บทที่ 3 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

3 การวดั แนวโนม้ เขา้ สสู่ ว่ นกลาง Measures of central tendency ในหวั ขอ้ ท่ี 2.2 2.3 และ 2.4 เราไดร้ ู้จกั การนาํ ตารางและกราฟมาช่วยในการอธิบายลกั ษณะของขอ้ มูล ทาํ ให้เราเห็นภาพของขอ้ มูลไดช้ ดั ข้ึนมากกวา่ ที่เป็ นขอ้ มูลดิบ ในบทน้ีเราจะไดร้ ู้จกั เคร่ืองมือทางสถิติอีกอนั หน่ึงที่นาํ มาช่วยในการอธิบายลกั ษณะของขอ้ มูลเช่นกนั เรียกวา่ การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง คา่ สงั เกตหรือคา่ ของตวั แปรท่ีถูกเกบ็ รวบรวมมามกั จะมีจาํ นวนมาก อาจจะมีเป็ นร้อย ๆหรือพนั ๆ ค่า ซ่ึงในบางคร้ังเราตอ้ งการค่าเดียวท่ีจะมาเป็ นตวั แทนของขอ้ มูลท้งั ชุด เพ่ือเป็ นตัวสรุปลักษณะของข้อมูล สถิติได้เสนอวิธีการที่เรียกว่า การวดั แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง เป็ นวิธีท่ีใช้ในการหาตัวแทนของข้อมูล และตวั แทนน้ีจะเป็ นค่าท่ีบอกว่าศนู ยก์ ลางของค่าขอ้ มลู หรือ คา่ ขอ้ มลู ส่วนใหญ่มีค่าเท่าใด การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางท่ีนิยมใชก้ นั มากมี 3 วธิ ีคือ (1) มธั ยฐาน (2) ฐานนิยม และ(3) คา่ เฉล่ีย การคาํ นวณหามธั ยฐาน ฐานนิยม และค่าเฉล่ียที่จะกล่าวถึงต่อไปน้ี จะเกี่ยวขอ้ งกบัขอ้ มลู ที่ถูกจดั อยใู่ น 3 รูปแบบ คือ (1) ขอ้ มูลท่ีไม่มีการแจกแจงความถ่ี (2) ขอ้ มูลแจกแจงความถ่ีแบบไม่จดั กลุ่ม และ (3) ขอ้ มลู แจกแจงความถี่แบบจดั กลุ่ม3.1 มธั ยฐาน (Median) นิยามท่ี 3.1 มัธยฐาน มธั ยฐาน คือ ค่าสังเกตที่อยตู่ าํ แหน่งตรงกลางของขอ้ มลู ท้งั หมด เมื่อเรียงลาํ ดบั คา่ ขอ้ มลู ท้งั หมดแลว้ ในการหามธั ยฐานตอ้ งจดั เรียงค่าขอ้ มูลท้งั หมดก่อน ซ่ึงอาจจะเรียงจากค่านอ้ ยไปค่ามาก หรือจากคา่ มากไปคา่ นอ้ ยก็ได้ เน่ืองจากมธั ยฐานเป็ นค่าท่ีอยตู่ รงกลางของค่าขอ้ มูลท้งั หมด ค่ามธั ยฐานน้ีจึงแบ่งขอ้ มูลออกเป็ นสองส่วนเท่า ๆ กนั กล่าวคือ คร่ึงหน่ึงสถิติทวั่ ไป 31

ของจาํ นวนค่าขอ้ มูลท้งั หมดมีค่าต่าํ กวา่ หรือเท่ากบั มธั ยฐาน และอีกคร่ึงหน่ึงของจาํ นวนค่าขอ้ มลู ท้งั หมดมีคา่ สูงกวา่ หรือเทา่ กบั มธั ยฐาน3.1.1 การหามธั ยฐานกรณขี ้อมูลไม่แจกแจงความถ่ี (Data without Frequency)เมื่อขอ้ มลู มีจาํ นวนไมม่ ากนกั ก็ไมจ่ าํ เป็ นตอ้ งแจกแจงความถี่ การหามธั ยฐานในกรณีน้ีจึงหาไดง้ ่ายตวั อย่างท่ี 3.1จาํ นวนนกั ศึกษาท่ีเขา้ ช้นั เรียนสายในช่วง 5 สปั ดาห์ท่ีผา่ นมาเป็นดงั น้ี 2 4 6 5 1 (คน)จงหามธั ยฐานของจาํ นวนนกั ศึกษาที่เขา้ ช้นั เรียนสายวธิ ีทาํข้นั ตอนที่ 1 เรียงคา่ ขอ้ มลู จะได้ 1 2ข้นั ตอนที่ 2 เลือกค่าท่ีอยตู่ รงกลาง 1 456ดงั น้นั มธั ยฐานคือ 4 คน 2 มธั 4ยฐาน 5 6 สําหรับตวั อย่างน้ีถ้าจะคาํ นวณตําแหน่งมัธยฐาน (ไม่ใช่ค่ามธั ยฐาน) เราสามารถคาํ นวณไดจ้ ากสูตรขา้ งล่างน้ี ตาํ แหน่งมธั ยฐาน = n +1 2 โดยท่ี n (จะใช้ “N” ก็ได)้ คือจาํ นวนของค่าสังเกตท้งั หมด หรือจาํ นวนของค่าขอ้ มูลท้งั หมด จากตวั อยา่ งที่ 3.1 น้ี n = 5 , ดงั น้นั ตาํ แหน่งมธั=ยฐาน =n +1 =5 +1 3 22 ตามตวั อยา่ งที่ 3.1 จาํ นวนค่าสังเกตเป็ นเลขคี่ คือมีท้งั หมด 5 ค่า จะมีค่าสังเกตค่าหน่ึงที่อยตู่ รงกลางพอดี แต่ถา้ จาํ นวนค่าสังเกตเป็ นเลขคู่จะไม่มีค่าท่ีตรงกลางพอดี ดงั น้นั จึงใช้ค่าที่อยตู่ รงกลางสองคา่ มาเฉล่ีย ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี32 สถิติทว่ั ไป

ตัวอย่างท่ี 3.2 น้าํ หนกั ของชาย 8 คน เป็นดงั น้ี 66 63 63 62 61 60 60 60 (กก.) จงหามธั ยฐานของน้าํ หนกั ชาย 8 คนน้ี วธิ ีทาํ เพราะว่าจาํ นวนของค่าสังเกตเป็ นเลขคู่คือ มี 8 ค่า จึงไม่มีค่าเดียวท่ีอยตู่ รงกลางพอดีตอ้ งนาํ ค่าท่ีอยตู่ รงกลางสองคา่ มาเฉล่ียดงั น้ี 66 63 63 62 61 60 60 60 ม=ธั ยฐาน =62 + 61 61.5 2 สาํ หรับตวั อยา่ งน้ีตาํ แหน่งมธั =ยฐาน =n +1 =8 +1 4.5 22 4.5 ตําแหน่ง : 1 2 3 4 5 6 7 8 ข้อมูล : 66 63 63 62 61 60 60 60 3.1.2 การหามัธยฐานกรณขี ้อมูลแจกแจงความถ่ีแบบไม่จัดกลุ่ม (Ungrouped Data) การหามธั ยฐานกรณีขอ้ มูลแจกแจงความถี่แบบไม่จดั กลุ่ม มีวิธีการหาเหมือนกรณีขอ้ มูลไม่แจกแจงความถี่ ดงั แสดงในตวั อย่างที่ 3.1 และ 3.2 แต่ค่าสังเกตที่อยู่ตรงกลางอาจจะดูยากกว่าเพราะขอ้ มูลแจกแจงความถ่ี จึงตอ้ งอาศยั ตาํ แหน่งมธั ยฐานและความถ่ีสะสมมาช่วยหามธั ยฐาน ซ่ึงจะทาํ ให้การไล่หามธั ยฐานง่ายข้ึน โดยความถ่ีสะสมจะเป็ นคา่ ท่ีบอกตาํ แหน่งขอ้ มลู ตวั อย่างที่ 3.3 จงคาํ นวณมธั ยฐานของขอ้ มูลต่อไปน้ี X 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14สถิติทว่ั ไป 33

วธิ ีทาํ 100จาํ นวนคา่ ขอ้ มลู ท้งั หมด= ∑=f =nข้นั ตอนท่ี 1 หาตาํ แหน่งมธั ยฐาน ตาํ แหน่งมธั ย=ฐาน =n +1 10=0 +1 50.5 22ข้นั ตอนท่ี 2 คาํ นวณความถี่สะสม แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ FX 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19F 8 16 28 39 49 57 66 74 86 100 ตาํ แหน่งท่ี 50.5 ข้ันตอนที่ 3 เนื่องจากไม่มีค่าเดียวท่ีอยู่ตรงกลาง จึงตอ้ งนาํ สองค่าที่อย่ตู รงกลางคือค่าที่ 50 และค่าที่ 51 มาเฉล่ีย ดงั น้นั ม=ธั ยฐาน =15 +15 15 2 3.1.3 การหามัธยฐานกรณขี ้อมูลแจกแจงความถ่แี บบจัดกล่มุ (Grouped Data) กรณีขอ้ มลู แจกแจงความถ่ีแบบจดั กลุ่ม มธั ยฐานจะถูกคาํ นวณจากสูตรตอ่ ไปน้ีมธั ยฐาน=  N − F   2 f  Lo +i     โดยท่ี Lo แทนขอบเขตล่างของช้นั มธั ยฐานi แทนอนั ตรภาคช้นั หรือ ความกวา้ งของช้นัn แทนจาํ นวนค่าสังเกตท้งั หมดn คือตาํ แหน่งมธั ยฐาน2F แทนความถี่สะสม (แบบตํา่ กวา่ ) ก่อนช้นั มธั ยฐานf แทนความถี่ที่ช้นั มธั ยฐาน34 สถิติทว่ั ไป

ตวั อย่างท่ี 3.4จงหามธั ยฐานของค่าใชจ้ า่ ยต่อวนั ของพนกั งาน 40 คน จากตารางตอ่ ไปน้ี ค่าใช้จ่ายต่อวนั (บาท) ความถี่ 127-135 8 136-144 9 145-153 12 154-162 5 > 162 6 วธิ ีทาํ ตาํ แหน่งมธั ย=ฐาน =n 4=0 20 ดงั น้นั มธั ยฐานตกอยใู่ นช้ันที่ 3 ซ่ึงจะ 22เรียกวา่ ช้ันมธั ยฐาน ความถี่สะสมจะเป็นตวั บอกตาํ แหน่งของคา่ ขอ้ มลู ความถี่สะสมท่ีจะใชค้ าํ นวณในสูตรมธั ยฐานน้ีเป็นความถ่ีสะสมแบบตาํ่ กวา่ จากตารางแจกแจงความถ่ีท่ีกาํ หนดให้ คาํ นวณค่าตา่ ง ๆ เพิ่มเติมไดด้ งั น้ี ค่าใช้จ่าย ความถี่ ( f ) ความถี่สะสม(F ) 127-135 8 ลบกนั ได้ i = 9 8 17 F 136-144 9 29 ช้นั มธั ยฐาน 145-153 34Lo = 144.5 154-162 f 12 40 >162 5 6แทนคา่ ตา่ ง ๆ ลงในสูตรไดด้ งั น้ีสถิติทว่ั ไป 35

มธั ยฐ=าน  N − F   2 f  Lo + i     = 144.5 + 9  20 −17   12 = 144.5 + 9 3  12  =144.5 + 2.25 =146.75ดงั น้นั มธั ยฐานของค่าใชจ้ ่ายตอ่ วนั เทา่ กบั 146.75 บาท3.2 ฐานนิยม (Mode)นิยามที่ 3.2 ฐานนิยมฐานนิยม คือ ค่าสังเกตท่ีมีจาํ นวนมากท่ีสุด (มีความถ่ีสูงสุด)3.2.1 การหาฐานนิยมกรณขี ้อมูลไม่แจกแจงความถ่ีตัวอย่างที่ 3.5จงหาฐานนิยมของขอ้ มลู ที่กาํ หนดในขอ้ (1) ถึง (4)(1) ขอ้ มลู : 1 2 3 4 4 6 5 7 ฐานนิยม = 4(2) ขอ้ มลู : 2 3 4 4 6 2 5 ฐานนิยม = 2 , 4 ไม่มีฐานนิยม(3) ขอ้ มลู : 1 2 3 4 5(4) ขอ้ มูล : 7 9 7 6 6 7 9 9 6 ไม่มีฐานนิยม ขอ้ มูลที่มีฐานนิยมเพียงค่าเดียว เช่น ขอ้ (1) เรียก Unimodal ขอ้ มูลที่มีฐานนิยมสองค่าเช่น ขอ้ (2) เรียก Bimodal ถา้ ค่าสังเกตทุกค่ามีความถ่ีเท่ากนั หมดเช่น ขอ้ (3) และ (4) ถือวา่ ไม่มฐี านนิยม เพราะไม่เป็นไปตามนิยาม ซ่ึงทาํ ใหห้ าตวั แทนขอ้ มูลไม่ไดจ้ ึงตอ้ งใชว้ ธิ ีอื่นแทน36 สถิติทว่ั ไป

3.2.2 การหาฐานนิยมกรณขี ้อมูลแจกแจงความถี่แบบไม่จัดกล่มุ 5ตัวอย่างที่ 3.6 4จงหาฐานนิยมของขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี X0 1 2 3 4 f5 7 6 5 5วธิ ีทาํ เพราะวา่ คา่ “1” มีความถ่ีมากท่ีสุด ดงั น้นั ฐานนิยม = 1ตัวอย่างท่ี 3.7จงพิจารณาขอ้ มลู เพศของนกั ศึกษาในช้นั เรียนดงั น้ี เพศ จํานวนคน ชาย 3 หญิง 23 การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางวธิ ีใดท่ีใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มลู ชุดน้ี วธิ ีทาํ การวดั แนวโน้มเขา้ สู่ส่วนกลางวิธีที่เหมาะสมสําหรับขอ้ มูลชุดน้ีคือฐานนิยม ซ่ึงเป็ นวธิ ีเดียวท่ีใชก้ บั ขอ้ มูลเชิงคุณภาพ ดงั น้นั ฐานนิยมคือ “หญิง” 3.2.3 การหาฐานนิยมกรณขี ้อมูลแจกแจงความถีแ่ บบจัดกล่มุ การหาค่าฐานนิยมในกรณีน้ีจะหาไดโ้ ดยการประมาณค่าของช้นั ที่มีความถี่สูงสุดและใชส้ ูตรต่อไปน้ีในการหาฐานนิยม ฐานนิยม= Lo + i  ∆1 ∆1   + ∆2   โดยที่ Lo แทนขอบเขตล่างของช้นั ฐานนิยม แทนอนั ตรภาคช้นั i แทนผลตา่ งระหวา่ งความถี่ของช้นั ฐานนิยมกบั ช้นั ก่อนช้นั ฐานนิยม ∆1สถิติทว่ั ไป 37

∆2 แทนผลต่างระหวา่ งความถ่ีของช้นั ฐานนิยมกบั ช้นั หลงั ช้นั ฐานนิยมหมายเหตุ : สูตรน้ีใชก้ บั ตารางแจกแจงความถ่ีที่สร้างช้นั แรกเป็นช้นั ของค่าต่าํ สุดตัวอย่างที่ 3.8ตารางต่อไปน้ีแสดงความยาวของริบบิ้น (หน่วย : ซม.) ท่ีขายไดข้ องร้านคา้ แห่งหน่ึงจงหาฐานนิยมของความยาวริบบิน้ ความยาว จํานวน 17-26 3 27-36 4 37-46 14 47-56 18 57-66 6 67-76 5วธิ ีทาํช้นั ขอ้ มูลท่ีมีความถ่ีสูงสุดคือช้นั ท่ี 4 (47-56) ซ่ึงเป็นช้นั ท่ีค่าฐานนิยมตกอยู่ จึงเรียกช้นัน้ีวา่ ช้ันฐานนิยม และคาํ นวณคา่ ตา่ ง ๆ ที่ตอ้ งนาํ ไปแทนในสูตรไดด้ งั น้ีช้นั ฐานนิยม 17-26 i = 46 − 36 = 10 3 27-36 4Lo = 46.5 37-46 14 ∆1= 18 −14= 4 47-56 18 ∆2 = 18 − 6 = 12 57-66 6 67-76 5แทนค่าตา่ ง ๆ ลงในสูตรไดด้ งั น้ี38 สถิติทว่ั ไป

ฐานนิยม = Lo + i  ∆1 ∆1   + ∆2  =   = 46.5 + 10  (18 18 −14 − 6)  =    −14) + (18  = 46.5 + 10 4  16  46.5 + 2.5 49ดงั น้นั ฐานนิยมของความยาวริบบิน้ เทา่ กบั 49 เซนติเมตร3.3 ค่าเฉลย่ี (Mean) ไดก้ ล่าวถึงวธิ ีการวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางมาสองวิธีแลว้ ต่อไปจะกล่าวถึงวธิ ีท่ีสามคือคา่ เฉล่ีย สูตรของคา่ เฉล่ียหรือสูตรทางสถิติอื่น ๆ หลาย ๆ สูตร จะมีสัญลกั ษณ์แสดงผลบวกปรากฏอยใู่ นสูตร ดงั น้นั จึงขอแนะนาํ สัญลกั ษณ์แสดงผลบวกก่อนเป็นลาํ ดบั แรก3.3.1 สัญลกั ษณ์แสดงผลบวก (Summation Notation) ในขอ้ มลู ชุดใด ๆ เรามกั ใชต้ วั อกั ษร x (หรือ y) และตวั หอ้ ยแทนค่าสงั เกตหรือคา่ ขอ้ มูลแต่ละค่าดงั น้ี x1 แทนค่าสงั เกตค่าที่ 1 x2 แทนค่าสังเกตคา่ ที่ 2 x3 แทนค่าสงั เกตค่าที่ 3    xn แทนค่าสังเกตค่าที่ nถา้ เราตอ้ งการบวกคา่ สังเกตท้งั หมดของขอ้ มูลเขา้ ดว้ ยกนั กล่าวคือ x1 + x2 + x3 +...+ xnการเขียนลกั ษณะน้ีอาจจะดูยาวไป เพ่อื ใหก้ ารเขียนสะดวกข้ึนเราจึงนาํ ตวั อกั ษรกรีกคือซิกมา\"∑\"มาใชแ้ ทนผลบวก ดงั น้ี n ∑x1 + x2 + x3 + + xn = xi i =1สถิติทว่ั ไป 39

ตวั อย่างท่ี 3.9จงใช้ \"∑\" แทนผลบวกต่อไปน้ี 50∑(1) x2 + x3 + x4 + ... + x50 = xi i=2( )x1 + x2 + ... + x10 2 = i1=01 2∑(2) xi  5∑(3) x12 + x22 + ... + x52 = xi2 i =1 20∑( )4 x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + ... + x20 y20 = xi yi i =1นิยามที่ 3.3 ค่าเฉลย่ีคา่ เฉล่ีย คือ ค่าท่ีเกิดจากการรวมค่าสังเกตท้งั หมดเขา้ ดว้ ยกนั แลว้ หารดว้ ยจาํ นวนค่าสงั เกตน้นั ชื่ออื่น ๆ ท่ีใชเ้ รียกกนั นอกจากจะใชช้ ื่อ “ค่าเฉลี่ย” คือ คา่ เฉล่ียเลขคณิต ตวั กลางเลขคณิต หรือมชั ฌิมเลขคณิต สัญลกั ษณ์ท่ีใชแ้ ทนค่าเฉล่ีย คือ \" X \"(อา่ นวา่ เอก็ ซ์บาร์)และ\"µ \"(อ่านวา่ มิว) ถา้ เป็นคา่ เฉล่ียของตวั อยา่ งจะใช้ \" X \"และถา้ เป็นคา่ เฉล่ียของประชากรจะใช้ \"µ \" สัญลกั ษณ์สองตวั น้ีจะไดก้ ล่าวถึงอีกคร้ังในหวั ขอ้ การประมาณค่าและการทดสอบสมมติฐานต่อไป 3.3.2 การหาค่าเฉลย่ี กรณขี ้อมูลไม่แจกแจงความถี่ กาํ หนดใหข้ อ้ มูลประกอบดว้ ยค่าสังเกต n ค่าคือ x1, x2,..., xn สูตรสาํ หรับการคาํ นวณค่าเฉล่ียกรณีขอ้ มลู ไม่แจกแจงความถ่ีคือ คา่ เฉล่ีย n ∑ xi = i=1 nเม่ือ n แทนจาํ นวนค่าสงั เกตท้งั หมด40 สถิติทว่ั ไป

ตวั อย่างท่ี 3.10 ขอ้ มูลชุดหน่ึงประกอบดว้ ยค่า 2 4 6 8 10 จงหาค่าเฉลี่ยของขอ้ มลู ชุดน้ี วธิ ีทาํจากสูตรคา่ เฉลี่ย = n =30 6 5 = ∑ xi i =1 n 2 + 4 + 6 + 8 +=10 5 3.3.3 การหาค่าเฉลยี่ กรณขี ้อมูลแจกแจงความถ่ีแบบไม่จัดกลุ่ม การหาค่าเฉลี่ยในกรณีน้ีจะมีความถ่ีเขา้ มาเก่ียวขอ้ งในการคาํ นวณ สูตรสาํ หรับการคาํ นวณคือ ค่าเฉล่ีย = m ∑ fi xi i =1 m ∑ fi i =1∑ f อาจจะแทนดว้ ย nเมื่อ xi แทนคา่ สงั เกตท่ีอยใู่ นช้นั ขอ้ มลู ช้นั ท่ี i fi แทนความถ่ีของช้นั ขอ้ มูลช้นั ท่ี i m แทนจาํ นวนช้นั ท้งั หมดตัวอย่างที่ 3.11จากตารางแจกแจงความถี่แบบไม่จดั กลุ่มท่ีกาํ หนดให้ จงหาคา่ เฉลี่ย xi 9 10 11 fi 2 3 1สถิติทว่ั ไป 41

วธิ ีทาํจากสูตรคา่ เฉลี่ย = ∑ fx ∑ f = 59 x f fx 6 9 2 18 = 9.8 10 3 30 11 1 11 =∑ f 6=∑ fx 59 ข้อสังเกต : การคาํ นวณค่าเฉล่ียจากสูตรที่มีความถ่ีเขา้ มาเกี่ยวขอ้ ง ยงั คงเป็ นไปตามนิยามของค่าเฉล่ียกล่าวคือ จะคาํ นวณค่าที่ซ้าํ กนั ออกมาก่อน โดยนาํ ค่าขอ้ มูลคูณความถี่หลงั จากน้นั นาํ ผลคูณที่ไดม้ าบวกกนั ก็จะไดค้ ่าขอ้ มูลท้งั หมดรวมเขา้ ดว้ ยกนั แลว้ หารดว้ ยผลรวมความถ่ีซ่ึงคือจาํ นวนค่าขอ้ มูลท้งั หมดนนั่ เอง 3.3.4 การหาค่าเฉลย่ี กรณขี ้อมูลแจกแจงความถแ่ี บบจัดกล่มุ ในตวั อยา่ งที่ 3.11 ซ่ึงเป็ นกรณีไม่จดั กลุ่ม (ungrouped data) น้นั แต่ละช้นั ขอ้ มูลจะมีค่าเดียวซ่ึงแทนดว้ ย xi ส่วนขอ้ มูลท่ีเป็ นแบบจดั กลุ่ม (grouped data) แต่ละช้นั ขอ้ มูลจะเป็ นการนําค่าข้อมูลหลาย ๆ ค่ามาอยู่ด้วยกนั จาํ เป็ นต้องหาตวั แทนของค่าข้อมูลแต่ละช้ันออกมาก่อน ซ่ึงปกติจะใช้ค่าจุดกลาง (midpoint) เป็ นตัวแทนของข้อมูลในแต่ละช้ันหลงั จากน้นั การคาํ นวณจะใชส้ ูตรเดียวกบั กรณีไม่จดั กลุ่ม เพียงแต่ xi ในสูตรคือค่าจุดกลางของช้นั ท่ี i ตวั อย่างที่ 3.12 คะแนนสอบของนกั ศึกษากลุ่มหน่ึงเป็นดงั น้ี คะแนน 0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 จาํ นวนคน 3 8 12 5 242 สถิติทว่ั ไป

จงหาค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบวธิ ีทาํ จากสูตรคา่ เฉลี่ย = ∑ fx ∑ f = 335 xi fi fi xi 30 (ค่าจุดกลาง) = 11.17 2 36 7 8 56 12 12 144 17 5 85 22 2 44 =∑ f 3=0 ∑ fx 335 คะแนนเฉลี่ยของนกั ศึกษากลุ่มน้ีเทา่ กบั 11.17 คะแนน 3.3.5 ค่าเฉลยี่ แบบถ่วงนํา้ หนัก (Weighted Mean) การคาํ นวณคา่ เฉลี่ยในตวั อยา่ งที่ผา่ นมาเป็นการคาํ นวณค่าเฉลี่ยแบบไม่ถ่วงน้าํ หนกั ซ่ึงถูกใชใ้ นกรณีที่คา่ ขอ้ มลู แต่ละคา่ มีความสาํ คญั เท่า ๆ กนั ในบางสถานการณ์ค่าขอ้ มูลแต่ละค่าอาจจะมีความสําคญั ไม่เท่ากนั เราจึงจาํ เป็ นตอ้ งให้น้าํ หนักกบั ค่าแต่ละค่าแตกต่างกนัออกไป เช่น เกรดท่ีนกั ศึกษาไดใ้ นการสอบแต่ละวชิ ามีความสําคญั ไม่เท่ากนั วิชาไหนท่ีมีความสําคญั มากกวา่ ก็จะมีจาํ นวนหน่วยกิตมากกวา่ ดงั น้นั ในการคาํ นวณเกรดเฉลี่ยจึงตอ้ งนาํ จาํ นวนหน่วยกิตมาคาํ นวณด้วย โดยถือว่าหน่วยกิตคือน้าํ หนัก ซ่ึงคาํ นวณโดยนาํ ค่าสังเกตแต่ละค่าคูณดว้ ยน้าํ หนกั ของค่าน้นั แลว้ นาํ ผลคูณที่ไดบ้ วกกนั หลงั จากน้นั หารดว้ ยผลรวมของน้าํ หนกั การคาํ นวณลกั ษณะน้ีเรียกค่าเฉลี่ยแบบถ่วงนํ้าหนัก เขียนแทนด้วยสูตรไดด้ งั น้ีสถิติทวั่ ไป 43

n ∑ คา่ เฉล่ียแบบถ่วงน้าํ หนกั wi xi i =1 = n ∑ wi i =1โดยที่ xi แทนค่าสงั เกตค่าท่ี i wi แทนน้าํ หนกั ของคา่ ท่ี iตัวอย่างท่ี 3.13นกั ศึกษาคนหน่ึงมีผลการสอบในภาคการศึกษาหน่ึง เป็นดงั น้ี วชิ า เกรด หน่วยกติ ภาษาองั กฤษ C 3 แคลคูลสั A 2 สถิติ B 1จงหาเกรดเฉล่ียของนกั ศึกษาคนน้ีวธิ ีทาํให้ xi แทนเกรดเฉลี่ยของวชิ าที่ iและ wi แทนหน่วยกิตของวชิ าที่ iจะได้ =x1 2,=x2, 4=, x3 3=w1 3=, w2 2=, w3 1ดงั น้นั เกรดเฉลี่ย = ∑ wx ∑w = w1x1 + w2 x2 + w3x3 w1 + w2 + w3 = (3× 2) + (2× 4) + (1×3) 3+2+1 = 2.8344 สถิติทว่ั ไป

3.4 ข้อมูลมคี ่าผดิ ปกติ (Outliers or Extreme Values) ค่าสังเกตที่มีค่าต่าํ หรือสูงผิดปกติเมื่อเปรียบเทียบกบั ค่าขอ้ มูลส่วนใหญ่ในขอ้ มูลชุดหน่ึง ๆ จะถูกเรียกวา่ ค่าผิดปกติ (outlier or extreme value) กรณีท่ีขอ้ มูลมีค่าผดิ ปกติการหาตวั แทนข้อมูลโดยใช้ค่าเฉลี่ยจะถูกกระทบมากท่ีสุด เพราะการหาค่าเฉล่ียตอ้ งนําค่าขอ้ มูลทุกค่ามาคาํ นวณ ดงั น้นั ถา้ ขอ้ มูลมีค่าต่าํ ผดิ ปกติปนอยคู่ ่าเฉล่ียท่ีคาํ นวณไดจ้ ะมีค่าต่าํกว่าค่าข้อมูลส่วนใหญ่หรือมีค่าต่าํ กว่าที่ควรจะเป็ น แต่ถ้าขอ้ มูลมีค่าสูงผิดปกติปนอยู่คา่ เฉลี่ยที่คาํ นวณไดจ้ ะมีคา่ สูงกวา่ ค่าขอ้ มูลส่วนใหญ่หรือมีค่าสูงกวา่ ที่ควรจะเป็ น ค่าเฉล่ียในสถานการณ์เช่นน้ีจึงไม่ใหต้ วั แทนท่ีดีของขอ้ มลู แตก่ ารหาตวั แทนขอ้ มูลโดยใชม้ ธั ยฐานหรือฐานนิยมจะไม่ไดร้ ับผลกระทบจากค่าผดิ ปกติ จึงเหมาะที่จะนาํ ไปใชห้ าตวั แทนขอ้ มูลมากกวา่ ดงั แสดงในตวั อยา่ งต่อไปน้ี ตัวอย่างที่ 3.14 ขอ้ มูลชุดหน่ึงเป็นดงั น้ี 500 550 550 550 600 700 750 2000 (1) ค่าผดิ ปกติคือคา่ อะไร (2) ใหค้ าํ นวณคา่ เฉล่ีย มธั ยฐาน และฐานนิยม (3) การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่กลางวธิ ีไหนไม่เหมาะที่จะนาํ ไปใช้ วธิ ีทาํ (1) ค่าผิดปกติ คือ 2000 เพราะมีค่าสูงมากเม่ือเทียบกบั ค่าขอ้ มูลส่วนใหญ่ซ่ึงอยู่ ในช่วง 500 ถึง 750 (2) มธั ยฐาน = 575 ฐานนิยม = 550 คา่ เฉลี่ย = 775 (3) จะพบว่าค่าเฉล่ียไม่เหมาะที่จะนาํ ไปใช้หาตวั แทนของข้อมูลชุดน้ีเพราะค่าเฉล่ียไม่ให้ค่าที่ใกลเ้ คียงขอ้ มูลส่วนใหญ่ จึงควรใช้มธั ยฐานหรือฐานนิยมเพราะจะให้ค่าท่ีใกลเ้ คียงค่าขอ้ มูลส่วนใหญม่ ากกวา่สถิติทวั่ ไป 45

3.5 ความสัมพนั ธ์ระหว่างค่าเฉลยี่ มธั ยฐาน และฐานนิยม รูปร่างการแจกแจงของขอ้ มูล (distribution shapes of data) มีไดห้ ลายรูปแบบ เช่น มีลกั ษณะสมมาตร เบซ้ า้ ย เบข้ วา ตวั ยู หรือตวั เจ เป็ นตน้ รูปร่างของขอ้ มลู แต่ละแบบดงั กล่าวน้ีจะใหค้ วามสมั พนั ธ์ของคา่ เฉลี่ย มธั ยฐาน และฐานนิยม แตกต่างกนั ไปดงั น้ี (1) การแจกแจงของข้อมูลมีลักษณะสมมาตร (Symetric Distribution) แสดงโดยเส้นโคง้ ความถี่ไดด้ งั น้ี • mean = median = mode ในกรณีน้ีค่าเฉล่ีย มธั ยฐานและฐานนิยม จะมีค่าเท่ากนั และเป็ นค่าบนแกนนอนท่ีตรงกบั จุดสูงสุดของกราฟ (2) การแจกแจงของข้อมูลมีลกั ษณะเบ้ซ้าย (Skewed to the Left Distribution) แสดงดว้ ยเส้นโคง้ ความถี่ไดด้ งั น้ี กรณีน้ีหางของกราฟจะทอดยาวไปทางซ้าย และค่าฐานนิยมจะตรงกบั จุดสูงสุดของกราฟเพราะเป็ นค่าท่ีมีความถ่ีสูงสุด ส่วนค่าเฉล่ียจะถูกดึงไปทางดา้ นค่าผิดปกติ ซ่ึงค่าผดิ ปกติตามรูปกราฟจะอยดู่ า้ นซา้ ย ดงั น้นั ค่าเฉล่ียจะถูกดึงไปดา้ นซ้าย ส่วนมธั ยฐานจะอยู่46 สถิติทว่ั ไป

ห่างจากค่าเฉล่ียเป็ นระยะทางประมาณหน่ึงในสามของระยะทางระหว่างค่าเฉลี่ยและฐานนิยม แสดงความสัมพนั ธ์ในรูปสมการไดด้ งั น้ี mod e −=mean (median − mean) 3 หรือ mod e − mean= 3(median − mean) (3) การแจกแจงของข้อมูลมีลกั ษณะเบ้ขวา (Skewed to the Right Distribution) ซ่ึงแสดงดว้ ยเส้นโคง้ ความถี่ไดด้ งั น้ี กรณีน้ีหางของกราฟจะทอดยาวไปทางขวา และค่าฐานนิยมยงั คงอยตู่ รงกบั จุดสูงสุดของกราฟเพราะเป็นค่าที่มีความถ่ีสูงสุด ส่วนค่าเฉล่ียจะถูกดึงไปทางดา้ นค่าผิดปกติ ซ่ึงค่าผดิ ปกติตามรูปกราฟจะอยดู่ า้ นขวา ดงั น้นั ค่าเฉลี่ยจะถูกดึงไปดา้ นขวา ส่วนมธั ยฐานจะอยู่ห่างจากค่าเฉล่ียเป็ นระยะทางประมาณหน่ึงในสามของระยะทางระหวา่ งค่าเฉลี่ยและฐานนิยม แสดงความสัมพนั ธ์ในรูปสมการไดด้ งั น้ี mean − m=od e (mean − median) 3 หรือ mean − mod e = 3(mean − median) (4) การแจกแจงรูปแบบอนื่ ๆ การแจกแจงของขอ้ มูลอาจจะมีรูปร่างอ่ืน ๆ เช่น รูปตวั ยู รูปตวั เจ หรือรูปตวั เจกลบัสถิติทว่ั ไป 47

ข้อสังเกตในการเลอื กใช้การวดั แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง (1) ตามตวั อย่างข้างต้นเราจะเห็นว่าค่าเฉล่ียไม่ควรนาํ ไปใช้ในกรณีที่ข้อมูลมีค่าผดิ ปกติ ควรใชม้ ธั ยฐานหรือฐานนิยมแทน (2) ค่าเฉลี่ย มธั ยฐาน และฐานนิยม ท้งั สามวิธีน้ีนาํ ไปใช้ได้กบั ข้อมูลเชิงปริมาณเฉพาะฐานนิยมเท่าน้นั ที่สามารถใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มลู เชิงคุณภาพ ดงั แสดงในตวั อยา่ งท่ี 3.7 (3) ถา้ รูปร่างของขอ้ มลู มีลกั ษณะเบ้ ค่าเฉล่ียจะใหต้ วั แทนท่ีไม่ดี ควรใช้ มธั ยฐานหรือฐานนิยม48 สถิติทว่ั ไป