บทที่ 6 ตัวแปรสุ่ม หน้า-103- 110 (การแจกแจงความน่าจะเป็น)

ตวั แปรสมุ่ 6 Random variables ในการทดลองสุ่มหลาย ๆ สถานการณ์ ตวั แปรสุ่มจะเป็นตวั แปรที่ช่วยสรุปสมาชิกแต่ละตวั ของปริภูมิตวั อยา่ งออกมาเป็นตวั เลข เช่น ในการสาํ รวจการสูบบุหรี่ของนกั ศึกษา 30คน วา่ นกั ศึกษาสูบบุหรี่หรือไม่ ถา้ กาํ หนดการบนั ทึกขอ้ มูลวา่ “สูบบุหรี่” แทนดว้ ย “1”และ “ไม่สูบบุหรี่” แทนดว้ ย “0” สาํ หรับการทดลองสุ่มน้ีจะมีสมาชิกในปริภูมิตวั อยา่ งมากถึง 230 ตวั โดยสมาชิกแต่ละตวั จะเป็นค่า “1” กบั “0” เขียนเรียงกนั อยเู่ ช่น(1,1,1,0,1,0,...,1) , (1,0,1,1,1,0,...,0) เป็นตน้ ถา้ เราสนใจหาจาํ นวนคนท่ีสูบบุหร่ีของนกั ศึกษา 30 คนน้ี และให้ X = จาํ นวนคนที่สูบบุหร่ี จะไดป้ ริภมู ิตวั อยา่ งของ X เป็ นเซตของจาํ นวนเตม็ คือ { 0, 1, 2, ..., 30}6.1 ตวั แปรสุ่ม นิยามที่ 6.1 ตัวแปรสุ่ม (Random Variable) ตวั แปรสุ่ม คือ ฟังกช์ นั ที่เปล่ียนแตล่ ะเหตุการณ์ในแซมเปิ ลสเปซใหเ้ ป็นตวั เลข จาํ นวนจริง ใชอ้ กั ษรภาษาองั กฤษตวั ใหญ่ เช่น X, Y, Z เป็นสัญลกั ษณ์แทนตวั แปรสุ่ม และใช้อกั ษรภาษาองั กฤษตวั เล็ก เช่น x, y, z แทนค่าของตวั แปรสุ่ม ตัวอย่างที่ 6.1 ในการทดลองโยนเหรียญเท่ียงตรง 3 อนั 1 คร้ัง เซตของผลลพั ธ์ที่เป็นไปไดท้ ้งั หมดคือ S = {(HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)} ถา้ ให้ X เป็ นตวั แปรสุ่มท่ีแทนจาํ นวนหวั ท่ีเกิดข้ึน ดงั น้นั X จะเป็ นฟังก์ชนั ท่ีจะแปลงแต่ละเหตุการณ์ในในแซมเปิ ลสเปซใหเ้ ป็นตวั เลขจาํ นวนจริงไดด้ งั น้ีสถิติทวั่ ไป 103

X (HHH) = 3 X (HTT) = 1X (HHT) = 2 X (THT) = 1X (HTH) = 2 X (TTH) = 1X (THH) = 2 X (TTT) = 0สามารถเขียนตวั แปรสุ่มและค่าของตวั แปรสุ่มแบบยอ่ ไดด้ งั น้ี X = จาํ นวนหวั จากการโยนเหรียญ 3 อนั x = 0, 1, 2, 3ตวั อย่างที่ 6.2ในการทดลองโยนเหรียญเท่ียงตรง 2 อนั 1 คร้ัง จะไดแ้ ซมเปิ ลสเปซคือS = {(HH), (HT), (TH), (TT)}ถา้ ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มท่ีแทนจาํ นวนกอ้ ยท่ีเกิดข้ึนจะไดว้ า่ X (HH) =0 X (HT) = 1 X (TH) = 1 X (TT) = 2หรือเขียนแบบยอ่ ไดด้ งั น้ี X = จาํ นวนกอ้ ยจากการโยนเหรียญ 2 อนั x = 0, 1, 2ตวั อย่างที่ 6.3นาย ก. ซ้ือเครื่องซกั ผา้ โดยวธิ ีสุ่มเลือกเพ่ือนาํ ไปขายต่อ ถา้ ไดเ้ คร่ืองซกั ผา้ ท่ีมีตาํ หนิจะขาดทุน 300 บาท เม่ือเวลาขาย และถา้ ไดเ้ ครื่องซกั ผา้ ท่ีไมม่ ีตาํ หนิจะกาํ ไร 500 บาทเม่ือเวลาขายถา้ ให้ X คือ กาํ ไรท่ีจะไดร้ ับ X จะมีค่าใดไดบ้ า้ งแซมเปิ ลสเปซคือ S = {เครื่องซกั ผา้ มีตาํ หนิ, เคร่ืองซกั ผา้ ไม่มีตาํ หนิ} X (มีตาํ หนิ) = -300 X (ไม่มีตาํ หนิ) = 500104 สถิติทว่ั ไป

หรือเขียนแบบยอ่ ไดด้ งั น้ี X = กาํ ไรที่จะไดร้ ับ x = -300, 500 ตวั อย่างท่ี 6.4 การสาํ รวจนกั ศึกษา 2 คน วา่ จะไปใชส้ ิทธ์ิเลือกต้งั ในคร้ังหนา้ หรือไม่ ให้ Y แทนไปและ N แทน ไม่ไป จะไดแ้ ซมเปิ ลสเปซคือ S = { YY, YN, NY, NN} ถา้ ให้ Z = จาํ นวนผตู้ อบวา่ ไป จะได้ z = 0, 1, 2 ตัวอย่างที่ 6.5 (1) Y เป็นปริมาณน้าํ ฝนท่ีตกในกรุงเทพฯ Y จะเป็นตวั แปรสุ่มท่ีมีคา่ เป็นเลขจาํ นวนบวกรวมท้งั ศูนยด์ ว้ ย y≥0 (2) A = ระยะเวลา (เป็ นนาที) ท่ีรอข้ึนรถเมล์ a ≥0 (3) B เป็นจาํ นวนทารกที่เกิดในโรงพยาบาลแห่งหน่ึง b = 0, 1, 2, …………… ตวั แปรสุ่มแบง่ ไดเ้ ป็น 2 ชนิดตามลกั ษณะของค่าตวั แปรสุ่มคือ (1) ตวั แปรสุ่มชนิดไม่ตอ่ เนื่อง (Discrete Random Variable) (2) ตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เนื่อง (Continuous Random Variable) (1) ตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง เป็นตวั แปรสุ่มท่ีมีคา่ เป็นจาํ นวนเตม็ ใด ๆ ตวั อยา่ งของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองไดแ้ ก่ ก. X เป็นตวั แปรสุ่มท่ีแทนจาํ นวนหวั จากการโยนเหรียญ 3 อนั 1 คร้ัง x = 0, 1, 2, 3 ข. Y เป็นตวั แปรสุ่มที่แทนจาํ นวนคร้ังท่ีคนโทรศพั ทเ์ ขา้ มาในบริษทั แห่งหน่ึง y = 0, 1, 2, ……..สถิติทวั่ ไป 105

ค. ในครอบครัวที่มีลูก 2 คน Z = จาํ นวนลูกชาย z = 0, 1, 2 ตวั แปรสุ่มของขอ้ มูลที่เกิดจากการนบั จดั เป็ นตวั แปรสุ่มแบบไม่ตอ่ เนื่องเสมอ (2) ตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง เป็ นตวั แปรสุ่มที่มีค่าเป็ นช่วงของจาํ นวนจริง จาํ นวนจริงค่าจะต่อเน่ืองกนั เป็ นจาํ นวนอนนั ต์ ตวั อยา่ งของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ไดแ้ ก่ ก. X เป็นตวั แปรสุ่มที่แทนความสูงของคนในช่วง 150-160 เซ็นติเมตร ข. Y เป็นตวั แปรสุ่มท่ีแทนน้าํ หนกั ของทารกในช่วง 2000 - 4500 กรัม ค. Z เป็นตวั แปรสุ่มที่แทนอายกุ ารใชง้ านหลอดไฟในช่วง 300 - 500 ชวั่ โมง ง. A = ปริมาณผงกาแฟในขวดขนาดกลาง จ. E = ความเร็วของรถยนต์ ตวั แปรสุ่มของขอ้ มลู ที่เกิดจากการชงั่ ตวง วดั จดั เป็ นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องเสมอ6.2 การแจกแจงความน่าจะเป็ น ค่าคาดหวงั และค่าความแปรปรวนของตวั แปรสุ่ม ชนิดไม่ต่อเนื่อง 6.2.1 ความหมายของการแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง นิยามท่ี 6.2 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง (Probability Distribution of Random Variable) การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม คือ การแจกแจงคา่ ของตวั แปรสุ่มที่ เป็นไปไดท้ ้งั หมด พร้อมกบั ความน่าจะเป็นที่จะเกิดคา่ น้นั ๆ การแจกแจงสามารถแสดงในรูปของ ตาราง กราฟ และ สูตรหรือฟังกช์ นั106 สถิติทว่ั ไป

(1) การแจกแจงความน่าจะเป็ นโดยตาราง ตัวอย่างที่ 6.6 ในการทดลองโยนเหรียญเท่ียงตรง 3 อนั 1 คร้ัง ถา้ ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มท่ีแทนจาํ นวนหวั ที่เกิดข้ึน สามารถแจกแจงความน่าจะเป็นโดยตารางไดด้ งั น้ี เหตุการณ์ x P(X = x) หรือ f(x) TTT 1 0 8 = P(X = 0) = f(0) HTT, TTH, THT 1 3 = P(X = 1) = f(1) 8 HHT, THH, HTH 2 3 = P(X = 2) = f(2) 8 HHH 3 1 = P(X = 3) = f(3) 8 คา่ ตวั แปรสุ่มแตล่ ะค่าถูกแปลงมาจากแต่ละเหตุการณ์ เพราะฉะน้นั เหตุการณ์มีโอกาสเกิดเทา่ ใด คา่ ตวั แปรสุ่มกจ็ ะมีโอกาสเกิดเท่าน้นั ดว้ ย เช่น x = 0 แปลงมาจากผลลพั ธ์ TTTและผลลพั ธ์ TTT มีโอกาสเกิด 1/8 ดงั น้นั x = 0 มีโอกาสเกิด 1/8 ดว้ ย ความน่าจะเป็ นสาํ หรับค่า x ตา่ ง ๆ เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ P(X = x) หรือ f(x) ก็ได้ คุณสมบัตขิ องการแจกแจงแบบไม่ต่อเน่ือง 1. ∑f(x) = 1 for all x ∈ S 2. f(x) > 0, สาํ หรับทุกคา่ ของ x ใน S 3. P(A) = ∑ f(x) , A ⊆ S x∈A(2) การแจกแจงความน่าจะเป็ นโดยกราฟตวั อย่างที่ 6.7จากตวั อยา่ งที่ 6.6 สามารถแจกแจงความน่าจะเป็นโดยกราฟไดด้ งั น้ีสถิติทว่ั ไป 107

P(X = x) = f(x) x P(X = x) = f(x) x 4 4 8 8 3 3 8 8 2 2 8 8 1 1 8 8 0123 012 3 Bar Chart Histogram การแจกแจงโดยกราฟ แกนนอนจะแทนค่าที่เป็ นไปไดท้ ้งั หมดของตวั แปรสุ่ม แกนต้งัแทนคา่ ความน่าจะเป็น ดงั น้นั จากกราฟสามารถรู้ไดว้ า่ ค่าตวั แปรสุ่มแต่ละคา่ มีโอกาสเกิดเทา่ ใด(3) การแจกแจงความน่าจะเป็ นในรูปของสูตรหรือฟังก์ชันตวั อย่างท่ี 6.8จากตวั อยา่ งท่ี 6.6 สามารถแจกแจงความน่าจะเป็ นในรูปของสูตรไดด้ งั น้ี 1 f(x) = 8 เมื่อ x = 0, 3 = 3 เม่ือ x = 1, 2 8ฟังกช์ นั f(x) น้ีเรียกวา่ ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นของ X (probability function of X)ถา้ เป็นฟังก์ชนั ของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง บางทีเรียกฟังก์ชนั น้ีวา่ ฟังก์ชนั มวลความน่าจะเป็ น (probability mass function หรือ pmf) 6.2.2 การหาการแจกแจงความน่าจะเป็ นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง ตวั อย่างท่ี 6.9 จงหาการแจกแจงความน่าจะเป็ นโดยตารางของผลรวมลูกเต๋ าจากการโยนลูกเต๋ าสองลูก108 สถิติทว่ั ไป

วธิ ีทาํให้ X = ผลรวมของลูกเต๋า 1 1คา่ x = 2 เกิดจากผลลพั ธ์ (1,1) ซ่ึงมีโอกาสเกิด 36 ดงั น้นั f(2) = 36 ดว้ ยค่า x = 3 เกิดจากผลลพั ธ์ (1,2) หรือ (2,1) ซ่ึงมีโอกาสเกิด 2 ดงั น้นั f(3) = 2 36 36  1  1 36 36ค่า x = 12 เกิดจากผลลพั ธ์ (6,6) ซ่ึงมีโอกาสเกิด ดงั น้นั f(12) =ดงั น้นั การแจกแจงโดยตารางเป็นดงั น้ี x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 ตัวอย่างที่ 6.10 สาขาวชิ าสถิติมีนกั ศึกษาท้งั หมด 102 คน โดย ช้นั ปี ท่ี 1 มี 46 คน ช้นั ปี ที่ 2 มี 27 คน ช้นั ปี ที่ 3 มี 12 คน ช้นั ปี ท่ี 4 มี 17 คน ให้ X แทนช้นั ปี จงเขียนฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นของ X วธิ ีทาํ ให้ 1 แทนช้นั ปี ท่ี 1 2 แทนช้นั ปี ท่ี 2 3 แทนช้นั ปี ที่ 3 4 แทนช้นั ปี ที่ 4 ดงั น้นั x = 1, 2, 3, 4 ความน่าจะเป็นของ x แต่ละคา่ คาํ นวณจากความถี่สมั พทั ธ์ ดงั น้นั ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นของ x คือสถิติทวั่ ไป 109

f(x) = 46 เมื่อ x = 1 102 เมื่อ x = 2 27 เม่ือ x = 3 = 102 เมื่อ x = 4 = 12 102 17 = 1026.2.3 การหาค่าความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองการหาค่าความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มแตล่ ะคา่ หรือเป็ นช่วงของค่าตวั แปรสุ่มสามารถหาไดจ้ ากตาราง กราฟ หรือสูตรของการแจกแจงตัวอย่างที่ 6.11ถา้ X คือจาํ นวนขนมปังท่ีร้านขายขนมปังขายไดใ้ น 1 ชวั่ โมง ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นของ X เป็นดงั น้ี x+3 f(x) = 85 ; x = 1, 2, 3, …, 10 = 0 ; สาํ หรับ x ค่าอื่น ๆจงหา (1) ความน่าจะเป็นที่จะขายได้ 4 ชิ้น (2) ความน่าจะเป็นท่ีจะขายไดต้ ้งั แต่ 3 ถึง 5 ชิ้น (3) ความน่าจะเป็นท่ีจะขายไดม้ ากกวา่ 4 ชิ้นวธิ ีทาํการหาค่าความน่าจะเป็ นของ x ท่ีตอ้ งการ โดยการแทนคา่ x ลงในฟังกช์ นั ความน่าจะเป็น คา่ ท่ีไดค้ ือค่าความน่าจะเป็นที่จะเกิด x ค่าน้นั กรณีเป็ นช่วงของคา่ x ใหแ้ ทนแต่ละค่าx ในช่วงน้นั ลงในฟังกช์ นั แลว้ นาํ ค่าท่ีไดม้ าบวกกนั 4+3 7(1) f(4) = P(X = 4) = 85 = 85 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีจะขายได้ 4 ชิ้นเทา่ กบั 7 85110 สถิติทว่ั ไป