statistics I

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ບດົ ແກ້: ກຳນຈັບຕົວອກັ ສອນຈຳກກັບເທີ່ອລະ 3 ຕົວຈຳກ 5 ຕົວມີ P53  5 5!  60 ວທິ ີ  3! ກຳນຈັບຕົວອກັ ສອນ 3 ຕວົ ໃຫ້ຂ້ນື ຕົນດ້ວຍ A ມີ 1 4 3  12 ວທິ ີ ກຳນຈັບຕົວອກັ ສອນ 3 ຕົວໃຫ້ຂ້ືນຕນົ ດວ້ ຍ E ມີ 1 4 3  12 ວທິ ີ ຈຳນວນວິທີທຈີ່ ບັ ຕົວອັກສອນໃຫ້ຂື້ນຕນົື້ ດວ້ ຍ A ແລະ E ມີທັງໝົດ 12 12  24 ວິທີ P (ຂນື້ ຕືົນ້ ດ້ວຍ A ແລະ E )  24  2  0.4 60 5 ດງ່ັ ນ້ັືນ, ຄຳ່ ກະຕວງຂອງເຫດກຳນທຈີ່ ັບໄດ້ຕົວອກັ ສອນຂ້ນື ຕືົ້ນດ້ວຍ A ແລະ E ເທັ່ົຳ 0.4 ຕົວຢຳ່ ງ 3.2.1.3 ມີສະຫຼຳກໝຳຍເລກ 1 ເຖິງ 300 ຢ່ໃູ ນກບັ ໜີ່ງ ໝຳຍເລກລະໃບ ຖ້ຳເຮົຳຈັບສະຫຼຳກຈຳກກັບ ມຳ 1 ໃບ ໂດຍວິທສີ ູ່ມ ຈັົງ່ ຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງຂອງເຫດກຳນທວີ່ ່ຳຈະໄດ້ສະຫຼຳກໝຳຍເລກ 200 ບດົ ແກ:້ ໃຫ້ E ເປັນເຫດກຳນທ່ີເຮົຳຈະຈັບໄດ້ສະຫຼຳກໝຳຍເລກ 200 ເນີ່ອງຈຳກສະຫຼຳກມີທັງໝົດ 300 ໃບ ດງ່ັ ນືນ້ັ , n(S) = 300 ແລະ ມີສະຫຳຼ ກໝຳຍເລກ 200 ຢູ່ 1 ໃບ ດັ່ງນນັື້ , n(E) = 1 ມີສດູ ຄິດໄລ່ດ່ັງນີື້ PE   nE  nS  1 300  0.0033 3.2.2 ວິທີສັງເກດຈຳກກຳນທົດລອງ. ຖ້ຳເຮຳົ ທດົ ລອງຊຳ້ ໆກນັ ພຳຍໃຕ້ເງ່ີອນໄຂດຽວກັນ N ເທອີ່ ແລະ ໄດ້ຜົນໄດ້ຮັບເປັນເຫດກຳນ A ເກີດ ຂືນ້ n ເທີ່ອ ຈະໄດ້ຄ່ຳກະຕວງຂອງເຫດກຳນ A ເປນັ ຄຳ່ ຄວຳມຖີ່ສຳພດັ n ເມີ່ອ N ມີຄ່ຳໃຫຍ່ ຂ້ືນ. N PA  lim n N N ຕົວຢ່ຳງ 3.2.2.1 ໃນກຳນໂຍນໝຳກກະລອັ ກ 1 ໜ່ວຍ 600 ເທີ່ອ, ອອກເລກ 1 ຈຳນວນ 95 ເທ່ີອ. ຈົັ່ງຊອກ ຫຳຄຳ່ ກະຕວງ ຂອງເຫດກຳນດັ່ງກຳ່ ວ. ບດົ ແກ້: P (ອອກເລກ 1 )  95  0.1583 600 ຄ່ຳກະຕວງເຫດກຳນທ່ີອອກເລກ 1 ຈຳນວນ 95 ເທີ່ອ ຈຳກກຳນໂຍນໝຳກກະລອັ ກ 1 ໜວ່ ຍເທົ່ຳັ 0.1583 ຕົວຢ່ຳງ 3.2.2. 2 ຈຳກກຳນສຳຫຼວດຄົນມຳເຮັດວຽກຂອງພະນັກງຳນ 100 ຄົນ ຂອງບລິສັດແຫ່ງໜີ່ງ. ເວລຳ ເຂ້ືົຳເຮດັ ວຽກແມ່ນ 8:00 ປຳກົດວຳ່ ມີຜູ້ມຳຮອດບອ່ ນເຮດັ ວຽກກ່ອນ 7:50 ມີ 80 ຄົນ, ເມີ່ອເລີ່ອກພະນັກງຳນ ຂອງບລສິ ດັ ນືໂີ້ ດຍບ່ໍເຈຳະຈງົ ມຳ 1 ຄນົ . ຄຳ່ ກະຕວງທ່ີພະນກັ ງຳນ ຜູ້ນ້ມືີ ຳຮອດບອ່ ນເຮັດວຽກກ່ອນ 7:50 ວທິ ີແກ້: P (ພະນກັ ງຳນຜໃູ້ ດຜ້ໜູ ່ີງຈະມຳຮອດບ່ອນເຮດັ ວຽກກ່ອນ 7:50)  80  0.8 100 ກດິ ຈະກຳ 1. ຈັບໃພ່ 2 ໃບ ຈຳກໄພ່ສຸ່ມໜ່ງີ . ຈັົ່ງຊອກຫຳຄຳ່ ກະຕວງ ກ. ໄດ້ແຕມ້ ນ້ຳໂລ 1 ໃບ ແລະ ນືຳ້ ບິກ 1 ໃບ 46

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ຂ. ໄດ້ໄພ່ສີດຽວກັນ ຄ. ໄດ້ແຕ້ມ 10 ທງັ 2 ໃບ 2. ຈຳກກຳນໂຍນເງີນຫຽຼ ນ 2 ຫຽຼ ນ 1 ຄງັ້ື ຈັ່ງົ ຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງທວ່ີ ຳ່ ກ. ໜ້ຳຄກັນທັງຄູ່ ຂ. ຫວົ ຢ່ຳງໜ້ອຍ 1 ຫຼຽນ 3.3 ຄຳ່ ກະຕວງຂອງສອງເຫດກຳນທີ່ບ່ໍມີອົງປະກອບຮວ່ ມ. ຖ້ຳ E1 , E2 , E3 ,......, En ແມ່ນເຫດກຳນທບີ່ ສໍ່ ຳມຳດເກດີ ຂນ້ື ພ້ອມກນັ ຈະໄດ້: ກ. PE1  E2  E3 ....... En   PE1 PE2  PE3  ..... PEn  ຂ. E1  E2    ຫກັຼ ເກນ ເມ່ີອ E1 ແລະ E2 ເປນັ ເຫດກຳນເຊ່ີິງ - E1  E2  PE1  PE2  - PE2  E1  PE2  PE1 - PE 1 PE ເມີ່ອ E1 ແລະ E2 ແມນ່ ເຫດກຳນທັົ່ວໄປ - PE1  E2   PE1 PE2  PE1  E2  ຕົວຢ່ຳງ 3.3.1 ໃຫ້ E1 ແລະ E2 ເປັນເຫດກຳນບ່ໍເກີດພ້ອມກັນ ແລະ PE1  0.4 , PE2   0.5 ຈົັ່ງ ຊອກຫຳ ກ. PE1  E2  PE1  E2   PE1   PE2   PE1  E2   0.4  0.5  0  0.9 ຂ. PE1 PE1   PS   PE1   1  0.4  0.6 ຄ. PE1  E2  PE1  E2   PE2   PE1  E2   0.5  0  0.5 ງ. PE1  E2  47

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 PE1  E2   PE1  0.4 ກິດຈະກຳ 1. ໂຮງງຳນຜະລິດກຳເຟສຳເລັດຮູບແບບແກ້ວອອກຈຳໜ່ຳຍ ລະບຸໄວ້ຂ້ຳງແກ້ວວ່ຳ ນ້ຳໜັກ 100 ກຣຳມ, ຖ້ຳ ທຳງໂຮງງຳນເລອກກຳເຟມຳກວດສອບນ້ຳໜັກ 4000 ແກ້ວ ໄດ້ຂ້ໍມູນດັ່ງຕຳຕະລຳງ (ກຳນບັນຈຸປະລິມຳນ ກຳເຟ) ນ້ຳໜກັ ຈຳນວນກຳເຟ (ແກວ້ ) ຕ່ຳໍ ກວຳ່ 100 ກຣຳມ 100 100 ກຣຳມ 3600 ສູງກວຳ່ 100 ກຣຳມ 300 ລວມ 4000 ກ. ຈັົ່ງຊອກຫຳໂອກຳດທ່ີກຳເຟແກວ້ ໜງ່ີ ທີ່ຜະລິດໂຮງງຳນນີື້ ຈະມີນໍ້ຳໜັກຕຳກວຳ່ ຫຼ ສູງກວ່ຳ 100 ກຣຳມ. ຂ. ຈງົັ່ ຊອກຫຳໂອກຳດທີກ່ ຳເຟແກ້ວດັງ່ ກວ່ຳຈະມີນ້ຳໜກັ ຕຳມທີ່ລະບຸໄວ້. 3.4 ຄຳ່ ກະຕວງຂອງສອງເຫດກຳນທ່ີມີອົງປະກອບຮວ່ ມ. ກ. ສຳລບັ ທກຸ ໆເຫດກຳນ E : 0  PE 1 ຂ. ສຳລັບເຫດກຳນທແີ່ ນ່ນອນ S : PS 1 , P  0  ຫກຼັ ເກນ 0  PE 1 - ສຳລບັ ທກຸ ໆເຫດກຳນ E : - ສຳລບັ ເຫດກຳນທແີ່ ນນ່ ອນ S : P  0 - ຖ້ຳ E1 ແລະ E2 ເປັນສອງເຫດກຳນໃດໜ່ງີ PE1  E2   PE1 PE1  E2  - ຖ້ຳ E1 ແລະ E2 ເປັນສອງເຫດກຳນໃດໜງ່ີ PE1  E2   PE1 PE2  PE1  E2  ຈຳກຫຼັກເກນນີ້ື ສຳມຳດຂະຫຍຳຍເຫດກຳນໄປໄດ້ເຖິງ n ເຫດກຳນເຊັ່ນ: n=3 ໃຫ້ເຫດກຳນ A , B ແລະ C ເປັນເຫດກຳນໃດໆໃນຈກັ ກະວຳນຕົວຢ່ຳງ S PA B C  PA PB PC PA B PAC PB C PA B C ຕວົ ຢ່ຳງ 3.4.1 ຈົ່ັງຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງ ຂອງເຫດກຳນທີ່ຈະໄດ້ຜົນບວກຂອງສອງໜ້ຳໝຳກກະລັອກ ເປັນ 7 ແຕມ້ ຫຼ 11 ແຕມ້ ຈຳກກຳນໂຍນໝຳກກະລັອກ 2 ໜ່ວຍພອ້ ມກັນ. ບົດແກ້: S  1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 4 , 1 , 5 , 1 , 6 , 2 , 1 , 2 , 2 , 2 , 3 , 2 , 4 2 , 5 , 2 , 6 , 3 , 1 , 3 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 3 , 5 , 3 , 6 , 4 , 1 , 4 , 2 4 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 4 , 6 , 5 , 1 , 5 , 2 , 5 , 3 , 5 , 4 , 5 , 5 , 5 , 6 6 , 1 , 6 , 2 , 6 , 3 , 6 , 4 , 6 , 5 , 6 , 6 48

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ໃຫ້ E1 ແມ່ນເຫດກຳນທຜ່ີ ນົ ລວມອອກ 7 E2 ແມ່ນເຫດກຳນທຜີ່ ນົ ລວມອອກ 11 E1  1 , 6 , 2 , 5 , 3 , 4 ,4 , 3 , 5 , 2 , 6 , 1 nE1  6 , PE1   6  1 36 6 E2  5 , 6 , 6 , 5 nE2   2 , PE2   2  1 36 18 PE1  E2   PE1   PE2   PE1  E2   1 1 0 6 18 2 9 ຄ່ຳກະຕວງຂອງເຫດກຳນທີ່ຈະໄດ້ຜົນບວກຂອງສອງໜ້ຳເທົ່ັຳ 7 ຫຼ 11 ຈຳກກຳນໂຍນໝຳກກະລັອກ 2 ໜ່ວຍພອ້ມເທົຳັ່ ກບັ 2 9 ຕົວຢ່ຳງ 3.4.2 ໃນກຳນໂຍນໝຳກກະລັອກ 2 ໜ່ວຍ 1 ເທີອ່ ຈົງັ່ ຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງຂອງເຫດກຳນທວ່ີ ຳ່ : ກ. ໝຳກກະລອັ ກອອກເລກຄກນັ ຂ. ອອກເລກ 1 ແລະ 6 ຄ. ຜນົ ບວກຂອງເລກທອ່ີ ອກເທັຳ່ົ 12 ບົດແກ້: S  1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 4 , 1 , 5 , 1 , 6 , 2 , 1 , 2 , 2 , 2 , 3 , 2 , 4 2 , 5 , 2 , 6 , 3 , 1 , 3 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 3 , 5 , 3 , 6 , 4 , 1 , 4 , 2 4 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 4 , 6 , 5 , 1 , 5 , 2 , 5 , 3 , 5 , 4 , 5 , 5 , 5 , 6 6 , 1 , 6 , 2 , 6 , 3 , 6 , 4 , 6 , 5 , 6 , 6 ກ. E  1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 nE  6  PE  6  1 36 6 ຂ. E  1 , 6 , 6 , 1 nE  2  PE  2  1 36 18 ຄ. E  6 , 6 nE 1  PE  1 36 49

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ກດິ ຈະກຳ 1. ໃນກຳນໂຍນໝຳກກະລັອກ 1 ໜ່ວຍ 1 ເທີອ່ ໃຫ້ A ແທນເຫດກຳນທີ່ອອກເລກຄູ່ ແລະ B ແທນເຫດກຳນ ທ່ີອອກເລກໜອ້ ຍກວ່ຳ ຫຼ ເທຳົັ່ ກບັ 3 ຈັງ່ົ ຊອກຫຳ PA B 2. ໃນກຳນໂຍນໝຳກກະລັອກ 1 ໜ່ວຍ 1 ເທີ່ອ ໃຫ້ A ແທນເຫດກຳນທີ່ອອກເລກຄີກ ແລະ B ແທນ ເຫດກຳນທີອ່ ອກເລກໜ້ອຍກວຳ່ 4 ແລະ C ແທນເຫດກຳນອອກເລກ 3 ຫຼ 4 ຈົງ່ັ ຊອກຫຳ PA  B C 3.5 ຄ່ຳກະຕວງທີ່ມເີ ງີອ່ ນໄຂ ຖ້ຳວ່ຳ ມີ 2 ເຫດກຳນທມີ່ ກີ ຳນພວົ ພນັ ກັນ ຫຼ ເຫດກຳນທັງສອງນັ້ືນບ່ໍເປັນເອກະລຳດຕ່ໍກັນແລ້ວ, ຄ່ຳກະ ຕວງຂອງເຫດກຳນໜີ່ງຈະເກດີ ຂືນ້ ເມ່ີອຮູ້ວ່ຳມີເຫດກຳນໜີ່ງເກີດຂ້ືນກ່ອນແລ້ວ ແລະ ມີເຫດກຳນຕໍ່ເຫດກຳນ ນັືນ້ ເອື້ີນວ່ຳ: ຄ່ຳກະຕວງມເີ ງອ່ີ ນໄຂ ຖ້ຳວ່ຳ A ແລະ B ເປັນເຫດກຳນໃດໆ ໃນຈັກກະວຳນຕົວຢ່ຳງ ຄ່ຳກະຕວງທີ່ຈະເກີດເຫດກຳນ A ໂດຍມີເງ່ີອນໄຂວຳ່ ເຫດກຳນ B ໄດ້ເກີດຂ້ນື ແລ້ວ ຄ PA/ B ໂດຍທ່ີ: PA / B  PA  B ເຊງ່ີິ ວ່ຳ PB  0 PB ໃນທຳນອງດຽວກັນ ຄຳ່ ກະຕວງທີ່ຈະເກີດເຫດກຳນ B ໂດຍມີເງ່ີອນໄຂວ່ຳ ເຫດກຳນ A ໄດ້ເກີດຂື້ນ ແລ້ວ ຄ PB / A ໂດຍທີ:່ PB / A  PA  B ເຊ່ງິີ ວຳ່ PA  0 PA ເຫດກຳນທ່ມີ ກີ ຳນພົວພນັ ກັນບ່ໍຈຳເປັນເກີດຂື້ນຮ່ວມກັນ, ຖ້ຳວ່ຳ A ແລະ B ເປັນເຫດກຳນທີ່ມີກຳນ ພວົ ພັນ ຫຼ ບເ່ໍ ປນັ ເອກະລຳດຕ່ໍກນັ ແລວ້ A ແລະ B ອຳດເປັນເຫດກຳນທີ່ເກີດຂ້ືນຮ່ວມກັນບໍ່ໄດ້ ຫຼ A ແລະ B ອຳດເປນັ ເຫດກຳນທີ່ເກີດຂນ້ື ຮວ່ ມກນັ ໄດ.້ ຖຳ້ ວ່ຳ A ແລະ B ເປັນເຫດກຳນໃດໆ ໃນຈັກກະວຳນຕວົ ຢຳ່ ງ ແລ້ວຈະໄດ້ວ່ຳ: PA B  PAPB / A  PBPA/ B ແຕຖ່ ້ຳວຳ່ A ແລະ B ເປັນເອກະລຳດຕ່ໍກັນຈະໄດ້ວ່ຳ PA B  PAPB ຖ້ຳວ່ຳ A1 , A2 , ... , An ເປນັ ເຫດກຳນໃນຈກັ ກະວຳນຕວົ ຢຳ່ ງແລວ້ ຈະໄດ:້ PA1  A2 ... An   PA1PA2 / A1PA3 / A1  A2 ...PAn / An1  An2...A2 A1 ແຕ່ຖຳ້ A1 , A2 , ... , An ເປັນເອກະລຳດຕກໍ່ ນັ ຈະໄດ້ PA1  A2 ... An   PA1PA2 PA3  ... PAn  ຕວົ ຢຳ່ ງ 3.5.1 ໃນກຳນໂຍນໝຳກກະລັອກສອງໜວ່ ຍ 1 ເທອ່ີ . ຈົ່ັງຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງທີ່ແຕ້ມລວມຂອງໝຳກ ກະລັອກເທ່ັຳົ 6 ເມີ່ອກຳນດົ ໃຫ້ໝຳກກະລັອກອອກແຕມ້ ບເໍ່ ທົຳ່ັ ກນັ . ບດົ ແກ້: ວຳງ A ແມນ່ ເຫດກຳນທຜີ່ ົນລວມອອກ 6 B ແມ່ນເຫດກຳນທຜີ່ ນົ ລວມອອກແຕມ້ ຕ່ຳງກນັ . S  1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 4 , 1 , 5 , 1 , 6 , 2 , 1 , 2 , 2 , 2 , 3 , 2 , 4 2 , 5 , 2 , 6 , 3 , 1 , 3 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 3 , 5 , 3 , 6 , 4 , 1 , 4 , 2 50

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 4 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 4 , 6 , 5 , 1 , 5 , 2 , 5 , 3 , 5 , 4 , 5 , 5 , 5 , 6 6 , 1 , 6 , 2 , 6 , 3 , 6 , 4 , 6 , 5 , 6 , 6 A  1 , 5 , 2 , 4 , 3 , 3 , 4 , 2 , 5 , 1 5 B  1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 4 , 1 , 5 , 1 , 6 , 2 , 1 , 2 , 3 , 2 , 4 , 2 , 5 , 2 , 6 3 , 1 , 3 , 2 , 3 , 4 , 3 , 5 , 3 , 6 , 4 , 1 , 4 , 2 , 4 , 3 4 , 5 , 4 , 6 5 , 1 , 5 , 2 5 , 3 , 5 , 4 , 5 , 6 , 6 , 1 , 6 , 2 , 6 , 3 , 6 , 4 , 6 , 5 PA B  4 , PA  5 , PB  30 36 36 36 PA  B 4 PB PA / B   36  4  0.1333 30 30 36 ຄ່ຳກະຕວງທແີ່ ຕ້ມລວມຂອງໝຳກກະລັອກເທົ່ຳັ 6 ແມນ່ 0.1333 ຕົວຢ່ຳງ 3.5.2 ຈັບໄພ 2 ເທ່ີອ, ເທ່ີອລະ 1 ໃບ ຈຳກໄພສູ່ມໜ່ີງໂດຍບ່ໍເອົຳໃສ່ກັບຄນໃນກຳນຈັບເທີ່ອທຳອິດ, ກອ່ ນທຈ່ີ ະຈັບເທອ່ີ ທສີ່ ອງ. ຈົັງ່ ຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງທຈ່ີ ະໄດ້ໄພນ້ຳບິດທັງ 2 ໃບ. ບົດແກ້: ວຳງ A ແມ່ນເຫດກຳນຈບັ ໄດ້ນຳ້ ບິດ ຄັືງ້ ທີ 1 B ແມນ່ ເຫດກຳນຈັບໄດ້ນ້ຳບດິ ຄງືັ້ ທີ 2 PB / A  PA  B  PA  B  PA PB / A PA PA  13 , PB / A  12 52 51 PA  B  13  12  1  0.0588 52 51 17 ຄ່ຳກະຕວງທຈີ່ ະໄດ້ໄພນຳ້ ບິດທງັ 2 ໃບແມນ່ 0.0588 ກດິ ຈະກຳ 1. ໃຫ້ PA B  0.48 ແລະ PB  0.80 ຈັງົ່ ຊອກຫຳ PA/ B 2. ມີໝຳກບຳນ 3 ໜ່ວຍ ໝຳຍເລກ 1 ເຖິງເລກ 3 ຢູ່ໃນຖງົ ປນົ ກັນຢູ່ ກ. ຖຳ້ ຈັບໝຳກບຳນມຳ 3 ໜວ່ ຍ ຄ້ງືັ ລະໜວ່ ຍ ໂດຍວິທີເລອກຕວົ ຢຳ່ ງແບບຄນບ່ອນ ຈົ່ັງຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງທ່ີ ຈະຈບັ ໝຳກບຳນໄດໝ້ ຳຍເລກ 1, 2 ແລະ 3 ລຽນກນັ . ຂ. ຖ້ຳຈບັ ໝຳກບຳນມຳ 2 ໜວ່ ຍ ຄງັ້ື ລະໜ່ວຍ ໂດຍວິທີເລອກຕົວຢ່ຳງແບບບ່ໍຄນບ່ອນ ຈົັ່ງຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງ ທີຈ່ ະຈັບໝຳກບຳນໄດໝ້ ຳຍເລກ 3 ແລະ 1 ຕຳມລຳດບັ . 3.6 ຄຳ່ ກະຕວງຂອງສອງເຫດກຳນທີ່ເອກະລຳດຕກໍ່ ນັ ໃນກລະນີ 2 ເຫດກຳນເກດີ ຂື້ນ ຜນົ ຂອງກຳນເກີດເຫດກຳນທຳອິດອຳດຈະມີຜົນ ຫຼ ບ່ໍມີຜົນຕໍ່ເຫດກຳນ ທີ່ສອງກໄດ້ ຖ້ຳຜົນຂອງກຳນເກີດເຫດກຳນທຳອິດບໍ່ມີຜົນຕ່ໍເຫດກຳນທີສອງຈະຖວ່ຳ ເຫດກຳນທັງສອງເປັນ ເອກະລຳດຕໍ່ກັນ. ຄ່ຳກະຕວງທີ 2 ເຫດກຳນ A ແລະ B ທີ່ເປນັ ເອກະລຳດຕ່ກໍ ັນຄ 51

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 PA B  PAPB ຕວົ ຢ່ຳງ 3.6.1 ໃນກຳນໂຍນເງນິ ຫຽຼ ນ 1 ຫຼຽນ 2 ເທອ່ີ . S  HH , HT , TH , TT A ແມ່ນເຫດກຳນທຫີ່ ຼຽນອອກຫົວ ຄັື້ງທີ່ 1 S  HH , HT B ແມ່ນເຫດກຳນທຫີ່ ຽຼ ນອອກກອ້ ຍ ຄ້ງັື ທ່ີ 2 S  HT , TT C ແມນ່ ເຫດກຳນທຫ່ີ ຽຼ ນອອກຫວົ ທງັ ສອງຄ້ືງັ S  HH ຈັົງ່ ຊແ້ືີ ຈງວຳ່ A ແລະ B , A ແລະ C , B ແລະ C ເອກະລຳດຕ່ໍກນັ ບົດແກ້:  ຊື້ີແຈງວຳ່ A ແລະ B PA  B 1 PB PA  2  1 , PA / B   4  1 1 2 42 2 ສະແດງວ່ຳ A ແລະ B ເອກະລຳດຕກໍ່ ນັ  ຊ້ືີແຈງວຳ່ A ແລະ C PA  C 1 PC  PA  2  1 , PA/ C   4 1 1 42 4 ສັງເກດເຫນັ ວຳ່ PA  PA/ Cສະແດງວ່ຳ A ແລະ C ບເ່ໍ ອກະລຳດຕ່ໍກັນ  ຊ້ືີງແຈງວ່ຳ B ແລະ C PB  2  1 , PB / C  PB  C  0  0 PC  1 42 4 ສງັ ເກດເຫນັ ວຳ່ PB  PB / Cສະແດງວ່ຳ B ແລະ C ບເໍ່ ອກະລຳດຕໍ່ກນັ ຕົວຢຳ່ ງ 3.6.2. ໂຍນໝຳກກະລອັ ກສດີ ຳ 1 ໜວ່ ຍ ແລະ ສີຂຳວ 1 ໜ່ວຍ. ໃຫ້ A ເປນັ ເຫດກຳນທໜີ່ ວ່ ຍໝຳກກະລອັ ກສດີ ຳອອກເລກ 3 B ເປນັ ເກດກຳນທຜີ່ ນົ ບວກຂອງເລກທອ່ີ ອກເປນັ ເລກຄກີ . ຈົ່ັງຊແ້ືີ ຈງໃຫເ້ ຫນັ ວຳ່ A ແລະ B ເປນັ ເຫດກຳນທເ່ີ ປັນເອກະລຳດຕໍ່ກນັ . ບດົ ແກ້: S  1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 4 , 1 , 5 , 1 , 6 , 2 , 1 , 2 , 2 , 2 , 3 , 2 , 4 2 , 5 , 2 , 6 , 3 , 1 , 3 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 3 , 5 , 3 , 6 , 4 , 1 , 4 , 2 4 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 4 , 6 , 5 , 1 , 5 , 2 , 5 , 3 , 5 , 4 , 5 , 5 , 5 , 6 6 , 1 , 6 , 2 , 6 , 3 , 6 , 4 , 6 , 5 , 6 , 6 A  3 , 1 , 3 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 3 , 5 , 3 , 6 B  1 , 2 , 1 , 4 , 1 , 6 , 2 , 1 , 2 , 3 , 2 , 5 , 3 , 2 , 3 , 4 , 3 , 6 , 4 , 1 4 , 3 , 4 , 5 , 5 , 2 , 5 , 4 , 5 , 6 , 6 , 1 , 6 , 3 , 6 , 5 52

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 A  B  3 , 2 , 3 , 4 , 3 , 6 PA  B  3 , PA  6  1 , PB  18  1 ເຫັນວຳ່ PA B  PA PB 36 36 6 36 2 PA PB  1  1  1 6 2 12 ດງ່ັ ນັນ້ື , A ແລະ B ເປນັ ເຫດກຳນທເີ່ ປນັ ເອກະລຳດຕໍ່ກັນ. ກດິ ຈະກຳ. 1. ໃນກຳນໂຍນເງນິ ຫຼຽນ 1 ຫຽຼ ນ 3 ຄ້ືັງ ໂດຍທີຫ່ ຽຼ ນມີໂອກຳດອອກຫົວແຕ່ລະຄັື້ງເທົ່ັຳ 0.7 ຈົັ່ງຊອກຫຳຄ່ຳກະ ຕວງທີ:່ ກ. ອອກຫົວທງັ 3 ຄັື້ງ. ຂ. ອອກຫວົ 2 ຄງື້ັ ແລະ ອອກກ້ອຍ 1 ຄ້ງືັ . 3.7 ຄ່ຳກະຕວງທ່ີນຳໃຊ້ກດົ ກຽ່ ວກັບກຳນນັບ. 3.7.1 ຫຼກັ ກຳນນັບງ່ຳຍດຳຍ. ຖ້ຳເຮົຳເລີ່ມນັບຈຳນວນແຕ່ m ທີ່ຖັດຫັນໄປຈົນເຖິງຈຳນວນ n ເຊິ່ີງວ່ຳ m  n ແມ່ນຈຳນວນທັງ ໝດົ ມີ N  n  m 1 ຕົວຢຳ່ ງ 3.7.1.1 ຈະມຈີ ັກຈຳນວນຖ້ວນບວກແຕ່ 1 ເຖງິ 120 ບົດແກ້: ໃຊວ້ ິທີກຳນນັບແບບງ່ຳຍດຳຍໄດເ້ ຊນ່ັ : 1 , 2 , 3 ,……,120 ຈະມທີ ງັ ໝດົ 120 ຈຳນວນ ຕົວຢ່ຳງ 3.7.1.2 ຈະມຈີ ັກຈຳນວນຖວ້ ນບວກແຕ່ 15 ຫຳ 99 ບົດແກ້: ໃຊວ້ ທິ ີນບັ ແບບງ່ຳຍດຳຍ 15 , 16 , 17 ,……………., 99 ຈຳນວນທີ 1 , 2 , 3 ,…………..…, 85 ຊີ່ິງວ່ຳ 85 = 99 – 15 + 1 3.7.2 ຫກຼັ ກຳນບວກ. ຖ້ຳກຳນນັບສີິງ່ ຂອງ ຫຼ ກຳນປະຕບິ ັດໃນກ່ມຸ ທີ່ 1 ສຳມຳດເຮັດໄດ້ n ວິທີ, ຖ້ຳກຳນນັບສິີ່ງຂອງ ຫຼ ກຳນ ປະຕິບັດໃນກຸ່ມທີ່ 2 ສຳມຳດເຮັດໄດ້ m ວິທີ. ໂດຍກຳນປະຕິບັດທັງ 2 ກຸ່ມບໍ່ເກີດພ້ອມກັນໃນໄລຍະເວລຳ ດຽວກັນ ແມ່ນຈຳນວນທງັ ໝດົ ແມນ່ N  n  m ຕວົ ຢຳ່ ງ 3.7.2.1 ສົມມດຸ ເຮົຳເລີ່ອກຜູ້ຕຳງໜ້ຳຂອງຫ້ອງ 1 ຄົນ ຈຳກບນັ ດຳໜວ່ ຍຕຳ່ ງໆທີ່ມີຈຳນວນຄ ໜ່ວຍທີ 1 ມີ 7 ຄນົ , ໜ່ວຍທີ 2 ມີ 6 ຄນົ , ໜວ່ ຍທີ 3 ມີ 6 ຄນົ , ໜວ່ ຍທີ 4 ມີ 7 ຄົນ, ໜ່ວຍທີ 5 ມີ 8 ຄົນ ຖຳມວ່ຳ ຈະມຈີ ກັ ວທິ ີເລີ່ອກ. ບົດແກ້: ເລ່ອີ ກ 1 ຄົນ ຈຳກໜວ່ ຍທີ 1 ຈະເຮດັ ໄດ້ 7 ວທິ ີ ຫຼ ເລີອ່ ກ 1 ຄນົ ຈຳກໜ່ວຍທີ 2 ຈະເຮັດໄດ້ 6 ວທິ ີ ຫຼ ເລ່ອີ ກ 1 ຄົນ ຈຳກໜວ່ ຍທີ 3 ຈະເຮດັ ໄດ້ 6 ວທິ ີ ຫຼ ເລີ່ອກ 1 ຄົນ ຈຳກໜວ່ ຍທີ 4 ຈະເຮັດໄດ້ 7 ວິທີ ຫຼ 53

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ເລີ່ອກ 1 ຄນົ ຈຳກໜ່ວຍທີ 5 ຈະເຮັດໄດ້ 8 ວິທີ ສະນນ້ືັ , ຈະມີວິທີເລ່ອີ ກທງັ ໝົດແມນ່ N  7  6  6  7  8  34 ວທິ ີ 3.7.3 ຫັຼກກຳນຄນູ . ຖ້ຳວ່ຳສິີ່ງທີ 1 ສຳມຳດເຮັດໄດ້ n1 ວິທີທີ່ແຕກຕ່ຳງກັນ ສິ່ີງທີ 2 ສຳມຳດເຮັດໄດ້ n2 ວິທີທີ່ແຕກຕ່ຳງກັນ ແລະ ສ່ງີິ ສຸດທຳ້ ຍສ່ງີິ ທີ k ສຳມຳດເຮັດໄດ້ nk ວທິ ີແຕກຕຳ່ ງກັນ, ໃນກລະນີນື້ີ k ສິງີ່ ດັງ່ ກຳ່ ວເຮດັ ໄດ້ N  n1  n2 ...... nk ຕວົ ຢຳ່ ງ 3.7.3.1 ສົມມຸດນັກສກສຳຜູ້ໜີ່ງມີສົ້ືງ 2 ໂຕ, ເສ້ືອ 3 ໂຕ, ກຳລະວັດ 2 ອັນ ແລະ ເກີບ 4 ຄູ່. ຖ້ຳວ່ຳ ນກັ ສກສຳຜນູ້ ືັນ້ ຈະມວີ ທິ ີທັງໝົດຈັກວິທີເລອ່ີ ກນຸ່ງເຄີອ່ ງທແີ່ ຕກກັນ. ບົດແກ້: ເຮຳົ ສຳມຳດເລີ່ອກໄດດ້ ັ່ງນ.້ືີ - ເລອ່ີ ກສງົື້ ສຳມຳດເຮດັ ໄດ້ 2 ວທິ ີ ແລະ - ເລອ່ີ ກເສອ້ື ສຳມຳດເຮດັ ເຮດັ ໄດ້ 3 ວິທີ ແລະ - ເລີອ່ ກກຳລະວດັ ສຳມຳດເຮດັ ໄດ້ 2 ວິທີ ແລະ - ເລ່ີອກເກບີ ສຳມຳດເຮດັ ໄດ້ 4 ວິທີ ສະນ້ນືັ , ວທິ ີທັງໝດົ ຈະແມ່ນ N  2 3 2 4  48 ວິທີ (ຊດຸ ) 54

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ບດົ ເຝກິ ຫັດ 1. ປະຊຳກອນກຸ່ມໜີ່ງມີສະມຳຊິກທັງໝົດ 5 ຕົວ A B C D ແລະ E ຖ້ຳສຸ່ມຕົວຢ່ຳງຈຳກປະຊຳກອນກຸ່ມນື້ີ ດວ້ ຍວິທເີ ລອກຕົວຢ່ຳງແບບສ່ມຸ ເຊັນດຽວໂດຍບ່ໍຄນທີ່ ແລະ ມີຂະໜຳດຂອງຕົວຢ່ຳງເທົ່ັຳກັບ 3 ຈົັ່ງຊອກຫຳຄ່ຳ ກະຕວງຂອງເຫດກຳນທວີ່ ່ຳຈະໄດຕ້ ົວອກັ ສອນຂນື້ ຕືນ້ົ ດວ້ ຍ A . 2. ໃນກຳນໂຍນເງິນຫຼຽນ 1 ຫຼຽນ 3 ເທີ່ອ ຈົ່ັງຊອກຫຳໂອກຳດທີ່ຈະອອກຫົວ 2 ເທີ່ອ ແລະ ອອກກ້ອຍ 1 ເທອີ່ . 3. ບລສິ ດັ ແຫ່ງໜ່ງີ ມີຕຳແໜງ່ ຫວຳ່ ງ 4 ຕຳແໜ່ງ ຊ່ີງມີຜູ້ສະໝັກ 9 ຄົນ ໃນນີ້ືເປັນຊຳຍ 5 ຄົນ ແລະ ຍິງ 4 ຄົນ ຖ້ຳທຸກຄນົ ມຄີ ວຳມຮູ້ຄວຳມສຳມຳດເທັ່ຳົ ໆກັນ ຜູ້ຈັດກຳນຝຳ່ ຍບກຸ ຄະລຳກອນຂອງບລິສັດ ຈ່ີງໃຊ້ວິທີຈົກສະຫຼຳກ ຈັົງ່ ຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງທຈ່ີ ະໄດພ້ ະນກັ ງຳນ. ກ. ຊຳຍ 2 ຄນົ ແລະ ຍິງ 2 ຄນົ . ຂ. ໄດຊ້ ຳຍທງັ 4 4. ຮວູ້ ່ຳຄວຳມສຳມຳດຂອງທີ່ທ້ຳວ ກ ຈະເສັງຜ່ຳນວິຊຳເລກ ເທົັ່ຳ 2/3, ຄວຳມສຳມຳດທີ່ຈະເສັງຜ່ຳນວິຊຳຟີຊິກ ເທົ່ັຳ 3/4 ແລະ ຄວຳມສຳມຳດທີ່ລຳວຈະເສັງຜ່ຳນທັງສອງວິຊຳນີື້ ເທົ່ັຳ 5/6. ຈົັ່ງຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງທີ່ ທ້ຳວ ກ ຈະເສັງຜ່ຳນຢຳ່ ງໜ້ອຍ 1 ວິຊຳທ່ີກຳ່ ວມຳຂ້ຳງເທງິ . 5. ເມອ່ີ ໂຍນໝຳກກະລັອກ 2 ໜ່ວຍ 1 ເທອີ່ , ຈົັ່ງຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງຂອງເຫດກຳນທີ່ວ່ຳ ຜົນບວກຂອງເລກທ່ີ ອອກ ຕອ້ ງແມ່ນ 8 ຫຼ 9. 6. ເຫດກຳນ A ແລະ B ເປັນເຫດກຳນເອກະລຳດຕໍ່ກັນ ຫຼ ບໍ່ ຫຼ ເປັນເຫດກຳນທີ່ເກີດຂ້ືນຮ່ວມກັນ ຫຼ ບໍ່ ຖ້ຳວ່ຳ: ກ. PA B  0.65 , PA  0.3 , PB  0.5 ຂ. PA B  0.6 , PA  0.2 , PB  0.4 7. ກັບອັນໜງີ່ ບນັ ຈຸດອກໄຟ 12 ດອກ ໂດຍມດີ ອກໄຟຂຳດປົນຢນູ່ ຳ 3 ດອກ ຈັບເອົຳດອກໄຟຈຳກກັບດັ່ງກ່ຳວ ມຳໂດຍບງັ ເອີນ 2 ດອກ ໂດຍກຳນຈບັ ເທອລະດອກ. ຈງ່ັົ ຊອກຫຳຄ່ຳກະຕວງທວີ່ ່ຳ: ກ. ໄດດ້ ອກໄຟຂຳດ ແລະ ດີ ຢ່ຳງລະ 1 ດອກ. ຂ. ໄດດ້ ອກໄຟຂຳດທັງ 2 ດອກ. ຄ. ໄດ້ດອກໄຟຂຳດຢ່ຳງໜອ້ ຍ 1 ດອກ. 55

ບດົ ທີ 4 ການແຈກຢາຍຄາ່ ກະຕວງ 4.1 ຕົວປຽ່ ນບັງເອີນ (Random Variable) ຕວົ ປຽ່ ນບັງເອນີ ແມ່ນຕົວປ່ຽນທີ່ບ່ໍຮູ້ຄ່າລ່ວງໜູ້າແນ່ນອນ, ຄ່າຂອງຕົວປ່ຽນບັງເອີນເປັນຈານວນຈິງພຽງຄ່າ ໃດໜງີ່ ຊງ່ີ ຈະຂ້ນຶ ກບັ ຜນົ ຂອງການທດົ ລອງບັງເອີນ. ຕົວຢ່າງ 4.1.1 ຖູ້າວ່າໂຍນເງິນຫຼຽນ 2 ຫຼຽນ 1 ເທີ່ອ, ໂດຍທີ່ H ແທນຫຼຽນອອກຫົວ T ແທນຫຼຽນອອກກູ້ອຍ ຈະໄດູ້ຈັກກະວານຕົວຢ່າງ S  HH , HT , TH , TT ຖູ້າວ່າສົນໃຈສະເພາະຈານວນຫົວທີ່ອອກຈາກການ ໂຍນຂາູ້ ງເທງິ . ຈ່ງົ ຊອກຫາຈກັ ກະວານຕວົ ຢ່າງຂອງຕວົ ປ່ຽນບັງເອນີ . ວິທີແກ້:ູ ໃຫູ້ X ແທນຈານວນຫົວທ່ອີ ອກຈາກການໂຍນເງນິ ຫຽຼ ນ 2 ຫຽຼ ນ 1 ເທອ່ີ ດັ່ົງນຶນັ້ , X ຈະເປັນຕົວປ່ຽນບງັ ເອີນທມີ່ ີຄາ່ 0 , 1 , 2 ໂດຍທ່ີ ຜົນຈາກການໂຍນເງິນຫຼຽນ HH HT TH TT X 2 1 10 ຈັກກະວານຕົວຢ່າງຂອງຕວົ ປຽ່ ນບັງເອນີ X ຈະເປັນ S  0 , 1 , 2 ຕວົ ປຽ່ ນບັງເອີນແບ່ງອອກເປັນ 2 ຊະນິດຄ: ຕົວປ່ຽນບັງເອີນແບບບ່ໍຕ່ໍເນີ່ອງ ແລະ ຕົວປ່ຽນບັງເອີນແບບຕ່ໍ ເນ່ີອງ. 4.1.1 ຕົວປຽ່ ນບງັ ເອນີ ບຕໍ່ ່ເໍ ນີອ່ ງ. ຖູ້າຈກັ ກະວານຕົວຢ່າງໃດປະກອບດ້ວູ ຍເມັດຕົວຢ່າງທີ່ນັບຈານວນໄດູ້ຄົບຖູ້ວນ ຫຼ ອາດຈະເປັນຈັກກະວານ ຕົວຢ່າງທີເ່ ກດີ ຈາກການທດົ ລອງອນ່ີ ໆ ທີມ່ ຈີ ານວນອົງປະກອບຫຼາຍຕົວເຊນົັ່ : ການໂຍນໝາກກະລູ້ອກ 1 ໜ່ວຍ, 1 ເທ່ີອໄປເລ້ຶອຍໆຈົນກວ່າຈະອອກເລກ 5 ກສາມາດນັບຈານວນເມັດຕົວຢ່າງໄດູ້ເຊັົ່ນກັນ, ຈັກກະວານຕົວຢ່າງ ລັກສະນະນຶີ້ເອນີ ວ່າ: ຕວົ ປຽ່ ນບງັ ເອນີ ບຕໍ່ ໍ່ເນີອ່ ງ. ໂດຍທົ່ວໄປແລູ້ວ ຕົວປ່ຽນບັງເອີນບໍ່ຕໍ່ເນີ່ອງຈະແທນດູ້ວຍຂ້ໍມນທີ່ເປັນຈານວນຖູ້ວນບວກເຊັ່ົນ: ຈານວນ ນກັ ຮຽນ, ຈານວນຄ, ຈານວນປ້ຶມ, ... 4.1.2 ຕົວປ່ຽນບງັ ເອີນຕໍເ່ ນີອ່ ງ. ຖູ້າຫາກຈັກກະວານຕົວຢ່າງໃດປະກອບດ້ວູ ຍຈານວນເມັດຕວົ ຢ່າງ ຫຼ ຈານວນອົງປະກອບທີ່ບໍ່ແມ່ນຈານວນ ຖວູ້ ນເຊົນ່ັ : ຄວາມສງ, ນາ້ ໜັກ, ຄະແນນສະເລຍ່ ຂອງນັກຮຽນ ທັງໝົດນີ້ເຶ ອ້ນີຶ ວາ່ : ຕົວປ່ຽນບງັ ເອີນຕໍເ່ ນອ່ີ ງ. ໂດຍທົ່ວໄປແລູ້ວ ຕົວປ່ຽນບັງເອີນຕ່ໍເນ່ີອງຈະແທນດູ້ວຍຂໍ້ມນທີ່ເປັນຈານວນຈິງເຊັ່ົນ: ລວງຍາວຂອງ ໄມູ້ບັນທັດ, ໄລຍະເວລາຂອງການເດນີ ທາງ, ... ກດິ ຈະກາ 1: ການຊອກຫາຄ່າທງັ ໝດົ ທີເ່ ປນັ ໄປໄດ້ຂູ ອງຕົວປຽ່ ນບງັ ເອນີ - ຈ່ົງຊອກຫາຄາ່ ທີ່ເປນັ ໄປໄດູ້ທງັ ໝົດຂອງຕວົ ປ່ຽນບັງເອີນຕ່ໄໍ ປນີຶ້: ກ. Y ເປັນຈານວນຜົນບວກທີ່ອອກຈາກການໂຍນໝາກກະລອູ້ ກ 2 ໜວ່ ຍ, 1 ເທ່ອີ . ຂ. X ເປັນຈານວນກ້ອູ ຍທ່ີອອກຈາກການທົດລອງໂຍນເງນີ ຫຼຽນ 3 ຫຼຽນ 1 ເທ່ີອ.

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 4.2 ຕາລາການແຈກຢາຍຄາ່ ກະຕວງຂອງຕວົ ປ່ຽນບງັ ເອນີ . 4.2.1 ການແຈກຢາຍຂອງຕວົ ປຽ່ ນບັງເອີນຊະນດິ ບໍຕ່ ່ໍເນອ່ີ ງ. ນຍິ າມ: ການດົ ໃຫູ້ X ແມ່ນຕົວປ່ຽນບັງເອີນຊະນິດບ່ໍຕໍ່ເນ່ີອງ, x ແມ່ນຄ່າໜ່ີງຂອງຕົວປ່ຽນດັ່ົງກ່າວ PX  x ໝາຍເຖິ່ີງຄ່າກະຕວງຂອງຕົວປ່ຽນ X ເມ່ີອ X ເທົ່າກັບ x ແລະ ການົດໃຫູ້ PX  x  f x ແມ່ນຕາລາ ການແຈກຢາຍຄາ່ ກະຕວງຂອງຕົວປຽ່ ນບັງເອີນຊະນິດບ່ຕໍ ເໍ່ ນ່ີອງ ເຮາົ ຈະໄດູ້ຄນຸ ລກັ ສະນະຕ່ໍໄປນ.ີ້ຶ ກ. f x  0 ; x  R n ຂ.  f x  1 x ຄ. PX  x  f x ຕວົ ຢາ່ ງ 4.2.1.1 ຈົ່ງຂຽນຕາລາກະຕວງຂອງ X ເຊິ່ີງ X ແມ່ນຈານວນເທ່ີອທີ່ອອກຫົວໃນການທົດລອງໂຍນເງີນ ຫຼຽນ 2 ຫຽຼ ນ 1 ເທ່ອີ . ບດົ ແກູ້: ຈກັ ກະວານຕົວຢ່າງໃນການທດົ ລອງໂຍນເງີນຫຽຼ ນ 2 ຫຽຼ ນ 1 ເທີ່ອແມນ່ : HH , HT , TH , TT ເຮົາມີ PHH  1 ; PHT  1 ; PTH   1 ; PTT   1 44 44 ດ່ົງັ ນ້ນຶັ , ຈະໄດູ້ PX  0  PTT   1 4 PX  1  PHT   PTH   1  1  1 44 2 PX  2  PHH   1 4 ຕາລາກະຕວງຂອງ X ສາມາດສະແດງດວູ້ ຍຕາຕະລາງຕ່ໍໄປນຶ້:ີ X 0 1 2 1 1 1 f X   PX  x 4 2 4 ຕົວຢາ່ ງ 4.2.1.2 ໃນກບັ ໜີງ່ ມີໝາກບານສດີ າ 4 ໜ່ວຍ, ສີແດງ 3 ໜ່ວຍ. ເມ່ີອຈັບເອົາໝາກບານຈາກກັບນີຶ້ມາ 4 ໜວ່ ຍ ໂດຍບງັ ເອີນ ແລະ ໃຫູ້ X ເປັນຈານວນໝາກບານສີແດງທີ່ຈັບໄດູ້ ຈ່ົງຄິດໄລ່ຄ່າກະຕວງຂອງ X ບດົ ແກູ້: ຢາກໄດູ້ 4 ໜ່ວຍ X ແມນ່ ຈານວນໝາກບານສແີ ດງທ່ີຈັບໄດູ້ X 0,1, 2,3 ຄາ່ ກະຕວງຂອງ X ແຕ່ລະຄ່າໄດູ້ດົັງ່ ນ:ຶ້ີ f x  PX  x  CnxCnnx ເຊງິີ່ ວາ່ Cnx  Pnx  n! Cnx x! x!n  x! 57

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 4! 4! 4!4  4! - PX  0  C30C44   4! 1 C74 7! 7! 35 4!7  4! 4!3! C31C43 3!  4! 3! 3! 4! 12 C74 1! 3! 35 - f x  PX  1   1!3 1! 3!4    7! 7! 4!7  4! 4!3! C32C42 3! 2!  4! 2! 3!  4! 18 C74 2! 2!2! 35 - f x  PX  2   2!3  2!4    7! 7! 4!7  4! 4!3! C33C41 3! 3!  4! 3! 4! 4 C74 3! 3! 35 - f x  PX  3   3!3  1!4 1!   7! 7! 4!7  4! 4!3! ກິດຈະກາ 1. ຮາູ້ ນຂາຍລົດແຫງ່ ໜີງ່ ສາມາດຂາຍໄດູບ້ ໍ່ເກີນວັນລະ 4 ຄັນ, ຖູ້າສົນໃຈຈານວນລົດທີ່ຂາຍໄດູ້ຕໍ່ວັນ ຈະໄດູ້ດັ່ົງນີ້ຶ: ໃຫູ້ X ແມ່ນຈານວນລົດທີຂ່ າຍໄດ້ຕູ ວໍ່ ັນ, X ກເປນັ ຕົວປຽ່ ນບງັ ເອນີ ຊະນດິ ບໍຕ່ ເໍ່ ນອ່ີ ງທີ່ມີຄ່າ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ໂດຍ ທີ່ຈັກກະວານຕົວຢ່າງ S  0 , 1 , 2 , 3 , 4 ຖູ້າມີການເກັບຂ້ໍມນຈານວນລົດທີ່ຂາຍໄດູ້ໃນໄລຍະ 30 ວັນ ທ່ີ ຜາ່ ນມາເປັນດັງົ່ ຕາຕະລາງລຸ່ມນຶ:້ີ ຈານວນລດົ ທີ່ຂາຍໄດູ້ X  0 1 2 3 4 f X 12 8 4 4 2 30 30 30 30 30 ກ. ຈົ່ງຫາໂອກາດທີຈ່ ະຂາຍລດົ ໄດູ້ວນັ ລະບ່ຕໍ ່ໍາກວາ່ 2 ຄັນ. ຂ. ຈງົ່ ຫາໂອກາດທ່ີຈະຂາຍລົດໄດູ້ຕ້ຶງັ ແຕ່ 1 ຄັນ ຂນ້ຶ ໄປຕໍວ່ ນັ 2. ໜວ່ ຍງານໜ່ງີ ມີພະນກັ ງານຊາຍ 4 ຄົນ ແລະ ຍິງ 3 ຄນົ . ຫົວໜູ້າໜ່ວຍງານແຫ່ງນີ້ຶ ຕູ້ອງການໃຫູ້ພະນັກງານ 2 ຄົນ ເຮັດວຽກພິເສດອັນໜີ່ງ, ຖູ້າພະນັກງານທັງ 7 ຄົນ ນີ້ຶມີຄວາມຮູ້ຄວາມສາມາດເທົ່າໆກັນ ຫົວໜູ້າຈະເລອກ ພະນັກງານມາ 2 ຄນົ ໂດຍບັງເອີນ. ຈງົ່ ຊອກຫາການແຈກຢາຍຄ່າກະຕວງຂອງຈານວນພະນກັ ງານຍງິ ທ່ີຖກເລອກ. 4.2.2 ການແຈກຢາຍຂອງຕວົ ປຽ່ ນບັງເອນີ ຊະນດິ ຕໍ່ເນ່ີອງ. ນຍິ າມ: ໃຫູ້ X ແມ່ນຕົວປ່ຽນບັງເອີນຕໍ່ເນ່ີອງ ຕາລາ f x ເອີ້ຶນວ່າ: ຕາລາຄວາມໜາແໜູ້ນຂອງຄ່າກະຕວງ ຫຼ ຄວາມໜາແໜນູ້ ຂອງ x ຕ່ໍເມ່ີອວາ່ ສອດຄອງກັບຄນຸ ລກັ ສະນະດົ່ງັ ນຶີ:້ ກ. f x  0 ; xR  ຂ.  f xdx  1  58

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 b ຄ. Pa  x  b   f xdx ເມີອ່ a,b  R ;    a  b   a x ງ. Fx  PX  x   f tdt  ຕົວຢາ່ ງ 4.2.2.1 ການດົ ໃຫູ້ f x  2x  2 ; 1 x  2 0 ; x 1 , 2 ກ. ຈງ່ົ ສະແດງວາ່ f x ແມນ່ ຕາລາຄວາມໜາແໜູ້ນຂອງຄ່າກະຕວງ. ຂ. ຈົງ່ ຊອກຫາຄ່າ P1.5  x  2 ບົດແກູ້: ກ. f x ແມ່ນຕາລາຄວາມໜາແໜູ້ນຂອງຄ່າກະຕວງກໍ່ຕໍ່ເມ່ອີ ວາ່ 1) f x  0 ; x  R  2)  f xdx  1  ຈາກບົດເລກການດົ ໃຫຈູ້ ະໄດູ້ວາ່ f x  0 ; x  R ແລະ  1 2   f xdx   f xdx   f xdx   f xdx   1 2 2  0   2x  2dx  0 1 22  2 xdx 2 dx 11    x2 2 2 2  2x  1   2 x2  2x 1     22  2  2  12  2 1 1 2 ຂ. P1.5  x  2   f xdx 1.5   2 x2  2x 1.5   4  4  1.52  3  0  2.25  3  0.75 ຕວົ ຢາ່ ງ 4.2.2.2 ໃຫູ້ຕວົ ປ່ຽນບັງເອນີ X ມີຕາລາຄວາມໜາແໜ້ນູ ແມ່ນ f x  15 ; 0x5 0 ; x  0.5 59

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ຈົ່ງຊອກຫາຄາ່ ກະຕວງທີ່ X ຈະມຄີ ່າລະຫວ່າງ 2 ຫາ 3 ບດົ ແກູ້: P2  X  3  3 1 dx 5  2  x3 52 32 55 P2  X  3 1 5 ກິດຈະກາ 1. ຖູ້າຕວົ ປ່ຽນບັງເອີນ X ມີ f x  1 ; 0  x  10 ຈ່ງົ ຊອກຫາ P3  x  6 10 2. ຖາູ້ ຕວົ ປຽ່ ນບັງເອນີ X ມ:ີ x  e  x ; x0  ; x0 f  0 ຈົ່ງຊອກຫາ P0  x  5 4.3 ການຄາດຄະເນ (ຄ່າຄາດຫວັງ) 4.3.1 ຄາ່ ຄາດຫວັງຂອງຕວົ ປ່ຽນບງັ ເອີນ. ຈາກບດົ ທີ 2 ຜາ່ ນມາ ສະຫບຸຼ ລັກສະນະຂອງຂ້ໍມນ ໂດຍໃຊູ້ຄ່າສະເລ່ຍ, ຄ່າຜັນປ່ຽນ ແລະ ອ່ີນໆ. ສາລັບໃນ ຫວົ ຂໍ້ນີ້ຶ ເປັນການສະຫຼຸບລັກສະນະຂອງຂ້ໍມນເຊັົ່ນກັນ ໂດຍໃຊູ້ຄ່າຄາດຫວັງ. ຄ່າຄາດຫວັງ ຄ ຄ່າສະເລ່ຍຂອງຕົວ ປ່ຽນບັງເອີນນັ້ຶນເອງ ຫຼ ເວົ້ຶາໄດູ້ວ່າ ຄ່າຄາດຫວັງເປັນຄ່າສະເລ່ຍຂອງຕົວປ່ຽນບັງເອີນ ໃນໄລຍະຍາວເຊັົ່ນ: ຖູ້າຕັຶ້ງ ກົດເກນໄວູ້ວ່າ ໃຫູ້ໂຍນເງິນຫຽຼ ນ 3 ຄັ້ງຶ , ຖູາ້ ອອກຫວົ ຄຶງ້ັ ທາອິດຈະໄດູ້ເງິນ 20 000 ກີບ, ຖູ້າອອກຫົວຄັຶ້ງທີ 2 ຈະ ໄດເູ້ ງິນ 40 000 ກບີ ແລະ ຖູາ້ ອອກກູ້ອຍຄັຶງ້ ທີ 3 ຈະໄດ້ເູ ງນິ 80 000 ກີບ, ແຕ່ຖູ້າອອກຫົວທັງ 3 ຄັ້ຶງຈະຕູ້ອງເສຍ ເງນິ 200 000 ກີບ ຢາກຮູ້ວາ່ ຄວນຈະຫ້ຼຶີນເກມນີ້ຶ ຫຼຶ້ ບ່ໍ ການທຈ່ີ ະຕັດສນິ ໃຈວ່າ ຄວນຫຶ້ນິຼ ເກມນີບ້ຶ ່ໍ ຈະພຈິ າລະນາຄ່າຄາດຫວັງຂອງເງນິ ທຈ່ີ ະໄດູ້. ໃຫູ້ X ແມ່ນເງິນທີຈ່ ະໄດູ້ຮບັ ຄ: 20 000, 40 000, 80 000, -200 000 (ກບີ ) X ຜນົ ການໂຍນເງິນຫຼຽນ ຄາ່ ກະຕວງ 20 000 H PX  20 000  1 40 000 2 TH PX  40 000   1  1   1  2  2  4 80 000 TTH PX  80 000   1  1  1   1  2  2  2  8 -200 000 TTT PX  200 000   1  1  1   1  2  2  2  8 60

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ຄ່າຄາດຫວງັ ຂອງເງິນທ່ີໄດູ້ ຈະເປນັ ຄ່າສະເລຍ່ ຖ່ວງນາ້ ໜັກທມ່ີ ີຄ່າກະຕວງເປນັ ນາ້ ໜັກ. ຄ່າຄາດຫວງັ ຂອງ X ເທົາ່ ກັບ 20 000 1   40 000 1   80 000 1   200 000 1   5000 ກບີ 2 4 8 8 ດັ່ົງນັ້ຶນ, ຖູ້າຫຼິຶ້ນເກມນີຶ້ຫຼາຍໆຄັ້ຶງ ໂດຍສະເລ່ຍແລູ້ວຈະໄດູ້ເງິນ 5 000 ກີບຕ່ໍຄັ້ຶງ. ໝາຍຄວາມວ່າການຫຼິຶ້ນ ບາງຄັ້ງຶ ໄດູ້ເງນິ 20 000ກີບ, ບາງຄ້ຶງັ ໄດເູ້ ງິນ 40 000 ກບ, ບາງຄຶັ້ງໄດເູ້ ງນິ 80 000ກີບ, ບາງຄຶ້ງັ ເສຍເງີນ 200 000 ກີບ. ແຕ່ເມອ່ີ ຫິຼນຶ້ ຫຼາຍໆຄຶ້ງັ ໂດຍສະເລຍ່ ຈະໄດູ້ 5 000 ກບີ ຈ່ງີ ຄວນຕດັ ສນິ ໃຈຫ້ຼນິຶ ເກມນຶ້ີ ເນີອ່ ງຈາກໄດເູ້ ງນິ . 4.3.2 ຄ່າຄາດຫວງັ ຂອງຕົວປຽ່ ນບັງເອນີ ຊະນດິ ບ່ໍຕ່ເໍ ນອີ່ ງ. ຖູ້າ X ເປັນຕົວປ່ຽນບັງເອີນຊະນິດບ່ໍຕ່ໍເນ່ີອງ ຊ່ີງມີຕາລາຄ່າກະຕວງ f(x) ຄ່າຄາດຫວັງຂອງ X ສັນຍາລັກ ດູວ້ ຍ E(X) ໂດຍທ່ີ: n EX    XiFX  i1 ຖູ້າການົດໃຫູ້ X ເປັນຕົວປ່ຽນບັງເອີນບ່ໍຕ່ໍເນ່ີອງທີ່ມີ f(x) ເປັນຕາລາຄ່າກະຕວງ ແລະ ໃຫູ້ gx ເປັນ ຕາລາຂອງ X ແລະ ຄ່າສະເລຍ່ ຂອງ gx ການົດໄດູ້ດັົງ່ ນ:ີຶ້ Egx  n gx. f x  x ຕົວຢ່າງ 4.3.2.1 ໂຍນໝາກກະລັອກ 1 ໜວ່ ຍ, ຖູ້າໝາກກະລອັ ກອອກເລກໃດຈະໄດເູ້ ງິນຕາມເລກນັຶ້ນເຊັົ່ນ: ໂຍນ ແລ້ວູ ອອກເລກ 3 ຈະໄດ້ເູ ງນິ 3 000 ກີບ. ຈົງ່ ຊອກຫາເງິນຄາດຫວງັ ທຈີ່ ະໄດູ້ຕກ່ໍ ານໂຍນ 1 ຄງ້ັຶ . ວທິ ີແກູ້: ໃຫູ້ X ແທນເລກທໄີ່ ດຈູ້ າກການໂຍນ ຫຼ ເທົ່າເງິນທີ່ໄດູຮ້ ັບ. ໂດຍທີ່ FX   PX  x  1 ; x  1 , 2 , ... , 6 6 EX   6 X i F  X   1 1   2 1   3 1   4 1   5 1   6 1   3500 ກີບ i1  6   6   6   6   6   6  ຈະໄດູ້ເງນິ ໂດຍສະເລຍ່ 3500 ກີບຕ່ຄໍ ້ັຶງ ຕົວຢ່າງ 4.3.2. 2 ໃນການທດົ ລອງໂຍນເງິນຫຼຽນ 2 ຫຼຽນພູ້ອມກັນ, ຖູ້າຫຼຽນອອກຫົວທັງສອງຫຼຽນ ທູ້າວ ສົມດີ ຈະໄດູ້ເງິນ 2000 ກີບ ; ແຕ່ຖູ້າອອກເປນັ ຢ່າງອ່ີນ ທ້າູ ວ ສມົ ດຈີ ະຕູອ້ ງເສຍເງນິ 1000 ກບີ . ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າສະເລ່ຍທີ່ ທູ້າວ ສົມດີຈະໄດູ້ ຫຼ ເສຍເງນິ ໃນການໂຍນແຕລ່ ະຄຶງ້ັ . ບດົ ແກູ້: ການົດໃຫູ້ X ເປນັ ຈານວນທອ່ີ ອກຫວົ f x ເປນັ ຕາລາຄາ່ ກະຕວງຂອງ X gx ເປັນຕາລາຂອງ X ເຊີິງ່ ໝາຍເຖງິ ຈານວນເງິນທທ່ີ ້າູ ວສົມດີຈະໄດູ້ຮັບ. 0 1 2 X 0.50 0.25 -1000 2000 f x 0.25 gx -1000 61

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ຈາກສດ Egx  n gx. f x  x 2 Egx   gx. f x x0  10000.25  10000.50  20000.25   250   5000  5000  250 ຄ່າສະເລຍ່ ທີ່ຄດິ ໄລ່ໄດູ້ນນ້ຶັ ສະແດງໃຫູ້ເຫນັ ວາ່ ຖູ້າ ທູ້າວ ສົມດີ ຫຼຶິນ້ ແບບນຊ້ີຶ ້າໆກັນຫຼາຍເທ່ີອ, ທູ້າວ ສົມດີ ຈະ ເສຍເງນິ ສະເລຍ່ ເທີ່ອລະ 250 ກີບ. ກິດຈະກາ 1. ບລສິ ດັ ຜ້ຜູ ະລິດສິນຄາູ້ ຊະນດິ ໜີ່ງອອກຂາຍ ຄາດວ່າຈະໄດູ້ກາໄລ 10 ລູ້ານກີບ ດູ້ວຍຄ່າກະຕວງ 0.4, ກາໄລ 30 ລູ້ານກີບ ແລະ ຂາດທນ 5 ລູາ້ ນກີບ ດູ້ວຍຄາ່ ກະຕວງ 0.3 ເທົາ່ ກັນ. ຜູ້ບລິຫານ ບລິສັດຄິດວ່າ ຖູ້າໄດູ້ກາໄລສະເລ່ຍ ຫຼາຍກວາ່ 10 ລາູ້ ນກີບ ຈີງ່ ຈະຜະລດິ ສນິ ຄາູ້ ອອກຂາຍ ເຂາົ ຄວນຕັດສິນໃຈແນວໃດ. 2. ຈົ່ງຊອກຫາຄາ່ ສະເລຍ່ ຂອງເລກທີ່ອອກໃນການໂຍນໝາກກະລັອກ 1 ໜ່ວຍ 1 ເທ່ອີ . 4.3.3 ຄາ່ ຄາດຫວງັ ຂອງຕວົ ປ່ຽນບັງເອີນຊະນິດຕໍ່ເນອີ່ ງ. ຖູ້າ X ເປັນຕົວປ່ຽນບັງເອີນຊະນິດຕ່ໍເນີ່ອງ ຊີ່ງມີຕາລາ f(x) ຄ່າຄາດຫວັງຂອງ X ສັນຍາລັກດູ້ວຍ E(X) ໂດຍທ:່ີ  EX    xFxdx  ຖູ້າການດົ ໃຫູ້ X ເປັນຕົວປ່ຽນບັງເອນີ ຕໍ່ເນີ່ອງທມີ່ ີ f(x) ເປັນຕາລາຄາ່ ກະຕວງ ແລະ ໃຫູ້ gx ເປັນຕາ ລາຂອງ X ແລະ ຄາ່ ສະເລ່ຍຂອງ gx ການດົ ໄດູ້ດົັງ່ ນ:ຶີ້  Egx   gx f xdx  ຕົວຢາ່ ງ 4.3.3.1 ຖູ້າ f(x)= 2x ; 0  x  1 ຈົ່ງຊອກຫາ E(X) ວທິ ແີ ກ:ູ້ EX  1  1  2x3 1  213  203  2 3 0 3  xF xdx  x2xdx 3 3 0 0 ຕວົ ຢາ່ ງ 4.3.3.2 ໃຫູ້ X ແມນ່ ຕົວປ່ຽນບັງເອີນທີ່ມຕີ າລາຄວາມໜາແໜນູ້ ດັ່ງົ ນ:ີ້ຶ f x    x2 ;1 x  2  3  ; x  1 , 2 0 ຈົ່ງຊອກຄ່າສະເລຍ່ ຂອງ gx ເຊິີ່ງ gx  4x  3 62

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1  ບດົ ແກູ້: ຈາກສດ Egx   gx f xdx  ເຮາົ ໄດູ້ Egx  2 4x  3x2 dx  3 1  1 2 (4x3  3x2 )dx 3 1 1  2 2 3x2dx 3  1    4 x 3d x  1 1  2 3 2 x2dx 3 4 1  x3dx     1 1  2 2 x4  x3   3  1 1  8 ສະຫຼຸບວ່າ Egx  E4X  3  8 ກດິ ຈະກາ 1. ສົມຸດ X ແມນ່ ອາຍກຸ ານໃຊວູ້ ຽກໄດູ້ຂອງເຄອີ່ ງເອເລັກໂຕຣນິກຊະນິດໜ່ງີ ເຊີງິ່ ຫວົ ໜ່ວຍແມ່ນຊົ່ວໂມງ ແລະ ມີ ຕາລາຄວາມໜາແໜູນ້ ຂອງ X ດງ່ັົ ນ:ຶ້ີ f x   20 000 ; x  100  x3 0 ; x  100 ຈງົ່ ຊອກອາຍຸການໃຊວູ້ ຽກໄດູ້ຂອງເຄ່ອີ ງເອເລກັ ໂຕຣນິກຊະນິດນ້ຶີໂດຍສະເລຍ່ . 4.3.4 ຫກັຼ ເກນຂອງຄາ່ ຄາດຫວັງ. ກ. ຖາູ້ ໃຫູ້ X ເປັນຕົວປຽ່ ນບງັ ເອນີ ສ່ວນ a ແລະ b ເປັນຄາ່ ຄງົ ທີ່ຈະໄດູ້ວ່າ E(aX+b)=aE(X)+b ຂ. ຖູ້າ g(X) ແລະ h(X) ເປັນຕາລາທີມ່ ຄີ ່າເປັນຈານວນຈງິ ຂອງຕວົ ປຽ່ ນບັງເອີນ X ຈະໄດ້ວູ າ່ E(g(X)  h(X))=E(g(X))  E(h(X)) ຕວົ ຢາ່ ງ 4.3.4.1 ຖູ້າ X ເປັນຕວົ ປຽ່ ນບັງເອີນ ຊີ່ງມຕີ າລາຄາ່ ກະຕວງດັົ່ງນ້:ີຶ x -5 0 8 3 P(X=x) 1 1 8 8 2     ຈົ່ງຊອກຫາ EX  , E X 2 , E 3X  52 , E X  EX 2 ວິທີແກູ້:  EX    XF X   5 1   0 1   8 3   19  8   2   8  8 63

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1    E X 2  X 2FX    52 1   02 1   82 3   217 8 2 8 8     E 3X  52  E 9X 2  30X  25  9EX 2  30EX   25  9 217   3019   25  8  8  1583 8  EX  EX 2  E  X  19 2   8    E X 2  19 X   19 2  4 8    EX 2  19 EX   361 48  217  19  9   361 0  4  8  8  1357 64 4.4 ຄາ່ ຜັນປຽ່ ນມາດຖານຂອງການແຈກຢາຍຄ່າກະຕວງ. 4.4.1 ຄ່າຜນັ ປ່ຽນຂອງຕົວປຽ່ ນບງັ ເອນີ ຊະນດິ ບຕ່ໍ ່ໍເນອີ່ ງ. ນຍິ າມ: ການດົ ໃຫູ້ X ເປັນຕວົ ປຽ່ ນບງັ ເອນີ ຊະນິດບໍ່ຕໍ່ເນ່ີອງ ຄ່າສະເລ່ຍກາລັງສອງຂອງຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງ ຄ່າຂອງຕວົ ປ່ຽນບັງເອນີ ກັບຄາ່ ຂອງສະເລ່ຍ X   2 ເອີ້ຶນວ່າ: ຄາ່ ຜນັ ປ່ຽນຂອງຕວົ ປຽ່ ນບັງເອນີ X  n VarX    2  E X  2   x  2 f x x ຈາກນິຍາມໄດູ້ວາ່ ສດເບ້ອຶ ງຕົ້ຶນຂອງການຊອກຫາຄ່າຜັນປ່ຽນຂອງຕົວປ່ຽນບັງເອີນສາມາດປັບສດ ດັ່ົງກ່າວ ໂດຍອາໄສຂະບວນການທາງຄະນິດສາດ. - ຄາ່ ຜນັ ປ່ຽນຕົວປຽ່ ນບງັ ເອີນ X ສາມາດຄດິ ໄລ່ຈາກສດ  n  2  E X 2  EX 2 = E X 2   x2 f x   2 x0 - ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຖານຂອງຕວົ ປ່ຽນບັງເອນີ X ຄິດໄລ່ຈາກສດ   EX 2  EX 2 ຕວົ ຢ່າງ 4.4.1.1 ໃຫູ້ X ແມ່ນຈານວນຜົນຜະລິດທບ່ີ ່ໍໄດູ້ມາດຖານ. ຖູ້າຈັບຜົນຜະລິດດັ່ົງກ່າວມາ 3 ອັນ ໂດຍບັງ ເອີນ ເພອ່ີ ມາກວດເບິງ່ີ ແລະ ຮູ້ວາ່ ການແຈກຢາຍຄ່າກະຕວງຂອງ X ມີດັ່ງົ ນ:ຶີ້ 64

Aeleng VIXAYSOUVANH 0 1 ສະຖິຕິ 1 0.51 0.38 X 23 f(x) 0.10 0.01 ຈົງ່ ຊອກຄາ່ ຜນັ ປຽ່ ນ ແລະ ຄາ່ ຜັນປຽ່ ນມາດຕະຖານຂອງ X  ບົດແກູ້: ຈາກສດ  2  E X 2  EX 2 EX   00.51  10.38  20.10  30.01  0  0.38  0.2  0.03  0.61 EX 2   02 0.51  12 0.38  22 0.10  32 0.01  00.51  10.38  40.10  90.01  0  0.38  0.40  0.09  0.87   2  0.87  0,612  0.87  0.3721  0.4979    0.4979  0.7056 ຄ່າຜັນປຽ່ ນ ແລະ ຄາ່ ຜນັ ປຽ່ ນມາດຖານຂອງຜົນຜະລດິ ທບ່ີ ່ໍໄດູ້ມາດຖານເທົ່າ 0.4979 ແລະ 0.7056 ຕາມລາດບັ 4.4.2 ຄາ່ ຜັນປ່ຽນຕົວປ່ຽນບັງເອນີ ຕ່ໍເນອ່ີ ງ ຄາ່ ຜັນປຽ່ ນຕົວປ່ຽນບັງເອນີ ຊະນິດຕໍ່ເນ່ອີ ງ X ຂຽນແທນດູ້ວຍ  2 ໝາຍເຖິງຄ່າສະເລ່ຍຂອງ X   2 ໂດຍວ່າ:      2  E X  2   x  2 f xdx ຫຼ  2  EX 2  EX 2   x2 f xdx   2   ຮາກຂຶ້ນັ ສອງຂອງຄ່າຜັນປ່ຽນ ເອ້ຶີນວາ່ : ຄາ່ ຜັນປຽ່ ນມາດຖານ. ຕົວຢາ່ ງ 4.4.2.1 ໃຫູ້ X ແມນ່ ຕວົ ປຽ່ ນບງັ ເອີນທີ່ມຄີ ວາມໜາແໜ້ນູ ໃນການແຈກຢາຍ f x  2x  1 ;1 x  2 0 ; x  1 , 2 ຈ່ງົ ຊອກຄ່າຜັນປຽ່ ນ ແລະ ຄາ່ ຜນັ ປ່ຽນມາດຖານຂອງຕົວປ່ຽນບັງເອີນ X ບດົ ແກູ້: ຈາກສດ  2  EX 2  EX 2 2 ແຕ່   EX    2xx 1dx 1 2 2 2dx 2 xdx 2 x3 2 x2 2    1 x  1  3 1  2 1  5 3 65

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1  2 ແລະ E X 2  2 x2 x 1dx 1 2 2 x3dx 2 x 2 d x    1  1  2 x4 2  x3 2  4 1 3 1   17 6 ຈະໄດູ້  2  17   5 2  17  25  17  3  25  2  51  50 1 ແລະ   1 6 3 6 9 63 92 18 18 18 18 4.5 ການແຈກຢາຍແບບທະວິພດົ (Binomial Distribution) ການແຈກຢາຍແບບທະວິພົດ ເປັນຕົວປ່ຽນຊະນິດບ່ໍຕ່ໍເນ່ີອງ ຈະມີການແຈກຢາຍຄ່າກະຕວງຂອງຕົວປ່ຽນ ບັງເອນີ ຊະນດິ ບຕ່ໍ ່ເໍ ນ່ອີ ງ ການທົດລອງມດີ ັົ່ງນ:້ຶີ - ການທົດລອງຊ້າໆກນັ n ເທີ່ອ ພາຍໃຕເງ່ີອນໄຂດຽວກນັ . - ການທດົ ລອງຈະມຜີ ນົ ໄດຮູ້ ບັ 2 ຢາ່ ງຄ: ສ່ງີິ ທສ່ີ ົນໃຈ ແລະ ສງ່ີິ ທ່ບີ ໍ່ສົນໃຈ. - ການທົດລອງແຕ່ລະຄ້ຶັງເປັນເອກະລາດເຊິ່ີງກັນ ແລະ ກັນ. - ຄາ່ ກະຕວງທ່ີຈະເກີດເຫດການທສີ່ ົນໃຈຈະມີຄ່າຄົງຄ່າທກຸ ເທອ່ີ ຂອງການທົດລອງຄ p ແລະ ຄ່າກະຕວງທີ່ຈະ ເກດີ ເຫດການທີ່ບໍສ່ ນົ ໃຈໃນແຕ່ລະເທີ່ອຂອງການທົດລອງຄ: q  1  p - ຕົວປ່ຽນບັງເອີນ X ຈະແມ່ນຈານວນເທ່ີອຂອງການທົດລອງທີ່ໄດູ້ຈາກສິີ່ງທີ່ສົນໃຈ ເປັນຈານວນຄວາມ ສາເລັດຈາກການທົດລອງທັງໝົດ n ເທີ່ອຄ: X  0,1,2,3,....,n ຈາກເງ ີ່ອນໄຂຂູ້າງເທິງສາມາດເອີ້ຶນ ການທດົ ລອງນຶີວ້ າ່ : ” ການທົດລອງແບບທະວພີ ດົ ” ນຍິ າມ: ການທົດລອງ n ເທອ່ີ ຊາ້ ກນັ ໃນແຕ່ລະການທດົ ລອງຄາ່ ກະຕວງທີ່ຈະເກີດເຫດການແມ່ນເທົ່າກັບ p ໃຫູ້ x ແມ່ນຈານວນເທ່ີອທີ່ເກີດເຫດການໃນ x ເທ່ີອ, ດັ່ົງກ່າວ ສາມາດສະແດງໃຫູ້ເຫັນວ່າ ຕົວປ່ຽນບັງເອີນ X ມີ ການແຈກຢາຍແບບທະວີບດົ ເຊິງີ່ ມຕີ າລາຂອງການແຈກຢາຍທະວີບົດແມ່ນ: f x  PX  x  Cnx pxqnx ; x  0 , 1 , 2 , 3 ....... x ແມ່ນຕວົ ປ່ຽນບັງເອນີ p ແມນ່ ເຫດການທເີ່ ຮົາສນົ ໃຈ q ກງົ ກນຂາູ້ ມກັບ p q  1  p ສດຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວີບດົ ອາດຂຽນແທນດ້ວູ ຍ X ~ bx ; n ; p ຫຼ bx , n, p  Cnx pxqnx ຖູ້າ X ແມນ່ ຕົວປ່ຽນບງັ ເອີນທມີ່ ີການແຈກຢາຍແບບທະວີບົດ ຈະໄດ:ູ້ ຄ່າສະເລຍ່ EX   np ຄ່າຜັນປ່ຽນ VarX   npq ຕວົ ຢ່າງ 4.5.1 ຄອບຄວົ ໜງີ່ ຕອູ້ ງການມີລກ 4 ຄົນ, ຄ່າກະຕວງໃນການມີລກເພດຊາຍ ແລະ ເພດຍິງເທົາ່ ກນັ . ຈງົ່ 66

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ຊອກ ເງີອ່ ນໄຂທກີ່ ະຕວງຄອບຄົວນ.ຶີ້ ກ. ມີລກຊາຍ 1 ຄນົ ຂ. ມີລກຊາຍຢ່າງໜູ້ອຍ 2 ຄນົ ບດົ ແກ:ູ້ n  4 ; X  0,1, 2,3, 4 ; p  1 ; q  1 22 ກ. PX  1  C 1 p1 q 41 4 4!  1 1  1  3  2   2   1!4  1!  4 11 28  21 8 1 4  ຂ. P X  2  C42 p2q2  C43 p3q1  C44 p4q0  4! 2!  1 2  1 2  4! 3!  1 3  1 1  4! 4!  1 4  1 0 2   2   2   2   2   2  2!4  3!4  4!4   4!  1  1  4!  1  1  4! 1  0 2!2! 4 4 3!1! 8 2 4! 16  6 1 1 41 1  1 4 4 8 2 16  6 1 4 1  1 16 16 16  11 16 ຕົວຢາ່ ງ 4.5.2 ຄ່າກະຕວງຂອງຜົນຜະລິດທີ່ບ່ໍໄດູ້ມາດຖານຂອງໂຮງງານແຫ່ງໜ່ີງເທົ່າ 0.4 ຖູ້າຈັບຜົນຜະລິດຈາກ ໂຮງງານນ້ີຶ 15 ອັນໂດຍບງັ ເອນີ ມາກວດສອບ. ຈົງ່ ຊອກຫາຄ່າກະຕວງຂອງເຫດການທວີ່ ່າ: ກ. ໄດູ້ຜົນຜະລດິ ທບ່ີ ໄ່ໍ ດູ້ມາດຖານ 5 ອນັ ຂ. ໄດຜູ້ ົນຜະລດິ ທບີ່ ໄ່ໍ ດູ້ມາດຖານ 3 ເຖິງ 8 ອັນ ຄ. ໄດຜູ້ ົນຜະລິດທບີ່ ໄ່ໍ ດູ້ມາດຖານຢາ່ ງຫາຼ ຍ 10 ອັນ ງ. ໄດຜູ້ ົນຜະລດິ ທບີ່ ໄໍ່ ດູ້ມາດຖານຫຼາຍກວາ່ 2 ອນັ ບົດແກູ້: ໃຫູ້ X ແມ່ນຜົນຜະລິດທີ່ບໍ່ໄດູ້ມາດຖານ x  0 , 1 , 2 , 3 .......,15 ໂດຍວ່າ X ມີການແຈກຢາຍ ແບບທະວີບົດ ຮວູ້ າ່ p  0.4 ; q  1 p  1 0.4  0.6 ກ. PX  5  b5 ; 15 ; 0.4  C155 0.450.610  0.1859 67

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 8 ຂ. P3  X  8  bx ; 15 ; 0.4 x3  b3;15;0.4 b4;15;0.4 b5;15;0.4 ........ b8;15;0.4  0.0634  0.1268  0.1859  0.2066  0.1771  0.1181  0.8779 10 ຄ. PX  10  bx ; 15 ; 0.4 x0  b0;15;0.4 b1;15;0.4 b2;15;0.4 ........ b10;15;0.4  0.0005  0.0047  ........... 0.0245  0.9907 2 ງ. PX  2  bx ; 15 ; 0.4 x0 1 PX  2  1 b0 ; 15 ; 0.4 b1 ; 15 ; 0.4 b2 ; 15 ; 0.4  1 0.0005  0.0047  0.0219  1 0.0271  0.9729 ຕວົ ຢາ່ ງ 4.5.3. ໃນການອອກຂໍ້ສອບປາລະໄນວິຊາສະຖິຕິຈານວນ 15 ຂໍ້ ແລະ ແຕ່ລະຂ້ໍມີຄາຕອບທີ່ເປັນໄປໄດູ້ 4 ຄາຕອບ ໃນນມ້ີຶ ພີ ຽງ 1 ຄາຕອບທເີ່ ປັນຄາຕອບທຖີ່ ກຕູ້ອງ. ຈ່ງົ ຊອກຫາ. ກ. ຄາ່ ກະຕວງທວີ່ າ່ ນກັ ຮຽນສາມາດຕອບໄດູ້ຢ່າງຖກຕູອ້ ງແຕ່ 5 ເຖິງ 10 ຂ້ໍ. ຂ. ຈ່ງົ ຊອກຄ່າສະເລ່ຍ ແລະ ຄາ່ ຜັນປ່ຽນຂອງຂໍ້ສອບ ທນີ່ ກັ ຮຽນຈະຕອບຖກ. ບົດແກູ້: ໃຫູ້ X ແມ່ນຈານວນຂ້ໍສອບທີ່ນັກຮຽນຕອບຖກ x  0 , 1 , 2 , 3 .......1, 5 ໂດຍວ່າ X ມີການ ແຈກຢາຍແບບທະວີບົດ ຮວູ້ ່າ p  1 ; q  1 p  1 1  3 4 44 ກ. P5  X  10  10 b x ; 15; 1  x5  4  b5;15; 1   b 6;15; 1   b 7;15; 1   ........ b10;15; 1   4  4  4  4  0.1651  0.0917  0.0393  0.0131  0.0034  0.0007  0.3133 ໂອກາດທ່ີນກັ ຮຽນຈະຕອບຖກຢ່ລະຫວ່າງ 5 ເຖິງ 10 ຂໍ້ ເທົາ່ 0.3133 ຂ. ຄ່າສະເລຍ່ EX   np  15 1  15  3.75 44 ຄາ່ ຜນັ ປ່ຽນ VarX   npq  15 1  3  15  3  45  2.81 44 44 16 ໂດຍສະເລ່ຍແລູ້ວ ໂອກາດທີ່ນັກຮຽນຈະຕອບຖກປະມານ 3.785  4 ຂ້ໍ ເຊງີິ່ ມີຄ່າຜັນປ່ຽນເທ່ົາ 2.81 3 68

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ກິດຈະກາ 1. ຖາູ້ ເລອກສນິ ຄູ້າມາ 3 ອັນ ຈາກກອ໋ ງທມ່ີ ີສນິ ຄາູ້ 10 ອນັ ໃນນັ້ຶນມີສິນຄາູ້ ທີ່ມີຕານິ 4 ອັນ ໂດຍການຈັບເອົາເທີ່ອ ລະອັນມາກວດສອບ ແລູ້ວເອາົ ສິນຄ້າູ ໃສໃ່ ນກ໋ອງ ກ່ອນທີ່ຈະຈບັ ເອົາສນິ ຄູາ້ ອນັ ຕໍໄ່ ປ. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າກະຕວງທີ່ຈະໄດູ້ ສນິ ຄາູ້ ທີ່ມີຕານິ 2 ອັນ. 2. ຈາກກດິ ຈະກາຂ້ທໍ ີ່ 1 ຖູ້າເລອກສິນຄູ້າມາກວດສອບແບບບ່ໍໃສ່ຄນ ຈານວນສິນຄູ້າທີ່ມີອັນຕານິທີ່ໄດູ້ຈາກການ ກວດສອບສນິ ຄູ້າ 3 ອັນຈະເປັນຕົວປຽ່ ນແບບທະວພີ ົດ ຫຼ ບ່ໍ 3. ໃນກອ໋ ງໜ່ງີ ບນັ ຈສຸ ິນຄ້າູ 1 000 ອັນ, ຊ່ງີ ມສີ ິນຄາູ້ ທມ່ີ ອີ ນັ ຕານປິ ນົ ຢ່ນາ 5 ອັນ ຖູ້າເລອກສິນຄູ້າມາກວດສອບ 3 ອນັ ໂດຍເລອກເທອລະອັນ. ຈົງ່ ຊອກຫາໂອກາດທີ່ຈະກວດພບົ ສນິ ຄູ້າທີ່ມຕີ ານິ 2 ອັນ. ກ. ເລອກແບບໃສ່ຄນ. ຂ. ເລອກແບບບ່ໍໃສ່ຄນ. 4.6 ການແຈກຢາຍແບບປວົ ຊງົ (Poiss0n Distribution) ການແຈກຢາຍແບບປົວຊງົ ແມ່ນການແຈກຢາຍທອີ່ ະທບິ າຍເຖງິ ຈານວນຄັ້ຶງຂອງເຫດການ ຫຼ ຈານວນສິີ່ງທີ່ ສນົ ໃຈເຊ່ີງິ ເກີດຂນຶ້ ໃນໄລຍະເວລາທີກ່ ານົດ ຫຼ ໃນຂອບເຂດທກ່ີ ານົດໃຫູ້. ນຍິ າມ: ໃຫູ້  ແມນ່ ຄ່າສະເລ່ຍ, ໃຫູ້ x ແມນ່ ຕົວປ່ຽນບັງເອນີ ບຕໍ່ ໍ່ເນອ່ີ ງແທນຈານວນຄວາມສາເລັດທີ່ເກີດຂ້ຶນໃນ ຊວ່ ງເວລາ ຫຼ ຂອບເຂດທກ່ີ ານດົ ໃຫູ້ແລູ້ວຈະເອນີຶ້ ວາ່ : ການແຈກຢາຍແບບປວົ ຊົງ. f x  PX  x  e x ; X  0 , 1 , 2 , 3 , ....... ; e  2.71828.... x! ສດຂອງການແຈກຢາຍແບບປວົ ຊງົ ອາດຂຽນແທນດວູ້ ຍ X ~ px ;  ຖູ້າ X ແມນ່ ຕົວປຽ່ ນບັງເອີນທມີ່ ກີ ານແຈກຢາຍແບບປົວຊົງ ຈະໄດູ້ຄາ່ ສະເລຍ່ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນເທົ່າກັນດັົ່ງ ນຶ້ີ EX  VarX    ຕົວຢ່າງ 4.6.1 ຈາກການສາຫວຼ ດເຫນັ ວ່າ ເສັນຶ້ ທາງສາຍໜ່ງີ ໃນເຂດຊນົ ນະບົດມີລົດຍົນແລ່ນຜ່ານ ໂດນສະເລ່ຍຊົ່ວ ໂມງລະ 3 ຄັນ. ຈົ່ງຊອກຫາຄາ່ ກະຕວງທເີ່ ສນຶັ້ ທາງສາຍນ:ີ້ຶ ກ. ມລີ ດົ ຍນົ ແລນ່ ຜ່ານຢ່າງຫາຼ ຍ 5 ຄັນໃນ 1 ຊ່ົວໂມງ. ຂ. ມລີ ດົ ຍນົ ແລນ່ ຜ່ານ 2 ຄັນພາຍໃນ 20 ນາທ.ີ ບົດແກູ້: ວາງ X ແມ່ນຈານວນລົດທແີ່ ລນ່ ຜາ່ ນໃນ 1 ຊວ່ົ ໂມງ   3 ຄນັ ກ. PX  5  5 e  x x0 x!  e330  e331  e332  e333 e334  e335 0! 1! 2! 3! 4! 5! 69

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1  e3  e33  e39  e3 27  e381  e3 243 1 2 6 24 120  e31  3  9  27  81  243   2 6 24 120   e3 4  9  27  81  243   2 6 24 120   e3 480  540  540  405  243   120   e3 2208   120  1  2208  2.7182 2 120 2208  20.0837 120  2208 2410.044  0.9161 ຂ. 1 h  3 ຄັນ 20 mn  x ;   1 1 PX  2  e112  e1  2.7182  1  0.1839 2! 2 2 5.4364 ຕົວຢ່າງ 4.6.2 ໃນໄລຍະເວລາ 5 ນາທີທາອິດຫຼັງຈາກເປີດເຄີ່ອງຖ່າຍເອກະສານ ມີເຈູ້ຍຕິດໂດຍສະເລ່ຍ 2 ແຜ່ນ. ຈົ່ງຊອກຄ່າກະຕວງຂອງເຫດການທີ່ວ່າ ເມ່ີອເປີດເຄີ່ອງໃໝ່ໃນຄັ້ຶງຕ່ໍໄປຈະມີເຈູ້ຍຕິດໃນໄລຍະເວລາ 5 ນາທີ ຫຼັງ ຈາກເປີດເຄອ່ີ ງ ກ. 1 ແຜນ່ . ຂ. ບເ່ໍ ກນີ 2 ແຜນ່ . ບົດແກູ້: ໃຫູ້ X ແມນ່ ຈານວນເຈຍູ້ ທຕີ່ ດິ ໃນເຄ່ອີ ງຫັຼງຈາກເປີດເຄ່ີອງຖ່າຍເອກະສານ 5 ນາທີ. 2 ກ. PX  1  e2 21  0.2707 ( ເບ່ງິີ ຕາຕະລາງການແຈກຢາຍແບບປວົ ຊົງ ) 1! ຂ. PX  2  2 e2 2x x0 x!  e2 20  e2 21  e2 22 0! 1! 2! 70

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1  0.1353  0.2707  0.2707  0.667 ກດິ ຈະກາ. 1. ຈາກສະຖິຕິປະຈາໂຮງໝໍແຫ່ງໜ່ີງພົບວ່າ ໂດຍສະເລ່ຍຈະມີຄົນເຈັບ 5 ຄົນ ເຂົຶ້າມາປິ່ນປົວທີ່ຫູ້ອງສຸກເສີນ ໃນ ໄລຍະເວລາ 18:00 – 21:00 ໂມງ. ກ. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າກະຕວງ ທີ່ຈະມີຄົນເຈັບເຂົ້ຶາມາປິ່ນປົວທີ່ຫູ້ອງສຸກເສີນບ່ໍເກີນ 2 ຄົນໃນໄລຍະເວລາ 18:00 – 21:00 ໂມງ ໃນມຶອ້ ີ່ນ. ຂ. ຈົງ່ ຊອກຫາຄາ່ ກະຕວງ ທີ່ຈະມຄີ ນົ ເຈັບເຂົ້ຶາມາປນິ່ ປົວທີ່ຫູ້ອງສຸກເສີນຫຼາຍກວ່າ 6 ຄົນໃນໄລຍະເວລາ 18:00 – 21:00 ໂມງ ໃນມ້ອຶ ນ່ີ . 2. ໂດຍສະເລຍ່ ແລູ້ວຈະມເີ ຮອບນັ ທກຸ ສິນຄາູ້ ໜີງ່ ລາເຂົຶ້າມາຈອດທີ່ທ່າເຮອທຸກໆ 2 ວັນ. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າກະຕວງ ທີ່ ຈະມເີ ຮອບນັ ທຸກສິນຄູ້າຕງ້ັຶ ແຕ່ 2 ລາ ຂ້ຶນໄປຈະເຂົາຶ້ ມາຈອດທີ່ທ່າເຮອນຶີ້ໃນມອ້ຶ ນ່ີ . 3. ຖ້າູ ຮວູ້ າ່ ໂດຍສະເລ່ຍແລູວ້ ຈະມລີ ກຄູາ້ ເຂຶ້າົ ມາຮາູ້ ນຂາຍເຄີ່ອງເກ່ົາແຫງ່ ໜີງ່ ວັນລະ 8 ຄົນ. ຈ່ົງຊອກຫາ ຄາ່ ກະຕວງ ທີ່ຈະມລີ ກຄູ້າເຂົ້ຶາມາຮູ້ານຕຶັງ້ ແຕ່ 3 ຄນົ ຂນ້ຶ ໄປໃນມ້ຶອ່ນີ . 4.7 ການແຈກຢາຍແບບໄອເປີຢອີ ເມຕຣິກ (Hyper geometric Distribution) ນິຍາມ: ຖູ້າ X ແມນ່ ຈານວນເທອີ່ ຂອງສ່ິີງທີສ່ ນົ ໃຈທີ່ໄດູ້ ຈາກການເລີ່ອກຈັບສິ່ີງຂອງແບບບັງເອີນຊະນິດບ່ໍເອົາໃສ່ ກັບຄນລວມ n ເທີ່ອ. ຈາກສິີ່ງຂອງທັງໝົດ N ອັນ. ເຊິ່ີງປະກອບດູ້ວຍສິີ່ງທີ່ສົນໃຈ k ອັນ ແລະ ໄດູ້ສິ່ີງທີ່ບ່ໍ ສນົ ໃຈ N  k ແລ້ວູ ຈະເອີນ້ຶ X ວ່າ: ເປັນຕົວປ່ຽນບັງເອນີ ແບບໄອເປຢີ ີອເມຕຣິກ. PX  x  hX ,N , n,k C Cx nx k Nk CNn ໂດຍທີ່ N ຂະໜາດຂອງປະຊາກອນ n ຂະໜາດຂອງຕວົ ຢາ່ ງ k ແມນ່ ຈານວນສີ່ງິ ທສີ່ ນົ ໃຈ X ແມ່ນຈານວນສ່ິີງທີ່ສົນໃຈທເ່ີ ລອກຈາກສີິ່ງຂອງຕວົ ຢ່າງ n ອນັ ຄ່າສະເລຍ່ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນຂອງຕົວປຽ່ ນບັງເອີນທີ່ມກີ ານແຈກຢາຍແບບໄອເປີຢີອເມຕຣິກ. EX    nk N VarX    2   N  n  nk 1 k   N 1  N  N  ຕົວຢ່າງ 4.7.1 ສິ້ຶນຄູ້າຊະນິດໜີ່ງມີທັງໝົດ 50 ອັນ. ໃນຈານວນນີຶ້ມີ 5 ອັນທີ່ເປ່ເພຢ່ ຖູ້າເຮົາຕູ້ອງການເລ່ີອກມາ ກວດສອບເບງິ່ີ ຄຸນນະພາບ 4 ອນັ , ຈ່ງົ ຊອກຫາຄ່າກະຕວງທຈ່ີ ະພໍ້ສນຶິ້ ຄູ້າທເີ່ ປເ່ ພ. ກ. ຈານວນ 1 ອັນ ຂ. ໂດຍສະເລ່ຍແລູ້ວຈະພບົ ສນິ້ຶ ຄູ້າທເ່ີ ປເ່ ພຈັກອັນ ຄ. ຄ່າຜັນປ່ຽນ ແລະ ຄາ່ ຜັນປ່ຽນມາດຖານທຈີ່ ະໄດູ້ສນຶ້ິ ຄາູ້ ເປເ່ ພ. 71

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ບົດແກູ້: N  50 ; n  4 ; k  5 ກ. PX  1  h1;50; 4;5  C C1 41 5 505 C540  1!55! 1! 45! 3! 5!  45!  5 85140  425700  24  1!4! 3!42! 6 3!45  50! 50! 4!46! 5527200 6  5527200 4!50  4! 24  10216800  0.30807 33163200 ຂ. EX     nk  45  20  0.4 N 50 50 ຄ. VarX    2   N n  nk 1  k   N 1  N  N    50 4  45 1  5   50 1  50  50   46  20  50  5 49 50 50  46  20  45 49  50  50  41400 122500  0.3379   0.3379  0.5812 ຕົວຢ່າງ 4.7.1 ໃນແຕ່ລະແກັດ ຂອງຜົນຜະລິດຊະນິດໜີ່ງ ມີຜົນຜະລິດ 40 ອັນ ແລະ ຈະຖກຍອມຮັບວ່າໃຊູ້ໄດູ້ ເມີ່ອຜົນຜະລິດທີ່ຖກຕານິບ່ໍເກີນ 3 ອັນ. ໃນຂະບວນການກວດສອບຜົນຜະລິດ ເພິີ່ນໄດູ້ຈົກ 5 ອັນ ຈາກແຕ່ລະ ແກດັ ແລະ ບໍຍ່ ອມຮັບວາ່ ຜົນຜະລດິ ໃນແກດັ ນັນ້ຶ ໃຊູ້ໄດູ້ ຖູ້າພໍ້ຜົນຜະລິດ 1 ອັນ ແຕ່ລະແກັດນັ້ຶນຫາກຖກຕານິ. ຈົ່ງ ຊອກຫາຄາ່ ກະຕວງ ທີ່ຈະພ້ຜໍ ົນຜະລດິ ທີ່ຖກຕານິ 1 ອນັ ໃນແຕລ່ ະແກັດ ທມີ່ ີຜນົ ຜະລິດທີຖ່ ກຕານິ 3 ອນັ . ບົດແກ້:ູ ໃຫູ້ X ແມນ່ ຈານວນຜນົ ຜະລິດ ທຖ່ີ ກຕານທິ ່ຈີ ະພໍ້ ເຮາົ ມີ n=5 , N=40 , k=3 ແລະ x=1 PX 1  h1, 40,5,3  C31C347  0.3011 C450 ກດິ ຈະກາ. 1. ໃນການຄັດເລອກພະນັກງານຕາແໜ່ງຕ່າງໆ 3 ຕາແໜ່ງ ຈາກຜູ້ສະໝັກ 10 ຄົນ ທີ່ມີຄຸນລັກສະນະເໝອກັນ ໂດຍຜສູ້ ະໝກັ 10 ຄນົ ນີຶ້ ເປນັ ຊາຍ 6 ຄນົ ແລະ ຍງິ 4 ຄນົ . ຈົງ່ ຊອກຫາ: ກ. ຄາ່ ກະຕວງທີຜ່ ູ້ສະໝກັ ຍງິ ຈະຖກເລອກ 1 ຄນົ . ຂ. ຄາ່ ກະຕວງທີ່ຜູ້ຍິງຈະບຖ່ໍ ກເລອກ. ຄ. ຄາ່ ສະເລ່ຍ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຖານຂອງຈານວນຜສູ້ ະໝກັ ຍິງທຖີ່ ກເລອກ. 72

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ບດົ ເຝກຫດັ 1. ໂຍນເງີນຫຽຼ ນ 1 ຫຽຼ ນ 3 ເທອີ່ , ຖາູ້ ການົດໃຫູ້ X ເປນັ ຕົວປ່ຽນບງັ ເອີນແທນຈານວນຫຼຽນທ່ີອອກຫົວ. ຈົ່ງຊອກ ຫາການແຈກຢາຍຄ່າກະຕວງຂອງຈານວນຫວົ ທີ່ອອກຈາກການໂຍນ. 2. ຖ້າູ ເວລາ (ຊ່ົວໂມງ) ທີ່ຄອມພວິ ເຕໜີ ວ່ ຍໜງ່ີ ເຮດັ ວຽກກອ່ ນທ່ີຈະເພ ເປັນຕວົ ປ່ຽນບງັ ເອີນຊະນດິ ຕ່ເໍ ນີອ່ ງທ່ີມີ f x  re10x0 ; x0 ; x0 0 ຈົງ່ ຊອກຫາຄ່າກະຕວງທີ່ຄອມພິວເຕີໜ່ວຍນີ້ຶ ຈະເຮັດວຽກໄດູ້ລະຫວ່າງ 50 ເຖິງ 150 ຊົ່ວໂມງກ່ອນທີ່ຈະ ເພ. 3. ທູາ້ ວ ກ ຕູອ້ ງການເອົາເງິນທີ່ມຢີ ່ 100 000 ກີບ ໄປລົງທນ ໂດຍເຂົາພິຈາລະນາທາງເລອກຂອງການລົງທນໄວູ້ 2 ທາງຄ ກ. ລງົ ທນຊ້ຶພນັ ທະບັດທີ່ໃຫ້ອູ ັດຕາດອກເບ້ຍູ ຄງົ ທ່ີ 12% ຂ. ລງົ ທນຊຫຶ້ ຸນູ້ ຂອງບລິສດັ A ຊ່ີງມີເງິນປັນຜົນບ່ໍແນ່ນອນ ເມອເກັບກາຂໍ້ມນເງິນປັນຜົນຕໍ່ປີຂອງບລິສັດ A ໃນ ອະດດີ ມາໄດູ້ ດັງົ່ ຕາຕະລາງລມຸ່ ນຶ້:ີ ອັດຕາເງນິ ປັນຜົນ ຄາ່ ກະຕວງ 30% ຫຼ 0.30 0.20 25% ຫຼ 0.25 0.20 20% ຫຼ 0.20 0.30 15% ຫຼ 0.15 0.10 10% ຫຼ 0.10 0.10 5% ຫຼ 0.05 0.10 ຖາມວ່າ ທູ້າວ ກ ຄວນລົງທນແບບໃດ? 4. ຖູ້າຕວົ ປຽ່ ນບັງເອນີ X ມຕີ າລາຄາ່ ກະຕວງດັົ່ງນີຶ້ X0 1 2 3 45 f(x) 0.05 0.2 0.3 0.3 0.1 0.05 ຈົ່ງຊອກຄ່າຜັນປຽ່ ນ ແລະ ຄາ່ ຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຂອງ X 5. ຖ້າູ ໂອກາດທີ່ ທາູ້ ວ ກ ຈະຍງິ ປືນຖກເປຶ້ົາທີ່ຕັ້ງຶ ໄວ້ເູ ທົ່າ 80% ຖູ້າທູາ້ ວ ກ ຍິງປນື 4 ຄ້ງັຶ . ກ. ຈ່ົງຊອກຫາຄ່າກະຕວງທີລ່ າວ ຈະຍິງປືນຖກເປຶາ້ົ ທີ່ຕັຶ້ງໄວູ້ 1 ຄຶ້ັງ. ຂ. ຈົງ່ ຊອກຫາຄ່າກະຕວງທລີ່ າວ ຈະຍິງປນື ຖກເປົຶາ້ ທ່ີຕງຶ້ັ ໄວ້ຢູ ່າງໜອູ້ ຍ 1 ຄຶ້ງັ . ຄ. ໂດຍສະເລຍ່ ທ້າູ ວ ກ ຈະຍິງປືນຖກເປ້ົາຶ ທີ່ຕັງຶ້ ໄວູ້ຈັກຄັ້ງຶ ແລະ ຊອກຫາຄາ່ ຜນັ ປຽ່ ນມາດຖານ. 6. ຖູ້າຮູ້ວ່າສິນຄູ້າທີ່ບັນຈຸໃນກ໋ອງໃຫຍ່ອັນໜີ່ງເປັນຈານວນຫຼາຍ ຊີ່ງມີສິນຄູ້າຕານິຢ່ນາ 5% ຖູ້າເລອກສິນຄູ້າ ໃນກອ໋ ງນີຶ້ມາໂດຍບັງເອນີ 10 ອັນ ແລູ້ວພົບວ່າມສີ ນິ ຄາູ້ ຕານຕິ ງັ້ຶ ແຕ່ 2 ອນັ ຂຶນ້ ໄປຈະບໍຍ່ ອມຮບັ ສນິ ຄູ້ານ້ຶນັ ທງັ ກ໋ອງ. 73

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖິຕິ 1 ຈງ່ົ ຊອກຫາ ກ. ຄາ່ ກະຕວງທີຈ່ ະຍອມຮບັ ສິນຄ້າູ ທັງກອ໋ ງນ້ນຶັ . ຂ. ຄາ່ ກະຕວງທຈີ່ ະບ່ຍໍ ອມຮັບສນິ ຄູ້າທັງກ໋ອງນນຶັ້ . ຄ. ຈານວນສິນຄູ້າຕານທິ ີ່ຄາດໄວູ.້ 7. ຖູ້າຂ້ໍມນຈາກການປະກັນໄພລະບຸວ່າ 90% ຂອງລົດໃຫຍ່ໃນແຂວງຫຼວງນ້ຶາທາ ແມ່ນເຮັດການປະກັນໄພລົດ ປະເພດ 3 ໄວູ້, ຖາູ້ ເລອກລດົ ໃຫຍ່ໃນແຂວງຫວຼ ງນ້ຶາທາມາໂດຍບັງເອນີ 10 ຄັນ. ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າກະຕວງທີ່ຈະມີລົດ ໃຫຍຢ່ າ່ ງໜູ້ອຍ 8 ຄນັ ທ່ີເຮັດປະກນັ ໄພປະເພດ 3 . 8. ຖູ້າຮູ້ວ່າຜູ້ເສຍພາສີປະກອບຟອມການເສຍພາສີຜິດ 0.6% ຖູ້າເລອກຕົວຢ່າງແບບຟ້ອມການເສຍພາສີ ໂດຍ ບັງເອີນມາ 1 000 ສະບັບ. ຈ່ົງຊອກຫາຄາ່ ກະຕວງທີຈ່ ະມແີ ບບຟອມ ທີປ່ ະກອບຜິດຢ່າງໜ້ອູ ຍ 3 ສະບບັ . 9. ເຈາຶ້ົ ຂອງໂຮງງານ ຜະລິດຢາງລົດຊະນິດໜງ່ີ ແຈ້ງູ ໃຫຮູ້ ້າູ ນຄາູ້ ຮູ້ນາວາ່ ຜົນຜະລດິ ຂອງຕົນໃນ 5000 ອັນ ຈະມີຜົນ ຜະລິດທີ່ຖກຕານິ ຢ່ 1000 ອັນ. ຈົ່ງຊອກຄ່າກະຕວງທີ່ວ່າ ມີ 3 ອັນທີ່ເປັນຜົນຜະລິດທີ່ຖກຕານິ, ເມີ່ອຈັບຜົນ ຜະລິດຈາກຮູ້ານຄູ້າ 10 ອນັ . 74

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 ຕາຕະລາງ ຄ່າຂອງ PX  r ເຊ່ິງ X ມກີ ານແຈກຢາຍແບບທະວີບົດ r bx, n, p x0 P n r .10 .20 .25 .30 .40 .50 .60 .70 .80 .90 1 0 .9000 .8000 .7500 .7000 .6000 .5000 .4000 .3000 .2000 .1000 1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2 0 .81000 .6400 .5625 .4900 .3600 .2500 .1600 .0900 .0400 .0100 1 .9900 .9600 .9375 .9100 .8400 .7500 .6400 .5100 .3600 .1900 2 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 3 0 .7290 .5120 .4219 .3430 .2160 .1250 .0640 .0270 .0080 .0010 1 .9720 .8960 .8438 .7840 .6480 .5000 .3520 .2160 .1040 .0280 2 .9990 .9920 .9844 .9730 .9360 .8750 .7840 .6570 .4880 .2710 3 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 4 0 .6561 .4096 .3164 .2401 .1296 .0625 .0256 .0081 .0061 .0001 1 .9477 .8192 .7383 .6517 .4752 .3125 .1792 .0837 .0272 .0037 2 .9963 .9728 .9492 .9163 .8208 .6875 .5248 .3483 .1808 .0523 3 .9999 .9984 .9961 .9919 .9744 .9375 .8704 .7599 .5904 .3439 4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 5 0 .5905 .3277 .2373 .1681 .0778 .0312 .0102 .004 .0003 .0000 1 .9185 .7373 .6328 .5282 .3370 .1875 .0870 .0308 .0067 .0005 2 .9914 .9421 .8965 .8369 .6826 .5000 .3174 .1631 .0579 .0086 3 .9995 .9933 .9844 .9692 .9130 .8125 .6630 .4718 .2627 .0815 4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 6 0 .5314 .2621 .1780 .1176 .0467 .0156 .0041 .0007 .0001 .0000 1 .8857 .6554 .5339 .4202 .2333 .1094 .0410 .0109 .0016 .0001 2 .9841 .9011 .8306 .7443 .5443 .3438 .1792 .0705 .0170 .0013 3 .9987 .9830 .9624 .9295 .8208 .6563 .4557 .2557 .098 .0158 4 .9999 .9984 .9954 .9891 .9590 .8906 .7667 .5798 .3447 .1143 5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 7 0 .4783 .2097 .1335 .0824 .0280 .0078 .0016 .0002 .0000 1.0000 1 .8503 .5767 .4449 .3294 .1586 .0625 .0188 .0038 .0004 .0000 2 .9743 .8520 .7564 .6471 .4199 .2266 .0963 .0288 .0047 .0002 3 .9973 .9667 .9294 .8740 .7102 .5000 .2898 .1260 .0333 .0027 4 .9998 .9953 .9871 .9712 .9037 .7734 .5801 .3529 .1480 .0257 5 1.0000 .9996 .9987 .9962 .9812 .9375 .8414 .6706 .4233 .1497 6 1.0000 .9999 .9998 .9984 .9922 .9720 .9176 .7903 .5217 7 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຕາຕະລາງ ຄ່າຂອງ PX  r ເຊງ່ິ X ມກີ ານແຈກຢາຍແບບທະວບີ ົດ r bx, n, p x0 n r .10 .20 .25 .30 .40 P .70 .80 .90 8 0 .4305 .1378 .1001 .0576 .0168 .50 .60 .0001 .0000 .5033 .3671 .2553 .1064 .0013 .0001 .0000 1 .8131 .7969 .6785 .5518 .3154 .0039 .0007 .0113 .0012 .0004 2 .9619 .9437 .8862 .8059 .5941 .0352 .0085 .0580 .0104 .0050 3 .9950 .9898 .9958 .9887 .9502 .1445 .0498 .4482 .2031 .0381 4 .9996 .9988 .9958 .9887 .9502 .3633 .1737 .4482 .2031 .1869 5 1.000 .9991 .9996 .9887 .9915 .8555 .6846 .7447 .4967 .5695 6 1.0000 1.0000 .9999 .9993 .8555 .6846 .9424 .8322 1.0000 7 1.0000 .9618 .8936 1.0000 1.0000 8 1.0000 .99961 .9832 1.0000 1.0000 9 0 .3874 .1342 .0751 .0404 .0101 .0020 .0003 .0000 1 .7748 .4362 .3003 .1960 .0750 .0195 .0038 .0004 .0000 2 .9470 .7382 .6007 .4628 .2318 .0898 .0250 .0043 .0003 .0000 3 .9917 .9144 .8343 .7297 .4826 .2539 .0994 .0253 .0031 .0001 4 .9991 .9804 .9511 .9012 .7334 .5000 .2666 .0988 .0196 .0009 5 .9999 .9969 .9900 .9747 .9006 .7461 .5174 .2703 .0856 .0083 6 1.0000 .9997 .9987 .9957 .9750 .9102 .7682 .5372 .2618 .0530 7 1.0000 .9999 .9996 .9962 .9805 .9295 .8040 .5638 .2252 8 1.0000 1.0000 .9997 .9980 .9899 .9596 .8658 .6126 9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 0 .3487 .1074 .0563 .0282 .0060 .0010 .0001 .0000 .0000 .0000 1 .7361 .3758 .2440 .1493 .0464 .0107 .0017 .0001 .0001 .0002 2 .9298 .6778 .5256 .3828 .1673 .0547 .0123 .0016 .0009 .0016 3 .9872 .8791 .7759 .6496 .3823 .1719 .0548 .0106 .0061 .0128 4 .9984 .9672 .9219 .8497 .6331 .3770 .1662 .0474 .0328 .0702 5 .9999 .9936 .9803 .9527 .8338 .6230 .3669 .1503 .1209 .2639 6 1.0000 .9999 .9965 .9894 .9452 .8281 .6177 .3504 .3222 .6513 7 1.0000 .9996 .9894 .9877 .9453 .8327 .6172 .6242 1.0000 8 .9893 .9536 .8507 .9826 9 1.0000 .9999 .9983 .9990 .9940 .9718 1.0000 10 1.0000 .9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 11 0 .3138 .0859 .0422 .0198 .0036 .0005 .0000 .0000 .0000 .0000 1 .6974 .3221 .1971 .1130 .0302 .0059 .0007 .0006 .0002 .0003 2 .9104 .6174 .4552 .3127 .1189 .0327 .0059 .0043 .0020 .0028 3 .9815 .8369 .7133 .5696 .2963 .1133 .0293 .0216 .0117 .0185 4 .9972 .9496 .8854 .7897 .5328 .2744 .0994 .0782 .0504 .0896 5 .9997 .9883 .9657 .9218 .7535 .5000 .2465 .2103 .1611 .3026 6 1.0000 .9980 .9924 .9784 .9006 .7256 .4672 .4304 .3826 .6862 7 .9998 .9988 .9957 .9707 .8867 .7037 .6873 .6779 1.0000 8 1.0000 .9999 .9994 .9941 .9673 .8811 .8870 .9141 9 .9698 .9802 1.0000 10 1.0000 1.0000 .9993 .9941 .9964 1.0000 11 1.0000 .9995 1.0000 1.0000

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຕາຕະລາງ ຄ່າຂອງ PX  r ເຊິງ່ X ມີການແຈກຢາຍແບບທະວບີ ົດ r bx, n, p x0 nr .10 .20 .25 .30 P .60 .70 .80 .90 12 0 .2824 .0687 .0317 .0138 .40 .50 .0000 .6590 .2749 .1584 .0850 .0022 .0002 .0003 .0000 .0000 .0000 1 .8891 .5583 .3907 .2528 .0196 .0032 .0028 .0002 .0001 .0001 2 .9744 .7946 .6488 .4925 .0834 .0193 .0153 .0017 .0006 .0005 3 .9957 .9274 .8424 .7237 .2253 .0730 .0573 .0095 .0039 .0043 4 .9995 .9806 .9456 .8821 .4382 .1938 .1582 .0386 .0194 .0256 5 .9999 .9961 .9857 .9614 .6652 .3872 .3348 .1178 .0726 .1109 6 1.0000 .9994 .9972 .9905 .8418 .6128 .5618 .2763 .2054 .3410 7 .9999 .9996 .9983 .9427 .8062 .7747 .5075 .4417 .7176 8 1.0000 1.0000 .9998 .9847 .9270 .9166 .7472 .7251 1.0000 9 .9972 .9807 .9804 .9150 .9313 10 1.0000 .9997 .9968 .9978 .9862 1.0000 11 1.0000 .9998 1.0000 1.0000 12 1.0000 13 0 .2542 .0550 .0238 .0097 .0013 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 1 .6213 .2326 .1267 .0637 .0126 .0017 .0001 .0001 .0002 .0001 2 .8661 .5017 .3326 .2025 .0579 .0112 .0013 .0007 .0012 .0009 3 .9658 .7473 .5843 .4206 .1686 .0461 .0078 .0040 .0070 .0065 4 .9935 .9009 .7940 .6543 .3530 .1334 .0321 .0182 .0300 .0342 5 .9991 .9700 .9198 .8346 .5744 .2905 .0977 .0624 .0991 .1339 6 .9999 .9930 .9757 .9376 .7712 .5000 .2288 .1654 .2527 .3787 7 1.0000 .9980 .9944 .9818 .9023 .7095 .4256 .3457 .4983 .7458 8 .9998 .9990 .9960 .9679 .8666 .6470 .5794 .7664 1.0000 9 1.0000 .9999 .9993 .9922 .9539 .8314 .7975 .9450 10 .9987 .9888 .9421 .9363 1.0000 11 1.0000 .9999 .9999 .9983 .9874 .9903 12 1.0000 1.0000 .9999 .9987 1.0000 13 1.0000 1.0000 14 0 .2288 .0440 .0178 .0068 .0008 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 1 .5846 .1979 .1010 .0475 .0081 .0009 .0001 .0002 .0004 .0002 2 .8416 .4481 .2811 .1608 .0398 .0065 .0006 .0017 .0024 .0015 3 .9559 .6982 .5213 .3552 .1234 .0287 .0039 .0083 .0116 .0092 4 .9908 .8702 .7415 .5842 .2793 .0898 .1075 .0315 .0439 .0441 5 .9985 .9561 .8883 .7805 .4859 .2120 .0583 .0933 .1298 .1584 6 .9998 .9884 .9617 .9067 .6925 .3953 .1501 .2195 .3018 .4154 7 1.0000 .9976 .9897 .9685 .8499 .6047 .3075 .4158 .5519 .7712 8 .9996 .9978 .9917 .9417 .7880 .5141 .6448 .8021 1.0000 9 1.0000 .9997 .9983 .9825 .9102 .7207 .8392 .9560 10 1.0000 .9998 .9961 .9713 .8757 .9525 1.0000 11 .9935 .9602 .9932 12 1.0000 .9994 .9991 .9919 1.0000 13 .9999 .9999 .9992 14 1.0000 1.0000 1.0000

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 ຕາຕະລາງ ຄ່າຂອງ PX  r ເຊ່ິງ X ມີການແຈກຢາຍແບບທະວບີ ດົ r bx, n, p x0 nr .10 .20 .25 .30 P .60 .70 .80 .90 15 0 .2059 .0352 .0134 .0047 .40 .50 .5490 .1671 .0802 .0353 .0005 .0000 .0000 .0000 .0000 1 .8159 .3980 .2361 .1268 .0052 .0005 .0003 .00001 .0003 2 .9444 .6482 .4613 .2969 .0271 .0037 .0019 .0007 .0000 .0022 3 .9873 .8358 .6865 .5155 .0905 .0176 .0093 .0037 .0001 .0127 4 .9978 .9389 .8516 .7216 .2173 .0592 .0338 .0152 .0008 .0556 5 .9997 .9819 .9434 .8689 .4032 .1509 .0950 .0500 .0042 .1841 6 1.0000 .9958 .9827 .9500 .6098 .3036 .2131 .1311 .0181 .4510 7 .9992 .9958 .9848 .7869 .5000 .3902 .2784 .0611 .7941 8 .9999 .9992 .9963 .9050 .6964 .5968 .4845 .1642 1.0000 9 1.0000 .9999 .9993 .9662 .8491 .7827 .7031 .3518 10 .9907 .9408 .9095 .8732 .6020 11 1.0000 .9999 .9981 .9824 .9729 .9647 .8329 12 1.0000 .9997 .9963 .9948 .9953 .9648 13 1.0000 .9995 .9995 1.0000 1.0000 14 1.0000 15 1.0000 16 0 .1853 .0281 .0100 .0033 .0003 .0003 .0000 .0003 .0000 .0000 1 .5147 .1407 .0635 .0261 .0033 .0021 .0001 .0016 .0002 .0001 2 .7892 .3518 .1971 .0994 .0183 .0106 .0009 .0071 .0015 .0005 3 .9316 .5981 .4050 .2459 .0651 .0384 .0049 .0257 .0070 .0033 4 .9830 .7982 .6302 .4499 .1666 .1051 .0191 .0744 .0267 .0170 5 .9967 .9183 .8103 .6598 .3288 .2272 .0583 .1753 .0817 .0684 6 .9995 .9733 .9204 .8247 .5272 .4018 .1423 .3402 .2018 .2108 7 .9999 .9930 .9729 .9256 .7161 .5982 .2839 .5501 .4019 .4853 8 1.0000 .9985 .9925 .9743 .8577 .7728 .4728 .7541 .6482 .8147 9 .9998 .9984 .9929 .9417 .8949 .6712 .9006 .8593 1.0000 10 1.0000 .9997 .9984 .9809 .9616 .8334 .9739 .9719 11 .9951 .9894 .9349 .9967 1.0000 12 1.0000 .9997 .9991 .9979 .9817 1.0000 13 1.0000 .9999 .9997 .9967 14 1.0000 1.0000 .9997 15 1.0000 16

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຕາຕະລາງ ຄ່າຂອງ PX  r ເຊງິ່ X ມກີ ານແຈກຢາຍແບບທະວບີ ົດ r bx, n, p x0 nr .10 P .70 .80 .90 17 0 .1668 .20 .25 .30 .40 .50 .60 .4818 .0225 .0075 .0023 .0002 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 1 .7618 .1182 .0501 .0193 .0021 .0001 .0000 .0000 .0001 .0001 2 .9174 .3096 .1637 .0774 .0123 .0012 .0001 .0001 .0005 .0008 3 .9779 .5489 .3530 .2019 .0464 .0064 .0005 .0007 .0026 .0047 4 .9953 .7582 .5739 .3887 .1260 .0245 .0025 .0032 .0109 .0221 5 .9992 .8943 .7653 .5968 .2639 .0717 .0106 .0127 .0377 .0826 6 .9999 .9623 .9829 .7752 .4478 .1662 .0348 .0403 .1057 .2382 7 1.0000 .9891 .9598 .8954 .6405 .3145 .0919 .1046 .2418 .5182 8 .9974 .9876 .9597 .8011 .5000 .1989 .2248 .4511 .8332 9 .9995 .9969 .9873 .9081 .6855 .3595 .4032 .6904 1.0000 10 .9999 .9994 .9968 .9652 .8338 .5522 .6113 .8818 11 1.0000 .9999 .9993 .9894 .9283 .7361 .7981 .9775 12 .9226 1.0000 13 1.0000 .9999 .9975 .9755 .8740 .9807 14 1.0000 .9995 .9936 .9536 .9977 15 .9999 .9988 .9877 1.0000 16 1.0000 .9999 .9979 17 1.0000 .9998 1.0000 18 0 .1501 .0180 .0056 .0016 .0001 .0000 .0000 .0000 1 .4503 .0991 .0395 .0142 .0013 .0001 .0002 .0003 2 .7338 .2713 .1353 .0600 .0082 .0007 .0013 .0014 .0000 3 .9018 .5010 .3057 .1646 .0328 .0038 .0058 .0061 .0002 4 .9718 .7164 .5187 .3327 .0942 .0154 .0203 .0210 .0009 5 .9936 .8671 .7175 .5344 .2088 .0481 .0576 .0596 .0043 6 .9988 .9487 .8610 .7217 .3743 .1189 .1347 .1407 .0163 7 .9998 .9837 .9431 .8593 .5834 .2403 .2632 .2783 .0513 8 1.0000 .9957 .9807 .9404 .7368 .4073 .4366 .4656 .1329 9 .9991 .9946 .9790 .8653 .5927 .6257 .6673 .2836 10 .9998 .9988 .9939 .9424 .7597 .7912 .9354 .4990 .0000 11 1.0000 .9998 .9986 .9797 .8811 .9058 .9400 .7287 .0002 12 .9942 .9519 .9672 .9858 .9009 .0012 13 1.0000 .9997 .9987 .9846 .9918 .9984 .9820 .0064 14 1.0000 .9998 .9962 .9987 1.0000 1.0000 .0282 15 1.0000 .9993 .9999 .0982 16 .9999 1.0000 .2662 17 1.0000 .5497 18 .8499 1.0000

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 ຕາຕະລາງ ຄາ່ ຂອງ PX  r ເຊິ່ງ X ມກີ ານແຈກຢາຍແບບທະວບີ ົດ r bx, n, p x0 nr .10 .20 .25 .30 P .60 .70 .80 .90 19 0 .1351 .0144 .0042 .0011 .40 .50 .4203 .0829 .0310 .0104 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 1 .7054 .2369 .1113 .0462 .0008 .0000 .0001 .0001 .0003 .0003 2 .8850 .4551 .2631 .1332 .0055 .0004 .0006 .0006 .0016 .0017 3 .9648 .6733 .4654 .2822 .0230 .0022 .0031 .0028 .0067 .0086 4 .9914 .8369 .6678 .4739 .0696 .0096 .0116 .0105 .0233 .0352 5 .9983 .9324 .8251 .6655 .1629 .0318 .0352 .0326 .0676 .1150 6 .9997 .9767 .9225 .8180 .3081 .0835 .0885 .0839 .1631 .2946 7 1.0000 .9933 .9713 .9161 .4878 .1796 .1861 .1820 .3267 .5797 8 .9984 .9911 .9674 .6675 .3238 .3325 .3345 .5449 .8649 9 .9997 .9977 .9895 .8139 .5000 .5122 .5261 .7631 1.0000 10 1.0000 .9995 .9972 .9115 .6762 .9619 .7178 .9171 11 .9648 .8204 .8371 .8668 .9856 12 .9999 .9994 .9884 .9165 .9304 .9538 1.0000 13 1.0000 .9999 .9969 .9682 .9770 .9896 14 .9994 .9904 .9945 .9989 15 1.0000 .9999 .9978 .9992 1.0000 16 1.0000 .9996 .9999 17 1.0000 18 1.0000 19 20 0 .1216 .0115 .0032 .0008 .0000 .0000 .0000 .0000 1 .3917 .0692 .0243 .0076 .0005 .0000 .0003 .0003 .0001 2 .6769 .2061 .0913 .0355 .0036 .0002 .0016 .0013 .0006 3 .8670 .4114 .2252 .1071 .0160 .0013 .0065 .0051 .0026 4 .9568 .6296 .4148 .2375 .0510 .0059 .0210 .0171 .0100 5 .9887 .8042 .6172 .4164 .1256 .0207 .0565 .0480 .0321 6 .9976 .9133 .7858 .6080 .2500 .0577 .1275 .1133 .0867 7 .9996 .9679 .8982 .7723 .4159 .1316 .2447 .2277 .1958 8 .9999 .9900 .9591 .8867 .5956 .2517 .4044 .3920 .3704 9 1.0000 .9974 .9861 .9520 .7553 .4119 .5841 .5836 .5886 10 .9994 .9961 .9829 .8725 .5881 .7500 .7625 .7939 11 .9999 .9991 .9949 .9435 .7483 .8744 .8929 .9308 .0000 12 1.0000 .9998 .9987 .9790 .8684 .9490 .9645 .9885 .0001 13 .9935 .9423 .9840 .9924 1.0000 .0004 14 1.0000 .9997 .9984 .9793 .9964 .9992 .0024 15 1.0000 .9997 .9941 .9995 1.0000 .0113 16 1.0000 .9987 1.0000 .0432 17 .1330 18 .9998 .3231 19 1.0000 .6083 20 .8784 1.0000

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຕາຕະລາງ ຄາ່ ຂອງ PX  r ເຊ່ິງ X ມີການແຈກຢາຍແບບປົວຊງົ   r  e . x x! p x1,  x0  X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493 .4066 .3679 1 .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 .3293 .3476 .3595 .3659 .3679 2 .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438 .1647 .1839 3 .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0284 .0383 .0494 .0613 4 .0000 .0001 .0003 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077 .0111 .0153 5 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0004 .0007 .0012 .0020 .0031 6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0003 .0005 7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 X 1.1 1.2 1.3 1.4  1.7 1.8 1.9 2.0 0 .3329 .0312 .2725 .2466 .1827 .1653 .1496 .1353 1 .3662 .3614 .3543 .3452 1.5 1.6 .3106 .2975 .2842 .2707 2 .2014 .2169 .2303 .2417 .2231 .2019 .2640 .2678 .2700 .2707 3 .0738 .0867 .0998 .1128 .3347 .3230 .1496 .1607 .1710 .1804 4 .0203 .0260 .0324 .0395 .2510 .2584 .0636 .0723 .0812 .0902 .1255 .1378 .0471 .0551 5 .0045 .0062 .0084 .0111 .0141 .0176 .0216 .0260 .0309 .0361 6 .0008 .0012 .0018 .0026 .0035 .0047 .0016 .0078 .0098 .0120 7 .0001 .0002 .0003 .0005 .0008 .0011 .0015 .0020 .0027 .0034 8 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0002 .0003 .0005 .0006 .0009 9 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0002 X 2.1 2.2 2.3 2.4  2.7 2.8 2.9 3.0 0 .1225 .1108 .1003 .0907 .0672 .0608 .0550 .0498 1 .2572 .2438 .2306 .2177 2.5 2.6 .1815 .1703 .1596 .1494 2 .2700 .2681 .2652 .2613 .0821 .0743 .2450 .2384 .2314 .2240 3 .1890 .1966 .2033 .2090 .2052 .1931 .2205 .2225 .2237 .2240 4 .0992 .1082 .1169 .1254 .2565 .2510 .1488 .1557 .1622 .1680 .2138 .2176 .1336 .1414 5 .0417 .0476 .0538 .0602 .0668 .0735 .0804 .0872 .0940 .1008 6 .0146 .0174 .0206 .0241 .0278 .0319 .0362 .0407 .0455 .0504 7 .0044 .0055 .0068 .0083 .0099 .0118 .0139 .0163 .0188 .0216 8 .0011 .0015 .0019 .0025 .0031 .0038 .0047 .0057 .0068 .0081 9 .0003 .0004 .0005 .0007 .0009 .0011 .0014 .0018 .0022 .0027 10 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0003 .0004 .0005 .0006 .0008 11 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 12 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຕາຕະລາງ ຄ່າຂອງ PX  r ເຊິງ່ X ມີການແຈກຢາຍແບບປົວຊົງ   r  e . x x! p x1,  x0  X 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 0 .0450 .0408 .0369 .0334 .0302 .0273 .0247 .0224 .0202 .0183 1 .1397 .1304 .1217 .1135 .1057 .0984 .0915 .0850 .0789 .0733 2 .2165 .2038 .2008 .1929 .1850 .1771 .1692 .1615 .1539 .1465 3 .2237 .2226 .2209 .2186 .2158 .2125 .2087 .2046 .2001 .1954 4 .1733 .1781 .1823 .1858 .1888 .1912 .1931 .1944 .1951 .1954 5 .1075 .1140 .1203 .1264 .1322 .1377 .1429 .1477 .1522 .1563 6 .0555 .0608 .0662 .0716 .0771 .0826 .0881 .0936 .0989 .1042 7 .0246 .0278 .0312 .0348 .0385 .0425 .0466 .0508 .0551 .0595 8 .0095 .0111 .0129 .0148 .0169 .0191 .0215 .0241 .0269 .0298 9 .0033 .0040 .0047 .0056 .0066 .0076 .0089 .0102 .0116 .0132 10 .0010 .0013 .0016 .0019 .0023 .0028 .0033 .0039 .0045 .0053 11 .0003 .0004 .0005 .0006 .0007 .0009 .0011 .0013 .0016 .0019 12 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0005 .0006 13 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 14 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 X 4.1 4.2 4.3 4.4  4.7 4.8 4.9 5.0 0 .0166 .0150 .0136 .0123 .0091 .0082 .0074 .0067 1 .0679 .0630 .0583 .0540 4.5 4.6 .0427 .0395 .0365 .0337 2 .1393 .1323 .1254 .1188 .0111 .0101 .1005 .0948 .0894 .0842 3 .1904 .1852 .1798 .1743 .0500 .0462 .1574 .1517 .1460 .1404 4 .1951 .1944 .1933 .1917 .1125 .1063 .1849 .1820 .1789 .1755 .1687 .1631 .1898 .1875 5 .1600 .1633 .1662 .1687 .1708 .1725 .1738 .1747 .1753 .1755 6 .1093 .1143 .1191 .1237 .1281 .1323 .1362 .1398 .1432 .1462 7 .0640 .0686 .0732 .0778 .0824 .0869 .0914 .0959 .1002 .1044 8 .0328 .0360 .0393 .0428 .0463 .0500 .0537 .0575 .0614 .0653 9 .0150 .0168 .0188 .0209 .0232 .0255 .0281 .0307 .0334 .0363 10 .0061 .0071 .0081 .0092 .0104 .0118 .0132 .0147 .0164 .0181 11 .0023 .0027 .0032 .0037 .0043 .0049 .0056 .0064 .0073 .0082 12 .0008 .0009 .0011 .0013 .0016 .0019 .0022 .0026 .0030 .0034 13 .0002 .0003 .0004 .0005 .0006 .0007 .0008 .0009 .0011 .0013 14 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0005 15 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 ຕາຕະລາງ ຄ່າຂອງ PX  r ເຊິ່ງ X ມີການແຈກຢາຍແບບປົວຊົງ   r  e . x x! p x1,  x0  X 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 0 .0061 .0055 .0050 .0045 .0041 .0037 .0033 .0030 .0027 .0025 1 .0311 .0287 .0265 .0244 .0225 .0207 .0191 .0176 .0162 .0149 2 .0793 .0764 .0701 .0659 .0618 .0580 .0544 .0509 .0477 .0446 3 .1348 .1293 .1239 .1185 .1133 .1082 .1033 .0985 .0938 .0892 4 .1719 .1681 .1641 .1600 .1558 .1515 .1472 .1428 .1383 .1339 5 .017529 .17479 .17396 .17282 .1714 .16971 .16777 .1656 .16321 .16062 6 .149 .15148 .15366 .15554 .15712 .1584 .15938 .16008 .16049 .16062 7 .10856 .11253 .11634 .11999 .12345 .12672 .12978 .13263 .13527 .13768 8 .06921 .07314 .07708 .08099 .08487 .0887 .09247 .09616 .09976 .10326 9 .03922 .04226 .04539 .04859 .05187 .05519 .05856 .06197 .0654 .06884 10 .02 .02198 .02406 .02624 .02853 .03091 .03338 .03594 .03859 .0413 11 .00927 .01039 .01159 .01288 .01426 .01573 .0173 .01895 .0207 .02253 12 .00394 .0045 .00512 .0058 .00654 .00734 .00822 .00916 .01018 .01126 13 .00155 .0018 .00209 .00241 .00277 .00316 .0036 .00409 .00462 .0052 14 .0006 .0007 .0008 .0009 .00109 .00127 .00147 .00169 .00195 .00223 15 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0005 .0006 .0007 .0008 .0009 16 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 17 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 X 6.1 6.2 6.3 6.4  6.7 0 .0022 .0020 .0018 .0017 .0012 1 .0137 .0126 .0116 .0106 6.5 6.6 .0082 6.8 6.9 7.0 2 .0417 .0390 .0364 .0340 .0015 .0014 .0276 .0011 .0010 .0009 3 .0848 .0806 .0765 .0726 .0098 .0090 .0617 .0076 .0070 .0064 4 .1294 .1249 .1205 .1162 .0318 .0296 .1034 .0258 .0240 .0223 .0688 .0652 .0584 .0552 .0521 .1118 .1076 .0992 .0952 .0912 5 .1579 .1549 .1519 .1487 .1454 .1420 .1385 .1349 .1314 .1277 6 .1605 .1601 .1595 .1586 .1575 .1562 .1546 .1529 .1511 .1490 7 .1399 .1418 .1435 .1450 .1462 .1472 .1480 .1486 .1489 .1490 8 .1066 .1099 .1130 .1160 .1188 .1215 .1240 .1263 .1284 .1304 9 .0723 .0757 .0791 .0825 .0858 .0891 .0923 .0954 .0985 .1014 10 .0441 .0469 .0498 .0528 .0558 .0588 .0618 .0649 .0679 .0710 11 .0244 .0265 .0285 .0307 .0330 .0353 .0377 .0401 .0426 .0452 12 .0124 .0137 .0150 .0164 .0179 .0194 .0210 .0227 .0245 .0263 13 .0058 .0065 .0073 .0081 .0089 .0099 .0108 .0119 .0130 .0142 14 .0025 .0029 .0033 .0037 .0041 .0040 .0052 .0058 .0064 .0071

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 ຕາຕະລາງ ຄາ່ ຂອງ PX  r ເຊິ່ງ X ມີການແຈກຢາຍແບບປົວຊົງ   r  e . x x! p x1,  x0  X 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7.0 15 .0010 .0012 .0014 .0016 .0018 .0020 .0023 .0026 .0029 .0033 16 .0004 .0005 .0005 .0006 .0007 .0008 .0010 .0011 .0013 .0014 17 .0001 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0006 18 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 19 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 X 7.1  7.9 8.0 0 .0008 .0004 .0003 1 .0059 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 .0029 .0027 2 .0208 .0007 .0007 .0006 .0006 .0005 .0005 .0004 .0116 .0107 3 .0492 .0054 .0049 .0045 .0041 .0038 .0035 .0032 .0305 .0286 4 .0874 .0194 .0180 .0167 .0156 .0145 .0134 .0125 .0602 .0573 .0464 .0438 .0413 .0389 .0366 .0345 .0324 .0836 .0799 .0764 .0729 .0696 .0663 .0632 5 .1241 .1204 .1167 .1130 .1094 .1057 .1021 .0986 .0951 .0916 6 .1468 .1445 .1420 .1394 .1367 .1339 .1311 .1282 .1252 .1221 7 .1489 .1486 .1481 .1474 .1465 .1454 .1442 .1428 .1413 .1396 8 .1321 .1337 .1351 .1363 .1373 .1381 .1388 .1392 .1395 .1396 9 .1042 .1070 .1096 .1121 .1144 .1167 .1187 .1207 .1224 .1241 10 .0740 .0770 .0800 .0829 .0858 .0887 .0914 .0941 .0967 .0993 11 .0478 .0504 .0531 .0558 .0858 .0613 .0640 .0667 .0695 .0722 12 .0283 .0303 .0323 .0344 .0366 .0388 .0411 .0434 .0457 .0481 13 .0154 .0168 .0181 .0196 .0211 .0227 .0243 .0260 .0278 .0296 14 .0078 .0086 .0095 .0104 .0113 .0123 .0134 .0145 .0157 .0169 15 .0037 .0041 .0046 .0051 .0057 .0062 .0069 .0075 .0083 .0090 16 .0016 .0019 .0021 .0024 .0026 .0030 .0033 .0037 .0041 .0045 17 .0007 .0008 .0009 .0010 .0012 .0013 .0015 .0017 .0019 .0021 18 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0006 .0006 .0007 .0008 .0009 19 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0003 .0004 20 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 21 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖຕີ ິ 1 ຕາຕະລາງ ຄ່າຂອງ PX  r ເຊິ່ງ X ມກີ ານແຈກຢາຍແບບປົວຊົງ   r  e . x x! p x1,  x0  X 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9.0 0 .0003 .0003 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0001 .0001 1 .0025 .0023 .0021 .0019 .0017 .0016 .0014 .0013 .0012 .0011 2 .0100 .0092 .0086 .0079 .0074 .0068 .0063 .0058 .0054 .0050 3 .0269 .0252 .0237 .0222 .0208 .0195 .0183 .0171 .0160 .0150 4 .0544 .0517 .0491 .0466 .0443 .0420 .0398 .0377 .0357 .0337 5 .0882 .0849 .0816 .0784 .0752 .0722 .0692 .0663 .0635 .0607 6 .1191 .1160 .1128 .1097 .1066 .1034 .1003 .0972 .0941 .0911 7 .1378 .1358 .1338 .1317 .1394 .1271 .1247 .1222 .1197 .1171 8 .1395 .1392 .1388 .1382 .1375 .1366 .1356 .1344 .1332 .1318 9 .1256 .1269 .1280 .1290 .1299 .1306 .1311 .1315 .1317 .1318 10 .1017 .1040 .1063 .1084 .1104 .1123 .1140 .1157 .1172 .1186 11 .0749 .0776 .0802 .0828 .0853 .0878 .0902 .0925 .0948 .0970 12 .0505 .0530 .0555 .0579 .0604 .0629 .0654 .0679 .0703 .0728 13 .0315 .0334 .0354 .0374 .0395 .0416 .0438 .0459 .0481 .0504 14 .0182 .0196 .0210 .0225 .0240 .0256 .0272 .0289 .0306 .0324 15 .0098 .0107 .0116 .0126 .0136 .0147 .0158 .0169 .0182 .0194 16 .0050 .0055 .0060 .0066 .0072 .0079 .0086 .0093 .0101 .0109 17 .0024 .0026 .0029 .0033 .0036 .0040 .0044 .0048 .0053 .0058 18 .0011 .0012 .0014 .0015 .0017 .0019 .0021 .0024 .0026 .0029 19 .0005 .0005 .0006 .0007 .0008 .0009 .0010 .0011 .0012 .0014 20 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0005 .0006 21 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0002 .0003 22 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 X 9.1 9.2 9.3 9.4  9.7 9.8 9.9 10.0 0 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0000 1 .0010 .0009 .0009 .0008 9.5 9.6 .0006 .0005 .0005 .0005 2 .0046 .0043 .0040 .0037 .0001 .0001 .0029 .0027 .0025 .0023 3 .0140 .0131 .0123 .0115 .0007 .0007 .0093 .0087 .0081 .0076 4 .0319 .0302 .0285 .0269 .0034 .0031 .0226 .0213 .0201 .0189 .0107 .0100 .0254 .0240 5 .0581 .0555 .0530 .0506 .0483 .0460 .0439 .0418 .0398 .0738 6 .0881 .0851 .0822 .0793 .0764 .0736 .0709 .0682 .0656 .0631 7 .1145 .1118 .1091 .1064 .1037 .1010 .0982 .0955 .0928 .0901 8 .1302 .1286 .1269 .1251 .1232 .1212 .1191 .1170 .1148 .1126 9 .1317 .1315 .1311 .1306 .1300 .1293 .1284 .1274 .1263 .1251

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຕາຕະລາງ ຄ່າຂອງ PX  r ເຊ່ິງ X ມີການແຈກຢາຍແບບປົວຊົງ   r  e . x x! p x1,  x0  X 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10.0 10 .1198 .1210 .1219 .1228 .1235 .1241 .1245 .1249 .1250 .1251 11 . 0991 .1012 .1031 .1049 .1067 .1083 .1098 .1112 .1125 .1137 12 .0752 .0776 .0799 .0822 .0844 .0866 .0888 .0908 .0928 .0948 13 .0526 .0549 .0572 .0594 .0617 .0640 .0662 .0685 .0707 .0729 14 .0342 .0361 .0380 .0399 .0419 .0439 .0459 .0479 .0500 .0521 15 .0208 .0221 .0235 .0250 .0265 .0281 .0297 .0313 .0330 .0347 16 .0118 .0127 .0137 .0147 .0157 .0168 .0180 .0192 .0204 .0217 17 .0063 .0069 .0075 .0081 .0088 .0095 .0103 .0111 .0119 .0128 18 .0032 .0035 .0039 .0042 .0046 .0051 .0055 .0060 .0065 .0071 19 .0015 .0017 .0019 .0021 .0023 .0026 .0028 .0031 .0034 .0037 20 .0007 .0008 .0009 .0010 .0011 .0012 .0014 .0015 .0017 .0019 21 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0006 .0006 .0007 .0008 .0009 22 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0004 23 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 24 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 X 11.1 12.2 13.3 14.4  19.9 20.0 0 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 1 .0002 .0001 .0000 .0000 15.5 16.6 17.7 18.8 .0000 .0000 2 .0010 .0004 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 3 .0032 .0018 .0008 .0004 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 4 .0102 .0053 .0027 .0013 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0002 .0001 .0000 .0000 .0006 .0003 .0001 .0001 5 .0224 .0127 .0070 .0037 .0019 .0010 .0005 .0002 .0001 .0001 6 .0411 .0255 .0152 .0087 .0048 .0026 .0014 .0007 .0004 .0002 7 .0646 .0437 .0281 .0174 .0104 .0060 .0034 .0019 .0010 .0005 8 .0888 .0655 .0457 .0304 .0194 .0120 .0072 .0042 .0024 .0013 9 .1085 .0874 .0661 .0473 .0324 .0213 .0135 .0083 .0050 .0029 10 .1194 .1048 .0859 .0663 .0486 .0341 .0230 .0150 .0095 .0058 11 .1194 .1144 .1015 .0844 .0663 .0496 .0355 .0245 .0164 .0106 12 .1094 .1144 .1099 .0984 .0829 .0661 .0504 .0368 .0259 .0176 13 .0926 .1056 .1099 .1060 .0956 .0814 .0858 .0509 .0378 .0271 14 .0728 .0905 .1021 .1060 .1024 .0930 .0800 .0655 .0514 .0387 15 .0534 .0724 .0885 .0989 .1024 .0992 .0906 .0786 .0650 .0516 16 .0367 .0543 .0719 .0866 .0960 .0992 .0963 .0884 .0772 .0646 17 .0237 .0383 .0550 .0713 .0847 .0934 .0963 .0936 .0863 .0760

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຕາຕະລາງ ຄ່າຂອງ PX  r ເຊິ່ງ X ມກີ ານແຈກຢາຍແບບປົວຊງົ   r  e . x x! p x1,  x0  X 11.1 12.2 13.3 14.4 15.5 16.6 17.7 18.8 19.9 20.0 18 .0145 .0255 .0397 .0554 .0706 .0830 .0909 .0936 .0911 .0844 19 .0084 .0161 .0272 .0409 .0557 .0699 .0814 .0887 .0911 .0888 20 .0046 .0097 .0177 .0286 .0418 .0559 .0692 .0798 .0866 .0888 21 .0024 .0055 .0109 .0191 .0299 .0426 .0560 .0684 .0783 .0846 22 .0012 .0030 .0065 .0121 .0204 .0310 .0433 .0560 .0676 .0769 23 .0006 .0016 .0037 .0074 .0133 .0216 .0320 .0438 .0559 .0669 24 .0003 .0008 .0020 .0043 .0083 .0144 .0226 .0328 .0442 .0557 25 .0001 .0004 .0010 .0024 .0050 .0092 .0154 .0237 .0336 .0446 26 .0000 .0002 .0005 .0013 .0029 .0057 .0101 .0164 .0246 .0343 27 .0000 .0001 .0002 .0007 .0016 .0034 .0063 .0109 .0173 .0254 28 .0000 .0000 .0001 .0003 .0009 .0019 .0038 .0070 .0117 .0181 29 .0000 .0000 .0001 .0002 .0004 .0011 .0023 .0044 .0077 .0125 30 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0006 .0013 .0026 .0049 .0083 31 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 .0007 .0015 .0030 .0054 32 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0004 .0009 .0018 .0034 33 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0005 .0010 .0020 34 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0006 .0012 35 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 .0007 36 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0004 37 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 38 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 39 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຕາຕະລາງ ຄາ່ ຂອງ PX  r ເຊ່ງິ X ມກີ ານແຈກຢາຍແບບປົວຊງົ x  px,  x0  r .02 .04 .05 .06 .008 .10 .15 .20 .25 .30 0 .980 .961 .951 .942 .923 .950 .861 .819 .779 .741 1 1.000 .999 .999 .998 .997 .995 .990 .982 .974 .963 2 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 .999 .998 .996 3 1.000 1.000 1.000 1.000  r .35 .40 .45 .50 .55 .60 .65 .70 .75 .80 0 .750 .670 .638 .607 .577 .549 .522 .497 .472 .449 1 .951 .938 .925 .910 .894 .878 .861 .844 .827 .809 2 .994 .992 .989 .986 .982 .977 .972 .966 .959 .953 3 1.000 .999 .999 .998 .998 .997 .996 .994 .993 .991 4 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 .999 .999 .999 5 1.000 1.000 1.000 1.000  r .85 .90 .95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 0 .427 .407 .387 .368 .350 .333 .317 .301 .287 .273 1 .791 .772 .754 .736 .717 .699 .681 .663 .645 .627 2 .945 .937 .929 .920 .910 .900 .890 .879 .868 .857 3 .989 .987 .984 .981 .978 .974 .970 .966 .962 .957 4 .998 .998 .997 .996 .996 .995 .993 .992 .991 .989 5 1.000 1.000 1.000 .999 .999 .999 .999 .998 .998 .998 6 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000  r 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 0 .259 .247 .235 .223 .212 .202 .092 .183 .174 .165 1 .609 .592 .575 .558 .541 .525 .509 .493 .478 .463 2 .845 .833 .821 .809 .796 .783 .770 .757 .744 .731 3 .952 .946 .940 .934 .928 .921 .914 .907 .899 .891 4 .988 .986 .980 .981 .979 .976 .973 .970 .967 .964 5 .997 .997 .996 .996 .995 .994 .993 .992 .991 .990 6 .999 .999 .999 .999 .999 .999 .998 .998 .998 .997 7 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 8 1.000

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຕາຕະລາງ ຄາ່ ຂອງ PX  r ເຊ່ິງ X ມີການແຈກຢາຍແບບປົວຊງົ x  px,  x0  r 1.85 1.90 1.95 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 3.20 0 .157 .150 .142 .135 .111 .091 .074 .061 .050 .410 1 .448 .434 .420 .406 .355 .308 .267 .231 .199 .171 2 .717 .704 .690 .677 .623 .570 .518 .469 .423 .380 3 .883 .875 .866 .857 .819 .779 .736 .692 .647 .603 4 .960 .956 .952 .947 .947 .904 .877 .848 .815 .781 5 .988 .987 .985 .983 .983 .964 .951 .935 .916 .985 6 .997 .997 .996 .995 .995 .988 .983 .976 .996 .955 7 .999 .999 .999 .999 .999 .999 .995 .992 .988 .983 8 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 .998 .996 .994 9 1.000 .999 .999 .998 10 1.000 1.000 1.000  r 3.40 3.60 3.80 4.00 4.20 4.40 4.60 4.80 5.00 5.20 0 .033 .027 .022 .018 .015 .012 .010 .008 .007 .006 1 .147 .126 .107 .092 .078 .066 .056 .048 .040 .034 2 .340 .303 .269 .238 .210 .185 .163 .143 .125 .109 3 .558 .515 .473 .433 .395 .359 .326 .294 .265 .238 4 .744 .706 .668 .629 .590 .551 .513 .476 .440 .406 5 .871 .844 .816 .785 .753 .720 .686 .651 .616 .581 6 .942 .927 .909 .889 .867 .844 .818 .791 .762 .732 7 .977 .969 .960 .949 .936 .921 .905 .887 .867 .845 8 .992 .988 .984 .979 .972 .964 .955 .944 .932 .918 9 .977 .996 .994 .992 .989 .985 .980 .975 .968 .960 10 .999 .999 .998 .997 .996 .994 .992 .990 .986 .982 11 1.000 1.000 .999 .999 .999 .998 .997 .996 .995 .993 12 1.000 1.000 1.000 .999 .999 .999 .998 .997 13 1.000 1.000 1.000 .999 .999 14 1.000 1.000  r 5.40 5.60 5.80 6.00 6.20 6.40 6.60 6.80 7.00 7.20 0 .005 .004 .003 .002 .002 .002 .001 .001 .001 .001 1 .029 .024 .021 .017 .015 .012 .010 .009 .007 .005 2 .095 .082 .072 .062 .054 .046 .040 .034 .030 .020 3 .213 .191 .170 .151 .134 .119 .105 .093 .082 .059 4 .373 .342 .313 .285 .259 .235 .213 .192 .173 .132 5 .546 .512 .478 .446 .414 .384 .355 .327 .310 .241 6 .702 .670 .638 .606 .574 .542 .511 .480 .450 .378 7 .822 .797 .771 .744 .716 .687 .658 .628 .599 .525 8 .903 .886 .867 .847 .826 .803 .780 .755 .729 .662 9 .951 .941 .929 .916 .902 .886 .869 .850 .830 .776 10 .977 .972 .965 .957 .949 .939 .927 .915 .901 .862 11 .990 .988 .984 .980 .975 .969 .963 .955 .947 .921 12 .996 .995 .993 .991 .989 .986 .982 .978 .973 .957

Aeleng VIXAYSOUVANH ສະຖີຕິ 1 ຕາຕະລາງ ຄ່າຂອງ PX  r ເຊິງ່ X ມີການແຈກຢາຍແບບປົວຊົງ x  px,  x0  r 5.40 5.60 5.80 6.00 6.20 6.40 6.60 6.80 7.00 7.20 13 999 .998 .997 .996 .995 .994 .992 .990 .987 .978 14 1.000 .999 .999 .998 .998 .997 .997 .996 .994 .990 15 1.000 1.000 .999 .999 .999 .999 .998 .998 .995 16 1.000 1.000 1.000 1.000 .999 .999 .998 17 1.000 1.000 .999 18 1.000  r 8.00 8.50 9.00 9.50 10.00 10.50 11.00 11.50 12.00 12.50 0 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 1 .003 .002 .001 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 2 .014 .009 .006 .004 .003 .002 .001 .001 .001 .000 3 .042 .030 .021 .015 .010 .007 .005 .003 .002 .002 4 .100 .074 .055 .040 .029 .021 .015 .011 .008 .005 5 .191 .150 .116 .089 .067 .050 .038 .028 .020 .015 6 .313 .256 .207 .065 .130 .102 .079 .060 .046 .035 7 .453 .386 .324 .269 .220 .179 .143 .114 .090 .070 8 .593 .823 .456 .392 .333 .279 .232 .191 .155 .125 9 .717 .653 .587 .522 .458 .397 .341 .289 .242 .201 10 .816 .763 .706 .645 .583 .521 .460 .402 .347 .297 11 .888 .849 .803 .752 .697 .639 .579 .520 .462 .406 12 .936 .909 .876 .836 .792 .742 .689 .633 .576 .519 13 .966 .949 .926 .868 .864 .825 .781 .733 .682 .628 14 .983 .973 .959 .940 .917 .888 .854 .815 .772 .725 15 .992 .986 .978 .967 .951 .932 .907 .878 .844 .806 16 .996 .993 .989 .982 .973 .960 .944 .924 .899 .869 17 .998 .997 .995 .991 .986 .978 .968 .954 .937 .916 18 .999 .999 .998 .996 .993 .988 .982 .974 .963 .946 19 1.000 .999 .999 .998 .997 .994 .991 .986 .979 .969 20 1.000 1.000 .999 .998 .997 .995 .992 .988 .983 21 1.000 .999 .999 .998 .996 .994 .991 22 1.000 .999 .999 .998 .997 .995 23 1.000 1.000 .999 .999 .998 24 1.000 .999 .999 25 1.000 .999 26 1.000

ເອກະສານອາ້ ງອງີ 1. ສສີ ະວອນ ແກວ້ ພາສີ, ດວງສະໝອນ ສດິ ທິຈກັ , 2009, ສະຖຕິ ິ-ກະຕວງ 2 ສາຍສ້າງຄູມັດທະຍົມຕົ້ນ ພິມຄັົ້ງທີ I ພມິ ທີ່ Nhan Dan Printing House HCMC 2. ກນັ ຫາ ສີລາສັກ, ມະຍຸລີ ຈະເລີນຊັບ, 2009, ກະຕວງສະຖິຕິ 1 ສາຍສ້າງຄູມັດທະຍົມຕົ້ນ ພິມຄັ້ົງທີ I ພິມທີ່ Nhan Dan Printing House HCMC 3. ດຣ. ສູນທອນ ພົມມະສອນ, 2002, ສະຖິຕິພົ້ນຖານ MA/ST 1202 ວິທະຍາໄລວິທະຍາສາດພົ້ນຖານ, ມະຫາວິທະຍາໄລແຫ່ງຊາດ, ວຽງຈັນ. 4. ປທ.ນ. ຄາຜຸ ອິນທະວອນ, ປຕ. ກອງແກ້ວ ໄຊຈະເລີນ, ປທ. ພອນສີ ເວທານາ, ປຕ. ສຸລາກອນ ສີຫາລາດ, ປທ.ນ. ທບິ ພາພອນ ພນັ ທະນສູ ີ, 2016, ສະຖຕິ ພິ ້ົນຖານ ມະຫາວິທະຍາໄລ ຈັດພີມໂດຍ: ກົມການສຶກສາຊັ້ົນສູງ, ກະຊວງສຶກສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ. 5. ສຈ.ດຣ. ສູນທອນ ພົມມະສອນ, ຮສ. ແສ່ວ ມູນລະດົກ, ອຸທິດ ທິບມະນີ, ວິລະເລີດ ສະພັງທອງ, ທອງຂາວ ແສງສຸລິຈນັ , ບວົ ລີ ແກວ້ ວງົ ສາ, 2011, ຄະນິດສາດ ຊັົ້ນມັດທະຍົມສກຶ ສາ ປທີ ີ 7 (ເຫ້ົັມ II) ພີມທີ່ ບໍລິສັດ ລັດວິ ສາຫະກດິ ໂຮງພິມສກຶ ສາ. 6. ຮອງສະດາຈານ ດຣ. ນົກພອນ ຊະນະໄຊຂັນ, 2555, ສະຖິຕິເບ້ົອງຕົ້ນສາຫັບການວິໄຈ, ຄະນະວິທະຍາສາດ ແລະ ເທກໂນໂລຢີ ມະຫາວິທະຍາໄລຮາຊະພັດຊຽງຮາຍ ພິມຄັົ້ງທີ I ພິມທີ່ ບໍລິສັດ ສ. ເອເຊຍເພຣດ (1989) ຈາກດັ , 143, 145 ຊອຍຮາມຄາແຫງ 42 ແຂວງຫົວໝາກ ເຂດບາງກະປິ ກຸງເທບ 10240.