ใบความรู้ หน่วยที่ 2

ใบความรู้ท่ี 2 วงจรอนิ ทิเกรเตอร์

บทที่ 2 วงจรอินทิเกรเตอร์2.1 วงจรอนกุ รม อาร์-ซี 2.1.1 คณุ สมบัติของวงจรอนุกรม อาร์-ซี เม่ือสญั ญาณคลื่นทีไ่ ม่ใชร่ ูปไซน์ ถกู ป้อนผ่านเข้าไปในวงจรประเภทเชิงเส้น ( linear network) แล้วผลท่ีได้ทางเอาตพ์ ุตจะมลี กั ษณะแตกต่างจากสัญญาณเดมิ วงจรไฟฟ้าดังกล่าวนี้มักถูกเรียกว่า “วงจรแต่งรูปคล่ืนเชิงเส้น”(linear waveshaping circuit) ซ่งึ อาจจัดแบง่ ออกเป็นประเภทใหญ่ๆได้ 3 ประเภทคอื วงจร อาร์-ซี (R-C circuit) ,วงจรอาร์-แอล (R-L circuit) , วงจร อาร์-แอล-ซี (R-L-C circuit) วงจรอาร์-ซี นบั ว่าเป็นวงจรแต่งรูปคล่ืนที่ง่ายท่ีสุดโดยเฉพาะรปู คลน่ื ของแรงดนั ไฟฟ้าและอาจจัดวงจรได้เป็นสองลักษณะคือ อาร์ -ซี อินทิเกรเตอร์ (R-C integrator)และอาร์-ซี ดฟิ เฟอรเ์ รนทิเอเตอร์ (R-C differentiator) และบทนี้จะได้กล่าวถึงวงจรอาร์-ซี อินทิเกรเตอร์ อย่างละเอียด 2.1.2 การทางานของวงจรอนุกรมอาร์-ซี รปู ที่ 2.1 แสดงวงจรและลกั ษณะของรปู คลนื่ ทไ่ี ดจ้ ากวงจรอาร์-ซี อินทเิ กรเตอร์2.2 วงจร อาร์-ซี อนิ ทเิ กรทเตอร์ 2.2.1 นยิ ามของวงจร อาร์-ซี อนิ ทเิ กรเตอร์ วงจร อาร์-ซี อนิ ทิเกรเตอร์ เปน็ วงจรท่ีประกอบดว้ ยตวั ต้านทาน (R) และตัวเกบ็ ประจุ (C) ต่ออนุกรมอยู่กับแหล่งจา่ ยแรงดัน ดังแสดงในรูป 2.1(ก)โดยแรงดนั ที่ถกู สง่ ออกเอาต์พุตคือแรงดันที่ตกคร่อมตัวเก็บประจุ (e0) เป็นสัญญาณเอาต์พุตและมลี ักษณะดงั ในรูปท่ี 2.1(ข) หรอื เมื่อพจิ ารณาดูแล้ววา่ วงจร อาร์-ซี อนิ ทเิ กรเตอร์ ดูจากรูปวงจรแลว้ จะคลา้ ยกบั วงจร กรองความถี่ต่าผ่านแบบ อาร์-ซี (R-C low pass filter)นั่นเอง และเมอื่ น่ามาพิจารณาประกอบการทา่ งานในวงจรรูป 2.1 (ก)และ(ข) อาจกลา่ วได้วา่ เนอ่ื งจากพลั สร์ ปู สีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากกค็ ือสัญญาณรปู ไซน์ทมี่ คี วามถี่อ็อดฮารโ์ มนิคหลายๆคลื่น มารวมกนั และเมอ่ื มาเจอกบั วงจรกรองสญั ญาณแบบ อาร์-ซี ซง่ึ ยอมใหส้ ญั ญาณความถ่ีต่าผ่านไปได้แต่จะดักหรือกรองสญั ญาณความถสี่ ูงไว้ ดังน้ันส่วนท่เี ป็นความถฮ่ี ารโ์ มนคิ สูงๆก็จะถูกลัดวงจรให้ลงกราวน์ เน่ืองจากค่ารีแอคแตนซ์(XC) ของตวั เกบ็ ประจุจะมีค่าน้อยลงเมือ่ ความถ่สี ูงขนึ้ ดงั นน้ั สญั ญาณที่เอาตพ์ ุตจึงมลี กั ษณะไม่ใช่คลืน่ รปู สเ่ี หล่ยี มมมุ ฉาก เน่อื งจากความถฮี่ ารโ์ มนิคถกู แยกออกไป ดงั นน้ั ลักษณะแรงดนั ซ่ึงปรากฏท่ีเอาต์พุตจะเป็นกราฟรูปเอ็กโพเนนเชยี่ ลดงั รปู ที่ 2.1 (ข)

การแสดงรปู เปรยี บเทียบระหวา่ งคล่ืนอนิ พตุ และเอาต์พุตจะตอ้ งท่าโดยเขียนลักษณะคล่ืนท่ีจ ะเปรียบเทียบอย่บู นแกนนอนของเวลาแกนเดยี วกนั โดยเรียงไว้ในแนวต้งั การเปรยี บเทยี บค่าแรงดันระหวา่ งอินพุตและ เอาต์พุตก็จะท่าได้โดยการพจิ ารณาทตี่ า่ แหนง่ เวลาใดๆท่ีจดุ เดียวกนั 2.2.2 การทางานของวงจร พจิ ารณาถึงการทา่ งานของวงจรดังรูปที่ 2.1 (ก) ที่เวลา tO สัญญาณแรงดันอินพุตที่มีขนาด 10 V จะถูกป้อนเขา้ มาท่ีเวลา tO ถึง t1 จึงคล้ายกับวา่ วงจร อาร์-ซี ต่ออนกุ รมกับแหลง่ จ่ายแรงดัน 10 V และทันทีที่แรงดันถูกปอ้ นเขา้ มา แรงดนั ท้งั หมดจะปรากฎตกคร่อมตัวต้านทาน R ทเ่ี ป็นเช่นนี้กเ็ น่อื งจากในชว่ งเวลาเป็นศูนย์ตัวเก็บประจุยงั ไม่เรมิ่ เกบ็ ประจุ (Charge) ไฟฟา้ ดังนั้นจงึ ไม่มีแรงดนั ใดๆตกคร่อมตัวประจุ กระท่งั เวลาผ่านไปจึงมีการสะสมประจุอิเลก็ ตรอนทด่ี า้ นใดด้านหนง่ึ ของตวั เก็บประจุ C จงึ ทา่ ให้เกิดมแี รงดนั ตกครอ่ ม C แต่จากกฎของเคอร์ชอฟขอ้ ที่ 2 กลา่ วไว้ว่า “ผลรวมของแรงดันท่ีตกคร่อมอยู่ในวงจรปิดทั้งหมดจะมีค่าเทา่ กับผลรวมของแหล่งจ่ายแรงดันในวงจรนนั้ ” ดงั นน้ั ผลรวมของแรงดันที่ตกคร่อมตัวความต้านทานและตัวเก็บประจุ จะต้องมคี ่าเท่ากับแหล่งจ่ายแรงดัน+10V เมอ่ื เวลาเพมิ่ ข้ึนที่ tO จนถึง t1 อิเลคตรอนจะเคล่อื นท่ีผ่าน วงจรและทา่ การสะสมประจมุ คี า่ มากพอ เราก็จะไดล้ ักษณะคล่นื ของแรงดนั ทเ่ี อาตพ์ ุต(eO) ดังแสดงในรปู ที่ 2.1 (ข) กลา่ วคอื ทเี่ วลา t1 พลั สจ์ ะไมป่ รากฏ วงจรในขณะนจี้ ึงไม่มแี หล่งจา่ ยแรงดันถูกลดั วงจร ดังนน้ั ตวั เก็บประจุซ่ึงขณะนม้ี ีแรงดนั ตกคร่อมอยู่ 10 โวลต์ จะท่าหน้าท่ีเป็นแหล่งจ่ายแรงดันในวงจรแล้วเริ่มปล่อยประจุ (discharge)ออกมาทา่ ให้เกิดกระแสอิเล็กตรอนไหลผา่ นตวั ตา้ นทาน เมือ่ ประจุถกู ปลอ่ ยออกมา แรงดันท่ตี กคร่อมตัวเก็บประจุจะคอ่ ยๆลดลง และถ้าหากเวลาในการปล่อยประจมุ มี าก พอประจุจะถูกปล่อยออกมาจนหมด แรงดันท่ีตกคร่อมตัวเก็บประจุจะมคี ่าเป็นศนู ยแ์ ละไมม่ กี ระแสไหลในวงจร สมการซ่ึงแสดงค่าแรงดันที่ตกคร่อมตัวเก็บประจุ ในขณะมีการสะสมประจขุ องตวั เก็บประจุแสดงได้โดย=eC E -t/RC …………… (2.1) ซึ่งสมการนีเ้ รยี กวา่ “ สมการสะสมประจุ” (charge equation) โดยที่ eC = คา่ แรงดนั ทตี่ กคร่อมตวั เกบ็ ประจุทเ่ี วลา t ใดๆมหี น่วยเปน็ โวลต์ (V) E = คา่ แรงดันทปี่ ้อนให้วงจร มีหนว่ ยเปน็ โวลต์ (V) ,e = ค่าเอ็กโพเนนเชี่ยล ซ่ึงเปน็ ค่าคงทีเ่ ทา่ กับ 2.718 t = เวลาท่ตี ัวเก็บประจุใชใ้ นการสะสมประจุ มีหนว่ ยเปน็ วนิ าที (s) R = คา่ ความต้านทานของตัวตา้ นทานในวงจร ซง่ึ จะเกดิ กระแสไหลผ่านไปประจุ แรงดนั ท่ตี วั เก็บประจุ มหี น่วยเป็นโอหม์ () C = ค่าความจขุ องตวั เกบ็ ประจุในวงจร มีหนว่ ยเป็นฟารัด (F)และสมการซงึ่ แสดงค่าของแรงดนั ทตี่ กครอ่ มตัวเก็บประจใุ นขณะที่มีการคาย (discharge) ประจจุ ากตวั เก็บประจุแสดงได้โดย=eC E(1- -t/RC) ……………..(2.2)

ซงึ่ สมการนี้ถูกเรียกวา่ “สมการคายประจุ” (discharge equation)โดยที่ eC = ค่าแรงดนั ท่ีตกครอ่ มตวั เก็บประจุทีเ่ วลา t ใดๆมีหน่วยเปน็ โวลต์ (V) E = ค่าแรงดันท่ปี ้อนให้วงจร มีหน่วยเป็นโวลต์ (V) ,e = คา่ เอ็กโพเนนเชีย่ ล ซึง่ เปน็ คา่ คงท่เี ท่ากบั 2.718 t = เวลาท่ตี วั เก็บประจุใชใ้ นการคายสะสมประจุ มีหน่วยเป็นวนิ าที (s) R = ค่าความตา้ นทานของตัวต้านทานในวงจร ซึง่ จะเกดิ กระแสไหลผา่ นไปประจุ แรงดนั ท่ีตวั เกบ็ ประจคุ ายประจุ มีหน่วยเป็นโอหม์ () C = คา่ ความจุของตัวเกบ็ ประจใุ นวงจร มหี นว่ ยเป็นฟารัด (F)“ สมการสะสมประจุ” ของตัวเกบ็ ประจตุ ามสมการ (2.1) ชี้ให้เห็นว่าการสะสมประจุของตัเก็บประจุจะสามารถสะสมประจไุ ด้มากที่สดุ โดยท่ีคา่ แรงดันตกคร่อมตวั เก็บประจจุ ะมคี ่าไม่เกนิ ขนาดสงู สุดของแรงดันท่ีป้อน ทั้งนี้ไมว่ า่ เวลาในการสะสมประจจุ ะนานเท่าใดกต็ ามซ่ึงในทางทฤษฎีแล้วค่าในสมการไม่มีทางเป็นค่าอนันต์ได้ ในทางปฏิบัติเมอื่ ตวั เก็บประจสุ ามารถสะสมประจุกระทัง่ แรงดันตกครอ่ มมีคา่ เป็น 99% ของแรงดันท่ีป้อน แล้ว เราถือว่าตัวเก็บประจไุ ด้ถกู สะสมประจจุ นเต็มท่ีแล้วนอกจากนี้ “ สมการคายประจุ ” ดังสมการ (2.2) ก็แสดงให้เห็นได้เชน่ เดียวกันวา่ ตวั เก็บประจุไม่สามารถทีจ่ ะคายประจอุ อกมาได้จนหมดอย่างสมบรณู ์ และในทางปฏิบัติเราก็พิจารณาวา่ การคายประจจุ ะถือไดว้ ่าสมบรูณเ์ มือ่ ตวั เกบ็ ประจคุ ายประจุออกมาปรมิ าณ 99 % ของประจเุ ดิมท่มี ีอยู่2.2.3 เวลาคงที่ (Time constant)ผลคณู ของคา่ อาร์-ซี ทงั้ ในสมการสะสมประจุและสมการคายประจถุ ูกเรยี กว่า “ เวลาคงท่ี”เรียกว่า “เทาร์” (Tau)โดยใชส้ ัญลักษณ์แทนด้วย  มหี น่วยเป็นของเวลาคอื วนิ าที และสาเหตุที่  มหี น่วยเปน็ วนิ าทอี าจแสดงให้เหน็ ได้ดงั นคี้ อื  = R.C และ Q = C.E ดงั น้นั C = Q/E จะได้  = R.Q/E เม่ือ I = Q/t (Ampere) ซง่ึ เป็นกระแสจะได้ Q = I.t แทนใน สมการ  = R.Q/Eจะได้ว่า  = R.I.t /E จากกฎของโอหม์ E = R.Iดังนัน้  = E.t / E = tนัน่ คอื  จะมีหน่วยเป็นของเวลาซึ่งนิยมใชค้ า่ วินาที (sec)จากสมการท่ี (2.1) เมอื่ คา่ t มีค่าเทา่ กบั  ตวั เกบ็ ประจจุ ะท่าหนา้ ท่ีสะสมประจุได้ 63.1% ของแรงดันที่ปอ้ นหรอื อาจเขียนแสดงให้เหน็ ได้ดงั นี้ จากสมการ (2.1) eC = E (1 -  - t /RC ) แต่  = RC ดงั นน้ั eC = E (1 -  - t /  ) ถา้ หาก t = 

ดังน้ัน eC = E - E/ +1 = E – E/2.718 = E – 0.369E = 0.631 E และถา้ คดิ เปน็ เปอร์เซน็ ตจ์ ะได้ 63.1 % ของ E ซงึ่ E คอื ขนาดของแรงดันทปี่ ้อน จากสมการที่ (2.2) เมื่อค่าt มีค่าเท่ากบั  ตัวเก็บประจุจะทา่ หนา้ ทีค่ ายประจุออกกระทั่งค่าแรงดันท่ีตกคร่อมตัวเก็บประจุมีค่าลดลงเหลือ36.9 % ของแรงดันเดิมทีเ่ คยมอี ยู่หรอื อาจเขยี นแสดงใหเ้ ห็นได้ดงั น้ี จากสมการ (2.2) = =eC E-t / RC แต่  RC ดงั น้นั = =eC E -t / RC ถา้ t  ดังน้ัน eC = E/+1 = E/2.178 = 0.369E และถา้ แสดงในรูปของเปอร์เซ็นตจ์ ะได้ eC = 36.9% ของE ซึง่ E คอื ขนาดของแรงดันท่ีตกคร่อมตัวเก็บประจุกอ่ นท่จี ะมีการคายประจุ และดงั ท่เี คยกล่าวมาแล้วว่าการสะสมประจขุ องตัวเกบ็ ประจไุ ม่สามารถกระท่าได้อย่างสมบูรณ์แตเ่ รามีข้อกา่ หนดว่าเมอื่ ตัวเก็บประจุสามารถสะสมประจไุ ด้ 99 เปอรเ์ ซ็นต์ของแรงงดันที่ป้อน ก็อาจถือได้ว่าเป็นการสะสมประจทุ ี่สมบรู ณ์ ข้อก่าหนดดังกล่าวนี้ ไดม้ าจากการพิจารณาวา่ คา่ เวลา t ของเวลาการสะสมประจุมคี า่ มากราว 5 เท่าของ “เวลาคงท่ี”  ถอื ว่าสมบรู ณ์เม่ือเวลาผ่านไป t = 5  วนิ าที หรอื อาจเขยี นแสดงให้นั่นคอื การสะสมประจุจะเหน็ ได้ดงั นี้ คอื เมอ่ื t = 5 ดังนนั้ จาก t หรอื ec = E (1 -   ) t = E (1 -   ) E E eC = E- (2.718)5 = E - 148 = 0.9932Eหรอื แสดงเปน็ เปอรเ์ ซ็นต์ได้วา่ eC = 99.32% ของ E เมอื่ t = 5 นอกจากน้ีแล้ว วงจร อาร์-ซี นยี้ งั สามารถแบง่ ตามลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างช่วงเวลา ของพัลส์และช่วงเวลาคงที่ ไดด้ งั นค้ี อื1. วงจรทมี่ ีค่าเวลาคงท่นี ้อย ไดแ้ ก่วงจรที่มคี ่าช่วงเวลาของพลั ส์มากเทา่ กับหรอื มากกว่า 10 เท่าของค่าเวลาคงที่2. วงจรทีม่ คี ่าเวลาคงที่ปานกลาง ไดแ้ ก่วงจรท่คี า่ ชว่ งเวลาของพัลสม์ คี า่ ในชว่ ง 1 ถึง 10 เท่าของค่าเวลาคงท่ี 1 103. วงจรทีม่ ีค่าเวลาคงที่มาก ไดแ้ กว่ งจรทีม่ ีคา่ เวลาช่วงเวลาของพัลสน์ อ้ ยมากและไมเ่ กิน เท่าของคา่เวลาคงท่ีลกั ษณะของคลนื่ แรงดนั ที่ได้จากเอาตพ์ ุตของวงจรท้ัง 3 แบบนเ้ี ขียนให้เหน็ และเปรียบเทยี บไดด้ ังในรปู ที่ 2.2

2.3 ลักษณะรปู คล่ืนเอาต์พุตของวงจร อาร์-ซี อินทิเกรเตอร์2.3.1 การวิเคราะห์วงจร อาร์-ซี อินทเิ กรเตอร์ โดยการพจิ ารณารปู ที่ 2.3 ซ่งึ เป็นวงจรอาร์ซอี ินทเิ กรเตอร์ที่มีค่าเวลาคงท่ีปานกลาง ถ้าหากสัญญาณแรงดันทเ่ี อาตพ์ ุตเป็นพลั ส์รปู สเ่ี หลี่ยมมุมฉากดังในรูปแล้ว ใหห้ าลักษณะของแรงดันและขนาดของคล่ืนจากเอา ต์พุตของวงจรท่ปี รากฏบนจอภาพของออสซิลโลสโคป รูปที่ 2.2 แสดงวงจร อาร์-ซี อินทิเกรเตอรแ์ บบต่างๆ และลักษณะ ของคลืน่ แรงดนั ท่ีปรากฎที่เอาตพ์ ุตของวงจร รปู ท่ี 2.3 แสดงวงจรอาร์ซอี นิ ทเิ กรเตอร์

กา่ หนดให้ แรงดนั อนิ พุต E = 10Vpeak,500Hz (เปน็ คลน่ื รูปจตั ุรสั ) ดังน้นั R = 1000 C = 2F prt = 1/prr = 1/500 = 2 msec = = 2X10-3/2 = 1 msec tP = prt/2 = 100 X 2X 10-6 = 2 msec  RCจากค่าต่างๆ ทไี่ ด้น้ีท่าใหเ้ ขียนลักษณะของคลน่ื แรงดันอินพตุ ไดด้ ังแสดงในรปู ที่ 2.4 และจากสมการ ประจุ =eC E (1 -  -t/RC ) เมื่อแทนคา่ t = 1 msec =eC 10 – 10 +1 X 10 /2 X 10 = 10 – 10 (2.718) +0.5 = 3.93 โวลต์ นั่นคือเม่ือเวลาผา่ นไป 1 msec ตวั เก็บประจมุ แี รงดนั ตกคร่อมเป็น 3.93 โวลต์รูปที่ 2.4 แสดงลักษณะของคลน่ื แรงดันที่อนิ พตุ และเอาตพ์ ุตของวงจรในรปู ท่ี 2.3หลงั จากเวลาผ่านไป 1 msec แล้วแรงดันของคลื่นอนิ พุตจะเปลยี่ นแปลงไปโดยในช่วงเวลาจาก 1~2msec แรงดันอนิ พตุ จะมคี า่ เป็นศนู ย์ ดังนน้ั ในช่วงเวลาน้ีตวั เกบ็ ประจจุ ะเรม่ิ คายประจุออกมาคลา้ ยกับตวั เกบ็ ประจุเป็นแหลง่ จา่ ยแรงดนั มคี ่า + 3.93 โวลต์ เมือ่ คายประจอุ อกมาแรงดนั ท่ีตกครอ่ มตวั เก็บประจุก็จะค่อยๆลดลงช่วงเวลาที่ใชใ้ นการคายประจกุ ค็ ือช่วง 1~2 msec ซงึ่ เทา่ กับ 1 msec ดังนั้นเมอ่ื เวลาผา่ นไป 2 msec แรงดันท่ีเอาตพ์ ุตจะมคี ่าดังน้ีจากสมการคายประจุ =eC E - t /RC (2.3)เมอ่ื แทน t = 1 msec

และ E = +3.93 โวลต์eC = 3.93 (2.718)1 X 10/ 2X10 = 3.93 ( 2.718)+0.5= 2.38 โวลต์ น่ันคอื ที่เวลา 2 msec (แรงดนั ตกครอ่ มตวั เก็บประจุ) จะมีคา่ 2.38 โวลต์ หลังจากเวลาผ่านไป 2 msecแล้วแรงดนั อินพุตจะเริ่มมีค่า E = 10 โวลต์ อกี ครั้งหนึง่ ดงั นัน้ ตัวเก็บประจจุ ะเร่มิ สะสมประจุอีกคร้ังหนึง่ โดยใช้เวลาในการสะสมประจอุ ีก 1 msec แต่ขณะนีต้ วั เกบ็ ประจุมีแรงดนั ตกคร่อมอย่แู ล้ว +2.38 โวลต์ ดังน้ันแรงดันที่ถกู ปอ้ นใหแ้ ก่ตวั เกบ็ ประจจุ ริงๆในขณะนีก้ ็คือ 10 - 2.38 โวลต์ เทา่ กับ 7.62 โวลต์ และดงั นน้ั สมการประจทุ ่ีนา่ มาใช้ จะต้องเขยี นใหม่เป็น=eC E - (E  EO) -t/RC ……………… (2.4)โดยท่ี EO คือแรงดันท่ีตัวเกบ็ ประจุมอี ยู่ก่อนแล้ว (V) สมการที่ 2.4 เป็นสมการสะสมประจุซึ่งตัวเก็บประจมุ ีแรงดันตกคร่อมอยลู่ ่วงหน้าแลว้ EO โวลต์ และ เม่ือแทนค่า t = 1 msec คือเป็นการสะสมประจุของตวั เกบ็ ประจุในชว่ งเวลาจาก 2 msec ถงึ 3 msec ดงั นัน้ เมอ่ื เวลาผ่านไป 3 msec แรงดันทเ่ี อาต์พุตหาได้ดงั น้ี = =eC E - (E  EO ) -t/RC 10 - (10 - 2.388) -10/2X10 = 10 - 7.62 / (2.718)+0.5 = 7.62 / 1.65 = 10 - 4.62 = +5.38 โวลต์ และโดยพิจารณาทา่ นองเดียวกันนเ้ี รือ่ ยๆไป จะได้ค่าแรงดนั ที่เอาตพ์ ุตหรอื กค็ อื ค่าของแรงดันท่ีตกครอ่ มตัวเกบ็ ประจทุ ีเ่ วลาผา่ นไปแตล่ ะ msec สรปุ เป็นตารางได้ ดังน้ี

เวลา t แรงดนั เอาตพ์ ุต eO( msec ) (V) 0 0 1 3.93 2. 2.38 3 5.38 4 3.26 5 5.92 6 3.59 7 6.11 8 3.71 9 6.19 10 3.75 11 6.21 12 3.76 13 6.22 14 3.77 15 6.23 16 3.77 17 6.23ตารางที่ 2.1 แสดงคา่ แรงดันเอาต์พุตตกครอ่ มตวั เก็บประจเุ ม่ือเทยี บกับเวลา คา่ ตามตารางเหล่านี้แสดงถึงค่าแต่ละจดุ กราฟของแรงดันท่ีตกคร่อมตัวเก็บประจุ จะเห็นว่ารูปคลื่นของแรงดันเอาต์พุต จะมีรูปคลนื่ ท่ีซา่้ ๆกนั ตลอดไปตัง้ แต่ที่ค่าเวลา 14 msec ไปจนถึงค่าเวลาอนันต์ ดังน้ันถ้าเรามีเครอ่ื งออสซิสโลสโคปอันหนึง่ มาต่อกับขว้ั เอาตพ์ ุตของวงจรอารซ์ อี ินทิเกรเตอรต์ ามทีแ่ สดงในรูปที่ 2.3 แล้วบนจอภาพจะแสดงคา่ แรงดันเอาตพ์ ตุ มีขนาดระหวา่ งจุดยอดบนสุดถึงจุดลา่ งสดุ eC = 2.45 โวลต์ ดงั แสดงใน รปู ที่ 2.42.3.2 การวิเคราะห์วงจร อาร์-ซี ดว้ ยการใชส้ มการ นอกจากการวิเคราะห์หาค่าแรงดนั เอาตพ์ ุตของวงจร อาร์-ซี อินทิเกรเตอรด์ ว้ ยวธิ ดี งั ในตอนทก่ี ล่าวมาแลว้ น้นัยงั มีอีกวธิ หี นึ่งซึ่งสามารถใช้ได้กบั การวเิ คราะห์วงจร อาร์-ซี คอื วธิ ีใชส้ มการดังจะไดก้ ล่าวถึงในตอนนี้ จากรปู ที่ 2.5 เมอื่ พจิ ารณาวา่ ตัวเกบ็ ประจจุ ะต้องเรมิ่ คายประจุ จากคา่ แรงดันท่ตี ัวเกบ็ ประจเุ กบ็ ประจุเอาไว้ครัง้ สุดท้าย (EF )ลดลงไปถงึ คา่ สุดทา้ ยทต่ี วั เกบ็ ประจมุ อี ยู่ ภายหลังการคายประจุ (EI) ดงั น้นั สมการคายประจุจึงเขยี นใหม่ไดเ้ ป็น =eC E  - t /RC =EI EF  - t /RC แต่ EF = E – EI

=ดงั น้นั EI (E – EI )  - t/RC ………….. (2.5) รปู ท่ี 2.5 แสดงวงจร อาร์-ซี อนิ ทิเกรเตอร์ และการสะสมของตวั เกบ็ ประจุจะเร่ิมตน้ จากคา่ แรงดนั ที่มีอยู่เดมิ (EI) จนถงึ คา่ แรงดันสุดท้ายท่สี ะสมไว้ได้ (EF )ดังนั้นสมการสะสมประจจุ ึงเขียนใหม่ได้เปน็ =eC E – (E  EI ) - t /RC =EF E – (E – EI) - t/RC ……………... (2.6)จากรูปท่ี 2.5  EO = EC = EF - EIเม่อื แทนค่า  = 2 X 10-3 sec , t = 1X10-3 sec. E = 10 V . ในสมการ 2.5 ดงั นน้ั EI = =10 – EI / +0.5 10 – EI /1.63 = 6.05 – 0.650 EIดงั นนั้ EI = 3.77 โวลต์และจากสมการ(2.6), EF = 10 – (10 – (3.77)) +0.5 = 10 – 3.77 = 6.225 โวลต์แทนค่า EF และ EI เพ่อื หาค่า  eO ดงั น้นั  eO = eC = 6.225 – 3.77 = 2.455 โวลต์ ซ่ึงคา่ นเี้ ปน็ ค่า peak-to-peak ของคลนื่ แรงดนั ที่เอาตพ์ ตุ ของวงจรในรูปที่ 2.3 และเม่ือใช้ออสซสิ โลสโคปวัดทเ่ี อาตพ์ ุตจะปรากฏคลนื่ ลกั ษณะดังเช่นที่แสดงใน รูปที่ 2.4 บนจอภาพของเครื่อง

2.3.3 ความสมั พันธ์ของเวลาไตข่ ้ึนกับเวลาคงที่ ในคลื่นจัตุรสั ทางทฤษฎีจะเหน็ ว่าชว่ งเวลาไตข่ ึน้ จะมีค่าน้อยมากและพจิ ารณาว่าเป็นศูนยแ์ ต่ในทางปฏิบัติจรงิ ๆ เราไม่สามารถทจี่ ะสร้างคลื่นจัตรุ สั ทีแ่ ทจ้ ริงอย่างนไี้ ด้เนอื่ งจากชว่ งเวลาไต่ขึ้นจะต้องมีคา่ หน่ึงรปู ที่ 2.6 แสดงวงจรกรองสัญญาณประเภทใหค้ วามถี่ต่าผ่านแบบ อาร์-ซี ค่าของช่วงเวลาไต่ขึน้ ของคลืน่ จตั รุ ัสของแรงดนั ทเ่ี อาต์พุตของวงจรดังแสดงในรปู (รปู ที่ 2.6) (tr ) พิจารณาได้จากช่วงท่เี อาตพ์ ตุ เริ่มมีแรงดันจาก 10 เปอรเ์ ซน็ ต์ (0.1 E) ถึง 90 เปอร์เซน็ ต์ (0.9 E ) ของแรงดันทป่ี ้อนทางอินพุต น่นั คอื tr = t2 – t1 =eC E (1 – -t/RC) ทต่ี ่าแหนง่ =t1 , eC 0.1E ดงั นั้น =0.1 E E (1 –  - t1 /RC) =0.1 1 –  - t1 /RC ดังนน้ั =+ t /RC และต่าแหนง่ ท่ี 1.11 ดังนนั้ t1 /RC log10 2.178 = log10 1.11 t1 = RC X 0.045 / 0.434 = 0.130 RC  0.1 RC t1  0.1 RC t2 , eC = 0.9E =0.9E E (1 –  – t2 / RC) =0.9E E (1 –  - t2 / RC) =+t /RC 10 t2 = RC log10 (10) / log10 (2.718) = RC X 1.00 / 0.43ดงั น้นั t2 = 2.3 RC

จาก tr = t2 – t1 = 2.3 RC – 0.1 RC ดงั นัน้ tr = 2.2 RC จากสมการที่ (2.7) เราสรปุ ได้วา่ เวลาไตข่ น้ึ จะเปน็ สดั สว่ นโดยตรงกบั เวลาคงท่ขี องวงจร2.3.4 ความถ่คี ตั ออฟของวงจรกรองสัญญาณประเภทให้ความถี่ต่าผา่ นแบบ อาร์-ซี จากวงจร อาร์-ซี ในรูปที่ 2.6 ซึ่งพจิ ารณาได้วา่ เป็นวงจรกรองสญั ญาณประเภทให้ความถีต่ ่าผา่ นแบบอาร์ซีถ้าหากแหลง่ จ่ายแรงดนั ในกรณีน้ี เปน็ สัญญาณแรงดนั รปู ไซน์ท่มี อี ัตราการเกดิ ของพลั ส์ซา้่ หรอื เรยี กง่ายๆวา่ ความถี่เท่ากบั f เฮริ ตซ์ และมีขนาด ein โวลต์ ดังนั้นคา่ แรงดนั ทตี่ กคร่อมตัวเกบ็ ประจุ (eO ) หรือค่าแรงดนั ทเี่ อาต์พุตก็คอื eO = ein ( - j Xc / R – jXc)โดยท่ี Xc = 1 / C = 1 / 2fC ;  = 2fหรอื eO / ein = 1 / 1+ jRC =eO/ ein 1 / 1+j2  fRC ……….. (2.7) จากสมการ (2.8) จะเหน็ ว่าย่งิ สญั ญาณของแรงดันมคี ่าความถ่ี f สงู ขึ้นแรงดนั ทเี่ อาต์พุตจะย่งิ มีค่าลดลง และที่ความถีซ่ ึง่ สัญญาณแรงดันท่เี อาตพ์ ุตมคี ่าลดลงเหลอื เปน็ 0.707 เท่าของสัญญาณแรงดนั อินพุต เราเรียกความถ่ีน้ีว่า“ ความถ่คี ัตออฟ” (cut – off frequency : fT ) หรอื เขยี นลงในสมการ (2.8)ได้เปน็ = =eo 1 1  j2fT RC e in 0.707หรือเขยี นในหนว่ ยของ dB จะไดว้ า่ eO / ein = 20log10 (0.707)dB = -3 dB = 1 / 1+ j 2  fT RCเน่ืองจาก 0.707 = 1 / 1+ j 2  fT RC = 1 / 1+jAโดยท่ี A = 2 fT RCดังนนั้ 1+jA = 1 / 0.707 = 1.414หรอื =12  A 2 1.414 A2 = (1.414)2 – 1 = 0.9983  1นั่นคือ A = 1หรอื 2 fTRC = 1 …………….. (2.8) fT = 1 / 2RC ...………….. (2.9)และเนือ่ งจาก tr = 2.2 RC

ดังนนั้ fT = 1.1 / tr = 0.35 / tr ……………. (2.10) โดยท่ี fT คอื ความถค่ี ัตออฟ (Hz) และ tr คอื ช่วงเวลาไต่ข้นึ (sec) นน่ั คอื สมการ (2.10) เปน็ สมการซง่ึ แสดงความสัมพันธ์ระหว่างค่าความถี่คัตออฟและเวลาไต่ข้ึน และจากสมการท่ี (2.10) เราสามารถนา่ ไปใช้ในการพจิ ารณาหาค่าความถ่คี ัตออฟของวงจรขยายได้ ทง้ั น้ีโดยการป้อนสัญญาณแรงดันรูปส่เี หล่ยี มมมุ ฉากเขา้ ทางอนิ พตุ แล้ววดั หาค่าเวลาไต่ข้ึน (tr) ของสัญญาณแรงดันเอาตพ์ ตุ เม่อื น่ามาแทนในสมการ (2.10) ก็จะหาคา่ ความถ่คี ตั ออฟ (fT) ได้ ซึ่งวิธีน้ีก็เป็นวิธีมาตรฐานส่าหรับการหาคณุ สมบตั ิผลตอบสนองความถส่ี ูงของวงจรเคร่อื งขยายทั่วๆไป ค่าความถีค่ ัตออฟ (fT) น้อี าจเรียกว่า “ ความถ่ีเหนอื จุด 3 dB” (upper 3 dB frequency) ซงึ่ เป็นพารามิเตอร์ท่ีส่าคัญตัวหน่ึงของเคร่ืองขยาย กล่าวคือเม่ือความถ่ีสงู กวา่ คา่ fT อัตราการขยายจะลดลงจากปกติเหลอื น้อยกว่า –3dB ซงึ่ ถือวา่ เป็นย่านคัตออฟของเครื่องขยาย0.35 มคี า่ เปน็ ขยายนัน้ นอกจากนีใ้ นการออกแบบเครอ่ื งขยายส่าหรบั ขยายสญั ญาณรปู สเี่ หลยี่ มมุมฉากใดๆเพอื่ ให้ได้สญั ญาณที่เอาต์พุตมคี า่ เวลาไต่ขน้ึ (tr) ใดๆ ก็สามารถออกแบบได้โดยให้ความถี่คัตออฟของเครื่องขยายน้ัน 0.35มคี ่าเปน็ tr (Hz)