01.1_Απροσδιόριστες Μορφές_Κανόνες De L Hospital

1.1ΑΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΕ΢ ΜΟΡΥΕ΢ – ΚΑΝΟΝΕ΢ DE L’ HOSPITALΦΡΗ΢ΙΜΑ ΟΡΙΑ lim 1   lim 1   x lim 1 0 x lim 1  0 x 0 x x 0 x  x  xΤα αποτελέσματα των πιο πάνω ορίων φαίνονται στη γραφική παράσταση τηςf  x   1 : x΢ημείωση: Το lim 1 δεν υπάρχει διότι lim 1  lim 1 . x x x x 0 x 0  x 0  Το lim 1 υπάρχει διότι lim 1  lim 1   . x2 x2 x2 x 0 x 0  x 0  lim e x 0 lim ex    x x Τα αποτελέσματα των πιο πάνω ορίων φαίνονται στη γραφική παράσταση τηςf x   ex :© Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 3

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital lim ln x   x lim ln x   x 0 Τα αποτελέσματα των πιο πάνω ορίων φαίνονται στη γραφική παράσταση τηςf  x   ln x :ΕΠΙΣΡΕΠΣΕ΢ ΠΡΑΞΕΙ΢ 7.      1. α     , α 2. α     , α  8.         3. α      , αν α  0 9.      αν α  0   ,4. α      , αν α  0 10.           αν α  0    ,5. α  0, α  11. α    , αν α  1   αν 0  α  0 , 16.      12.   α   , αν α  0ΑΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΕ΢ ΜΟΡΥΕ΢ 5. 1  1.    6.   0 7. 0 02. 0    3.  ,  ,  ,     4. 0 0 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης4

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ HospitalΚΑΝΟΝΕ΢ DE L’ HOSPITALAΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΙΕ΢ ΣΗ΢ ΜΟΡΥΗ΢ 0 0ΘΕΩΡΗΜΑ 1Αν f και g είναι δύο συναρτήσεις παραγωγίσιμες με g x   0 σε μια περιοχήτου x0 , εκτός ίσως από το x0 , με lim f  x   0 και lim g  x   0 , όπου x x0 x x0χ0   ,   και υπάρχει το όριο lim f x  (πεπερασμένο ή άπειρο), gx  x χ0τότε lim f x   lim f x  . g x  g x  x χ0 x χ0΢ημείωση Το θεώρημα ισχύει και για πλευρικά όρια νοουμένου ότι πληρούνται οι προϋποθέσειςΠαράδειγμα 1Να βρεθεί το lim e ln x 1 . x 1  x 1ΛύσηMΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΓια να βρούμε ένα όριο της μορφής lim f x , gx x χ0 Βρίσκουμε ξεχωριστά τα όρια lim f x και lim g  x  x χ0 x χ0 Αν και τα δύο όρια είναι 0, δηλαδή το lim f x οδηγεί σε gx x x0 απροσδιοριστία της μορφής 0 τότε εφαρμόζουμε τον κανόνα 0 De L’ Hospital. Αν και το νέο όριο οδηγεί σε απροσδιοριστία, τότε επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία.lim ln x  ln1  0x 1 lim ex 1  1  e0  1  1  1  0 ,x 1Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 . 0 ln x  1 1 1 x e0 1 lim e x 1  1  lim x 1 1   e    x 1 x 1Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospitallim e ln x 1  1 x 1 x 1© Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 5

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ HospitalΠαράδειγμα 2Να βρεθεί το lim e x  ex  2 . 1  συνx x 0Λύση lim ex  ex  2  e0  e0  2  0x 0lim 1  συνx   1  συν0  1  1  0x 0 ,Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 . 0 ex  ex  2  1  συνx   lim ex  ex lim  ημx x 0 x 0 lim ex  ex  0x 0lim  ημ x   0x 0Πάλι παρουσιάζεται απροσδιοριστία της μορφής 0 . 0 ex  ex   ημx   e x  ex e0  e0 1 1 2 lim  lim συνx  συν0  1  x 0 x 0Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospitallim e x  ex  2  2 1  συνxx 0AΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΙΕ΢ ΣΗ΢ ΜΟΡΥΗ΢  ΘΕΩΡΗΜΑ 2Αν f και g είναι δύο συναρτήσεις παραγωγίσιμες με g x   0 σε μια περιοχήτου x0 , εκτός ίσως από το x0 , με lim f  x    και lim g  x    , όπου x x0 x x0χ0   ,   και υπάρχει το όριο lim f x  (πεπερασμένο ή άπειρο), gx  x χ0τότε lim f x   lim f x  . g x  g x  x χ0 x χ0΢ημείωση :Το Θεώρημα 2 εφαρμόζεται και όταν το όριο lim f x οδηγεί σε gx x x0απροσδιοριστία της μορφής  ή  ή  .    © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης6

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ HospitalΠαράδειγμα 3Να βρεθεί το lim ln 1  x x . x  x e xΛύσηMΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΓια να βρούμε ένα όριο της μορφής lim f x , gx x χ0 Βρίσκουμε ξεχωριστά τα όρια lim f  x  και lim g  x  x χ0 x χ0 Αν και τα δύο όρια είναι ίσα με  ή  , δηλαδή το lim f x οδηγεί gx x x0 σε απροσδιοριστία της μορφής  τότε εφαρμόζουμε τον κανόνα De L’  Hospital. Αν και το νέο όριο οδηγεί σε απροσδιοριστία, τότε επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία. lim ln 1  x   x   x  lim x  ex  x Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής  .  lim ln 1  x   x  1 1   lim 1 x 0 x  x  ex  1e x x Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital lim ln 1  x x 0 x  x e xAΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΙΕ΢ ΣΗ΢ ΜΟΡΥΗ΢   0Παράδειγμα 4Να βρεθεί το lim x ex . x ΛύσηMΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΓια να βρούμε ένα όριο της μορφής lim f  x  g  x  , x χ0 Βρίσκουμε ξεχωριστά τα όρια lim f x και lim g  x  x χ0 x χ0 Αν το ένα όριο είναι  ή  και το άλλο είναι 0, δηλαδή το lim f x gx  οδηγεί σε απροσδιοριστία   0 , τότε μετατρέπουμε τ x χ0 γινόμενο f x gx  σε πηλίκο της μορφής f x ή gx ώστε να 1 1 gx f x© Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 7

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital μετατραπεί η απροσδιοριστία στη μορφή 0 ή  για να μπορέσουμε να 0  εφαρμόζουμε τον κανόνα De L’ Hospital. Αν και το νέο όριο οδηγήσει σε απροσδιοριστία, τότε επαναλαμβάνουμε την διαδικασία. lim x  x  lim ex  0x Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής   0 και δεν μπορεί να εφαρμοστεί οκανόνας De L’ Hospital. Όμως lim x e x  lim x e x x  x  lim x  x  lim ex  x Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής  .  lim  x  lim 1 0 e x x  ex  x -  Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital lim x ex  0x AΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΙΕ΢ ΣΗ΢ ΜΟΡΥΗ΢   Παράδειγμα 5Να βρεθεί το lim   1  1 .  x e x  1  x 0ΛύσηΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Οι συναρτήσεις της μορφής f  x   h  x  που οδηγούν σε g  x  k  x  απροσδιοριστίες της μορφής    πρέπει να μετατρέπονται πρώτα σε ένα κλάσμα ώστε να οδηγήσουν σε απροσδιοριστίες της μορφής 0 ή  0  και να εφαρμόσουμε στη συνέχεια τους κανόνες De L’ Hospital. lim  1    xx 0  lim  1     ex 1 x 0 Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής    και δεν μπορεί να εφαρμοστεί οκανόνας De L’ Hospital. Όμως © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης8

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital lim  1 1  lim ex 1 x x x x ex 1 x 0 x 0   e 1  lim ex  1  x  0x 0 lim x ex  1  0x 0Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 . 0 ex 1  x  lim x 0  x e x  1      lim ex ex 1  1  xe x x 0 lim ex  1  0x 0  lim ex  1  xex  0x 0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 . 0 ex 1  ex  1  xex    lim   lim e x  ex  ex  lim ex ex x  xe x x 0 x 0+ x 0 2   lim 2 1 x  1  2 x 0Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital lim   1  e 1 1   1 x x 2x 0Παράδειγμα 6 Να βρεθεί το lim χ2  ex . x ΛύσηΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Οι συναρτήσεις της μορφής f  x   g  x  που οδηγούν σε απροσδιοριστίες της μορφής    πρέπει να μετατρέπονται πρώτα σε γινόμενο της μορφής f  x  1  gx ή g  x   f  x   1 ώστε να οδηγήσουν σε f  x    g  x  απροσδιοριστίες της μορφής 0 ή  και να εφαρμόσουμε στη συνέχεια 0  τους κανόνες De L’ Hospital. lim χ2  x  lim ex  x Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής    και δεν μπορεί να εφαρμοστεί οκανόνας De L’ Hospital. Όμως lim χ2  ex lim x2 1  e x   x2  x  x    © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 9

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital lim χ2  x  lim  1  e x  1  lim e x  x2  x2x    x To lim e x οδηγεί σε απροσδιοριστία της μορφής  x2  x   lim e x   lim e x x2  2x x  x   lim ex  x  lim 2χ  x Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής  .   e x  lim e x lim  2    2x  x  x Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital lim e x   x2x Άρα lim χ2  ex  x AΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΣΙΕ΢ ΣΗ΢ ΜΟΡΥΗ΢ 1  , 00 , 0Παράδειγμα 6Να βρεθεί το lim x ημx . x 0 ΛύσηΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Οι συναρτήσεις της μορφής f  x  g  x  που οδηγούν σε απροσδιοριστίες της μορφής 1  ,1  , 00 ,   0 ,   0 πρέπει να μετατρέπονται πρώτα στη μορφή e ln f  x  g x   e g x ln f  x  ώστε να εμφανιστεί στον εκθέτη απροσδιοριστία της μορφής   0 ή   0 και να την αντιμετωπίσουμεόπως το παράδειγμα 4. lim x  0x 0  lim ημx  0x 0 Άρα έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 00 και δεν μπορεί να εφαρμοστεί oκανόνας De L’ Hospital. Όμως lim xημx  lim eln xημx  lim eημx ln x lim ημx ln x  x 0 x 0 x 0  e x0 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης10

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ HospitalΠρέπει να βρούμε το lim ημx ln x  x 0  lim ( ημx )  0x 0  lim (ln x )  x 0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0    και δεν μπορεί ναεφαρμοστεί ο κανόνας De L’ Hospital. Όμως lim ( ημx  ln x )  lim ln x ημ1 x x 0  x 0+ lim ln x  x 0+ lim 1   ημ xx 0+Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής   1x lim ln x   lim συν x lim ημ2 x ημ 2 x x συνx x 0+ 1  x 0+ x 0  ημ x   lim ημ2x  0x 0 lim  x συνx   0x 0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 0 ημ2 x  lim x 0  x συνx    lim 2 ημx συνx  lim ημ2x συνx  x ημx συνx  x ημx x 0 x 0    ημ0 = 0 =0 συν0  0 1Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital lim ημx ln x   0x 0 Άρα lim x ημx  e0  1x 0 Παράδειγμα 7 e x  1, αν χ  0  αν 0  x  1Δίνεται η συνάρτηση f  x    x ln  1  1   2 ,  x Να δείξετε ότι είναι συνεχής στη θέση χ0  0 .© Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 11

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ HospitalΛύσηΤΠΕΝΘΤΜΙ΢Η Για να είναι συνεχής μια συνάρτηση f  x  στη θέση χ  χ0 , πρέπει να υπάρχει το όριο lim f  x  και να ισχύει x x0 lim f x  f  x0  x x0 Για να υπάρχει το όριο lim f  x  , πρέπει να υπάρχουν τα πλευρικά όρια x x0 lim f  x  και lim f  x  και να ισχύει x x0 x χ0 lim f  x   lim f  x  x x0 x x0  lim f  x   lim ex  1  2x 0  x 0  lim f x   lim  x ln  1  1   2   lim x ln  1  1   lim 2  x  xx 0  x 0  x 0  x 0 Πρέπει να βρούμε το lim x ln  1  1  x x 0  lim x  0x 0  lim ln  1  1    xx 0 Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0    και δεν μπορεί να εφαρμοστείo κανόνας De L’ Hospital. Όμως  1  1  ln  1  1  x x lim x ln  lim 1 x 0  x 0  x lim ln  1  1    xx 0  lim  1   xx 0Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής   1   1 x  χ2 ln   1  1 1 1 lim  lim χ  lim  0 1 x 0   1  x 0   1 x 0  x 1 x χ2Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospital lim x ln  1  1   0 xx 0 Επομένως lim f  x   0  2  2x 0  © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης12

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ HospitalΑφού lim f  x   lim f  x   2 τότε lim f  x   2 x 0  x 0  x 0f 0   2Επομένως lim f  x   f 0  x 0Άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής στο χ  0 .Παράδειγμα 8 ημ x , αν χ  0 Δίνεται η συνάρτηση f  x    x 1 , αν χ  0Να δείξετε ότι είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο χ0  0 .ΛύσηΤΠΕΝΘΤΜΙ΢ΗΓια να είναι παραγωγίσιμη μια συνάρτηση f  x  στη θέση χ  χ0 , πρέπει : να είναι συνεχής στη θέση αυτή και επιπλέον να υπάρχει το lim f  x   f  x0  και να είναι πραγματικός αριθμός. x χ0 x  x0lim f x  lim ημ x 1 xx 0 x 0f 0   1Δηλαδή, lim f  x   f 0  x 0Επομένως η συνάρτηση είναι συνεχής στο χ0  0 .lim f x f 0  lim ημ x 1 lim ημ x x 0 x x2x 0 x  x 0 x  x 0lim ημ x  x   0x 0lim χ2  0x 0Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 0 lim ημ x  x   lim συν x  1  2x x 0 x2 x 0 lim  συν x  1  0x 0lim  2χ   0x 0Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 0 lim  συν x  1  lim ημ x 0  x 0  2x  2 x 0Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospitallim f x f 0  0 x 0 x 0Επομένως η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο χ0  0© Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 13

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ HospitalΕΤΡΕ΢Η ΠΑΡΑΜΕΣΡΩΝΠαράδειγμα 9Αν lim αe x  e x  β  2 να βρεθούν οι τιμές των α και β, όπου α,β  . βx  ημ x x 0Λύση lim αex  ex  β  α  1  βx 0lim  βx  ημ x   0x 0Αν α  1  β  0 , τότε το lim αe x  ex  β δεν μπορεί να είναι 2 . βx  ημ x x 0Άρα θα πρέπει α  1  β  0  α  β  1 1 0Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 αe x  e x  β  lim x 0  βx  ημ x    lim αe x  ex  α 1 β συν x β 1 x 0Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospitallim αe x  e x  β  α 1 βx  ημ x β 1x 0Επομένωςα 1  2  α  1  2 β  2  α 2β 1 2 β 11 α  β  12 α  2β 1   β 0  β 0  α 0 1  α 1Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ ΟΡΙΩΝ ΠΟΤ ΠΕΡΙΕΦΟΤΝ ΑΓΝΩ΢ΣΕ΢ ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΙ΢ f  x Παράδειγμα 10Αν f είναι μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο, η οποίαεφάπτεται του άξονα των x στην αρχή των αξόνων και f 0   2015 , να βρείτε τοlim f  ημ 2 x  f x x . x 1 x 0 x   lnΛύση Αφού περνά από την αρχή των αξόνων, τότε f 0   0 . Αφού εφάπτεται του άξονα των x στο 0 ,0  , τότε σ’ αυτό το σημείο η κλίση της εφαπτομένης είναι 0. Άρα f 0   0 .lim  ημ 2 x  f x    ημ20  f 0   0x 0lim  f  x   ln  x  1  x   f 0   ln1  0  0x 0 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης14

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ HospitalΔηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 0 ημ 2 x  f  x    x   ln  x  1   lim 2 ημ x συν x f  x  lim ημ2x  f  x  lim  1   f x  x 0 f x   x 1 1 x 0 1 x 0 f   x     1 x 1lim  ημ2x  f  x    ημ0  f 0   0x 0lim  f x   1  1   f 0  1 1 0 x 1x 0Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 0 lim  ημ2x  f  x    lim 2 συν 2x  f  x   2 συν0  f 0   2  2015 f 2015  1 x 0  f   x   1  1  x 0  x   1 f 0  1  x 1  x  12  2017 2014Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ Hospitallim f ημ 2x  f  x   2017  x   ln  x  1  x 2014x 0Παράδειγμα 11Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο καιικανοποιεί τη σχέση f 5  x   f  x   ex  ex  2  x  . Να δείξετε ότιlim f x  1.x 0 x ημxΛύσηlim f  x   f 0 x 0Αφού f 5  x   f  x   ex  ex  2  x  1f 5 0   f 0   e0  e0  2  f 0   f 4 0   1  0 f 0   0 ή f 4 0   1 αδύνατοΕπομένως lim f  x   f 0   0 x 0lim  x  ημx   0x 0Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 0 lim  f  x    lim x f x   x ημx  x 0 x 0 συν x  ημ xlim f  x   f 0 x 0© Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 15

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital1 5 f 4  x  f  x   f  x   ex  ex 2  5 f 4 0  f 0   f 0   e0  e0 f 0   0Επομένως lim f  x   0 x 0lim  x  συν x  ημ x   0x 0Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 0 lim  f  x    lim x ημ x f  x   συνx  x συν x  ημ x  x 0 x 0  συν xlim f  x   f 0 x 02  20 f 3  x  f  x  2  5 f 4  x  f  x   f  x   e x  e x 20 f 3 0  f 0  2  5 f 4 0  f 0   f 0   e0  e0 f 0   2Σύμφωνα με τον κανόνα De L’ HositalΕπομένως lim f x  2 1 2 x 0 x ημxΑ΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.1ΑΝα βρεθούν τα όρια 1 – 46 :1. lim ln  x 1  2. lim x x  4. x 0  1  x2  1 x 2 2 6. 8.3. lim ln x 1 10. lim 1 x  ln x x2  12. x3  3x  2 x 1 x 15. lim 2 ημx  x  συνx lim x( συνx  1) ημ2 x x2  ημ2 x x 0 x 07. lim 1  συνx lim 1  εφx x ημx 1  σφx x 0 x π49. lim ex  ex  x2 2 lim ln x 1  ημ x ημ2 x  x2 x 0 x 0 x211. lim e x  ημ x  1 lim x x x 0 ln  x  1 x 0 e 113. lim x ln x  2 14. lim  ln 2ex  1 x2 1 16. x  x  3x  215. lim ln 1  συν x  lim ln 2 x e2x 1 x 0  ln x x  © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης16

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital17. lim x  ln x4 18. lim  ln e2x  e 2x e x x  x  x19. lim e x 1 20. lim x2  2x  ημ θ  ημ x e2x  3χ 1 x  x x 21. lim x2ex  22. lim x2  3 ex x  x  123. lim x e 1 24. lim x e x2 x x 0 x 0 25. 1  26. lim x ln2 x lim x  e x  1  x 0  x  27. lim x2 ln 2x 28. lim  x ημ α  x 0 x x  x ν ln  νx  lim x 3 e 1 29. , ν 30. x2 lim x 0 x 031. lim ex ln x 32. lim  x  1ln  x  1  ln x  x  x 33. lim  1 1 x  34. lim  1  1  x συνx x ημx x 0  x 0 35. lim  1  x x 1  36. lim   x 1  1  ln x    ημx x  x 1 x 0 37. lim e3x  x  38. lim x2  ln2 x x  x  39. lim ex  ln 2x  40. lim e2x  x  ln x x  x 41. lim  1  1 x 42. lim  1  α x x x x  x 43. lim   1  1 ax 44. lim x εφ x x x 0 x 0 45. lim ημ x x 46. lim ημ x εφ x π  x 0 x  2 π 1 2 π247. lim  συν  x    x 48. lim  συν x σφx   x  π  x 0 249. lim x  1  50. lim x x x 1 x 0  x 1 e3x  3χ 1, αν χ  0  x2 αν χ  051. Δίνεται η συνάρτηση f x     3 χ2  χ  9  χ2  2 , Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο x0  0 .© Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 17

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital52. Δίνεται η συνάρτηση f  x    x  ημ χ , αν χ  0  x ημχ αν χ  0  ln 1  x   x2 , Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο χ0  0 .53. Να δείξετε ότι η συνάρτηση  x3 , αν χ  0   x 1 αν χ  0 f x    x2  2x  2ημ χ x2 ,  είναι συνεχής στο χ0  0 .54. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f  x   1  συν  2χ , αν χ  π  αν χ  π χ2  π2  ημ  χ  π  , είναι συνεχής στο χ0  π .55. Δίνεται η συνάρτηση e2x 1 , αν χ  0  αν χ  0 f x    x  2 ,  Να δείξετε ότι είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο χ0  0 .56. Δίνεται η συνάρτηση  x ln x , αν x  0 ,1 1,     f x    x 1 1 , αν χ  1 Να δείξετε ότι είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο χ0  1.57. Δίνεται η συνάρτηση f  x   e x 1 . Να ελέγξετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο χ0  1.58. Δίνεται η συνάρτηση f x   e χ 1  1, αν x  1  x2 , αν χ  1 3x  Να δείξετε ότι είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο χ0  1.59. Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς α αν lim e xημ  αx  x 1  2. συν  α x  x 0  2x60. Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς κ αν lim 1 x ex  ημ  κx   1.  3x  συν  κx x 061. Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς α αν lim eαx  ημ  2 x   1  3 . x 0 ημ x  x62. Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς α αν lim αln x ex  ex  1. x3 1 x 1 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης18

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital63. Αν lim x  α συν x  2   βημ x  1 να βρεθούν οι τιμές των σταθερών α x 0 x3 και β, όπου α , β  .64. Αν lim α συν x  β x ημ x  ex2 5 να βρεθούν οι τιμές των σταθερών α x2 2 x 0 και β, όπου α , β  .65. Αν lim αeσυν x  β x  αe e να βρεθούν οι τιμές των σταθερών α  2x x 0 ημ  2x   x2 και β .66. Αν lim α  βx  ln( x 1)  1 να βρεθούν οι τιμές των σταθερών α x 2 ημ x  2  και β, όπου α , β  .67. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y  f  x  εφάπτεται με τον άξονα χχ στο 0 ,0  , f 0   0 , f  0   3 και η f   x  είναι συνεχής στο 0 ,0  , να βρεθεί το lim f  x   ημ x x. x 0 x368. Αν f είναι συνάρτηση με συνεχή πρώτη, δεύτερη και τρίτη παράγωγο και για την οποία ισχύουν : f 0   f 0   0 , f  0   1 και f   x   . Να βρεθεί το lim x f x . x 0 ημ x  x69. Αν f μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και για την οποία ισχύουν: f 0   f 0   0 , f 0   4 , να βρεθεί το .70. Αν f μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και για την οποία ισχύουν: f 0   f 0   f  0   1 , να βρεθεί το lim f2 x  ex χ .   x 1 x 0 e ημx x271. Αν η f έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο στο χ  0 και lim f x  ημ2 2x  συνx 1  2 , να βρεθεί η τιμή f 0  . 1  x2 1 x 072. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο στη θέση x 2 και τέτοια ώστε να είναι x  2  f x   συν πx 3. 4 lim  x  2 2 x 2 Να προσδιοριστούν οι τιμές f  2  και f  2  .© Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 19

1.1. Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital 73. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και ικανοποιεί τη σχέση f 3  x   2 f  x   x  x  ημ x   x  . Να δείξετε ότι lim e 2 x f x   x2 1  1 .  f x   2x 2 x 0 74. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και ικανοποιεί τη σχέση x  f  x   3 f 5  x   x e2x  x  . Να δείξετε ότι lim x2  συν x 1  1 . 4 x 0 f x 75. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και η οποία έχει την ιδιότητα f 3  x   2 f  x   2χ  συν χ  1  χ  . Να δειχθεί ότι lim f 2 x  0. x 0 x2 76. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο και η οποία έχει την ιδιότητα f 5  x   3 f  x    x 1ex 1  χ  . Να δειχθεί ότι lim ημ f x  1. x 0 x2 77. Η συγκέντρωση ενός φαρμάκου στον οργανισμό ενός ασθενή t ώρες μετά τη λήψη του φαρμάκου δίδεται από τη συνάρτηση σ  t   1000 t e10t0 . Να αποδείξετε ότι μετά από πολλές ώρες η συγκέντρωση του φαρμάκου γίνεται αμελητέα. 78. Η θερμοκρασία σε C ενός ασθενούς σε συνάρτηση με τον χρόνο που μεσολαβεί από την χορήγηση σε αυτόν ενός αντιπυρετικού δίδεται από τη σχέση θ  t   2e2t  3t  1  37 . Να δείξετε ότι με την πάροδο του χρόνου η θερμοκρασία του ασθενούς θα γίνει περίπου 37C . ΑΠΑΝΣΗ΢ΕΙ΢ Α΢ΚΗ΢ΕΩΝ 1.1A 1. 1 2.  3. 1 4.  1 6. 0 2 6 5. 1 7. 1 8. 1 2 2 © Χρίστος Λευκονοιτζιάτης20

1.1 Απροσδιόριστες Μορφές – Κανόνες De L’ Hospital9.  1 10. 1 11. 2 12. 1 4 2 15. 2 16. 013. 0 14. 1 317. 0 18. 2 19.  20. 021. 0 22. 0 23.  24. 25. 1 26. 0 27. 0 28. α29. 0 30.  31. 0 32. 133.  34. 0 35. 1 36. 37.  2 40. 41. e 38.  44. 1 42. eα 39.  43. 145. 1 46. 1 47. 1 48. 149. e 50. 1 57. Συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη59. 3 60. 2 61. 4 62. 363. α  2 , β  0 64. α  1, β  1 65. α  2 , β  0 66. α  4 , β  267. 1 68. 3 69. 1 70. 3 371. 3 72. f 2   π , f 2   3 8 4© Χρίστος Λευκονοιτζιάτης 21