บทที่ 5 ความน่าจะเป็นและเทคนิคการนับ หน้า-77-82 (การจัดลำดับ การจัดหมู่)

ทฤษฎที ี่ 5.4มีสิ่งของ n สิ่ง ซ่ึงแตกต่างกนั ท้งั หมด นาํ มาจดั เรียงท้งั n สิ่งจะมีวิธีจดั เรียงได้ท้งั หมดเท่ากบั n! วิธีทฤษฎีที่ 5.4 น้ี เป็ นผลจากทฤษฎีท่ี 5.3 กรณี r = n จะ=ได้ nPn n! n! (=n − n ) !ตัวอย่างท่ี 5.17มีอกั ษร a, b, c นาํ มาจดั เรียงท้งั หมด จะมีวธิ ีจดั เรียงไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ีวธิ ีทาํมีอกั ษร a, b, c ก็คือมีสิ่งของท้งั หมด 3 สิ่งที่ตา่ งกนั จะได้ n = 3 จาํ นวนวธิ ีจดั เรียงอกั ษร 3 ตวั น้ีเทา่ กบั n! = 3! = 6 วธิ ี ตัวอย่างที่ 5.18 มีหนงั สือ 9 เล่มที่ไม่เหมือนกนั ตอ้ งการนาํ มาเรียงสับเปลี่ยนกนั ท้งั หมด จะมีวธิ ีจดั เรียงไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ี ถา้ (1) ไมม่ ีเงื่อนไขใด ๆ (2) ตอ้ งการให้หนงั สือสามเล่ม (เฉพาะท่ีตอ้ งการอยตู่ ิดกนั เสมอ) (3) ไม่ตอ้ งการใหห้ นงั สือท้งั สามเล่มในขอ้ ข. อยตู่ ิดกนั วธิ ีทาํ (1) มีหนงั สือ 9 เล่มท่ีไม่เหมือนกนั กค็ ือมีสิ่งของท้งั หมด 9 สิ่งที่ตา่ งกนั นาํ มาจดั เรียงท้งั หมดจะได้ n! = 9! = 362,880 วธิ ี (2) หนงั สือ 3 เล่มท่ีตอ้ งการอยตู่ ิดกนั เสมอ ให้ถือวา่ เป็ นของ 1 สิ่ง กบั อีก 6 เล่มท่ีเหลือ ดงั น้นั รวมท้งั หมด 7 สิ่ง ดงั น้นั จะเรียงสับเปล่ียนได้ 7! วธิ ี แต่ละวิธีของ 7! วิธีน้นั เราสามารถสลบั ท่ีหนงั สือ 3 เล่ม ท่ีให้ติดกนั เสมอน้นั ได้ 3! วิธี ดงั น้นั 2ข้นั ตอนน้ีเกิดพร้อมกนั หรือต่อเน่ืองกนั ไป จาํ นวนวธิ ีท้งั หมดจึงเทา่ กบั 7! x 3! วธิ ี = 30,240 วธิ ีสถิติทว่ั ไป 77

(3) ไม่ตอ้ งการใหห้ นงั สือท้งั สามเล่มในขอ้ (2) อยตู่ ิดกนั คาํ นวณไดจ้ าก นาํ จาํ นวนวิธีท้งั หมดลบจาํ นวนวธิ ีท่ีหนงั สือท้งั สามเล่มอยตู่ ิดกนั ก็จะไดจ้ าํ นวนวธิ ีท่ีท้งั สามเล่มไม่อยู่ติดกนั จะได้ = 9! – 7! 3! = 362,880 – 30,240 = 332,640 วธิ ี จากทฤษฎีท่ี 5.3 และทฤษฎีที่ 5.4 เป็ นการนาํ สิ่งของที่แตกต่างกนั มาจดั เรียงในแนวเส้นตรง ทฤษฎีตอ่ ไปน้ีจะเป็ นการจดั เรียงสิ่งของ n สิ่งท่ีต่างกนั เป็นวงกลม ทฤษฎีที่ 5.5 มีสิ่งของ n สิ่ง ซ่ึงแตกต่างกนั ท้งั หมด นาํ มาจดั เรียงแบบวงกลมท้งั n สิ่ง จะมีวิธีจดั เรียงไดท้ ้งั หมดเท่ากบั (n-1)! วิธีโดยปกติจะถือวา่ การเรียงตามเขม็ นาฬิกากบั การเรียงทวนเขม็ นาฬิกา เป็ นวธิ ีที่แตกตา่ งกนั ในกรณีพิเศษที่ถือวา่ เรียงตามเขม็ นาฬิกาเหมือนกบั ทวนเขม็ นาฬิกาจาํ นวนวิธีจะลดลงคร่ึงหน่ึงจะได้ (n − 1) ! วิธี 2ตัวอย่างที่ 5.19จะจดั คน 10 คนใหน้ งั่ เรียงเป็นวงกลมไดก้ ี่วธิ ีวธิ ีทาํมีคน 10 คน กค็ ือมีสิ่งของ n สิ่งตา่ งกนั จะได้ n = 10 นาํ มาจดั เรียงวงกลมจะมีวิธีจดั เรียงไดท้ ้งั หมดเท่ากบั (n-1)! = (10-1)! = 9! = 362,880 วธิ ีตวั อย่างท่ี 5.20จะจดั คน 8 คนใหน้ งั่ รอบโตะ๊ วงกลมไดท้ ้งั หมดก่ีวธิ ีถา้78 สถิติทวั่ ไป

(1) ผชู้ าย 2 คน (ที่กาํ หนด) ตอ้ งนงั่ ติดกนั เสมอ (2) ใหผ้ ชู้ าย 2 คน ในขอ้ (1) ตอ้ งไม่นงั่ ติดกนั วธิ ีทาํ (1) ผชู้ าย 2 คนที่ให้นง่ั ติดกนั เสมอใหเ้ ป็ นของ 1 ส่ิง จะเหลืออีก 6 คน รวมมีสิ่งของ 7 สิ่ง เม่ือนาํ มาจดั เรียงแบบวงกลมจะได้ (7-1)! วธิ ี แต่ว่าแต่ละวิธีใน (7-1)! ผชู้ าย 2 คน นงั่ สลบั กนั ได้ 2! วธิ ี ซ่ึงเป็ นข้นั ตอนท่ีเกิดพร้อมกนั หรือต่อเนื่องกนั ไป ดงั น้นั จาํ นวนวธิ ีที่จดั คน 8 คน นงั่ รอบโตะ๊ วงกลมโดยให้ผชู้ าย 2 คน ท่ีกาํ หนดนง่ัติดกนั เสมอ มีวธิ ีไดเ้ ทา่ กบั (7-1)! x 2! = 6! 2! = 1,440 วธิ ี (2) จาํ นวนวธิ ีท่ีผชู้ าย 2 คน ในขอ้ (1) ตอ้ งไม่นงั่ ติดกนั จะเท่ากบั จาํ นวนวธิ ีท้งั หมดที่จะจดั คนนงั่ รอบโตะ๊ วงกลมลบดว้ ยจาํ นวนวธิ ีท่ีผชู้ าย 2 คน นงั่ ติดกนั (ขอ้ (1) ) (8-1)! – 6! 2! = 3,600 วธิ ี ทฤษฎีที่ 5.5 เป็นการนาํ ส่ิงของท้งั หมดมาจดั เรียงเป็ นวงกลม ถา้ จะนาํ สิ่งของบางส่วนมาจดั เรียงวงกลม จะมีจาํ นวนวธิ ีดงั ทฤษฎีตอ่ ไปน้ีทฤษฎีที่ 5.6มีสิ่งของ n สิ่ง ซ่ึงแตกต่างกนั ท้งั หมด นาํ มาจดั เรียงแบบวงกลมคราวละ r ส่ิง(r < n) จะมีวิธีจดั เรียงได้ท้งั หมดเท่ากบั n! วิธี (n − r ) !rตวั อย่างที่ 5.21มีคน 10 คน จะจดั ใหน้ งั่ โตะ๊ กลมคราวละ 3 คน ไดก้ ่ีวธิ ีวธิ ีทาํคน 10 คน จะได้ n = 10 นาํ มาจดั ใหน้ งั่ โตะ๊ กลมคราวละ 3 คน จะได้ r = 3สถิติทวั่ ไป 79

ดงั น้นั จะมีวธิ ีจดั ไดเ้ ทา่ กบั n! = 10! (n − r ) !r (10 − 3) !3 = 240 วธิ ีทฤษฎีการจดั ลาํ ดบั ที่ผา่ นมาท้งั หมดนาํ ไปประยกุ ตใ์ ชก้ รณีท่ีมีสิ่งของ n สิ่งแตกต่างกนั กรณีที่สิ่งของ n สิ่งน้นั มีของเหมือนกนั หรือซ้าํ กนั เป็นพวก ๆ จะมีจาํ นวนวธิ ีจดั เรียงไดด้ งั ทฤษฎีต่อไปน้ีทฤษฎที ่ี 5.7มีสิ่งของ n สิ่ง ซ่ึงบางสิ่งซํ้ากนั หรือเหมอื นกันเป็ นจาํ นวน n1, n2 , ....., nkส่ิงโดยท่ี n1+ n2 +.....+ nk = n เมื่อนาํ มาเรียงสับเปลี่ยนท้งั หมดจะทาํ ไดเ้ ท่ากบั n! วิธี n1!n2!.....nk !ตวั อย่างที่ 5.22มีธงสีแดง 3 ผนื สีขาว 4 ผนื สีเขียว 2 ผนื นาํ มาเรียงกนั ท้งั หมดเป็ นสญั ญาณตา่ ง ๆไดก้ ี่แบบวธิ ีทาํมีธงท้งั หมด 9 ผนื สีแดง 3 ผนื เหมือนกนั สีขาว 4 ผนื เหมือนกนั และสีเขียว 2ผนื เหมือนกนั จากทฤษฎีที่ 5.7 จะไดจ้ าํ นวนวธิ ีทาํ สัญญาณท้งั หมดเทา่ กบั 9! 3!4!2! = 1,260 วธิ ีตวั อย่างท่ี 5.23จากคาํ วา่ “MATHEMATICS” นาํ มาเรียงสับเปลี่ยนท้งั หมดไดก้ ี่วธิ ีวธิ ีทาํมีอกั ษรท้งั หมด 11 ตวั มี M 2 ตวั มี A 2 ตวั มี T 2 ตวั∴ นาํ มาเรียงสบั เปล่ียนท้งั หมดไดเ้ ทา่ กบั 11! 2!2!2! = 4,989,600 วธิ ี80 สถิติทว่ั ไป

ตวั อย่างที่ 5.24มีหนงั สือเคมี 8 เล่ม และหนงั สือฟิ สิกส์ 10 เล่ม หนงั สือแต่ละประเภทเหมือนกนันาํ หนงั สือเหล่าน้ีมาเรียงสบั เปลี่ยนบนหิ้งหนงั สือไดก้ ่ีวธิ ีวธิ ีทาํหนงั สือมีท้งั หมด 18 เล่ม มีหนงั สือเคมีเหมือนกนั 8 เล่ม มีหนงั สือฟิ สิกส์เหมือนกนั 10 เล่ม ดงั น้นั นาํ มาเรียงสับเปลี่ยนท้งั หมดไดเ้ ท่ากบั 18! = 43,758 วธิ ี 8!10!5.3.4 การจัดหมู่ (Combination)นิยามที่ 5.9 การจัดหมู่การจดั หมู่ คือ วธิ ีการเลือกสิ่งของบางส่วนหรือท้งั หมดโดยถือวา่ ลาํ ดบั ท่ีเลือกไม่มีความสาํ คญั สถานการณ์ท่ีลาํ ดบั มีความสาํ คญั หรือไมม่ ีความสาํ คญั เป็นสิ่งท่ีเราตอ้ งทาํ การวเิ คราะห์เอง เช่นการเสือกนกั ศึกษา 2 คนในหอ้ งน้ีไปทาํ ความสะอาดหอ้ งเรียน การเลือกได้ นายก. กบั นาย ข. หรือนาย ข. กบั นาย ก. ไมม่ ีความแตกต่างกนั ไม่ไดเ้ กิดวธิ ีใหม่ข้ึนมา ดงั น้นัลาํ ดบั ไมม่ ีความสาํ คญั แต่ถา้ เลือกนกั ศึกษา 2 คน มาทาํ หนา้ ที่เป็ นหวั หนา้ ห้องและเหรัญญิกถา้ ใหน้ าย ก. เป็นหวั หนา้ หอ้ งและนาย ข. เป็ นเหรัญญิก กบั การที่ใหน้ าย ข. เป็ นหวั หนา้ หอ้ งและนาย ก. เป็นเหรัญญิกก็จะเป็นอีกวธิ ีหน่ึง กรณีน้ีลาํ ดบั มีความสาํ คญั เพราะการสลบั ท่ีสิ่งของทาํ ใหเ้ กิดวธิ ีใหมข่ ้ึนมาตัวอย่างที่ 5.25มีอกั ษร a, b, c เลือกมาคราวละ 2 ตวั จะมีวธิ ีเลือกท้งั หมดก่ีวธิ ีวธิ ีทาํถา้ เป็นการจดั ลาํ ดบั จะได้ 6 วธิ ี ตามตวั อยา่ งที่ 5.15สถิติทวั่ ไป 81

ถา้ เป็นการจดั หมูจ่ ะได้ ab ac bc รวม 3 วธิ ี ถา้ มีอกั ษรจาํ นวนมาก ๆ การเขียนแจกแจงแต่ละวธิ ีคงตอ้ งเสียเวลามาก เราสามารถใชท้ ฤษฎีต่อไปน้ีช่วยในการคาํ นวณทฤษฎที ่ี 5.8 ทฤษฎกี ารจัดหมู่มีสิ่งของ n ส่ิง ซ่ึงแตกต่างกนั ท้งั หมด เลือกมาคราวละ r สิ่ง (r ≤ n)จะมีวิธีเลือกไดท้ ้งั หมดเท่ากบั nCr = n! วิธี (n − r ) ! r !ตัวอย่างท่ี 5.26นกั เรียนหอ้ งหน่ึงมี 30 คน ตอ้ งการเลือกนกั เรียนไปเขา้ ค่ายยวุ ชน 6 คน จะเลือกได้กี่วธิ ี ถา้ (1) ไมม่ ีเงื่อนไขใด ๆวธิ ีทาํ (2) ใหน้ าย ก. และนาย ข. ถูกเลือกเสมอ(1) จากนกั เรียนท้งั หมด 30 คน เลือกคราวละ 6 คน เน่ืองจากการสลบั ท่ีไมม่ ีความสาํ คญั จึงเป็นการจดั หมูจ่ ะมีวธิ ีเลือกไดเ้ ท่ากบั 30! 30C6 = (30 − 6)!6! = 593,775 วธิ ี(2) ใหน้ าย ก. และนาย ข. ถูกเลือกเสมอดงั น้นั นาํ นาย ก. และนาย ข. ออกมาก่อนเป็น 1 วธิ ี ตอ้ งเลือกมาอีก 4 คน จาก28 คนที่เหลือจะได้ 28C4 วธิ ี ดงั น้นั การเลือกนกั เรียน 6 คน ไปเขา้ คา่ ยยวุ ชน โดยใหน้ าย ก. และนาย ข. ถูกเลือกเสมอ จะมีจาํ นวนวธิ ีเลือกไดเ้ ทา่ กบั 1 x 28C4 = 20,475 วธิ ีการจัดส่ิงของทีแ่ ตกต่างกนั ท้งั หมดออกเป็ นหมู่ ๆ (กลุ่ม, พวก, กอง)82 สถิติทว่ั ไป