บทที่ 4 การวัดการกระจายและการวัดตำแหน่ง (ต่อ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)

4.3.3 การหาส่วนเบีย่ งเบนเฉลยี่ กรณขี ้อมูลแจกแจงความถแี่ บบจัดกล่มุ (Grouped Data) การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยกรณีน้ีให้หาคา่ จุดกลาง (Midpoint) แลว้ คาํ นวณเหมือนกรณีไมจ่ ดั กลุ่มตัวอย่างที่ 4.5จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของขอ้ มลู ชุดต่อไปน้ีคะแนน 1-3 4-6 7-9 10-12 13-15 16-18ความถ่ี 2 5 9 9 5 2วธิ ีทาํ fx x−µ f x−µ 4 Midpoint (x) 25 2 - 9.5 = 7.5 15.0 72 5 - 9.5 = 4.5 22.5 2 99 8 - 9.5 = 1.5 13.5 5 70 11- 9.5 = 1.5 13.5 8 34 14 - 9.5 = 4.5 22.5 11 17 - 9.5 = 7.5 15.0 14 Σfx = 304 17 Σf x −μ = 102คาํ นวณคา่ เฉล่ีย µ = ∑ fxจากสูตร ∑f 304 = 32 = 9.5 M.D. = ∑ f x−µ = N = 102 32 3.258 สถิติทว่ั ไป

4.4 ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นการวดั การกระจายท่ีนิยมใชก้ นั มากที่สุด ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานมีความหมายเหมือนกบั ส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ียคือเป็ นค่าที่วดั การกระจายของค่าขอ้ มูลแต่ละค่ารอบ ๆ คา่ เฉลี่ยโดยเฉลีย่ การแกป้ ัญหาของ ∑(x − µ) = 0 อีกวธิ ีการหน่ึงคือทาํ ใหค้ ่า (x − µ) มีค่าเป็ นบวกโดยใชว้ ธิ ียกกาํ ลงั สอง จะทาํ ใหค้ า่ ผลตา่ งที่เป็นลบเมื่อนาํ มายกกาํ ลงั สองก็จะกลายเป็ นบวกเขียนเป็นสูตรไดด้ งั น้ี σ2 = N ∑(xi − µ )2 i =1 N สูตรขา้ งตน้ เป็ นนิยามของความแปรปรวน (variance) ใช้ “σ 2 ” (อ่านวา่ ซิกมาสแควร์) เป็ นสัญลกั ษณ์แทนความแปรปรวนประชากร เม่ือถอดสแควร์รูทจะไดส้ ่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน ใช้ “σ ” เป็ นสัญลกั ษณ์แทนส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานประชากรนิยามที่ 4.8 ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชุดหน่ึงคือรากที่สองของความแปรปรวน โดยเอาเฉพาะรากที่สองท่ี เป็นค่าบวกเทา่ น้นัเขียนเป็นสูตรไดด้ งั น้ี σ= ∑(x − µ)2 Nถา้ นาํ (x − µ )2 มายกกาํ ลงั สองแลว้ กระจายซิกมาเขา้ ไปในวงเล็บดงั น้ี = ( )N ∑ x = Nµ = ∑ x 2 − 2x µ + µ2 = = i =1 = ∑x 2 − 2µ∑x + ∑ µ2 ∑ x2 − 2µ(Nµ )+ Nµ 2 ∑ x2 − 2Nµ 2 + Nµ 2 ∑ x2 − Nµ 2สถิติทวั่ ไป 59

ดงั น้นั สูตรของ σ 2 และ σ อีกสูตรหน่ึงที่นิยมใชใ้ นการคาํ นวณคือ ∑σ 2 = x2 − µ2 N σ = ∑x2 − µ2 N4.4.1 การหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานกรณขี ้อมูลไม่แจกแจงความถ่ีตัวอย่างท่ี 4.6จงหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชุดดงั ต่อไปน้ี 5 10 15 20วธิ ีทาํ µ= ∑ fxจากสูตร σ 2 = ∑ x2 − µ 2 ∑f N 5 + 10 + 15 + 20 4แทนค่า = 52 + 102 + 152 + 202 − (12.5)2 = 4 = 750 = 50 4 − (12.5)2 4 = 187.5 - 156.25 = 12.5 = 31.25ความแปรปรวนเทา่ กบั 31.25 σ = σ2 = 31.25 = 5.59ดงั น้นั ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากบั 5.59 4.4.2 การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกรณีข้อมูลแจกแจงความถแ่ี บบไม่จัดกล่มุ (Ungrouped Data) กรณีขอ้ มูลแจกแจงความถี่ สูตรของความแปรปรวนและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็ นดงั น้ี60 สถิติทวั่ ไป

σ 2 = ∑ f (x − µ )2 หรือ ∑σ 2 = fx2 − µ 2 N N σ= ∑ f (x − µ )2 หรือ σ= ∑ fx2 − µ 2 N Nตัวอย่างท่ี 4.7จงหา σ 2 และ σ ของขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี x46 8 9 10 f23 2 21วธิ ีทาํ fx 2 fx x2 8 16 32 18 36 108 16 64 128 18 81 162 10 100 100 Σfx = 70 Σfx2 = 530คาํ นวณคา่ เฉล่ีย µ = ∑ fx ∑f = = 70 σ2 = 10 7จากสูตร ∑ fx2 − µ 2 N = 530 − (7)2 10สถิติทวั่ ไป 61

= 53 – 49 =4 σ= σ2 =4 =24.4.3 การหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานกรณขี ้อมูลแจกแจงความถแี่ บบจัดกล่มุ (Grouped Data)กรณีน้ีใหห้ าคา่ จุดกลาง (midpoint) แลว้ คาํ นวณเหมือนกรณีไม่จดั กลุ่ม ตัวอย่างที่ 4.8 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานพร้อมอธิบายความหมายของผลลพั ธ์ท่ีไดข้ องขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี คะแนน 28-30 25-27 22-24 19-21 16-18 13-15 10-12 ความถี่ 1 1 5 11 12 11 19วธิ ีทาํ Midpoint (x) fx 29 29 x2 fx 2 841 841 26 26 676 676 23 115 529 2,645 20 220 400 4,400 17 204 289 3,468 14 154 196 2,156 11 209 121 2,299 Σfx = 957 Σfx2 = 16,48562 สถิติทว่ั ไป

คาํ นวณคา่ เฉล่ีย µ = ∑ fx ∑f 957 = 60 = 15.95จากสูตร σ= ∑ fx2 − µ 2 N = 16,485 − (15.95)2 60 = 274.75 − 254.4 = 20.35 = 4.51 จงหาผลลพั ธ์ท่ีไดห้ มายความวา่ ขอ้ มลู แต่ละคา่ จะตา่ งจากค่าเฉลี่ยไป 4.51 หน่วยโดยเฉลี่ย4.5 สัมประสิทธ์ิความแปรผนั (Coefficient of Variation) เม่ือตอ้ งการเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มูลแตล่ ะชุด เพ่ือดูวา่ ขอ้ มูลชุดไหนกระจายมาก หรือกระจายนอ้ ยกวา่ กนั ถา้ ขอ้ มลู แตล่ ะชุดมีหน่วยวดั เดียวกนั เช่น หน่วยเซนติเมตรเหมือนกนั เราสามารถนาํ ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู แตล่ ะชุดมาเปรียบเทียบกนัไดเ้ ลย แต่ถา้ ขอ้ มูลแต่ละชุดหน่วยวดั ต่างกนั เช่น ขอ้ มลู ชุดที่ 1 หน่วยวดั เป็นเซนติเมตรขอ้ มลู ชุดท่ี 2 หน่วยวดั เป็ นนิ้ว การเปรียบเทียบการกระจายตอ้ งใชส้ ัมประสิทธ์ิความแปรผนั แทน นิยามที่ 4.9 สัมประสิทธ์ิความแปรผัน สัมประสิทธ์ิความแปรผนั หาไดจ้ ากส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานหารดว้ ยคา่ เฉล่ีย แทนดว้ ย C.V. แสดงในรูปสูตรไดด้ งั น้ีสถิติทว่ั ไป 63

C.V. = σ x 100% µ ปกติ C.V.นิยมคิดเป็นเปอร์เซ็นต์ ถา้ C.V. ขอ้ มูลชุดใดมีคา่ มากกวา่ กแ็ สดงวา่ ขอ้ มลูชุดน้นั มีการกระจายมากกวา่ตวั อย่างที่ 4.9อายเุ ฉล่ียของนกั ศึกษาที่เรียนวชิ าสถิติเท่ากบั 18 ปี และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากบั 2ปี และนกั ศึกษามีคา่ ใชจ้ ่ายเฉลี่ยต่อเดือนเทา่ กบั 4,000 บาท ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากบั300 บาท จงเปรียบเทียบการกระจายของอายุ และคา่ ใชจ้ า่ ยวธิ ีทาํเพราะวา่ ขอ้ มลู มีหน่วยวดั ตา่ งกนั คือ ปี กบั บาท จึงใชส้ มั ประสิทธ์ิความแปรผนั มาเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มลูอายุ :ค่าใช้จ่าย: C.V. = 2 x 100% = 11.11% 18 C.V. = 300 x 100% = 7.5% 4000เน่ืองจาก C.V. ของอายมุ ากกวา่ C.V. ของคา่ ใชจ้ ่าย ดงั น้นั อายมุ ีการกระจายมากกวา่คา่ ใชจ้ า่ ย4.6 ทฤษฎีเกยี่ วกบั ค่าเฉลยี่ และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน ทฤษฎที ่ี 4.1 ในขอ้ มูลชุดหน่ึงถา้ ค่าขอ้ มลู แตล่ ะค่ามีคา่ ลดลงหรือเพิ่มข้ึนเทา่ ๆ กนั ทุกคา่ สมมติให้ เท่ากบั k ซ่ึง เป็นค่าคงที่แลว้ ค่าเฉล่ียของขอ้ มลู ชุดใหม่จะมีคา่ เพ่มิ ข้ึนหรือลดลง เท่ากบั จาํ นวนค่าคงท่ี k น้นั แต่ความแปรปรวนและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ ขอ้ มลู ชุดใหม่มีค่าเท่าเดิมไม่เปล่ียนแปลง64 สถิติทว่ั ไป

ตวั อย่างที่ 4.10 ขอ้ มลู ชุดหน่ึงประกอบดว้ ยคา่ 3, 4, 5 ขอ้ มลู ชุดน้ีมีค่าเฉล่ียเท่ากบั 4 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากบั 0.82 ถา้ นาํ ค่า 2 มาบวกขอ้ มลู ทุกค่าเหล่าน้ีจะได้ ค่าเฉลี่ยใหม่ = คา่ เฉล่ียเดิม + 2 = 4+2 = 6 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานใหม่มีค่าเท่าเดิมคือเทา่ กบั 0.82ทฤษฎที ี่ 4.2ในขอ้ มลู ชุดหน่ึงถา้ ขอ้ มูลแตล่ ะคา่ มีคา่ เพม่ิ ข้ึน k เทา่ ของค่าเดิม ค่าเฉล่ียของขอ้ มูลชุดใหมจ่ ะมีค่าเป็ น k เท่าของค่าเฉล่ียของขอ้ มูลชุดเดิม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใหม่จะเป็น k เทา่ ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดเดิมตัวอย่างที่ 4.11ขอ้ มลู ชุดหน่ึงประกอบดว้ ยคา่ 3, 4, 5ขอ้ มูลชุดน้ีมีคา่ เฉล่ียเท่ากบั 4 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 0.82 ถา้ นาํ ค่า 2 มาคูณขอ้ มลู ทุกค่าจะได้คา่ เฉลี่ยใหม่ = 2 x ค่าเฉลี่ยเดิม = 2x4 =8ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานใหม่ = 2 x ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเดิม = 2 x 0.82 = 1.644.7 คะแนนมาตรฐาน (Standard Score) ถา้ ตอ้ งการวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางของขอ้ มลู เราใช้ คา่ เฉลี่ย มธั ยฐาน และฐานนิยมถา้ ตอ้ งการวดั การกระจายของขอ้ มูลเราใชส้ ่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สมั ประสิทธ์ิความแปรผนั เป็นตน้ ถา้ ตอ้ งการวดั ตาํ แหน่งของขอ้ มลู เราใชอ้ ะไรเป็นตวั วดั วธิ ีการที่ใชว้ ดั ตาํ แหน่งของขอ้ มลู ไดแ้ ก่ ควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นตไ์ ทล์ และคะแนนมาตรฐาน คะแนนสถิติทวั่ ไป 65

มาตรฐานใชเ้ ปรียบเทียบค่าขอ้ มูลต้งั แต่ 2 ค่าข้ึนไป ซ่ึงมาจากขอ้ มูลคนละชุดกนั เพ่ือดูวา่ตาํ แหน่งของคา่ ขอ้ มูลดิบแต่ละตวั คา่ ใดท่ีอยใู่ นตาํ แหน่งที่สูงกวา่ นิยามที่ 4.10 คะแนนมาตรฐาน คะแนนมาตรฐานเป็นตวั เลขท่ีแสดงวา่ ส่วนเบ่ียงเบนของคะแนนดิบจากค่าเฉล่ีย เป็ นก่ีเท่าของส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน สูตรของคะแนนมาตรฐานเขียนไดด้ งั น้ี z = x −µ σ เม่ือ z แทนคะแนนมาตรฐาน x แทนค่าขอ้ มูล µ แทนค่าเฉล่ียประชากร σ แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร เน่ืองจาก Z เป็ นอตั ราส่วนของค่าสองค่าซ่ึงมีหน่วยเดียวกนั ฉะน้นั Z จึงไม่มีหน่วยเม่ือเราแปลงคา่ ขอ้ มลู ดิบแต่ละตวั ใหเ้ ป็นคะแนนมาตรฐานแลว้ เราสามารถนาํ คา่ คะแนนมาตรฐานมาเปรียบเทียบกนั ไดว้ า่ คะแนนใดจะมีตาํ แหน่งสูงกวา่ กนั โดยไมต่ อ้ งคาํ นึงถึงหน่วยวา่ จะเหมือนกนั หรือไม่ หรือมาจากขอ้ มลู ชุดเดียวกนั หรือไม่ ถา้ คา่ ขอ้ มลู ค่าใดมีคะแนนมาตรฐานสูงกวา่ แสดงวา่ คา่ ขอ้ มลู ค่าน้นั อยใู่ นตาํ แหน่งที่สูงกวา่ ตัวอย่างท่ี 4.12 นกั ศึกษาคนหน่ึงสอบวชิ าสถิติได้ 40 คะแนน ซ่ึงมีมชั ฌิมเลขคณิตเท่ากบั 42 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 5 และสอบวชิ าเคมีได้ 92 คะแนน มีมชั ฌิมเลขคณิตเป็น100 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็น 7 อยากทราบวา่ นกั ศึกษาคนน้ีสอบวชิ าใดไดด้ ีกวา่กนั วธิ ีทาํ วชิ าสถิติเขาทาํ คะแนนมาตรฐานไดด้ งั น้ี66 สถิติทวั่ ไป

z = x−µ = 40 − 42 = -0.4 5 σวชิ าเคมีเขาทาํ คะแนนมาตรฐานไดด้ งั น้ี 92 − 100z = x−µ = 7 = -1.14 σคะแนนมาตรฐานของวชิ าสถิติสูงกวา่ แสดงวา่ คะแนนสอบวชิ าสถิติอยใู่ นตาํ แหน่งท่ีสูงกวา่ คะแนนสอบวชิ าเคมี ดงั น้นั เขาสอบวชิ าสถิติไดด้ ีกวา่สถิติทวั่ ไป 67