บทที่ 6 ตัวแปรสุ่ม หน้า 111-114 (ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง)

(2) f(3 ≤ x ≤ 5) = P(3 ≤ X ≤ 5) = f(3) + f(4) + f(5) 3+3 4+3 5+3 = 85 + 85 + 85 = 6+7+8 85 21 = 85 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีจะขายไดต้ ้งั แต่ 3 ถึง 5 ชิ้นเทา่ กบั 26 85(3) f(x > 4) = f(5) + f(6) + … + f(10) 3 5+3 6+3 10 + = 85 + 85 + … + 85 = 63 85หรือจะคาํ นวณจาก f(x > 4) = 1 – [f(x ≤ 4)] = 1 - 4+5+6+7  85  22 = 1 - 85 = 63 85ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีจะขายไดม้ ากกวา่ 4 ชิ้นเท่ากบั 63 856.2.4 ค่าคาดหวงั ของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองนิยามที่ 6.3 ค่าคาดหวงั ของตวั แปรสุ่ม (Expected Value of a Random Variable)คา่ คาดหวงั ของตวั แปรสุ่ม หมายถึง คา่ เฉล่ียของตวั แปรสุ่มในระยะยาวสญั ลกั ษณ์ที่ใชแ้ ทนค่าคาดหวงั อาจจะใช้ E(X) หรือ µx หรือ µสถิติทวั่ ไป 111

นิยามท่ี 6.4ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง ซ่ึงมีฟังกช์ นั ความน่าจะเป็น f(x)คา่ คาดหวงั ของตวั แปรสุ่ม X คือ E(X) = N ∑ xi f (xi ) i =1 ตวั อย่างที่ 6.12 ในการโยนเหรียญเที่ยงตรง 3 อนั 1 คร้ัง ให้ X แทนจาํ นวนเหรียญท่ีข้ึนหวั จงหาค่าเฉล่ียของ X วธิ ีทาํ ตารางการแจกแจงความน่าจะเป็นของ X เป็นดงั น้ี x01 2 3f(x) 1 3 3 1 88 8 8ค่าเฉล่ียของจาํ นวนหวั แทนดว้ ย E(X)โดยที่ E(X) = Σ x f(x) 1 3 3 1 = (0)  8  + (1)  8  + (2)  8  + (3)  8          = 1.5โดยเฉล่ียในระยะยาวแลว้ จาํ นวนเหรียญที่ข้ึนหวั 1.5 เหรียญ ตวั อย่างท่ี 6.13 มีหลอดไฟอยู่ 15 หลอด ในจาํ นวนน้ีมีหลอดไฟท่ีเสียอยู่ 3 หลอด สุ่มหยบิหลอดไฟข้ึนมา 5 หลอด จงประมาณจาํ นวนหลอดไฟท่ีเสียในการสุ่มหยบิ แตล่ ะคร้ัง วธิ ีทาํ ให้ X = จาํ นวนหลอดไฟท่ีสุ่มหยบิ ข้ึนมาแลว้ เสีย ดงั น้นั ใน 5 หลอดท่ีสุ่มหยบิ ข้ึนมาน้นั อาจจะไม่มีหลอดเสียเลย (x = 0) หรือเสีย 1 หลอด (x = 1) หรือเสีย 2 หลอด (x = 2)หรือเสียท้งั 3 หลอด (x = 3)112 สถิติทว่ั ไป

ดงั น้นั x = 0, 1, 2, 3การแจกแจงความน่าจะเป็นโดยตารางเป็ นดงั น้ี X P(X = x) 0 12C5 15C5 1 3C1 x12C4 15C5 2 3C2 x12C3 15C5 3 3C3 x12C2 15C5ดงั น้นั E(X) = (0) 12C5 + (1) 3C1 x12C4 + (2) 3C2 x12C3 + (3) 3C3 x12C2 15C5 15C5 15C5 15C5 ตัวอย่างที่ 6.14 ความน่าจะเป็นที่รถยนตค์ นั หน่ึงจะเกิดอุบตั ิเหตุรุนแรงภายในช่วงระยะเวลา 1 ปี เทา่ กบั0.001 บริษทั ประกนั ภยั แห่งหน่ึงเสนอขายการประกนั ให้แก่เจา้ ของรถยนตร์ าคา 400,000บาท โดยคิดคา่ เบ้ียประกนั 15,000 บาทตอ่ ปี อยากทราบวา่ กาํ ไรท่ีบริษทั ประกนั ภยั คาดวา่จะไดเ้ ป็นเท่าไรต่อปี วธิ ีทาํ ให้ X = กาํ ไรท่ีจะไดร้ ับ กาํ ไร = รายได้ – รายจ่าย ถา้ รถยนตเ์ กิดอุบตั ิเหตุ กาํ ไร = 15,000 – 400,000 = -385,000 ถา้ รถยนตไ์ ม่เกิดอุบตั ิเหตุ กาํ ไร = 15,000 – 0 = 15,000สถิติทวั่ ไป 113

∴ x = -385,000 , 15,000การแจกแจงความน่าจะเป็นของ X โดยตารางแสดงไดด้ งั น้ีx -385,000 15,000f(x) 0.001 0.999ดงั น้นั E(X) = (-385,000)(0.001) + (15,000)(0.999) = 14,600 บาทตอ่ ปีหมายความวา่ กาํ ไรท่ีบริษทั คาดวา่ จะไดเ้ ป็น 14,600 บาทตอ่ ปี6.2.5 คุณสมบตั ิค่าคาดหวงั คุณสมบตั คิ ่าคาดหวงั1. E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)2. E[g(X) ± h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)] โดยที่ E[g(X)] ∑= N และ E[h(X)] g(xi ). f (xi )3. ให้ a เป็นคา่ คงท่ี i =1 E(a) ∑= N h(xi ). f (xi ) i =1 =a E(aX) = aE(X)4. ถา้ X และ Y เป็นอิสระต่อกนั จะได้ E(XY) = E(X)E(Y)ตวั อย่างท่ี 6.15 จงหา E(X2 - 2X + 4)กาํ หนดให้ E(X) = 3 E(X2) = 25วธิ ีทาํ114 สถิติทวั่ ไป