หัวข้อ 1_3

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 25 – ดร.บรรทม สุระพร1.3) วธิ ีเรียงสับเปลย่ี น / การจดั ลาดบั ( Permutations)วธิ ีการท่ีเรานาส่งิ ของจานวนหนึง่ มาจดั เรียง ซ่ึงในการจดั เรียงน้นั คานึงถงึ ลาดบั เปน็ สาคญัเชน่ AB กับ BA ถอื เป็น 2 วิธีโดย AB เปน็ วิธที ี่ A อยตู่ าแหน่งลาดับแรกในขณะท่ี BA นนั้ A อยูใ่ นตาแหน่งลาดับท่ีสอง เราเรียกวธิ ีการนี้ว่า วิธีการเรยี งสับเปล่ียน หรือเรียกการจัดลาดบั ซึง่ แบง่ ออกเป็น 2 แบบ คอื1.3.1 วิธีเรยี งสับเปล่ียนแบบเชิงเส้น1.3.2 วธิ ีเรียงสบั เปลี่ยนแบบเชิงวงกลม1.3.1 วธิ ีเรยี งสับเปลีย่ นแบบเชงิ เส้นเปน็ การจดั เรยี งสงิ่ ของในลักษณะเป็นแถว ซึ่งจะมีกี่แถวก็ได้ หรือเป็นเสน้ โคง้ โดยเสน้ โคง้จะตอ้ งไม่บรรจบกนั1.3.1.1 วิธีเรียงสบั เปลีย่ นเชิงเสน้ ของสงิ่ ของท่แี ตกต่างกนั ท้งั หมด n ส่ิง มีสง่ิ ของ n สง่ิ ท่ีแตกต่างกนั ท้ังหมด นาส่งิ ของท้ังหมดมาจัดเรยี งแบบเชงิ เสน้ จะมวี ธิ ีดงั น้ีตาแหนง่ 1 2 3 n–1 n เลือกได้ เลือกได้ เลือกได้ …………… เลือกได้ เลือกได้ n วิธี n – 1 วิธี n – 2 วธิ ี 2 วธิ ี 1 วธิ ีดังนัน้ ตาแหนง่ ท่ี 1 สามารถเลอื กสง่ิ ของมาวางได้ n วธิ ี ( มสี ง่ิ ของใหเ้ ลือก n ส่งิ )ตาแหนง่ ที่ 2 สามารถเลือกส่งิ ของมาวางได้ n–1 วธิ ี ( เหลอื สิง่ ของใหเ้ ลอื ก n–1 สิง่ )ตาแหนง่ ท่ี 3 สามารถเลือกสงิ่ ของมาวางได้ n–2 วธิ ี ( เหลอื สง่ิ ของใหเ้ ลอื ก n–2 ส่งิ )ตาแหนง่ ที่ n –1 สามารถเลือกสิ่งของมาวางได้ 2 วธิ ี ( เหลอื ส่ิงของให้เลอื ก 2 สงิ่ )ตาแหน่งที่ n สามารถเลือกสิง่ ของมาวางได้ 1 วธิ ี ( เหลือสิ่งของให้เลอื ก 1 สงิ่ )โดยหลักการคูณ จานวนวธิ เี รยี งสบั เปลย่ี นตาแหน่งทัง้ หมด n(n –1)(n –2). . . 3.2.1 = n! วธิ ีการเรยี งสับเปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสงิ่ ของ n สิ่งที่แตกต่างกนั มี n! วิธีตวั อยา่ งที่ 1.3.1 นานกั เรยี น 5 คนมายืนเขา้ แถว จะมีจานวนวิธยี ืนเข้าแถวไดก้ ่ีวธิ ี วธิ ที า 1 2 3 4 5 ตาแหนง่ ที่ 1 สามารถเลือกนกั เรียนมายืนได้ 5 วธิ ี ( มนี กั เรยี นใหเ้ ลือก 5 คน ) ตาแหนง่ ท่ี 2 สามารถเลอื กนักเรียนมายนื ได้ 4 วธิ ี ( เหลือนกั เรยี นใหเ้ ลือก 4 คน ) ตาแหนง่ ท่ี 3 สามารถเลือกนักเรียนมายืนได้ 3 วิธี ( เหลือนักเรยี นให้เลือก 3 คน ) ตาแหนง่ ท่ี 4 สามารถเลอื กนกั เรยี นมายืนได้ 2 วธิ ี ( เหลือนักเรยี นใหเ้ ลอื ก 2 คน ) ตาแหน่งท่ี 5 สามารถเลือกนกั เรยี นมายืนได้ 1 วิธี ( เหลือนกั เรียนให้เลอื ก 1 คน ) ดังนัน้ จากหลักการคณู จานวนวธิ ยี ืนเข้าแถวของนกั เรยี น 5 คน คือ 5x4x3x2x1 = 5! = 120 วิธี

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 26 – ดร.บรรทม สุระพรตวั อยา่ งที่ 1.3.2 อักษร A,B,C,D และ E นาอักษรทงั้ หมดมาจัดเรยี งไดก้ ีว่ ธิ ี เม่อื 1.) ไมม่ เี งอ่ื นไขใดเพิ่มเตมิ 2.) อกั ษรทจี่ ดั เรียงจะต้องมกี ารเรยี ง AB 3.) อกั ษรทีจ่ ดั เรียงจะต้องให้อักษร AB อยตู่ ิดกันเสมอ วิธีทา 1.) อกั ษรมที ั้งหมด 5 ตวั นามาจัดเรียงสบั เปลยี่ นท้ัง 5 ตวั จานวนวิธกี ารจัดเท่ากับ 5! = 120 วธิ ี 2.) การจดั เรยี งต้องขน้ึ ตน้ ด้วย AB ถือว่า AB เป็นอกั ษรตัวเดียว ดงั นั้นอักษรท่ีจะนามาสบั เปล่ยี นมที ง้ั หมด 4 ตวั จานวนวิธกี ารจัดเรยี งสบั เปลีย่ น = 4! = 24 วธิ ี 3.) การจัดเรียงสับเปลยี่ นทม่ี ีอกั ษร A,B อย่ตู ิดกันถอื วา่ A,B เป็นอักษรตวั เดยี ว ดังน้ันมีอักษรให้จัด 4 ตวั การจดั เรยี งมี 2 ข้ันตอน ขั้นที่ 1 จดั เรยี งอกั ษร 4 ตวั ดังน้ี จานวนวธิ ีเรียงสบั เปลยี่ นตัวอักษร 4 ตัว มี 4! = 24 วธิ ี ข้ันที่ 2 การจัดเรียงสับเปลี่ยนของอักษรในกลุม่ ของ A และ B จานวนวิธีการจดั เรียง มี 2! = 2 วิธี ดงั นน้ั โดยหลักการคูณ จานวนวธิ กี ารจดั เรียงอักษรท้งั หมดเป็น 24 x 2 = 48 วิธี มีสิ่งของแตกตา่ งกนั 2 ชุด ชุดละ n ส่ิงเท่ากนั นาสิ่งของสองชุดมาจดั เรียงเป็ นแถวยาวและวาง สลบั กนั ระหวา่ งสิ่งของสองชุด โดยสลบั กนั ทีละ k ส่ิง ( เมื่อ k หาร n ลงตวั ) จานวนวธิ ีการเรียง สบั เปล่ียน 2! x n! x n! = 2! x (n! )2 วธิ ี ถา้ มีส่ิงของแตกตา่ งกนั m ชุด แต่ละชุดมี n ส่ิง นาสิ่งของท้งั หมดมาจดั เรียงเป็ นแถว โดยสลบั กนั ทีละ k ส่ิง ( เม่ือ k หาร n ลงตวั ) จานวนวธิ ีการเรียงสบั เปล่ียน = m!xn!x...xn! = m!x(n!)m วธิ ีตัวอย่างท่ี 1.3.3 นกั เรยี นใส่ชุดแดงจานวน 4 คน ใส่ชดุ ขาวจานวน 4 คน และใสช่ ุดสเี ขยี ว จานวน 4 คน จดั เข้าแถวหนา้ กระดานเรียงหนง่ึ ได้ก่ีวิธี เมอ่ื วธิ ที า 1.) นกั เรยี นใส่ชดุ สีต่างกนั สลบั กันทลี ะ 1 คน m = 3 และ k = 1 , n = 4 จานวนวธิ ีการจัดเรียงสับเปลยี่ น = 3! (4!)3 2.) นกั เรียนใส่ชุดสีตา่ งกันสลับกันทีละ 2 คน m = 3 และ k = 2 , n = 4 จานวนวธิ กี ารจดั เรียงสับเปลี่ยน = 3! (4!)3ตัวอย่างท่ี 1.3.4 นักเรียนชาย 6 คน นักเรยี นหญงิ 6 คน จดั เข้าแถวหน้ากระดานเรยี งหนึง่ จะ จดั ได้ก่ีวธิ ี เมื่อ 1.) ชายและหญิงสลับกันทีละ 1 คน เป็น 2!(6!)2 2.) ชายและหญิงสลบั กนั ทลี ะ 2 คน เปน็ 2!(6!)2 3.) ชายและหญิงสลบั กันทีละ 3 คน เปน็ 2!(6!)2 สังเกตเห็นว่าเราไม่ได้นา k มาคานวณดว้ ย ( ขอให้ k หาร n ได้ลงตวั เท่านัน้ )

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 27 – ดร.บรรทม สุระพรแบบฝกึ หดั ที่ 1.3.1 1. หนังสอื คณิตศาสตร์แตกต่างกัน 4 เลม่ หนังสือเคมีแตกตา่ งกัน 3 เล่ม และหนงั สือฟิสกิ สแ์ ตกตา่ ง กนั 2 เล่ม นามาจัดเรียงเป็นแถวบนชน้ั หนงั สอื ได้ก่ีวิธี เมอ่ื 1.1 หนงั สือวิชาเดียวกนั อยตู่ ดิ กัน ( 1,728 ) 1.2 หนังสือคณิตศาสตร์อยู่ติดกนั แต่หนงั สือเคมีอยู่ติดกัน 3 เลม่ ไมไ่ ด้ ( 13,824 ) 1.3 หนังสือทีอ่ ย่รู ิมสองดา้ นตอ้ งเป็นวิชาเดียวกัน ( 100,800 ) 2. สามี-ภรรยา จานวน 6 คู่จัดให้นงั่ ม้าน่งั 12 ตัว ทเ่ี รยี งเปน็ แถวจานวน 2 แถวๆ ละ 6 ตวั จะจัดได้ กี่วิธเี มือ่ 2.1 ผู้ชายนัง่ แถวเดียวกนั ( 1,036,800 ) 2.2 สามี-ภรรยา แตล่ ะคตู่ อ้ งนัง่ ติดกันและแถวเดียวกนั ( 46,080 ) 3. จากเลขโดด 2,3,4,5,6 และ 7 นามาเรยี งเปน็ เลข 6 หลัก จะจดั ได้กีว่ ิธี เมอื่ 3.1 จานวนดงั กล่าวหารด้วย 5 ไม่ลงตวั ( 600 ) 3.2 จานวนดังกล่าวเลขคู่และเลขค่สี ลับกันทีละหลัก โดยมี 1 และ 2 อยู่ติดกนั ( 40 ) 3.3 จานวนดงั กลา่ วเลขคแู่ ละเลขคส่ี ลับกนั ทีละหลัก หารด้วย 2 ลงตวั ( 36 ) 4. นาเลขโดด 1,2,3,4,5,6,7,8 และ 9 เตมิ ลงในช่องดงั รูป ช่องละ 1 ตวั จะมีวิธีเรยี งสับเปลี่ยนได้กี่วิธี 4.1 ต้องการใหเ้ ลข 1,2 และ 3 อยู่แถวเดียวกัน (12,960) 4.2 ตอ้ งการให้เลข 1,2 และ 3 อยู่คนละแถว (116,640) 5. นกั เรียนชาย 4 คน นกั เรียนหญงิ 4 คนและครู 1 คน ยนื เขา้ แถวยาวเพอ่ื ถ่ายรปู จะยืนได้ก่วี ิธี ถา้ 5.1 ครยู ืนตรงกลาง นักเรยี นชายยนื ตดิ กนั และนกั เรียนหญิงยืนตดิ กัน (1,152) 5.2 ครยู ืนริมและนกั เรยี นชายยนื ติดกัน และนักเรยี นหญงิ ยืนตดิ กัน (2,304) 5.3 ครูยืนตรงกลาง และติดกบั นักเรยี นชายคนหนึ่งและนกั เรยี นหญิงคนหนง่ึ (23,040) 5.4 ครูยนื ริมและนักเรยี นหญงิ ยนื ตดิ กัน (5,760) 6. ต้องการสลบั อกั ษรในคาวา่ “LINEAR” จะสลบั ได้ก่ีวิธี เมื่อ 6.1 สระอยรู่ มิ (144) 6.2 ขึน้ ตน้ ด้วยสระ (360) 6.3 พยญั ชนะอย่ตู ิดกนั (144) 7. มชี าย 6 คน หญิง 6 คน ในจานวนน้ีมีนายสมชาย และ นส.สมศรี รวมอยดู่ ว้ ย ถ้าต้องการจับคู่ ระหวา่ งชายและหญิง จะมีวธิ จี ับคไู่ ด้กว่ี ธิ ี เม่ือ 7.1 ไม่มเี งอื่ นไขใดเพิม่ เตมิ (720) 7.2 สมชายจับคู่กบั สมศรี (120) 7.3 สมชายไม่จับคกู่ บั สมศรี (600)

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 28 – ดร.บรรทม สุระพร1.3.1.2 วธิ ีเรยี งสับเปล่ยี นเชิงเส้นของส่ิงของ r สงิ่ จากสง่ิ ของทแ่ี ตกต่างกนั n สง่ิ (r  n ) พิจารณาตัวอย่างตอ่ ไปน้ี อกั ษร A,B,C,D และ E ถา้ นาตัวอกั ษรท้งั หมดมาจัดเรยี งเปน็ แถว ทีละ 3 ตัว จะจดั ได้กี่วิธี ตาแหนง่ มี 1 2 3 จดั ได้ 5 วธิ ี 4 วธิ ี 3 วธิ ี ตาแหนง่ ที่ 1 สามารถเลอื กอกั ษรมาวางได้ 5 วธิ ี ( มีอกั ษรใหเ้ ลือก 5 ตวั ) ตาแหน่งท่ี 2 สามารถเลอื กอกั ษรมาวางได้ 4 วิธี ( เหลอื อักษรใหเ้ ลือก 4 ตวั ) ตาแหนง่ ท่ี 3 สามารถเลือกอักษรมาวางได้ 3 วธิ ี ( เหลอื อักษรใหเ้ ลือก 3 ตวั ) โดยหลกั การคูณ จานวนวิธเี รยี งสับเปล่ียนอกั ษรทัง้ หมด เป็น 5 x4 x3 = 60 วธิ ี ถา้ มสี ิง่ ท่แี ตกตา่ งกัน n ส่ิงตอ้ งการนามาจัดทลี ะ r โดยท่ี r  n ดงั น้ันการจัดเรียงสบั เปลีย่ นส่งิ ของ จัดไดด้ งั นี้ ตาแหนง่ ที่ 1 สามารถเลอื กสง่ิ ของมาวางได้ n วิธี ( มสี ง่ิ ของใหเ้ ลอื ก n สิ่ง ) ตาแหนง่ ท่ี 2 สามารถเลอื กสง่ิ ของมาวางได้ n –1 วธิ ี ( มสี ิ่งของใหเ้ ลอื ก n –1 ส่ิง ) ตาแหน่งที่ 3 สามารถเลือกสงิ่ ของมาวางได้ n –2 วิธี ( มสี ง่ิ ของให้เลือก n –2 ส่งิ )ตาแหน่งท่ี r สามารถเลอื กสิ่งของมาวางได้ n–r + 1 วธิ ี (มใี หเ้ ลอื ก n–r+1 สงิ่ )โดยหลกั การคูณ จานวนวิธเี รียงสบั เปลีย่ นส่ิงของทลี ะ r สง่ิ จากสง่ิ ของทีแ่ ตกต่างกนัn ส่ิงมจี านวนวิธจี ดั เรยี งสบั เปล่ยี นเทา่ กบั nx(n –1)x(n–2)x (n–3) x… x (n–r+1) วธิ ี สัญลักษณ์ Pn,r หรอื nPr หรอื P(n, r) แทนการจัดเรียงสับเปล่ยี นสิ่งของr ส่ิงจากกล่มุ ทีแ่ ตกตา่ งกัน n ส่งิ โดยที่ r  nดังนั้น nPr = n x (n–1) x (n–2) x (n–3) x… x (n– r +1) n x (n  1)x (n  )2 x...x (n  r  1)x(n  r)x...x2x1  n! (n  r)x...x2x1 (n  r)!ตัวอยา่ งที่ 1.3.5 จากเลขโดด 1,2,3,4,5,6,7,8,9 นามาสรา้ งเป็นเลข 5 หลัก ได้กจี่ านวน ถา้ 1.) ไม่มเี งือ่ นไขเพ่ิมเตมิ 2.) หลกั แรกและหลักสดุ ท้ายเป็นเลขค่ี 3.) เลขคแู่ ละเลขค่สี ลับกนั ทลี ะหลกั 4.) จานวนท่สี รา้ งเป็นเลขคู่วธิ ที า 1.) ไมม่ เี ง่ือนไขเพม่ิ เติม หากเราใชส้ ตู ร nPr ได้ n = 9 , r = 5 9P5 = 9! = 9x8x7x6x5 = 15,120 วิธี (9  5)! หรืออาจจะคิดตามตาแหน่ง มี 5 ตาแหนง่ ตาแหน่งมี 1 2 3 4 5 จัดได้ 9 วธิ ี 8 วธิ ี 7 วธิ ี 6 วธิ ี 5 วิธี โดยหลกั การคูณ จงึ ได้ 9x8x7x6x5 = 15,120 วธิ ี

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 29 – ดร.บรรทม สุระพรวธิ ที า 2.) หลกั แรกและหลกั สุดท้ายเป็นเลขคี่เนื่องจากมเี ลขค่อี ยู่ 5 จานวนคือ 1,3,5,7,9 ดังน้นั หลักแรกเลือกได้ 5 วิธีและหลกั สุดท้ายเลือกได้ 4 วิธี ดังนั้นหลกั แรกและสุดทา้ ยเลือกได้ 5x4= 20 วธิ ี เหลอื 3 หลกั ตรงกลาง โดยมีเลขเหลือใหเ้ ลือกอีก 7 ตวั จึงได้n Pr ได้ n = 7 , r = 3 = 7P3 = 7! = 7x6x5 = 210 วิธี ดงั นัน้ (7  3)!เราสามารถจดั เรยี งสบั เปล่ียนไดท้ ง้ั หมด 20x210 = 4,200 วิธี3.) เลขคู่และเลขคีส่ ลับกนั ทลี ะหลกัเน่อื งจากมเี ลขคีจ่ านวน 5 ตวั คอื 1,3,5,7,9 และเลขคู่ 4 ตัวคอื 2,4,6,8คดิ เปน็ 2 กรณีคอื หลกั แรกเป็นเลขคี่ จัดได้ 5x4x4x3x3 = 720 วธิ ี อกี กรณีหลกั แรกเปน็ เลขคู่ จดั ได้ 4x5x3x4x2 = 480 วิธีดงั นน้ั วธิ จี ัดเรียงสบั เปลี่ยนทงั้ สองกรณีเกิดไมพ่ ร้อมกันจงึ ได้ 1,200 วธิ ี4.) จานวนท่ีสรา้ งเป็นเลขคู่เราพจิ าณาหลกั สดุ ท้ายต้องเปน็ เลขคู่ จงึ จะได้จานวนเปน็ เลขคู่ ซงึ่ มีเลขคู่ใหเ้ ลอื ก 4 ตวั จงึ เหลือเลขให้หลกั อืน่ เพียง 8 ตวั เลอื กมา 4 หลกัจึงได้ 8P4 = 8! = 8x7x6x5 = 1,680 วิธี (8  4)!ดงั นนั้ วธิ จี ัดเรียงสบั เปลย่ี นโดยหลักการคณู จงึ ได้ 1,680x4 = 6,720 วธิ ีตัวอย่างที่ 1.3.6 รถเมลค์ นั หน่งึ มที ี่นง่ั วา่ งอยู่ 7 ทน่ี ั่ง มผี โู้ ดยสารขนึ้ รถเมลค์ นั ดังกลา่ ว 3 คนสามารถจดั ผ้โู ดยสารนง่ั ไดก้ วี่ ธิ ี ถา้1.) ไมม่ ีเงอ่ื นไขเพ่ิมเตมิ2.) ผู้โดยสารทั้งสามคนนั่งตดิ กนั เสมอ3.) ไมม่ ีผู้โดยสารสองคนใดน่ังติดกนัวิธที า 1.) ไม่มเี งอื่ นไขเพ่มิ เตมิ หากเราใช้สตู ร nPr ได้ n = 7 , r = 37 P3 = 7! = 7x6x5 = 210 วิธี หรอื คดิ วา่ ผโู้ ดยสารคนที่ 1 เลือก (7  3)!น่ังได้ 7 วิธี คนที่สองเลอื กได้ 6 ทนี่ งั่ คนที่สามเลอื กได้ 5 วิธี ก็ได้เทา่ กนั2.) ผู้โดยสารทั้งสามคนนงั่ ติดกนั เสมอให้เราคดิ วา่ กลุ่มนที้ ัง้ สามคนเปน็ 1 กลมุ่ สามารถเลือกนั่งติดกันได้ 5 วธิ ีและภายในกลุม่ สามารถนัง่ สลับที่กันได้ 3! จึงจัดเรยี งได้ 3!x5 = 30 วธิ ี3.) ไม่มผี ูโ้ ดยสารสองคนใดนัง่ ติดกนัให้เราคดิ ว่าสองคนนงั่ ตดิ กนั เป็น 1 กลุ่ม สามารถเลือกนัง่ ตดิ กนั ได้ 6 วธิ ีและภายในกลุ่มสามารถนั่งสลบั ทีก่ ันได้ 2! จึงจัดเรยี งได้ 2!x6 = 12 วิธีซึง่ ทง้ั หมดมี 210 วิธี น่ังติดกัน 12 วธิ ี ดังนน้ั กรณีไมม่ ผี โู้ ดยสารสองคนใดนั่งตดิ กนั คือ 210 – 12 = 198 วิธีแนะนา ในกรณที ่เี ราจะคิดจานวนวิธีท่ีไม่ตดิ กัน ให้เราคดิ ตดิ กันกอ่ น (คอมพลเี มนต์) จะคดิ งา่ ย กว่า แล้วคอ่ ยนาไปหักออกจากจานวนวธิ ที ี่เปน็ ไปได้ทง้ั หมดก็จะได้วิธที ไี่ ม่ตดิ กันจ้า

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 30 – ดร.บรรทม สุระพรตัวอยา่ งที่ 1.3.7 ต้องการนาอกั ษรจากคาวา่ COMBINATER มาสรา้ งเป็นคาใหม่ ประกอบด้วยอกั ษร 5 ตัว โดยไม่คานงึ ถึงความหมาย จะสร้างได้กี่วิธถี า้1.) ไมม่ ีเงอ่ื นไขเพ่มิ เตมิ2.) ตัวแรกเปน็ พยัญชนะ3.) ตวั แรกและตัวสดุ ทา้ ยเป็นสระวิธีทา กาหนดให้ n = 10 และ r = 51.) ไม่มเี งอ่ื นไขเพิ่มเตมิดงั นน้ั =10P5 10! = 10x9x8x7x6 = 30,240 วิธี (10  5)!2.) ตวั แรกเป็นพยัญชนะดังน้นั มีพยัญชนะท่ีเลอื กให้เลอื กหลกั แรก C M B N T R เปน็ 6 วิธีใน 4 หลกั ทเ่ี หลอื มีอักษรให้เลือก 9 ตัว จงึ ได้ 9P4 = 9! วธิ ี (9  4)!= 9 x 8 x 7 x 6 = 3,024 วิธีดงั นัน้ โดยหลกั การคณู จานวนวธิ ีท่เี รียงสบั เปลย่ี นอักษรท้งั หมดเป็น= 6 x 3,024 = 18,144 วธิ ี3.) ตัวแรกและตวั สุดทา้ ยเปน็ สระดงั นัน้ การจัดเรยี งอกั ษรสับเปลย่ี น 5 ตวั จากท้ังหมด 10 ตัวอักษรมี 2 ข้ันตอนขน้ั ที่ 1 จดั เรยี งตัวแรกและตวั สดุ ทา้ ยเปน็ สระ O I A E โดยเลือกตัว แรกได้ 4 วธิ ี และเลอื กตัวสดุ ทา้ ยได้ 3 วธิ ี จงึ ได้ 4x3 = 12 วิธีขั้นท่ี 2 จดั เรยี งตวั อักษรใน 3 ตาแหนง่ ที่เหลือ ซึ่งมตี ัวอกั ษรให้เลือก อยู่ 8 ตวั จึงสามารถจัดเรยี งสับเปลยี่ นได้ 8P3 = 8! (8  3)! = 8 x 7 x 6 = 336 วธิ ีโดยหลักการคูณ จานวนวิธที ่ีเรียงสับเปลี่ยนอักษรท้ังหมดเปน็ = 12 x 336 = 4,032 วิธี1.3.1.3 วธิ ีเรียงสบั เปล่ียนแบบเชิงเสน้ ของส่ิงของท่ไี มแ่ ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด พิจารณา อักษร A,B,C หากเรานามาจัดเรยี งสับเปลยี่ นแบบเชิงเส้นจะได้ 3! = 6 วิธี ดังนี้ ABC ACB BAC BCA CAB และ CBA หากเราพิจารณา อกั ษรซ้ากนั คอื A,A,C ซึง่ แทนที่ B ดว้ ยอกั ษร A จะไดด้ ังนี้ AAC ACA AAC ACA CAA และ CAA จะเห็นว่ามวี ิธซี ้ากัน เหลือเพยี ง AAC ACA และ CAA เปน็ 3 วธิ ีเทา่ นนั้ หรือ พิจารณา อักษร A, A, A, B, B ถอื เป็นอักษรสองกลมุ่ นามาจดั เรียงสับเปลย่ี น ได้แตต่ า่ งเพียง 10 วธิ ี ดงั น้ี AAABB AABAB ABAAB BAAAB BAABA BABAA BBAAA ABBAA ABABA AABBA เนื่องจากอักษร A ซา้ กนั 3 ตวั และอกั ษร B ซ้ากนั 2 ตวั

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 31 – ดร.บรรทม สุระพรถ้าอักษร A ไม่ซ้ากนั สามารถสลับกันได้ 3! = 6 วธิ ีถา้ อกั ษร B ไม่ซา้ กัน สามารถสลบั กันได้ 2! = 2 วิธี ถ้าอักษร A ไม่ซา้ กัน และอักษร B ไมซ่ า้ กนั โดยหลกั การคูณมวี ิธีการเรยี งสบั เปลี่ยน ไดท้ ั้งหมด 10 x 6 x 2 = 120 วธิ ีดังนนั้ 10 = 120 = 5! วิธี 6x2 3!2!โดยทั่วไป ถา้ มีสิง่ ของท้ังหมด n ส่ิง มสี ่งิ ของซา้ กันอยู่ k กลมุ่ ดงั นี้ กลมุ่ ที่ 1 มีส่ิงของซ้ากัน n1 ส่งิ กลุม่ ที่ 2 มสี ง่ิ ของซา้ กัน n2 สงิ่กลุ่มท่ี k มสี ง่ิ ของซา้ กนั nk สิง่ดงั นนั้ จานวนวธิ เี รียงสับเปล่ยี นท้งั หมด k กลุ่ม เทา่ กบั n! วธิ ี n1 !n2 !...nk !ตวั อย่างท่ี 1.3.8 นาธงสีขาว 2 ผืน สแี ดง 3 ผืน และสีเหลอื ง 1 ผืน นาทง้ั หมดมาเรยี งกันเป็นสัญญาณตา่ งๆ ได้กแ่ี บบวธิ ีทา มีธงทง้ั หมด 6 ผนื ท่ซี ้ากันคือ สขี าว 2 ผนื สแี ดง 3 ผนื และสเี หลอื ง 1 ผนืจงึ ใชห้ ลกั การมีสง่ิ ซา้ ดงั นนั้ สลบั สใี หเ้ ป็นสญั ญาณต่างๆ ได้ 6! = 60 วิธี 2!3!ตวั อย่างท่ี 1.3.9 อักษรจากคาวา่ STATISTICS นามาสลับที่โดยไมซ่ า้ กนั ไดก้ ่วี ธิ ี วธิ ีทา มีจานวนตัวอักษรทง้ั หมด 10 ตัว มีทซ่ี ้ากันคอื S ซา้ 3 ตัว T ซา้ 3 ตัวและ I ซา้ 2 ตวั นอกนั้นมอี ย่างละ 1 ตวั จึงใชห้ ลักการมีส่ิงซ้า ดงั น้นั สลับทีก่ ันได้ ทั้งสิ้น 10! = 50,400 วธิ ี 3!3!2!1!1!ตัวอย่างท่ี 1.3.10 อกั ษรจากคาว่า MATHEMATICS นามาจดั เรยี งสับเปลี่ยน คราวละ 3 ตัว จะ จัดโดยไมซ่ า้ กันได้กี่วธิ ี วิธที า มีจานวนตวั อกั ษรท้งั หมด 11 ตวั มี 8 ตวั ท่ไี มซ่ ้ากนั มที ซี่ า้ กันคอื M ซา้ 2 ตัว A ซา้ 2 ตวั และ T ซา้ 2 ตัว นอกนั้นมีอย่างละตัว พิจาณากรณีทีไ่ ดอ้ ักษรไม่ซ้า 8 ตัว นามาจัดเรียงสบั เปลี่ยนได้ P(8,3) = 336 วิธี ถ้า M ซ้ากนั มี 7 แบบคอื MMA MMT MMH MME MMI MMC และ MMS แตล่ ะแบบสลับท่ไี ด้ 3 วิธี (MMA MAM AMM) ดังนนั้ กระทาได้ 7x3 = 21 วธิ ี ถ้า A หรอื T ซ้ากนั อยา่ งละ 2 ตวั แต่ละอยา่ งกระทาได้ 21 วธิ ี เชน่ เดยี วกนั ดังนน้ั วิธเี รยี งสบั ปล่ียนอกั ษรคราวละ 3 ตวั จะสามารถกระทา ได้ 336 + 21 + 21 + 21 = 399 วธิ ี

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 32 – ดร.บรรทม สุระพรตวั อยา่ งท่ี 1.3.11 จากแผนภาพ นาย A จะเดินทางไปหาเพ่อื น นาย C โดยมีลักษณะการเดนิ ตามเส้นทาง 2 ลกั ษณะเทา่ นน้ั คอื เดินไปขวา (E) และเดินข้นึ แนวตั้ง (N) เท่านน้ั C B A1.) นาย A เดินทางไปยังนาย Cวิธที า จะเหน็ ว่าทางเดินของนาย A จะสามารถเดนิ ไปทางขวา ( E ) มากทีส่ ุดคือ 7 วธิ ี และสามารถเดนิ ขนึ้ แนวตั้ง ( N ) ไดม้ ากท่สี ุด 5 วธิ ีดงั นั้น นาย A เดนิ ได้ EEEEEEE และ NNNNN ซง่ึ มีส่งิ ซ้ากัน จงึ ได้7 + 5 = 12 โดย n1 = 7 และ n2 = 5 นาย A จึงสามารถเดนิ ได้ 12! = 792 วธิ ี ตัวอย่างการเดินของเส้นประกเ็ ปน็ หนง่ึ ตวั อยา่ ง7!x5!ของการเดนิ จะได้ลกั ษณะการเดนิ E(ขวา) N(ข้ึน) ดงั น้ีEENNNEEEENNE จะสังเกตเหน็ ว่า มีตวั อักษร 12 ตัว และมี E ซา้กนั อยู่ 7 ตวั และอักษร N ซ้ากนั อยู่ 5 ตัว แมว้ า่ เราจะเลอื กเดนิ เส้นทางใดกต็ ามจะได้ลกั ษณะการเดนิ เช่นน้ี เพยี งแต่จะสลับตาแหนง่ของ E และ N เทา่ นน้ั เอง นาย A จึงสามารถเดินได้ 12! = 792 วิธี 7!x5!2.) ถ้านาย A เดินไปยงั นาย C โดยต้องผา่ นบ้านนาย Bวธิ ที า หลักการคิดจะแบง่ ออกเปน็ 2 ขนั้ ตอน คอืขัน้ ตอนท่ี 1 นาย A เดินทางไปยงั บา้ น นาย B สามารถเดินได้ 7! = 21 วิธี 5!x2!ข้ันตอนท่ี 2 จากนาย B เดินทางไปบ้านนาย C สามารถเดนิ ได้ 5! = 10 วิธี 3!x2!ดังนั้น โดยหลกั การคูณจานวนเส้นทางเดนิ ของนาย A ไปยังนาย Cโดยผ่านนาย B เดินได้ 21 x 10 = 210 วธิ ี

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 33 – ดร.บรรทม สุระพร1.3.2 วิธเี รียงสบั เปลย่ี นแบบเชิงวงกลม หมายถงึ การจดั เรยี งสง่ิ ของจานวนหนึง่ รอบสงิ่ ใดสิง่ หนง่ึ ซึง่ จะต่างจากการจดั เรยี ง สบั เปลยี่ นแบบเชิงเส้น ตรงท่แี บบวงกลมจะไมม่ ตี าแหน่งหัวแถวและหางแถว1.3.2.1 การจัดเรียงแบบวงกลมที่พลกิ ไมไ่ ด้พิจารณาการจัดเรียงอกั ษร A B C ดังน้ี1. จัดเรยี งสับเปล่ยี นแบบเสน้ ตรงจดั ได้ 3! = 6 วธิ ี ดงั น้ีABC CAB BCA (1)ACB BAC CBA (2)2. จัดเรียงแบบวงกลม จาก ( 1 ) จัดได้ดงั นี้ B ACCB BA AC Bจะเหน็ วา่ ท้งั สามวธิ ีวิธถี า้ หมุนตามเข็มนาฬกิ ากค็ ือวิธีเดียวกัน ดังนั้น 3 รูปแบบถือเป็น 1 วธิ ี และจาก ( 2 ) จัดเรียงได้ดังน้ีAB CBC CA ABจะเหน็ ว่าทงั้ สามวิธวี ธิ ถี า้ หมุนตามเข็มนาฬกิ าก็คือวิธเี ดยี วกัน ดงั น้ัน 3 รูปแบบถือเป็น 1 วิธี ดังนัน้ การจัดเรยี งแบบวงกลมจัดได้ 2 วธิ ี ถา้ สิ่งของตา่ งกนั n ส่ิง วธิ ีเรียงสบั เปลี่ยนแบบวงกลมแบบพลิกไมไ่ ด้ ทาไดโ้ ดยใหส้ ิ่งหน่ึงอยู่ คงที่ ส่ิงของท่ีเหลือ n – 1 ส่ิงจานวนวธิ ีเรียงสบั เปลี่ยนเท่ากบั ( n – 1 )!ตัวอยา่ งท่ี 1.3.12 จัดผชู้ าย 5 คน และผ้หู ญิง 3 คน นัง่ รอบโต๊ะวงกลมได้กว่ี ธิ ี ถา้ 1. ไม่มีเงอ่ื นไขใดๆ 2. มหี ญิงชายคู่หน่ึงที่ไมต่ ้องการนง่ั ติดกนั 3. ไม่มผี หู้ ญงิ น่ังตดิ กันวิธที า 1. เมอื่ ไมม่ ีเง่ือนไขเพ่มิ เติม จึงจัดคน 8 คน นั่งรอบโต๊ะกลมได้ 7! วิธี 2. มหี ญิงชายคูห่ นึ่งท่ไี ม่ตอ้ งการนง่ั ติดกัน คอื ชาย1 และ หญงิ 1 จัดผู้ชาย 5 คน และผหู้ ญิง 2 คน ยกเวน้ หญงิ 1 เข้านงั่ รอบโตะ๊ กลมทาได้ (7–1)! = 6! วธิ ี

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 34 – ดร.บรรทม สุระพรพจิ ารณาการน่ังรอบโตะ๊ กลมท้ัง 7 คน วธิ ีหนึง่ ดังรปู หญิง2 ชาย4 ชาย3 ชาย1 ชาย5 ชาย2 หญิง3จะเหน็ ว่ามี 5 ตาแหนง่ ทเี่ มอื่ หญงิ 1 เขา้ ไปแทรกแล้วจะไม่นัง่ ติดกับ ชาย1ดังนั้น จานวนวิธจี ัดคนนั่งรอบโต๊ะกลมตามเงอื่ นไขทต่ี ้องการเท่ากบั 6!x5=3600 วธิ ีหรือโดยใชห้ ลักคอมพลีเมนท์ ซ่ึงพจิ ารณาว่า ชาย1 นง่ั ตดิ กบั หญงิ 1 ( ถอื เสมอื นหน่ึงว่า ชาย1 และ หญงิ 1 ผูกตดิ เป็นหน่ึงเดยี ว คอื (7–1)!x2! = 1440 วธิ ีดงั นัน้ โดยหลักคอมพลีเมนท์ ได้ว่า จานวนวธิ ีจัดคนเข้าไปนงั่ โดย ชาย1 นัง่ ไม่ติดกบัหญิง1 คือ 7! – 1440 = 3600 วธิ ี3.) ไมม่ ีผหู้ ญิงน่งั ติดกนั จัดให้ผชู้ ายท้ัง 5 คน นงั่ รอบโตะ๊ กลม ทาได้ ( 5 – 1 )! = 4! วธิ ี พิจารณาการนง่ั รอบโตะ๊ กลมของชายทง้ั 5 คน วิธีหนึ่ง ดังรปู ชาย1 ชาย5 ชาย2 ชาย4 ชาย3 จดั ให้ผู้หญิงแต่ละคนเข้าไปแทรกตาแหนง่ ระหว่างผู้ชาย ให้ หญงิ 1 เลอื กที่ เขา้ ไปแทรกกอ่ นได้ 5 วธิ ี จากนั้น หญงิ 2 และ หญงิ 3 เลอื กตาแหน่งเข้าไปน่ัง แทรกได้ 4 และ 3 วิธี ตามลาดับ ดังนั้น จานวนวิธีจัดคนน่ังรอบโตะ๊ กลมตามเงื่อนไขทีต่ ้องการเท่ากบั 4!.5.4.3 = 1440 วิธีตวั อย่างที่ 1.3.13 จงหาจานวนวิธใี นการจัดให้คู่สามภี รรยา n คนู่ ัง่ รอบโต๊ะกลม ตามเง่ือนไข ในแต่ละกรณีต่อไปนี้ 1. ผู้ชายนัง่ สลับกบั ผหู้ ญิง 2. ผู้หญิงตอ้ งน่ังติดกันกบั สามีของตนเอง วธิ ีทา 1.) จดั ผู้ชาย n คน นงั่ รอบโตะ๊ กลมได้ (n –1)! วธิ ี จากนัน้ จัดใหผ้ หู้ ญงิ n คน เข้าไปแทรกท่ีวา่ ง n ท่รี ะหวา่ งผู้ชายได้ n! ดงั น้นั จดั ค่สู ามีภรรยาทง้ั หมด ใหน้ งั่ สลับชายหญิงได้ (n –1)! n! วิธี 2.) มองสามีภรรยาเป็นคๆู่ ท้งั หมด n คู่ ทไ่ี มแ่ ยกจากกนั จดั n คูเ่ รยี งรอบโต๊ะกลมได้ (n –1)! วธิ ี แตล่ ะคสู่ ลับตาแหนง่ กันได้ภายในคู่ ไดค้ ูล่ ะ 2! วิธี ดงั นนั้ จัดคู่สามภี รรยาทัง้ หมดใหผ้ ู้หญิงน่งั ติดกันกับสามีของตนเองได้ (n –1)!2n วิธี

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 35 – ดร.บรรทม สุระพร1.3.2.2 การจดั เรยี งแบบวงกลมท่ีพลิกได้ เชน่ พวงมาลยั พิจารณาการจดั เรียงอกั ษร A B C และ D แบบวงกลม จัดได้ 6 วิธี ดังน้ี AACD DCBBAABD DBCCAABC CB DD จะเห็นวา่ แตล่ ะค่ถู ้าพลกิ จะเปน็ วธิ ีเดยี วกัน ดังน้ัน ABC และ D จัดเรยี งเปน็ วงกลม แบบพลิกได้จะจัดได้ 1 วธิ ี ดงั นั้น การจัดเรียงอกั ษร ABC และ D เป็นวงกลมแบบพลกิ ได้ จงึ จดั ได้ 3 วธิ ีถา้ มีสิ่งแตกตา่ งกนั n สิ่ง วธิ ีเรียงสบั เปล่ียนแบบวงกลมแบบพลิกไดจ้ านวนวธิ ีเรียงสบั เปล่ียนเท่ากบั (n 1)! วธิ ี 2ตวั อยา่ งท่ี 1.3.14 ลูกปัดสีตา่ งกันจานวน 6 ลกู ในจานวนนม้ี ีสแี ดงและสีดารวมอยดู่ ้วย นาลูกปัดเหล่าน้ีมาร้อยเปน็ กาไลทแ่ี ตกตา่ งกนั กี่แบบ เม่อื1.) สีแดงอยู่ตดิ กับสดี า2.) สแี ดงอยูต่ รงข้ามกับสดี า3.) สีแดงไม่อยู่ตดิ กับสีดาวธิ ีทา 1.) สีแดงอย่ตู ิดกับสดี าพจิ ารณาใหล้ ูกปดั สแี ดงและสดี า ถอื เปน็ ลูกปดั เดียวกัน จงึ เหลือลกู ปดั5 ลกู จัดได้ (5 – 1)! และท้ัง 2 ลูก สลบั กันได้ 2! วธิ ีดงั น้นั จานวนวิธีร้อยเป็นกาไลทลี่ ูกปดั สีแดงอยตู่ ดิ กับสดี าเป็น(5 1)!2! = 4! = 24 วธิ ี 2

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 36 – ดร.บรรทม สุระพร2.) สีแดงอยตู่ รงข้ามกับสดี า พจิ ารณาการจัดร้อยลูกปัด แดง ดาพจิ ารณาจดั ลูกปดั สีแดงอยตู่ รงข้ามสีดา ได้ 2! วิธีทเี่ หลืออีก 4 ลกู จัดเปน็ วงกลมได้ (4 – 1)! และพลกิ ได้ดังนั้น จานวนวิธเี รียงสับเปลย่ี นเทา่ กับ (4 1)!2! = 3! = 6 วธิ ี 23.) สีแดงไมอ่ ยูต่ ิดกบั สดี าพจิ ารณาจดั ลกู ปดั สีตา่ งกนั ท้งั หมด 6 ลกู มารอ้ ยเปน็ กาไลสามารถจดัได้ (6 1)! = 5! = 120 = 60 วิธี 2 2 2แลว้ ลูกปดั สีแดงตดิ กับสีดามี 24 วิธีดังนนั้ โดยหลกั การคอมพลเี มนท์ จะไดว้ า่ สีแดงไม่อยูต่ ดิ กบั สีดา เป็น60 – 24 = 36 วิธีแบบฝึกหัดท่ี 1.3.2 1. จากคาวา่ PERMUTATION นาอักษรมาสร้างเปน็ คาใหม่ประกอบด้วยอักษร 5 ตัว โดยไม่คานงึ ถึง ความหมาย จะสรา้ งไดก้ ค่ี า ถา้ 1.1 ไมม่ ีเงือ่ นไข ( 30,240 ) 1.2 อักษรตัวแรกต้องเปน็ สระ ( 15,210 ) 1.3 อกั ษรตวั กลางต้องเป็นสระ ( 15,210 ) 1.4 อักษรตัวแรกเปน็ พยญั ชนะและตัวสุดทา้ ยเปน็ สระ ( 8,400 ) 2. ชาย 6 คน หญงิ 5 คน นามาจัดเขา้ แถวหน้ากระดาน ไดก้ วี่ ิธี ถา้ 2.1 ระหวา่ งชายสองคนมีหญิงคนั่ เสมอ ( 86,400 ) 2.2 ระหว่างหญงิ สองคนมชี ายคั่นเสมอ ( 30,240 ) 2.3 หญิงยืนติดกนั ( 120,940 ) 3. สามี – ภรรยา จานวน 3 คู่ จัดใหน้ งั่ เก้าอี้ 12 ตวั ไดก้ ี่วิธี ถา้ 3.1 ไม่มีเง่อื นไข ( 665,280 ) 3.2 คนท้ังหมดนง่ั ติดกนั ( 5,040 ) 3.3 คนทัง้ หมดนง่ั ติดกันและสามี – ภรรยากนั นง่ั ตดิ กัน ( 336 ) 3.4 ไมม่ ีสองคนใดนงั่ ตดิ กัน ( 5,040 )

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 37 – ดร.บรรทม สุระพร4. จากเลขโดด 2,2,4,5,5,5, และ 7 นามาสรา้ งเป็นเลข 4 หลกั ได้กี่วิธี ถา้ 4.1 แตล่ ะหลักไม่ซา้ กนั ( 24 ) 4.2 แต่ละหลักซ้ากนั ได้ ( 256 ) 4.3 ผลบวกของจานวนทแี่ ต่ละหลกั ไมซ่ ้ากัน ( 119,988 )5. สามี – ภรรยา จานวน 6 คู่ จบั คูเ่ ต้นราไดก้ ่ีวิธี เมอ่ื 5.1 แตล่ ะคนเต้นราคูก่ บั ใครกไ็ ด้ ( 720 ) 5.2 สมชายและสมศรี ซง่ึ เป็นสามี – ภรรยา กนั ได้เต้นราคกู่ นั ( 120 ) 5.3 สมชายและสมศรี ซงึ่ เปน็ สามี – ภรรยา กัน และพนัสกบั นงเยาว์ ซึ่งเป็นสามี – ภรรยากนั ไม่ได้เตน้ ราคู่กัน ( 96 )6. จงหาคา่ ของฟงั ก์ชันต่อไปน้ี6.1 5! (120) 6.2 10! (120) 6.3 6P3 (120) 6.4 10P1 (10) 3!7!7. จงหาค่าของ n เมอื่ ( )7.3 nP10  15n1P9 15 7.1 nP2  930 (31) 7.2 nP3  3nP2 (5)8. ผู้โดยสารรถเมล์ 6 คน จะมวี ิธเี ลอื กท่นี ั่งได้ก่ีวิธี 8.2 ถา้ มที ี่น่ัง 10 ท่ี (151,200) 8.1 ถ้ามีทน่ี งั่ เพยี ง 4 ทีน่ ง่ั (360)9. สลากกนิ แบง่ มีเลข 6 ตาแหนง่ (หลัก) มกี ่ีใบท่ีตัวเลขในแต่ละตาแหนง่ ไม่ซ้ากันเลย (151,200)10. มีจุด 7 จุดทไ่ี ม่อยบู่ นเส้นตรงเดยี วกนั จะเขียนลูกศรโดยทจ่ี ดุ เหล่านีเ้ ปน็ จดุ ตน้ และจดุ ปลายได้ท้งั หมดกี่ ลกู ศร หรือเปน็ สองเทา่ ของการลากเส้นตรงเช่ือมจุดเหล่านน้ั (42)11. เรามีวธิ ีจดั หนังสือต่างๆ กนั 7 เล่มบนชั้นวางหนงั สอื ได้ก่ีวิธี ถ้า 11.1 ไม่มีข้อกาหนดอื่นเพม่ิ เตมิ (5040) 11.2 มหี นังสอื 3 เล่ม ตอ้ งอยตู่ ดิ กนั (720) 11.3 มี 2 เลม่ ต้องอยตู่ ิดกัน และอกี 3 เลม่ ต้องอยตู่ ิดกนั (288)12. มที ่ีปลูกบา้ น 5 แปลง จะมีวธิ ีวางผังปลกู บ้านแบบต่างๆ 5 หลัง ลงบนที่ดนิ เหลา่ น้ี แปลงละหลัง ไดก้ ี่วิธี (120)13. มีหนังสอื วชิ าคณติ ศาสตร์ 5 เล่ม หนังสือวชิ าเคมี 3 เล่ม และหนงั สอื วชิ าฟสิ ิกส์ 2 เลม่ จะจัดบนช้ันวาง หนังสือ โดยให้แต่ละวิชาอยพู่ วกเดยี วกัน ได้กวี่ ธิ ี (8640)14. ต้นไม้ 6 ตน้ พันธ์ตุ ่างๆ กนั จะมวี ธิ ปี ลกู ลอ้ มเปน็ วงกลมไดก้ ่ีวิธี ถ้า14.1 ไมม่ เี งือ่ นไขใดเพมิ่ เติม (120) 14.2 มเี งอื่ นไขวา่ มอี ยู่ 2 ต้นทตี่ อ้ งปลูกเรยี งตดิ กนั (48)15. มลี ูกปัดสีตา่ งๆ 7 ลกู นามาร้อยเปน็ พวงวงกลม ได้พวงลูกปดั แบบต่างๆ กวี่ ธิ ี (360)16. ลอ้ เกวียนล้อหน่ึงมซี ่ีลอ้ 12 ซี่ จะทาสี 12 สบี นซี่ลอ้ ซ่ลี ะสี สลบั กันได้ก่วี ิธี โดยไมซ่ ้ากนั มขี อ้ กาหนดว่า สี สองสีคือแดงกับเขียวต้ออยูต่ ดิ กนั (3,628,800)

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนับ หนา้ – 38 – ดร.บรรทม สุระพร17. ชาย 6 คน หญงิ 6 คน ยืนเรียงแถวหนา้ กระดาน ได้กว่ี ิธี ถา้17.1 ไมม่ ขี อ้ กาหนดเพิม่ เตมิ (479,001,600) 17.2 ชายกบั หญงิ ยนื สลับกัน (1,036,800)17.3 ชายกบั หญงิ ยนื สลบั กันทลี ะ 2 คน ( ) 17.4 ชายกับหญิงยนื สลับกันทีละ 3 คน ( )17.5 ชาย 6 คนยนื ตดิ กนั หญิง 6 คนยนื ตดิ กัน (ข้อ 17.2 – 17.5)18. ชาย 6 คน หญิง 6 คน ยนื เรยี งเป็นวงกลม ได้ก่วี ิธี ถา้ มขี ้อแม้เดียวกนั กับขอ้ 12 (18.1 39,916,800 18.2 86,400 18.3 172,800 18.4 259,200 18.5 518,400 )19. อกั ษรจากคาว่า STATISTICS สลับท่ีกันไดก้ ี่วธิ ี โดยไม่ซ้ากนั (50,400)20. มีตน้ มะม่วง 2 ต้น ขนุน 3 ต้น และทเุ รียน 2 ต้น ปลกู เรียงแถว จะสลบั ที่กนั ได้กวี่ ิธี (210)21. มีธงสเี หลือง 3 ผืน สีแดง 2 ผืน สีขาว 4 ผนื นามาผูกเปน็ สัญญาณในแนวด่ิงจะมีสัญญาณต่างๆ กันได้ก่ี แบบ (1,260)22. ถ้าเราทราบวา่ เลขท้ายสามตัวของสลากกินแบง่ จะมตี ัวเลข 4 อยตู่ วั หน่ึงหรอื สองตวั มีเลข 6 ตวั หนึ่งหรอื (และ) เลข 7 ตัวหน่ึง เลขทา้ ยสามตัวดงั กลา่ วจะเป็นไปไดก้ ่ีหมายเลข (12)23. มตี ัวอักษร A 2 ตวั B 2 ตัว C และ D อยา่ งละตัว นามาจดั ลาดบั คราวละ 4 ตวั มีแบบต่างๆ ไมซ่ ้ากนั กี่ แบบ (102)24. มตี ัวอกั ษร a,b,c,d,e จะนาอกั ษรเหลา่ นีม้ าจัดลาดบั เปน็ สัญลกั ษณ์ต่างๆ คราวละ 1 หรือ 2 หรือ 3 ตัว จะ เปน็ สญั ลักษณ์ตา่ งๆ กนั ก่ีแบบ (85)25. มีอกั ษร A,B และอักษรอ่ืนอกี 8 ตวั ท่ไี มเ่ หมือนกัน จะจดั เรยี งสบั เปล่ยี นได้กวี่ ิธี ถา้ ระหวา่ งอักษร A และ B มีอักษรอน่ื คัน่ 4 ตัว (403,200)26. กาหนดรปู เป็นตารางดงั น้ี Q F H A B C D E GP จากแผนภาพ นาย ก จะเดินทางจากจดุ P ไปหาเพ่ือน นาย ข ณ จุด Q โดยมลี กั ษณะการเดนิ ตามเส้นทาง 2 ลักษณะเทา่ น้นั คอื เดนิ ไปขวา (E) และเดนิ ขึ้นแนวตงั้ (N) เทา่ นน้ั26.1 จงหาจานวนเสน้ ทางทผี่ า่ นเส้นทบึ เพยี ง 1 เสน้ (1088)26.2 จงหาจานวนวธิ ที จ่ี ะเดินผ่านเสน้ ทบึ เพยี ง 2 เสน้ ใดๆ ใน 4 เส้น (411)