บทที่ 5 ความน่าจะเป็นและเทคนิคการนับ หน้า 69 - 74 (คำศัพท์ ความหมายของความน่าจะเป็น )

ความน่าจะเป็ นและเทคนคิ การนับ 5 Probability and counting techniques มาถึงจุดน้ีเราไดเ้ รียนรู้อะไรไปบา้ งแลว้ เราไดร้ ู้วธิ ีการอธิบายลกั ษณะขอ้ มูลที่เกบ็รวบรวมมาหรือขอ้ มลู ดิบโดยใชต้ าราง และกราฟ ไดศ้ ึกษาการหาตวั แทนหรือค่าที่เป็นศนู ยก์ ลางของขอ้ มลู โดยใชก้ ารวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง อนั ไดแ้ ก่ค่าเฉลี่ย มธั ยฐาน และฐานนิยม ไดเ้ รียนการวดั การกระจายของขอ้ มูล โดยใชพ้ สิ ยั ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน และสมั ประสิทธ์ิความแปรผนั ไดร้ ู้วธิ ีการวดัตาํ แหน่งของค่าขอ้ มูลโดยใชค้ ะแนนมาตรฐาน วธิ ีการและเครื่องมือต่าง ๆ ที่เราไดเ้ รียนรู้มาเหล่าน้ีจดั เป็นสถิติเชิงพรรณนา ต้งั แต่บทน้ีเป็นตน้ ไปจะเริ่มเกี่ยวขอ้ งกบั ส่วนของสถิติเชิงอนุมานหรือสถิติเชิงอา้ งอิงซ่ึงเป็นสถิติที่วา่ ดว้ ยวธิ ีการต่าง ๆ ท่ีเก่ียวขอ้ งกบั การใชข้ อ้ มลูจากตวั อยา่ งไปสรุปผล หรืออา้ งอิง หรืออนุมานไปยงั คุณลกั ษณะของประชากรท่ีเราสนใจความรู้พ้ืนฐานที่สาํ คญั ในสถิติเชิงอา้ งอิง คือเรื่องความน่าจะเป็นซ่ึงเราจะไดศ้ ึกษาตอ่ ไป5.1 คาํ ศัพท์ ในหวั ขอ้ ความน่าจะเป็ นจะมีศพั ทท์ ี่เก่ียวขอ้ งอยหู่ ลายคาํ ซ่ึงตอ้ งทาํ ความเขา้ ใจก่อนเป็นอนั ดบั แรกไดแ้ ก่ การทดลองเชิงสุ่ม สเปซตวั อยา่ ง จุดตวั อยา่ ง เหตุการณ์ เหตุการณ์เด่ียวเหตุการณ์รวม และเหตุการณ์ที่แยกจากกนั โดยเดด็ ขาด นิยามท่ี 5.1 การทดลองเชิงสุ่ม (Random Experiment) การทดลองเชิงสุ่ม คือการทดลองหรือวิธีการใด ๆ ท่ีไม่สามารถทาํ นายผลลพั ธ์ (outcome) ของการทดลองไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ งแน่นอน รู้แต่วา่ ผลลพั ธ์ที่อาจจะเกิด ข้ึนท้งั หมดเป็ นอะไรไดบ้ า้ ง ตวั อย่างท่ี 5.1 การทดลองที่ถือวา่ เป็นการทดลองเชิงสุ่ม เช่นสถิติทว่ั ไป 69

การโยนเหรียญ 1 อนั 1 คร้ัง เป็นการทดลองเชิงสุ่มเพราะเราไม่สามารถทาํ นายผลลพั ธ์ไดแ้ น่นอนวา่ เหรียญจะข้ึนหวั หรือกอ้ ย แต่รู้วา่ ผลลพั ธ์ท่ีเป็นไปไดท้ ้งั หมดคือ หวัและ กอ้ ย ถา้ นาํ ผลลพั ธ์คือ หวั (แทนดว้ ย H) กบั กอ้ ย (แทนดว้ ย T) เขียนเป็นเซต ก็จะ 0ไดแ้ ซมเปิ ลเสปซดงั น้ี0 S = { H, T } การหยิบไพ่ 1 ใบจากสาํ รับ เป็ นการทดลองเชิงสุ่มเพราะเราไมส่ ามารถทาํ นายผลลพั ธ์ไดแ้ น่นอนวา่ ไพท่ ่ีหยิบได้ 1 ใบน้นั จะไดอ้ ะไร แต่รู้วา่ ผลลพั ธ์ที่เป็ นไปไดท้ ้งั หมดคือแตม้ ของไพ่ 52 ใบ และแซมเปิ ลสเปซของการทดลองเชิงสุ่มน้ีคือ S = { 2 โพดาํ , 2 โพแดง, 2 ขา้ วหลามตดั , 2 ดอกจิก, ..., K โพดาํ , K โพ แดง, K ขา้ วหลามตดั , K ดอกจิก} การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง เป็นการทดลองเชิงสุ่มเพราะเราไม่สามารถทาํ นายผลลพั ธ์ไดแ้ น่นอนวา่ ลูกเต๋าจะข้ึนแตม้ อะไร แต่รู้วา่ ผลลพั ธ์ที่เป็นไปไดท้ ้งั หมดมีอะไรบา้ งซ่ึงแสดงโดยแซมเปิ ลสเปซไดด้ งั น้ี S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} การเกณฑท์ หารของนกั ศึกษาคนหน่ึงเป็นการทดลองเชิงสุ่มเพราะอะไร นิยามท่ี 5.2 ปริภูมิตวั อย่าง (Sample Space) ปริภมู ิตวั อยา่ ง คือ เซตของผลลพั ธ์ท่ีเป็ นไปไดท้ ้งั หมดของการทดลองสุ่มหน่ึง ๆ เขียนแทนดว้ ย S สมาชิกแต่ละตวั ในเซตน้ีเรียกวา่ จุดตวั อยา่ ง (Sample Point) ปริภมู ิตวั อยา่ ง แบ่งเป็ น 3 ลกั ษณะ ดงั น้ี (รัชกมล, 2545 : 2) 1. ปริภูมิตวั อยา่ งท่ีมีผลลพั ธ์เป็นจาํ นวนจาํ กดั และนบั ได้ (Countably Finite) 2. ปริภูมิตวั อยา่ งที่มีผลลพั ธ์เป็นจาํ นวนอนนั ต์ แตน่ บั ได้ (Countably Infinite) 3. ปริภมู ิตวั อยา่ งท่ีมีผลลพั ธ์เป็นจาํ นวนอนนั ต์ และนบั ไม่ได้ (Uncountably Infinite) ตัวอย่างท่ี 5.2 การทดลองสุ่ม คือ การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง จะไดป้ ริภมู ิตวั อยา่ งดงั น้ี S = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } เป็นปริภมู ิตวั อยา่ งที่มีผลลพั ธ์เป็นจาํ นวนจาํ กดั และนบั ได้ 70 สถิติทว่ั ไป

จาํ นวนนกั ศึกษาท่ีเขา้ ใชบ้ ริการห้องสมุดใน 1 วนั จะมีปริภมู ิตวั อยา่ ง คือ S = { 0 ,1 ,2 , …}เป็นปริภมู ิตวั อยา่ งท่ีมีผลลพั ธ์เป็นจาํ นวนอนนั ตแ์ ต่นบั ได้ ปริภมู ิตวั อยา่ งขา้ งตน้ เรียกอีกอยา่ งวา่ ปริภูมิตวั อยา่ งไม่ต่อเนื่อง (discrete sample space) ผลผลิตขา้ วหอมมะลิ (X) ในจงั หวดั ปทุมธานี ในฤดูกาลเพาะปลูกปี หนา้ มีปริภมู ิตวั อยา่ ง คือ S = { X : 0< x <∞ } เป็นปริภูมิตวั อยา่ งท่ีมีผลลพั ธ์เป็นจาํ นวนอนนั ต์และนบั ไม่ได้ หรือเรียกวา่ ปริภูมิตวั อยา่ งต่อเนื่อง (continuous sample space) นิยามที่ 5.3 เหตุการณ์ (Event) เหตุการณ์ คือเซตยอ่ ยของแซมเปิ ลสเปซ ถา้ ในเซตยอ่ ยมีสมาชิกเพียงหน่ึงตวั เรียกเหตุการณ์น้ีว่าเหตุการณ์เดี่ยว (simpleevent) แตถ่ า้ มีสมาชิกต้งั แตส่ องตวั ข้ึนไป เรียกเหตุการณ์รวม (compound event) ใชอ้ กั ษรภาษาองั กฤษตวั ใหญ่เป็นสัญลกั ษณ์แทนเหตุการณ์ต่าง ๆ เช่น A, B, C เป็นตน้ ตวั อย่างที่ 5.3 โยนเหรียญ 1 อนั 1 คร้ัง จะไดแ้ ซมเปิ ลสเปซ คือ S = { H, T } จาํ นวนสับเซตของแซมเปิ ลสเปซเทา่ กบั 22 = 4 สับเซต มีดงั น้ี ∅ , { H, T }, {H},{T}สับเซต 4 สับเซตน้ีกค็ ือ เหตุการณ์ท่ีเป็นไปไดท้ ้งั หมด ∅ เป็นเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดข้ึนเลย (Impossible Event) { H, T } เป็นเหตุการณ์รวม ซ่ึงเทา่ กบั แซมเปิ ลสเปซ เป็นเหตุการณ์ท่ีเกิดข้ึนอยา่ งแน่นอน (Sure Event) {H} และ {T} เป็นเหตุการณ์ท่ีมีสมาชิกเพยี งตวั เดียว เรียกวา่ เป็ นเหตุการณ์เดี่ยว ข้อสังเกต ถา้ S เป็ นแซมเปิ ลสเปซซ่ึงมีจาํ นวนสมาชิก n ตวั จาํ นวนของเหตุการณ์ท้งั หมดของ S ท่ีเป็นไดจ้ ะเท่ากบั 2n ซ่ึงเท่ากบั จาํ นวนสับเซตที่เป็นไปได้ท้งั หมดของ S นนั่ เองสถิติทวั่ ไป 71

ตัวอย่างท่ี 5.4 ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง จะไดแ้ ซมเปิ ลสเปซดงั น้ี S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถา้ E1 เป็ นเหตุการณ์ท่ีไดแ้ ตม้ หาร 5 ลงตวั เขียน E1 ในรูปของเซตไดด้ งั น้ี E1 = { 5 } เน่ืองจากใน S มี 5 ตวั เดียวที่ 5 หารลงตวั จึงนาํ 5 มาเขียนเป็นสมาชิกของ E1 ถา้ E2 เป็ นเหตุการณ์ที่ไดแ้ ตม้ ต่าํ กวา่ 4 เขียน E2 ในรูปของเซตไดด้ งั น้ี E2 = {1, 2, 3} เน่ืองจากใน S มี 1, 2, 3 ท่ีแตม้ ต่าํ กวา่ 4 จึงนาํ 1, 2, 3 มาเขียนเป็นสมาชิกของ E2 นิยามที่ 5.4 เหตุการณ์ไม่เกดิ ร่วมกนั หรือเหตุการณ์ทแี่ ยกจากกนั โดยเดด็ ขาด (Disjoint Events or Mutually Exclusive Events ) เหตุการณ์ A และ B ไมเ่ กิดร่วมกนั ถา้ A∩ B =∅ เหตุการณ์ A1, A2, A3,...เป็ นเหตุการณ์ท่ีไม่เกิดร่วมกนั เป็ นคู่ ๆ (pairwise disjoint event) ถา้ Ai  Aj = ∅ สาํ หรับทุก i ≠ j ตวั อย่างที่ 5.5 ในการโยนเหรียญ 1 อนั 1 คร้ัง ถา้ A เป็นเหตุการณ์ท่ีข้ึนหวั และ B เป็นเหตุการณ์ท่ีข้ึนก้อย A และ B เป็นเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกนั ไมไ่ ด้ เพราะในการโยนเหรียญ 1 อนั จะได้ผลลพั ธ์อยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเทา่ น้นั คือหวั หรือกอ้ ย สองผลลพั ธ์จะเกิดข้ึนพร้อมกนั ไมไ่ ด้หรือ A ∩ B = Φ ตัวอย่างที่ 5.6 ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง ถา้ C เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าข้ึนแตม้ คู่ ∴ C = {2, 4, 6} และ D เป็นเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าข้ึนแตม้ 1, 2, 3 ∴ D = {1, 2, 3} 72 สถิติทวั่ ไป

จะไดว้ า่ C ∩ D = {2} ≠ Φ เพราะฉะน้นั C กบั D ไม่ใช่เหตุการณ์ท่ีแยกจากกนัโดยเด็ดขาด หรือ C กบั D เป็นเหตุการณ์ท่ีเกิดร่วมกนั ได้ นิยามท่ี 5.5 การเกดิ ขึน้ ของเหตุการณ์ เหตุการณ์ A เกิดข้ึนในการทดลอง กต็ ่อเม่ือผลลพั ธ์ท่ีเกิดข้ึนจากการทดลองเป็ น สมาชิกในเหตุการณ์ A ตัวอย่างที่ 5.7 ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง ถา้ C เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าข้ึนแตม้ คู่ ดงั น้นั C = {2, 4, 6} และ D เป็นเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าข้ึนแตม้ 1, 2, 3 ดงั น้นั D = {1, 2, 3} ถา้ ผลลพั ธ์ข้ึนแตม้ 4 แสดงวา่ เหตุการณ์ C เกิดข้ึน แต่เหตุการณ์ Dไม่เกิด ถา้ ผลลพั ธข์ ้ึนแตม้ 1 แสดงวา่ เหตุการณ์ D เกิดข้ึน แต่เหตุการณ์ C ไมเ่ กิด ถา้ ผลลพั ธ์ข้ึนแตม้ 2 แสดงวา่เหตุการณ์ C และ D เกิดร่วมกนั5.2 ความหมายของความน่าจะเป็ น ในชีวติ ประจาํ วนั มีเหตุการณ์ตา่ ง ๆ เกิดข้ึนมากมาย บางเหตุการณ์สามารถบอกได้ชดั เจนวา่ จะเกิดข้ึนแน่นอน เช่น พระอาทิตยข์ ้ึนทางทิศตะวนั ออก ส่วนเหตุการณ์ที่ไม่สามารถบอกไดแ้ น่นอน เช่น พรุ่งน้ีฝนอาจจะตก ปี หนา้ เศรษฐกิจอาจจะดี เหตุการณ์ที่ไม่สามารถบอกไดแ้ น่นอนวา่ จะเกิดอะไรข้ึนน้ี ถา้ เราสามารถหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่าน้ีไดว้ า่ มีค่ามากนอ้ ยเพยี งใด ก็จะเป็นประโยชน์เพอื่ ประกอบการตดั สินใจจะช่วยใหก้ ารตดั สินใจของเรามีเหตุผลที่น่าเชื่อถือ และผดิ พลาดนอ้ ย ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์หน่ึง ๆ เป็นตวั เลขซ่ึงใชว้ ดั โอกาสการเกิดของเหตุการณ์น้นั วา่ จะมีโอกาสเกิดมากนอ้ ยเพียงใด ความน่าจะเป็นจะมีคา่ ต้งั แต่ 0 ถึง 1 ถา้เหตุการณ์ใดมีความน่าจะเป็ นเท่ากบั 0 แสดงวา่ เหตุการณ์น้นั ไม่มีโอกาสเกิดข้ึนเลย(impossible event) ถา้ เหตุการณ์ใดมีความน่าจะเป็นเท่ากบั 1 แสดงวา่ เหตุการณ์น้นัเกิดข้ึนแน่นอน (sure event) ถา้ เหตุการณ์ใดมีความน่าจะเป็ นใกล้ ๆ 0 แสดงวา่สถิติทว่ั ไป 73

เหตุการณ์น้นั มีโอกาสเกิดนอ้ ย เช่น ความน่าจะเป็นท่ีลูกอุกาบาตจะชนโลกเป็น0.000000000001 ถา้ เหตุการณ์มีความน่าจะเป็นใกล้ 1 แสดงวา่ เหตุการณ์น้นั มีโอกาสเกิดข้ึนมาก เช่น โอกาสท่ีพรุ่งน้ีฝนจะตกเป็น 90% แสดงวา่ มีโอกาสเกิดมาก5.2.1 การหาค่าความน่าจะเป็ นนิยามท่ี 5.6ถา้ การทดลองสุ่มอนั หน่ึงเกิดผลลพั ธ์ได้ N วธิ ี โดยที่ผลลพั ธ์แตล่ ะวธิ ีมีโอกาสเกิดข้ึนไดเ้ ทา่ ๆกนั และจาํ นวนวธิ ีที่จะเกิดเหตุการณ์ A มี n วธิ ี ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ A เขียนแทนดว้ ย P(A) คาํ นวณโดย P(A) = จาํ นวนสมาชิกใน A = n N จาํ นวนสมาชิกใน Sตัวอย่างท่ี 5.8ในการโยนเหรียญ 1 อนั 2 คร้ัง จงหาความน่าจะเป็ นท่ีเหรียญข้ึนหนา้ เหมือนกนัวธิ ีทาํในการโยนเหรียญ 1 อนั 2 คร้ัง จะไดแ้ ซมเปิ ลสเปซดงั น้ี S = { HH, HT, TH, TT }จะหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ใดใหส้ มมติสัญลกั ษณ์แทนเหตุการณ์ข◌ึ◌้นมาก่อนให้ A แทนเหตุการณ์ที่เหรียญข้ึนหนา้ เหมือนกนัจะได้ A = { HH, TT }∴ P(A) = จาํ นวนสมาชิกในเหตุการณ์ A จาํ นวนสมาชิกในแซมเปิ ลสเปซ 2 1 =n = 4 = 2 N = 0.5 = 50%74 สถิติทว่ั ไป