เอกสารเรียน-เรื่อง-set-ตัวเต็ม

เซต (set) 1 ajnunu.com เซต (set) เซต (set) เป็นคาํ ในทางคณิตศาสตร์ที่ไมน่ ิยามความหมาย แต่ใชบ้ ่งบอกถึงกล่มุ ของสิ่งตา่ งๆ เช่น นก 1 ฝงู , ชา้ ง 1 โขลง , นกั ฟตุ บอล 1 ทีม ฯลฯ ในทางคณิตศาสตร์ใชแ้ ทนว่า นก 1 เซต , ชา้ ง 1 เซต , นกั ฟุตบอล 1 เซต เซตจะไม่ใชก้ บั สิ่งที่บง่ บอกคุณภาพ เช่น เซตคนสวย เป็นตน้ ช่ือเซต เขียนแทนดว้ ยอกั ษรภาษาองั กฤษตวั พมิ พใ์ หญ่ เช่น A, B, C, … เรียกสิ่งที่อยใู่ นเซตวา่ สมาชิก สัญลกั ษณ์แทนคาํ ว่าสมาชิก คือ a เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนดว้ ย b ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนดว้ ย สัญลกั ษณ์แทนเซตที่ควรทราบ R แทน_____________________________________________________________________ R+ แทน______________________________________________________________________ R– แทน_____________________________________________________________________ I แทน_____________________________________________________________________ I + แทน___________________________________________________________________ I – แทน___________________________________________________________________ Q แทน______________________________________________________________________ Q+ แทน_________________________________________________________________________ Q– แทน_____________________________________________________________________ Q′ แทน_____________________________________________________________________ N แทน_______________________________________________________________________ การเขียนเซต เราสามารถเขยี นเซตได้ 2 แบบ คือ 1. แบบแจกแจงสมาชิก เป็นการเขียนเซตโดยการเขียนสมาชิกทุกตวั ลงในเคร่ืองหมายวงเลบ็ ปี กกา และใช้ เครื่องหมายจลุ ภาค ( , ) คนั่ ระหวา่ งสมาชิกแต่ละตวั ในเซต เช่น เชตท่ีมีสมาชิกประกอบดว้ ย a , b , c จะเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ วา่ บางคร้ังอาจใช้ “ …………... ” เพอ่ื แสดงว่ายงั มีสมาชิกตวั อ่นื ๆ ในเซตน้นั ต่อไปอกี เช่น เซตของจาํ นวนนบั เขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิกไดว้ ่า เซตของจาํ นวนนบั ท่ีนอ้ ยกวา่ 81 เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกไดว้ า่

เซต (set) 2 ajnunu.com 2. แบบบ่งบอกเงื่อนไข คือ เขียนตวั แปรแทนสมาชิกทุกตวั ของเซต และหลงั ตวั แปร มีเคร่ืองหมาย “  ” ตามดว้ ยการบอกสมบตั ิของสมาชิก เช่น A = { x  x เป็นจาํ นวนเตม็ ที่อยรู่ ะหว่าง 0 กบั 8 } = B = { y  y ∈ I – และ - 8 < y < 3 } = หมายเหตุ 1. เซต { 1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 1 } เป็นเซตท่ีไมต่ ่างจากเซต { 1, 2 , 3 } เพื่อความสะดวกเราจะเขียนเซตท่ีสมาชิก ในเซตเดียวกนั ซ้าํ กนั เพยี งคร้ังเดียว เช่น { 1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 1 } เขยี นแทนดว้ ย { 1 , 2 , 3 } 2. การสลบั ที่ระหวา่ งสมาชิกในเซตเดียวกนั ไมท่ าํ ให้เซตเปลี่ยนแปลง เช่น { 1 , 2 , 3 } เป็นเซตเดียวกบั { 1 , 3 , 2 } หรือ { 3 , 2 , 1 } 3. การนาํ เซตบางเซตมาเขยี นเซตแบบบ่งบอกเง่ือนไข อาจเขียนไดม้ ากกวา่ 1 เซต เช่น {3, 5, 7} เขยี นเซตแบบบ่งบอกเง่ือนไขไดเ้ ป็น { x  x เป็นจาํ นวนค่รี ะหวา่ ง 2 กบั 8 } หรือ { x  x เป็น จาํ นวนเฉพาะท่ีเป็นจาํ นวนคแ่ี ละนอ้ ยกวา่ 10 } 4. เซตว่าง เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ { } หรือ ∅ แต่ {0} ไม่เป็ นเซตว่าง เพราะมีสมาชิก 1 ตวั 0 และ {∅} กไ็ มเ่ ป็นเซตว่าง เพราะมีสมาชิก 1 ตวั 5. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกจากเซตท่ีเขียนแบบบอกเง่ือนไข ตอ้ งพิจารณาจากขอบเขตที่กาํ หนดให้ หากไมก่ าํ หนดมาถือวา่ ให้พิจารณาในขอบเขตของจาํ นวนจริง ( R ) ตวั อยา่ งเช่น Y = { x  5 < x ≤ 9 } และ Z = { x ∈ I  5 < x ≤ 9 } เซต Y ไม่กาํ หนดขอบเขตการพิจารณา ถือว่า ขอบเขตเป็นจาํ นวนจริง ดงั น้นั 5.5 ∈ Y , 6.123 ∈=Y แตเ่ ซต Z กาํ หนดขอบเขตมา คอื จาํ นวนเตม็ ดงั น้นั Z = { 6 , 7 , 8 , 9 }

เซต (set) 3 ajnunu.com แบบฝึ กหดั ที่ 1 1. จงเขียนเซตในแต่ละข้อต่อไปนแี้ บบแจกแจงสมาชิก (1) เซตของประเทศท่ีมีพรมแดนติดตอ่ กบั ประเทศไทย (2) เซตของจาํ นวนเตม็ คบู่ วก (3) เซตของสระในภาษาองั กฤษ (4) เซตของจาํ นวนเตม็ บวก (5) เซตของจาํ นวนเตม็ ลบท่ีนอ้ ยกวา่ – 100 (6) เซตของจาํ นวนเตม็ บวกที่มากกวา่ 8 (7) เซตของจาํ นวนเตม็ ที่หารดว้ ย 5 ลงตวั (8) เซตของจาํ นวนเตม็ ระหวา่ ง 4 กบั 8 (9) เซตของจาํ นวนนบั (10) เซตของจาํ นวนนบั ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ x2 + 4x = 0 (11) เซตของจาํ นวนเตม็ ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ x2 + 3x + 2 = 0 (12) เซตของจาํ นวนเตม็ ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ x3 – 1 = 0 (13) เซตของจาํ นวนเตม็ ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมการ 3x2 – x – 2 = 0

เซต (set) 4 ajnunu.com (14) เซตของจาํ นวนเตม็ ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ x2 = 2x (15) เซตของจาํ นวนเตม็ ที่สอดคลอ้ งกบั อสมการ 3x < 35 (16) เซตของจาํ นวนเฉพาะบวกที่นอ้ ยกว่า 15 (17) { x  x ∈ N และ x2 – 3x = 0 } (18) { x  x ∈ I และ x2 – 3x = 0 } (19) { x  x ∈ I+ และ x < 5 } (20) { x  x ∈ I และ x ≤ 4 } (21) { x  x ∈ I– และ x2 – 5x + 4 = 0 } (22) { x  x ∈ R และ x2 + 1= 0 }

เซต (set) 5 ajnunu.com (23) { x  x ∈ I และ 3x ≥ 30 } (24) { x  x ∈ N และ – 4 ≤ x ≤ 2 } (25) { x  x ∈ I และ x2 = 4 } 2. จงเขยี นเซตในแต่ละข้อต่อไปนแี้ บบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (1) {1 , 3 , 5 , ………} (2) {…….., – 4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ……… } (3) {………, –6 , –4 , –2 } (4) { 1 , 4, 9 , ……… , 144 } (5) { –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 }

เซต (set) 6 ajnunu.com 3. จงบอกจาํ นวนสมาชิกของเซตในแต่ละข้อต่อไปนี้ (1) { a , b , c , d , e } (2) { 0 , 1 , 2 , 1 , 0 } (3) { 12345 } (4) { 1 , { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } } (5) { {a , b , c }, a , { b , c } } (6) { x  x เป็นจาํ นวนเตม็ บวกท่ีนอ้ ยกว่า 5 } (7) { x  x ∈ I และ 6x2 + 7x – 3 = 0 } (8) { x ∈N  x=1– 1 , n∈ I+ และ n < 5 } n แนวข้อสอบท่ี 1 1. กาํ หนด A = {1234}, B = {1, {1}, 2, {2}} และ C = {∅, a {a}, b, {a, b}, {a, {b}}, {a, b, c}} จงเติมเคร่ืองหมาย ∈ หรือ ∉ ในช่องว่างให้ถกู ตอ้ ง 1. 4 ......... A 5. 1324 …..... A 2. {a, b} …..... C 6. {∅} …..... C 3. {a, {a}} …..... C 7. {1, {2}} ......... B 4. 2, {2} …..... B 8. { } ......... C 2. ขอ้ ใดเป็นการเขยี นเซตท่ีไมถ่ ูกตอ้ ง ข. เซตของภาพเขยี นที่สวยงาม ก. เซตของจาํ นวนจริง ง. เซตของนกั ฟุตบอลทีมชาติไทยในปัจจบุ นั ค. เซตของประเทศที่มีพรมแดนติดกบั ไทย

เซต (set) 7 ajnunu.com การเท่ากนั และการเทียบเท่ากนั ของเซต 1. เซตที่เท่ากนั คือ ____________________________________________________________ เขียนแทนเซต A เท่ากบั เซต B ดว้ ย ________________ เช่น A = { a , b , c } และ B = { a , a , c , b } ดงั น้นั _____________ 2. เซตที่เทยี บเท่ากนั คอื _______________________________________________________ เขียนแทนเซต A เทียบเท่ากนั กบั เซต B ดว้ ย _________________ เช่น A = { a , b , c } และ B = { 1 , 2 , 3 } ดงั น้นั ________________ แบบฝึ กหัดที่ 2 1. ให้เขียนเคร่ืองหมาย หนา้ ขอ้ ที่ถกู และเขียนเครื่องหมาย  หนา้ ขอ้ ท่ีผิด (1) a = { a } (2) a ↔ { a } (3) { 1 , 2 } = { 12 } (4) ถา้ A = B แลว้ A เทียบเท่ากบั B (5) ถา้ A เทียบเท่ากบั B แลว้ A = B (6) ถา้ A = B และ B = C แลว้ A = C (7) ถา้ A ≠ B และ B ≠ C แลว้ A ≠ C (8) { x ∈ N  5 < x < 8 } = { x ∈ I  5 < x < 8 } (9) { x ∈ N  –3 < x < 3 } = { x ∈ I  –3 < x < 3 } (10) { x ∈ N  –3 < x < 3 } ↔ { x ∈ I  –3 < x < 3 } 2. จงพิจารณาเซตในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีว่ามีขอ้ ใดบา้ งท่ีเป็นเซตท่ีเท่ากนั กรณีเป็นเซตที่ไม่เทา่ กนั จงพจิ ารณาว่า เป็น เซตเทียบเท่าหรือไม่ (1) A = { 0 , 1 , 2 , 3 , ……… , 9 } B = { x ∈ I  x < 10 } (2) C = { 10 , 20 , 30 , 40 } D = { 30 , 40 , 10 , 20 , 30 } (3) E = { x  x2 – x = 0 } F={xx–1=0}

เซต (set) 8 ajnunu.com (4) G = { 1 } H = { {1} } (5) I = { x  x ∈ I และ x2 = 25 } J={5} (6) K = { x x = 1 + 1 และ y∈ I+ และ y < 5 } y 1 L = {xx = 1 + y และ y∈ N และ y < 5 } (7) M = { x  x เป็นจาํ นวนคีร่ ะหว่าง 1 และ 10 } N= {1,3,5,7,9} (8) P = { x  x ∈ I และ x ≤ 10} Q = { … , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … , 10 } ชนิดของเซต 1. เซตจํากัด คอื _____________________________________________________________________ เช่น A = { 1 , 2 , 3 } A มีจาํ นวนสมาชิก_______ตวั ดงั น้นั A เป็นเซตจาํ กดั B = { x  x ∈ N และ 2 < x < 3 } B มีจาํ นวนสมาชิก______ตวั ดงั น้นั B เป็นเซตจาํ กดั 2. เซตอนนั ต์ คอื ____________________________________________________________________ เช่น A = { 1 , 2 , 3 , …….... } B = { x  x ∈ Q และ 0 < x < 3 } ข้อควรระวงั !! บางคนอาจเขา้ ใจวา่ เซตบางเซตที่มีจาํ นวนสมาชิกมาก ๆ เป็นเซตอนนั ต์ ซ่ึงไม่เป็นจริงเสมอไป ตวั อยา่ งเช่น เซต ของเสน้ ผม เซตของเมด็ ทราย ต่างกเ็ ป็นเซตจาํ กดั เซตเหล่าน้ีสามารถนบั จาํ นวนสมาชิกไดแ้ ละมีสมาชิกไมเ่ กินจาํ นวน นบั จาํ นวนหน่ึง ซ่ึงวธิ ีการนบั อาจจะยากแต่กส็ ามารถหาได้

เซต (set) 9 ajnunu.com แบบฝึ กหัดท่ี 3 1. จงพจิ ารณาเซตในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีวา่ เป็นเซตอนนั ต์ หรือเซตจาํ กดั (1) { 1 , 2 , 3 , … , 100 } (2) { a , {a}, {{a}}, {{{a}}} , ……….. } (3) { x  x เป็นจาํ นวนเตม็ ลบ } (4) เซตของจาํ นวนพลเมืองในโลกในขณะน้ี (5) เซตของวงกลมที่มีจุดศนู ยก์ ลางร่วมกนั (6) เซตของจาํ นวนเตม็ คทู่ ่ีมี 7 เป็นหลกั สิบ (7) เซตของจาํ นวนที่อยรู่ ะหวา่ ง 1 กบั 3 (8) { x  x ∈ I และ x < 4 } (9) เซตของวนั ในหน่ึงสัปดาห์ (10) เซตของจาํ นวนเตม็ ที่นาํ ไปหาร 0 ไดล้ งตวั 2. จงพจิ ารณาวา่ เซตในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีเป็นเซตว่างหรือไมเ่ ป็นเซตวา่ ง (1) {φ} (2) เซตของชื่อเดือนใน 1 ปี ที่มี 30 วนั (3) { x  x ≠ x } (4) { x  x2 = x } (5) { x  x ∈ N และ 4 < x < 5 } (6) { x  4 < x ≤ 5 } (7) { x  x ∈ N และ x + x = x2 } (8) { x  x ∈ I+ และ x < 1 } (9) เซตของจาํ นวนเตม็ ที่เป็นจาํ นวนนบั (10) { x  x3 + 1 = 0 }

เซต (set) 10 ajnunu.com สับเซต (subset) บทนยิ าม เซต A เป็นสบั เซตของเซต B กต็ อ่ เม่ือ ______________________________________________ สญั ลกั ษณ์ แทนคาํ ว่า “ เป็นสับเซต ” สญั ลกั ษณ์ แทนคาํ วา่ “ ไม่เป็นสับเซต ” เช่น A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 1 , 2 , 3 , 4 } ดงั น้นั แต่ ตวั อย่าง 1. จงหาสบั เซตท้งั หมดของเซต A = { } วิธีทาํ สบั เซตท่ีมีสมาชิก ____ตวั คือ __________________________________________มี____สบั เซต ∴ สับเซตท้งั หมดของเซต A คือ ____________________________________________________ 2. จงหาสบั เซตท้งั หมดของเซต B = { 1 } วิธีทาํ สบั เซตที่มีสมาชิก____ตวั คือ __________________________________________มี____สบั เซต สับเซตที่มีสมาชิก____ตวั คือ __________________________________________มี____สบั เซต ∴ สบั เซตท้งั หมดของเซต B คือ ____________________________________________________ 3. จงหาสบั เซตท้งั หมดของเซต C = { 1 , 2 } วิธีทาํ สบั เซตท่ีมีสมาชิก____ตวั คอื __________________________________________มี____สับเซต สบั เซตท่ีมีสมาชิก____ตวั คือ __________________________________________มี____สบั เซต สับเซตที่มีสมาชิก____ตวั คอื __________________________________________มี____สับเซต ∴ สบั เซตท้งั หมดของเซต C คอื ____________________________________________________ 4. จงหาสบั เซตท้งั หมดของเซต D = {1, 2, 3} วิธีทาํ สับเซตที่มีสมาชิก____ตวั คือ __________________________________________มี____สับเซต สบั เซตที่มีสมาชิก____ตวั คอื __________________________________________มี____สับเซต สบั เซตท่ีมีสมาชิก____ตวั คอื __________________________________________มี____สบั เซต สับเซตท่ีมีสมาชิก____ตวั คือ __________________________________________มี____สับเซต ∴ สับเซตท้งั หมดของเซต D คอื ____________________________________________________ 5. จงหาสบั เซตท้งั หมดของเซต E = {1, 2, 3, 4} วิธีทาํ สับเซตท่ีมีสมาชิก____ตวั คอื __________________________________________มี____สบั เซต สบั เซตที่มีสมาชิก____ตวั คอื __________________________________________มี____สับเซต สบั เซตท่ีมีสมาชิก____ตวั คอื __________________________________________มี____สับเซต สบั เซตท่ีมีสมาชิก____ตวั คือ __________________________________________มี____สับเซต สับเซตท่ีมีสมาชิก____ตวั คือ __________________________________________มี____สับเซต ∴ สับเซตท้งั หมดของเซต E คอื ____________________________________________________

เซต (set) 11 ajnunu.com สับเซตแท้ ถา้ A ⊂ B และ A ≠ B เรียก A วา่ เป็นสับเซตแทข้ อง B ตัวอย่าง กาํ หนดให้ A = { 1 , 2 , 3 } วธิ ีทาํ สบั เซตของ A ท้งั หมด คือ ____________________________________________________________ สับเซตแทข้ อง A ท้งั หมด คอื __________________________________________________________ หมายเหตุ 1) ถา้ เซต A เป็นเซตจาํ กดั และมีสมาชิก n ตวั แลว้ เซต A มีสบั เซตท้งั หมด ____________ สบั เซต 2) ถา้ เซต A มีสมาชิก n ตวั เซต A จะมีสับเซตแทท้ ้งั หมด _______________สบั เซต 3) ถา้ A มีสมาชิก n ตวั แลว้ จาํ นวนสบั เซตที่มีสมาชิก 1 ตวั = n เซต จาํ นวนสับเซตท่ีมีสมาชิก 2 ตวั = n (n −1) เซต จาํ นวนสบั เซตท่ีมีสมาชิก 3 ตวั = เซต 2 ⋅1 n(n −1)(n − 2) 3⋅ 2⋅1 จาํ นวนสับเซตท่ีมีสมาชิก r ตวั = ตัวอย่าง 1. เซต A มีจาํ นวนสมาชิก 5 ตวั จะมีสับเซตของ A ท่ีมีจาํ นวนสมาชิก 3 ตวั อยกู่ ่ีสบั เซต 2. เซต A มีจาํ นวนสมาชิก 12 ตวั จะมีสับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 5 ตวั อยกู่ ่ีสบั เซต 3. เซต A มีจาํ นวนสมาชิก 8 ตวั จะมีสับเซตของ A ท่ีมีสมาชิกอยา่ งนอ้ ย 2 ตวั เป็นจาํ นวนก่ีสับเซต

เซต (set) 12 ajnunu.com สมบตั ิของสับเซต กาํ หนดให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ 1. ____________________________________________________________ 2. ____________________________________________________________ 3. ____________________________________________________________ 4. ____________________________________________________________ 5. ____________________________________________________________ แบบฝึ กหดั ที่ 4 1. กาํ หนดให้ B = { m , n , p } จงพจิ ารณาขอ้ ความในแตล่ ะขอ้ วา่ ถูกหรือผิด 1) m ∈ B 2) {m, n} ⊂ B 3) {m, n, p} ⊂ B 4) φ ⊂{m} 5) {p} ⊂ {B} 6) {n} ⊂ B 7) m ⊂ B 8) {m, p} ∈ B 9) {{m, n, p}} ⊂ B 10) φ ∈ B 2. กาํ หนดให้ A = { ∅ , {∅} , 1 , {1} , {1 , 2} , 2 , 3 } จงพิจารณาขอ้ ความในแต่ละขอ้ ว่าถกู หรือผิด 1) ∅ ∈ A 2) ∅ ⊂ A 3) {∅}∈ A 4) {∅}⊂ A 5) 1 ∈ A 6) {1} ⊂ A 7) {1, 2} ∈ A 8) {1, 2} ⊂ A 9) {1, 2, 3} ∈ A 10) {1, 2, 3} ⊂ A

เซต (set) 13 ajnunu.com 3. จงพจิ ารณาขอ้ ความในแตล่ ะขอ้ วา่ ถกู หรือผิด 1) φ ⊂ {φ} 2) φ ∈ {φ} 3) φ = 0 4) φ = {0} 5) φ = {φ} 6) {φ} = {φ, {φ}} 7) φ ∈ {φ, {φ}} 8) φ ⊂ {φ, {φ}} 9) ถา้ A เป็นสับเซตของ B แลว้ A เป็นสบั เซตแทข้ อง B 10) A เป็นเซตใดๆ A จะมีสับเซตแทเ้ สมอ 11) สับเซตของเซตจาํ กดั เป็นเซตจาํ กดั 12) สบั เซตของเซตอนนั ตเ์ ป็นเซตอนนั ต์ 4. กาํ หนดให้ A = { a , b , c , d , e , f , g , h } จงหา 1) จาํ นวนสบั เซตท้งั หมดของ A 2) จาํ นวนสับเซตแทท้ ้งั หมดของ A 3) จาํ นวนสับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 1 ตวั 4) จาํ นวนสบั เซตของ A ท่ีมีสมาชิกอยา่ งนอ้ ย 1 ตวั 5) จาํ นวนสับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 7 ตวั 6) จาํ นวนสับเซตของ A ท่ีมีสมาชิกอยา่ งมาก 6 ตวั 7) จาํ นวนสับเซตแทท้ ้งั หมดของ A ท่ีมีสมาชิกอยา่ งนอ้ ย 1 ตวั

เซต (set) 14 ajnunu.com เอกภพสัมพทั ธ์ เอกภพสัมพทั ธ์ คือ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ใชส้ ัญลกั ษณ์ ________________ แทน เอกภพสมั พทั ธ์ ตัวอย่าง กาํ หนด A = { x  x < 10 } จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก เมื่อกาํ หนดเอกภพสัมพทั ธ์ใหใ้ นแตล่ ะขอ้ (1) U = { 3 , 4 , 5 , 6 } (2) U = { 1 , 2 , 3 , ………. , 20 } (3) U = { –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 } หมายเหตุ ถา้ กล่าวถึงเซตของจาํ นวนและไม่ไดก้ าํ หนดวา่ เซตใดเป็นเอกภพสัมพทั ธใ์ นระดบั ช้นั น้ีให้ ถือว่า เอกภพสมั พทั ธ์คอื เซตของจาํ นวนจริง ตัวอย่าง กาํ หนด U = R และ A = { x  x2 = 4 } , B = { x  2x2 – 7x + 3 = 0 } ดงั น้นั A = ___________________ และ B = ___________________ แต่ถา้ เราเปล่ียน U คาํ ตอบของเซต A และ B กจ็ ะต่างไป เช่น กาํ หนด U = I+ และ A = { x  x2 = 4 } , B = { x  2x2 – 7x + 3 = 0 } ดงั น้นั A = ___________________ และ B = ___________________

เซต (set) 15 ajnunu.com แบบฝึ กหัดท่ี 5 จงเขียนเซต A ในแต่ละข้อต่อไปนแี้ บบแจกแจงสมาชิก 1) A = { x  3 < x < 4 } เม่ือ U = N 2) A = { x  x < 3 } เมื่อ U = N 3) A = { x  –3 < x < 2 } เม่ือ U = N 4) A = { x  –3 < x < 2 } เม่ือ U = I 5) A = { x  x ≥ –5 } เม่ือ U = N 6) A = { x  –3 ≤ x ≤ 3 } เมื่อ U = I 7) A = {x–3 ≤ x ≤ 3 } เม่ือ U = I+ 8) A = {x–3 ≤ x ≤ 3} เม่ือ U = I –

เซต (set) 16 ajnunu.com เพาเวอร์เซต ( Power set ) บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คอื _____________________________________________________ ใชส้ ญั ลกั ษณ์ ______________ แทน เพาเวอร์เซตของเซต A ตัวอย่าง จงหาเพาเวอร์เซตของเซต A เม่ือ A = { 1 , 2 , 3 } วธิ ีทาํ สบั เซตท้งั หมดของเซต A ไดแ้ ก่ ________________________________________________________ ∴ P(A) = ___________________________________________________________________________ สมบตั ขิ อง Power set 1. ถา้ A เป็นเซตใดๆ แลว้ 1.1 _____________________________________________________________________ 1.2 _____________________________________________________________________ 1.3 _____________________________________________________________________ 2. ถา้ A เป็นเซตจาํ กดั ที่มีสมาชิกจาํ นวน n ตวั และ n(P(A) แทน จาํ นวนสมาชิกของ P(A) แลว้ 2.1 จาํ นวนสมาชิกของ P(A) = __________ นนั่ คอื n(P(A)) = __________ 2.2 จาํ นวนสมาชิกของ P(P(A)) = __________ นนั่ คอื n(P(P(A))) = __________ 2.3 จาํ นวนสมาชิกของ P(P(P(A))) = __________ นนั่ คอื n(P(P(P(A))) = __________ 3. กาํ หนดให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ ______________________________________________________________________________

เซต (set) 17 ajnunu.com แบบฝึ กหัดที่ 6 1. ใหเ้ ขียนเครื่องหมาย หนา้ ขอ้ ท่ีถูก และเขียนเคร่ืองหมาย  หนา้ ขอ้ ท่ีผดิ (1) φ ∈ P(A) (2) φ ⊂ P(A) (3) A ∈ P(A) (4) A ⊂ P(A) (5) ถา้ A ⊂ B แลว้ P(A) ⊂ P(B) (6) ถา้ P(A) ⊂ P(B) แลว้ A ⊂ B (7) มีเซต A ซ่ึงทาํ ให้ P(A) = φ (8) มีเซต A ท่ีทาํ ใหจ้ าํ นวนสมาชิกของเซต P(A) = 26 ตวั (9) มีเซต A ซ่ึงทาํ ให้ P(A) มีจาํ นวนสมาชิกเป็นจาํ นวนคีต่ วั (10) มีเซต A และเซต B ท่ีทาํ ให้ A ∈ B และ A ⊂ B 2. กาํ หนดให้ A = {∅, 0, 2, 4, {∅}, {0}, {0, 2}} จงพิจารณาขอ้ ต่อไปน้ีถกู หรือผิด 1) ∅ ∈ P(A) 2) {∅} ⊂ P(A) 3) {∅}∈ P(A) 4) {{∅}}∈ P(A) 5) {0, 2} ∈ P(A) 6) {0, 2} ⊂ P(A) 7) {{0, 2}} ∈ P(A) 8) {{0, 2}}⊂ P(A) 9) {{∅}, 2} ∈ P(A) 10) {{∅}, 2}⊂ P(A)

เซต (set) 18 ajnunu.com แผนภูมิ เวนน์ – ออยเลอร์ การเขียนแผนภาพมกั จะแทน U ดว้ ยรูปส่ีเหล่ียมผืนผา้ หรือรูปปิ ดใดๆ ส่วนเซต A, B, … ซ่ึงเป็ นสับเซต ของ U น้นั อาจเขียนแทนดว้ ยวงกลม วงรี หรือรูปท่ีมีพ้ืนที่จาํ กดั ใดๆ ตวั อย่าง U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } A = { 1 , 2 , 3 , 4 } B = { 3 , 4 , 5 , 6 } จงเขยี นแผนภาพแทนเซตท้งั สองน้ี วธิ ีทาํ ตัวอย่าง U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } A = { 1 , 3 , 4 , 5 , 7 } B = { 5 , 6 , 7 , 8 } C = { 3 , 5 } จงเขยี นแผนภาพแทนเซตท้งั สามน้ี วิธีทาํ ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ แผนภาพท่ีเป็นไปไดม้ ี 5 แบบ คอื 1. A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกนั เลย เรียกว่า เซตไม่มีส่วนร่วม 2. A และ B มีสมาชิกร่วมกนั 3. A เป็นสบั เซตแท้ B 4. B เป็นสบั เซตแท้ A 5. A = B 123 45

เซต (set) 19 ajnunu.com แบบฝึ กหัดที่ 7 1 . จงเขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ตามเงื่อนไขที่กาํ หนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ กาํ หนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (1) A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10} (6) A = {1, 2, 3, 4} B = {4, 5, 6, 7} C = {10} (2) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {4, 5, 6, 7, 8} (7) A = {3, 5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8} C = {6, 8, 10} (3) A = {4, 6, 9} B = {3, 4, 6, 7, 8, 9} (8) A = {2, 4, 5, 6, 7} B = {3, 7, 9, 10} C = {7, 8} (4) A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3} (9) A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} C = {5, 6, 7, 8} (5) A = {7, 8, 9} B = {7, 8, 9, 10} (10) A = {3, 5, 7} B = {1, 3, 5, 6, 7} C = {7, 8, 9}

เซต (set) 20 ajnunu.com การปฏบิ ัติการทางเซต การปฏิบตั ิการทางเซต คือ การสร้างเซตข้ึนใหม่จากเซตที่กาํ หนดให้มี 4 แบบ คอื 1. ยเู นยี น (Union) เซต A ยเู นียน เซต B คือ __________________________________________________________________ เขียนแทนดว้ ย __________________ เช่น ถา้ A = {0, 1, 2, 3} และ B = {1, 3, 5, 7} จะได้ ; A ∪ B = ______________________ ถา้ C = {a, b, c, d} และ D = {e, f, g} จะได้ ; C ∪ D = ______________________ การแรเงาในแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ตอ่ ไปน้ี เพ่ือแสดงเซต A ∪ B ในรูปแบบตา่ งๆ A B เซต A และเซต B ไมม่ ีสมาชิกร่วมกนั A เซต A และเซต B มีสมาชิกร่วมกนั บางตวั A U A = B กต็ อ่ เมื่อ A ∪ B = A และ A ∪ B = B A B ⊂ A ก็ตอ่ เมื่อ A ∪ B = A A B A ⊂ B ก็ตอ่ เม่ือ A ∪ B = B U B U B U B U

เซต (set) 21 ajnunu.com 2. อนิ เตอร์เซกชัน (Intersection) เซต A อินเตอร์เซกชนั เซต B คอื ____________________________________________________________ เขียนแทนดว้ ย __________________ เช่น ถา้ E = {0, 1, 2, 3} และ F = {0, 3, 5} จะได้ ; E ∩ F = ______________________ ถา้ G = {0, 1, 2, 3} และ H = {4, 5} จะได้ ; G ∩ H = ______________________ การแรเงาในแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ต่อไปน้ี เพอื่ แสดงเซต A ∩ B ในรูปแบบตา่ งๆ AB เซต A และเซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกนั เซต A และเซต B มีสมาชิกร่วมกนั บางตวั U A = B ก็ตอ่ เม่ือ A ∩ B = A และ A ∩ B = B B ⊂ A ก็ตอ่ เมื่อ A ∩ B = B AB A ⊂ B ก็ต่อเม่ือ A ∩ B = A U AB U AB U AB U

เซต (set) 22 ajnunu.com 3. ผลต่าง (Difference) ผลตา่ งระหวา่ งเซต A และเซต B คอื _________________________________________________________ เขียนแทนดว้ ย __________________ ผลต่างระหวา่ งเซต B และเซต A คือ_________________________________________________________ เขยี นแทนดว้ ย __________________ เช่น ถา้ M = {0, 1, 2, 3, 4} และ N = {3, 4, 5, 6, 7} จะได้ ; M – N = _______________________ และ N – M = ________________________ การแรเงาในแผนภาพเพือ่ แสดงเซต A – B การแรเงาในแผนภาพเพ่อื แสดงเซต B – A AB AB U U AB AB U U AB AB U U AB AB U U AB AB U U

เซต (set) 23 ajnunu.com 4. คอมพลเี มนต์ (Complement) คอมพลีเมนตข์ องเซต A คอื ___________________________________________________________ เขียนแทนดว้ ย __________________ เช่น ถา้ U = {0, 1, 2, …, 9} และ J = {1, 2, 3, 4, 5} จะได้ ; J′ = __________________ ถา้ U = {0, 1, 2, 3, 4} K = {0, 2, 4} และ L = {3, 4} จะได้ ; K′ = __________________ และ L′= ____________________ บริเวณท่ีแรเงาในแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ตอ่ ไปน้ี แสดง A′ AB เซต A และเซต B ไมม่ ีสมาชิกร่วมกนั เซต A และเซต B มีสมาชิกร่วมกนั บางตวั U A = B กต็ ่อเมื่อ A ∩ B = A และ A ∩ B = B B ⊂ A กต็ อ่ เม่ือ A ∩ B = B AB A ⊂ B กต็ ่อเมื่อ A ∩ B = A U AB U AB U AB U

เซต (set) 24 ajnunu.com แบบฝึ กหัดที่ 8 1. กาํ หนด U = {1, 2, 3, …, 10} A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 3, 5, 7} จงหาเซตในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1) A ∩ A = 2) A ∪ A = 3) B ∩ B = 4) B ∪ B = 5) A ∪ B = 6) A ∩ B = 7) A′ = 8) B′ = 9) A – B = 10) B – A = 11) A′ ∪ B′ = 12) A′∩ B′ = 13) (A ∪ B)′ = 14) (A ∩ B)′ = 15) (A – B)′ = 16) A ∩ B′ = 17) B ∩ A′ = 18) (B – A)′ = 19) A′ – B = 20) (A′– B)′ = 21) B′ – A′ = 22) (B′ – A′)′ = 2. จงพจิ ารณาขอ้ ความในแต่ละขอ้ เป็นจริงหรือเทจ็ (1) ถา้ A – B = φ แลว้ A = B (2) ถา้ A ∪ B = φ แลว้ A = φ และ B = φ (3) ถา้ A ∩ B = φ แลว้ A = φ และ B = φ (4) ถา้ A ⊂ B ⊂ C แลว้ A ∪ C = B ∪ C (5) ถา้ A ⊂ B ⊂ C แลว้ A ∩ C = B ∩ C

เซต (set) 25 ajnunu.com เซตเป็ นจริ งตามกฎต่อไปน้ ี คุณสมบัติของเซต 1. 1.1 A ∪ A = ___________ 1.2 A ∩ A = _____________ 2. 2.1 (A ∪ B) ∪ C = _________________________ = _________________________ 2.2 (A ∩ B) ∩ C = _________________________ = _________________________ 3. 3.1 A ∪ B = _________________ 3.2 A ∩ B = _________________ 4. 4.1 A ∪ (B ∩ C) = _______________________________ 4.2 A ∩ (B ∪ C) = ________________________________ 5. 5.1 A ∪ φ = ____________ 5.2 A ∩ U = _______________ 5.3 A ∪ U = ____________ 5.4 A ∩ φ = _______________ 6. 6.1 (A ∪ B)′ = _________________ 6.2 (A ∩ B)′ = _________________ 7. 7.1 A ∪ A′= ____________ 7.2 A ∩ A′= ____________ 7.3 (A′)′ = ______________ 7.4 U ′ = ________________ 7.5 φ′= _________________ 7.6 A ∩ B′ = ____________ = ____________ 8. 8.1 A ∪ (A ∩ B) = _________________ 8.2 A ∩ (A ∪ B) = _____________________ 8.3 A ∪ (A ∩ B ∩ C) = _____________ 8.4 A ∩ (A ∪ B ∪ C) = _________________ 9. 9.1 A – (B ∪ C) = ____________________ 9.2 A – (B ∩ C) = _______________________ 9.3 (A ∪ B) – C = ____________________ 9.4 (A ∩ B) – C = _______________________ 10. A ∪ B = B แลว้ ____________________ A ⊂ __________ , B ⊂ __________ _________ ⊂ A , ________ ⊂ B 11. P(A) ∩ P(B) = ___________________________ ระวงั !!!!!! P(A) ∪ P(B) ≠ ________________ แต่ P(A) ∪ P(B) ⊂ ________________

เซต (set) 26 ajnunu.com จงพสิ ูจน์เอกลักษณ์ต่อไปนี้ แบบฝึ กหดั ที่ 9 1. (A – B)′ = A′ ∪ (A ∩ B) 2. [(A ∩ B) ∪ (B ∩ C)]′ = B′ ∪ (A ′ ∩ C′) 3. A – (A ∩ B) = A – B 4. [A ∪ (A ∩ B ∩ C)] – (A ∩ B) = A – B 5. (A – B) – C = A – (B ∪ C) 6. [A ∪ (B′ ∩ C)] ∩ [A ∪ (B ∩ C′)] = A

เซต (set) 27 ajnunu.com จาํ นวนสมาชิกของเซตจาํ กดั ถา้ A เป็นเซตใดๆ เขียน_______แทน “ จาํ นวนสมาชิกของเซต A ” ตัวอย่าง กาํ หนด A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 5, 8, 10, 16} จะไดว้ า่ ; n(A) = ___________และ n(B) = _____________ การเขียนแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เพื่อกําหนดสมาชิกของแต่ละเซต เราสมารถทาํ ได้ 2 แบบ คือ 1. เขยี นสมาชิกทุกตวั ลงในแต่ละเซต 2. เขียนจาํ นวนสมาชิกของแตล่ ะเซต ตัวอย่าง กาํ หนด U = {1, 2, 3, ... , 10} , A = {1, 2, 3, 4} และ B = {3, 4, 5, 6, 7} เขยี นแผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ได้ 2 แบบ คอื เขยี นสมาชิกทุกตวั เขยี นจาํ นวนสมาชิก จากแผนภาพ แสดงวา่ n(U ) = ______ , n(A) = ______ , n(B) =_________ โจทย์ปัญหาเกยี่ วกบั จาํ นวนสมาชิกของเซตจํากดั สามารถแกโ้ จทยป์ ัญหาได้ 2 วธิ ี คือ 1. โดยใชแ้ ผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์ 2. โดยใชส้ ูตร 2.1 n(A ∪ B) = _________________________________________________________________ 2.2 n(A – B) = ___________________________ หรือ n(A – B) = _________________________ 2.3 n(A ∪ B ∪ C) = _____________________________________________________________ ตวั อย่าง ในห้องเรียนมีนกั เรียนอยู่ 40 คน ปรากฏวา่ 8 คนไม่เล่นกีฬาชนิดใดเลย มี 25 คนเล่นฟตุ บอล มี 20 คน เล่นปิ งปอง จงหาจาํ นวนนกั เรียนที่เลน่ ท้งั ฟุตบอลและปิ งปอง วิธที าํ

เซต (set) 28 ajnunu.com 1. แบบฝึ กหัดที่ 10 ในแผนภาพท่ีกาํ หนดให้ U , A , B และ A ∩ B มีจาํ นวน สมาชิก 100 , 40 , 25 และ 6 ตวั ตามลาํ ดบั จงเติมจาํ นวนสมาชิกของเซตตา่ งๆ ลงในตารางต่อไปน้ี เซต A – B B – A A ∪ B A′ B′ (A∪B)′ จาํ นวนสมาชิก 2. นกั เรียนช้นั ม.4 ในโรงเรียนแห่งหน่ึงมี 100 คน เล่นฟุตบอล 20 คน เล่นวอลเล่ยบ์ อล 15 คน ในจาํ นวนน้ีเล่นท้งั ฟตุ บอล และวอลเลยบ์ อล 10 คน จงหา (1) จาํ นวนนกั เรียนที่เลน่ กีฬาเพยี งอยา่ งเดียว (2) จาํ นวนนกั เรียนท้งั หมดท่ีเลน่ กีฬาท้งั สองประเภทน้ี (3) จาํ นวนนกั เรียนที่ไม่เล่นกีฬาท้งั 2 ประเภทน้ี 3. นกั เรียนผหู้ น่ึงไปพกั ผอ่ นตามอากาศท่ีพทั ยา เขาสังเกตว่าช่วงที่เขาอยู่ที่พทั ยามีฝนตก 13 วนั โดยไม่มีวนั ใดท่ีฝน ตกท้งั เชา้ และบ่าย คือ ถา้ ฝนตกตอนเชา้ แลว้ ตอนบ่ายฝนจะไมต่ ก มี 11 วนั ท่ีฝนไม่ตกช่วงบ่าย และมี 12 วนั ท่ีฝนไม่ ตกช่วงเชา้ จงหาว่านกั เรียนผนู้ ้ีไปตากอากาศท่ีพทั ยากี่วนั 4. จากการสาํ รวจนกั เรียนหอ้ งหน่ึง พบว่า (1) มี 20 คน ท่ีเลือกเรียนฝรั่งเศส หรือคณิตศาสตร์ (2) ถา้ เลือกเรียนฝร่ังเศสแลว้ จะตอ้ งไมเ่ รียนคณิตศาสตร์ (3) มีอยู่ 17 คน ที่ไมเ่ รียนคณิตศาสตร์ (4) มีอยู่ 15 คน ท่ีไม่เรียนฝรั่งเศส นกั เรียนท่ีไม่เรียนท้งั สองวชิ ามีจาํ นวนก่ีคน 5. จากการสัมภาษณ์นกั เรียนที่ชอบฟังเพลง จาํ นวน 75 คน พบว่า ชอบเพลงไทยเดิม 42 คน ชอบเพลงลูกทุง่ 34 คน ชอบเพลงไทยสากล 27 คน ชอบท้งั เพลงไทยเดิมและไทยสากล 12 คน ชอบท้งั เพลงไทยเดิมและเพลงลูกทุ่ง 14 คน ชอบเพลงลูกทุ่งและเพลงไทยสากล 10 คน ชอบเพลงท้งั สามประเภท 7 คน จงหาจาํ นวนนกั เรียนที่ชอบ เพลงประเภทเดียว