หนังสือหารร่วมมาก & คูณร่วมน้อย

หารร่วมมาก & คณู ร่วมน้อย ช้นั ประถมศึกษาปที ่ี 6 จฑุ ามาศ นยุ้ นอ้ ย

ก คาํ นาํ คณิตศาสตร์เป็นวิชาหน งท มีบทบาทสําคัญย งตอ่ การพัฒนา ความคิดของมนุษย ์ ทําใหม้ นุษยม์ ีความคิดสรา้ งสรรค์ คิดอยางมีเหตุผล เป็ นระบบ ร ะเ บีย บ มีแ บ บแ ผ น ส าม า ร ถวิเค ร าะ ห์ปั ญ หาแ ล ะ สถานการณไ์ ดอ้ ยางถถว้ นรอบคอบ คณิตศาสตรจ์ ึงมีประโยชน์ตอ่ การ ดํารงชีวิตและชว่ ยในการพัฒนาคุณภาพชีวิตใหด้ ีขน ดังนน การจัดทํา หนงั สือ หารรว่ มมาก & คูณรว่ มน้อย เพอเป็นความรูใ้ หก้ ับผเู ้ รียนหรือผู ้ ทสนใจไดศ้ ึกษา ส่งเสริมดา้ นการคิดของผูเ้ รียนไดอ้ ยางแทจ้ ริง เขา้ ใจ บทเรียนไดง้ า่ ยและชดั เจนยงขน ขอขอบคุณ อาจารยก์ รรณิการ์ แกว้ เชอ คอยให้คําปรึกษา และ คําแนะนําวิธีการทําตา่ ง ๆ จนทําใหห้ นังสือฉบับน สําเร็จลุลว่ งไป้ได ดว้ ยดี จนทําใหเ้ กิดผลงานทางวิชาการทสมบูรณแ์ ละเป็นประโยชน์ทาง การศกึ ษาตอ่ ไป จฑุ ามาศ นุ้ยน้อย ผจู ้ ัดทาํ

ข สารบญั เรอง หน้า สรปุ ความรูก้ อ่ นเรยี น………………………………………………1 หารรว่ มมาก…………………………………………………………..2 สรปุ ความรู้ ห.ร.ม. …………………………………………………9 คณู รว่ มน้อย…………………………………………………………..7 สรปุ ความรู้ ค.ร.น. ………………………………………………..11 บรรณานกุ รม………………………………………………………..12

1 สรุปความรูก้ อ่ นเรียน จาํ นวนนับใด ๆ ทหารจํานวนนับนนลงตัว เรียกวา่ ตวั ประกอบ (Factor) ของจาํ นวนนับนน เชน่ ตัวประกอบของ 6 คือ 1, 2, 3 และ 6 จาํ นวนนบั ทมากกวา่ 1 และมีตัวประกอบเพยี งสอง ตวั คอื 1 กับ จาํ นวนนับนน เรียกวา่ จาํ นวนเฉพาะ (Prime number) เชน่ 2, 3 และ 5 เป็นจํานวนเฉพาะ ตวั ประกอบทเป็นจํานวนเฉพาะ เรยี กวา่ ตวั ประกอบเฉพาะ เชน่ ตัวประกอบเฉพาะของ 6 คือ 2 และ 3 การแยกตวั ประกอบ (Factorization) ของ จํานวนนับ เป็นการเขยี น แสดงจํานวนนับในรปู การ คณู ของตัวประกอบเฉพาะ เชน่ 6 = 2 × 3 เป็นการแยกตวั ประกอบของ 6

2 หารรว่ มมาก “ตวั หารรว่ ม (Common Factor)” พิจารณาจํานวนนับทหาร 18 และ 24 ลงตวั จาํ นวนนบั ทหาร 18 ลงตัว ไดแ้ ก่ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 และ 18 จํานวนนับทหาร 24 ลงตัว ไดแ้ ก่ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 และ 24 จํานวนนับทหาร 18 และ 24 ลงตวั ไดแ้ ก่ 1, 2, 3 และ 6 กลา่ วไดว้ า่ 1, 2, 3 และ 6 เป็นตวั หารรว่ มของ 18 และ 24 จาํ นวนนับทหารจํานวนนบั ตงแตส่ องจาํ นวนขนไปลงตัว เรียกวา่ “ตวั หารรว่ ม” หรอื “ตวั ประกอบรว่ ม” ของจาํ นวนนับ เหลา่ นน ตวั อยา่ ง จงหาตวั หารรว่ มของ 15 และ 45 วิธีทาํ จาํ นวนนบั ทหาร 15 ลงตวั ไดแ้ ก่ 1, 3, 5 และ 15 จาํ นวนนบั ทหาร 45 ลงตัว ไดแ้ ก่ 1, 3, 5, 9, 15 และ 45 ดงั นน ตัวหารรว่ มของ 15 และ 45 ไดแ้ ก่ 1, 3, 5 และ 15 ตอบ ตัวหารรว่ มของ ๑๕ และ ๔๕ คอื ๑, ๓, ๕ และ ๑๕

3 “ตวั หารรว่ มมากหรอื ห.ร.ม. (Greatest Common Factor ; GCF)” พิจารณาจาํ นวนนบั ทหาร 18 และ 24 ลงตวั จาํ นวนนับทหาร 18 ลงตวั ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 6, 9 และ 18 จาํ นวนนบั ทหาร 24 ลงตัว ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 และ 24 ตวั หารรว่ มของ 18 และ 24 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3 และ 6 จะเหน็ วา่ 6 เป็นตัวหารรว่ มของ 18 และ 24 ทมากทสดุ กลา่ วไดว้ า่ ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 คือ 6 ตวั หารรว่ มทมากทสดุ ของจาํ นวนนบั ตงแตส่ องจํานวนขนไป เรียกวา่ “ตวั หารรว่ มมาก” ของจาํ นวนนบั เหลา่ นน ใชอ้ กั ษรยอ่ วา่ ห.ร.ม. (Greatest Common Factor ; GCF) ตวั อยา่ ง จงหา ห.ร.ม. ของ 14 และ 42 วิธที ํา จาํ นวนนบั ทหาร 14 ลงตวั ไดแ้ ก่ 1, 2, 7 และ 14 จํานวนนับทหาร 42 ลงตวั ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 และ 42 ตัวหารรว่ มของ 14 และ 42 ไดแ้ ก่ 1, 2, 7 และ 14 ดังนน ห.ร.ม. ของ 14 และ 42 คือ 14 ตอบ ห.ร.ม. ของ ๑๔ และ ๔๒ คือ ๑๔

4 นอกจากจะใชว้ ิธีการหาตวั หารรว่ มทมากทสดุ ในการหา ห.ร.ม. แลว้ ยงั สามารถหา ห.ร.ม. ไดจ้ ากวิธกี ารแยกตัวประกอบ โดยนําจาํ นวนเฉพาะทเป็นตัวประกอบรว่ มมาคูณกัน ตัวอยา่ ง ใชว้ ิธีการ แยกตวั ประกอบ โดยนาํ จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 42 จาํ นวนเฉพาะ ทเป็น วิธีทาํ 30 = 2 × 3 × 5 ตวั ประกอบรว่ ม ของทงสามจํานวน 42 = 2 × 3 × 7 มาคณู กัน จะไดว้ า่ 2 และ 3 เป็นตวั หารรว่ มของ 30 และ 42 ดงั นน ห.ร.ม. ของ 30 และ 42 คอื 2 × 3 = 6 ตอบ ห.ร.ม. ของ ๓๐ และ ๔๒ คอื ๖ นกั เรยี นไดร้ จู้ กั วิธกี ารหา ห.ร.ม. โดยวิธีการหาตัวหารรว่ ม ทมากทสดุ และวธิ กี ารแยกตวั ประกอบกันไปแลว้ ตอ่ ไปจะ เป็นวธิ กี ารหา ห.ร.ม. โดย วธิ กี ารตงหาร โดยการหาตวั หาร รว่ มทสามารถหารจาํ นวนนับทงสองจํานวน ไดล้ งตวั และ นํามาหารตอ่ ไปเรอย ๆ จนไมม่ ีจาํ นวนนับใดนอกจาก 1 หาร จํานวนนบั ทงสองจํานวนได้

5 ตวั อยา่ ง จงหา ห.ร.ม. ของ 60 และ 90 วิธที ํา 3 )60 90 5 )20 30 2 )4 6 23 ดังนน ห.ร.ม. ของ 60 และ 90 คือ 3 × 5 × 2 = 30 ตอบ ห.ร.ม. ของ ๖๐ และ ๙๐ คือ ๓๐ จงหา ห.ร.ม. ของ 18, 72 และ 48 วิธีทาํ 2 )18 72 48 3 )9 36 24 3 12 8 ดังนน ห.ร.ม. ของ 18, 72 และ 48 คือ 2 × 3 = 6 ตอบ ห.ร.ม. ของ ๑๘, ๗๒ และ ๔๘ คือ ๖ ใชว้ ธิ ีการตงหาร โดยการหาตวั หารรว่ มทสามารถหารจํานวนนับ ทกุ จาํ นวนไดล้ งตัว แลว้ นํามาหารตอ่ ไปเรอย ๆ จนไมม่ จี ํานวนนับใดนอกจาก 1 หารจาํ นวนนบั เหลา่ นนได้

6 สรปุ ความรู้ ห.ร.ม. จาํ นวนนับทหารจํานวนนบั ตงแตส่ องจาํ นวนขนไปลงตัว เรียกวา่ “ตวั หารรว่ ม” หรือ “ตวั ประกอบรว่ ม” ของจาํ นวนนบั เหลา่ นน ตวั หารรว่ ม ตวั ประกอบของ 6 คือ 1 , 2 ,3 และ 6 ตัวประกอบของ 42 คอื 1 , 2 ,3 , 6 , 7 , 14 , 21 และ 42 ตวั หารรว่ มทมากทสุดของจํานวนนบั ตงแตส่ องจํานวนขนไป เรยี กวา่ ตวั หารรว่ มมากหรอื ห.ร.ม. (Greatest Common Factor ; GCF) วิธีการหา 1. โดยวธิ ีการหาตัวหารรว่ มทมากทสุด หรือ ตัวประกอบรว่ มทมากทสดุ 2. โดยวธิ ีการแยกตวั ประกอบ 3. โดยวธิ ีการตงหาร ศกึ ษาเพมเติม ทมา : https://www.youtube.com/watch?v=rrbAaJA7yxA

7 คูณรว่ มน้อย ตวั คณู รว่ ม (Common multiple) พิจารณาจํานวนนับทหารดว้ ย 2 และ 6 ลงตวั จาํ นวนนบั ทหารดว้ ย 2 ลงตัว ไดแ้ ก่ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ... เรียกจาํ นวนนบั เหลา่ นวา่ ตัวคูณของ 2 จาํ นวนนบั ทหารดว้ ย 6 ลงตัว ไดแ้ ก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,... เรยี กจํานวนนับเหลา่ นวา่ ตวั คณู ของ 6 จํานวนนับทหารดว้ ย 2 และ 6 ลงตวั ไดแ้ ก่ 6, 12, 18, ... เรียก 6, 12, 18, ... วา่ ตัวคณู รว่ มของ 2 และ 6 จํานวนนับทหารดว้ ยจาํ นวนนบั ตงแตส่ องจํานวนขนไปลงตวั เรียกวา่ “ตัวคณู รว่ ม” ของจํานวนนบั เหลา่ นน ตวั อยา่ ง จงหาตัวคูณรว่ มของ 8 และ 12 วธิ ที าํ ตวั คณู ของ 8 ไดแ้ ก่ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ... ตัวคณู ของ 12 ไดแ้ ก่ 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ... ดงั นน ตวั คณู รว่ มของ 8 และ 12 ไดแ้ ก่ 24, 48, 72, ... ตอบ ตัวคณู รว่ มของ ๘ และ ๑๒ ไดแ้ ก่ ๒๔, ๔๘, ๗๒, ...

8 3.2 ตวั คณู รว่ มน้อยหรือ ค.ร.น. (Least Common Multiple ; LCM) พจิ ารณาตัวคูณของ 6 และ 9 ตวั คูณของ 6 ไดแ้ ก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ... ตัวคณู ของ 9 ไดแ้ ก่ 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, ... ตวั คณู รว่ มของ 6 และ 9 ไดแ้ ก่ 18, 36, 54, ... จะเห็นวา่ 18 เป็นตัวคูณรว่ มของ 6 และ 9 ทน้อยทสุด กลา่ วไดว้ า่ ค.ร.น. ของ 6 และ 9 คือ 18 ตัวคูณรว่ มทน้อยทสดุ ของจํานวนนบั ตงแตส่ องจํานวนขนไป เรียกวา่ “ตวั คณู รว่ มน้อย” ของจํานวนนับเหลา่ นน ใชอ้ กั ษรยอ่ วา่ ค.ร.น. (Least Common Multiple ; LCM) ตวั อยา่ ง จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 5 วิธีทํา ตัวคณู ของ 2 ไดแ้ ก่ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ... ตัวคณู ของ 5 ไดแ้ ก่ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, ... ตัวคูณรว่ มของ 2 และ 5 ไดแ้ ก่ 10, 20, ... ดงั นน ค.ร.น. ของ 2 และ 5 คือ 10 ตอบ ค.ร.น. ของ ๒ และ ๕ คอื ๑๐

9 นอกจากจะใชว้ ิธีการหาตวั คูณรว่ มทน้อยทสดุ ในการหา ค.ร.น. แลว้ ยงั สามารถหา ค.ร.น. ไดจ้ ากวิธีการแยกตวั ประกอบ โดย นําจํานวนเฉพาะทเป็นตวั ประกอบรว่ มและตัวประกอบเฉพาะท เหลือมาคูณกนั ตวั อยา่ ง ใชว้ ธิ ีการแยกตวั ประกอบ โดยนําจาํ นวนเฉพาะท เปน็ จงหา ค.ร.น. ของ 8 และ 10 ตัวประกอบรว่ มของทงสาม วธิ ที าํ 8 = 2 × 2 × 2 จาํ นวน สองจํานวน และตวั ประกอบเฉพาะทเหลือมาคูณ 10 = 2 × 5 กนั ดังนน ค.ร.น. ของ 8 และ 10 คือ 2 × 2 × 2 × 5 = 40 ตอบ ค.ร.น. ของ ๘ และ ๑๐ คือ ๔๐ นกั เรียนไดร้ จู้ กั วิธีการหา ค.ร.น. โดยวิธกี ารหาตัวคูณ รว่ มทน้อยทสดุ และวธิ กี ารแยกตวั ประกอบกันไปแลว้ ตอ่ ไปจะเป็นวธิ กี ารหา ค.ร.น. โดย วิธีการตงหาร โดย การนาํ ตัวหารทกุ ตัวและผลหารขนสุดทา้ ยทุกตวั มาคณู กัน

10 ตวั อยา่ ง จงหา ค.ร.น. ของ 72 และ 90 วิธที าํ 2 )72 90 3 )32 45 3 )12 15 45 ดังนน ค.ร.น. ของ 72 และ 90 คือ 2 × 3 × 3 × 4 × 5 = 360 ตอบ ค.ร.น. ของ ๗๒ และ ๙๐ คอื ๓๖๐ จงหา ค.ร.น. ของ 30, 84 และ 90 วิธีทาํ 2 )30 84 90 5 )15 42 45 3 ) 3 42 9 1 14 3 ดังนน ค.ร.น. ของ 30, 84 และ 90 คอื 2 × 5 × 3 × 1 × 14 × 3 = 1260 ตอบ ค.ร.น. ของ ๓๐, ๘๔ และ ๙๐ คือ ๑,๒๖๐ ใชว้ ธิ กี ารตงหาร โดยตัวหารตอ้ งหารจาํ นวนนบั ท กําหนดให้ อยา่ งน้อยสองจาํ นวนไดล้ งตัว แลว้ นํา ตวั หารทกุ ตัว และผลหารขนสดุ ทา้ ยทกุ ตวั มาคูณกนั

11 สรปุ ความรู้ ค.ร.น. จํานวนนับทหารดว้ ยจํานวนนับตงแตส่ องจํานวนขนไปลงตัว เรียกวา่ “ตวั คณู รว่ ม” ของจาํ นวนนบั เหลา่ นน ตัวคูณรว่ มของ 2 และ 6 คือ 6, 12 และ 18 ตวั คณู ของ 2 คือ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... ตัวคณู ของ 6 คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ... ตัวคณู รว่ มทน้อยทสุดของจาํ นวนนับตงแตส่ องจํานวนขนไป เรยี กวา่ ตัวคูณรว่ มน้อยหรือ ค.ร.น. (Least Common Multiple ; LCM) วธิ ีการหา 1. โดยวิธีการหาตวั คูณรว่ มทน้อยทสดุ 2. โดยวธิ ีการแยกตวั ประกอบ 3. โดยวิธีการตงหาร ศึกษาเพมเติม ทมา : https://www.youtube.com/watch?v=Vg_3yxVCRZk

12 บรรณานกุ รม ฉตั รชยั สบื ทรัพย.์ (2563). แบบทดสอบเรอง ห.ร.ม. และ ค.ร.น.. เขา้ ถึงได้ จาก http://el.ssn.ac.th/mod/url/view.php?id=483&forceview=1 เฉลิมพงศ์ วรวรรโณทัย และวรกฤษณ์ ศภุ พร. (2560). หนงั สือเรียนรายวิชา พนฐานคณิตศาสตร์ชนประถมศกึ ษา ท 6 เล่ม 1. เขา้ ถึงไดจ้ าก http://academic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1585 895995_example.pdf ชชั ชัย ไพเขยี ว. (ม.ป.ป.). ห.ร.ม. และ ค.ร.น.. เขา้ ถึงไดจ้ าก https://sites.google.com/site/hatchai55/h-r-m-laea-kh-r-n ภาชินี มากพนั ธ.์ (2562). โจทยป์ ั ญหา ห.ร.ม. กับ ค.ร.น.. เขา้ ถงึ ไดจ้ าก https://www.dltv.ac.th/teachplan/episode/1542

“ความสาเรจ็ ไม่ได้มาจากความบังเอิญ แต่มาจากความเสยี สละ ขยนั หมัน่ เพียร ศกึ ษาเรยี นรู้ และเหนอื สิ่งอื่นใด มนั มาจากความรักในสิง่ ท่ีกาลงั ทา หรอื เรยี นรู้อย่นู ่นั เอง” -Pele