หัวข้อ 1_1

เอกสารประกคณอิตศบาสกตรา์เชริงกเารรจียดั กนาดรรนก.บับารรรทหสมนา้ สอุ–ระน1พ–ร หลกั เกณฑเ์ กี่ยวกบั การนบั และความน่าจะเป็น โดย ผศ.ดร.บรรทม สุระพร คอมบนิ าทอรกิ [ ]Combinatorics1. หลกั และวธิ ีการนับ 1.1 เซต (Sets) ก. ความรูพ้ ้นื ฐานเก่ยี วกับเซต ก.1 เซตและสมาชกิ ของเซต (Sets and Element of Sets) 1. เซต คือกลุม่ ของคน สตั ว์ ส่ิงของ ที่มีคณุ สมบัตบิ างอย่างรว่ มกัน ทเ่ี ราไดร้ วบรวมไวเ้ พ่ือ ศึกษา ซึง่ อาจจะมีจานวนนับถ้วนหรอื จานวนนบั ไม่ถ้วนกไ็ ด้ เชน่ เซตของจานวนวนั ใน หนึ่งสัปดาห์ เซตของจานวนเต็มบวก เซตของสระในภาษาไทย เปน็ ต้น 2. สมาชกิ ของเซต(Element of Sets) คอื ทุกส่งิ ที่อยู่ภายในเซตนัน้ ๆ ซง่ึ เมอ่ื กลา่ วถึงเซตใดแล้ว สามารถบอกได้ทันทีว่าเซตน้ันมีสมาชิกหรอื ไม่มีสมาชกิ กำหนดให้ A เป็นเซตจากดั จานวนสมาชกิ ของเซต A เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ n(A) เช่น A = { a, b, c, d, e } ดงั นั้น n(A) = 5 3. สญั ลกั ษณ์แทนเซต นยิ มใชต้ ัวอักษรตัวพมิ พ์ใหญ่ A, B, C,… แทนเซต และใชอ้ กั ษร ตวั เขยี นเลก็ a, b, c,... แทนสมาชิกของเซต สญั ลกั ษณ์ “” แทนเป็นสมาชกิ เช่น a  A สญั ลกั ษณ์ “” แทนไม่เปน็ สมาชกิ เชน่ f  A 4. วธิ เี ขียนเซต มีวธิ ีเขียนได้ 2 แบบ คือ 4.1 เขียนแบบแจกแจงสมาชิก คอื เขียนชื่อเซตตามด้วยเคร่อื งหมายเทา่ กับ แล้ววงเลบ็ ปกี กาเปิด และเขยี นสมาชิกทุกตัวของเซตโดยใชเ้ คร่ืองหมายจุลภาค“,” ค่นั ระหวา่ ง สมาชิกแตล่ ะตวั แลว้ วงเล็บปกี กาปิด ซง่ึ แบ่งเปน็ 3 วิธี - ถ้าสมาชกิ มจี านวนน้อย ใหเ้ ขียนสมาชกิ ทกุ ตัวลงในเซต เช่น A เป็นเซตของสระ ในภาษาองั กฤษ เขยี นไดด้ งั น้ี A = { a, e, i, o, u } - ถา้ สมาชิกมีไมม่ ากนัก ให้เขียนสมาชิกสามตวั แรกและเติมจุดสามจุด แลว้ เขียน ตัวสุดท้าย เช่น B เปน็ เซตของจานวนนับตั้งแต่ 1 ถงึ 200 เขยี นไดด้ งั น้ี B = { 1, 2, 3, …, 199, 200 } - ถา้ สมาชิกมีจานวนมาก ให้เขียนสมาชกิ เพยี งบางส่วนและเตมิ จดุ สามจุด เช่น C แทนเซตของจานวนนับ เขยี นไดด้ ังนี้ C = { 1, 2, 3, … } หรอื D แทนเซตของ จานวนเต็ม เขยี นได้ดังน้ี D = { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … } หรอื อาจเขยี น แทนดว้ ย D = { 0, 1, 2, 3, … }

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 2 – ดร.บรรทม สุระพร4.2 เขยี นแบบบอกเง่ือนไข คอื เขียนช่ือเซตตามด้วยเครื่องหมายเท่ากับแลว้ วงเล็บปีกกา เปดิ เขียนตวั แปร เชน่ x, y หลงั ตัวแปรมีเคร่ืองหมาย “|” ตามดว้ ยการบ่งบอก คณุ สมบัติของสมาชกิ ในรูปแบบตัวแปร แลว้ วงเล็บปีกกาปดิ เช่น ให้ A แทนเซตของจานวนคู่ เขยี นได้ดงั นี้ A = { x | x เป็นจานวนคู่ } ให้ B แทนเซตของจังหวดั ในประเทศไทย เขยี นไดด้ ังนี้ B = { y | y เป็นช่ือจงั หวดั ในประเทศไทย }ก.2 ชนดิ ของเซต (Type of Sets)1. เซตวำ่ ง (Empty Sets or Null Sets)เซตวา่ ง คือเซตที่ไมม่ ีสมาชกิ เลย เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ { } หรือ  (อา่ นว่า phi )เชน่ A = { x | x เป็นจานวนนับท่ีนอ้ ยกว่าศูนย์ } จะไดว้ า่ A = { } หรอื A = เพราะจานวนนับทีน่ อ้ ยกวา่ ศูนยน์ ัน้ ไม่มีขอ้ ควรระวัง 1. { } =  2. { }  {  }2. เซตจำกัด (Finite Sets)เซตจากดั คอื เซตท่สี ามารถนบั จานวนสมาชิกได้ครบทุกตวั และจานวนสมาชกิ ของเซตจากัดเท่ากับจานวนเตม็ บวกจานวนใดจานวนหนง่ึ หรือศนู ย์ เช่น A = { } ,B = { 1, 2, 3,…, 500 }, C = { x | x เปน็ จานวนคู่บวกที่น้อยกว่า 100 }3. เซตอนนั ต์ (Infinite Sets)เซตอนันต์ คือ เซตท่ไี ม่สามารถนบั จานวนสมาชกิ ได้ว่าเปน็ เท่าใด เช่นA = { 1, 2, 3,… } , B = { y | y เป็นจานวนคู่ }4. เซตท่เี ทำ่ กัน (Identical Sets or Equal Sets)เซตท่เี ท่ากนั คือ เซตทีม่ ีจานวนสมาชิกเท่ากนั และเหมือนกนั ทุกตวั เช่น A = { a,b, c } และ B = { b, a, c } จะเหน็ ว่า A และ B มีจานวนสมาชกิ เทา่ กันคอื 3 ตัวและสมาชกิ ทุกตัวเหมือนกันคือ a, b ,c แมล้ าดับจะไม่เหมือนกัน จะไดว้ า่ A = B ถ้าให้ C = { 5, 6, 7 } จะไดว้ ่า A  C5. เซตทเี่ ทียบเท่ำกนั (Equivalent Sets)เซตทเ่ี ทียบเท่ากนั คือ เซตทีม่ ีจานวนสมาชกิ เท่ากันและสามารถจับคู่หนงึ่ ตอ่ หนึ่งได้ ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “  ” แทน เช่น A = { 2, 3, 4 } , B = { 6, 7, 8 } จะเห็นวา่ Aและ B มจี านวนสมาชกิ เท่ากัน คอื 3 ตวั จะไดว้ า่ AB (อ่านวา่ A เทียบเทา่ กับ B)ก.3 สับเซต (Subsets) ถา้ สมาชกิ ทุกตัวของ A เปน็ สมาชิกทุกตวั ของ B เรากล่าววา่ A เปน็ สับเซตของ B เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A  B เชน่ A = { 2, 4, 6, 8 } , B = { x | x เป็นจานวนคู่ } จะ ไดว้ า่ A  B ถ้าสมาชกิ บางตวั ของ A ไม่เปน็ สมาชกิ ของ B เรากลา่ วว่า A ไมเ่ ปน็ สบั เซตของ B เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ A  B เชน่ A = { 1, 2, 3, 5 } , B = { x | x เปน็ จานวนค่ี } จะ ไดว้ ่า A  B

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 3 – ดร.บรรทม สุระพรข้อตกลงเกย่ี วกับสบั เซต1. เซตทุกเซตเปน็ สับเซตของตัวมนั เอง นั่นคือ A  A หรอื B  B2. เซตวา่ งเป็นสับเซตของเซตทกุ เซต นัน่ คือ { }  A หรอื   Bการหาจานวนสบั เซตของเซตใดๆ คือ การนาสมาชิกในเซตน้ันมาเขียนเป็นเซตใหม่ให้เปน็ เซตทมี่ สี มาชิก 0 ตัว 1 ตวั 2 ตวั 3 ตวั .... n ตวั โดยท่ี n คือจานวนสมาชกิ ท่อี ยู่ในเซตนั้นๆ จานวนสับเซตท่ีไดจ้ ะมีจานวนเทา่ กับ 2n เซต เชน่ A = { a, b, c } จานวนสับเซตทัง้ หมดของเซต A หาได้ดังนี้เซตท่มี สี มาชกิ 0 ตัว หรอื ไม่มีสมาชิกเลย คือ { } เปน็ สับเซตแทข้ อง Aเซตที่มีสมาชิก 1 ตวั คือ { a } , { b } และ { c } เปน็ สับเซตแท้ของ Aเซตท่มี สี มาชิก 2 ตัว คือ { a, b } , { a, c } และ { b, c } เปน็ สบั เซตแทข้ อง Aเซตท่มี สี มาชิก 3 ตัว คือ { a, b, c } เปน็ สับเซตไม่แทข้ อง A ฉะนัน้ จานวนสบั เซตทง้ั หมดของเซต A คือ { }, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} และ {a,b,c} มีทั้งหมด 8 จานวน หรือเทา่ กับ 23 = 8 เมื่อ 3 เปน็ จานวนสมาชิกของเซต A สบั เซตแท้ของเซต A คอื สบั เซตทกุ สับเซตของเซต A ทีม่ จี านวนสมาชิกไม่เท่ากับจานวน สมาชกิ ของเซต A ข้อควรระวงั เคร่อื งหมาย “เป็นสมาชกิ ” เขียนแทนดว้ ย  และเคร่ืองหมาย “เป็นสับ เซต” เขยี นแทนดว้ ย  ซึ่งมีความหมายต่างกันคือ  เป็นการเขียนระหว่างสมาชกิ ของ เซตกับตัวเซต เช่น a  A หรือ a  { a, b, c } ซง่ึ ทางซา้ ยมือของ  เป็นสมาชกิ ของเซต ทางขวามือ สว่ นเคร่อื งหมาย  เปน็ การเขยี นระหวา่ งเซตกบั เซต เช่น {a}  {a, b, c} หรือ {a}  A ข้อสังเกต 1. {a}  {{a}, b, c} 2. {{a}}  {{a}, b, c}ก.4 เพาเวอร์เซต (Power Sets) เพาเวอร์เซตของเซต A คือเซตของสับเซตทงั้ หมดของเซต A เมื่อ A เปน็ เซตจากัด เขียน แทนดว้ ย P(A) เช่น A = { 1, 2, 3 } สบั เซตของเซต A คือ , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} ฉะนนั้ เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A หรอื เพาเวอรเ์ ซตของเซต A คอื P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} จานวนสมาชิกของ P(A) มีคา่ เท่า กบั จานวนสับเซตของเซต A หรือเทา่ กับ 2n ตวั เม่ือ n คอื จานวนสมาชกิ ทีอ่ ยูใ่ นเซต A ขอ้ ควรจา 1. จานวนสมาชกิ ของเพาเวอร์เซตจะต้องเป็นเลขคู่เสมอ เพราะได้จากสตู ร 2n 2. การทีจ่ ะหาจานวนสมาชกิ ของ P(A) ไดน้ นั้ A ต้องเป็นเซตจากดั เท่าน้นั 3. เพาเวอรเ์ ซตจะมสี มาชิกน้อยท่ีสดุ 1 สับเซต กรณีท่ีเซตนั้นเปน็ เซตวา่ งก.5 เอกภพสมั พทั ธ์ (Relative Universe) เอกภพสัมพทั ธ์ คอื เซตที่กาหนดขนึ้ โดยมีข้อตกลงวา่ จะไม่กลา่ วถึงเซตใดนอกเหนือ ไปจากเซตของเซตทกี่ าหนดข้ึนน้ี เช่นถ้ากล่าวถึงเซตของจานวนใดๆ ถ้าไม่กาหนดเอกภพ สัมพทั ธ์มาให้ แสดงวา่ เอกภพสัมพทั ธ์นั้นคือเซตของจานวนจริง เอกภพสัมพทั ธ์ นยิ มใช้ สญั ลักษณ์ “U”

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 4 – ดร.บรรทม สุระพรข. การกระทาระหวา่ งเซต (Operations of Sets) ถา้ เรามเี ซตตั้งแต่ 2 เซตขึ้นไป ตอ้ งการกระทาให้เกดิ เซตใหมข่ ึน้ มา เรามีวธิ กี ระทาอยู่ 4 อย่าง คอื ยเู นยี น อินเตอรเ์ ซกชัน คอมพลีเมนต์และผลต่าง ข.1 ยเู นยี น (Union) ยเู นียนของเซต A และเซต B คือเซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกของเซต A หรือ สมาชกิ ของเซต B หรอื สมาชกิ ของทั้งสองเซต เขยี นแทนด้วย A  B น่ันคือ A  B = { x | x  A หรอื x  B หรือ x เปน็ สมาชกิ ของท้ังสองเซต } เชน่ A = { a, b, c } , B = { 1, 2, 3, 4 } จะไดว้ ่า A  B = { a, b, c, 1, 2, 3, 4 } ข.2 อนิ เตอร์เซกชนั (Intersection) อนิ เตอรเ์ ซกชันของเซต A และเซต B คอื เซตท่ีประกอบด้วยสมาชกิ ท่ีเปน็ ท้งั เซต A และเซต B เขยี นแทนดว้ ย A  B นนั่ คือ A  B = { x | x  A และ x  B } เช่น A = { 1, 2, 3, 4 } , B = { 2, 4, 6, 8 } จะไดว้ า่ A  B = { 2, 4 } ข.3 คอมพลเี มนต์ (Complement) คอมพลีเมนต์ของเซต A ซง่ึ เปน็ สับเซตของเอกภพสมั พัทธ์ U คอื เซตที่ประกอบดว้ ย สมาชิกทกุ ตัวของ U ท่ไี ม่เป็นสมาชกิ ของ A เขียนแทนด้วย Ac นั่นคอื =Ac { x | x  U และ x  A } เช่น U = { 1, 2, 3,…,10 } , A = { 2, 4, 6, 8 } จะได้ว่า =Ac { 1, 3 , 5, 7, 9, 10 } ข.4 ผลต่าง (Difference) ผลต่างระหวา่ งเซต A และเซต B คอื เซตทีป่ ระกอบด้วยสมาชกิ ของเซต A ซ่งึ ไม่ เปน็ สมาชกิ ของเซต B เขยี นแทนดว้ ย A – B นนั่ คือ A – B = { x | x  A และ x  B } เชน่ A = { a, b, c, d } , B = { c, d, e, f } จะไดว้ า่ A – B = { a, b }ค. สิง่ ที่ควรทราบเกย่ี วกบั การกระทาระหวา่ งเซต ค.1 ยเู นียน (Union) เม่ือกาหนด A, B และ C เปน็ เซตใดๆ แล้วจะไดว้ า่ 1. ถา้ A  B แลว้ A  B = B 2. A  A = A และ A   = A 3. A  B = B  A (คุณสมบตั กิ ารสลบั ที่) 4. A  (B  C) = (A  B)  C (คุณสมบัติการเปลย่ี นกลมุ่ ) 5. A  (A  B) และ B  (A  B) 6. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (คุณสมบตั ิการแจกแจง) 7. ถา้ A  C และ B  C แลว้ (A  B)  C 8. ถา้ A  B แลว้ A  (B  C) 9. ถ้า (A  B) =  แล้ว A =  และ B =  10. ถา้ (A  B) = (A  C) แล้วไม่จาเปน็ ที่ B = C นนั่ คือ B  A และ C  A ค.2 อนิ เตอรเ์ ซกชัน (Intersection) เมอ่ื กาหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้วจะไดว้ ่า 1. ถ้า (A  B)  A แลว้ A  B และถา้ (A  B)  B แลว้ B  A

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 5 – ดร.บรรทม สุระพร 2. A  A = A และ A   =  =   A 3. A  B = B  A (คณุ สมบัตกิ ารสลับท)่ี 4. A  (B  C) = (A  B)  C (คณุ สมบัติการเปลยี่ นกลุ่ม) 5. A  B กต็ อ่ เม่ือ A  B = A และ B  A กต็ ่อเมื่อ A  B = B 6. ถ้า A  B และ B  C แลว้ A  (B  C) 7. ถา้ A  C และ B  C แลว้ (A  B)  C 8. ถา้ A  B =  แล้วไม่จาเป็นท่ี A และ B จะเปน็ เซตว่าง 9. ถา้ A  B = A  C แล้วไม่จาเป็นที่ B = C 10. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (คุณสมบตั ิการแจกแจง)ค.3 คอมพลีเมนต์ (Complement) เมื่อกาหนด A และ B เปน็ เซตใดๆ และมเี อกภพสัมพทั ธ์ U แลว้ จะไดว้ า่ 1. (Ac)c = A 2. c = U และ Uc =  3. A  Ac =  4. A  Ac = U 5. A  B กต็ ่อเม่ือ Bc  Ac 6. A  B =  กต็ ่อเม่ือ A  Bc 7. (A  B)c = Ac  Bc 8. (A  B)c = Ac  Bcค.4 ผลต่าง (Difference) เมอื่ กาหนด A, B และ C เปน็ เซตใดๆ แล้วจะได้ว่า 1. A – B = A  Bc 2. A – B = A – (A  B) 3. A – (B  C) = (A – B)  (A – C) 4. A – (B  C) = (A – B)  (A – C) 5. A  (B – C) = (A  B) – (A  C) 6. A – B =  ก็ต่อเมื่อ A  B หรอื ถ้า A  B แล้ว A – B =  7. ถ้า A – B = C – B แล้วไม่จาเปน็ ท่ี A = C 8. ถา้ A – B = A – C แลว้ ไม่จาเป็นท่ี B = Cค.5 สงิ่ ที่ควรทราบเกย่ี วกับเพาเวอร์เซต เมอื่ กาหนด A, B และ C เปน็ เซตใดๆ 1.   P(A) และ   P(A) (เน่ืองจาก  เปน็ สบั เซตของเซตทกุ เซต) 2. A  P(A) แต่ {A}  P(A) 3. ถา้ A  B แล้ว P(A)  P(B) หรือถ้า P(A)  P(B) แล้ว A  B 4. P(A)  P(B) = P(A  B) 5. P(A)  P(B)  P(A  B) 6. ถ้า A  B แลว้ P(A  B) = P(A)  P(B) 7. ถ้า A  C และ B  C แล้ว [P(A)  P(B)]  P(C) 8. P(A – B) = P(A)  P(B)c

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 6 – ดร.บรรทม สุระพรง. แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ (Venn – Euler diagram) การเขียนแผนภาพแสดงเซตใหม่ทเี่ กิดขน้ึ จากการกระทาระหว่างเซต โดยปกตินยิ มเขียน แทนเอกภพสมั พทั ธ์ U ด้วยรูปส่ีเหลี่ยมมมุ ฉากและแทนเซตตา่ งๆ ซงึ่ เป็นสบั เซตของ U ดว้ ย วงกลม วงรี หรือรูปทมี่ ีพนื้ ท่ีจากัดใดๆ ก็ได้ ง.1 ตัวอย่างแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ แสดงการกระทาของเซต เมือ่ กาหนด A, B และ C เปน็ เซตใดๆ และมเี อกภพสัมพทั ธ์ UUA UAB UA BAA = A = AA AB = BA AB = BAUU A B UA B UA B AB = BA AB =  = BA CUA B UA B ABC = A(BC) = (AB)C UA B C CC CABC = A (BC) A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB)(AC) = (AB) C UA B UU AA BBUA B C (AB)c = AcBc (AB)c = AcBc(AB)[(AB)C)] U UU A Uc =  c = U Ac = U – AUA B U AB UABA – B = ABc B – A = BAc C (AB) – C

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 7 – ดร.บรรทม สุระพรUA B UA B UA B C C C C – (AB) (AB) – C C – (AB)UA B UA B U AB C C A–BA – (BC)= A(BC)c คิดเอาเอง ระบายเอาเอง จา้ง.2 การใชเ้ ซตช่วยในการแกป้ ญั หาการหาจานวนสมาชกิ ของเซตกฎขอ้ ท่ี 1. ให้ A และ B เป็นเซตจากดั และทั้งสองเซตไม่มีสมาชิกร่วมกัน จะได้ n(AB) = n(A) + n(B) และในกรณีท่ัวไป ถา้ A และ B เป็นเซตใดๆ n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)พิสจู น์ U A B n(AB) = n(A) + n(B) เพราะ A และ B ไม่มีสมาชกิ ร่วมกันเลย (Disjoint Set) UAB เราทราบวา่ AB = A(BAc) และท้ังสองส่วนไม่มีส่วนรว่ มกัน ดงั น้ัน n(AB) = n(A) + n(B  Ac) = n(A) + n(B) – n(AB) คือเราจะหา n(AB) เราต้องรวม n(A) กบั n(B) และหัก n(AB) ออก 1 ครง้ั จากกฎข้อที่ 1 หากเรามีหลายเซต เราขยายสตู ร ได้เป็นดังนี้ n(ABC) = n(A) + n(B)+n(C)–n(AB)–n(AC)–n(BC)+ n(ABC) ถ้า A1, A2, A3,…, Ak เปน็ เซตท่ีไม่มีคู่ใดมีสมาชิกร่วมกนั จะได้ว่า ...+n(A1 A2…Ak) = n(A1) + n(A2) + n(Ak)กฎข้อที่ 2. ให้ N เปน็ จานวนสมาชกิ ในเอกภพสมั พัทธ์ และให้ Ac เป็นคอมพลเี มนต์ของ A จะได้ n(Ac) = N – n(A) พิสจู น์ เนื่องจากเซต A และ Ac ไม่มีสว่ นรว่ มกัน และ AAc = U = เอกภพสัมพัทธ์ ดงั นนั้ n(AAc) = n(U) = N n(A) + n(Ac) = N จึงได้ n(Ac) = N – n(A) ตามต้องการ

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 8 – ดร.บรรทม สุระพรตัวอย่าง 1.1.1 ระหว่างท่ไี ปพักตากอากาศชายทะเลแหง่ หนึ่งมฝี นตก 16 วัน ถา้ หากฝนตกตอนเชา้ ตอนบ่ายอากาศแจ่มใส แตว่ ันไหนตอนบ่ายฝนตก ตอนเชา้ อากาศกแ็ จ่มใสมาก่อน ถ้าหากระหว่างท่ีพกั ตากอากาศอยู่น้นั มีอากาศแจม่ ใสในตอนเช้า 12 วันและตอนบ่ายอากาศแจ่มใส 8 วัน จงหาจานวนวันที่ไปตากอากาศในครั้งน้ีวิธีทา ให้ A เป็นเซตของวันทอี่ ากาศแจ่มใสตอนเชา้ (บ่ายฝนตก)B เปน็ เซตของวนั ท่อี ากาศแจ่มใสตอนบา่ ย (เช้าฝนตก)x เป็นเซตของวนั ทอี่ ากาศแจ่มใสตลอดวัน (ฝนไมต่ กเลย) A B วนั ท่ีฝนตกตอนบ่ายเท่ากับ 12 – x วนั 12 – x x 8 – x วันทฝี่ นตกตอนเช้า เท่ากับ 8 – x วนัเนื่องจากมีฝนตกทั้งหมด 16 วนั ดังนัน้ 12–x+8–x = 1620 – 2x = 16 ได้ x = 2แสดงว่าวนั ทีอ่ ากาศแจ่มใสตลอดวันมีอยู่ 2 วนันน่ั คือ จานวนวนั ที่ไปตากอากาศเท่ากับ 16 + 2 = 18 วันตวั อยา่ ง 1.1.2 ในการเลอื กเรียนของนักเรียน 150 คน มี 100 คน ทเ่ี ลอื กเรียนวชิ าคณิต-ศาสตร์ วิชาฟสิ ิกส์ และวชิ าเคมี อยา่ งนอ้ ยหนง่ึ วิชา และพบวา่ 65 คน เรยี นวิชาคณติ ศาสตร์ มี 45 คนเรียนวิชาฟิสิกส์ มี 42 คนเรยี นวิชาเคมี มี 20 คนเรยี นวชิ าคณิตศาสตร์และฟสิ กิ ส์ มี 25 คนเรยี นวิชาคณิตศาสตร์และเคมี มี 15 คนเรียนวิชา ฟสิ กิ ส์และเคมี จงหาจานวนนักเรียนที่ AB 1. เรยี นทง้ั สามวิชา 2. เรียนสองวิชา คณิตศาสตร์ 20 – x ฟิ สิกส์ 3. เรยี นวชิ าเดียววธิ ที า ให้ A เป็นเซตของกลุ่มนกั เรยี นทเ่ี รียนคณติ ศาสตร์ 65–45+x 45–35+x = 10+x = 20+x x 25 – x 15 – xB เป็นเซตของกลุ่มนกั เรียนทเ่ี รียนฟิสิกส์ เคมี CC เป็นเซตของกลุ่มนักเรยี นทีเ่ รียนเคมีx เป็นเซตของกลุ่มนกั เรยี นที่เรียนท้ังสามวชิ า 42–40+x = 2+x20 – x เปน็ เซตของกลุม่ นกั เรยี นท่ีเรยี นเฉพาะคณิตศาสตรแ์ ละฟิสิกส์25 – x เปน็ เซตของกลมุ่ นักเรียนทเี่ รยี นเฉพาะคณิตศาสตร์และเคมี15 – x เปน็ เซตของกลมุ่ นกั เรยี นที่เรยี นเฉพาะฟิสิกส์และเคมี65 – [x+20–x+25–x] เป็นเซตของกลุ่มนักเรยี นทีเ่ รียนเฉพาะคณิตศาสตร์ 20+x45 – [x+20–x+15–x] เป็นเซตของกลุ่มนักเรียนท่ีเรียนเฉพาะฟิสิกส์ 10+x42 – [x+25–x+15–x] เปน็ เซตของกลมุ่ นักเรยี นท่ีเรียนเฉพาะเคมี 2+xดังนั้น ABC = 20+x+20–x+x+25–x+10+x+15–x+2+x = 10092 + x = 100 ได้ x = 8จะไดว้ ่า 1. เรยี นท้งั สามวิชา (x) มีคา่ เท่ากับ 8 คน2. เรยี นทัง้ สองวชิ า คือคณติ ศาสตรแ์ ละฟิสิกส์ มจี านวน 20 – x = 12 คนเรยี น คณิตศาสตรแ์ ละเคมี มีจานวน 25 – x = 25 – 8 = 17 คนเรยี น ฟสิ ิกส์และเคมี มีจานวน 15 – x = 15 – 8 = 7 คน

คณติ ศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 9 – ดร.บรรทม สุระพร3. เรียนวิชาเดยี ว คอื คณติ ศาสตร์ มีจานวน 20 + x = 20+8 = 28 คน เรยี น ฟิสิกส์ มจี านวน +10 x = 10 + 8 = 18 คน เรยี น เคมี มจี านวน 2 + x = 2 + 8 = 10 คนตวั อยา่ ง 1.1.3 นักเรยี นแห่งหนง่ึ มี 40 คน ชอบเล่นฟตุ บอล 21 คน ชอบเล่นบาสเกต็ บอล19 คน และชอบเล่นกฬี าท้ังสองอยา่ ง 12 คน จงหาจานวนผู้ที่ไม่ชอบเล่นกีฬาใดในสองอย่างนี้วิธที า ให้ A เป็นเซตของนกั เรียนท่ีชอบเลน่ ฟตุ บอล B เป็นเซตของนักเรียนที่ชอบเลน่ บาสเกต็ บอลU เปน็ เซตของนักเรยี นทั้งหมดเราได้ n(A) = 21 , n(B) = 19, n(A  B) = 12 , N = n(U) = 40 ต้องการหา n(AB)c40 A B U จาก n(AB) = N – n(AB)c n(A) + n(B) – n(A  B) = N – n(AB)cหรอื9 12 7 ? n(AB)c = N – n(A) – n(B) + n(A  B) = 40 – 21 – 19 + 12 = 12จานวนนกั เรยี นทีไ่ มช่ อบเล่นกีฬาใดในสองอยา่ งน้ี มี 12 คนตัวอย่าง 1.1.4 ในการสารวจผู้ชมโทรทศั น์จานวนหน่ึง ปรากฏว่า มีผู้ชอบดูข่าวหรือดลู ะคร 24 คน ไม่มีใครที่ชอบดูทั้งสองอย่าง มี 15 คน ไมช่ อบดูข่าว และมี 17 คน ไม่ชอบดลู ะคร จงหาจานวนผู้ที่ไมช่ อบดขู ่าวและละคร วธิ ที า ให้ A เป็นเซตผูช้ มท่ีชอบดูข่าว B เป็นเซตผู้ชมทช่ี อบดูละคร U เปน็ เซตของผูช้ มโทรทศั นท์ ้ังหมดทส่ี ารวจ เราได้ n(AB) = 24, n(A  B) = 0 , n(Ac) = 15, n(Bc) = 17 จะหาคา่ n(Ac  Bc) ซงึ่ มคี า่ เทา่ กบั n(AB)c = N – n(AB) จาก n(AB) = n(A) + n(B) – n(A  B) ได้24 = (N – 15) + (N – 17) – 0 2N = 24 + 32 = 56 ดังนน้ั N = 28 และได้ n(Ac  Bc) = 28 – 24 = 4 ฉะน้ัน ผ้ทู ไี่ มช่ อบดูข่าวและละคร มี 4 คนตัวอย่าง 1.1.5 ในการตรวจคนไข้ทีโ่ รงพยาบาลแห่งหนึง่ จานวน 38 คน ปรากฏวา่ มีผทู้ เ่ี ป็น โรคผิวหนงั จานวน 22 คน ผ้ทู ่เี ป็นโรคไข้หวดั ใหญ่มี 17 คน ผู้ทีเ่ ป็นโรคปวด ทอ้ งมี 20 คน ผทู้ ่ีเปน็ โรคผวิ หนังและโรคไข้หวดั ใหญ่มี 10 คน ผู้ทเ่ี ปน็ โรค ไขห้ วัดใหญ่และปวดท้องมี 7 คน ผูท้ ไี่ มเ่ ป็นโรคใดเลยมี 3 คน จงหาจานวน ผทู้ ่เี ป็นโรคผิวหนังอย่างเดียว วิธีทำ ให้ A เป็นเซตของผู้ที่เปน็ โรคผวิ หนัง B เปน็ เซตของผทู้ ีเ่ ปน็ โรคไข้หวัดใหญ่ C เป็นเซตของผู้ทเ่ี ปน็ โรคปวดท้อง

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 10 – ดร.บรรทม สุระพร เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ แสดงจานวนตา่ งๆ 3A BU เราได้ n(A) = 22, n(B) = 17, n(C) = 20 n(A  B) = 10 , n(B  C) = 7 และ 22 10 17 n(ABC) = 38 – 3 = 35 7 เราต้องการหา n(A  Bc  Cc) พืน้ ทแี่ รเงา 20 เราได้ว่า n(A  Bc  Cc) = n(ABC) – n(BC) C = n(ABC) – n(B) – n(C) + n(B  C) = 35 – 17 – 20 + 7 = 5 ฉะนั้น ผู้ท่ีเป็นโรคผวิ หนังเพียงอยา่ งเดยี วมีจานวน 5 คนแบบฝกึ หดั ที่ 1.11. กาหนดให้ A = {{}, a ,b, {a}, {a,b}} ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผดิ1.1) {}  A 1.2) {}  A และ1.3) {{a}, b}  A 1.4) {a, b}  A {a, b}  A2. ขอ้ ความต่อไปน้ีถกู หรือผิด 2.2) ถ้า A  B และ B  C แลว้ A  C 2.1) ถ้า A  B และ B  C แลว้ A  C 2.3) ถ้า A  B และ B  C แลว้ A  C3. ถา้ กาหนดให้ A, B เปน็ เซตที่มลี ักษณะ A  B และ A ≠ B ถา้ x  A และ y  B แลว้ ขอ้ ความต่อไปนถ้ี กู หรอื ผดิ3.1) {x}  B 3.2) {y}  A 3.3) {A}  {B} 3.4) {A} ≠ {B}4. ขอ้ ความต่อไปนีถ้ ูกหรือผิด4.1)    4.2)    4.3)   {} 4.4)   {}4.5)   P() 4.6)   P() 4.7) {}  P() 4.8) {}  P()5. ข้อความต่อไปน้ถี กู หรือผิด 5.1) ถ้า n(A) = 5 แล้ว สบั เซตของ A มที ั้งหมด 32 แบบ 5.2) ถ้า n(A) = 5 แลว้ สบั เซตแทข้ อง A มีทัง้ หมด 32 แบบ 5.3) ถ้า n(A) = 5 แลว้ เพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ 5.4) ถ้า n(A) = 5 แล้ว สมาชกิ ของเพาเวอรเ์ ซตของ A มีทัง้ หมด 32 แบบ6. กาหนดให้ A = {, a , {b}, {a,b}} แล้ว ข้อความต่อไปนีถ้ ูกหรือผดิ 6.1)   P(A) 6.2) {}  P(A) 6.3)   P(A) 6.4) {}  P(A) 6.5) {, a , {b}} P(A) 6.6) a  P(A) 6.7) {a}  P(A) 6.8) {b}  P(A) 6.9) {{b}}  P(A) 6.10 {, a , {b}} P(A)7. กาหนดให้ A = {, 1, 2, 3, {1}, {1,2}, {1,2, 3}} แล้ว ข้อความต่อไปนถี้ ูกหรอื ผิด7.1) {, {1}, {1,2}}  P(A) 7.2) {, {1}, {1,2}}  P(A) 7.3) {, {1}, {1,2}}  P(A)7.4) {{1}, {2}, {3}}  P(A) 7.5) {{1}, {2}, {3}}  P(A) 7.6) {{1}, {2}, {3}}  P(A)8. กาหนดให้ A เป็นเซตใดๆ แล้ว ข้อความต่อไปนถ้ี กู หรอื ผิด 8.4) {x | {x}  } =  8.1) {x | x = A} ={A} 8.2) {x | x  A} = A 8.3) {x | {x}  A} = {A}

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 11 – ดร.บรรทม สุระพร9. [Ent’39] กาหนดให้ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} แลว้ จงหา n(X) และ n(Y) เมอื่ กาหนดให้ X = { A  P(S) | 1  A และ 7  A} และ Y = { A  X | ผลบวกของสมาชกิ ภายใน A ไม่เกนิ 6 }10. ถา้ A มีสบั เซตแท้ 511 เซต แสดงว่า A มสี มาชิกกี่ตวั และในจานวน 511 เซตน้ัน สับเซตที่มสี มาชิกเพยี ง 5 ตวั มกี ่ีเซต11. กาหนดให้ =A  B {0, 1, 2, 3, 4, 5}, =A  B {1, 3, 5}, =B  C {2, 3, 5}, =A  C {0, 1, 2, 3, 5},A  C = {0, 3, 5} แล้ว ขอ้ ความต่อไปนี้ถูกหรอื ผดิ11.1) A  Bc = {0} 11.2) B  Cc = {1} 11.3) A  Cc = {1} 11.4) B  Ac = {2, 4}12. ขอ้ ความต่อไปนี้ถูกหรือผิด 12.2) Uc =  12.3) A  (A  B) 12.4) B  (A  B) 12.7) A  Ac =  12.8) A  Ac = U 12.1) c = U 12.6) (A  B)  B 12.11) A – A =  12.12) A – B = A  Bc 12.10) A –  = A 12.5) (A  B)  A 12.9) A – U = 13. ขอ้ ความต่อไปน้ถี ูกหรือผิด13.1) ถา้ A  B แลว้ P(A)  P(B) 13.2) ถ้า AB =  แล้ว A =  และ B = 13.3) ถา้ A – B =  และ B – C = B แล้ว Ac  Cc = U 13.4 ถา้ AB =  แล้ว A =  และ B = 14. สาหรบั เซต A, B ใดๆ ข้อความต่อไปน้ีถกู หรือผดิ14.1) AB ≠ AB 14.2) A – B ≠ B – A =14.3) AB A – Bc14.4) (AB)c = Bc – A 14.5) ถ้า x  A แลว้ x  AB 14.6) ถ้า x  A แลว้ x  Ac  Bc14.7) x  A แล้ว x  Ac  Bc 14.8) ถ้า x  A แลว้ x  (AcBc) c 14.9) ถา้ x  A แลว้ x  A  Bc15. [Ent’38] ถ้า A = {0, 1} และ B = {0, {1},{0,1}} แล้ว ขอ้ ความต่อไปน้ีถกู หรือผดิ15.1) AB ≠ AB 15.2) A – B ≠ B – A =15.3) AB A – Bc15.4) A  P(B) 15.5) {1}  P(A)  P(B) =15.6) n(P(AB)) – n(P(AB)) 416. เขียนเซตต่อไปน้ีให้อยู่ในรปู ที่ส้นั ท่ีสดุ16.1) A – (AB) 16.2) (A – B)  B 16.3) (A – B)  B 16.6) (A  B) – B16.4) A  (A – B) 16.5) A  (A – B) 16.9) (A – B)  (B – Ac)16.7) (A  B) – B 16.8) A – (A – B)17. เมือ่ A = {, 1, {1}} และ ABc =  แล้ว ข้อความต่อไปนถ้ี ูกหรอื ผิด17.1) n[P(A)  P(B)] = 8 17.2) P(A – B) = {} 17.3) {1}  P(A  B)18. [Ent’36] ถา้ A = {, {}, 0, {0},{1}, {0,1}} แล้ว จงหาจานวนสมาชกิ ของเซต [P(A) – A] [A –P(A)]19. ขอ้ ความต่อไปนีถ้ ูกหรอื ผิด 19.3) P(A  B)  P(A  B) 19.4) P(A – B)  P(B – A) = {} 19.1) (A  B  C)  (Ac  B  C)  ( Bc  Cc) = U 19.2) (ABCDc)(AcC)( BcC)(CD) = C20. กาหนดเซต A, B, C เปน็ เซตซงึ่ P(C) = {, {a}, {c}, C}, n(P(A)) = 8, n(P(B)) = 16 , C  A, C  B,{b, d, e}  (A B) และ b  (A  Bc) ข้อความตอ่ ไปนี้ถกู หรือผดิ20.1) d  (A  Bc)c 20.2) b  (Ac  Bc)c 20.3) e  (C  Bc)c20.4) {b, e}  (A  Bc)c 20.5) {b, e}  (A  Bc)c 20.6) {b, e}  P(A  Bc)

คณิตศาสตร์เชิงการจดั การนบั หนา้ – 12 – ดร.บรรทม สุระพร21. กาหนดเซต A, B เป็นสับเซตของ U หาก n(U) = 100, n(Ac) = 40, n(B) = 55, n(A  Bc) = 32 แลว้ คา่ ของ n(AcBc) เปน็ เท่าใด22. [Ent’33] จากการสารวจนักเรยี นหอ้ งหนึ่ง พบว่ามี 20 คน ที่เรยี นฝรัง่ เศสหรอื คณิตศาสตร์ (โดยท่ีหาก เรยี นฝร่งั เศสแล้วตอ้ งไมเ่ รยี นคณิตศาสตร์) มี 17 คนท่ีไม่เรียนคณติ ศาสตร์ และมี 15 คนทไ่ี ม่เรียนฝร่ังเศส แลว้ มกี คี่ นท่ีไม่เรียนทง้ั สองวชิ านี้เลย23. [Ent’34] จากการสอบถามผดู้ ื่มกาแฟ 20 คน พบวา่ จานวนผ้ใู ส่ครมี นอ้ ยกว่าสองเท่าของผูใ้ ส่นา้ ตาลอยู่ 7 คน และจานวนผู้ใสท่ ั้งครมี และนา้ ตาลเทา่ กบั จานวนผทู้ ไ่ี ม่ใส่ทั้งครมี และนา้ ตาล ดังน้นั มีผทู้ ่ีใสค่ รีม ทง้ั หมดก่ีคน24. นักเรียน 80 คน เป็นนักกฬี า 35 คน เป็นนกั ดนตรี 27 คน และไม่ได้เป็นทงั้ นักกีฬาและนักดนตรี 32 คน ถามว่ามนี กั เรยี นทีไ่ ม่ได้เปน็ นักกีฬา หรือ ไมไ่ ด้เป็นนักดนตรี อย่กู ่คี น25. พนักงานบริษทั 34 คน ถกู สารวจเก่ยี วกบั การสวมนาฬกิ า แวน่ ตา และแหวน ปรากฏว่าสวมแวน่ ตาอย่าง เดียว 5 คน จานวนคนสวมนาฬกิ ามากกวา่ จานวนคนสวมแว่นตาอยู่ 1 คน จานวนคนไมส่ วมนาฬกิ าเปน็ 3 เทา่ ของจานวนคนสวมแหวน นอกจากน้นั คนสวมแหวนทกุ คนสวมแว่น แต่คนสวมนาฬกิ าไม่มีคนใด สวมแว่น จะมีคนสวมนาฬิกากคี่ น26. [Ent’26] นักทศั นาจรคนหนง่ึ ไปพักผอ่ นท่ีพัทยา ตลอดชว่ งเวลานั้นเขาสงั เกตได้ว่ามฝี นตก 7 วัน ในช่วง เชา้ หรอื เย็น โดยถ้าวันใดฝนตกชว่ งเชา้ แลว้ จะไมต่ กในช่วงเยน็ มี 6 วนั ท่ฝี นไมต่ กในช่วงเชา้ และมี 5 วันท่ี ฝนไม่ตกในช่วงเยน็ ถามวา่ นักทศั นาจรคนน้ีไปพักผอ่ นที่พัทยาก่ีวัน27. จากการสารวจสายตาและสขุ ภาพฟันของนกั เรยี น 160 คน ซ่ึงมนี ักเรยี นชายอยู่ 100 คน (นกั เรยี นชาย สายตาไมด่ ี 30 คน และฟนั ผุ 35 คน) พบวา่ มนี กั เรยี นทสี่ ายตาดีและฟันไม่ผุอยู่ 80 คน (เป็นชาย 55 คน) และมีนกั เรียนทส่ี ายตาไม่ดีทั้งหมด 50 คน ฟนั ผุทั้งหมด 60 คน ถามว่ามีนกั เรียนที่สายตาดี หรอื ฟนั ไม่ผุ รวมทั้งหมดกี่คน28. [Ent’31] จากการสารวจความนยิ มของผูไ้ ปเท่ยี วสวนสัตว์ 100 คน พบวา่ 50 คนชอบชา้ ง 35 คนชอบลิง 25 คนชอบหมี 32 คนชอบแตช่ ้าง 20 คนชอบหมแี ตไ่ มช่ อบลงิ 10 คน ชอบชา้ งและลิงแต่ไม่ชอบหมี ให้หา จานวนคนทีไ่ ม่ชอบสตั ว์ทงั้ สามชนดิ น้ีเลย29. [Ent’39] ในการสารวจความนยิ มของคน 100 คน ท่มี ตี ่อนาย A, B และ C โดยทท่ี กุ คนต้องแสดงความนิยมใหอ้ ยา่ งน้อย 1 คน ปรากฏว่านาย A ได้รบั คะแนนนิยมมากกวา่ นาย B อยู่ 6 คะแนน และเขยี นแผนภาพได้ดงั รูป ข้อความต่อไปนี้ถกู หรือผิด20.1) นาย A ได้คะแนนนยิ มน้อยทีส่ ุด U20.2) ผลรวมของคะแนนท้ังสามคน เปน็ 199 A B20.3) ผทู้ ีล่ งคะแนนใหน้ าย A เท่านั้นมี 10 คน20.4) ผลรวมของคะแนนทล่ี งใหค้ นใดคนหนึ่งเพียงคนเดียว 20 เท่ากับ 24 คน 23 22 11 9 C