หัวข้อ 1_2

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 13 – ดร.บรรทม สุระพร1.2 หลกั การนับเบอื้ งต้น (Counting principle) หลักการนบั เป็นวธิ ชี ่วยในการคานวณเกยี่ วกบั จานวนวิธที ีเ่ ปน็ ไปไดท้ งั้ หมดทจ่ี ะเกดิ ข้นึ จงึ สามารถ ทาได้ง่ายหากเรามีหลักการนับ ซง่ึ มักจะใช้ตอบคาถาม “มีกว่ี ธิ ีที่......” หรอื “จงหาจานวนวิธีที่......” ตัวอย่างเชน่ มักใชว้ ธิ ีในการจัดเรียงตัวอกั ษร A,B,C,D หรอื มีนักเรยี น 10 คน จดั กลมุ่ ๆ ละ 4 คน จัดไดก้ ่กี ลุม่ หลักการนับเบอ้ื งตน้ แบง่ ออกเปน็ 2 หลกั การ คอื หลกั การบวก และหลกั การคูณ 1.2.1) หลักการบวก (หรอื ) การทางานมวี ธิ กี ารทางาน k วธิ ี โดยแต่ละวธิ ีการทางานไม่สามารถทางานพร้อมกนั สมมุตวิ า่ วธิ กี ารทางานที่ i มวี ิธีการทางาน ni วธิ ี โดยที่ i = 1,2,3,…,k ดังนัน้ จานวนวิธี การทางานเทา่ กบั n1  n2 ... nk วิธี ตัวอย่าง 1.2.1 จงหาวธิ เี ลือกประธาน 1 คน จากนักเรยี นชาย 15 คนและนักเรยี นหญงิ 20 คน วิธีทา จานวนวธิ กี ารเลือกประธาน จะเลอื กได้ 2 วธิ ี ดงั นี้ วิธเี ลือกประธานจากนักเรียนชาย เลอื กได้ 15 วธิ ี หรือ วิธเี ลอื กประธานจากนักเรยี นหญิง เลอื กได้ 20 วธิ ี ท้งั สองวธิ ีไมส่ ามารถทาพรอ้ มกันได้ โดยหลกั การบวก จานวนวิธีการเลอื ก ประธาน 1 คน จากนกั เรียนชายหรอื จากนักเรียนหญิง มี 15+20 = 35 วธิ ี ตัวอย่าง 1.2.2 นกั เรยี นกลมุ่ หนึง่ มีชาย 4 คน และหญิง 3 คน จงหาวธิ เี ลือกตวั แทน 2 คน และเปน็ เพศเดียวกัน วิธที า การเลอื ก 2 คน เป็นเพศเดียวกนั มวี ธิ เี ลือก 2 วิธี คอื เลอื กเพศชาย 2 คน หรือเลือกเพศหญิง 2 คน ในการเลอื กตวั แทนเพศชาย 2 คน จากชาย 4 คน แทนด้วย m1, m2, m3, m4 มจี านวนเลือก 6 วธิ ี ดงั น้ี {m1, m2 , m3, m4} {m1, m2} {m1, m3} {m1, m4} {m2, m3} {m2, m4} {m3, m4} ในการเลือกตวั แทนเพศหญงิ 2 คน จากหญิง 3 คน แทนดว้ ย w1, w2, w3 มี จานวน เลอื ก 3 วิธี ดงั น้ี {w1, w2 , w3} {w1, w2} {w1, w3} {w2 , w3} ทั้งสองวิธีเลือกไมส่ ามารถทาพรอ้ มกนั ได้ โดยหลกั การบวก มีวิธกี ารเลอื ก 6 + 3 = 9 วิธี

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 14 – ดร.บรรทม สุระพรการหาจานวนสมาชกิ ของเซตจากดั โดยการบวก ถ้า {A1, A2,..., Ak} เป็นเซตจากัดและเป็นเซตไมม่ ีส่วนร่วมทกุ คู่ (Pairwise disjoint set) โดยที่ Ai  Aj   เม่ือ i  j โดยท่ี i , j = 1,2,3,…,k แลว้ จานวนวธิ เี ลือก สมาชิกจากเซต A1  A2 ... Ak มี วธิ ีn(A1)  n(A2) ... n(Ak ) นนั่ คือ n(A1  A2 ... Ak )  n(A1)  n(A2 ) ...  n(Ak )ตัวอยา่ งท่ี 1.2.3 จงหาจานวนวิธใี นการเลอื กหนังสือ 1 เลม่ จากหนังสือคณติ ศาสตรท์ ี่แตก ตา่ งกนั 5 เล่มหนงั สอื ฟิสกิ สท์ ่แี ตกตา่ งกนั 3 เล่ม และหนงั สือเคมี ท่ีวธิ ีทา แตกต่างกัน 2 เลม่ ให้ แทนเซตของหนงั สือคณติ ศาสตร์ =n( A1 ) A1 แทนเซตของหนังสือฟิสกิ ส์ =n(A2 ) 5 A2 แทนเซตของหนังสอื เคมี =n( A3 ) 3 A3 2 ดังนน้ั {A1, A2, A3} เปน็ เซตไม่มสี ว่ นร่วมทกุ คู่จานวนวิธีการเลือกหนังสอื เทา่ กบั จานวนวิธกี ารเลอื ก 1 สมาชิกจาก A1  A2  A3ซง่ึ เทา่ กับ =n(A1  A2  A3) n(A1) + n(A2 ) + n(A3) = 5 + 3 + 2 = 10 วิธีตวั อย่างที่ 1.2.4 จงหาจานวนค่ลู าดับ (x,y) โดยท่ี x และ y เป็นจานวนเต็มทไ่ี มเ่ ป็นลบและ สอดคล้องกบั อสมการ x + y < 6วธิ ีทา เนอื่ งจาก x และ y เปน็ จานวนเต็มที่ไมเ่ ป็นลบและสอดคลอ้ งกบั อสมการ x+y<6 ดังน้ัน x + y มีคา่ เท่ากบั 0 หรือ 1 หรือ 2 หรอื 3 หรือ 4 หรือ 5 สาหรบั i = 0,1,2,3,4,5 ให้ Ai = { (x,y) / x และ y เปน็ จานวนเตม็ ท่ีไม่เปน็ ลบ และ x + y = i } ดังนนั้ A0 = {(0,0)} n(A0 ) = 1 n(A1) = 2 A1 = {(0,1), (1,0)} n(A2 ) = 3 A2 = {(0,2), (1,1), (2,0)} n(A3 ) = 4 A3 = {(0,3), (1,2), (2,1), (3,0)} n(A4 ) = 5 n(A5 ) = 6 A4 = {(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)} A5 = {(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)} สงั เกตเหน็ ว่า {A0, A1, A2, A3, A4, A5} เป็นเซตไม่มีส่วนร่วมทุกคู่ และA0  A1  A2  A3  A4  A5 เปน็ เซตของคู่อันดบั (x,y) โดยท่ี x และ y เป็นจานวนเต็มทีไ่ มเ่ ปน็ ลบและสอดคล้องกบั อสมการ x + y < 6 ดังนน้ั จานวนคู่อันดับที่ต้องการ n(A0  A1  A2  A3  A4  A5)  n(A0)  n(A1) ...  n(A5) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6(7) = 21 จานวน 2

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 15 – ดร.บรรทม สุระพรตวั อยา่ งที่ 1.2.5 จากรปู 3 แถว 3 สดมส์ จงหาจานวนสี่เหลีย่ มจัตรุ ัสทง้ั หมด วธิ ีทา ใแหถ้ วAแiiลแะททานงจสาดนมวสน์ ส่เี หลย่ี มจตั รุ สั ทีใ่ ช้จานวนชอ่ งทาง3 A11 คอื จานวน □ จัตุรัสท่ใี ช้ 1 แถวและใช้ 1 สดมส์ จงึ ได้ 3x3=9 A22 คือจานวน □ จัตุรสั ท่ใี ช้ 2 แถวและใช้ 2 สดมส์ จงึ ได้ 2x2=4 A33 คือจานวน □ จตั รุ ัสทใี่ ช้ 3 แถวและใช้ 3 สดมส์ จึงได้ 1x1=1 สังเกตเห็นว่า {A11, A22, A33} เปน็ เซตไม่มสี ่วนรว่ มกนั ดังนั้น จานวนสเ่ี หลยี่ มจัตรุ สั ที่ต้อง การ คือ = =n(A11  A22  A33) n(A11)  n(A22 )  n(A33) 9 + 4 + 1 = 14ตัวอย่างที่ 1.2.6 จากรปู จงหาจานวนส่เี หลี่ยมทั้งหมด วิธที า ให้ แทนจานวนส่ีเหล่ยี มท่ใี ช้จานวน i ชอ่ งทางแถวและ ช่องทางสดมส์ Aij คอื จานวนส่ีเหลยี่ มท่ีใช้ 1 แถวและใช้ 1 สดมส์ j จึงได้ 2x3 = 6 A11 คอื จานวนสเี่ หลยี่ มที่ใช้ 1 แถวและใช้ 2 สดมส์ จงึ ได้ 2x2 = 4 A12 คอื จานวนสเี่ หล่ยี มที่ใช้ 1 แถวและใช้ 3 สดมส์ จงึ ได้ 2x1 = 2 A13 คอื จานวนสเ่ี หลยี่ มทใ่ี ช้ 2 แถวและใช้ 1 สดมส์ จงึ ได้ 1x3 = 3 A21 คือจานวนสเ่ี หลีย่ มทใ่ี ช้ 2 แถวและใช้ 2 สดมส์ จึงได้ 1x2 = 2 A22 คือจานวนส่ีเหลยี่ มทใ่ี ช้ 2 แถวและใช้ 3 สดมส์ จงึ ได้ 1x1 = 1 A23 สังเกตเหน็ วา่ {A11, A12, A13, A21, A22, A23} เป็นเซตไม่มีสว่ นรว่ มกัน ดงั นนั้ จานวนส่ีเหลย่ี มที่ตอ้ งการคือ 6 + 4 + 2 + 3 + 2 + 1 = 18 รูปแบบฝกึ หดั ท่ี 1.2.1 ก. จงหาจานวนสเี่ หล่ยี มจตั รุ สั ทง้ั หมด (44) ข. จงหาจานวนสีเ่ หล่ยี มทั้งหมด (216)1. จากรูป2. จงหาค่ลู าดบั (x,y) โดยที่ x และ y เปน็ จานวนเตม็ และสอดคลอ้ งกับอสมการ x2+y2 ≤ 4 ( 13 )3. จงหาคลู่ าดับ (x,y) โดยที่ x และ y เป็นจานวนเต็มท่ีไม่เป็นลบและสอดคล้องกบั อสมการ x+y ≤ 5 ( 21 )4. หยิบไพจ่ ากสารับทม่ี ี 52 ใบ มา 1 ใบ จงหาจานวนวธิ ีที่จะไดไ้ พ่แต้ม 2, 7, 8 และ A ( 16 )5. จานวนวิธใี นการเลือกหนังสอื มา 1 เลม่ จากหนังสือคณิตศาสตร์ทต่ี ่างกนั 3 เล่ม หนงั สือคอมพิวเตอร์ที่ ตา่ งกัน 2 เล่ม และหนังสอื ฟสิ ิกสท์ ี่ต่างกนั 2 เล่ม ( 7 )6. จงหาจานวนวิธีในการเลือกหนังสือมา 2 เลม่ ต้องเป็นหนงั สือประเภทเดยี วกัน จากหนงั สอื คณติ ศาสตร์ 3 เลม่ หนงั สอื ฟสิ กิ ส์ 4 เลม่ และหนงั สือเคมี 5 เลม่ ( 19 )7. คณะวทิ ยาศาสตร์ มี 6 ภาควชิ า ภาควชิ าคณติ ศาสตร์มีวชิ าใหเ้ ลือกเรยี น 4 วชิ า ภาควชิ าฟิสกิ ส์มวี ิชาให้ เลอื กเรยี น 3 วชิ า ภาควชิ าเคมแี ละชีววทิ ยา มวี ชิ าให้เลอื กเรยี นภาควชิ าละ 2 วชิ า นอกนนั้ ไมเ่ ปิดวชิ าให้ เลือก ถ้านกั ศกึ ษาตอ้ งเลือกเรยี นวิชาในคณะวทิ ยาศาสตร์ 1 รายวชิ า เขาจะมีวิธเี ลือกเรยี นได้ก่วี ธิ ี ( 11 )

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 16 – ดร.บรรทม สุระพร8. กาหนดให้ A, B และ AB มีจานวนสมาชกิ เท่ากับ 15, 13 และ 21 ตามลาดับ จงหาจานวนสมาชิกของเซต AB และ A – B ( 7, 8 )9. กาหนดให้ U, A, B และ AB มจี านวนสมาชกิ เท่ากบั 24, 15, 13 และ 5 ตามลาดับ จงหาจานวนสมาชกิของเซต AB และ Ac  Bc ( 23, 1 )10. นักเรียนห้องหนงึ่ มี 30 คน มี 18 คนเรยี นวชิ าภาษาองั กฤษ 22 คนเรยี นวิชาภาษาไทย มี 4 คน ไมเ่ รยี นทั้งสองวชิ านี้ จงหาจานวนนกั เรยี นทีเ่ รยี นวชิ าภาษาอังกฤษเพยี งวิชาเดียว ( 4 )11. จากการสารวจผู้ชมรายการโทรทัศน์จานวน 40 คน พบวา่ มี 26 คน ไม่ชอบเกมส์ มี 19 คน ไมช่ อบรายการตลก มี 5 คนชอบรายการเกมส์และชอบรายการตลก จงหาจานวนผูช้ มที่ไม่ชอบทัง้ รายการเกมส์และรายการตลก ( 10 )12. ในการจัดอาหารว่างใหผ้ ู้เข้าอบรมแหง่ หนง่ึ มีผ้ชู อบดืม่ กาแฟหรือชา 25 คน ไมม่ ีผู้ที่ชอบท้ังสองอยา่ ง มี 20คนไมช่ อบดื่มกาแฟ และมี 15 คนท่ีไม่ชอบดื่มชา จงหาจานวนผู้เข้าอบรมและจานวนผทู้ ไี่ มช่ อบดื่มท้งั สองอยา่ ง ( 30, 5 )13. บนรถทัศนาจรคันหนึ่ง มผี ้ทู เี่ คยไปเที่ยวพัทยาหรอื เชียงใหม่ 20 คน ในจานวนน้ีมผี ู้ทเ่ี คยไปเทีย่ วท้งั พทั ยาและเชยี งใหม่ 4 คน มีผไู้ มเ่ คยไปเทยี่ วพทั ยา 16 คน มีผู้ไมเ่ คยไปเท่ียวเชียงใหม่ 12 คน จานวนคนบนรถคันน้ีมีก่ีคน และมีผทู้ ไี่ ม่เคยไปทั้งพัทยาและเชียงใหม่กี่คน ( 26, 6 )14. นกั เรยี นห้องหนงึ่ ต้องเลือกเรยี นวชิ าคณติ ศาสตร์หรอื วิชาภาษาไทยอยา่ งน้อย 1 วิชา มี 22 คนเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ มี 18 คนเรยี นวิชาภาษาไทย มผี ู้ท่ีเรยี นวชิ าเดียว 34 คน ห้องนมี้ ีนกั เรยี นก่คี น และผู้ทเี่ รยี นวชิ าภาษาไทยอย่างเดยี วกคี่ น ( 37, 15 )15. จากการสารวจผูช้ มรายการโทรทัศนร์ ายการหนง่ึ พบว่า มี 20 คนชอบเกมส์โชว์ มี 26 คนชอบรายการตลกมี 36 คนทีช่ อบรายการดังกล่าว และมี 4 คนทไ่ี มช่ อบทง้ั สองรายการน้ี จงหาจานวนผูช้ ม และจงหาจานวนผทู้ ีช่ อบทง้ั รายการเกมส์โชว์และรายการตลก ( 40, 10 )16. จากการสอบถามนักทัศนาจร จานวน 77 คน มี 37 คนเคยไปพทั ยา 33 คนเคยไปเชยี งใหม่ และ 40 คนเคยไปอยธุ ยา มี 16 คนเคยไปพทั ยาและเชยี งใหม่ 11 คน เคยไปเชยี งใหมแ่ ละอยธุ ยา และมี 12 คน เคยไปอยธุ ยาและพัทยา มี 2 คน ไม่เคยไปแห่งใดในสามแหง่ น้ี จงหาจานวนผ้ทู ีเ่ คยไปทั้งสามแห่ง ( 4 )17. นักเรยี นห้องหน่งึ มี 50 คน เปน็ นักกฬี าฟุตบอล 29 คน เป็นนักกีฬาบาสเกต็ บอล 21 คน เปน็ นักกีฬาวอลเลย์บอล 15 คน ไมเ่ ล่น กฬี าใดในสามประเภทน้ี 6 คน เลน่ กีฬาฟตุ บอลและบาสเก็ตบอล 8 คน เลน่กฬี าบาสเก็ตบอลและวอลเลย์บอล 5 คน เล่นกีฬาทัง้ สามประเภท 3 คน จงหาจานวนนักเรียนท่ี17.1 เล่นกีฬาฟุตบอลเพียงอยา่ งเดียว ( 13 ) 17.2 เล่นกฬี าบาสเก็ตบอลเพียงอย่างเดียว ( 11 )17.3 เล่นกฬี าวอลเลยบ์ อลเพียงอย่างเดียว ( 2 )17.4 เลน่ กีฬาฟุตบอลและวอลเลย์บอล แต่ไมเ่ ล่นบาสเก็ตบอล ( 8 )18. นกั เรียนห้องหน่งึ มี 35 คน ชอบเลน่ ฟุตบอล 22 คน ชอบเลน่ บาสเกต็ บอล 18 คน ไมช่ อบเลน่ กฬี าใดในสองอย่างน้ี 5 คน จงหาจานวนผู้ท่ีชอบเล่นกฬี าทัง้ สองอยา่ ง ( 10 )19. ในการสารวจผ้ชู มโทรทัศนจ์ านวนหนึง่ ปรากฏวา่ มผี ู้ชอบดลู ะครหรือกีฬา 20 คน ไม่มใี ครท่ีชอบดูทง้ั สองอยา่ ง มี 17 คนไมช่ อบดูละคร และมี 15 คนไม่ชอบดูกฬี า จงหาจานวนผูท้ ี่ไมช่ อบดูละครและกฬี า ( 6 )20. ในการตรวจคนไข้ท่ีคลนิ กิ แหง่ หนง่ึ จานวน 38 คน ปรากฏวา่ ผู้ท่เี ปน็ โรคผวิ หนังมี 22 คน ผูท้ เี่ ป็นโรคหวัดมี17 คน ผูเ้ ปน็ โรคปวดทอ้ งมี 20 คน ผ้ทู ่ีเป็นโรคผวิ หนังและโรคหวดั มี 10 คน ผู้ท่ีเป็นโรคหวัดและปวดท้องมี7 คน ผทู้ ่ไี ม่เปน็ โรคใดเลยมี 3 คน จงหาจานวนผทู้ ี่เป็นโรคผวิ หนงั อยา่ งเดยี ว ( 5 )

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 17 – ดร.บรรทม สุระพร1.2.2) หลกั การคณู (และ) การทางานมี 2 ข้ันตอน โดย ขั้นตอนท่ี 1 มวี ิธกี ารทางาน n1 วธิ ีและข้นั ตอนท่ี 2 มี วธิ กี ารทางาน n2 วธิ ีเป็นลาดบั ต่อเน่อื งกัน ดงั นนั้ จานวนวิธีการทางานเทา่ กับ n1xn2 วธิ ี ตวั อยา่ งท่ี 1.2.7 ในการเดนิ ทางจากหมู่บา้ น A ไปยังหม่บู ้าน C ซ่งึ ต้องผา่ นหมู่บ้าน B โดย การเดินทางจาก A ไปยงั B มี 4 เสน้ ทางและจากหมบู่ ้าน B ไปยัง C มีอยู่ 5 เส้นทาง ดงั น้นั เราสามารถเดนิ ทางจากหมบู่ า้ น A ไปยงั C โดยผา่ น B มี จานวนวิธเี ดนิ ทางได้ 4x5 = 20 วธิ เี ดนิ ทาง การทางานมีข้ันตอน k วธิ ี โดยแต่ละข้ันตอนมีวธิ กี ารทางานเปน็ ลาดบั ตอ่ เนอื่ งกนั สมมติวิธกี ารทางานที่ i มีวิธีการทางาน ni วิธโี ดยท่ี i = 1,2,3,…,k ดงั นัน้ จานวนวิธกี ารทางานเทา่ กบั n1. n2. n3... nk วธิ ี ตวั อยา่ งที่ 1.2.8 นกั เรยี นกลมุ่ หนึง่ มีเดก็ ชาย 5 คน และเดก็ หญงิ 3 คน เลือกตวั แทนกล่มุ จานวน 2 คน โดยท่ตี วั แทนสองคนตา่ งเพศกนั จะมีวิธีเลือกไดก้ ่วี ธิ ี วิธที า จากเด็กชาย 5 คน แทน m1,m2,m3,m4,m5 และเด็กหญงิ 3 คน แทน ด้วย w1, w2, w3 ในการเลือกตวั แทนของกลมุ่ 2 คน มีเพศตา่ งกันคือ เลือกเด็กชาย 1 คน และเดก็ หญิง 1 คน เลือกได้โดยวธิ แี จงนบั ทาได้ดงั นี้ {m1, w1} {m2, w1} {m3, w1} {m4, w1} {m5, w1} {m1, w2} {m2, w2} {m3, w2} {m4, w2} {m5, w2} {m1, w3} {m2, w3} {m3, w3} {m4, w3} {m5, w3} จานวนวธิ เี ราเลอื กเท่ากับ 15 วธิ ี โดยหลักการคูณ ในการเลือกตวั แทนของกลมุ่ 2 คน ท่ีมเี พศตา่ งกัน มวี ธิ ี เลือก 2 ข้ันตอนต่อเนือ่ งกัน ขั้นที่ 1 เลอื กเด็กชาย 1 คน ซ่งึ มวี ธิ เี ลือกอยู่ 5 วธิ ี (เดก็ ชายมอี ยู่ 5 คน) ขน้ั ที่ 2 เลือกเด็กหญงิ 1 คน ซงึ่ มีวธิ ีเลอื กอยู่ 3 วิธ(ี เดก็ หญงิ มี อยู่ 3 คน) ฉะนัน้ จานวนวธิ เี ลอื กเท่ากบั 5 x 3 = 15 วธิ ี ตัวอย่างท่ี 1.2.9 มีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 4 ตัว และรองเทา้ 2 คู่ จะมีวธิ ีแตง่ ตัวโดยสวมเสอื้ กางเกงและรองเท้าได้กี่วธิ ี วธิ ีทา การแตง่ ตัวมวี ธิ กี ารทางานอยู่ 3 ข้นั ตอน ขนั้ ที่ 1 สวมเสื้อสามารถเลอื กได้ 3 วธิ ี ข้นั ที่ 2 สวมกางเกงสามารถเลอื กได้ 4 วธิ ี ข้ันที่ 3 สวมรองเท้าสามารถเลือกได้ 2 วธิ ี โดยหลักการคูณ จานวนวิธีในการแตง่ ตวั ทง้ั หมดมี 3 x 4 x 2 = 24 วิธี

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 18 – ดร.บรรทม สุระพร ตวั อยา่ งท่ี 1.2.10 จากอกั ษร a,b,c,d,e, และ f นามาสร้างเป็นคาประกอบด้วยอกั ษร 4 ตัว โดยไม่คานึงถงึ ความหมาย และอักษรไม่ซา้ กันจะสรา้ งได้กวี่ ิธี เมื่อ 1.2.10.1) ไม่มเี งอื่ นไขใดเพม่ิ เตมิ 1.2.10.2) อกั ษรแรกตอ้ งเป็น d 1.2.10.3) อกั ษรแรกต้องเปน็ a และตัวสดุ ทา้ ยเป็น f วิธที า 1.2.10.1) จานวนการสร้างคาโดยประกอบด้วยตวั อกั ษร 6 ตัว มี 4 ข้ันตอน ตอ่ เนอื่ งกันดงั น้ี ขัน้ ท่ี 1 เลอื กอักษรตวั แรกมวี ิธีการเลือก 6 วิธี (มอี ักษรใหเ้ ลือก 6 ตวั ) ขน้ั ท่ี 2 เลือกอักษรตวั ที่ 2 มวี ธิ ีการเลือก 5 วิธี (มอี ักษรใหเ้ ลือก 5 ตวั ) ข้ันที่ 3 เลือกอักษรตัวท่ี 3 มวี ธิ กี ารเลือก 4 วิธี (มีอกั ษรใหเ้ ลือก 4 ตวั ) ขั้นท่ี 4 เลือกอักษรตวั ท่ี 4 มีวธิ ีการเลือก 3 วธิ ี (มีอักษรให้เลือก 3 ตัว) โดยหลกั การคณู สามารถสรา้ งคาไดท้ ้งั หมด 6 x 5 x 4 x 3 = 360 วิธี 1.2.10.2) อกั ษรแรกตอ้ งเป็น d เลอื กอกั ษรตวั แรกได้ 1 วธิ ี (มีอักษร d ให้เลอื กเพียงตัวเดียว) เลือกอักษรตวั ที่ 2 ได้ 5 วิธี (มอี กั ษรใหเ้ ลอื ก 5 ตวั ) เลือกอกั ษรตัวท่ี 3 ได้ 4 วิธี (มีอกั ษรใหเ้ ลือก 4 ตัว) เลอื กอกั ษรตัวที่ 4 ได้ 3 วิธี (มีอกั ษรใหเ้ ลือก 3 ตวั ) โดยหลักการคูณสามารถสรา้ งคาไดท้ ง้ั หมด 1 x 5 x 4 x 3 = 60 วธิ ี 1.2.10.3) อกั ษรแรกต้องเป็น a และตวั สดุ ท้ายเปน็ f เลอื กอักษรตัวแรกได้ 1 วิธี (คืออกั ษร a) เลอื กอกั ษรตวั สดุ ทา้ ย ได้ 1 วิธี (คืออักษร f) เลือกอักษรตัวที่ 2 ได้ 4 วิธี (เหลอื อักษรให้เลอื ก 4 ตัว) เลือกอักษรตัวที่ 3 ได้ 3 วธิ ี (เหลืออักษรให้เลือก 3 ตัว) โดยหลักการคณู สามารถสรา้ งคาได้ท้ังหมด 1 x 4 x 3 x 1 = 12 วธิ ีตัวอย่างที่ 1.2.11 กาหนด A = { 1,2,3,4 } และ B = { a,b,c,d,e } จงหาจานวนฟงั ก์ชันจาก A ไป B มกี ฟ่ี ังกช์ นั วิธที า จากเซต A มีสมาชิก 4 ตวั ซ่ึ งแต่ละตัวสง่ ไปยังสมาชกิ ของ B ได้ 5 วิธี เพราะ เซต B มีสมาชิก 5 ตวั ซึง่ แต่ละวธิ ีส่ งจะทาให้เกดิ 1 ฟงั ก์ชัน โดย หลกั การคูณ จะไดว้ ่า จานวนฟงั ก์ชนั จาก A ไป B มี 5.5.5.5 = 54 ฟงั ก์ชนั ปัญหาการนับบางครั้งตอ้ งใชท้ ง้ั หลักการบวกและการคูณ

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 19 – ดร.บรรทม สุระพรตัวอย่างที่ 1.2.12 มีวิธเี ลอื กหนงั สอื แตกตา่ งสาขาจานวน 2 เลม่ จากหนงั สือคณิตศาสตรท์ ่ี แตกต่างกัน 5 เล่ม หนงั สอื ฟิสกิ ส์ทแ่ี ตกตา่ งกนั 3 เล่ม และหนังสือเคมีที่ แตกต่างกนั 2 เลม่ วิธีทา พจิ ารณาแผนภาพตอ่ ไปนี้ { คณิตศาสตร์ , ฟิสิกส์ , เคมี }{ คณิตศาสตร์ , ฟิสิกส์ } { คณิตศาสตร์ , เคมี } { ฟิสิกส์ , เคมี }ซึ่งมี 3 วธิ เี ลือกดังนี้วิธีที่ 1 เลือกหนงั สือคณติ ศาสตร์และฟสิ ิกส์ โดยหลกั การคูณมจี านวนวิธเี ลือก 5x3 =15 วิธีวธิ ีที่ 2 เลือกหนังสือคณติ ศาสตรแ์ ละเคมี โดยหลกั การคูณมีจานวนวิธเี ลอื ก 5x2 =10 วิธีวธิ ที ่ี 3 เลอื กหนังสือฟิสกิ ส์และเคมี โดยหลักการคณู มีจานวนวิธเี ลือก 3x2 = 6 วิธีเนอ่ื งจาก 3 วิธเี ลอื ก ไม่สามารถทาพร้อมกนั ได้ ดงั น้ัน โดยหลักการบวกจานวนวธิ กี ารเลอื ก 15 + 10 + 6 = 31 วธิ ีตวั อยา่ งท่ี 1.2.13 จงหาจานวนทีเ่ ป็นเลขค่ที มี่ คี า่ ตง้ั แต่ 1 ถึง 99 โดยท่ีเลขแตล่ ะหลกั ไมซ่ า้ กัน วธิ ที า แบ่งขน้ั ตอนเป็น 2 กรณี ดงั น้ี กรณที ี่ 1 จานวนคที่ มี่ ี 1 หลกั ได้แก่ 1,3,5,7,9 ซ่งึ มที งั้ หมด 5 จานวน กรณีท่ี 2 จานวนคท่ี ม่ี ี 2 หลักหลักสบิ หลักหน่วย{ 1,2,3,…,9 } { 1,3,5,7,9 }ซงึ่ จะมี 2 ขน้ั ตอนตอ่ เนือ่ งกันคือ เลือกตวั เลือกในหลักหน่วยมี 5วิธี และเลอื กตวั เลขในหลกั สบิ มี 8 วธิ ี ดงั นัน้ โดยหลักการคูณจานวนคจี่ ะมที ัง้ หมด 40 จานวน จากกรณีท่ี 1 และ กรณที ี่ 2 จะได้จานวนคท่ี ี่มีคา่ตงั้ แต่ 1 ถึง 99 โดยเลขแต่ละหลักไม่ซ้ากันเทา่ กบั 5 + 40 = 45 จานวนแบบฝึกหัดที่ 1.2.2 1. จานวนทมี่ ี 3 หลกั ท่มี ากกว่า 499 ที่หารดว้ ย 5 ลงตัวมกี ่ีจานวน ( 100 ) 2. จานวนของจานวนค่ีจาก 100 ถึง 4000 โดยแต่ละหลกั ไมซ่ า้ กนั มกี ี่จานวน ( 1,048 ) 3. จานวนของจานวนค่จี าก 4000 ถงึ 6000 โดยแตล่ ะหลักไมซ่ า้ กนั มกี ี่จานวน ( 504 ) 4. มกี างเกงสตี า่ งๆ 3 ตวั และเส้อื สตี ่างๆ 7 ตวั มวี ธิ กี ารแต่งกายด้วยเสื้อผ้าเหลา่ นี้ไดก้ ่วี ธิ ีท่ไี มซ่ ้ากัน ( 21 ) 5. จากกรุงเทพฯ ไปสงขลามีเสน้ ทางไปได้ 5 เส้นทาง เรามีวธิ กี ารเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปสงขลาแลว้ กลับกรงุ เทพฯ โดยขากลับไม่ซา้ กับเส้นทางขาไป จะกระทาไดก้ ่วี ิธี ( 20 ) 6. ถ้าหมวดวิทยาศาสตร์มวี ชิ าเลือก 4 วิชา หมวดสงั คมศึกษามีวชิ าเลอื ก 5 วชิ า หมวดคณิตศาสตรม์ วี ชิ า เลือก 3 วชิ า นกั ศกึ ษาตอ้ งเลือกวชิ าตา่ งๆ นี้ หมวดละ 1 วิชา เขาจะมวี ธิ ีเลอื กไดก้ ว่ี ิธี ( 60 )

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 20 – ดร.บรรทม สุระพร7. นาอกั ษร A,B,C,D,E และ F นามาจดั เรียงทีละ 4 ตัวไม่ซ้ากนั จดั ไดก้ วี่ ิธี เมื่อ 7.1 ไมม่ เี งื่อนไข ( 360 ) 7.2 ตัวสดุ ทา้ ยต้องเป็นอักษร A ( 60 ) 7.3 ตวั แรกต้องเปน็ อักษร C และ ตวั สดุ ทา้ ยตอ้ งเป็นอกั ษร B ( 12 )8. จงแสดงว่า เซตจานวนสมาชิก n ตัว จะมจี านวนสับเซต A ทั้งหมด 2n เซต9. ถ้า A และ B เปน็ เซตจากดั n(A) แทนจานวนสมาชกิ ของเซต A และ n(B) แทนจานวนสมาชกิ ของเซต B จงหาจานวนสมาชิกของ A x B = { (a, b) | a  A, b  B } { n(A).n(B) }10. ถา้ A เป็นเซตทม่ี สี มาชิก m ตวั และ B เปน็ เซตทม่ี สี มาชิก n ตวั จงหาจานวนฟงั ก์ชัน 1 – 1 จากเซต A ไปยงั เซต B { จานวน n(n – 1)(n – 2)…( n – m + 1 ) ฟังก์ชนั }11. ห้องเรยี นหนึ่งมีนกั เรียนชาย 7 คน นกั เรยี นหญงิ 5 คน จะเลอื กหวั หน้าหอ้ ง 1 คน และรองหวั หนา้ ห้อง 1 คน ได้กว่ี ธิ ี ถา้ มีเงอ่ื นไขดงั นี้ 11.1 หวั หน้าห้องเปน็ หญิง รองหัวหนา้ หอ้ งเปน็ ชาย ( 35 ) 11.2 หวั หนา้ ห้องเป็นชาย รองหัวหนา้ หอ้ งเปน็ ชายหรือหญงิ ก็ได้ ( 77 ) 11.3 หวั หนา้ หอ้ งเปน็ ชายหรอื หญิงก็ได้ รองหวั หน้าหอ้ งเปน็ หญงิ ( 55 ) 11.4 เป็นชาย 1 คน หญงิ 1 คน ( 70 ) 11.5 เปน็ ชายหรือหญิงก็ได้ ( 132 )12. มจี ดหมาย 5 ฉบบั จะนาไปหยอ่ นตูไ้ ปรษณยี ์ 3 ต้ไู ดก้ ี่วิธี ( 243 )13. จานวนวธิ ีนาลกู บอลต่างๆ กนั 4 ลูกใสห่ บี ตา่ งๆ กนั 5 ใบ ได้กวี่ ิธถี า้ หีบแตล่ ะใบจะใสล่ ูกบอลไดก้ ี่ลูกก็ ได้ ( 625 )14. จากเลขโดด 2,3,5,6,7 และ 9 นามาสรา้ งเลขจานวนไดก้ จี่ านวน เมอ่ื 14.1 ไมม่ เี ง่อื นไขใดเพิม่ เตมิ ( 216 ) 14.2 จานวนที่สร้างแต่ละหลักไมซ่ า้ กัน ( 120 ) 14.3 จานวนที่สรา้ งน้อยกวา่ 400 ( 72 ) 14.4 จานวนสร้างเปน็ เลขคู่ ( 72 ) 14.5 จานวนทีส่ ร้างเปน็ จานวนคี่และแต่ละหลกั ไม่ซ้ากัน ( 80 ) 14.6 จานวนทส่ี ร้างหารดว้ ย 5 ลงตัว และมคี า่ มากกวา่ 500 ( 24 )15. มีจดหมาย 4 ฉบับ ต้องการหย่อนจดหมายทั้งหมดในตไู้ ปรษณีย์ซง่ึ มที ั้งหมด 6 ตู้จะมีจานวนวธิ ีหยอ่ น จดหมายทงั้ หมดก่ีวิธี เมือ่ 15.1 ไม่มีเงือ่ นไขใดเพิม่ เติม ( 1,296 ) 15.2 จดหมายแต่ละฉบับต้องไมห่ ย่อนซา้ ต้กู นั ( 360 ) 15.3 มีจดหมายอย่างน้อย 2 ฉบบั ทีห่ ย่อนในตเู้ ดยี วกนั 15.4 อาจจะมกี ารหย่อนซา้ ตกู้ นั แตจ่ ะหย่อนทัง้ หมด 4 ฉบับไม่ได้ ( 1,290 )16. ห้องประชุมหอ้ งหนง่ึ มี 4 ประตู นายเอ และนายบี ตอ้ งการเดนิ ทางเขา้ ออกจากหอ้ งนี้ จะมวี ิธเี ข้า ออกของชายสองคนน้กี ว่ี ธิ ี 16.1 ชายท้งั สองคนจะเดนิ เข้าออกประตูใดกไ็ ด้ ( 256 ) 16.2 แตล่ ะคนเม่ือเขา้ ประตใู ด แล้วออกประตนู ้ันไม่ได้ ( 144 ) 16.3 ชายท้ังสองจะใช้วิธีเดนิ เข้าและออกเหมอื นกนั ไมไ่ ด้ ( 240 )

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 21 – ดร.บรรทม สุระพร17. มีข้อสอบแบบเลือกตอบชนดิ 3 ตวั เลอื กจานวน 5 ขอ้ ข้อสอบแบบเลอื กตอบชนิด 4 ตัวเลือกจานวน 3 ข้อ เรามวี ิธเี ลือกตอบขอ้ สอบฉบบั น้ีไดก้ ี่แบบ ( 15,552 )18. มคี น 4 คน มเี กา้ อ้ี 7 ตัวต่างๆ กนั จะมีวธิ ีจดั คนให้นัง่ เกา้ อ้ีเหลา่ น้ไี ดก้ ่วี ธิ ี ( 840 )19. มคี น 7 คน มเี ก้าอ้ี 4 ตัวตา่ งๆ กัน จะมีวิธจี ดั คนใหน้ ัง่ เก้าอ้เี หล่าน้ไี ด้ก่ีวิธี ( 840 )20. จากกรงุ เทพฯ ไปสงขลาอาจไปไดด้ ว้ ยพาหนะ 4 ชนดิ คอื ทางรถยนต์ รถไฟ เคร่ือง บนิ และเรือ ทาง รถยนต์เลอื กไปได้ 3 วิธี ทางรถไฟเลือกไปได้ 4 วธิ ี ทางเครอ่ื งบนิ เลอื กไปได้ 1 วิธี ทางเรอื เลือกไปได้ 2 วธิ ี ดังนั้นจากกรงุ เทพฯ จะไปสงขลา จะเลือกวธิ ไี ปไดก้ ี่วิธี ( 10 )21. โยนลกู เต๋า 3 ลกู พรอ้ มกัน จงหาจานวนวิธที ี่จะได้ผลตอ่ ไปนี้ 21.1 ทัง้ หมดมีไดก้ วี่ ิธี ( 216 ) 21.2 หงายแต้มต่างกนั ( 120 )22. ตกึ สงู 7 ชั้น แต่ละช้นั มบี ันได 2 ข้างของตกึ และมลี ิฟต์อกี 1 ตวั ถ้ามีชายคนหนง่ึ อยทู่ ีช่ ้ันที่ 7 เขาจะ มีวธิ ลี งมาชน้ั ท่ี 1 ได้ก่ีวิธี ถา้ มเี ง่อื นไข 22.1 ลิฟต์จอดทกุ ชน้ั ( 729 ) 22.2 ลฟิ ต์จอด 5 ชั้นแรก ( 324 ) 22.3 ลฟิ ตจ์ อดเฉพาะชัน้ ท่ี 1 และชน้ั ที่ 7 ( 65 ) 22.4 ลฟิ ตจ์ อดเฉพาะช้นั ท่ี 1,3,5 และ 7 ( 125 )23. มีตัวเลข 1,2,3,4,5,6 นาไปเขยี นเป็นจานวนเลขสามหลัก โดยเลขแต่ละตัวใชไ้ ดห้ ลายคร้งั 23.1 ทง้ั หมดมีก่ีจานวน ( 216 ) 23.2 มีกี่จานวนท่ีเลขในแต่ละหลักไมซ่ ้ากนั ( 120 ) 23.3 มีก่จี านวนที่เปน็ เลขคี่ ( 108 ) 23.4 มกี ี่จานวนท่มี ากกว่า 200 ( 180 ) 23.5 มกี จ่ี านวนที่มากกวา่ 200 และเลขในแต่ละหลกั ไม่ซ้ากัน ( 100 )24. มตี วั อักษร A,B,C,D และ E นามาจัดเป็นสัญลักษณ์ 3 ตัวอกั ษร (เช่น ABC,CCA,…) กระทาไดก้ ี่แบบ 24.1 ใช้อกั ษรซ้ากันได้ ( 125 ) 24.2 ใช้อกั ษรไมซ่ ้ากัน ( 60 ) 24.3 ใช้อักษรซา้ กนั ได้ แตต่ ้องมีตัวอักษร A ( 61 )25. มีอาหาร 3 ประเภท คอื อาหารคาว 5 ชนิด อาหารหวาน 4 ชนดิ และเครื่องดืม่ 3 ชนดิ จะมีวิธสี ่งั อาหาร 2 ชนิดทีไ่ มซ่ า้ ประเภทกนั ได้กีว่ ิธี ( 47 )26. มีกลว้ ย 6 ผล และส้ม 8 ผล จะใหล้ งิ อย่างนอ้ ย 1 ผล ได้กวี่ ธิ ี ( 62 )27. มผี ลไมต้ า่ งๆ กัน 8 ผล จะให้ลิงอย่างน้อย 1 ผล ไดก้ ีว่ ธิ ี ( 255 )28. หมายเลขทะเบยี นรถยนต์ ประกอบด้วยตัวอักษรภาษาองั กฤษ 2 ตัว ตามดว้ ยเลขอีก 4 ตัวจะมไี ด้ ทง้ั หมดกี่หมายเลข ( 6,760,000 )29. ตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ 2 ตวั ท่ีไม่ซ้ากัน เรยี งกันตามลาดับ ก่อน – หลังได้กีแ่ บบ ( 325 )30. เทวดา 7 องค์ จะลงมาจุติ ( เกดิ ) ในวนั ต่างๆ ใน 1 ปี จะกระทาไดก้ ี่แบบที่ไม่ซ้าวนั กัน ( 365 x 364 x 363 x 362 x 361 x 360 x 359 )

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 22 – ดร.บรรทม สุระพรแฟกทอเรียล ( factorial ) ในทางคณติ ศาสตร์ แฟกทอเรียลของจานวนเต็มทไี่ มเ่ ปน็ ลบ n คือผลคูณของจานวนเต็มบวกทงั้ หมดที่น้อยกว่าหรอื เทา่ กับ n เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ n! (n อยุ้ n ตกใจหรอื เปลา่ ) ตวั อยา่ งเชน่ 5! = 5x4x3x2x1 =120 การดาเนนิ การแฟกทอเรียลพบไดใ้ นคณติ ศาสตรส์ าขาตา่ งๆ โดยเฉพาะ อยา่ งย่ิงคณติ ศาสตร์เชงิ การจดัพีชคณติ และคณติ วิเคราะห์ การพบเหน็ โดยพน้ื ฐานทีส่ ดุ คอื ขอ้ เทจ็ จรงิ ทีว่ า่ การจัดลาดบั วัตถุทแ่ี ตกตา่ งกัน nสิ่ง สามารถทาได้ n! วิธี (การเรยี งสบั เปล่ยี นของเซตของวัตถุ) ข้อเทจ็ จรงิ น้เี ป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอนิ เดีย ตั้งแต่ตน้ คริสตศ์ ตวรรษที่ 12 เป็นอยา่ งนอ้ ย นอกจากน้ี คริสตเ์ ตียน แครมป์ (Christian Kramp) เปน็ ผู้แนะนาให้ใช้สญั ลกั ษณ์ n! เม่อื ค.ศ.1808 (พ.ศ.2351) นยิ ามของแฟกทอเรียล สามารถขยายแนวคิดไปบนอาร์กิวเมนตท์ ่ีไมเ่ ปน็ จานวนเต็มได้โดยยังคงมีสมบตั ิทสี่ าคัญซึ่งเก่ียวขอ้ งกับคณิตศาสตรช์ น้ั สงู ย่งิ ขน้ึ โดยเฉพาะอย่างย่งิ เทคนคิ ต่างๆ ทีใ่ ชใ้ นคณติ วิเคราะห์นยิ าม ฟังกช์ ันแฟกทอเรยี ล ไดน้ ยิ ามเชิงรปู นัยไวด้ ังน้ี n! = n k k 1 หรอื นยิ ามแบบฟงั ก์ชันเวยี นเกดิ ได้ดงั น้ี 1 ; n  0 n! = 1.2.3...n ; n  0 หรือ 0! = 1 นนั่ คือ n! = 1.2.3….( n – 3)( n – 2)( n – 1) n หรอื n! = n (n – 1)( n – 2)( n – 3)…3.2.1 = n (n – 1)! ตัวอย่างแฟกทอเรยี ลบางจานวนในลาดบั แฟกทอเรียล ดังน้ี n n! n n! 01 170 7.257 415 6153 x 10306 11 171 1.241 018 0702 x 10309 22 450 1.733 368 7331 x 101000 36 1 000 4.023 872 6008 x 102,567 4 24 3 249 6.412 337 6883 x 1010,000 5 120 10 000 2.846 259 6809 x 1035,659 6 720 25 206 1.205 703 4382 x 10100,000 7 5 040 100 000 2.824 229 4080 x 10456,573 8 40 320 205 023 2.503 898 9317 x 101,000,004 9 362 880 1 000 000 8.263 931 6883 x 105,565,708 10 3 628 800 15 1 307 674 368 000 1.024 838 3838x1098 101.000 000 0000 x 10100 20 2 432 902 008 176 640 000 25 1.551 121 0043 x 1025 10100 109.956 570 5518 x 10101 50 3.041 409 3202 x 1064 70 1.197 857 1670 x 10100 1.797 693 1349 x 10308 105.533 666 5775 x 10310 100 9.332 621 5444 x 10157อัตราการเติบโตและการประมาณ เมือ่ n มีขนาดใหญ่ เราสงั เกตเห็นวา่ เมื่อ n มคี ่าเพมิ่ ข้นึ คา่ ของ n! จะมคี า่ เพ่มิ ขึ้นเร็วมาก เนอื่ งผลมาจากการคณู จะมีอตั ราการเติบโตมากกว่าพหนุ ามและฟงั ก์ชนั เลขชีก้ าลังท้ังหมดทีม่ ี n ประกอบอยู่ การประมาณค่าท่ีใกล้เคยี งที่สุดของ n! ใช้พืน้ ฐานบนลอการทิ ึมธรรมชาติดังน้ี n  nn  log xdx log n!   log x   log(x 1)dx 1 x1 0ซึง่ จะได้การประมาณคา่ ดังน้ี n log  n  1  log n!  (n 1) log  n 1 1 ซึง่ จากขอบเขตของ  e   e 

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 23 – ดร.บรรทม สุระพรlog n! ท่ีได้ สามารถลดรูปจนเหลอื เพียง e  n n  n!  e  n  1 n1 จากการใชส้ ตู รดงั กล่าว  e   e ในทางปฏบิ ัติบางครั้งสามารถประมาณไดง้ า่ ยกว่า และสามารถแสดงให้เหน็ ไดว้ ่า สาหรบั ทุกค่าของ n จะได้(n / 3)n  n! และสาหรบั n  6 จะได้ n!  (n / 2)n เป็นตน้ เม่อื n เปน็ จานวนขนาดใหญ่ เรามีวธิ ีการ ประมาณค่าของ n! ทีด่ ีกวา่ โดยใช้การประมาณของสเตอรล์ งิ (Stirling’s approximation)Stirling’s formula Factorials start off reasonably small, but by 10! We are already in the millions, and itdoesn’t take long until factorials are unwieldy behemoths like 100! Above. Unfortunately there is no shortcutformula for n!, you have to do all of the multiplication. On the other hand, there is a famous approximateformula, named after the Scottish mathematician James Stirling (1692 – 1770), that gives a pretty accurate idea nabout the size of n!.  n   e Stirling's formula: n!  2 n การประมาณคา่ (approximation) หากคา่ ทีไ่ ด้นน้ั มีคา่ เปน็ จานวนมากๆ เพิม่ ขึ้นอยา่ งรวดเรว็ เปน็ ส่งิ ท่ีควรใหค้ วามสนใจยง่ิ หากเราประมาณไดเ้ รว็ และมคี ่าการประมาณใกล้กบั คา่ ท่แี ทจ้ ริงมากขน้ึ เท่าใดกจ็ ะเปน็ การประมาณที่มปี ระสทิ ธภิ าพมากเท่านน้ั ซึง่ ในที่นีเ้ กร่ินไว้เทา่ น้ีกอ่ น เราจะเอาไปใชเ้ ฉพาะค่าของ n มีค่าไม่มากนกั สามารถคานวณไดด้ ว้ ยเครอ่ื งมือทมี่ ีอย่ไู ด้ เชน่ เครื่องคดิ เลข คอมพวิ เตอร์ หรือใชส้ มองมนุษยเ์ ราๆ ทา่ นๆ ตัวอยา่ งที่ 1.2.14 กาหนดให้ n เปน็ จานวนเต็มบวก จงเขยี นผลคณู จานวนต่อไปนี้ในรูป แฟกทอเรยี ล 1.) 9.8.7.6 = 9! 5! 2.) 14.13.12.11.10.9 = 14! 8! 3.) n (n – 1)( n – 2)( n – 3) = n! (n  4)! 4.) (n + 3)( n + 2)( n + 1) n (n – 1) = (n  3)! (n  2)! ตัวอยา่ งที่ 1.2.15 จงเขียนจานวนตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรปู ไม่มีแฟกทอเรยี ล 1.) n! = n (n – 1)( n – 2) (n  3)! 2.) (n  3)! = (n + 3)( n + 2) (n 1)! ตวั อย่างที่ 1.2.16 จงหาค่า n จากสมการ 1.) 3.n!  (n  4)! (n 1)! (n  6)! วิธที า 3.n!  (n  4)! (n 1)! (n  6)! 3.n(n 1)!  (n  4)(n  5)(n  6)! (n 1)! (n  6)! 3n  (n  4)(n  5)  n2  9n  20 n2 12n  20  (n 10)(n  2)  0 ได้ n  10 , 2

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 24 – ดร.บรรทม สุระพร 2. 10.n!  (n 1)! (n  2)! (n  3)! วธิ ที า 10n(n 1)  (n 1)n(n 1)(n  2) n2  n 12  0 (n  3)(n  4)  0 n   3, 4 ซง่ึ n  4 มีคา่ เปน็ ลบไมเ่ อา เอาเฉพาะค่าบวกแบบฝกึ หดั ท่ี 1.2.31. จงเขยี นผลคณู จานวนต่อไปนใ้ี นรูปของแฟกทอเรยี ล1.1 n(n2 1)(n2  4)1.2 2n(4n2  6n  2)1.3 n(n 1)(n  2)...(n  k 1)1.4 3n(3n 1)(3n  2)(3n  3)2. จงเขียนจานวนต่อไปนใ้ี ห้อย่ใู นรูปไมม่ ีแฟกทอเรียล2.1 n! (n  3)!2.2 (n  5)! n!2.3 n!(n  3)! (n 1)!(n 1)!2.4 (n  3)!(n  2)! (n  5)!(n  2)!3. จงหาคา่ n จากสมการ3.1 3.n!  (n 1)! (n  4)! (n  2)!3.2 7.n!  6.(n 1)! (n  3)! (n  2)!3.3 3.(2n  4)!  2.(n  4)! (2n 1)! n!4. For any positive integer n we calculate “n factorial” by multiplying together all integers up to andincluding n, that is, n! = 1 x 2 x 3 x …x n. Here are some more examples of factorial numbers : 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5040 8! = 40320 9! = 362880 10!= 3628800จงประมาณคา่ โดยใช้การประมาณของสเตอร์ลิงสาหรับสบิ แฟกทอเรียล (Stirling approximation forthe first ten factorial numbers) และทาการเปรียบเทยี บคา่ ทไี่ ด้จากการประมาณกบั คา่ จริง ซึ่งอาจจะดูความผิดพลาดของการประมาณได้โดยสดั สว่ นความผิดพลาดคือ (n!  2n(n / e)n) / n!