไมเ่ กิน 10 ตลบั (129)21.2 ซื้อไมเ่ กิน 10 ตลับ (130) 21.4 ซ้ืออย่างน้อย 1 ตลับ (139)22. จงหาจานวนวิธีแจกปากกา 2 ดา้ ม และดนิ สอ 5 แท่ง ใหค้ น 3 คน ได้กีว่ ธิ ี(แจกท้งั หมด) (126)23. จงหาจานวนวธิ ีทร่ี า้ นมอี าหาร 3 อยา่ ง คอื ขา้ วแกง ก๋วยเตี๋ยว และขา้ วผดั คน 4 คนจะมวี ิธีสั่งอาหารคนละ 2 จาน(ชาม) ได้กีว่ ธิ ี (1,296)24. มขี องเล่น 3 ชนดิ คือรถยนต์ เรอื ยนต์ และตุ๊กตา จะมีวิธแี จกของเหลา่ นใี้ ห้เด็ก 2 คน ได้กว่ี ิธี24.1 ได้รับคนละ 4 ชิ้น (225)24.2 ได้รับรวมกัน 8 ชิ้น (1,287) เทา่ กับแจกของ 8 ชนิ้ ไปยังของเลน่ 6 แบบ (2 ชดุ ๆละ 3 แบบ)

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั หนา้ – 54 – ดร.บรรทม สุระพร25. มขี องเล่น 3 ชนิด คอื รถยนต์ 4 คัน เรอื ยนต์ 2 ลา และตุ๊ กตา 3 ตัว จะมีวธิ แี จกของเหล่านี้ ท้งั หมดให้เด็ก 4 คน ได้กี่วิธี (7,000)26. จงหาจานวนวธิ จี ัดเรยี งอกั ษรในคา VISITING โดยท่ีอกั ษร I ไมต่ ิดกัน (2,400)27. จงหาจานวนวิธีจัดเรยี งอกั ษรในคา PROBABILITY โดยที่อกั ษร B ไมต่ ิดกนั (8,164,800)28. เลข 4 ตาแหน่ง มกี ่ีตัวทเ่ี รียงกนั โดยตวั หลังมคี า่ ไม่นอ้ ยกว่าตวั ข้างหน้า (715)29. มหี นงั สอื ตา่ งๆ กัน 8 เลม่ จะแจกให้นกั เรยี น 2 คน คนหนง่ึ 5 เล่มอีกคนหนึง่ 3 เลม่ ไดก้ วี่ ิธี (112)30. เลือกกรรมการ 4 คน จากสมาชิกท่เี ปน็ ชาย 4 คน หญิง 7 คน ได้กี่วิธี ถ้า 30.1 กรรมการจะเปน็ ชายหรือหญงิ ก็ได้ (330) 30.2 กรรมการเปน็ ชาย 2 คน หญงิ 2 คน (126) 30.3 กรรมการเปน็ ชาย 1 คน หญิง 3 คน และมีหญิงคนหน่ึงตอ้ งรว่ มในคณะกรรมการด้วย (60)31. ในสัปดาหห์ นึง่ ใหท้ างาน 4 วนั ไปเทย่ี ว 1 วนั และพกั ผอ่ น 2 วัน จะมีวธิ ีจดั วนั สาหรบั กจิ กรรม เหลา่ นีไ้ ด้กวี่ ธิ ี (105)32. รถคันหนึง่ มี 3 ตอน แตล่ ะตอนมีคนน่ังได้ 3, 4 และ 5 คน ตามลาดบั 32.1 คน 12 คน จะมีวธิ นี ่งั รถคนั น้ไี ดก้ ่ีวิธี (27,720) 32.2 คน 14 คน จะนงั่ รถคันนี้ได้กวี่ ิธี ท่เี หลือไม่ให้น่ัง (2,522,520) 32.3 คน 11 คน จะมีวธิ ีนัง่ รถคนั น้ีไดก้ ีว่ ิธี (27,720)33. สานักงานแหง่ หน่ึง ตอ้ งการคนทางาน 10 คน คอื เสมยี น 5 คน พนักงานเกบ็ เงนิ 2 คน พนกั งาน ขาย 3 คน ถา้ มคี นมาสมัครงาน 12 คน แตล่ ะคนทางานในตาแหนง่ ใดก็ได้ จะมีวิธีจดั คนเหล่าน้ี ให้ทางานไดก้ ี่วิธี (166,320)34. ทหาร 10 คน จัดเป็น 4 หมู่ โดยหม่ลู ะ 2 คนจานวนสามหมู่ หมู่ละ 4 คนจานวนหนึ่งหมู่ จะจัดได้ ก่วี ิธี (3,150)35. หอพกั แห่งหนง่ึ มี 4 หอ้ ง จะมวี ธิ ีจดั คน 10 คน พักห้องตา่ งๆ ได้กี่วิธี ถา้ 35.1 หอ้ งพักหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 จานวน 2, 3, 3, 2 คน ตามลาดับ (25,200) 35.2 จัดใหพ้ ักหอ้ งหน่งึ ไมเ่ กิน 3 คน (218,400) 35.3 พักห้องหนงึ่ ไมเ่ กิน 3 คน และมีอยู่ 2 คน ทตี่ อ้ งการพกั คูก่ ันเพียง 2 คน (6,720) 35.4 พกั ห้องหนึ่งอยา่ งนอ้ ย 2 คน (226,800)36. มีเหรยี ญย่ีสบิ หา้ สตางค์ ห้าสบิ สตางค์ หนึง่ บาท หา้ บาท และสบิ บาทอย่างละ 1 อนั จะจดั เปน็ เงนิ จานวนต่างๆ โดยใชเ้ หรยี ญเหล่านี้อยา่ งน้อย 1 อัน ได้ก่จี านวน (31)37. มีหลอดไฟ 10 หลอด เปน็ หลอดเสยี 3 หลอด ถา้ หยิบมา 4 หลอด จะเปน็ ไปไดก้ ีว่ ิธีทจ่ี ะได้หลอด เสียไม่เกนิ 2 หลอด (203)38. มีสม้ 7 ผล ให้ลงิ 3 ตัว ใหต้ วั ละ 2 ผล 2 ตวั และอกี ตัวได้ 3 ผล กระทาไดก้ ่ีวธิ ี ถ้า 38.1 ส้มแต่ละผลน้นั ไมเ่ หมอื นกัน (630) 38.2 ส้มทุกผลเหมอื นกนั (3)39. มผี ลไม้ตา่ งๆ กัน 7 ผล ให้ลิง 3 ตัว ๆ ละ 2 ผล กระทาไดก้ ีว่ ธิ ี (630)40. มีผลไม้ต่างๆ กัน 7 ผล ใหผ้ ลไม้ท้ังหมดน้ีแกล่ ิง 3 ตวั อย่างน้อยใหไ้ ด้ตัวละ 1 ผล กระทาไดก้ ว่ี ธิ ี (1,806)