หน่วยที่1

หน่วยท่ี 1 ระบบจำนวน สาระสำคัญ มนุษย์มีแนวคิดเกี่ยวกับการใช้จำนวนและตัวเลขตั้งแต่สมัยโบราณ โดยเริ่ม รู้จักการนับ (Counting) และพยายามคิดค้นเพื่อพัฒนาเครื่องมือที่ช่วยในการคิด คำนวณเป็นลำดับเรื่อยมาตั้งแต่การใช้นิ้วมือ ก้อนหิน กิ่งไม้ รอยขีด เป็นต้น เมื่อ สังคมได้พฒั นามากขึ้น มนุษย์รู้จักการเลี้ยงสัตว์ เพาะปลูก แลกเปลี่ยนสิง่ ของ และ ค้าขาย การคำนวณยิ่งมีความสำคัญและความจำเป้นสำหรับการดำรงชีวิตเป็นลำ กับ สมรรถนะประจำหน่วย แปลงเศษส่วนและทศนิยม , เลขมีหลัก และไม่มีหลัก , เลขฐานวิทยาศาสตร์ และสามารถประยุกต์ใชใ้ นการดำรงชีวิต เรื่องทีจ่ ะศึกษา 1. ววิ ัฒนาการของระบบจำนวน 2. จำนวนและตวั เลข 3. โครงสรา้ งระบบจำนวน 4. เลขจำนวนเตม็ 5. เศษสว่ นและทศนิยม 6. เลขมหี ลกั และไม่มหี ลกั 7. เลขฐานวทิ ยาศาสตร์

8. คุณสมบัตพิ ืน้ ฐานของระบบจำนวนจริง 9. ความสัมพนั ธใ์ นระบบจำนวนจรงิ 10. ช่วงของจำนวนจริง จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม 1. อธิบายววิ ัฒนาการของระบบจำนวนได้ 2. เปรยี บเทียบจำนวนและตัวเลขได้ 3. วเิ คราะหโ์ ครงสรา้ งระบบจำนวนได้ 4. แยกแยะเลขจำนวนเต็มได้ 5. จดจำความสมั พนั ธ์ของระบบจำนวนได้ 6. แปลงเศษส่วนและทศนิยม , เลขมีหลักและไม่มีหลัก , เลขฐาน วทิ ยาศาสตรไ์ ด้ 7. นำระบบจำนวนไปประยุกต์ใชใ้ นการดำรงชวี ิตให้เหมาะสม 1. วิวัฒนาการของระบบจำนวน 1.1 ความคิดทางคณิตศาสตรย์ ุคบาบโิ ลเนยี รูปท่ี 1.1 แสดงคณติ ศาสตร์ยุคบาบิโลเนีย

ชีวิตความเป็นอยู่ของมนุษย์อยู่กับธรรมชาติ เมื่อธรรมชาติเปลี่ยนแปลงไป การเฝ้าสังเกตเห็นการเปลี่ยนแปลงตามหลักความจริงต่าง ๆ ทำให้เกิดความรู้ เช่น เมื่อสังเกตเห็นดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศหนึ่งเป็นประจำทุกวัน และตกอีกด้านหน่ึง สามารถกำหนดทิศเป็นทิศตะวันออก คือ ทิศที่ดวงอาทิตย์ขึน้ มีการกำหนดเปน็ ทศิ เหนือ ใต้ และรับรู้เรอ่ื งเวลา โดยสงั เกตเวลาทดี่ วงอาทิตยข์ ้ึน และเวียนรอบครบอีก หนึ่งครั้งโดยแบ่งเป็นวัน มีการแบ่งเวลาเป็นชั่วโมงและนาที ต่อมาเมื่อสังเกตต่อไป นาน ๆ พบเรื่องราวฤดูกาล รู้ว่าสามารถแบ่งฤดูกาลแบ่งเป็นปี โดยสังเกตว่าการ เปลย่ี นแปลงของฤดกู าลข้ึนกับธรรมชาติ โดยมดี วงอาทิตย์เปลยี่ นตำแหน่งการข้ึนที่ ขอบฟ้าทีละนิด โดยเลื่อนไปทางตะวันออกเฉียงเหนือ จนถึงเดือนมิถุนายน ประมาณวันที่ 21-22 มิถุนายน ดวงอาทิตย์ขึ้นเยื้ยงไปทางทิศเหนือมากสุด และ เลื่อนกลับมาทางทิศตะวันออกเฉียงใต้ จนถึงประมาณวันที่ 21-22 ธันวาคม ดวง อาทิตย์เลื่อนมาขึ้นทางทิศตะวันออกเฉียงใต้มากสุด และวนเวียนกลับไปมาจนทำ ให้มนุษย์เข้าใจในเรื่องฤดูการและมีการแบ่งขอบเขตของเวลาเป็นปี มีการแบ่ง หน่วยย่อยตามสภาพของเดือน ซึ่งถือเอาสภาพของดวงอาทิตย์อยู่ในตำแหน่งดาว ตามจักรราศีเปน็ เดอื นต่าง ๆ จากหลักฐานทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของอารยธรรมมนุษย์ในยุคบาบิ โลน ซึ่งอยู่ในช่วงเวลาประมาณห้าพันปีที่แล้ว ชาวบาบิโลนมีอารยธรรมท่ีเก่าแก่อยู่ แถบลมุ่ แม่นำ้ เฟรติสและยูเฟรตสิ ได้ใช้ตวั เลขการนับด้วยฐานหกสบิ และแบง่ หนว่ ย เวลาเปน็ นมาตรา 60 ดงั ทใี่ ชก้ นั มาในเรือ่ งเวลา และใชแ้ บง่ วงกลมเปน็ องศาฟิลิปดา เปน็ ตน้

ชาวบาบิโลนมีระบบการนับจำนวนที่ก้าวหน้าโดยไม่ใช้ตัวเลขฐานสิบ เพราะ ตัวเลขฐานสิบมีการแบ่งจำนวนที่ลงตัวเพียง 2 กับ 5 แต่ชาวบาบิโลนใช้ตัวเลข 60 ซึ่งมีการแบ่งจำนวนลงตัวไดถ้ ึง 10 ตัวเลข ชาวบาบิโลนแบ่งเวลาในหนึ่งวันเป็น 24 ชั่วโมง ทุก ๆ ชัว่ โมง มี 60 นาที ทุก ๆ นาทมี่ ี 60 วินาที ถ้าจะเขยี นตวั เลขแทนเวลา จะเขยี นได้เป็น 5h 25' 30\" มีความหมายว่า 5 ช่ัวโมง 25 นาที 30 วินาที หรือเขียน ในฐาน 60 เป็น 5 25/60 30/3600 ซึ่งถ้าเขียนเป็นตัวเลขฐานสิบจะได้ 5 4/10 2/100 5/1000 ชีวิตความเป็นอยู่ของคนที่เกี่ยวข้องกับการนับและปริมาณ หน่วยนับจึงมี ความสำคัญเพราะการสื่อสารเพื่อจะบอกปริมาณระหว่างกันจำเป็นต้องมีหน่วยนบั ลองจินตนาการดูว่ามนุษย์ชาวบาบิโลนยังไม่รู้จักกับตัวเลขทศนิยม รู้จักแต่จำนวน เตม็ และมีฐานหกสบิ หลกั ฐานที่สำคญั ท่ยี นื ยนั วา่ ชาวบาบิโลนใช้เลขฐานหกสิบ คือ มีการค้นพบตารางคํานวณที่ลุ่มน้ำยูเฟรติส ในปี ค.ศ. 1854 ตารางที่พบเป็นตาราง ตัวเลขยกกําลังสอง เชน่ 82 = 1 4 ซงึ่ มีความหมายเปน็ 82 = 1 4 = 1 * 60 + 4 = 64 หรือตัวอย่าง 592 = 58 1 ( =58 * 60 + 1 = 3481 ) สิ่งที่น่าประหลาดใจ คือ ชาวบาบิโลนรู้จักวิธีการคูณและหารตัวเลขแล้ว แต่การคูณและหารตัวเลขยังมี ลกั ษณะท่ีใชต้ ารางยกกําลงั สองของตัวเลขทที่ ำขึ้น โดยสมมุตวิ ่า ตอ้ งการคูณตัวเลข a และ b ซาวบาบิโลนใช้หลักการของการยกกําลังสองของตัวเลขที่ได้จากตาราง โดยใช้หลักการ a + b ((a + b)2-a2b2)/2 จากหลักการนี้เขียนได้ คือ a ∎ b = (a + b)2 /4 – (a-b)2 /4

1.2 ความคิดทางคณติ ศาสตรย์ ุคสมัยอยี ปิ ต์และโรมนั รูปท่ี 1.2 แสดงคณิตศาสตรย์ ุคสมยั อียิปตแ์ ละโรมัน ความคดิ ทางคณิตศาสตร์ของคนในยุคตอ่ จากบาบิโลนมาเป็นอารยธรรมท่ีลุ่ม แม่น้ำไนล์ในประเทศอียิปต์ สิ่งมหัศจรรย์ของโลกที่ยังหลงเหลืออยู่ คือ พีระมิด ที่ แสดง ความสามารถของคนในยุคนั้น ชาวอียิปต์โบราณให้ความสำคัญอย่างมากกบั การจดบันทึก และการสือ่ สาร จึงได้ประดิษฐ์กระดาษปาปริ ุส (papyrus) ขึ้น ซึ่งทำ มาจากต้นกกที่เติบโตอย่างแพร่หลายในแถบลุ่มแม่น้ำไนล์ ชาวอียิปต์โบราณสื่อ ความหมายด้วยอักษรภาพที่เรียกว่า ไฮโรกลิฟ (Hieroglyph) ซึ่งรวมไปถึงตัวเลข ดว้ ย อักษรภาพแทนตัวเลขตา่ ง ๆ มีดังน้ี

รปู ที่ 1.2 แสดงอักษรไฮโรกลิฟ ในช่วงที่อียิปต์โบราณรุ่งเรือง 2,000 กว่าปีนั้น อักษรภาพไฮโรกลิฟ ได้ถูก เปลี่ยนแปลงไปตามยุคตามสมัย ตอ่ มาชาวอียปิ ตโ์ บราณเหน็ วา่ การเขยี นแบบไฮโรก ลิฟนั้นไม่กระชับ จึงพัฒนาสัญลักษณ์แบบ ไฮราติก (Hieratic) ขึ้นดังแสดงในรูปท่ี 1.4 ตัวเลขแบบไฮราติกนั้น ต้องใช้ความจํามากขึ้น เพราะมีสัญลักษณ์ทั้งหมด 36 ตัว (จากเดมิ ที่มีอักษรภาพ เพียง 7 ตัว) ข้อดี คือ เมื่อนําไปเขยี นเป็นตัวเลข วิธีใหม่ นี้สามารถลดจำนวนสัญลักษณ์ลง จากเดิมตัวเลข 9,999 ต้องใช้อักษรภาพ 36 ตัว ก็เหลือใช้สัญลักษณ์แบบไฮราติกเพียง 4 ตัวเท่านั้น สำหรับข้อแตกต่างท่ีสำคัญ ระหว่างสัญลักษณ์แบบไฮราติก และระบบจำนวนที่ใช้กันอยู่ในปัจจุบันนั้น คือ ตำแหน่งของสัญลักษณ์แบบไฮราตกิ ไมม่ ผี ลตอ่ ค่าของตัวเลข

รูปท่ี 1.4 แสดงอกั ษรภาพไฮราตกิ สมัยกรีก ในสมัย 2,600 ปีถึง 2,300 ปีที่แล้ว ชาวกรีกได้รับความรู้ทางคณิตศาสตร์ จากชาวอียิปต์และชาวบาบิโลน ชาวกรีกเป็นนักคิดชอบการใช้เหตุผล เห็นว่า คณิตศาสตร์ไม่ใช่เพียงเกร็ดความรู้ที่ใช้ให้เป็นประโยชน์ได้เท่านั้น จึงได้วาง กฎเกณฑ์ทำให้คณิตศาสตร์กลายเป็น วิชาที่มีเหตุผล มีการพิสูจน์ให้เห็นจริง เป็น วชิ าที่นา่ รไู้ วเ้ พ่ิมพูนสติปัญญา นักคณิตศาสตร์ท่ี สำคญั ในสมัยน้ี คอื เธลีส (Thales ประมาณ 640-546 ปีก่อนคริสต์ ศักราช) เป็นนักปรัชญา นัก คณติ ศาสตร์ นกั ดาราศาสตรช์ าวกรกี เธลีสได้ทาํ นายวา่ จะเกดิ สุริยคราสล่วงหน้าซึ่ง ได้เกิดขึ้น ก่อนพุทธศักราช 42 ปี รู้จักพิสูจน์ทฤษฎี บททางเรขาคณิต เช่น

เส้นผา่ ศนู ยก์ ลางจะแบ่งครงึ่ วงกลม มุมทฐ่ี านของรปู สามเหลย่ี ม หนา้ จ่ัวเท่ากัน และ มมุ ในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก เป็นต้น รปู ท่ี 1.5 แสดงเธลีส เธลสิ เปน็ คนแรกทค่ี ำนวณหาความสงู ของพีระมิดในอียปิ ตโ์ ดยใชเ้ งา ปีทาโกรัส (Pythagoras ประมาณ 580-496 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นัก คณิตศาสตร์ชาวกรีกเป็นผู้ริเริ่มตั้ง โรงเรียนสอนวิชาคณิตศาสตร์และปรัชญา ปีทา โกรัสและศิษย์ สนใจเรื่องราวของจำนวนกันมาก เพราะคิดว่าวิชาการต่าง ๆ และ การงานแทบทุกชนิดของมนุษย์จะต้องมีจำนวนเข้ามา เกี่ยวข้องอยู่ด้วยเสมอ การ เรียนรเู้ ร่อื งของจำนวน คอื เรยี นรู้ เรอื่ งราวต่าง ๆ ของธรรมชาติ

รปู ที่ 1.6 แสดงปที าโกรัส อาร์คิมิดีส (Archimedes ประมาณ 287-212 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นัก คณิตศาสตร์ นักฟิสกิ ส์ชาวกรีก สนใจการหาพืน้ ที่วงกลม ปริมาตรของทรงกระบอก และกรวย นักคณิตศาสตร์ สมัยนี้รู้จักคำนวณอตรรกยะ เช่น พาย และสามารถ คํานวณค่าโดยประมาณได้โดยใช้ภาพหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่กว่าอยู่ข้างนอก วงกลม และรูปหลายเหลี่ยมขนาดเล็กกว่าอยู่ข้างในวงกลม ยิ่งจำนวนด้านของรูป หลายเหลี่ยมเพิ่มข้ึน จะใกล้เคียงกับขอบของวงกลมมากยิง่ ขึ้น เมื่อรูปหลายเหลี่ยม มีจำนวนด้านถงึ 96 ดา้ น อาร์คิมิดีสยงั พิสูจน์ด้วยวา่ พน้ื ที่ของวงกลมนนั้ เท่ากับ ������ คณู กบั ค่ากาํ ลงั สองของรัศมีของวงกลม ค่า ������ มคี า่ ประมาณเท่าไร ? ตอบ ประมาณ 3.1429

สมัยกลาง (ประมาณ พ.ศ. 1072-1979) อาณาจักรโรมันเสื่อมสลายลงในปี พ.ศ. 1019 ชาวอาหรับรับการถ่ายทอดความรู้ทางคณิตศาสตร์จากกรีก ได้รับความรู้เรื่อง จำนวนศูนย์และวิธีเขียนตัวเลขแบบใหม่จากอินเดีย ตัวเลข 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ที่ใช้กันทุกวันนี้ จึงมีชื่อว่า ฮินดูอารบิก ชาวอาหรับแปลตําราภาษากรีกออกเป็น ภาษาอาหรบั ไว้มากมาย ท้งั ทางดาราศาสตร์ คณติ ศาสตรแ์ ละแพทยศาสตร์ สมัยฟื้นฟูศิลปวิทยา (ประมาณ พ.ศ. 1980-2143) สงครามครูเสดระหว่าง ชาวยุโรปกับชาวอาหรับซึ่งกินเวลาร่วม 300 ปี สิ้นสุดลง ชาวยุโรปเริ่มฟื้นฟูทาง การศึกษา และ มีการก่อตั้งมหาวิทยาลัยกันขึ้น ชาวยุโรปได้ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ จากตําราของชาวอาหรับ ในปี พ.ศ. 1983 คนรู้จักวิธีพิมพ์หนังสือ ไม่ต้องคัดลอก ดงั เชน่ แต่ก่อน ตาํ ราคณิตศาสตร์จึงแพร่หลายท่ัวไป ชาวยโุ รปแลน่ เรือมาค้าขายกับ อาหรับ อนิ เดีย ชวา และไทยในปี พ.ศ. 2035 คริสโตเฟอร์ โคลัมบัส (Christopher Columbus ประมาณ ค.ศ. 1451 - 1506) นักเดินเรือชาวอิตาเลียนแล่นเรือไปพบ ทวปี อเมรกิ าใน พ.ศ. 2054 ชาวโปรตเุ กสเข้ามาคา้ ขายในกรุงศรีอยุธยา การค้าขาย เจริญรุ่งเรือง ชาวโลกสนใจคณิตศาสตร์มากขึ้นเพราะใช้เป็นประโยชน์ได้มากใน การค้าขายและเดินเรอื พบตําราคณติ ศาสตรภ์ าษาเยอรมนั พมิ พ์ใน พ.ศ. 2032 มีการใช้เครื่องหมาย + และ - ตําราคณิตศาสตร์ที่แพร่หลายมาก คือ ตํารา เกี่ยวกับเรขาคณิตอธิบายวิธีบวก ลบ คูณ หารจำนวนโดยไม่ต้องใช้ลูกคิด การหาร ยาวก็เริ่มต้นมาจากสมัยนี้ และยังคงใช้กันอยู่ตราบเท่าปัจจุบัน นักดาราศาสตร์ใช้ คณิตศาสตร์ในงานค้นคว้าเกี่ยวกับดวงดาวบนท้องฟ้า นิโคลัส คอเปอร์นิคัส

(Nicolas Copernicus ค.ศ. 1473-1543) นักดาราศาสตร์ผู้อ้างว่าโลกหมุนรอบ ดวงอาทติ ย์เกดิ ในสมัยนี้ การเริ่มต้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ (ประมาณ พ.ศ. 2144-2343) เริ่มต้น ประมาณแผ่นดินสมเด็จพระนเรศวรมหาราช แห่งกรุงศรีอยุธยาจนถึงแผ่นดิน สมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช แห่งกรุงรัตนโกสินทร์ ในรอบสองร้อยปี ต่อมาความเจริญทางด้านดาราศาสตร์ การเดินเรือ การค้า การก่อสร้าง ทำให้ จำเป็นต้องคดิ เลขให้ไดเ้ รว็ และถูกตอ้ ง ในปี พ.ศ. 2157 รูปท่ี 1.7 แสดงคริสโตเฟอร์โคลมั บัส เนเปอร์ จอห์น เนเปียร์ (Neper John Napier ค.ศ. 1550-1617) นัก คณิตศาสตร์ชาวสก็อตได้ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับลอการิทึม ซึ่งเป็นวิธีคูณ หาร และ การยกกาํ ลงั จำนวนมาก ๆ ให้ได้ผลลพั ธ์ถกู ตอ้ งและรวดเรว็ ในท่สี ดุ ก็มีการประดิษฐ์ บรรทัดคํานวณข้นึ โดยใช้หลกั เกณฑ์ของลอการิทึม นอกจากนี้ยังมนี ักคณิตศาสตร์ที่ สำคัญอีก คอื

รปู ที่ 1.7 แสดงเนเปอร์ จอหน์ เนเปียร์ แบลส ปาสกาล (Blaise Pascal ค.ศ. 1623-1662) และปีแยร์ เดอ แฟร์ มาต์ (Pierre de Fermat ค.ศ. 1601-1665) พบวิชาความน่าจะเป็นทั้งสองท่านน้ี เปน็ ชาวฝร่งั เศส ปาสกาลไดร้ ับการยกย่องวา่ เปน็ คนแรกท่ปี ระดิษฐ์เครื่องคิดเลข เซอร์ไอแซก นิวตัน (Sir Isaac Newton ค.ศ 16421727) นักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ และกอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิตส์ (Gottfried Wilhelm Leibnitz ค.ศ. 1646-1716 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน) พบวิชา แคลคลู สั ซง่ึ เป็นวชิ าที่นาํ ไปใช้ประโยชน์ไดอ้ ย่างกว้างขวาง การคน้ พบวิชาแคลคูลัส ในรัชสมัยสมเด็จพระนารายณ์มหาราช และการค้นพบ ค.ศ. 1646 - 1716 นัก คณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน พบวิชาแคลคูลัส ซึ่งเป็น วิชาที่นําไปใช้ประโยชน์ได้อย่าง กว้างขวาง การค้นพบวิชา แคลคูลัสในรัชสมัยสมเด็จพระนารายณ์มหาราช และ การค้นพบกฎทางวิทยาศาสตร์ของนิวตัน เช่น กฎของการเคลื่อนที่ทฤษฎีของ การโน้มถ่วงของโลก เป็นต้น นับเป็นความก้าวหน้าของวิทยาการสมัยใหม่ ผลงาน

ของนกั คณิตศาสตรแ์ ละวทิ ยาศาสตร์ในสมัย 100 ปี ต่อมามงุ่ ไปในแนวใช้ แคลคูลัส ใหเ้ ป็นประโยชนใ์ นการศึกษาคณิตศาสตร์ และวชิ าฟิสกิ สแ์ ขนงตา่ ง ๆ รปู ที่ 1.9 แสดงเซอรไ์ อแซก นิวตัน นกั คณิตศาสตร์ท่านอ่ืน นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมากในสมัยนี้มี เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler ค.ศ. 1707-1783) ชาวสวติ เซอรแ์ ลนด์ ผู้ให้กำเนดิ ทฤษฎีวา่ ด้วย กราฟ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส โจแฮฟ ลุยส์ ลากรองจ์ (Joseph Louis Lagrange ค.ศ. 1736-1813) ปีแยร์ ซิมง เดอ ลาปลาซ (Pierre Simon de Laplace ค.ศ. 1749-1827) ใช้แคลคูลสั สร้างทฤษฎี ของกลศาสตร์ และกลศาสตร์ ฟากฟา้ ซงึ่ เป็นพ้นื ฐานของวิศวกรรมศาสตร์ และตาราศาสตร์ สมัยปัจจบุ นั (ประมาณ พ.ศ. 2344-ปัจจุบัน) เริ่มประมาณแผ่นดินพระบาทสมเด็จพระ พุทธเลิศหล้านภาลัย นักคณิตศาสตร์ในสมัยนี้สนใจในเรื่องรากฐานของวิชา

คณิตศาสตร์ และตรรกศาสตร์ (วิชาว่าด้วยการใช้เหตุผล) นําผลงานของนัก คณิตศาสตร์รุ่นก่อนมาวิเคราะห์ ใครค่ รวญ สง่ิ ใดทน่ี กั คณิตศาสตร์รุ่นก่อนเคยกล่าว วา่ เปน็ จรงิ แลว้ นักคณติ ศาสตรร์ ุ่นน้กี น็ าํ มาคิดหาทางพิสจู นใ์ ห้เห็นจรงิ ทำให้ความรู้ ทางคณิตศาสตร์เดิมมีพื้นฐานมั่นคง มีหลักมีเกณฑ์ที่จะอธิบายให้เข้าใจได้ว่า การ คดิ คาํ นวณตา่ ง ๆ ตอ้ งทำเชน่ นน้ั เชน่ น้ีเพราะเหตใุ ด ในขณะเดียวกันได้สร้างคณิตศาสตร์แขนงใหม่ ๆ ให้เกิดขึ้นเพื่อนำมาใช้ให้ เป็นประโยชน์ เหมาะสมกบั สภาพสงั คมปัจจุบัน จะขอกล่าวถึงนกั คณิตศาสตร์ และ แซหงใหมข่ องคณติ ศาสตร์ในสมยั นพ้ี อสงั เขป คาร์ล ฟรีดริค เกาส์ (Carl Friedrich Gauss ค.ศ. 1777-1855) นัก คณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน มีผลงานดีเด่นทางคณิตศาสตร์มากมายหลายด้าน ได้แก่ พีชคณิต การวิเคราะห์ทฤษฎีจำนวน การวิเคราะห์เชิงตัวเลข ความน่าจะเป็นและ สถิติศาสตร์ รวมทัง้ ดาราศาสตรแ์ ละฟิสกิ ส์ รูปท่ี 1.10 แสดงคาร์ล ฟรีดริค เกาส์

นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเซฟสกี (Nikolai Iwanowich Lobacheviski ค.ศ. 1792-1856) นักคณิตศาสตร์ชาวรุสเซีย และ จาโนส โบลไย (Janos Bolyai ค.ศ. 1802-1860) ใครเป็นผู้ไดร้ ับการยกย่องเป็นผูใ้ หก้ ำเนดิ วิชาเรขาคณิตนอกระบบยคู ลิดใน ส่วนเรขาคณิตแบบไฮเพอรอ์ โบลิก ตอบ นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเชฟสกี (Nikolai Iwanowich Lobacheviski) นลี ส์ เฮนริก อาเบล (Niels Henrik Abel ค.ศ. 1802-1829) นกั คณิตศาสตร์ ชาวนอร์เวย์ มีผลงานในด้านพีชคณิตและการวิเคราะห์ เมื่ออายุประมาณ 19 ปี พิสูจน์ได้ว่าสมการกําลังห้าที่มีตัวแปรตัวเดียวในรูปทั่วไป (ax2 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0) จะไม่สามารถหาคําตอบโดยวิธีพีชคณิตได้เสมอไปเหมือนสมการทีม่ ี กําลังต่ำกว่าห้า นอกจากนี้ยังมีผลงานอื่น ๆ ในด้านทฤษฎีของอนุกรม อนันต์ ฟงั กช์ นั อดิศยั กลุม่ จตรุ งค์ และฟงั ก์ชนั เชิงวงรี เซอร์ วิลเลยี ม โรแวน แฮมลิ ทัน (Sir William Rowan Hamilton ค.ศ. 1805-1865) นักคณิตศาสตร์ชาวไอริส มีผลงานในด้านพีชคณิต ตาราศาสตร์ และฟิสิกส์ ในปี ค.ศ. 1843 ได้สร้างจำนวนชนิดใหม่ขึ้นเรียกว่า ควอเทอร์เนียน เป็นจำนวนท่ี เขียนได้ในรูป a + bi + cj + dk โดยที่ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง i2 = j2 = k2 = ijk = -1 ควอเทอร์เนียน มีคุณสมบัติต่างไปจากจำนวนธรรมดาสามัญ

กล่าวคือ ไม่มีสมบัติการสลับที่เมื่อพูดถึงจำนวนคนมักจะคิดว่า จำนวนตัวหน้าคูณ จำนวนตัวหลัง จะได้ผลลัพธ์เท่ากบั จำนวนตัวหลังคูณจำนวนตวั หน้า เขียนได้ในรปู ab = ba แต่ควอเทอร์เนียนไม่เป็นเช่นนั้น ij = k แต่ ji = -k แสดงว่า ij > ji แฮมิล ทันได้รับเกียรติว่าเป็นผู้ให้กำเนิดวิชาเมทริกซ์ร่วมกับ เจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเทอร์ (James Joseph Sylvester ค.ศ. 1814-1897) และอาร์เทอร์ เคเลย์ (Arthur Cayley ค.ศ. 1821 - 1895) ท้ังสองท่านน้เี ป็นนักคณติ ศาสตรอ์ งั กฤษ รูปที่ 1.11 แสดงเซอร์ วลิ เลียม โรแวน แฮมลิ ทนั แบรน์ ฮารด์ รีมันน์ (Bernhard Riemann ค.ศ. 1826-1866) นกั คณติ ศาสตร์ ชาวเยอรมัน มีผลงานในด้านเรขาคณิต ทฤษฎีของฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีตัวแปรเป็น จำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีศักย์ โทโปโลยี และวชิ าฟิสกิ สเ์ ชงิ คณติ ศาสตร์ เป็นผู้ให้กำเนิดวิชาเรขาคณิตแบบรีมันน์ ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎีสัมพันธภาพ สมัยปัจจบุ นั แ บร ์ น ฮาร์ ด ร ี ม ั น น์ (Bernhard Riemann A.ศ. 1826 - 1 866) นัก คณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน มีผลงานในต้านเรขาคณติ ทฤษฎีของฟงั กช์ ันวเิ คราะห์ที่มี ตัวแปรเป็นจำนวนเชิงซ้อนทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีศักย์ โทโปโลยี และวิชาฟิสิกส์เชิง

คณิตศาสตร์ เป็นผู้ให้กำเนิดวิชาเรขาคณิตแบบรีมันน์ ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎี สัมพันธภาพสมยั ปัจจบุ ัน คารล์ ไวแยร์สตราสส์ (Kar Weierstrass ค.ศ. 1815-1897) นักคณิตศาสตร์ ชาวเยอรมัน มีผลงานในต้นการวิเคราะห์ เป็นผู้นิยามฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีตัวแปร เป็นจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้อนุกรมกำลัง สร้างทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงวงรี และ แคลลูลสั ของการแปรผนั จอร์จ บลู (George Boole A.ศ. 1815-1864) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษมี ผลงานในต้นตรรกศาสตร์พืชคณิต การวิเคราะห์ แคลลูลัสของการแปรผัน ทฤษฎี ความนา่ จะเป็น เป็นผูใ้ ห้กำเนิดวชิ าพืชคณิตแบบบลู รปู ที่ 1.12 แสดงจอร์จ บลู เกออร์จ คันเทอร์ (Georg Cantor ค.ศ. 1845-1917) นักคณิตศาสตร์ชาว เยอรมัน เป็นผู้ริเร่ิมนำเซตมาใช้ในการอธิบายเรื่องราวทางคณิตศาสตร์ และได้รับ

ผลสำเร็จเป็นอย่างดีเป็นผู้ให้กำเนิดวิชาทฤษฎีเซต ความรู้เกี่ยวกับเซตทำให้ทราบ เรื่องราวเกี่ยวกับจำนวนจริงและจำนวนอนันต์เพิ่มขึ้น ต่อมานักคณิตศาสตร์อีก หลายท่านไดช้ ่วยกันปรบั ปรงุ เรือ่ งเซตให้สมบูรณ์จนเป็นท่ียอมรับและนำไปใชอ้ ย่าง กวา้ งขวางในวชิ าคณิตศาสตร์ โยเชียห์ วิลลาร์ด กิบส์ (Josiah Willard Gibbs) นักคณิตศาสตร์ชาว อเมรกิ ัน มผี ลงานในตา้ นวิชาฟสิ ิกส์เชิงคณติ ศาสตร์ และวชิ ากลศาสตรเ์ ชงิ สถติ ิ เป็น ผู้ใหก้ ำเนิดวิชาเวกเตอรว์ ิเคราะห์ รปู ที่ 1.13 แสดงโยเชียห์ วลิ ลาร์ด กิบส์ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (Albert Einstein ค.ศ. 1879-1955) นักฟิสิกส์ชาว เยอรมัน ใช้คณิตศาสตร์สร้างทฤษฎีสัมพันธภาพ เป็นเหตุให้ความคิดเห็นเกี่ยวกับ เอกภพและสสารซึ่งเชื่อกันมาแต่เติมเปลี่ยนแปลงไป ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์สมัย ปัจจุบัน เช่น แขนงอิเล็กทรอนิกส์ ฟิสิกส์นิวเคลียร์ และอวกาศต้องใช้ความรู้ทาง คณติ ศาสตร์ประยกุ ตแ์ บบใหม่

จอห์น ฟอน นอยมันน์ (John Von Neumann ค.ศ. 1903- 1957) นัก คณติ ศาสตร์ชาวฮังการี มผี ลงานทั้งในตันคณิตศาสตร์บริสทุ ธ์ิ คณิตศาสตร์ประยุกต์ และเศรษฐศาสตร์ เช่น ทฤษฎีควอนตัม ทฤษฎีคอมพิวเตอร์และการออกแบบ คอมพิวเตอร์ กำหนดการเชิงเสน้ กลุ่มจตุรงค์ต่อเนือ่ ง ตรรกศาสตร์ ความน่าจะเป็น เปน็ ผ้ใู หก้ ำเนดิ ทฤษฎกี ารเสี่ยง คณิตศาสตร์แขนงใหม่ที่เกิดขึ้นในสมัยปัจจุบัน ได้แก่ ทฤษฎีเซต กำเนิดเม่ือ พ.ศ.2435 โทโปโลยี กำเนิดเมื่อ พ.ศ. 2438 ทฤษฎกี ารเสี่ยง กำเนิดเมื่อ พ.ศ. 2474 และกำหนดการเชง็ เสน้ กำเนดิ เมอ่ื พ.ศ. 2490 คณิตศาสตร์เริ่มจากเป็นเกร็ดความรู้ที่มนุษย์นำมาใช้ให้เป็นประโยชน์ในการ ดำรงชีวิตในสมยั สี่พันปีก่อนคอ่ ย ๆ มีกฎเกณฑ์ทวีเพิม่ พูนขึ้นตลอดมา คณิตศาสตร์ เปรียบเหมือนต้นไม้ นับวันจะผลิดอกออกผลนำประโยชน์มาให้มนุษยชาติ มนุษย์ ทุกยุคทุกสมัยสนใจวิชาคณิตศาสตร์ การให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์แก่เยาวชนของ ชาติ จงึ มคี วามสำคญั อย่างมาก 2. จำนวนและตัวเลข จำนวน (Number)หมายถึง ตัวบ่งชี้ปริมาณ ซึ่งเป็นผลมาจากตัวเลข (Numeral) ประกอบกนั ตัวเลข (Numeral) หมายถึง สื่อหรือสัญลักษณ์แทนการนับจำนวน ซึ่ง สามารถบ่งช้ีปริมาณโดยตัวเลข ได้ถือกำเนิดมาเมื่อหลายพันปีก่อนโดยซาวอียิปต์ และเม่ือมีการติดต่อกับอารยธรรมอ่ืน ๆ ไดเ้ กดิ วิวฒั นาการตัวเลขอน่ื ๆ ตามมา เช่น ตัวเลขบาบโิ ลน ตัวเลขโรมัน ตัวเลขจนี และอีกมากมายรวมท้ังตัวเลขไทย ซ่งึ ตวั เลข

ที่ได้รับความนิยมมากที่สุดไต้แก่ ตัวเลขฮินดูอารบิก ซึ่งประกอบไปด้วยตัวเลข 10 ตวั คอื 0, 1, 2, 3. 4. 5, 6. 7, 8 และ 9 ซง่ึ เม่ือคา่ ของจำนวนมีค่ามากกวา่ 9 ขึ้นไป จะเกดิ การประกอบกนั ช้นื มาของตวั เลขท้งั 10 รูปที่ 1.14 แสดงตัวเลขฮินดูอารบิก 3. โครงสร้างระบบจำนวน จำนวนจรงิ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเศษส่วน จำนวนทศนิยม จำนวนเต็ม ทศนิยมไม่ร้จู บ รากท่ถี อดไมไ่ ดล้ งตวั จำนวนเตม็ ลบ จำนวนศูนย์ จำนวนเตม็ บวก รปู ที่ 1.15 แสดงโครงสร้างระบบจำนวน

จากรปู ที่ 1.15 แบง่ โครงสรา้ งระบบจำนวนออกได้ดังต่อไปน้ี จำนวนจริง (Real Number) คือ จำนวนทุกจำนวน ซึ่งอาจเป็นได้ท้ัง จำนวนตรรกยะหรอื จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนแทน เศษส่วนได้ โดยจะอยู่ในรปู *A* / *B* โดยท่ี B จะต้องไม่เท่ากบั ศูนย์ จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียน แทนเปน็ เศษสว่ นได้ ทศนิยมไมร่ จู้ บ รากทถ่ี อดไมล่ งตัว คอื จำนวนอตรรกยะ 4. เลขจำนวนเตม็ จำนวนเต็ม (Integer) คือ จำนวนที่เป็นเลขลงตัวไม่มีเศษ หรือมีค่าหลังจุด ทศนิยมเป็นศูนย์ หมายถึง จำนวนเต็มบวก (Positive Integer) จำนวนเต็มศูนย์ (Zero Integer) และจำนวนเต็มลบ (Negative Integer) เนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว ไม่ได้มีแต่จำนวนเต็มบวกเท่านั้นที่ใช้บ่งชี้ปริมาณ เช่น อุณหภูมิของอากาศติดลบ จำนวนเงนิ คงเหลอื ในบัญชขี องธนาคาร เปน็ ตน้

จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ จำนวนเตม็ บวก -3 -2 -1 0 2 3 4 รปู ท่ี 1.16 แสดงเลขจำนวนเต็ม จำนวนเต็มบวก (Positive Integer) คือ จำนวนนับที่มีค่าเริ่มตันที่ 1 และ มีค่าเพ่มิ ขนึ้ ไดเ้ ร่อื ย ๆ เพราะจำนวนนับไมม่ คี ่าสน้ิ สดุ จำนวนเต็มศูนย์ (Zero Integer) คือ จำนวนที่ไม่ถือเป็นจำนวนนับ โดย การเริ่มตันนับค่าจะเริ่มตันที่ 1 เช่น เด็กคนที่ 1, 2, 3…. ไปเรื่อย ๆ แต่ไม่นิยมบอก วา่ มเี ดก็ 0 คน แต่อาจบอกแทนได้วา่ ไม่มเี ด็ก จำนวนศูนย์ อาจแทนความหมายว่า ไม่มี แต่บางครั้งก็ใช้เลข 0 เพื่อบ่งชี้ปริมาณได้เช่น ผลการแช่งขันฟุตบอล 0 ประตู ต่อ 0 หรอื ขณะนอี้ ุณหภูมิ 0 องศาเซลเชยี ส เปน็ ตนั จำนวนเต็มลบ (Negative Integer) คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า 0 โดยมี เครื่องหมายลบกำกับอยู่หน้าตัวเลขจำนวนนั้น เช่น -3 อ่านว่า ลบสาม และมีคำ นอ้ ยลง ถา้ ตัวเลขเพม่ิ ขนึ้ ไปเร่อื ย ๆ เพราะจำนวนนบั ไม่มคี า่ สนิ้ สดุ

5. เศษส่วนและทศนิยม เศษส่วน (Fraction) หมายถึง จำนวนที่เขียนอยู่ในรูป A โดยที่ A เป็น B จำนวนเตม็ บวกหรอื ศนู ย์ และ B จะต้องไม่เทา่ กบั ศูนย์ เชน่ 3 เป็นตัน 2 ทศนิยม (Decimal) หมายถึง ตัวเลขเพื่อแทนจำนวนที่ไม่สามารถเขียนใน รูปจำนวนเต็ม ซึ่งอาจเป็นทศนิยมลัวน เช่น 0.5 หรือ 0.75 โดยทศนิยมอาจมี จำนวนเตม็ อยดู่ ้วยเช่น 2.5 หรือ 4.725 เป็นตน้ จำนวนนับหรือจำนวนเต็ม สามารถบอกปริมาณได้ แต่ไม่สามารถบอก ปริมาณบางอย่างได้ เช่น มีลูกอม 3 เม็ด แบ่งให้เด็ก 2 คน จะได้คนละเท่าใด คำตอบ คือ 3 หารด้วย 2 จะได้ 0.5 หรือ 1.5 เม็ด โดยพบวา่ ทศนิยม คือ เศษสว่ น 1 ที่มตี ัวหาร หรอื เลขของส่วนเปน็ 1 จงึ ไม่ค่อยนิยมนำมาเขยี น เช่น รูปท่ี 1.17 แสดงลกู อม เศษสว่ น สามารถเปลยี่ นเปน็ ทศนยิ มด้วยการหาร ทนิยมทไี่ ด้จากเศษส่วน มี 2 แบบ คือ ทศนิยมท่ีหารลงตวั และทศนิยมทหี่ ารไมล่ งตัว หรือทศนยิ มซ้ำ เชน่ 1 = 0.333 (เลขทีซ่ ำ้ คือ 3) สามารถเขียนใหม่ ดังนี้ 1 = 0.3 33

ตวั อยา่ ง การเขยี นทศนยิ มซ้ำ เชน่ เขียนแทนดว้ ย 0.12* 4 = 0.121212... 33 19 = 1.727272... เขียนแทนดว้ ย 0.72* 11 3 = 1.5000... เขยี นแทนด้วย 0.50* 2 ในกรณที ่ซี ำ้ ดว้ ยเลข 0 จะไมน่ ิยมเขยี นสว่ นทซี่ ำ้ เช่น 3 มกั จะเขียนแทน ดังน้ี = 1.5 2 ������ มักจะเขียนแทน ดังน้ี = 0.4 ������ การปัดเศษทศนยิ มให้เปน็ จำนวนเต็ม การปัดเศษส่วนให้เป็นจำนวนเต็ม เช่น 45.7 สามารถปัดให้เป็น 46 ได้ เพราะมีค่าใกล้เคียงกับ 46 มากกว่า 45 โดยการปัดทศนิยม ถ้าตัวเลขน้อยกว่า 5 ให้ปัดทิ้ง แต่ถ้าตัวเลขที่ปัดมีค่ามากกว่า 5ให้ปัดขึ้น ในกรณีที่ค่าทศนิยมเท่ากับ 5 ซึ่งแต่เต็มจะปัดทั้งทั้งหมด จะทำให้เกิดผลคลาดเคลื่อน เมื่อมีการนำทศนิยมมา รวมกัน จงึ มีหลกั การปดั ทศนยิ มเมอ่ื มีคา่ เท่ากบั 5

ดังนี้ ถ้า 5 ตามหลงั ทศนยิ มที่เปน็ เลขคู่ จะใชท้ ศนิยมเดมิ ถา้ 5 ตามหลงั ทศนิยมที่เปน็ เลขค่ี จะปดั ข้ึน เช่น 25.425 ทศนยิ ม 2 ตำแหน่งปัด เป็น 25.42 25.475 ทศนยิ ม 2 ตำแหนง่ ปดั เป็น 25.48 6. เลขมหี ลักและไม่มีหลัก เลขมหี ลกั คือ การนำตัวเลขมารวมกลุ่มกัน เพื่อให้ค่าและบ่งชี้ปริมาณ โดยอาศัยวิธกี าร กำหนด หลักของตัวเลข (Position Notation) ในการพิจารณาค่าของตัวเลขจะ พิจารณาค่า 2 ค่า คือ 1. คา่ ประจำตวั ของตัวเลขแตล่ ะตัว 2. คาหลักในตำแหน่งท่ีตัวเลขน้นั ปรากฏ คำถาม ตวั เลขทีอ่ ยดู่ ้านขวาสดุ แตกต่างกบั ตัวเลขที่อย่ดู ้านซ้ายสุดอยา่ งไร ตอบ ตัวเลขทอี่ ยูต่ ำแหนง่ ขวาสุดจะมีคำหลักท่ีนอ้ ยทีส่ ดุ และตวั เลขทีอ่ ย่ทู างซ้ายสดุ จะมคี ่ามากที่สุด เชน่ 845 ตวั เลข 4 ไมไ่ ดม้ ีคำเทา่ กับ 4 แต่มคี ำเท่ากับตวั เลขดูณ ด้วยค่าประจำหลกั คือ หลกั สิบ ซึ่งจะเทา่ กับ 40

ตวั อยา่ ง 1.1 จงตอบคำถามตอ่ ไปน้ี 25412 เลข 5 มคี ่าเท่าใด ตอบ 5 * 1,000 = 5,000 7850 เลข 5 มีค่าเท่าใด ตอบ 5 * 10 = 50 หรอื 0 * 100 = 0 5 * 101 = 50 8 * 102 = 800 7 * 103 = 7000 เลขไมม่ ีหลกั คือ ระบบตัวเลขแต่ละตัวไม่ว่าจะอยู่ที่ใดก็จะมีค่าคงที่เสมอ เช่น ระบบเลข โรมัน ซึง่ ใช้สญั ลักษณแ์ ทนคา่ ตอ่ ไปนี้ I=1 V=5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

รูปท่ี 1.18 แสดงการใชเ้ ลขโรมันในการบอกเวลา ในส่วนจำนวนที่มีค่าตั้งแต่ 4,000 ขึ้นไป แทนสัญลักษณ์ด้วยบาร์ (-) ไว้ ดา้ นบนของตัวอักษรแทนการคณู และการหารด้วย 1,000 เชน่ VI มีค่าเท่ากับ 6 x 1,000 = 6,000 ข้อเสียของการใช้ระบบเลขฐานนี้ คือ ไม่สะดวกในการคำนวณเกี่ยวกับการ บวก การลบ การคูณ และการหาร เหมือนกับการใช้ระบบเลขที่หลัก แต่อย่างไรก็ ตามสามารถหาผลลัพธ์จากการคำนวณดังกล่าวได้ จำนวนที่เขียนแทนด้วย สญั ลักษณห์ ลายตัว ถ้าเขียนสัญลักษณท์ ่ีมีคา่ น้อยกว่าไวด้ ้านช้ายมือของสญั ลกั ษณ์ท่ี มีค่ามากกว่า ค่าของจำนวนที่ได้จะมีค่าเท่ากับจำนวนที่มีค่ามากลบด้วยจำนวนที่มี คา่ น้อย เชน่ IX มคี า่ เทา่ กบั 10-1 = 9 VL มคี ่าเท่ากับ 50-5 = 45

ในกรณที เี่ ขยี นสัญลกั ษณ์ทมี่ ีค่านอ้ ยกว่าได้ไว้ด้านขวามือของสัญลักษณ์ที่มีค่า มากกว่าค่าของจำนวนที่ได้ จะมีค่าเท่ากับจำนวนที่มีค่ามากกว่า บวกด้วยค่าของ จำนวนทมี่ คี า่ น้อยกว่า เช่น VI มีคา่ เท่ากับ 5+ 1 = 6 LV มคี า่ เท่ากบั 50 + 5 = 55 ตวั อยา่ ง 1.2 การแทนค่าด้วยเลขโรมนั 1234567 I II III IV V VI VII 8 9 10 VIII IX X 100 200 300 400 500 600 700 C CC CCC CD D DC DCC 800 900 1000 DCCC CM M 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 MM MMM IV V VI VII VIII 9000 10000 IX X

ตัวอย่าง 1.3 จงตอบคำถามต่อไปนี้ VII เลข V มคี า่ เท่าใด ตอบ 5 MCV เลข M มคี า่ เท่าใด ตอบ 1000 XI เลข X มีค่าเทา่ ใด ตอบ 10 ตัวอยา่ ง 1.4 จงเขยี นเลขตอ่ ไปน้ใี หอ้ ย่ใู นรปู เลขโรมนั 1) 105 2) 620 3) 3560 วธิ ีทำ 105 = 100 + 5 = CV 620 = 600 + 20 = DCXX 3560 = MMMDLX ตัวอยา่ ง 1.5 จงเขยี นเลขตอ่ ไปนี้ ใหอ้ ยูใ่ นรูปเลขอารบกิ 1) XL 2) CMXX 3) MMCCL

วิธีทำ XL = 50 – 10 = 40 CMXX = 1000 – 100 + 10 + 10 = 920 MMCCL = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 50 = 2250 7. เลขฐานวิทยาศาสตร์ ตัวเลขที่ใช้ในชีวิตประจำวันส่วนใหญ่มักไม่มีความชับซ้อน หรือมีจำนวนของ ตัวเลขท่ีไม่มาก แตส่ ำหรับในห้องปฏิบัติการทต่ี ้องการความแมน่ ยำจากการคำนวณ สงู ตัวเลขในการคำนวณตา่ ง ๆ จะมจี ำนวนทลี่ ะเอยี ด และมจี ำนวนมาก หากใช้การ เขียนตัวเลขในรูปแบบปกติจะทำให้การเขียนแทนจำนวนต่าง ๆ ต้องใช้การเขียนท่ี ยาวและอ่านได้ลำบาก เช่น การเขียนเลข 1760000000000 หรือเลขทศนิยม 0.0000000000564 จากตัวเลขตังกล่าว จะเห็นได้ว่าไม่สะดวกต่อการใช้งาน และอาจทำให้อ่าน ค่าผิดพลาดได้ง่าย ดังนั้น จึงมักจะใช้การเขียนเลขทางวิทยาศาสตร์ ( Scientific Notation ) แทนการใช้ตัวเลขปกติเพื่อแสดงค่าของจำนวนที่มีปริมาณมากและส่ือ ให้เช้าตรงกนั โดยนิยมเขยี นใหอ้ ยู่ในรูปของเลขฐาน 10 ที่ยกกำลังแทน ดังตวั อย่าง การเขยี นดา้ นลา่ ง

รปู ที่ 1.19 แสดงการทดลองทางวทิ ยาศาสตร์ 100 = 1 10-1 = 0.1 101 = 10 10-2 = 0.01 102 = 100 10-3 = 0.001 103 = 1000 10-4 = 0.0001 104 = 10000 10-5 = 0.00001 105 = 100000 10-6 = 0.000001 ตวั อย่าง 1.6 จงแปลคา่ ของตัวเลขต่อไปนใี้ หอ้ ยู่ในรูปทางวิทยาศาสตร์ วธิ ที ำ 98700 = 9.87 * 10000 = 9.87 * 104 548 = 5.48 * 100 = 5.48 * 102 0.0287 = 2.78 * 0.01

= 2.78 * 10-2 0.00004578 = 4.578 * 10-5 ตวั อยา่ ง 1.7 จงแปลงเลขทางวทิ ยาศาสตรต์ อ่ ไปนี้ให้อยู่ในรปู เลขปกติ วธิ ที ำ 4 * 101 = 4 * 10 = 40 4.5 * 102 = 4.5 * 100 = 450 4.56 * 10-7 = 0.000000456 8. คุณสมบัติพ้นื ฐานของระบบจำนวนจริง จำนวนจรงิ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็ม จำนวนเศษสว่ น จำนวนทศนยิ ม ทศนยิ มไม่ร้จู บ รากทีถ่ อดไมไ่ ดล้ งตวั จำนวนเตม็ ลบ จำนวนศนู ย์ จำนวนเต็มบวก รปู ท่ี 1.20 แสดงระบบจำนวนจรงิ

คณุ สมบัตเิ ก่ยี วกับการบวก 1.คุณสมบัติปิดของการบวก คือ ผลบวกของจำนวนจริง 2 จำนวน ผลลัพธ์ ที่ได้ย่อมจะต้องเป็นจำนวนจริงด้วย เช่น กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริง ดังนัน้ a + b จะได้ผลลพั ธ์เป็นจำนวนจรงิ ดว้ ย 2. คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก การบวกเลขจำนวนจริง สามารถสลับ ท่ีกนั ไดร้ ะหวา่ งตัวตัง้ และตัวกระทำคอื a + b = b + a เช่น 2 + 5 = 5 + 2 3. คุณสมบัติการจัดหมู่ของการบวก การบวกสามารถจัดกลุ่มการบวกได้ ใหม่มีรูปแบบ คือ (a + b) + c = a + (b + c) จากตัวอย่างจะเห็นได้ว่าสามารถจดั หมู่ โดยการนำ a + b ก่อนแล้วจึงนำมาบวกกับ c หรือจะนำ b + c ก่อนแล้วจึง บวก a กไ็ ด้ เชน่ (2 + 5) + 3 = 2 + (5 + 3) 4. เอกลักษณ์ของการบวก คือ 0 เปน็ เอกลักษณข์ องการบวก เมอื่ บวก จำนวนจริงใดๆ กับ 0จะไดผ้ ลลัพธ์เท่ากบั จำนวนจรงิ น้นั เชน่ a +0 = a 5. อินเวอร์สการบวก คอื เลขที่รวมกบั จำนวนจรงิ ใดแล้วได้ผลลพั ธ์ของการ บวกเปน็ ศนู ย์ a + (-a) = (-a) + a = 0 เมือ่ -a เปน็ อินเวอรส์ การบวกของ a a เป็นอนิ เวอรส์ การบวกของ -a อินเวอร์สการบวกของเลขจำนวนจรงิ ใด ๆ จะมีเพียงค่าเดียวเท่านัน้ เช่น อิน เวอรส์ ของเลขจำนวนจริง 2 คอื -2 เท่านัน้

คณุ สมบัติเกีย่ วกบั การคูณ 1. คณุ สมบัติปดิ ของการคณู ผลลัพธข์ องการนำเลขจำนวนจรงิ 2 จำนวนมา คูณกนั จะไดเ้ ลขจำนวนจริงขึ้นมาใหม่ 1 จำนวน เช่น a และ b เป็นเลขจำนวนจริง ผลลัพธ์ของ a x b จะเป็นเลขจำนวนจริงดว้ ย 2. คุณสมบตั ิการสลับท่ขี องการคูณ การคูณกันของเลขจำนวนจรงิ สามารถ จดั กล่มุ ของการคณู ใหม่ได้ เช่น axb=bxa 2x5=5x2 3. คุณสมบตั ิการจัดกลมุ่ ของการคณู การคูณกนั ของเลขจำนวนจรงิ สามารถ จัดกลุ่มของการคูณใหม่ได้ เช่น (a x b) x c = a x (b x c) (2 x 5) x 3 = 2 x (5 x 3) นอกจากน้ี อาจเขียนการคณู กนั ของจำนวนจริง โดยละเครอื่ งหมายคณู และ วงเลบ็ ได้ เช่น abcd=axbxcxd (a x b x c) x d 4. เอกลกั ษณ์ของการคูณ คือ 1 เป็นเอกลักษณ์ของการคูณของเลขจำนวน จริงเม่ือคณู จำนวนจริงใดๆ ด้วย 1 ผลลัพธท์ ไ่ี ด้ คอื เลขจำนวนจริงตังกล่าว เช่น a x1=a

5. อินเวอร์สของการคูณ คือ เลขจำนวนจริงที่นำไปคูณกับเลขจำนวนจริง หน่ึงๆ แล้วใหผ้ ลลพั ธจ์ ากการคณู เท่ากบั 1 เช่น A x a-1 = a-1 x a = 1 เมือ่ a-1 เป็นอนิ เวอรส์ การคณู ของ a a เปน็ อินเวอร์สการคณู ของ a-1 นอกจากคุณสมบัติการบวก และการคูณของเลขจำนวนจริงแล้ว ยังมี คุณสมบัติที่เกี่ยวกับทั้งการบวกและการคูณ คือ คุณสมบัติการกระจายของเลข จำนวนจริง เช่น a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 2 x (5 + 3) = (2 x 5) + (2 x 3) คุณสมบัตเิ กี่ยวกับการลบและการหาร การลบ คอื การบวกด้วยค่าอนิ เวอรส์ ของตวั ลบ เช่น a - b = a + ( -b ) โดยเครอ่ื งหมายลบ ( - ) ใชแ้ ทนความหมาย 3 ประการ คอื 1. ใช้แทนเลขจำนวนลบ เชน่ -2 2. ใช้แทนการกระทำการลบ 3. ใช้แทนอินเวอรส์ ของการบวก เชน่ -2 เปน็ อินเวอรส์ ของการบวก ของ 2 การหาร คือ การคูณดว้ ยอนิ เวอรข์ องการหาร เช่น ������ = ab-1 (b ≠ 0) ������ กรณีถ้า ค่า a = 0 ผลลพั ธ์ของการหาร มีค่าเทา่ กับศูนย์

คุณสมบัติเก่ียวกบั การยกกำลังและการหาราก นยิ ามของเลขยกกำลัง การยกกำลังของเลขจำนวนจริงใด ๆ มีค่าเท่ากับการคูณของเสขจำนวนจริง นั้น ฯ ตามจำนวนของเลขท่ียกกำลัง เช่น 23 = 2 x 2 x 2 (2 คณู กนั 3 ครั้ง โดยทีเ่ ลขยกกำลังเป็นจำนวนนบั ) นิยามการหาราก การหารากในกรณีที่เป็นรากที่ 2 สามารถเขียนแทนด้วย เมื่อ√������ ไม่เป็น นยิ ามการหาราก การหารากที่ ก เขยี นแทนดว้ ย √ก ������ เมื่อ ก เปน็ จำนวนนับท่ีไม่ใช่ 1 และ 2 คณุ สมบัตทิ เ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การยกกำลงั และการหาราก มีดงั นี้ 1. เลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกันคูณกัน มีค่าเท่ากับฐานยกกำลังด้วยค่าเลข ยกกำลงั บวกกัน ������������∎ ������������ = ������������+������ 2. เลขยกกำลังที่ถูกยกกำลังอีกครั้งหนึ่ง มีค่าเท่ากับฐานยกกำลังด้วยค่าเลข ยกกำลังคณู กนั (������������)n = ������������ ∎ ������

3. ผลคูณของเลข ab ทง้ั หมดยกกำลงั n มคี า่ เทา่ กับ an คณู กบั am (������������)ก = ������ก ∎ ������ก 4. ผลหารของเลข (������)n = ������������ ������������ ������ 5. เลขจำนวนจริงใด ๆ ยกกำลงั ศนู ย์ มคี ่าเทา่ กับ 1 ������0 = 1 6. เลขยกกำลังจริงที่มีกำลังเป็นค่าเศษส่วน มีค่าเท่ากับรากที่ n ของจำนวน จริง ������ 1 = √ก ������ ก 7. เลขที่มีค่าเลขยกกำลังเป็นลบ มีค่าเท่ากับเศษ 1 ส่วนด้วยเลขดังกล่าว ยก กำลังบวก ������−ก = 1 ������ก 8. เลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกันหารกัน มีค่าเท่ากับเลขฐานนั้น ยกกำลัง ดว้ ยค่าเลขกำลงั ลบกัน ������������ = ������������−������ ������������

9. ความสมั พันธ์ในระบบจำนวนจริง เกย่ี วกบั เท่ากนั นิยาม a = b ต่อเมื่อ a และ b ใช้แทนจำนวนจริงเดียวกัน ซึ่งคุณสมบัติของ การเทา่ กันมีดงั นี้ 1. คุณสมบัตกิ ารสะท้อน a = a 2. คณุ สมบตั กิ ารสมมาตรคอื ถา้ a = b แลว้ จะได้ b = a ด้วย 3. คุณสมบตั กิ ารถา่ ยทอด ถา้ a = b และ b = c แลว้ จะได้ a = c ด้วย 4. คณุ สมบัติการเพ่ิมข้นึ เท่ากนั ถา้ a = b แลว้ จะได้ a + c = b + c 5. คณุ สมบัตกิ ารตดั ออกของการบวก ถ้า a + c = b + c แล้ว จะได้ a = b 6. คุณสมบตั กิ ารเพ่มิ ขึน้ เท่ากัน ถา้ a = b แลว้ จะได้ a * c = b * c 7. คุณสมบตั กิ ารตัดออกของการคูณ ถ้า a * c = b * c แล้ว จะได้ a = b

เกย่ี วกับการไม่เท่ากนั คณุ สมบตั ิเกย่ี วกับการไม่เท่ากนั มีดังนี้ 1. คุณสมบัตกิ ารถ่ายทอด ถา้ a < b = b < c แล้ว จะได้ a < c ด้วย 2. คณุ สมบตั กิ ารบวกเพ่ิมด้วยจำนวนเดียวกนั ถ้า a < c แลว้ a + c < b + c ด้วย (c จะเปน็ คา่ บวก หรือลบกไ็ ด้) 3. คุณสมบัตกิ ารคูณเพ่มิ ด้วยจำนวนบวก ถา้ a < b แล้ว a * c < b * c ดว้ ย (c จะตอ้ งเปน็ ค่าบวก) 4. การคูณจำนวนทม่ี ีคา่ ลบ เชน่ 4.1 ถา้ a < b แล้ว a*c<b*c 4.2 ถ้า a < 0 และ b < 0 แล้ว a*b>0 4.3 ถ้า a > 0 a*b<0 5. การหารด้วยจำนวนบวก ถ้า a < b แล้ว

������ < ������ ������ ������ 6. การหารด้วยจำนวนลบ ถ้า a < b แล้ว ������ < ������ ������ ������ เมือ่ c เป็นค่าลบ เครื่องหมายจะถูกกลับข้าง จากมากวา่ เป็นนอ้ ยกว่า หรอื น้อยกวา่ เป็นมากกวา่ 7. a2 < 0 เสมอ และ a2 = 0 ถา้ a = 0 10. ช่วงของจำนวนจริง ช่วง (Interval) หมายถึง เซตของจำนวนจริงที่แสดงอยู่ในรูปของเส้นจำนวน และสามารถกำหนดเป็นช่วงของจำนวนได้ โดยทุก ๆ จำนวนจะมีจุดอยู่บนเส้น จำนวนได้เพยี งจดุ เดยี วเทา่ นัน้ ตวั อย่างเช่น -3 -2 -1 0 1 23 และตอ่ ไปนี้คือช่วงของจำนวนจรงิ ในรูปแบบต่าง ๆ พร้อมตวั อยา่ งที่แสดงอยู่ บนเส้นจำนวน กำหนดให้ a และ b เปน็ จำนวนจริงใด ๆ โดยท่ี a < b

1. ชว่ งเปดิ (a , b) b (a , b) = { x a < x < b } a 5 (-4 , 5) = { x - 4 < x < 5 } b -4 10 2. ชว่ งปิด [a , b] b [a , b] = { x a < x < b } a 10 [1 , 10] = { x a < x < 10 } b 1 -1 3. ชว่ งก่ึงเปิด / กึง่ ปิด • ช่วงกึง่ เปดิ / กึ่งปิด (a , b) (a , b] = { x a < x < b } a [-5 , 10] = { x -5 < x < 10 } -5 • ช่วงกง่ึ ปดิ / กงึ่ เปิด [a , b) [a , b) = { x a < x < b } a [-5 , -1) = { x -5 < x < -1 } -5

4. ช่วงอนนั ต์ • ช่วง (a , ∞ ) (a , b] = { x a < x < b } a [1 ,∞) = { x x > 1 } 1 • ช่วง (a , ∞ ) a (a , b] = { { x x > a } 1 [1 , ∞) = { x x > 1 } • ช่วง ( −∞ , ������ ) a (−∞ , a) = { x x < a } -5 [−∞ , a) = { x x < -5 } a 0 [−∞ , ∞) = { x x เปน็ จำนวนจริง} • ชว่ ง ( −∞ , ������ ] (−∞ , a] = { x x < a } (−∞ , 0] = { x x < 0 }

สรุปเนื้อหาสำคัญ ( ผงั มโนทัศน์ ) จำนวนและตัวเลข โครงสรา้ งระบบจำนวน วิวฒั นาการของระบบ เลขจำนวนเตม็ จำนวน ระบบจำนวน ความสมั พันธ์ในระบบ เศษสว่ นและทศนิยม จำนวนจรงิ คุณสมบัติพน้ื ฐานของ เลขมีหลัก และไม่มหี ลกั ระบบจำนวนจรงิ เลขฐานวิทยาศาสตร์