สัปดาห์ที่ 2 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง และการวัดการกระจาย

สัปดาห์ที่ 2 แนวการสอน รหสั วชิ า 09-121-015 บทเรียนท่ี 1.2 -1.3 หน่วยที่ 2 เวลา 120 นาที การวดั แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางและการวดั การกระจายเร่ือง การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางและการวดั การกระจายจุดประสงค์1.2 ประยกุ ตใ์ ชก้ ารวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางได้1.2.1 คาํ นวณมธั ยฐาน1.2.2 คาํ นวณฐานนิยม1.2.3 คาํ นวณค่าเฉลี่ย1.3 ประยกุ ตใ์ ชก้ ารวดั การกระจายได้1.3.1 คาํ นวณพสิ ัย1.3.2 คาํ นวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน1.3.3 คาํ นวณสมั ประสิทธ์ิความแปรผนัเนือ้ หา1.2 การวดั แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง (Measures of Central Tendency) เราไดร้ ู้จกั การนาํ ตารางและกราฟมาช่วยในการอธิบายลกั ษณะของขอ้ มูล ทาํ ให้เราเห็นภาพของขอ้ มลู ไดช้ ดั ข้ึนมากกวา่ ท่ีเป็นขอ้ มูลดิบ ในบทน้ีเราจะไดร้ ู้จกั เครื่องมือทางสถิติอีกอนั หน่ึงที่นาํ มาช่วยในการอธิบายลกั ษณะของขอ้ มูลเช่นกนั เรียกวา่ การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง ค่าสังเกตหรือค่าของตวั แปรที่ถูกเก็บรวบรวมมามกั จะมีจาํ นวนมาก อาจจะมีเป็ นร้อย ๆหรือพนั ๆ ค่า ซ่ึงในบางคร้ังเราตอ้ งการคา่ เดียวที่จะมาเป็ นตวั แทนของขอ้ มูลท้งั ชุด เพ่ือเป็ นตวั สรุปลกั ษณะของขอ้ มูล สถิติไดเ้ สนอวธิ ีการท่ีเรียกวา่ การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง เป็ นวิธีท่ีใชใ้ นการหาตวั แทนของขอ้ มูล และตวั แทนน้ีจะเป็ นค่าที่บอกวา่ ศูนยก์ ลางของค่าขอ้ มูล หรือ ค่าขอ้ มูลส่วนใหญ่มีค่าเท่าใด การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางท่ีนิยมใชก้ นั มากมี 3 วธิ ีคือ (1) มธั ยฐาน (2) ฐานนิยม และ(3) ค่าเฉล่ีย การคาํ นวณหามธั ยฐาน ฐานนิยม และค่าเฉลี่ยท่ีจะกล่าวถึงต่อไปน้ี จะเกี่ยวขอ้ งกบั ขอ้ มูลที่ถูกจดั อยใู่ นรูปแบบท่ีไมม่ ีการแจกแจงความถี่ 43

1.2.1 มัธยฐาน (Median)นิยามที่ 2.1 มธั ยฐานมธั ยฐาน คือ ค่าสังเกตท่ีอยตู่ าํ แหน่งตรงกลางของขอ้ มูลท้งั หมด เม่ือเรียงลาํ ดบั ค่าขอ้ มูลท้งั หมดแลว้ ในการหามธั ยฐานตอ้ งจดั เรียงค่าขอ้ มูลท้งั หมดก่อน ซ่ึงอาจจะเรียงจากค่าน้อยไปค่ามากหรือจากค่ามากไปค่านอ้ ยกไ็ ด้ เนื่องจากมธั ยฐานเป็ นค่าที่อยู่ตรงกลางของค่าข้อมูลท้งั หมดค่ามธั ยฐานน้ีจึงแบ่งขอ้ มูลออกเป็ นสองส่วนเท่า ๆ กนั กล่าวคือ คร่ึงหน่ึงของจาํ นวนค่าขอ้ มูลท้งั หมดมีค่าต่าํ กวา่ หรือเทา่ กบั มธั ยฐาน และอีกคร่ึงหน่ึงของจาํ นวนค่าขอ้ มลู ท้งั หมดมีค่าสูงกวา่ หรือเทา่ กบั มธั ยฐาน การหามธั ยฐานกรณีขอ้ มูลไม่แจกแจงความถ่ี (Data without Frequency) เมื่อขอ้ มูลมีจาํ นวนไมม่ ากนกั ก็ไม่จาํ เป็นตอ้ งแจกแจงความถ่ี การหามธั ยฐานในกรณีน้ีจึงหาไดง้ ่ายตวั อยา่ งท่ี 2.1จาํ นวนนักศึกษาที่เขา้ ช้ันเรียนสายในช่วง 5 สัปดาห์ที่ผา่ นมาเป็ นดงั น้ี 2 4 6 5 1 (คน) จงหามธั ยฐานของจาํ นวนนกั ศึกษาท่ีเขา้ ช้นั เรียนสายวธิ ีทาํข้นั ตอนท่ี 1 เรียงค่าขอ้ มูลจะได้ 1 2ข้นั ตอนที่ 2 เลือกคา่ ท่ีอยตู่ รงกลาง 1 456ดงั น้นั มธั ยฐานคือ 4 คน 2 มธั 4ยฐาน 5 6 สาํ หรับตวั อยา่ งน้ีถา้ จะคาํ นวณตาํ แหน่งมธั ยฐาน (ไม่ใช่ค่ามธั ยฐาน) เราสามารถคาํ นวณไดจ้ ากสูตรขา้ งล่างน้ี ตําแหน่งมธั ยฐาน = n +1 2 โดยที่ n (จะใช้ “N” กไ็ ด)้ คือจาํ นวนของค่าสงั เกตท้งั หมด หรือจาํ นวนของค่าขอ้ มูลท้งั หมด จากตวั อยา่ งท่ี 2.1 น้ี n = 5 , ดงั น้นั ตําแหน่งมธั ยฐา=น =n +1 =5 +1 3 22 ตามตวั อยา่ งท่ี 2.1 จาํ นวนค่าสังเกตเป็ นเลขคี่ คือมีท้งั หมด 5 ค่า จะมีค่าสังเกตค่าหน่ึงที่อยตู่ รงกลางพอดี แตถ่ า้ จาํ นวนคา่ สงั เกตเป็นเลขคู่จะไมม่ ีค่าที่ตรงกลางพอดี ดงั น้นั จึงใชค้ ่าที่อยตู่ รงกลางสองค่ามาเฉล่ีย ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี 44

ตวั อยา่ งท่ี 2.2 น้าํ หนกั ของชาย 8 คน เป็นดงั น้ี 66 63 63 62 61 60 60 60 (กก.)จงหามธั ยฐานของน้าํ หนกั ชาย 8 คนน้ี วธิ ีทาํ เพราะวา่ จาํ นวนของคา่ สังเกตเป็นเลขคู่คือ มี 8 คา่ จึงไมม่ ีคา่ เดียวที่อยตู่ รงกลางพอดี ตอ้ งนาํ ค่าที่อยตู่ รงกลางสองค่ามาเฉล่ียดงั น้ี 66 63 63 62 61 60 60 60 ม=ธั ยฐาน =62 + 61 61.5 2สาํ หรับตวั อยา่ งน้ีตาํ แหน่งมธั =ยฐาน =n +1 =8 +1 4.5 22 4.5ตาํ แหน่ง : 1 2 3 4 5 6 7 8ขอ้ มลู : 66 63 63 62 61 60 60 601.2.2 ฐานนิยม (Mode)นิยามท่ี 2.2 ฐานนิยมฐานนิยม คือ ค่าสังเกตที่มีจาํ นวนมากท่ีสุด (มีความถี่สูงสุด)การหาฐานนิยมกรณีขอ้ มลู ไมแ่ จกแจงความถ่ีตวั อยา่ งที่ 2.3จงหาฐานนิยมของขอ้ มูลที่กาํ หนดในขอ้ (1) ถึง (4)(1) ขอ้ มลู : 1 2 3 4 4 6 5 7 ฐานนิยม = 4(2) ขอ้ มลู : 2 3 4 4 6 2 5 ฐานนิยม = 2 , 4 ไมม่ ีฐานนิยม(3) ขอ้ มูล : 1 2 3 4 5 ไม่มีฐานนิยม(4) ขอ้ มลู : 7 9 7 6 6 7 9 9 6 ขอ้ มลู ที่มีฐานนิยมเพียงค่าเดียว เช่น ขอ้ (1) เรียก Unimodal ขอ้ มูลที่มีฐานนิยมสองค่า เช่นขอ้ (2) เรียก Bimodal ถา้ ค่าสังเกตทุกค่ามีความถ่ีเท่ากนั หมดเช่น ขอ้ (3) และ (4) ถือวา่ ไม่มีฐานนิยม เพราะไม่เป็นไปตามนิยาม ซ่ึงทาํ ใหห้ าตวั แทนขอ้ มลู ไม่ไดจ้ ึงตอ้ งใชว้ ธิ ีอ่ืนแทน 45

การหาฐานนิยมกรณขี ้อมูลแจกแจงความถ่ีแบบไม่จัดกล่มุตวั อยา่ งที่ 2.4 4 5จงหาฐานนิยมของขอ้ มูลต่อไปน้ี 5 4X0 1 2 3f5 7 6 5วธิ ีทาํ เพราะวา่ คา่ “1” มีความถี่มากที่สุด ดงั น้นั ฐานนิยม = 1 ตวั อยา่ งที่ 2.5 จงพจิ ารณาขอ้ มลู เพศของนกั ศึกษาในช้นั เรียนดงั น้ี เพศ จาํ นวนคน ชาย 3 หญิง 23 การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางวธิ ีใดที่ใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มลู ชุดน้ี วธิ ีทาํ การวดั แนวโน้มเขา้ สู่ส่วนกลางวิธีที่เหมาะสมสําหรับขอ้ มูลชุดน้ีคือฐานนิยม ซ่ึงเป็ นวิธีเดียวที่ใชก้ บั ขอ้ มูลเชิงคุณภาพ ดงั น้นั ฐานนิยมคือ “หญิง” 1.2.3 ค่าเฉลย่ี (Mean) ไดก้ ล่าวถึงวธิ ีการวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางมาสองวธิ ีแลว้ ตอ่ ไปจะกล่าวถึงวธิ ีท่ีสามคือค่าเฉลี่ย สูตรของคา่ เฉลี่ยหรือสูตรทางสถิติอ่ืน ๆ หลาย ๆ สูตร จะมีสัญลกั ษณ์แสดงผลบวกปรากฏอยใู่ นสูตร ดงั น้นั จึงขอแนะนาํ สัญลกั ษณ์แสดงผลบวกก่อนเป็นลาํ ดบั แรก สัญลกั ษณ์แสดงผลบวก (Summation Notation) ในขอ้ มูลชุดใด ๆ เรามกั ใชต้ วั อกั ษร x (หรือ y) และตวั หอ้ ยแทนค่าสงั เกตหรือคา่ ขอ้ มลู แต่ละค่าดงั น้ี x1 แทนค่าสังเกตค่าท่ี 1 x2 แทนคา่ สงั เกตคา่ ท่ี 2 x3 แทนคา่ สังเกตค่าท่ี 3 46

   xn แทนคา่ สังเกตคา่ ที่ n ถา้ เราตอ้ งการบวกคา่ สงั เกตท้งั หมดของขอ้ มูลเขา้ ดว้ ยกนั กล่าวคือ x1 + x2 + x3 +...+ xnการเขียนลกั ษณะน้ีอาจจะดูยาวไป เพ่อื ใหก้ ารเขียนสะดวกข้ึนเราจึงนาํ ตวั อกั ษรกรีกคือซิกมา\"∑\"มาใชแ้ ทนผลบวก ดงั น้ี n ∑x1 + x2 + x3 + + xn = xi i =1ตวั อยา่ งท่ี 2.6จงใช้ \"∑\" แทนผลบวกต่อไปน้ี 50∑(1) x2 + x3 + x4 + ... + x50 = xi i=2( )x1 + x2 + ... + x10 2 = i1=01 2∑(2) xi  5∑(3) x12 + x22 + ... + x52 = xi2 i =1 20∑( )4 x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + ... + x20 y20 = xi yi i =1นิยามท่ี 2.3 ค่าเฉล่ียค่าเฉลี่ย คือ ค่าที่เกิดจากการรวมค่าสังเกตท้งั หมดเขา้ ดว้ ยกนั แลว้ หารดว้ ยจาํ นวนคา่สงั เกตน้นั ชื่ออื่น ๆ ที่ใชเ้ รียกกนั นอกจากจะใชช้ ่ือ “คา่ เฉลี่ย” คือ คา่ เฉล่ียเลขคณิต ตวั กลางเลขคณิตหรือมชั ฌิมเลขคณิต สญั ลกั ษณ์ที่ใชแ้ ทนคา่ เฉลี่ย คือ \" X \"(อา่ นวา่ เอก็ ซ์บาร์) และ\"µ \"(อ่านวา่ มิว)ถา้ เป็นคา่ เฉลี่ยของตวั อยา่ งจะใช้ \" X \"และถา้ เป็นค่าเฉล่ียของประชากรจะใช้ \"µ \" สญั ลกั ษณ์สองตวั น้ีจะไดก้ ล่าวถึงอีกคร้ังในหวั ขอ้ การประมาณคา่ และการทดสอบสมมติฐานต่อไป การหาค่าเฉลยี่ กรณีข้อมูลไม่แจกแจงความถ่ี กาํ หนดใหข้ อ้ มูลประกอบดว้ ยค่าสังเกต n คา่ คือ x1, x2,..., xn สูตรสาํ หรับการคาํ นวณค่าเฉล่ียกรณีขอ้ มลู ไมแ่ จกแจงความถี่คือ คา่ เฉลี่ย nเมื่อ n แทนจาํ นวนค่าสังเกตท้งั หมด ∑ xi = i=1 n 47

ตวั อยา่ งท่ี 2.6 ขอ้ มลู ชุดหน่ึงประกอบดว้ ยค่า 24 6 8 10 จงหาคา่ เฉล่ียของขอ้ มูลชุดน้ีวธิ ีทาํจากสูตรค่าเฉลี่ย = n =30 6 5 = ∑ xi i =1 n 2 + 4 + 6 + 8 +=10 5 ค่าเฉลยี่ แบบถ่วงนํา้ หนัก (Weighted Mean) การคาํ นวณค่าเฉล่ียในตวั อยา่ งท่ีผา่ นมาเป็ นการคาํ นวณค่าเฉล่ียแบบไม่ถ่วงน้าํ หนกั ซ่ึงถูกใชใ้ นกรณีท่ีค่าขอ้ มูลแต่ละค่ามีความสําคญั เท่า ๆ กนั ในบางสถานการณ์ค่าขอ้ มูลแต่ละค่าอาจจะมีความสําคญั ไม่เท่ากนั เราจึงจาํ เป็ นตอ้ งให้น้าํ หนกั กบั ค่าแต่ละค่าแตกต่างกนั ออกไป เช่น เกรดที่นกั ศึกษาไดใ้ นการสอบแต่ละวิชามีความสําคญั ไม่เท่ากนั วิชาไหนท่ีมีความสําคญั มากกวา่ ก็จะมีจาํ นวนหน่วยกิตมากกวา่ ดงั น้นั ในการคาํ นวณเกรดเฉล่ียจึงตอ้ งนาํ จาํ นวนหน่วยกิตมาคาํ นวณดว้ ยโดยถือวา่ หน่วยกิตคือน้าํ หนกั ซ่ึงคาํ นวณโดยนาํ ค่าสังเกตแตล่ ะค่าคูณดว้ ยน้าํ หนกั ของค่าน้นั แลว้ นาํผลคูณท่ีได้บวกกนั หลงั จากน้นั หารดว้ ยผลรวมของน้าํ หนกั การคาํ นวณลกั ษณะน้ีเรียกค่าเฉล่ียแบบถ่วงน้าํ หนกั เขียนแทนดว้ ยสูตรไดด้ งั น้ี n ∑ คา่ เฉล่ียแบบถ่วงน้าํ หนกั wi xi i =1 = n ∑ wi i =1โดยที่ xi แทนค่าสงั เกตค่าที่ i wi แทนน้าํ หนกั ของคา่ ท่ี iตวั อยา่ งท่ี 2.7นกั ศึกษาคนหน่ึงมีผลการสอบในภาคการศึกษาหน่ึง เป็นดงั น้ี วชิ า เกรด หน่วยกิตภาษาองั กฤษ C 3 แคลคูลสั A 2 สถิติ B 1จงหาเกรดเฉล่ียของนกั ศึกษาคนน้ี 48

วธิ ีทาํให้ xi แทนเกรดเฉล่ียของวชิ าที่ iและ wi แทนหน่วยกิตของวชิ าที่ iจะไ=ด้ x1 2,=x2, 4=, x3 3=w1 3=, w2 2=, w3 1ดงั น้นั เกรดเฉล่ีย = ∑ wx ∑w = w1x1 + w2 x2 + w3x3 w1 + w2 + w3 = (3× 2) + (2× 4) + (1×3) 3+2+1 = 2.83 ข้อมูลมคี ่าผดิ ปกติ (Outliers or Extreme Values) คา่ สังเกตที่มีค่าต่าํ หรือสูงผดิ ปกติเมื่อเปรียบเทียบกบั ค่าขอ้ มูลส่วนใหญ่ในขอ้ มูลชุดหน่ึง ๆจะถูกเรียกวา่ ค่าผดิ ปกติ (outlier or extreme value) กรณีท่ีขอ้ มูลมีค่าผดิ ปกติการหาตวั แทนขอ้ มูลโดยใชค้ ่าเฉล่ียจะถูกกระทบมากท่ีสุด เพราะการหาค่าเฉลี่ยตอ้ งนาํ ค่าขอ้ มูลทุกค่ามาคาํ นวณ ดงั น้นัถา้ ขอ้ มูลมีคา่ ต่าํ ผดิ ปกติปนอยคู่ ่าเฉล่ียที่คาํ นวณไดจ้ ะมีคา่ ต่าํ กวา่ คา่ ขอ้ มูลส่วนใหญ่หรือมีค่าต่าํ กวา่ ท่ีควรจะเป็ น แต่ถา้ ขอ้ มูลมีค่าสูงผิดปกติปนอยู่ ค่าเฉลี่ยท่ีคาํ นวณไดจ้ ะมีค่าสูงกวา่ ค่าขอ้ มูลส่วนใหญ่หรือมีค่าสูงกวา่ ท่ีควรจะเป็น ค่าเฉลี่ยในสถานการณ์เช่นน้ีจึงไม่ให้ตวั แทนท่ีดีของขอ้ มูล แต่การหาตวั แทนขอ้ มูลโดยใช้มธั ยฐาน หรือฐานนิยมจะไม่ได้รับผลกระทบจากค่าผิดปกติ จึงเหมาะที่จะนาํ ไปใชห้ าตวั แทนขอ้ มูลมากกวา่ ดงั แสดงในตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี ตวั อยา่ งที่ 2.8 ขอ้ มูลชุดหน่ึงเป็นดงั น้ี 500 550 550 550 600 700 750 2000 (1) คา่ ผดิ ปกติคือคา่ อะไร (2) ใหค้ าํ นวณค่าเฉล่ีย มธั ยฐาน และฐานนิยม (3) การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่กลางวธิ ีไหนไมเ่ หมาะท่ีจะนาํ ไปใช้ วธิ ีทาํ (1) ค่าผิดปกติ คือ 2000 เพราะมีค่าสูงมากเมื่อเทียบกบั ค่าขอ้ มูลส่วนใหญ่ซ่ึงอยูใ่ นช่วง 500 ถึง 750 (2) มธั ยฐาน = 575 ฐานนิยม = 550 คา่ เฉลี่ย = 775 49

(3) จะพบวา่ คา่ เฉล่ียไม่เหมาะท่ีจะนาํ ไปใชห้ าตวั แทนของขอ้ มูลชุดน้ีเพราะค่าเฉลี่ยไม่ให้ค่าท่ีใกลเ้ คียงขอ้ มูลส่วนใหญ่ จึงควรใชม้ ธั ยฐานหรือฐานนิยมเพราะจะให้ค่าท่ีใกลเ้ คียงค่าขอ้ มูลส่วนใหญม่ ากกวา่ ความสัมพนั ธ์ระหว่างค่าเฉลยี่ มธั ยฐาน และฐานนิยม รูปร่างการแจกแจงของขอ้ มูล (distribution shapes of data) มีไดห้ ลายรูปแบบ เช่น มีลกั ษณะสมมาตร เบซ้ า้ ย เบข้ วา ตวั ยู หรือตวั เจ เป็นตน้ รูปร่างของขอ้ มลู แต่ละแบบดงั กล่าวน้ีจะใหค้ วามสมั พนั ธ์ของคา่ เฉล่ีย มธั ยฐาน และฐานนิยม แตกต่างกนั ไปดงั น้ี (1) การแจกแจงของขอ้ มูลมีลกั ษณะสมมาตร (Symetric Distribution) แสดงโดยเส้นโคง้ความถี่ไดด้ งั น้ี • mean = median = mode ในกรณีน้ีค่าเฉลี่ย มธั ยฐานและฐานนิยม จะมีค่าเท่ากนั และเป็ นค่าบนแกนนอนท่ีตรงกบัจุดสูงสุดของกราฟ (2) การแจกแจงของขอ้ มูลมีลกั ษณะเบซ้ า้ ย (Skewed to the Left Distribution) แสดงดว้ ยเส้นโคง้ ความถี่ไดด้ งั น้ี กรณีน้ีหางของกราฟจะทอดยาวไปทางซ้าย และค่าฐานนิยมจะตรงกบั จุดสูงสุดของกราฟเพราะเป็ นค่าที่มีความถี่สูงสุด ส่วนค่าเฉลี่ยจะถูกดึงไปทางด้านค่าผิดปกติ ซ่ึงค่าผิดปกติตามรูปกราฟจะอยดู่ า้ นซา้ ย ดงั น้นั ค่าเฉล่ียจะถูกดึงไปดา้ นซ้าย ส่วนมธั ยฐานจะอยหู่ ่างจากค่าเฉล่ียเป็ นระยะทางประมาณหน่ึงในสามของระยะทางระหวา่ งค่าเฉล่ียและฐานนิยม แสดงความสัมพนั ธ์ในรูปสมการไดด้ งั น้ี 50

mod e −=mean (median − mean) 3 หรือ mod e − mean= 3(median − mean) (3) การแจกแจงของขอ้ มูลมีลกั ษณะเบข้ วา (Skewed to the Right Distribution) ซ่ึงแสดงดว้ ยเส้นโคง้ ความถี่ไดด้ งั น้ี กรณีน้ีหางของกราฟจะทอดยาวไปทางขวา และค่าฐานนิยมยงั คงอยตู่ รงกบั จุดสูงสุดของกราฟเพราะเป็ นค่าท่ีมีความถี่สูงสุด ส่วนค่าเฉลี่ยจะถูกดึงไปทางดา้ นค่าผดิ ปกติ ซ่ึงค่าผดิ ปกติตามรูปกราฟจะอยดู่ า้ นขวา ดงั น้นั ค่าเฉล่ียจะถูกดึงไปดา้ นขวา ส่วนมธั ยฐานจะอยหู่ ่างจากค่าเฉล่ียเป็ นระยะทางประมาณหน่ึงในสามของระยะทางระหวา่ งค่าเฉลี่ยและฐานนิยม แสดงความสัมพนั ธ์ในรูปสมการไดด้ งั น้ี mean − m=od e (mean − median) 3 หรือ mean − mod e = 3(mean − median) (4) การแจกแจงรูปแบบอื่น ๆ การแจกแจงของขอ้ มูลอาจจะมีรูปร่างอ่ืน ๆ เช่น รูปตวั ยู รูปตวั เจ หรือรูปตวั เจกลบั ขอ้ สงั เกตในการเลือกใชก้ ารวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง (1) ตามตวั อยา่ งขา้ งตน้ เราจะเห็นวา่ ค่าเฉล่ียไม่ควรนาํ ไปใช้ในกรณีท่ีขอ้ มูลมีค่าผิดปกติควรใชม้ ธั ยฐานหรือฐานนิยมแทน (2) ค่าเฉล่ีย มธั ยฐาน และฐานนิยม ท้งั สามวิธีน้ีนาํ ไปใช้ไดก้ บั ขอ้ มูลเชิงปริมาณ เฉพาะฐานนิยมเท่าน้นั ท่ีสามารถใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มลู เชิงคุณภาพ ดงั แสดงในตวั อยา่ งท่ี 3.7 (3) ถา้ รูปร่างของขอ้ มูลมีลกั ษณะเบ้ ค่าเฉล่ียจะให้ตวั แทนท่ีไม่ดี ควรใช้ มธั ยฐานหรือฐานนิยม 51

1.3 การวดั การกระจาย (Measures of Dispersion) ในการสอบวชิ าเดียวกนั ของนกั ศึกษาสองกลุ่มปรากฏวา่ คะแนนสอบเฉล่ียท้งั สองกลุ่มเท่ากนั คือ 20 แสดงวา่ นกั ศึกษาสองกลุ่มน้ีมีความสามารถพอๆกนั หรือไม่ คะแนนเฉลี่ยดงั กล่าวอาจจะทาํ ใหเ้ ราเขา้ ใจวา่ นกั ศึกษาสองกลุ่มมีความสามารถหรือเรียนไดพ้ อๆกนั แตถ่ า้ เราไปพิจารณาคะแนนของนกั ศึกษาแตล่ ะคน ดงั น้ี คะแนนของนกั ศึกษาแต่ละคนในกลุ่มท่ี 1 เป็นดงั น้ี 20 20 20 20 20 คะแนนของนกั ศึกษาแต่ละคนในกลุ่มท่ี 2 เป็นดงั น้ี 19 20 15 18 28 จากขอ้ มูลขา้ งตน้ จะเห็นวา่ นกั ศึกษาสองกลุ่มมีความสามารถแตกตา่ งกนั ดงั น้นั ในการวเิ คราะห์ขอ้ มลู การพจิ ารณาค่าเฉล่ียเพยี งอยา่ งเดียวไมเ่ พยี งพอในการสรุปลกั ษณะของขอ้ มลู สิ่งท่ีจะตอ้ งพิจารณาควบคูไ่ ปดว้ ย คือ ความแตกต่างของคา่ ขอ้ มลู ซ่ึงทางสถิติเรียกวา่ การกระจายของขอ้ มูล พจิ ารณาขอ้ มูลสองชุดต่อไปน้ี ชุดที่ 1 : 10 90 90 170 ชุดที่ 2 : 85 90 90 95 จากขอ้ มลู สองชุดขา้ งตน้ ขอ้ มลู ชุดท่ี 2 จะมีค่าใกลเ้ คียงกนั มากกวา่ ขอ้ มลู ชุดท่ี 1 ถา้ ขอ้ มูลชุดใดมีคา่ ใกลเ้ คียงกนั ในทางสถิติจะกล่าววา่ ขอ้ มูลชุดน้นั มีการกระจายนอ้ ย ถา้ ขอ้ มลู ชุดใดมีค่าแตกตา่ งกนั มากก็จะกล่าววา่ ขอ้ มูลชุดน้นั มีการกระจายมาก พจิ ารณาเส้นโคง้ ความถ่ี A กบั B ดงั น้ี f A B x เส้นโคง้ ความถี่ B แสดงถึงการกระจายของข้อมูลมากกว่าเส้นโคง้ ความถี่ Aเนื่องจากขอ้ มูลมีความแตกต่างกนั มากกวา่ การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางท่ีไดก้ ล่าวถึงไปแลว้ ไดแ้ ก่ ค่าเฉล่ีย มธั ยฐาน และฐานนิยมจะบอกเพยี งวา่ ศูนยก์ ลางของค่าขอ้ มูลอยทู่ ี่คา่ ใด หรือค่าขอ้ มูลส่วนใหญ่มีค่าใกลเ้ คียงค่าใด แตไ่ ม่บอกลกั ษณะความแตกตา่ งของค่าขอ้ มลู ดงั น้นั สถิติจึงไดเ้ สนอวธิ ีการวดั การกระจายของขอ้ มลูข้ึนมา ซ่ึงมีหลายวธิ ีดว้ ยกนั เช่น พสิ ัย ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 52

1.3.1 พสิ ัย (Range) พิสยั เป็ นวิธีการวดั กระจายท่ีคาํ นวณง่ายที่สุดและรวดเร็วท่ีสุดเหมาะสมกบั ขอ้ มูลท่ีมีจาํ นวนนอ้ ย นิยามที่ 2.4 พสิ ัย พสิ ยั คือ ผลต่างระหวา่ งคา่ สูงสุดและคา่ ต่าํ สุดของขอ้ มูล ตัวอย่างท่ี 2.9 จงหาพิสัยของขอ้ มูลต่อไปน้ี (1) 40 38 40 42 (2) 84 85 86 87 405 วธิ ีทาํ (1) พสิ ัย = ค่าสูงสุด – คา่ ต่าํ สุด = 42 – 38 =4 (2) พสิ ยั = 405 – 84 = 321 คา่ พิสัยในขอ้ (2) มีค่ามากทาํ ใหส้ รุปลกั ษณะของขอ้ มูลไดว้ า่ ขอ้ มลู มีความแตกต่างกนั มากแต่แทท้ ี่จริงแลว้ ขอ้ มูลส่วนใหญ่ค่าใกลเ้ คียงกนั จากตวั อยา่ งน้ีทาํ ให้ไดข้ อ้ สังเกตวา่ ถา้ ขอ้ มูลท่ีมีค่าผิดปกติตรงกบั ค่าสูงสุด หรือค่าต่าํ สุดพอดีจะทาํ ให้ค่าพิสัยท่ีคาํ นวณไดม้ ีค่าผดิ ปกติดว้ ย ซ่ึงส่งผลใหก้ ารสรุปลกั ษณะขอ้ มูลผดิ พลาดดว้ ย จึงเป็นสิ่งที่ควรระมดั ระวงั1.3.2 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็ นการวดั การกระจายท่ีนิยมใชก้ นั มากที่สุด ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานมีความหมายเหมือนกบั ส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ียคือเป็ นค่าที่วดั การกระจายของค่าขอ้ มูลแต่ละค่ารอบ ๆ ค่าเฉล่ียโดยเฉลย่ี การแกป้ ัญหาของ ∑(x − µ) = 0 อีกวธิ ีการหน่ึงคือทาํ ให้ค่า (x − µ) มีค่าเป็ นบวกโดยใชว้ ธิ ียกกาํ ลงั สอง จะทาํ ให้ค่าผลต่างท่ีเป็นลบเม่ือนาํ มายกกาํ ลงั สองก็จะกลายเป็ นบวก เขียนเป็นสูตรไดด้ งั น้ี σ2 = N ∑(xi − µ )2 i =1 N 53

สูตรขา้ งตน้ เป็ นนิยามของความแปรปรวน (variance) ใช้ “σ 2 ” (อ่านวา่ ซิกมาสแควร์) เป็ นสัญลกั ษณ์แทนความแปรปรวนประชากร เม่ือถอดสแควร์รูทจะไดส้ ่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน ใช้ “σ ” เป็ นสัญลกั ษณ์แทนส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานประชากร นิยามที่ 2.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดหน่ึงคือรากที่สองของความแปรปรวน โดยเอา เฉพาะรากที่สองท่ี เป็นค่าบวกเท่าน้นัเขียนเป็นสูตรไดด้ งั น้ี σ= ∑(x − µ)2 Nถา้ นาํ (x − µ )2 มายกกาํ ลงั สองแลว้ กระจายซิกมาเขา้ ไปในวงเลบ็ ดงั น้ี ( )N∑= x 2 − 2x µ + µ2 i =1= ∑x 2 − 2µ∑x + ∑ µ2= ∑ x2 − 2µ(Nµ)+ Nµ 2∑= x2 − 2Nµ 2 + Nµ 2 ∑ x = Nµ= ∑ x2 − Nµ 2ดงั น้นั สูตรของ σ 2 และ σ อีกสูตรหน่ึงท่ีนิยมใชใ้ นการคาํ นวณคือ ∑σ 2 = x2 − µ2 N σ = ∑x2 − µ2 Nการหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานกรณีข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ตัวอย่างที่ 2.10จงหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชุดดงั ตอ่ ไปน้ี 5 10 15 20 54

วธิ ีทาํจากสูตร σ 2 = ∑ x2 − µ 2 µ= ∑ fx N ∑fแทนคา่ = 52 + 102 + 152 + 202 − (12.5)2 = 5 + 10 + 15 + 20 4 4 = 750 50 4 − (12.5)2 = 4 = 187.5 - 156.25 = 12.5 = 31.25ความแปรปรวนเท่ากบั 31.25 σ = σ2 = 31.25 = 5.59ดงั น้นั ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 5.59 1.3.3 สัมประสิทธ์ิความแปรผนั (Coefficient of Variation) เมื่อตอ้ งการเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มลู แตล่ ะชุด เพ่อื ดูวา่ ขอ้ มูลชุดไหนกระจายมากหรือกระจายนอ้ ยกวา่ กนั ถา้ ขอ้ มลู แตล่ ะชุดมีหน่วยวดั เดียวกนั เช่น หน่วยเซนติเมตรเหมือนกนั เราสามารถนาํ คา่ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลแต่ละชุดมาเปรียบเทียบกนั ไดเ้ ลย แต่ถา้ ขอ้ มูลแตล่ ะชุดหน่วยวดั ต่างกนั เช่น ขอ้ มูลชุดท่ี 1 หน่วยวดั เป็ นเซนติเมตร ขอ้ มลู ชุดที่2 หน่วยวดั เป็นนิ้ว การเปรียบเทียบการกระจายตอ้ งใชส้ มั ประสิทธ์ิความแปรผนั แทน นิยามที่ 2.6 สัมประสิทธ์ิความแปรผัน สมั ประสิทธ์ิความแปรผนั หาไดจ้ ากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหารดว้ ยค่าเฉลี่ย แทนดว้ ย C.V. แสดงในรูปสูตรไดด้ งั น้ี C.V. = σ x 100% µ ปกติ C.V.นิยมคิดเป็นเปอร์เซ็นต์ ถา้ C.V. ขอ้ มูลชุดใดมีค่ามากกวา่ ก็แสดงวา่ ขอ้ มลู ชุดน้นั มีการกระจายมากกวา่ 55

ตวั อย่างท่ี 2.11 อายเุ ฉล่ียของนกั ศึกษาท่ีเรียนวชิ าสถิติเท่ากบั 18 ปี และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 2 ปีและนกั ศึกษามีค่าใชจ้ ่ายเฉลี่ยต่อเดือนเทา่ กบั 4,000 บาท ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากบั 300 บาทจงเปรียบเทียบการกระจายของอายุ และค่าใชจ้ ่ายวธิ ีทาํเพราะวา่ ขอ้ มลู มีหน่วยวดั ตา่ งกนั คือ ปี กบั บาท จึงใชส้ มั ประสิทธ์ิความแปรผนั มาเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มูลอายุ :ค่าใช้จ่าย: C.V. = 2 x 100% = 11.11% 18 = 7.5% C.V. = 300 x 100% 4000เนื่องจาก C.V. ของอายมุ ากกวา่ C.V. ของค่าใชจ้ ่าย ดงั น้นั อายมุ ีการกระจายมากกวา่ค่าใชจ้ ่าย คะแนนมาตรฐาน (Standard Score) ถา้ ตอ้ งการวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางของขอ้ มูลเราใช้ ค่าเฉล่ีย มธั ยฐาน และฐานนิยม ถา้ตอ้ งการวดั การกระจายของขอ้ มูลเราใชส้ ่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน สมั ประสิทธ์ิความแปรผนั เป็ นตน้ถา้ ตอ้ งการวดั ตาํ แหน่งของขอ้ มลู เราใชอ้ ะไรเป็นตวั วดั วธิ ีการที่ใชว้ ดั ตาํ แหน่งของขอ้ มูลไดแ้ ก่ควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นตไ์ ทล์ และคะแนนมาตรฐาน คะแนนมาตรฐานใชเ้ ปรียบเทียบคา่ขอ้ มูลต้งั แต่ 2 ค่าข้ึนไป ซ่ึงมาจากขอ้ มูลคนละชุดกนั เพอ่ื ดูวา่ ตาํ แหน่งของคา่ ขอ้ มูลดิบแต่ละตวั คา่ใดท่ีอยใู่ นตาํ แหน่งที่สูงกวา่ นิยามที่ 2.7 คะแนนมาตรฐาน คะแนนมาตรฐานเป็นตวั เลขที่แสดงวา่ ส่วนเบ่ียงเบนของคะแนนดิบจากค่าเฉล่ีย เป็นก่ีเทา่ ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตรของคะแนนมาตรฐานเขียนไดด้ งั น้ี z = x −µ σ เมื่อ z แทนคะแนนมาตรฐาน x แทนค่าขอ้ มูล µ แทนค่าเฉล่ียประชากร σ แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร 56

เน่ืองจาก Z เป็นอตั ราส่วนของคา่ สองค่าซ่ึงมีหน่วยเดียวกนั ฉะน้นั Z จึงไม่มีหน่วย เม่ือเราแปลงค่าขอ้ มลู ดิบแตล่ ะตวั ใหเ้ ป็นคะแนนมาตรฐานแลว้ เราสามารถนาํ คา่ คะแนนมาตรฐานมาเปรียบเทียบกนั ไดว้ า่ คะแนนใดจะมีตาํ แหน่งสูงกวา่ กนั โดยไมต่ อ้ งคาํ นึงถึงหน่วยวา่ จะเหมือนกนัหรือไม่ หรือมาจากขอ้ มลู ชุดเดียวกนั หรือไม่ ถา้ ค่าขอ้ มูลคา่ ใดมีคะแนนมาตรฐานสูงกวา่ แสดงวา่ คา่ขอ้ มูลคา่ น้นั อยใู่ นตาํ แหน่งที่สูงกวา่ตัวอย่างท่ี 2.12นกั ศึกษาคนหน่ึงสอบวชิ าสถิติได้ 40 คะแนน ซ่ึงมีมชั ฌิมเลขคณิตเทา่ กบั 42 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากบั 5 และสอบวชิ าเคมีได้ 92 คะแนน มีมชั ฌิมเลขคณิตเป็น 100 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็น 7 อยากทราบวา่ นกั ศึกษาคนน้ีสอบวชิ าใดไดด้ ีกวา่ กนัวธิ ีทาํวชิ าสถิติเขาทาํ คะแนนมาตรฐานไดด้ งั น้ี 40 − 42z = x−µ = 5 = -0.4 σวชิ าเคมีเขาทาํ คะแนนมาตรฐานไดด้ งั น้ี 92 − 100z = x−µ = 7 = -1.14 σคะแนนมาตรฐานของวชิ าสถิติสูงกวา่ แสดงวา่ คะแนนสอบวชิ าสถิติอยใู่ นตาํ แหน่งที่สูงกวา่ คะแนนสอบวชิ าเคมี ดงั น้นั เขาสอบวชิ าสถิติไดด้ ีกวา่ 57

วธิ ีสอนและกจิ กรรม 1. บรรยายเน้ือหาโดยใชส้ ื่อดิจิตอลสลบั ฝึ กปฏิบตั ิ(1) 2. ให้นกั ศึกษาแบ่งกลุ่มๆละ2-3คน มีคนเก่งอ่อนคละกนั และให้มีการส่ือการสอนงานทมี่ อบหมาย แลกเปล่ียนเรี ยนรู้หรื อการอภิปรายในกลุ่ม(2)ในเร่ื องท่ีได้รับ มอบหมาย คือให้ต้งั โจทยพ์ ร้อมวิธีการแก้โจทย(์ 3)น้ันในเรื่องการวดั ผล และให้แต่ละกลุ่มนาํ เสนองานหน้าช้นั เรียน หลงั จากน้นั ผสู้ อนสรุป หลกั การ 3. ใหน้ กั ศึกษามีส่วนร่วมในการเรียนการสอนโดยใชว้ ธิ ีถาม-ตอบ - ส่ือดิจิตอล (ดูภาคผนวก) - แบบฝึกปฏิบตั ิในช้นั เรียน (ระหวา่ งเรียน) - แบบฝึกหดั ชุดท่ี 1 (การบา้ น) 1. สังเกตพฤติกรรม 2. การถามตอบในช้นั เรียน 3. ประเมินจากการฝึกปฏิบตั ิในช้นั เรียน การสอบปากเปล่าตอนทา้ ย ชว่ั โมง(4) งานท่ีมอบหมาย การทดสอบยอ่ ย การสอบกลางภาค และ การสอบปลายภาค 4. การนาํ เสนอผลงานท่ีมอบหมาย 58