SYNARTISEIS

Συναρτησεις Μεθοδος:Ευρεση μεγιστου - ελαχιστου συναρτησης ▪ Ζητουμενα: Ευρεση μεγιστου - ελαχιστου συναρτησης . ▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης και το πεδιο ορισμου της συναρτησης A = [α, β] . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Βρισκουμε το συνολο τιμων της συναρτησης f(A) = [α,β] . ▪ Tα ακρα α, β του συνολου τιμων ειναι το ελαχιστο και μεγιστο , αντιστοιχα, της συναρτησης .ΠαραδειγμαΝα βρεθει το μεγιστο και ελαχιστο της συναρτησης : f(x) = 2x - 3 με A f = [0,3].ΑπαντησηΕιναι, y = 2x - 3 ⇔ 2x = y + 3 ⇔ x = y + 3 2και 0 ≤ y + 3 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ y + 3 ≤ 6 ⇔ - 3 ≤ y ≤ 3 ⇔ f(A) = [- 3,3] 2 Για y = - 3 τοτε x = - 3 + 3 = 0, αρα για : x = 0 ελαχιστο το f(0) = - 3 . 2 Για y = 3 τοτε x = 3 + 3 = 3, αρα για : x = 3 μεγιστο το f(3) = 3 . 2 Μεθοδος:Αρτια η Περιττη Συναρτηση ▪ Ζητουμενα: H συναρτηση ειναι αρτια η περιττη . ▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης η συναρτησιακη σχεση . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Δειχνουμε οτι το πεδιο ορισμου της ειναι συμμετρικο ως προς το μηδεν. ▪ Δειχνουμε οτι για καθε x ∈ Α, τοτε – x ∈ Α και: f(- x) = f(x) (αρτια συναρτηση) η f(- x) = - f(x) (περιττη συναρτηση) . ▪ Στη περιπτωση σχεσης συναρτησης με δυο μεταβλητες x,y απαλειφουμε τη μετα- βλητη y (δινοντας τιμες x = y = 0, y = 0 κλπ) .ΠαραδειγμαΝα δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = - x + 2, x < -1 ειναι περιττη. - x - 2, x>1Το πεδιο ορισμου Α της συναρτησης g ειναι συμμετρικο ως προς το 0.Να βρεθει αν η συναρτηση g ειναι αρτια η περιττη οταν για καθε x,y ∈ A ισχυει :g(x + y) + g(y - x) = 2[g(x) + g(y)]Απαντηση http://mathslibrary4.blogspot.gr Τακης Τσακαλακος

ΣυναρτησειςTo πεδιο ορισμου της f ειναι : Α f = (- ∞,1) ∪ (1,+ ∞), συμμετρικο ως προς 0. Για x < - 1 ⇔ - x > 1 τοτε : f(-x) = - (- x) - 2 = x - 2 = - (- x + 2) = - f(x), αρα η f ειναι περιττη για x < - 1. Για x > 1 ⇔ - x < -1 τοτε : f(- x) = - (- x) + 2 = x + 2 = - (- x - 2) = - f(x), αρα η f ειναι περιττη για x > 1.Οποτε για καθε x ∈ Α f η f ειναι περιττη.Στη δοσμενη σχεση θετουμε x = y = 0, οποτεg(0 + 0) + g(0 - 0) = 2[g(0) + g(0)] ⇔ 2g(0) = 4g(0) ⇔ g(0) = 0 (1)Στη δοσμενη σχεση θετουμε y = 0, οποτε (1)g(x + 0) + g(0 - x) = 2[g(x) + g(0)] ⇔ g(x) + g(-x) = 2[g(x) + g(0)]⇔ g(x) + g(-x) = 2g(x) ⇔ g(-x) = g(x),που σημαινει οτι η g ειναι αρτια.ΠαραδειγμαΔινεται η συναρτηση f ορισμενης στο συνολο » .Να δειξετε οτι η συναρτηση g(x) = 1 ⋅ [f(x) + f(- x)] ειναι αρτια . 2Απαντηση Το πεδιο ορισμου της f ειναι το συνολο R , που ειναι συμμετρικο ως προς 0. Ειναι g(- x) = 1 ⋅[f(- x) + f(-(- x))] = 1 ⋅[f(- x) + f(+ x)] = g( x) 22Δηλαδη, Α f συμμετρικο ως προς 0 και f(- x) = f(x)Aρα η f ειναι αρτια .Μεθοδος:Περιοδικη Συναρτηση▪ Ζητουμενα:H συναρτηση ειναι περιοδικη .▪ Δοσμενα:Ο τυπος της συναρτησης .▪ Τροπος Λυσης:▪ Δειχνουμε οτι υπαρχει Τ > 0 τετοιος ωστε:▪ για καθε x ∈ A : (x +Τ) ∈ A και (x –Τ) ∈A▪ για καθε x ∈ A : f(x +T) = f(x) και f(x -T) = f(x)▪ Βρισκουμε τη μικροτερη τιμη του Τ (βασικη περιοδος)▪ Μετασχηματιζουμε τη δοσμενη συναρτηση, σε γνωστη περιοδικη συναρτηση μεγνωστη περιοδο .αραδειγμαΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμαΝα δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = ημ(2x + 3) ειναι περιoδικη και να βρειτε μια περιοδο της .Απαντηση2(x + T) + 3 = 2κπ + 2x + 3 -  ⇔ 2x + 2T + 3 = 2κπ + 2x + 3  ⇔ T = κπ, κ ∈ » * 2(x + T) + 3 = 2κπ + π - 2x  2x + 2T + 3 = 2κπ + π - 2x - 3  T = κπ + π - 2x  3  -  2 3Απ'τις οποιες δεκτη ειναι η T = κπ, κ ∈ » * (η αλλη εξαρταται απο το x)Οποτεη συναρτηση f ειναι περιοδικη με περιοδο T = κπ, κ ∈ » * .ΠαραδειγμαΝα δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = συν 4x - ημ 4 x ειναι περιοδικη και να βρεθει η βασικητης περιοδος.ΑπαντησηΕιναιf(x) = συν 4x - ημ 4x = (συν 2x + ημ 2x)(συν 2x - ημ 2x) = συν 2x - ημ 2x = συν2xΟποτε η f ειναι περιοδικη .Αν Τ ≠ 0 η περιοδος της f, τοτε για καθε x ∈ » :f(x + T) = f(x) ⇔ συν2(x + T) = συν2x ⇔ 2(x + T) = 2κπ + 2x ⇔ 2x + 2T = 2κπ + 2x ⇔ T = κπ, κ ∈ » * 2(x + T) = 2κπ - 2x 2x + 2T = 2κπ - 2x T = κπ - 2xΑπ'τις οποιες δεκτη ειναι η T = κπ, κ ∈ » * (η αλλη εξαρταται απο το x) .Aραη περιοδος ειναι Τ = κπ, κ ∈ » * με βασικη περιοδο την Τ = π . Μεθοδος:Αποδειξη οτι Συναρτηση ειναι 1-1 ▪ Ζητουμενα: H συναρτηση ειναι “ 1 - 1 “ . ▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Ξεκινουμε απ’την ισοτητα f(x1) = f(x2) και καταληγουμε στην ισοτητα x1 = x2 . ▪ Δειχνουμε οτι η συναρτηση ειναι γνησια μονοτονη, οποτε ειναι και 1 - 1.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμα xΝα εξεταστει αν ειναι \"1 - 1\" η συναρτηση : f(x) = 1+ x 2Απαντησηf(x1 ) = f(x2 ) x1 = x2 2 , (x 1 , x 2 ομοσημοι, αφου οι παρονομαστες θετικοι) 1 + x 2 1+x 2 1x1 1+ x 22 = x 2 1 + x 2 η x 2 (1 + x 22 ) = x 22 (1 + x 2 ) η x 2 + x 2 x 2 = x 22 + x 2 x 2 1 1 1 1 1 1 2 2x 2 = x 22 η x 2 - x 22 = 0 η (x 1 + x 2 )(x 1 - x 2 ) = 0, (x 1 + x 2 ≠ 0 αφου x 1 , x 2 ομοσημοι) 1 1x 1 - x 2 = 0 η x1 = x2Αρα η συναρτηση f ειναι \"1 - 1\".ΠαραδειγμαΔινεται η συναρτηση f με τυπο f(x) = x 2011 + x 2013 Nα βρειτε το f(1) Να εξετασετε αν η συναρτηση f ειναι \"1 - 1\" στο » Nα λυσετε την εξισωση : x 2011 + x 2013 = 2Απαντηση Ειναι f(1) = 1 2011 + 1 2013 = 1 + 1 = 2 Α f = » (H f πολυωνυμικη) Εστω x 1 , x 2 ∈ » με x1 < x2 Tοτε x1 2011 < x2 2011 προσθεση x1 2011 + x1 2013 < x2 2011 + x2 2013 ⇔ f(x1 ) < f(x2 ) x1 2013 < x 2013 2 ⇔ κατα μελη Aρα η f ειναι γν.αυξουσα στο », οποτε και \"1 - 1\" στο ». Eιναι f(1) = 2 f \"1-1\" x 2011 + x 2013 = 2 ⇔ f(x) = 2 ⇔ f(x) = f(1) ⇔ x = 1. Μεθοδος:Συναρτηση ειναι 1-1 (πολλαπλου τυπου) ▪ Ζητουμενα: H συναρτηση ειναι “ 1 - 1 “ . ▪ Δοσμενα: Ο πολλαπλος τυπος της συναρτησης . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Δειχνουμε οτι η συναρτηση ειναι 1 - 1 σε καθε κλαδο ξεχωριστα . ▪ Δειχνουμε οτι τα επιμερους συνολα τιμων των κλαδων, ειναι ξενα μεταξυ τους.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμαΝα εξεταστει αν ειναι \"1 - 1\" η συναρτηση : f(x) = x . |x|+ 1ΑπαντησηΕιναι x ⇔  x x 1 , αν x ≥ 0  +f(x) = f(x) =  |x|+1  -x 1 - x , αν x <0Aν f 1 (x) = x 1 , με x ≥ 0 : x+f1(x1) = f1(x2 ) ⇔ x1 = x2 ⇔ x1 + 1 = x2 + 1 ⇔ 1+ 1 = 1+ 1 ⇔ 1 = 1 ⇔ x1 = x2 x1 + 1 x2 + 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2y = x ⇔ yx + y = x ⇔ x(1 - y) = y ⇔ x = y x+1 1-yαρα y ≥ 0 ⇔ y(1 - y) ≥ 0 ⇔ y ≤ 0 η y ≥ 1 δηλαδη , f1(A) = (- ∞,0] ∪[1,+ ∞)1- yAν f 2 (x) = -x , με x < 0 : 1-xf 2(x1) = f2(x2 ) ⇔ - x1 = - x2 ⇔ x1 - 1 = x2 - 1 ⇔ 1- 1 = 1- 1 ⇔ 1 = 1 ⇔ x1 = x2 1 - x1 1- x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2y = - x ⇔ y - xy = -x ⇔ x(1- y) = - y ⇔ x = - y 1-x 1-yαρα- y < 0 ⇔ - y(1- y) < 0 ⇔ 0 < y < 1 δηλαδη , f 2(A) = (0,1)1- yΤελικαf(x1) = f(x2 ) ⇔ x 1 = x 2 και f1(A) ≠ f 2(A) που σημαινει οτι η f ειναι 1 - 1.ΠαραδειγμαΝα δειξετε οτι η συναρτηση f με τυπο f(x) = x - 2 , x≥ 0 δεν ειναι \"1 - 1\" . - x + 3 , x< 0ΑπαντησηΕιναιAν f1(x) = x - 2, με x ≥ 0 :y = x - 2 ⇔ x = y + 2 αρα y + 2 ≥ 0 ⇔ y ≥ - 2 δηλαδη f1(A) = [- 2, + ∞)ΤAανκfη(ςx)Τ=σ-αxκ+α3λ, αμεκxος< 0 : http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις y = - x + 3 ⇔ x = 3 - y αρα 3 - y < 0 ⇔ y < 3 δηλαδη f 2(A) = (- ∞, 3)Aρα, f(x1) ∩ f(x2 ) = [- 2,3) που σημαινει οτι για x1 ≠ x2 ⇔ f(x1) = f(x2 ).Eτσι η f δεν ειναι 1 - 1. Μεθοδος:Αντιστροφη Συναρτηση ▪ Ζητουμενα: Ο τυπος και το πεδιο ορισμου της αντιστροφης της συναρτησης . ▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Βρισκουμε το πεδιο ορισμου της συναρτησης f, το Af . ▪ Δειχνουμε οτι η συναρτηση f ειναι συναρτηση “ 1 - 1 ” . ▪ Θετουμε στο τυπο της συναρτησης f, f(x) = y και λυνουμε ως προς x. ▪ Βρισκουμε το f(A) (που ειναι το πεδιο ορισμου της αντιστροφης) και με εναλλαγη των x, y εχουμε τον τυπο της αντιστροφης . ▪ Σε περιπτωση συναρτησης με πολλαπλο τυπο, κανουμε τα πιο πανω σε καθε κλαδο .ΠαραδειγμαNα βρειτε την αντιστροφη συναρτηση της συναρτησης : f(x) = 1 + x - 3ΑπαντησηΠρεπειx - 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3, οποτε A f = [3, + ∞ )Επισης, ειναι x≥3f(x1 ) = f(x2 ) ⇔ 1 + x1 - 3 = 1 + x2 - 3 ⇔ x1 - 3 = x2 - 3 ⇔ x 1 - 3 = x 2 - 3 ⇔ x 1 = x 2Aρα η f ειναι συναρτηση \"1 - 1\" , συνεπως και αντιστρεψιμη.y =1+ x-3y - 1 = x - 3 πρεπει : y - 1 ≥ 0 ⇔ y ≥ 1 (1)y2 - 2y + 1 = x - 3x = y2 - 2y + 4 πρεπει : y2 - 2y + 4 ≥ 3 ⇔ y2 - 2y + 1 ≥ 0 ⇔ (y - 1)2 ≥ 0 που αληθευει για καθε y ∈ »Oποτε η αντιστροφη της συναρτησης f ειναι :f - 1 : [ 1 , + ∞ ) → », με f - 1(x) = x 2 - 2x + 4Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμαNα βρειτε την αντιστροφη συναρτηση της συναρτησης : f(x) = lnx ,0 < x < 1  ,x≥ 1 .  x - 1Απαντηση 0<x<1 H lnx ειναι γ. αυξουσα, οποτε και \"1 - 1\". Ειναι y = lnx x = e y πρεπει 0 < e y < 1 ⇔ y < 0, δηλαδη f(A 1 ) = (- ∞ ,0) (1) x≥1 x≥1 f(x1 ) = f(x2 ) ⇔ x1 - 1 = x2 - 1 ⇔ x1 - 1 = x2 - 1 ⇔ x1 = x2 Aρα η f ειναι συναρτηση \"1 - 1\" . Ειναι y = x - 1 πρεπει : y ≥ 0, δηλαδη f(A2 ) = [0,+ ∞ ) (2) y2 = x-1 x = y 2 + 1 πρεπει : y 2 + 1 ≥ 1 ⇔ y 2 ³ 0 που αληθευει για καθε y ∈ »Eπειδη f(A 1 ) ∩ f(A 2 ) = (- ∞ ,0) ∩ [0, + ∞ ) = ∅ η συναρτηση f ειναι \"1 - 1\" αρααντιστρεφεται με :f - 1(x) = e x + 1 x<0 x 2 x≥ 0 Μεθοδος:Αντιστροφη Συναρτηση (απο γνωστη σχεση) ▪ Ζητουμενα: Ο τυπος και το πεδιο ορισμου της αντιστροφης της συναρτησης . ▪ Δοσμενα: Συναρτησιακη σχεση της συναρτησης . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Δειχνουμε οτι η συναρτηση f ειναι συναρτηση “ 1 – 1 ” . ▪ Θετουμε στη γνωστη σχεση, f(x) = y και λυνουμε ως προς x . ▪ Βρισκουμε το f(A) (που ειναι το πεδιο ορισμου της αντιστροφης) και με εναλλαγη των x, y εχουμε τον τυπο της αντιστροφης . Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

ΣυναρτησειςΠαραδειγμαΕστω η πραγματικη συναρτηση f με πεδιο ορισμου το » . Αν για καθε x ∈ » ισχυειf 3(x) + f(x) - e x = 0 τοτε : Nα δειχτει οτι η f ειναι \" 1 - 1\" . Να βρειτε την αντιστροφη συναρτηση της συναρτησης f .ΑπαντησηΑν x 1 ,x 2 ∈ » και η δοσμενη : f 3(x) + f(x) = e x (I)f(x 1 )= f(x ) ⇔ f(x 1 ) = f(x 2 )  (+) f 3 (x ) + f(x ) = f 3 (x ) + f(x ) (I) e x 1 = e x2 ⇔ x1 = x2 f 3(x 1 ) = f 3(x  2 ) ⇔ 1 1 2 2 ⇔ 2Aρα η f ειναι \" 1 - 1\" .Aφου η f ειναι \" 1 - 1 \" αντιστρεφεται.Αν θεσουμε y = f(x) στην (Ι) : (αφου e x > 0 ⇒y(y 2 +1) > 0 ⇒y > 0)y 3 + y = e x ⇔ e x = y(y 2 + 1) ⇔ lne x = ln[y(y 2 + 1)] ⇔ x = ln[y(y 2 + 1)], y > 0.Με εναλλαγη των x, y o τυπος της αντιστροφης ειναι : y = ln[x(x 2 + 1)], x > 0 ηf - 1(x) = ln[x(x 2 + 1)] , x > 0Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η κ ο ι ν ω ν σ η μ ε ι ω ν τ ω ν C f κ α ι C f -1▪ Ζητουμενα:Τα κοινα σημεια των C f και C f -1 .▪ Δοσμενα:Ο τυπος της συναρτησης f .▪ Τροπος Λυσης:▪ Tα κοινα σημεια των C f και C f -1 (εφοσον υπαρχουν) ειναι η λυση του συστηματος: y = f(x) y = f(x) x = f -1(y)  (Σ) η x = f(y) (Σ 1) η y = f -1(x) (Σ 2 ) y = f - 1(x)▪ Συνηθως αφαιρουμε κατα μελη τις εξισωσεις του (Σ1) .ΠαραδειγμαΕστω η πραγματικη συναρτηση f με f(x) = 2x 3 + 1 : Nα δειχτει οτι η f ειναι aντιστρεψιμη . Να βρειτε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων C f και C f -1 .ΑπαντησηΤο πεδιο ορισμου της f ειναι το ».Αν x 1 , x 2 ∈ » : f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇔ 2x 1 3 + 1 = 2x 2 3 + 1 ⇔ x 1 3 = x 2 3 ⇔ x 1 = x 2Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Aρα η f ειναι \" 1 - 1\" οποτε αντιστρεφεται. Λυνουμε το συστημα (Σ) : y = 2x 3 + 1 (1) x = 2y 3 + 1 (2) Aπο (1) - (2) : y - x = 2x 3 + 1 - 2y 3 - 1 ⇔ y - x = 2(x 3 - y 3 ) ⇔ y - x = 2(x - y) (x 2 + xy + y 2 ) ⇔ (y - x) + 2(y - x) (x 2 + xy + y 2 ) = 0 ⇔ (y - x)(1 + 2x 2 + 2xy + 2y 2 ) = 0 ⇔ y - x = 0 ⇔ y = x (3)   2x 2 + 2yx +1+ 2y 2 = 0 αδυνατη αφου Δ = 4y 2 - 8 - 16y 2 = - 8 - 12y 2 < 0 H (1) λογω της (3) : x = 2x 3 + 1 ⇔ x + 1 = 2(x 3 + 1) ⇔ (x + 1) - 2(x + 1)(x 2 + x + 1) = 0 ⇔ 2 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = - 1 (x + 1)(1 - 2x + 2x + 2) = 0  αδυνατη 2x 2 + 2x + 1 = 0 αφου Δ = 4 - 8 = - 7 < 0Aρα x = y = -1 και το κοινο σημειο των C f , C f -1 ειναι το (- 1,- 1) . Μεθοδος:Ευρεση παραμετρου ▪ Ζητουμενα: Παραμετρος (η συνθηκη ) που περιεχεται στο τυπο αντιστρεψιμης συναρτησης f . ▪ Δοσμενα: Ο τυπος της συναρτησης . ▪ Τροπος Λυσης: ▪ Δειχνουμε οτι η συναρτηση (η οι κλαδοι, αν εχουμε πολλαπλο τυπο) ειναι 1 - 1 . ▪ Απαιτουμε να μην υπαρχει κοινο f(x) για διαφορετικες τιμες του x .ΠαραδειγμαNα βρειτε τη συνθηκη μεταξυ των παραμετρων α, β ωστε να ειναι αντιστρεψιμη η αx - β 2 , x ≤ 1  , x > 1συναρτηση : f(x) = βx - α 2 α, β∈ » * . +ΑπαντησηΟι συναρτησεις αx - β 2 και βx - α 2 ειναι γ. αυξουσες, οποτε και \"1 - 1\". x ≤ 1 : y = αx - β 2 ⇔ αx = y + β 2 ⇔ x = y + β 2 ⇔ y + β 2 ≤ 1 ⇔ y + β 2 ≤ α ⇔ y ≤ α - β 2 αα x > 1 : y = βx - α 2 ⇔ βx = y + α 2 ⇔ x = y + α 2 ⇔ y + α 2 > 1 ⇔ y + α 2 > β ⇔ y > β - α 2 ββΠρεπει f(A 1) ∩ f(A 2 ) = ∅ Aρα η f ειναι συναρτηση \"1 - 1\" . α +β > 0 αφου α,β∈» * ) ⇔ ⇔ ⇔ 0 ⇔(1+ + -β 2 2 2 2α < β-α α -β + α -β < 0 (α - β) + (α - β)(α + β) < 0 (α - β)(1 + α + β) <α-β < 0 ⇔ α < βΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΑσκηση 1ηΝα βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων:▪ f(x) = x 2 - 6 ▪ g(x) = |x + 5|+ 3 ▪ h(x) = ln 1+ x |x|- 2 1- xΑπαντηση□ Πρεπει : |x| - 2 ≠ 0 ⇔ |x| ≠ 2 ⇔ x ≠ ± 2 Οποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι: A f = » \ { - 2 , + 2 }□ Πρεπει : |x + 5| + 3 ≥ 0 που αληθευει για καθε x ∈ » Οποτε το πεδιο ορισμου της g ειναι : A g = »□ Πρεπει : 1 + x > 0 και x ≠ 1 ⇔ (1 + x)(1 - x ) > 0 ⇔ - 1 < x < 1 1- x Οποτε το πεδιο ορισμου της h ειναι : A h = ( - 1 , 1 )Ασκηση 2ηΝα βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων:▪ f(x) = 3x 2 - 5 ▪ g(x) = 1 ▪ h(x) = 3 - συνx εφx - 1 συνxΑπαντηση□ Πρεπει :εφx - 1 ≠ 0 και x ≠ κπ + π 2Η λυση της εξισωσης εφx = 1 δινει λυση, x = κπ + π 4Δηλαδη τελικα πρεπει: x ≠ κπ + π και x ≠ κπ + π με κ ∈ Z . 42Οποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι :Af= » \{x|x =κ π+ π και x=κπ+ π με κ∈ » } 4 2□ Πρεπει :συνx ≠ 0 ⇔ συνx ≠ συν π 2Η λυση της εξισωσης συνx = συν π δινει λυση, x = 2κπ ± π 22Οποτε το πεδιο ορισμου της g ειναι :Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςAg= » \{x|x=2κπ ± π με κ ∈ » } 2□ Πρεπει :3 - συνx ≥ 0 ⇔ συνx ≤ 3 το οποιο αληθευει για καθε x ∈ ℝ (συνx ≤ 1)Οποτε το πεδιο ορισμου της h ειναι :Ah= »Ασκηση 3ηΝα βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων:▪ f(x) = ln(x 2 - 4) ▪ g(x) = 4-x2 ▪ h(x) = e x 2 - 3x + 2 - 1 x-1 x 2 - 3x + 2Απαντηση□ Πρεπει : x² - 4 > 0 και x - 1 > 0 ⇔ x² > 4 και x > 1 ⇔ (x < - 2 η x > 2) και x > 1 ⇔ x > 2 Οποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι : A f = (2, + ∞)□ Πρεπει : 4 - x² ≥ 0 (1) και x3 - 3x + 2 ≠ 0 (2) Aπο (1): 4 - x² ≥ 0 ⇔ x² ≤ 4 ⇔ |x| ≤ 2 ⇔ - 2 ≤ x ≤ 2 Απο (2): προκυπτει οτι x ≠ 1 και x ≠ 2 Οποτε το πεδιο ορισμου της g ειναι : A g = [ - 2 , 1 ) ∪ ( 1 , 2 )□ Πρεπει : e x 2- 3x + 2 - 1 ≥ 0 ⇔ e x 2- 3x + 2 ≥ 1 ⇔ e x 2- 3x + 2 ≥ e⁰ ⇔ x 2 - 3x + 2 ≥ 0 ⇔ (x ≤ 1 η x ≥ 2) Οποτε το πεδιο ορισμου της h ειναι : A h = ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 2 , + ∞ )Ασκηση 4ηΔινεται η συναρτηση : f(x) = x2 x 3 -1 + 2x + λ + 1Για ποιες τιμες του λ ∈ » , το πεδιο ορισμου της f ειναι το » ;ΑπαντησηH συναρτηση f εχει πεδιο ορισμου το », αν :x 2 + 2x + λ + 1 ≠ 0(δηλαδη x 2 + 2x + λ + 1 δεν εχει πραγματικες ριζες).που σημαινει οτι :Δ < 0 ⇒ 2 2 - 4 ⋅1⋅(λ + 1) < 0 ⇒ 4 - 4λ - 4 < 0 ⇒ λ > 0Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΑσκηση 5ηΔινεται η συναρτηση : f(x) = e x 2- x - 1. Σε ποια σημεια τεμνει τους αξονες x'x και y'y,η γραφικη παρασταση της συναρτησης f ;ΑπαντησηΓια τον αξονα x'x :Για f(x) = 0 ⇔ e x2-x -1 = 0 ⇔ e x 2- x = 1 e0 =1 e x 2- x = e 0 ⇔ x 2 - x = 0 ⇔ x(x - 1) = 0 ⇔ ⇔x = 0 (δεκτες αφου Af = »)x = 1Aρα τα σημεια τομης της Cf και του αξονα x'x ειναι : (0,0), (1,0)Για τον αξονα y'y :Για x = 0 ⇔ y = e x 2- x -1 ⇔ y = e 02-0 -1 e0 =1 y = e 0 -e0 ⇔ y = 0 ⇔Aρα τα σημεια τομης της Cf και του αξονα y'y ειναι : (0,0)Ασκηση 6ηΔινεται η συναρτηση : f(x) = x 2 - 5x + 6. Για ποιες τιμες του x η γραφικη παρασταση τηςσυναρτησης f βρισκεται κατω απ'τον αξονα x'x ;ΑπαντησηΕιναιf(x) < 0 ⇔ x 2 - 5x + 6 < 0 (1)Η (1) εχει ριζες :Δ = 5 2 - 4 ⋅ 6 = 25 - 24 = 1x1,2 = 5 ± 1 = 5 ± 1 ⇔ x = 3 (δεκτες αφου A f = ») 2 2 x = 2Η (1) αληθευει για : 2 < x < 3Ασκηση 7ηΔινoνται οι συναρτησεις : f(x) = x 2 + 3 λ και g(x) = - λx + 1 . 42Να δειξετε οτι αν η γραφικη παρασταση της συναρτησης f βρισκεται πανω απ'τηγραφικη παρασταση της συναρτησης g για καθε x ∈ » , τοτε : 1 < λ < 2. Απαντηση http://mathslibrary4.blogspot.gr Ειναι : Α f = Α g = Α f ∩ Α g = »Τακης Τσακαλακος

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΓια να ειναι η C f πανω απ'τη C g , για καθε x ∈ », πρεπει :f(x) > g(x) ⇔ x 2 + 3 λ > - λx + 1 ⇔ x 2 + λx + 3 λ - 1 > 0 42 42Η τελευταια ισχυει για καθε x ∈ », αν : α > 0 και Δ < 0.Ομως α = 1 > 0,οποτε πρεπει :Δ < 0 ⇔ λ 2 - 4 ⋅1⋅( 3 λ - 1) < 0 ⇔ λ2 - 3λ + 2 < 0 ⇔ (λ - 1)(λ - 2) < 0 ⇔ 1 < λ < 2 42Ασκηση 8ηΔινoνται οι συναρτησεις : f(x) = λx 2 - x και g(x) = x 2 - λ 2x . x-λ x-1Να βρεθουν οι τιμες του λ ∈ » , ωστε οι συναρτησεις f και g να ειναι ισες .ΑπαντησηΗ συναρτηση f ειναι ορισμενη αν :x - λ ≠ 0 ⇔ x ≠ λ η Α f = { x ∈ » / x ≠ λ}Η συναρτηση g ειναι ορισμενη αν :x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 η Α g = { x ∈ » / x ≠ 1}Για να ειναι οι συναρτησεις f, g ισες πρεπει :Α f = Α g ⇔ { x ∈ » / x ≠ λ} = { x ∈ » / x ≠ 1} ⇔ λ = 1 .f(x) = g(x) για καθε Α f = Α g = { x ∈ » / x ≠ 1}Πραγματι (για λ = 1)f(x) = λx 2 - x = 1× x 2 - x = x 2 - x g(x) = x 2 - λ 2x = x 2 - 1 2 x = x 2 - x x-λ x-1 x-1 x-1 x-1 x-1Aρα f, g ειναι ισες για λ = 1 , αφου :Α f = Α g = { x ∈ » / x ≠ 1}f(x) = g(x) = x 2 - x x-1Ασκηση 9ηΔινονται οι συναρτησεις :f(x) =  x + 1, 3<x<6 g(x) = x + 2, 2<x<3  x - 1, 5 < x <7 x - 2, 3< x <7 Nα βρεθει η συναρτηση f g.ΑπαντησηΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΕιναι Α f1 o g1 = {x ∈ Ag 1 |g 1(x) ∈ A f1 } = {x ∈(2, 3)|3 < x + 2 < 6} = {x ∈(2, 3)|1 < x < 4} = (2, 3) f1 o g1 = f1(g 1(x)) = x + 2 + 1 = x + 3 Αf1 o g2 = {x ∈ A g 2 |g 2(x) ∈ A f 1 } = {x ∈(3,7)|3 < x - 2 < 6} = {x ∈(3,7)|5 < x < 8} = (5, 7) f1 o g2 = f1(g 2(x)) = x - 2 + 1 = x - 1 Αf2 o g1 = {x ∈ A g 1 |g 1(x) ∈ A }f2 = {x ∈(2,3)|5 < x + 2 < 7} = {x ∈(2,3)|3 < x < 5} = ∅ f2 o g1 δεν οριζεται Αf2 o g2 = {x ∈ A g 2 |g 2(x) ∈ A f2 } = {x ∈(3,7)|5 < x - 2 < 7} = {x ∈(3,7)|7 < x < 9} = ∅ f2 o g2 δεν οριζεταιΤελικα(f o g)(x) =  x + 3, 2<x<3  5 < x <7 x - 1,Ασκηση 10η Aν g(x) = x - 2 και (g f)(x) = x - 1 - 2 , να αποδειξετε οτι ενας τυπος της f ειναι f(x) = x - 1 . Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x - 1) = x 2 + 2x, για καθε x ∈ » . Να βρειτε : f(x) f(x + 1)Απαντηση Ειναι g(x) = x - 2 ⇒ g(f(x)) = f(x) - 2 ⇒ (g f)(x) = f(x) - 2 (1) (g f)(x) = x - 1 - 2 (2) Aπο (1) και (2) προκυπτει f(x) - 2 = x - 1 - 2 ⇒ ( f(x) - 2) 2 = ( x - 1 - 2) 2 ⇒ f(x) - 2 = x - 1 - 2 ⇒ f(x) = x - 1 Θετουμε y = x - 1 ⇔ x = y + 1 Οποτε η δοσμενη σχεση γινεται ισοδυναμα : f(y + 1 - 1) = (y + 1)2 + 2(y + 1) ⇔ f(y) = (y + 1)2 + 2(y + 1) ⇔ f(y) = (y + 1)(y + 3) με y ∈ » Αρα f(x) = (x + 1)(x + 3) με x ∈ » (3) Aν θεσουμε στην (3) οπου x το x + 1, τοτε f(x + 1) = (x + 1 + 1)(x + 1 + 3) ⇔ f(x + 1) = (x + 2)(x + 4) με x ∈ »Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΑσκηση 11ηΟι συναρτησεις f και g οριζονται στο » .Να βρεθουν οι πραγματικοι α και β ωστε να ισχυει για καθε x ∈ » :f f = g οταν f(x) = ax - 4 και g(x) = 9x + β.ΑπαντησηΕιναιf f = g ⇔ (f f)(x) = g(x) ⇔ f(f(x)) = g(x) ⇔ f(αx - 4 ) = 9x + β ⇔ α(αx - 4) - 4 = 9x + β ⇔α 2x - 4α - 4 = 9x + βΓια να ισχυει η τελευταια σχεση για καθε x ∈ », πρεπει :α 2 = 9 ⇔ α = ± 3- 4α - 4 = β β - 4α = 4Οποτε Για α = 3 τοτε : β - 4 ⋅ 3 = 4 ⇔ β = 16 Για α = - 3 τοτε : β - 4 ⋅(- 3) = 4 ⇔ β = - 8Aρα (α, β) = (3, 16)  (- 3,- 8)Ασκηση 12ηΝα δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = x - 3 + 1 ειναι γνησιως αυξουσα.ΑπαντησηΓια να ειναι ορισμενη η f πρεπει : x - 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3, δηλαδη A f = [3, + ∞).Aν x1 ,x2 ≥ 3 με x1 < x2 τοτε :x1 < x2 ⇒ x1 - 3 < x2 - 3 ⇒ x1 - 3 < x2 - 3 ⇒ x1 - 3 + 1 < x2 - 3 + 1 ⇒ f(x1 ) < f(x2 ) ⇒ f γν. αυξουσα στο [3, + ∞).Αλ λ ι ωςλ = f(x1) - f(x2 ) = x1 - 3 + 1 - ( x2 - 3 + 1) = x1 - 3 - x2 - 3 = ( x1 - 3 - x2 - 3)( x1 - 3 + x2 - 3) = x1 - x2 x1 - x2 x1 - x2 (x1 - x2 )( x1 - 3 + x2 - 3)= x1 - 3 - (x2 - 3) = x1 - 3 - x2 + 3 = x1 - x2 = (x1 - x2 )( x1 - 3 + x2 - 3) (x1 - x2 )( x1 - 3 + x2 - 3) ( x1 - x2 )( x1 - 3 + x2 - 3)= 1 > 0, (αφου x1 - 3 + x2 - 3 > 0) ⇒ f γν. αυξουσα στο [3, + ∞). x1 - 3 + x2 - 3Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΑσκηση 13ηΝα λυθει η ανισωση : f(3x - 1) < f(x + 5) αν f(x) = x - 1 + lnx.ΑπαντησηΓια να ειναι ορισμενη η f πρεπει : x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 , δηλαδη A f = [1, + ∞) η x≥1 (1) x > 0 x > 0Η συναρτηση f1(x) = x - 1 ειναι γν.αυξουσα (α = 1 > 0) στο [1, + ∞),αρα και η συναρτηση f 2(x) = x - 1 ειναι γν.αυξουσα στο [1, + ∞).Η συναρτηση f 3(x) = lnx ειναι γν.αυξουσα στο [1, + ∞).Οποτε η συναρτηση f(x) = x - 1 + lnx ειναι γν.αυξουσα, σαν αθροισμα γν.αυξουσωνσυναρτησεων στο [1, + ∞). f↑Ειναι : f(3x - 1) < f(x + 5) ⇔ 3x - 1 < x + 5 ⇔ 2x < 6 ⇔ x < 3 (2)Aπo (1) και (2), τελικα 1 ≤ x < 3Ασκηση 14ηΝα λυθει η εξισωση : 10 - x - 3 = lnx .ΑπαντησηΗ εξισωση 10 - x - 3 = lnx γραφεται : 10 - x - 3 - lnx = 0Θεωρουμε τη συναρτηση : f(x) = 10 - x - 3 - lnx (1)Για να ειναι ορισμενη η f πρεπει : 10 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 10 , δηλαδη A f = (0,10]. x > 0 x > 0Η συναρτηση f1(x) = 10 - x ειναι γν.φθινουσα (α = - 1 < 0) στο διαστημα (0,10],αρα και η f 2(x) = 10 - x ειναι γν.φθινουσα στο διαστημα (0,10].Η συναρτηση f 3(x) = lnx ειναι γν.αυξουσα και η f 4(x) = - lnx ειναι γν.φθινουσα στοδιαστημα (0,10].Οποτε η συναρτηση f(x) = 10 - x - 3 - lnx ειναι γν.φθινουσα ,σαν αθροισμα γν.φθινουσων συναρτησεων.Για x = 1 η (1) γινεται : f(1) = 10 - 1 - 3 - ln1 = 9 - 3 - ln1 = 3 - 3 - 0 = 0Αρα , η x = 1 ειναι μοναδικη ριζα της εξισωσης, αφου η f ειναι γν.φθινουσα.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΑσκηση 15ηΝα βρεθει το συνολο τιμων των συναρτησεων :f(x) = 3- 4x g(x) = x-3 με A g = [- 1, 24] x2 +1 x-1ΑπαντησηTo πεδιο ορισμου της f ειναι ολο το », αφου x 2 + 1 ≠ 0.y = 3 - 4x ⇔ y(x 2 + 1) = 3 - 4x ⇔ yx 2 + 4x + y - 3 = 0 (1) x2 +1Yπαρχει τουλαχιστον μια τιμη του x ∈ », που επαληθευει την (1) .Oποτε πρεπειΔ ≥ 0 ⇔ 4 2 - 4 ⋅ y ⋅(y - 3) ≥ 0 ⇔ 16 - 4y 2 + 12y ≥ 0 ⇔ - y 2 + 3y + 4 ≥ 0 ⇔y2 - 3y - 4 ≤ 0 ⇔ (y + 1)(y - 4) ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ y ≤ 4Aρα, f(A) = [- 1, 4] .Eιναι y≠1y = x - 3 ⇔ y(x - 1) = x - 3 ⇔ yx - y = x - 3 ⇔ (y - 1)x = y - 3 ⇔ x= y-3 x-1 (αν y=1 τοτε 0 ⋅x = - 2, ατοπο) y-1Aφου A g = [- 1, 24], τοτε : y-3  ≤ 24-1≤ y-3 ≤ 24 ⇔  y - 1 ≥ -1 ⇔ (y - 3)(y - 1) ≤ 24 ⇔ y2 - 4y + 3 - 24 ≤ 0 ⇔  y 2 - 4y - 21 ≤ 0 ⇔ y-1 (y - 3)(y - 1) ≥ -1 y2 - 4y + 3+1≥0  y 2 - 4y + 4≥0 y-3   y - 1(y + 3)(y - 7) ≤ 0 y≠1 -y3∈≤»y-≤{17}(y 2 ≥ ⇔ - 2) 0Aρα, g(A) = [- 3, 1)∪ (1, 7] .Ασκηση 16ηΝα βρεθει το μεγιστο και ελαχιστο της συναρτησης : f(x) = 3x - 4 με A f = [0,5].ΑπαντησηΕιναι, y = 3x - 4 ⇔ 3x = y + 4 ⇔ x = y + 4 και 30 ≤ y + 4 ≤ 5 ⇔ 0 ≤ y + 4 ≤ 15 ⇔ - 4 ≤ y ≤ 11 ⇔ f(A) = [- 4, 11] 3 Για y = - 4 τοτε x = - 4 + 4 = 0, αρα για : x = 0 ελαχιστο το f(0) = - 4 . 3 Για y = 11 τοτε x = 11 + 4 = 5, αρα για : x = 5 μεγιστο το f(5) = 11 . 3Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΑσκηση 17ηNα βρεθει το πεδιο ορισμου της συναρτησης : h(x) = f(1 - x 2 - 3x ) αν A f = [- 1, 1]. .ΑπαντησηΘετουμε g(x) = 1 - x 2 - 3x , οποτε h(x) = f(g(x)) = (fog)(x). x=0 η x=3H g ειναι ορισμενη αν x 2 - 3x ≥ 0 ⇔ , oποτε A g = (- ∞ , 0] U [3, + ∞ )H f ειναι ορισμενημε A f = [- 1,1]ΟποτεAh = Α f og {x ∈ A g |g(x) ∈ A f } x≤0 η x≥3  x≤0 η x≥3  x≤ 0η x≥3  = = -1 ≤ 1 - x 2 - 3x  = - 2 ≤ - x 2 - 3x  = 0≤ x2 - 3x ≤ = ≤ 1 ≤ 0 2 = x ≤0 η x≥ 3 = x ≤0 η x ≥ 3 x = - 1 η x=4x ≤ 0 η x ≥ 3 = [- 1, 0] ∪ [3, 4] x 2 - 3x ≤ 4  x 2 - 3x - 4 ≤ = -1≤ x ≤ 4  0 Ασκηση 18ηΝα βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) = e .lnx - 1ΑπαντησηΠρεπειlnx - 1 ≥ 0 ⇔ lnx ≥ 1 ⇔ lnx ≥ lne ⇔ x ≥ eOποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι : A f = [e, + ∞)Eιναιy = e lnx - 1Για y > 0 (1) εχουμε διαδοχικα :lny = lne lnx - 1lny = lnx - 1 ⋅ lne (lne = 1) 0 = ln1lny = lnx - 1, πρεπει lny ≥ 0 ⇔ lny ≥ ln1 ⇔ y ≥ 1 (2)Eτσιln 2y = lnx - 1, ομως lnx - 1 ≥ 0ln 2y ≥ 0, αληθευει για καθε y ∈ ».Aρα, απ'τις (1) και (2) :f(A) = [1, + ∞ )Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΑσκηση 19ηΗ γραφικη παρασταση μιας γνησια μονοτονης συναρτησης f : » → » τεμνει την ευθειαy = 1 στο σημειο Α με τετμημενη 2.Να αποδειξετε οτι η συναρτηση g(x) = 2 f(x) + 2 2 - f(x) , x ∈ » , παρουσιαζει ελαχιστο στο x0 = 2με τιμη 4 .Απαντηση 0 ⇔ α + β ≥ 2 αβ (1) για καθε α,β ≥ 0.Ειναι( α - β)2 ≥ 0 ⇔ α +β-2 α ⋅ β(Η ισοτητα ισχυει αν α = β)Οποτε (1 )g(x) = 2 f(x) + 2 2 - f(x) ⇔ g(x) ≥ 2 2 f(x) ⋅ 2 2 - f(x) ⇔ g(x) ≥ 2 2 f(x) + 2-f(x) ⇔ g(x) ≥ 2 2 2 ⇔ g(x) ≥ 4Για να ισχυει g(x) = 4 πρεπει :2 f(x) = 2 2 - f(x) ⇔ f(x) = 2 - f(x) ⇔ 2f(x) = 2 ⇔ f(x) = 1 ⇔ x = 2(Aφου η Cf τεμνει την ευθεια y = 1 στο σημειο Α με τετμημενη 2).Aραg(x) ≥ 4 = g(2) για καθε x ∈ », που σημαινει οτι : το g(2) = 4 ειναι ελαχιστο της g.Ασκηση 20ηΝα εξεταστει αν ειναι \"1 - 1\" η συναρτηση : f(x) = x + 1 . x-1ΑπαντησηΕιναιf(x1 ) = f(x2 ) ⇔x1 +1= x2 +1 ⇔x1 -1 x2 -1(x 1 + 1)(x 2 - 1) = (x 1 - 1)(x 2 + 1) ⇔x 1x 2 - x 1 + x 2 - 1 = x 1x 2 + x 1 - x 2 - 12x 1 = 2x 2 ⇔x1 = x2Αρα η συναρτηση f ειναι \"1 - 1\".Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΑσκηση 21ηΝα εξεταστει αν ειναι \"1 - 1\" η συναρτηση f με τυπο : f(x) = 3x - 1 , x ≤ 0  x 2 +1 , x>1ΑπαντησηAν f1(x) = 3x - 1, με x ≤ 0 :f1(x 1) = f1(x 2 ) ⇔ 3x 1 - 1 = 3x 2 - 1 ⇔ 3x 1 = 3x 2 ⇔ x 1 = x 2y = 3x - 1 ⇔ x = y + 1 3αρα, y + 1 ≤ 0 ⇔ y + 1 ≤ 0 ⇔ y ≤ - 1 δηλαδη , f1(A) = (- ∞, - 1] 3Aν f1(x) = x 2 + 1, με x > 1 :f 2(x 1) = f 2(x 2 ) ⇔ x 1 2 + 1 = x 2 2 + 1 ⇔ x 1 2 = x 2 2 ⇔x 1 ,x 2 > 1 x 1 = x 2y = x2 +1⇔ x2 = y-1⇔ x = y-1 αρα, y - 1 > 1 ⇔ y - 1 > 1 ⇔ y > 2 ⇔ δηλαδη , f 2(A) = (2, + ∞)Τελικαf(x1 ) = f(x2 ) ⇔ x 1 = x 2 και f 1(A) ≠ f 2(A) που σημαινει οτι η f ειναι 1 - 1.Ασκηση 22ηΕστω η συναρτηση f : » → » με f(f(x) + f 2(x) = 3x - 1 για καθε x ∈ » . Να δειξετε οτι η f ειναι 1 - 1 στο ». Να λυσετε την εξισωση f(x 3 - 2) = f(x 2 + x), x ∈ » .ΑπαντησηΕστω f(x 1) = f(x 2 )Τοτεf(f(x 1)) = f(f(x 2 )) (+) f(f(x 1 )) + f 2(x 1) = f(f(x 2 )) + f 2 (x 2) ⇒ ⇔ ⇔ 1) = f 2 (x 2 f(f(x) + f 2(x) = 3x -1 3x 1 -1 = 3x -1 3x 1 = 3xf 2 ) ⇒ 2 2 (xx1 = x2f(x1 ) = f(x2 ) ⇔ x 1 = x 2 που σημαινει οτι η f ειναι 1 - 1.H f ειναι 1 - 1, oποτεf(x 3 - 2) = f(x 2 + x) ⇔ x 3 - 2 = x 2 + x ⇔ x 3 - x 2 - x - 2 = 0 ⇔ x 3 - 2x 2 + x 2 - 2x + x - 2 = 0 ⇔ x 2+ x +1= 0x 2(x - 2) + x(x - 2) + (x - 2) = 0 ⇔ (x - 2)(x 2 + x + 1) = 0 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2 αδυνατη στο »Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΑσκηση 23ηΑν για την συναρτηση f ισχυει : f(x ⋅ y) = f(x) + f(y), x,y ∈ » , να δειξετε οτι η συναρτηση fειναι ''1 - 1''.ΑπαντησηEιναι : f(xy) = f(x) + f(y) (1)Για x = y = 1 η (1) γινεται : f(1) = f(1) + f(1) ⇔ f(1) = 0 (2)Για y= 1 η (1) γινεται : f(1) = f(x) + f( 1 ) (2 ) 0 = f(x) + f( 1) ⇔ f( 1) = - f(x) (3) ⇔ x x xxΓια y= 1 η (1) γινεται : f( x ) = f(x) + f( 1 ) (3 ) f( x ) = f(x) - f(y) (4) ⇔ y y yyΕτσιf(x 1 ) = f(x 2 ) ⇔ f(x 1 ) - f(x 2 ) = 0 (3 ) f(x 1 ) + f( 1 ) = 0 (1 ) f(x 1 ⋅ 1 ) = 0 ⇔ (x1) = 0 (2 ) x1 =0⇔ x2 x2 x2 x2 ⇔ ⇔ ⇔x1 = x2Aρα, η f ειναι ''1 - 1'' στο » .Ασκηση 24ηNα βρειτε την αντιστροφη συναρτηση της συναρτησης : f(x) = 3 + x - 1ΑπαντησηΠρεπειx - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1, οποτε A f = [1, + ∞ )Επισης, ειναι x≥1f(x1 ) = f(x2 ) ⇔ 3 + x1 - 1 = 3 + x2 - 1 ⇔ x1 - 1 = x2 - 1 ⇔ x 1 - 1 = x 2 - 1 ⇔ x 1 = x 2Aρα η f ειναι συναρτηση \"1 - 1\" , συνεπως και αντιστρεψιμη.y = 3+ x-1y - 3 = x - 1 πρεπει : y - 3 ≥ 0 ⇔ y ≥ 3 (1)y2 - 6y + 9 = x - 1x = y2 - 6y + 10 πρεπει : y2 - 6y + 10 ≥ 1 ⇔ y2 - 6y + 9 ≥ 0 ⇔ (y - 3)2 ≥ 0 που αληθευει για καθε y ∈ »Oποτε η αντιστροφη της συναρτησης f ειναι :f - 1 : [ 3 , + ∞ ) → », με f - 1(x) = x 2 - 6x + 10Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΑσκηση 25ηΝα βρεθει η αντιστροφη της συναρτησης f με τυπο : f(x) = ln(e x + 1) .ΑπαντησηEιναι : e x + 1 > 0 για καθε x ∈ », oποτε Α f = » .Για x 1 ,x 2 ∈ Α f με f(x 1) = f(x 2 ) εχουμε διαδοχικαln(e x 1 + 1) = ln(e x 2 + 1) ⇔ e x 1 + 1 = e x 2 + 1 ⇔ e x 1 = e x 2 ⇔ x 1 = x 2Aρα η f ειναι ''1 - 1'' , οποτε αντιστρεφεται. ey>0 ⇔ey-1>0 ⇔Ετσι ey >1 ⇔ey >e0 ⇔y = f(x) ⇔ y = ln(e x + 1) ⇔ y>0ey = ex +1⇔ ex = ey -1⇔x = ln(e y - 1), y > 0Mε εναλλαγη των x, y : y = ln(e x - 1),x > 0Τελικαf - 1(x) = ln(e x - 1), x > 0Ασκηση 26η e x , 0 < x < 1Να βρεθει η αντιστροφη της συναρτησης f με τυπο : f(x) =  e + x-1 ,x≥ 1Απαντηση 0<x<1 H e x ειναι γ. αυξουσα, οποτε και \"1 - 1\".Ειναιy=exx = lny πρεπει 0 < lny < 1 ⇔ lny < lne ⇔ y < e, δηλαδη f(A 1 ) = (- ∞ ,e) (1)x≥1 x≥1f(x1 ) = f(x2 ) ⇔ x1 - 1 + 3 = x2 - 1 + 3 ⇔ x1 - 1 = x2 - 1 ⇔ x1 - 1 = x2 - 1 ⇔ x1 = x2Aρα η f ειναι συναρτηση \"1 - 1\" .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΕιναι : y = e + x - 1πρεπει : y - e ≥ 0, δηλαδη f(A2 ) = [e,+ ∞ ) (2)(y - e) 2 = x - 1 ⇔ y 2 - 2ey + e 2 = x - 1 ⇔ x = y 2 - 2ey + e 2 + 1πρεπει : y 2 - 2ey + e 2 + 1 ≥ 1 ⇔ (y - e) 2 ≥ 0 αληθευει για καθε y ∈ »Aφου f(A 1 ) ∩ f(A 2 ) = (- ∞ ,e) ∩ [e, + ∞ ) = ∅ η συναρτηση f ειναι \"1 - 1\"αρα αντιστρεφεται με :f - 1(x) = lnx x<e  x≥ e x 2 - 2ex +e 2 + 1Ασκηση 27ηΕστω f μια συναρτηση με πεδιο ορισμου και τιμων το » . Αν για καθε x ∈ » ισχυει:(f(x)) 5 + f(x) + x = 0 (1), να αποδειχθει οτι η f ειναι αντιστρεψιμη και επειτα να βρειτετην f – 1 .ΑπαντησηΑν x1, x2 ∈ » με f(x1) = f(x2), τοτε ειναι: (f(x 1))5 = (f(x 2 ))5 ,οποτε ειναι και (f(x 1))5 + f(x 1) = (f(x 2 ))5 + f(x 2 ) .Επομενως λογω της (1) θα ειναι - x 1 = - x 2 η x 1 = x 2 .Αρα η f ειναι συναρτηση 1 – 1, οποτε ειναι και αντιστρεψιμη.Επειδη f( » ) = » και για καθε x ∈ » ισχυει (f(x))5 + f(x) + x = 0 , εχουμε:f(f -1(x)) 5 + f(f -1(x)) + f -1(x) = 0 , x ∈ » ηx 5 + x + f -1(x) = 0, x ∈ » ηf - 1(x) = - x 5 - x, x ∈ »Ασκηση 28ηΕστω η συναρτηση f: » → » για την οποια ισχυει f 3(x) + f(x) + x = 0 (1) για καθε x ∈ » .α) Να αποδειχθει οτι η f ειναι ‘’ 1 – 1 ‘’,β) Να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f - 1γ) Να λυθει η εξισωση f - 1(x 3 - 2) = f - 1(x 2 + x)Απαντησηα)Η (1) : f 3(x) + f(x) = - x (2)Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Λυμενες ΑσκησειςΑν x1, x2 ∈ » με f(x1) = f(x2), τοτε ειναι: f 3(x 1) = f 3(x 2 ) ,οποτε ειναι και f 3(x 1) + f(x 1) = f 3(x 2 ) + f(x 2 ) .Επομενως λογω της (1) θα ειναι - x 1 = - x 2 ⇔ x 1 = x 2 .Αρα η f ειναι συναρτηση 1 - 1, οποτε ειναι και αντιστρεψιμη.β) (1 )Εστω y = f(x) ⇔ x = f - 1 (y) ⇔ (f(f -1(y))) 3 + f(f -1(y)) + f -1(y) = 0 ⇔ y 3 + y + f -1(y) = 0 ⇔ x↔ yf -1(y) = - y 3 - y ⇔ f - 1(x) = - x 3 - x , εχουμε:γ)H f -1 ειναι 1 - 1, oποτεf -1(x 3 - 2) = f -1(x 2 + x) ⇔ x 3 - 2 = x 2 + x ⇔ x 3 - x 2 - x - 2 = 0 ⇔ x 3 - 2x 2 + x 2 - 2x + x - 2 = 0 ⇔ x 2+ x +1= 0x 2(x - 2) + x(x - 2) + (x - 2) = 0 ⇔ (x - 2)(x 2 + x + 1) = 0 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2 αδυνατη στο »Ασκηση 29ηΕστω η πραγματικη συναρτηση f με f(x) = x 2 - 4 : Nα δειχτει οτι η f ειναι aντιστρεψιμη . Να βρειτε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων C f και C f -1Απαντηση Το πεδιο ορισμου της f ειναι το ». Αν x 1 , x 2 ∈ » : f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇔ x 1 2 - 4 = x 2 2 - 4 ⇔ x 1 2 = x 2 2 ⇔ x 1 = x 2 Aρα η f ειναι \" 1 - 1\" οποτε αντιστρεφεται.Λυνουμε το συστημα (Σ) : y = x 2 - 4 (1) x = y 2 - 4 (2)Aπο (1) - (2) :y - x = x 2 - 4 - y 2 + 4 ⇔ y - x = x 2 - y 2 ⇔ y - x = (x - y) (x + y) ⇔ (y - x) + (y - x) (x + y) = 0 ⇔(y - x)(1 + x + y) = 0 ⇔ y - x = 0 ⇔ y = x ⇔  = - 1 y 2  1 + x + y = 0 1 + 2x = 0 x 1 = - 2Aρα x = y = - 1 και το κοινο σημειο των C f , C f -1 ειναι το (- 1 ,- 1) . 2 2 2Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις - Ασκησεις EπιλογηςΑσκηση 1ηNα βρεθει ο τυπος της συναρτησης f, αν για καθε x ∈ » ισχυει :5f(x) - 3f(- x) = 2x 2 - 8x .ΑπαντησηEιναι5f(x) - 3f(-x) = 2x 2 - 8x (1)Θετουμε στην (1) οπου x το - x.Ετσι5f(-x) - 3f(x) = 2(- x) 2 - 8(- x) ⇔ 5f(-x) - 3f(x) = 2 x 2 + 8 x ⇔ 5f(-x) = 3f(x) + 2 x 2 + 8 x ⇔f(-x) = 3f(x) + 2 x 2 + 8 x (2) 5Η (1) λογω της (2) :5f(x) - 3 ⋅ 3f(x) + 2 x 2 + 8 x = 2x 2 - 8x ⇔ 25f(x) - 9f(x) - 6 x 2 - 24 x = 10x 2 - 40x ⇔ 516f(x) = 16x 2 - 16x ⇔ f(x) = x 2 - xΑσκηση 2ηNα δειχτει οτι η συναρτησης f ειναι σταθερη για καθε x ∈ » αν ισχυει : 7f(x) + 5f(- x) = 12 f(x + y) = f(x) - f(y)ΑπαντησηΕιναι7f(x) + 5f(- x) = 12 (1)Θετουμε στην (1) οπου x το - x.Ετσι7f(- x) + 5f(x) = 12 ⇔ 7f(- x) = 12 - 5f(x) ⇔ f(- x) = 12 - 5f(x) (2) 7Η (1) λογω της (2) :7f(x) + 5 ⋅ 12 - 5f(x) = 12 ⇔ 49f(x) + 60 - 25f(x) = 84 ⇔ 24f(x) = 24 ⇔ f(x) = 1 7Ειναιf(x + y) = f(x) - f(y) (3)Θετουμε στην (3) οπου x = y = x . 2Ετσιf( x + x ) = f( x ) - f( x ) ⇔ f(x) = 0 2 2 2 2Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις - Ασκησεις EπιλογηςΑσκηση 3ηTo πεδιο ορισμου Α f της συναρτησης f ειναι συμμετρικο ως προς το μηδεν.Να δειξετε αν η συναρτηση f ειναι αρτια η περιττη, για καθε x, y∈ Α f , αν ισχυει :f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y) f(x - y) = f(x) - f(y)ΑπαντησηΕιναι (2)f(y + x) + f(y - x) = 2[f(x) + f(y)] (1)Θετουμε στην (1) x = y = 0 καιf(0) + f(0) = 2[f(0) + f(0)] ⇔ 2f(0) = 4f(0) ⇔ 2f(0) = 0 ⇔ f(0) = 0Θετουμε στην (1) y = 0 και (2)f(x) + f(- x) = 2[f(x) + f(0)] ⇔ f(x) + f(-x) = 2f(x) ⇔ f(x) = f(- x)Αρα η f ειναι αρτια .Ειναιf(x - y) = f(x) - f(y) (3)Θετουμε στην (3) x = 0 και (3)f(- y) = f(0) - f(y) ⇔ f(- y) = 0 - f(y) ⇔ f(- y) = - f(y)Αρα η f ειναι περιττη .Ασκηση 4ηΑν η συναρτηση f ειναι γνησιως αυξουσα και για x ∈ » ισχυει : f(f(x + 1)) = x + 1να δειχτει οτι f(x) = x .ΑπαντησηΗ σχεση f(f(x + 1)) = x + 1ισχυει για καθε x, αρα και για x = x - 1, οποτεf(f(x - 1 + 1)) = x - 1 + 1 ⇔ f(f(x)) = x αρα και f(f(x1)) = x1 (1) Eστω για x1 ∈ » ειναι f(x1) < x1 και αφου η f γ.αυξουσα τοτε f(f(x1)) < f(x1) (2) Απο (1), (2) : x1 < f(x1) ατοπο αφου f(x1) < x1 . Eστω για x1 ∈ » ειναι f(x1) > x1 και αφου η f γ.αυξουσα τοτε f(f(x1)) > f(x1) (3) Απο (1), (2) : x1 > f(x1) ατοπο αφου f(x1) > x1 .Αρα για καθε x1 ∈ » ισχυει f(x1) = x1 η f(x) = x .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις - Ασκησεις EπιλογηςΑσκηση 5ηΟι συναρτησεις f και g οριζονται στο » . Να δειξετε οτι f(x 2 ) + g(x 2 ) > 0 αν γιακαθε x ∈ » , ισχυει (f g)(x) = x 2 και (g f)(x) = x 2.ΑπαντησηΕιναι f(g(x)) = x 2 και g(f(x)) = x 2. Θετω g(f(x)) = x 2(f g)(x) = x 2 ⇔ f(g(x)) = x 2 ⇔ f(g(f(x))) = f 2(x) ⇔ f(x 2 ) = f 2(x) (1) x = g(x) Θετω f(g(x)) = x 2(g f)(x) = x 2 ⇔ g(f(x)) = x 2 ⇔ g(f(g(x))) = g 2(x) ⇔ g(x 2 ) = g 2(x) (2) x = g(x)Απο (1) + (2) : f 2 (x) + g 2 (x) ≥0f(x 2 ) + g(x 2 ) = f 2(x) + g 2(x) ⇒ f(x 2 ) + g(x 2 ) ≥ 0 ⇒ f(x 2 ) + g(x 2 ) > 0ΠραγματιΑν f(x 2 ) + g(x 2 ) = 0 (1) f(x) = 0 x = g(x) f(g(x)) = 0 ⇒ x 2 = 0 για καθε x ∈ » ⇒ ⇒ (2) g(x) = 0 x = g(x)  g(f(x)) = 0 που ειναι ατοποΑσκηση 6ηΑν για τις συναρτησεις f, g υπαρχει η f g στο » τοτε ισχυει : Αν η g ειναι αρτια τοτε η f g ειναι αρτια. Αν οι f, g ειναι περιττες τοτε η f g ειναι περιττη. Αν η f ειναι αρτια και η g ειναι περιττη, τοτε η f g ειναι αρτια.ΑπαντησηΕιναι f(g(x)) = (f g)(x), g αρτια(f g)(- x) = f(g(- x)) =αρα f g αρτια.Ειναι g περιττη f περιττη(f g)(- x) = f(g(- x)) = f(- g(x)) = - f(g(x)) = - (f g)(x),αρα f g περιττη.Ειναι g περιττη f αρτια(f g)(- x) = f(g(- x)) = f(- g(x)) = f(g(x)) = (f g)(x),αρα f g αρτια.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις - Ασκησεις EπιλογηςΑσκηση 7η Αν η συναρτηση f ειναι γνησια μονοτονη να δειξετε οτι και η αντιστροφη της f -1 εχει το ιδιο ειδος μονοτονιας . Αν η συναρτηση f : » → » ειναι γνησια αυξουσα και ισχυει f(x) = f -1(x) για καθε x ∈ » να δειξετε οτι f(x) = x .Απαντηση Η συναρτηση f ειναι γνησια μονοτονη, οποτε ειναι \"1 - 1\" και αντιστρεφεται.Αν Α και f(A) το πεδιο ορισμου και το συνολο τιμων αντιστοιχα της συναρτησης fτοτε το πεδιο ορισμου και το συνολο τιμων της f -1 ειναι τα f(A) και Α αντιστοιχα.Ισχυει y = f(x) ⇔ x = f -1(y) Aν f ειναι γνησια αυξουσα : Εστω y1 , y2 ∈ f(A) με y1 < y2 Αν η f -1 ειναι φθινουσα τοτε f γ.αυξουσα f -1(y1) ≥ f -1(y2 ) ⇔ f(f -1(y1)) ≥ f(f -1(y2 )) ⇔ y1 ≥ y2 ατοπο. Αρα η f -1 ειναι γνησια αυξουσα. Aν f ειναι γνησια φθινουσα : Εστω y1 , y2 ∈ f(A) με y1 < y2 Αν η f -1 ειναι αυξουσα τοτε f γ.φθινουσα f -1(y1) ≤ f -1(y2 ) ⇔ f(f -1(y1)) ≥ f(f -1(y2 )) ⇔ y1 ≥ y2 ατοπο. Αρα η f -1 ειναι γνησια φθινουσα.Ειναι f(x) = f -1(x) και η συναρτηση f ειναι γνησια αυξουσα, αρα και f -1 ειναι γνησιααυξουσα.Εστω f(x) ≠ x. Τοτε ανf(x) > x :f - 1 γ.αυξουσα f(x) = f -1(x)f(x) > x ⇔ f -1(f(x)) > f -1(x) ⇔ f -1(f(x)) = x x > f(x) ατοπο (f(x) > x) x < f(x) ατοπο (f(x) < x)f(x) < x :f - 1 γ.αυξουσα f(x) = f -1(x)f(x) < x ⇔ f -1(f(x)) < f -1(x) ⇔ f -1(f(x)) = xΑρα τελικα f(x) = x .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις - Ασκησεις EπιλογηςΑσκηση 8ηΝα βρεθει η αντιστροφη της συναρτησης f : » → » αν ισχυουν για καθε x ∈ » :f 3(x) + xf(x) - 1 = 0 (f f)(x) + x = f(x)ΑπαντησηΕχουμε f 3(x) + xf(x) - 1 = 0 (1).Για x 1 ,x 2 ∈ »ειναι (1) f(x 1 ) = f(x 2)f(x 1) = f(x 2 ) ⇔ f 3(x 1) = f 3(x 2 ) ⇔ 1 - x 1f(x 1) = 1 - x 2f(x 2 ) ⇔ x1 = x2Αρα η f ειναι \"1 - 1\" οποτε αντιστρεφεταιΓια x = f -1(x) η (1) γινεται : f(f -1(x)) = x(f(f -1(x) )) 3 + f -1(x) ⋅ f(f -1(x) ) - 1 = 0 ⇔ x 3 + f -1(x) ⋅ x - 1 = 0 ⇔f -1(x) ⋅ x = 1 - x 3 ⇔ f -1(x) = 1 - x 3 xΕχουμε (f f)(x) + x = f(x) η f(f(x)) + x = f(x) (2).Για x 1 , x 2 ∈ »ειναι (2) = f(x 2 ) - x 2 ⇔f(x 1 ) = f(x 2 ) x1 = x2f(x 1) = f(x 2 ) ⇔ f(f(x 1)) = f(f(x 2 )) ⇔ f(x 1) - x 1Αρα η f ειναι \"1 - 1\" οποτε αντιστρεφεταιΓια x = f -1(x) η (1) γινεται : f(f -1 ( x)) = xf(f(f -1(x))) + f -1(x) = f(f -1(x)) ⇔ f(x) + f -1(x) = x ⇔ f -1(x) = x - f(x)Παρατηρησ ηΙσχυει ηισοδυναμια : f(x) = y ⇔ f -1(y) = x f(x) = yf(x) = y ⇔ f -1(y) = x ⇔ f - 1(f(x)) = x f - 1 (y) = x y=xf -1(y) = x ⇔ f(x) = y ⇔ f(f -1(y)) = y ⇔ f(f - 1(x)) = xΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις - Ασκησεις EπιλογηςΑσκηση 9ηΔινονται οι συναρτησεις f, g : » * → » * με την f να ειναι 1-1 και να ισχυει : + +(g g g)(x) = (g g)(x) + 6f(e x - 1 + lnx + x) (1).Na δειξετε οτι :α) η h(x) = e x - 1 + lnx + x ειναι 1 - 1.β) η g(x) αντιστρεφεται.Απαντησηα)Μονοτονια της h(x).h'(x) = e x -1 + 1 + 1 > 0 (αφου x > 0 και > 0) xΕτσι, η h(x) ειναι γν.αυξουσα στο » * , οποτε και 1 - 1. +β)Αρκει να δειξουμε οτι η g(x) ειναι 1 - 1 στο » * . +Για x1 , x 2 ∈ » * , ειναι : + g: 1-1 g: 1-1 (1 )g(x1 ) = g(x2 ) ⇒ g(g(x1)) = g(g(x2 )) (2) ⇒ g(g(g(x1))) = g(g(g(x2 ))) ⇒ (2 )2g(g(x1)) + 6f(e x 1 -1 + lnx1 + x1) = 2g(g(x2 )) + 6f(e x 2 - 1 + lnx2 + x2 ) ⇒ f: 1-1f(e x 1 - 1 + lnx1 + x1 ) = f(e x 2 -1 + lnx2 + x2 ) ⇒ e x 1 - 1 + lnx1 + x1 = e x 2 - 1 + lnx2 + x2 ⇒ h: 1-1h(x1) = h(x2 ) ⇒ x1 = x2 .Oποτε η g(x) ειναι 1 - 1, δηλαδη αντιστρεφεται.Ασκηση 10ηΔινεται συναρτηση f με περιο ορισμου και συνολο τιμων το » , για την οποια ισχυει :[f(x)] 3 + f(x) = x + 1.Nα δειξετε οτι η f ειναι αντιστρεψιμη και να βρειτε την f -1.ΑπαντησηΑνf(x 1) = f(x 2 ) (1)τοτε και[f(x 1)] 3 = [f(x 2 )] 3 (2)Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις - Ασκησεις EπιλογηςΟποτε απο (1) + (2) :[f(x1)] 3 + f(x1) = [f(x2 )] 3 + f(x2 ) ⇒ x1 + 1 = x2 + 1 ⇒ x1 = x2Δηλαδη, αν f(x1) = f(x2 ) τοτε x1 = x2 που σημαινει οτι η f(x) ειναι 1 - 1 και αντιστρεφεται.Θετω y = f(x) ⇒ f-1(y) = x (ορισμος), και η δοσμενη σχεση γραφεται :y 3 + y = x + 1 ⇒ x = y 3 + y - 1, y ∈ ».Αρα η αντιστροφη συναρτηση της f ειναι :f - 1(x) = x 3 + x - 1, x ∈ ».Ασκηση 11ηΕστω η συναρτηση f : » → » για την οποια ισχυει f(f(x)) = x, για καθε x∈ » .α) Nα aποδειχτει οτι η συναρτηση f ειναι 1 - 1 στο » .β) Να αποδειχτει οτι η εξισωση f(x) = 2012 εχει ακριβως μια πραγματικη λυση.γ) Αν η συναρτηση g : » → » με τυπο g(x) = e x + e f(x) , για καθε x ∈ » , ειναι 1 - 1, να δειξετε οτι ο τυπος της f ειναι f(x) = x, για καθε x∈ » .δ) Αν η συναρτηση f ειναι γν.αυξουσα στο , να αποδειχτει οτι f(x) = x για καθε x ∈ » .Απαντησηα)Εστω x 1 , x 2 ∈ » με υποθεσηf(x1 ) = f(x2 ) ⇒ f(f(x 1)) = f(f(x 2 )) ⇒ x1 = x2 , αρα η f ειναι 1 - 1.β)Ειναι f: 1-1 f(f(x)) = xf(x) = 2012 ⇒ f(f(x) = f(2012) ⇒ x = f(2012)Δηλαδη η f(x) = 2012 εχει ακριβως μια πραγματικη λυση.γ)Θετουμε στο τυπο g(x) = e x + e f(x) οπου x το f(x) ∈ » , ετσι : υποθεση υποθεση g :1-1g(f(x)) = e f(x) + e f(f(x)) ⇒ g(f(x)) = e f(x) + e x ⇒ g(f(x)) = g(x) ⇒ f(x) = x.δ)Αν για τη συναρτηση f, που ειναι γν.αυξουσα στο », δεν ισχυει f(x) = x ,τοτε θα υπαρχει τουλαχιστον ενα x0 ∈ »,με f(x0 ) ≠ x0 , οποτε θα εχουμεΤακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις - Ασκησεις Eπιλογηςf(x0 ) > x0 η f(x0 ) < x0. υποθεση1. f(f(x0 )) > f(x0 ) ⇒ x0 > f(x0 ), ατοπο. υποθεση2. f(f(x0 )) < f(x0 ) ⇒ x0 < f(x0 ), ατοπο.Επομενως τελικα ισχυει :f(x) = x, για καθε x ∈ ».Ασκηση 12ηH συναρτηση f οριζεται στο » , ειναι 1 - 1 και f(2) = 1.Eστω η g(x) = f(lnx + 2) + 1, x > 0.α) Να αποδειξετε οτι η g ειναι 1 - 1.β) Να αποδειξετε οτι : g - 1(x) = e f -1(x - 1)- 2 , x ∈ » .γ) Να λυθει η εξισωση g - 1(x) = 1.Απαντησηα)Για x1 ,x2 ∈ (0,+ ∞) ειναι :g(x1 ) = g(x2 ) ⇒ f(lnx 1 + 2) + 1 = f(lnx 2 + 2) + 1 ⇒ f: 1-1f(lnx 1 + 2) = f(lnx 2 + 2) ⇒ lnx 1 + 2 = lnx 2 + 2 ⇒ lnx 1 = lnx 2 ⇒ x1 = x2.Oποτε η g ειναι συναρτηση 1 - 1.β)Οι f,g ειναι συναρτησεις 1 - 1, οποτε οριζονται οι αντιστροφες τους f -1 ,g -1.Τοτεy = g(x) ⇒ y = f(lnx + 2) + 1 ⇒ y - 1 = f(lnx + 2) ⇒ lnx + 2 = f -1(y - 1) ⇒lnx = f - 1(y - 1) - 2 ⇒ x = e f -1 ( y -1) - 2 , y ∈ » ⇒g - 1(x) = e f ,-1(x - 1) - 2 x ∈ ».γ)Η δοσμενη εξισωση γινεται : ln1 = 0 f(2) = 1g -1(x) = 1 ⇒ x = g(1) ⇒ x = f(ln1 + 2) + 1 ⇒ x = f(2) + 1 ⇒ x = 1 + 1 ⇒ x = 2.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις - Ασκησεις EπιλογηςΑσκηση 13ηEστω συναρτηση f που ικανοποιει τη σχεση f 2(x) = 2xf(x) - x 2 f(2 - x), για καθεx ∈ » , με f(2) = 0.α) Να δειχτει οτι [f(x) - x] 2 = x 2 [1 - f(2 - x)], για καθε x ∈ » .β) Να δειχτει οτι f(x) ≤ 1, για καθε x ∈ » .γ) Αν η C f εχει με τον αξονα x'x δυο μονο κοινα σημεια, τοτε να δειξετε οτι για x = 1 η f παιρνει μεγιστη τιμη f(1) = 1.Απαντησηα)Για καθε x ∈ », ειναιf 2(x) = 2xf(x) - x 2f(2 - x) ⇒ f 2(x) - 2xf(x) + x 2 = x 2 - x2 f(2 - x) ⇒[f(x) - x] 2 = x 2 [1 - f(2 - x)]β)Η προηγουμενη σχεση δινει για x ≠ 0 :1 - f(2 - x) = [f(x) - x] 2 ≥ 0 ⇒ f(2 - x) ≤ 1 x2Aν θεσουμε οπου x, το 2 - x προκυπτειf(2 - (2 - x)) ≤ 1 ⇒ f(x) ≤ 1, για καθε x ∈ ».γ)Η δοσμενη σχεση δινει για : ⇒ 2 f(2 ) = 0x = 0 f (0) = f(2) ⇒ f(0) = 0 = 1 ⇒ f 2 (1) = 2f(1) - f(1) ⇒ f(1)(f(1) - 1) = 0 ⇒ f(1) = 0 απορριπτεται *x  f(1) = 1(*)Η Cf εχει με τον αξονα x'x δυο μονο κοινα σημεια, (f(0) = 0,f(2) = 0) οποτε δεν μπορεινα εχει και τριτο (f(1) = 0).Ετσι f(1) = 1 και απ΄το (β) ερωτημα : f(x) ≤ 1 ⇒ f(x) ≤ f(1).Επομενως, για x = 1 η f παιρνει μεγιστη τιμη f(1) = 1.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις - Ασκησεις EπιλογηςΑσκηση 14ηΕστω η συναρτηση f(x) = x + e x - 1.α) Nα μελετησετε την f ως προς την μονοτονια.β) Να λυσετε την εξισωση e x = 1 - x.γ) Θεωρουμε τη γνησια μονοτονη συναρτηση g : » → » , που για καθε x ∈ » , ικανοποιει τη σχεση g(x) + e g (x) = 2x + 1. 1. Να αποδειχτει οτι η g ειναι γνησιως αυξουσα. 2. Να αποδειχτει οτι g(0) = 0.δ) Να λυσετε την ανισωση (g o f )(x) > 0.ε) Να αποδειχτει οτι η f αντιστρεφεται και ηC f -1 διερχεται απ'το σημειο Μ(e,1).Απαντησηα)Για καθε x ∈ » : f'(x) = (x + e x - 1)' = 1 + e x > 0, αρα η f γν.αυξουσα στο ».β)Ειναι e x = 1 - x ⇒ x + e x - 1 = 0 ⇒ f(x) = 0,με προφανη λυση την x = 0, πουειναι μοναδικη, αφου η f γν.αυξουσα ⇒ η f ειναι \"1 - 1\".γ. 1)Εστω οτι η g δεν ειναι γνησιως αυξουσα. Τοτε θα υπαρχουν x 1 ,x 2 ∈ Α g με x 1 < x 2 :g(x 1) ≥ g(x 2 ) (+) g(x 1 ) ≥ g(x 2 ) ⇒ ≥ +1⇒ ≥ ≥ e g(x g(x ) + e g(x 2)+ e 2x 1 +1 2x x xe g(x 1) 2 ) ⇒ 1 2 1 2ατοπο, αρα η g ειναι γνησιως αυξουσα.γ.2)Για x = 0, η δοσμενη σχεση δινει :g(0) + e g(0) = 1, με προφανη λυση την g(0) = 0, που ειναι μοναδικη,αφου η g ειναι γν.αυξουσα ⇒ η g ειναι \"1 - 1\".δ) g↑ f↑(g f)(x) > 0 ⇒ g(f(x)) > 0 ⇒ g(f(x)) > g(0)⇒ f(x) > 0 ⇒ f(x) > f(0)⇒ x > 0.ε)Η f γν.αυξουσα ⇒ η f ειναι \"1 - 1\" ⇒ η f αντιστρεφεται.Το σημειο Μ ∈ C f-1 αν και μονο αν, το συμμετρικο του σημειου Μ ως προς την y = xανηκει στην C f , δηλαδη (1, e) ∈ C f , που ισχυει, αφου: e = 1 + e 1 - 1.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Αλυτες ΑσκησειςΑσκηση 1ηΝα βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων:α. f(x) = 5x - 2 β. g(x) = 2|2x - 1|- 1 γ. h(x) = ln 2x + x 2 + 1 2|x|- 4 x 2 - 5x + 6Ασκηση 2ηΝα βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων:α. f(x) = x - 3 β. g(x) = 1 γ. h(x) = 5 - συνx σφx - 1 συνxΑσκηση 3ηΝα βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων:α. f(x) = x2 +1 β. g(x) = x 2 -9 γ. h(x) = ln e x 3+x 2 - 1 ln(x 2 - 3) x 2 - 4x + 3Ασκηση 4ηΔινεται η συναρτηση : f(x) = x 2 - 2x + 3 . x 2 + λx + 9Για ποιες τιμες του λ ∈ » , το πεδιο ορισμου της f ειναι το » ;Ασκηση 5ηΔινεται η συναρτηση : f(x) = e x 2- 4x + 3 - 1. Σε ποια σημεια τεμνει τους αξονες x'x αι y'y,κη γραφικη παρασταση της συναρτησης f ;Ασκηση 6ηΝα βρεθουν οι πραγματικες τιμες του x, που η γραφικη παρασταση της συναρτησηςf βρισκεται πανω απ'τη γραφικη παρασταση της συναρτησης g, οταν : f(x) = x 2 - 2x και g(x) = x + 4 f(x) = x 2 - 4x + 1 και g(x) = x - 8 f(x) = 4 - x και g(x) = x + 2 f(x) = 2lnx + 3 και g(x) = ln 2x + lnx + 1Ασκηση 7ηΝα βρεθουν οι πραγματικες τιμες του x, που η γραφικη παρασταση της συναρτησης fβρισκεται κατω απ'τη γραφικη παρασταση της συναρτησης g, οταν :f(x) = e x 3- 4x και g(x) = 1 .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Αλυτες ΑσκησειςΑσκηση 8ηΔινoνται οι συναρτησεις : f(x) = 5λ 2x + 2 και g(x) = 3x + 2λ(x + 1) . x-2+λ x-λΝα βρεθουν οι τιμες του λ ∈ » , ωστε οι συναρτησεις f και g να ειναι ισες.Ασκηση 9ηΔινονται οι συναρτησεις: f(x) = ln(x - 3) και g(x) = ln(x - 2)Να βρειτε τις συναρτησεις :▪ f+g ▪ f-gΑσκηση 10ηΔινονται οι συναρτησεις: f(x) = e 4 x - 3 και g(x) = e x - 2Να βρειτε τις συναρτησεις:▪ f∙g ▪ f gΑσκηση 11ηΔινονται οι συναρτησεις :f(x) = x + 1 και g(x) = x - 1 xxΝα βρειτε τις συναρτησεις : f +g f -g f⋅g f gΑσκηση 12η 9 - x 2 και g(x) = x 2 - 4x + 2 .Δινονται οι συναρτησεις : f(x) =Να βρεθει η συναρτηση g f.Ασκηση 13ηΔινονται οι συναρτησεις :f(x) = 3x 2 , x ∈ [0,1) 4x - 2, x ∈ [1, 3) x - 1, x ∈ [- 2, 4)g(x) =   x , x = 7Nα βρεθει η συναρτηση f g .Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Αλυτες ΑσκησειςΑσκηση 14ηNα εξετασετε σε ποιες απ'τις παρακατω περιπτωσεις ειναι f = g. Στις περιπτωσεις πουειναι f ≠ g να προσδιορισετε το ευρυτερο υποσυνολο του » στο οποιο ισχυει f = g, οταν :α. f(x) = x 2 -1 και g(x) = 1 - | 1 x 2+|x| x|β. f(x) = x(x - 2) και g(x) = x ⋅ x - 2Ασκηση 15ηNα βρεθει το πεδιο ορισμου της συναρτησης :f : [- 1, 5] → » → h(x) = f(3x - 1) .Ασκηση 16ηΓια τη συναρτηση f ισχυει : f(x + 1) = x 2 - 1 για καθε x ∈ » . Να βρειτε τη συναρτηση f(x). Να δειξετε οτι : f(2x) - 4f(x + 2) = - 12x.Ασκηση 17ηΔινονται οι συναρτησεις : f(x) = x2 και g(x) = x + 1 x f(x) = 1 - x και g(x) = 2x - x 2 f(x) = 9 - x 2 και g(x) = x 2 - 4x + 2Να βρεθει σε καθε περιπτωση η συναρτηση g f.Ασκηση 18η g(x) x + 2, x ≤ 1 Αν f(x) = 1 + lnx και =   , να βρειτε τη συναρτηση g f. 1 - x 2 , x > 1Ασκηση 19η Δινονται οι συναρτησεις f(x) = 1 + x και (g f )(x) = 1 - x 2. Να βρειτε τις συναρτησεις g και f g. Δινονται οι συναρτησεις f(x) = lnx και (g f )(x) = 1 + x . 1- x Να βρειτε τη συναρτηση g . Δινονται οι συναρτησεις g(x) = 1 + x lnx και (g f)(x) = 3x + 2. Βρειτε τη συναρτηση f . x-1Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Αλυτες ΑσκησειςΑσκηση 20ηΔινονται οι συναρτησεις f(x) = x 2 και g(x) = αx + β, οπου α, β∈ » και β ≠ 0.Να βρεθουν οι πραγματικοι α και β ωστε να ισχυει για καθε x ∈ » : f g = g f .Ασκηση 21ηΝα δειχτει οτι ειναι σταθερη η συναρτηση f με : f(x) = x - x - x(2 + x) x-1 2x + 1 2x 2 - x - 1Να δειχτει οτι οι συναρτησεις h και g ειναι σταθερες, οταν για καθε x του κοινου πε -διου ορισμου τους ισχυει : (h + g)(x)[(h + g)(x) - 10] ≤ 2[(h ⋅ g)(x) - 25] .Ασκηση 22η Να δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = 2x ειναι περιττη. 1 +|x| Αν f(x + y) = f(x) + f(y) για καθε x, y ∈ » , να δειξετε οτι η f ειναι περιττη.Ασκηση 23ηΝα δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = συνλx, λ ∈ » * ειναι περιοδικη και να βρεθει ηβασικη της περιοδος.Ασκηση 24ηΝα δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = - 2x 3 + 5 ειναι γνησιως φθινουσα.Ασκηση 25ηAν οι συναρτησεις f, g ειναι γνησιως φθινουσες σ'ενα διαστημα Δ, να αποδειξετε οτικαι η συναρτηση f + g ειναι γνησιως φθινουσα στο Δ .Ασκηση 26ηΝα βρειτε ποια απ'τις παρακατω συναρτησεις ειναι γνησιως αυξουσα και ποια γνησιωςφθινουσα.f(x) = x 2 - 2x + 3, x ≥ 1 g(x) = 3 + 2e 1-x , x ∈ »Ασκηση 27ηΑν η συναρτηση f : » → » ειναι γνησιως αυξουσα και για καθε x ∈ » ισχυειf( x + f(x) ) = x, να αποδειξετε οτι f(x) = x, x ∈ » . 2Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Αλυτες ΑσκησειςΑσκηση 28η αν 0 < α < β < π . Να λυθει η ανισωση : lnx > 1 - x . 2 Nα αποδειχτει οτι : εφβ - εφα > α 2 - β 2 ,Ασκηση 29ηΝα λυθει η εξισωση :3x +4x =5xΑσκηση 30ηΝα βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) = 3x - 4 με A f = [- 7,0]. x-2Ασκηση 31ηΝα βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) = 2x 2 -x-1 x2 + 2x - 3Ασκηση 32ηΝα βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) = 2 ⋅ e 2 x - 6 ⋅ e xΑσκηση 33ηΝα βρεθει το μεγιστο και ελαχιστο της συναρτησης : f(x) = ln(4 - x 2 ) .Ασκηση 34ηΕστω συναρτηση f : » → » , η οποια εχει συνολο τιμων το » .Δειξτε οτι η συναρτηση g(x) = 1 4f(x) εχει ελαχιστο το - 2 και μεγιστο το 2 . + f 2(x)Ασκηση 35ηΕστω η συναρτηση f : » → » για την οποια υποθετουμε οτι για καθε x ∈ » ισχυει :f(f(x)) + x = 0.α. Να δειξετε οτι η f ειναι συναρτηση 1 - 1.β. Aν η f εχει συνολο τιμων το » , τοτε f -1(x) = - f(x), x ∈ » .γ. Η f δεν ειναι γνησιως μονοτονη.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Αλυτες ΑσκησειςΑσκηση 36ηΕστω η συναρτηση f με πεδιο ορισμου το » , για την οποια υποθετουμε οτι ειναι περιττηκαι παρουσιαζει ελαχιστο στο x0 ∈ » . Να αποδειξετε οτι η συναρτηση f παρουσιαζει καιμεγιστο.Ασκηση 37ηΑν η συναρτηση f : » → » ειναι γν. φθινουσα, να λυθει η εξισωση :(f f )(x 2 + 4x) = (f f )(x + 4)Ασκηση 38ηΝα εξεταστει αν ειναι \"1 - 1\" η συναρτηση : f(x) = ex 1+e xΑσκηση 39ηNα βρειτε την αντιστροφη συναρτηση της συναρτησης :f(x) = 1 + x - 4 με Α f = [4,+ ∞ ) g(x) = 2x + 10 αν x∈ (-∞ ,3]  x 2 + 2 αν x ∈ (3,+∞ ]Ασκηση 40ηNα βρειτε τη συνθηκη μεταξυ των παραμετρων α, β ωστε να ειναι αντιστρεψιμη ησυναρτηση : f(x) = α 2x - β + 1 ,x≤ 1 α< β. β 2x - α + 1 ,x> 1Ασκηση 41ηΕστω η πραγματικη συναρτηση f με f(x) = x 3 + x + 1 : Nα δειχτει οτι η f ειναι aντιστρεψιμη . Να βρειτε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων C f και C f -1 .Ασκηση 42ηEστω οι συναρτησεις f, g με πεδιο ορισμου το » .α. Αν η συναρτηση f g ειναι 1 - 1, να δειχτει οτι και η f ειναι 1 - 1.β. Αν η συναρτηση f g ειναι 1 - 1 και η f εχει συνολο τιμων το » , να αποδειχτει οτι και συναρτηση g ειναι 1 - 1.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr

Συναρτησεις Αλυτες ΑσκησειςΑσκηση 43ηΕστω η συναρτηση f με πεδιο ορισμου το » , για την οποια υποθετουμε οτι για καθεx ∈ » ισχυει (f(x))3 + f(x) = x .Να δειξετε οτι η f ειναι συναρτηση 1 - 1 και να βρεθει η αντιστροφη της.Τακης Τσακαλακος http://mathslibrary4.blogspot.gr