บทที่ 6 ตัวแปรสุ่ม หน้า-115-123 (ค่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็น ค่าคาดหวัง และค่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง )

E(X2 - 2X +4) = E(X2) - E(2X) + E(4) ………. จากคุณสมบตั ิขอ้ 1 = 25 - 2E(X) + 4 ……….. จากคุณสมบตั ิขอ้ 3 = 25 - (2)(3) +4 = 236.2.6 ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องความแปรปรวนใชว้ ดั การกระจายของคา่ ตวั แปรสุ่มนิยามท่ี 6.5 ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X (Variance of a Random Variable X)ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่ม X เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ V(X) หรือ σ 2 จะได้ x σ 2 = V(X) = E(X - µx)2 = Σ(x - µx)2 f(x) xเมื่อแปลงสูตรจากนิยามจะไดอ้ ีกสูตรหน่ึงคือ V(X) = E(X2) - [E(X)]2นิยามที่ 6.6 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั แปรสุ่ม X (Standard Deviation of a Random Variable X)ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั แปรสุ่ม X เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ σx มีค่าเท่ากบั รากท่ีสองของความแปรปรวน หรือ σx = σ 2 xตวั อย่างที่ 6.16กาํ หนดใหก้ ารแจกแจงความน่าจะเป็ นของ X เป็นดงั น้ี X 1234 f(x) 0.1 0.3 0.2 0.4จงหาค่าเฉล่ีย ค่าความแปรปรวน และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน = 2.9วธิ ีทาํค่าเฉลี่ย = E(X) = Σxf(x) = (1 x 0.1)+(2 x 0.3)+ (3 x 0.2)+ (4 x 0.4)สถิติทวั่ ไป 115

ความแปรปรวน = σ2 = V(X) E(X2) = Σx2f(x) x2 f(x) x2f(x) = E(X2) - [E(X)]2 1 0.1 0.1 = 9.5 - [2.9]2 4 0.3 1.2 = 1.09 9 0.2 1.8 16 0.4 6.4 Σx2f(x) = 9.5ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน = σ = 1.09 = 1.0446.2.7 คุณสมบัตขิ องความแปรปรวนคุณสมบัตขิ องความแปรปรวน1. V(X) = σ2 ≥ 02. ถา้ a เป็นค่าคงที่ V(a) = 03. V(X + a) = V(X)4. V(aX) = a2V(X)5. ถา้ X และ Y เป็นอิสระกนั V(X ± Y) = V(X) + V(Y)6. V(g (X)) = E[g(X) - E(g(X))]2ตวั อย่างท่ี 6.17 (2) V(2X) (3) V(3X - 2)กาํ หนดให้ V(X) = 5จงหาคา่ ของ (1) V(X + 3)116 สถิติทว่ั ไป

วธิ ีทาํ (1) V(X + 3) = V(X) =5 (2) V(2X) = 22V(X) = (4)(5) = 20 (3) V(3X -2) = 32V(X) = (9)(5) = 456.3 การแจกแจงความน่าจะเป็ น ค่าคาดหวงั และค่าความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มชนิด ต่อเนื่อง 6.3.1 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง การแจกแจงความน่าจะเป็ นอาจจะอยใู่ นรูปของตาราง กราฟ หรือฟังกช์ นั แต่เน่ืองจากตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง ค่าตวั แปรสุ่มจะเป็นช่วงของจาํ นวนจริงไมส่ ามารถแยกให้เห็นเป็ นค่า ๆ ได้ ดงั น้นั การแจกแจงความน่าจะเป็นไม่สามารถแสดงในรูปของตารางเหมือนกรณีของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ตอ่ เน่ือง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองสามารถแสดงการแจกแจงได้ 2 วธิ ี คือ การแจกแจงในรูปของกราฟ และการแจกแจงในรูปของสูตรหรือฟังกช์ นั(1) การแจกแจงความน่าจะเป็ นในรูปของกราฟ f(x) f(x) f(x) พ้ืนท่ี = 1 พ้ืนที่ = 1 P(a<X<b) 0 x0 x0 a b xรูปท่ี 6.1 รูปท่ี 6.2 รูปท่ี 6.3สถิติทวั่ ไป 117

ลกั ษณะของกราฟการแจกแจง แกนนอนจะแทนค่าตวั แปรสุ่ม ซ่ึงเป็ นค่าท่ีต่อเน่ืองกนั ในช่วงของจาํ นวนจริง แกนต้งั แทนค่าของ f(x) กราฟของฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นเส้นกราฟจะอยเู่ หนือแกน x พ้นื ท่ีท้งั หมดระหวา่ งเส้นโคง้ กบั แกน x มีค่าเท่ากบั 1ดงั รูป 6.1 และ 6.2 และพ้ืนที่ระหวา่ งเส้นโคง้ กบั แกน x ต้งั แต่ x = a ถึง x = b ก็คือความน่าจะเป็ นที่ x มีค่าในช่วง (a, b) หรือแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ P(a<X<b) ดงั แสดงในรูปท่ี 6.3(2) การแจกแจงความน่าจะเป็ นในรูปของสูตรหรือฟังก์ชันนิยามที่ 6.7ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง ฟังกช์ นั f(x) เรียกฟังกช์ นั ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (Probability Density Function : p.d.f) ซ่ึงมีโดเมนเป็นเซตของจาํ นวนจริงและ f(x) มีคุณสมบตั ิดงั น้ี (1) f(x) ≥ 0 สาํ หรับทุกคา่ x (2) ∞ f ( x)dx = 1 ∫ −∞ b (3) P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f (x)dx a6.3.2 การหาค่าความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองกรณีท่ี X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง การเขียนสัญลกั ษณ์ตอ่ ไปน้ีจะมีค่าเทา่ กนั P(a ≤ x ≤ b) = P(a < x ≤ b) = P(a ≤ x < b) = P(a < x < b)แต่สาํ หรับตวั แปรสุ่มชนิดไม่ตอ่ เนื่องการเขียนสัญลกั ษณ์ตามขา้ งตน้ จะไมเ่ ทา่ กนัตัวอย่างที่ 6.18ถา้ ตวั แปรสุ่ม X มี p. d. f. เป็น f(x) = 2x ; 0 < x < 1 = 0 ; ท่ีอ่ืน 1จงหาความน่าจะเป็นท่ี X จะมีค่าระหวา่ ง 2 กบั 1118 สถิติทว่ั ไป

วธิ ีทาํ P 1 < X < 1 = 1 2   ∫ 2xdx 1 2 = x 2  1 1 2 = 1 - 1 = 3 4 4ตัวอย่างท่ี 6.19ให้ Y แทนปริมาณน้าํ หมึก (หน่วย : ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร) ท่ีเติมลงในตลบั หมึก 100ถา้ p. d. f. เป็น f(y) =  4  y ; 0.1 ≤ y ≤ 0.3 =   ; ที่อื่น  (1) จงแสดงวา่ f(y) เป็น p. d. f. 0(2) จงหาความน่าจะเป็ นท่ีจะตอ้ งเติมน้าํ หมึกอยา่ งมากท่ีสุด 0.2 ลบ.ซม.(3) จงหาความน่าจะเป็ นที่จะตอ้ งเติมน้าํ หมึก 0.25 ลบ.ซม.(4) จงหาความน่าจะเป็ นที่จะตอ้ งเติมน้าํ หมึกนอ้ ยกวา่ 0.15 แตไ่ ม่นอ้ ยกวา่ 0.11 ลบ.ซม.วธิ ีทาํ(1) จากโจทย์ f(y) ≥ 0 จึงมีคุณสมบตั ิขอ้ ที่ 1 ตามนิยามที่ 6.7และ 0.3 50 y 2 0.3 50 (0.09 − 0.01)= 1 จึงมีคุณสมบตั ิ 4 0.1= ∫ f (y )dy= 4 0.1ขอ้ ท่ี 2 ตามนิยามที่ 6.7 ดงั น้นั f(y) เป็น p. d. f.(2) P(Y ≤ 0.2) ∫= 0.2  100  ydy 0.1  4    =  100  y 2 0.2  4  2    0.1 = 50 0.22 - 0.12  4 50 = 4 0.03 = 0.375สถิติทว่ั ไป 119

(3) P(Y = 0.25) = 0(4) P(0.11 ≤ Y ≤ 0.15) ∫= 0.15  100  ydy 0.11  4    =  50  y 2  0.15  4   0.11  = 50 0.152 - 0.112  4 50 = 4 0.0225 - 0.0121 = 0.13 6.3.3 ความหมายของค่าคาดหวงั ของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง กรณีตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองการหาค่าคาดหวงั จะไดจ้ ากการคูณค่าตวั แปรสุ่มแต่ละค่ากบั ค่าความน่าจะเป็ นของแต่ละค่าน้นั แลว้ นาํ ผลคูณท่ีไดท้ ้งั หมดมาบวกกนั สาํ หรับตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง การหาค่าคาดหวงั จะใชก้ ารอินทิเกรทนิยามท่ี 6.8ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง ซ่ึงมีฟังกช์ นั ความหนาแน่น (p.d.f) คือ f(x)และ - ∞ < x < ∞ คา่ คาดหวงั ของตวั แปรสุ่ม X คือ ∞ E(X) = µX = ∫ xf (x)dx −∞ตวั อย่างที่ 6.20 0<x<1กาํ หนดฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นของ X ดงั น้ี ณ. จุดใด ๆ f(x) = 2x ; =0 ;จงหาค่าคาดหวงั ของ Xวธิ ีทาํ ∞ = 1 =  2 x 3 1 = 2   3คา่ คาดหวงั ของ X = E(X) = ∫ xf (x)dx ∫ x(2x)dx  3 0 −∞ 0120 สถิติทวั่ ไป

ตวั อย่างที่ 6.21ผจู้ ดั การธนาคารแห่งหน่ึง ตอ้ งการหาค่าเฉลี่ยและคา่ ความแปรปรวนของเวลาในการคอยรับบริการของลูกคา้ แต่ละคน โดยฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นของเวลาในการคอยรับบริการ (t) เป็นดงั น้ี t + 10 k f(t) = , 4 < t < 10 นาที = 0 , ที่อ่ืน(1) จงหา k(2) จงหาค่าเฉลี่ยหรือคา่ คาดหวงั ของเวลาในการคอยรับบริการวธิ ีทาํ(1) ใชค้ ุณสมบตั ิของ pdf ท่ีวา่ ∞ =1 ∫ f (t )dt −∞ จะได้ ∫10 t + 10 dt =1   k 4 1 t 2  10  k  2 + 10t =1  4  100 + 100  −  16 + 40  =k      2   2  ดงั น้นั k = 102(2) คา่ เฉลี่ยหรือคา่ คาดหวงั ของเวลาในการคอยรับบริการเทา่ กบั ∞ = 10 t + 10 dt  102  E(T) = ∫ tf (t)dt ∫t  −∞ 4 1 t 3 10 102  =  + 5t 2  3 4 = 1  103 + (5)102  −  43 + (5) 42  102      3   3  = 7.18ดงั น้นั ค่าคาดหวงั ของเวลาในการคอยรับบริการเทา่ กบั 7.18 นาทีสถิติทว่ั ไป 121

6.3.4 ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องนิยามท่ี 6.9ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่ม X เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ V(X) หรือ σ 2 จะได้ x σ 2 = V(X) = E(X - µx)2 = ∞ x ∫ (x − µx )2 f (x)dx −∞หรือความแปรปรวนสามารถคาํ นวณจากสูตร V(X) = E(X)2 - [E(X)]2นิยามที่ 6.10ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั แปรสุ่ม X คือ σx = σ 2 xตวั อย่างที่ 6.22จากตวั อยา่ งที่ 6.20 จงหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานวธิ ีทาํความแปรปรวน = V(X) = = E(X2) - [E(X)]2 σ 2 x = ∫1  2  2  3  0 x 2 (2 x )dx − =  1 x4 1 − 4  2  0 9 = 1 − 4 2 9 = 1 18 = 0.056ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน = σx =σ 2 x = 1 18 = 0.236122 สถิติทว่ั ไป

ตัวอย่างท่ี 6.23จากตวั อยา่ งที่ 6.21 จงหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาในการคอยรับบริการวธิ ีทาํความแปรปรวนของเวลาในการคอยรับบริการเท่ากบัσT2 = V(T) = E(T2) - [E(T)]2 = ∞ ∫ t 2f (t )dt − (7.18)2 −∞ = ∫10 2  t + 10 dt − (7.18)2  102  t  4 = 1 t 4 10t 3 10 (7.18)2 102  +  −   4 3 4 = 1  104 + (10 ) 103  −  44 + (10) 43  − (7.18)2 102  4   4  3 3 = 54.47 - 51.55 = 2.92ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของเวลาในการคอยรับบริการเท่ากบั σT = σT2 = 2.92 = 1.71สถิติทว่ั ไป 123