บทที่ 5 ความน่าจะเป็นและเทคนิคการนับ หน้า-83-102 (ปัญหาโจทย์ผสม การใช้หลักการนับในการหาค่าความน่าจะเป็น คุณสมบัติและทฤษฎีความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและกฎของเบส์ เหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน )

ทฤษฎที ี่ 5.9มีส่ิงของ n ส่ิง ซ่ึงแตกต่างกนั ท้งั หมด นาํ มาจดั เป็ นหมู่ k หมู่ โดยท่ีหมู่ท่ี 1มีจาํ นวน n1 สิ่ง หมู่ท่ี 2 มีจาํ นวน n2 สิ่ง จนถึงหมู่ที่ k มีจาํ นวน nk สิ่งโดยที่ n1+ n2 +.....+ nk = n และ n1 ≠ n2 ≠ ..... ≠ nk จะมีวิธีจดั ได้เท่ากบั n! วิธี n1 ! n2 ! ... nk !ถา้ n1= n2 =.....= nk จะมีวธิ ีจดั ไดเ้ ทา่ กบั n! วธิ ี n1 ! n2 ! ... nk ! k !ตัวอย่างที่ 5.27แบ่งลูกอม 13 รส ออกเป็น 3 กอง กองละ 1, 4 และ 8 เมด็ จะมีวธิ ีแบง่ ไดก้ ่ีวธิ ีวธิ ีทาํลูกอมท้งั หมด 13 เมด็ ซ่ึงแตกต่างกนั ท้งั หมด จะได้ n = 13เม่ือนาํ มาแบ่งเป็น 3 กอง กองละ 1, 4 และ 8 เมด็ ให้ n1= 1 , n2 = 4 , n3 = 8 จะได้ n1+ n2 + n3 = 13 = n และ n1 ≠ n2 ≠ n3 จากทฤษฎีท่ี 5.9 จะมีจาํ นวนวธิ ีแบง่ ไดเ้ ทา่ กบั 13! n! = 1! 4! 8! วธิ ี n1 ! n2 ! n3 ! = 6,435 วธิ ี ตัวอย่างท่ี 5.28 นกั ศึกษาคนหน่ึงตอ้ งการจดั วนั ในหน่ึงสปั ดาห์เพือ่ ทาํ กิจกรรมดงั น้ี อา่ นหนงั สือ 4 วนัพกั ผอ่ น 1 วนั และออกกาํ ลงั 2 วนั จะมีวธิ ีจดั วนั สาํ หรับกิจกรรมเหล่าน้ีไดก้ ่ีวธิ ี วธิ ีทาํ จาํ นวนวนั ท้งั หมดมี 7 วนั ซ่ึงแตกต่างกนั ท้งั หมด ให้ n = 7 นาํ วนั ท้งั 7 มาแบง่ เป็น3 กลุ่ม คือ อ่านหนงั สือ 4 วนั พกั ผอ่ น 1 วนั และออกกาํ ลงั 2 วนั ให้ n1= 4 , n2 = 1 , n3 = 2 จะได้ n1+ n2 + n3 = 7 = n และ n1 ≠ n2 ≠ n3 จากทฤษฎีที่ 5.9 จะมีวธิ ีจดั วนั สาํ หรับกิจกรรมเหล่าน้ีไดเ้ ทา่ กบัสถิติทวั่ ไป 83

n! = 7! วธิ ี n1 ! n2 ! n3 ! 4! 1! 2! = 105 วธิ ีตวั อย่างที่ 5.29แบ่งนกั เรียน 12 คน ออกเป็น 3 กลุ่ม กลุ่มละเท่า ๆ กนั ไดก้ ี่วธิ ีวธิ ีทาํนกั เรียนมี 12 คน ซ่ึงแตกต่างกนั ท้งั หมด จะได้ n = 12 นาํ นกั เรียนมาแบ่งเป็ น 3กลุ่ม ๆ ละเท่ากนั คือกลุ่มละ 4 คน ให้ n1= 4 , n2 = 4 , n3 = 4 และ k = 3 (k คือจาํ นวนของกลุ่มที่มีสิ่งของจาํ นวนเท่ากนั ) จะได้ n1+ n2 + n3 = 12 = n และ n1= n2 = n3 จากทฤษฎีที่ 5.9 จะมีวธิ ีแบง่ ได้เทา่ กบั n! = 12! วธิ ี n1 ! n2 ! n3 ! k ! 4! 4! 4! 3! = 5,775 วธิ ีตัวอย่างท่ี 5.30มีปากกาอยู่ 30 แท่ง ตอ้ งการแบ่งออกเป็ น 11 กอง ใหม้ ีกองละ 3 แทง่ อยู่ 4 กองกองละ 2 แทง่ 5 กอง และกองละ 4 แทง่ 2 กอง จะมีวธิ ีการแบ่งไดท้ ้งั หมดกี่วธิ ีวธิ ีทาํปากกา 30 แท่ง ซ่ึงแตกต่างกนั ท้งั หมด เม่ือแบ่งเป็นกอง ๆ จะมีกองเท่ากนั บา้ งและไม่เท่ากนั บา้ งใชท้ ฤษฎีท่ี 5.9 กรณีท่ี n1 ≠ n2 ≠ ..... ≠ nk และกรณีท่ี n1= n2 =.....= nkมาใชร้ ่วมกนั จะมีวธิ ีการแบง่ ไดท้ ้งั หมดเทา่ กบั 30!3!3!3!3!4! 2!2!2!2!2!5! 4 ! 4 ! 2! = 1.927791797 x 1021 วธิ ี5.4 ปัญหาโจทย์ผสม ปัญหาบางปัญหาเราสามารถใชเ้ ทคนิคการนบั อนั ใดอนั หน่ึงในการแกป้ ัญหา เช่นอาจจะใชก้ ฎของการคูณอยา่ งเดียว ใชก้ ารจดั หมู่อยา่ งเดียว แต่ในบางปัญหาจาํ เป็นตอ้ ง84 สถิติทวั่ ไป

ใชเ้ ทคนิคการนบั หลาย ๆ อนั มาร่วมกนั ในการแกป้ ัญหา เช่น อาจจะตอ้ งใชก้ ฎของการคูณควบคู่กบั การจดั เรียง และกฎของการบวกร่วมกนั แกป้ ัญหาตัวอย่างที่ 5.31มีธง 3 ผนื ที่แตกตา่ งกนั ตอ้ งการทาํ สัญญาณโดยใชธ้ งอยา่ งนอ้ ย 2 ผนืวธิ ีทาํในการทาํ สัญญาณธงถา้ เราสลบั ท่ีของธงแตล่ ะผนื จะเกิดสญั ญาณใหมข่ ้ึน ดงั น้นั ลาํ ดบั มีความสาํ คญั การคาํ นวณจะเกี่ยวขอ้ งกบั ทฤษฎีการจดั ลาํ ดบัจากโจทยก์ าํ หนดใหใ้ ชธ้ งอยา่ งนอ้ ย 2 ผนื หมายความวา่ อาจจะใช้ 2 ผืน หรือ ท้งั 3ผนื กไ็ ด้ 3!กรณีใช้ธง 2 ผืน จะได้ 3P2 = (3 ! − 2) = 6 วธิ ีกรณีใช้ธง 3 ผนื จะได้ 3P3 = 3! = 6 วธิ ีกรณีใชธ้ ง 2 ผนื กบั กรณีใชธ้ ง 3 ผนื ต่างก็ทาํ ภารกิจเสร็จสมบรู ณ์ดว้ ยตวั เองไม่เกี่ยวขอ้ งกนั ดงั น้นั จึงนาํ จาํ นวนวธิ ีของท้งั สองกรณีมาบวกกนั ตามกฎของการบวก กจ็ ะได้จาํ นวนวธิ ีทาํ สญั ญาณท้งั หมดเท่ากบั 6 + 6 = 12 วธิ ีข้อสังเกต โจทยข์ อ้ น้ีใชก้ ารจดั เรียงกบั กฎของการบวกร่วมกนั แกป้ ัญหา ตัวอย่างที่ 5.32 ชาย 4 คน หญิง 4 คน ยนื แถวหนา้ กระดานโดยชายหญิงสลบั กนั จะมีแถวไดท้ ้งั หมดก่ีแบบ วธิ ีทาํ ชายกบั หญิงยนื สลบั กนั ชายอาจจะอยหู่ วั แถว หรือหญิงอาจจะอยหู่ วั แถวก็ได้ ดงั รูป ชายอย่หู ัวแถว ช ญ ช ญ ช ญ ช ญ หรือ หญิงอยู่หัวแถว ญ ช ญ ช ญ ช ญ ชสถิติทวั่ ไป 85

กรณชี ายอยู่หัวแถว ระหวา่ งชายสลบั ที่กนั ได้ 4! วธิ ี ขณะเดียวกนั ระหวา่ งหญิงสลบัที่กนั ได้ 4!วิธี ขณะที่ชายกบั หญิงสลบั ที่กนั น้ีเป็ นเหตุการณ์ท่ีเกิดพร้อมกนั หรือต่อเน่ืองกนัไปจึงจะจบภารกิจ ดงั น้นั ท้งั สองข้นั ตอนตอ้ งคูณกนั ตามกฎของการคูณ จะได้ 4! x 4! วธิ ีกรณหี ญงิ อยู่หวั แถว จะได้ 4! x 4! วธิ ี เช่นกนั 0 0ท้งั สองกรณีต่างก็ทาํ ภารกิจเสร็จสิ้นดว้ ยตนเอง ดงั น้นั จึงนาํ จาํ นวนวธิ ีของท้งั สองกรณีมาบวกกนั ตามกฎของการบวก ก็จะไดจ้ าํ นวนวธิ ีท้งั หมดท่ีชายหญิงยนื สลบั กนั ซ่ึงเท่ากบั 4! x 4! + 4! x 4! = 1,152 วธิ ี 0ข้อสังเกต โจทยข์ อ้ น้ีใชก้ ารจดั เรียง กฎของการคูณ และกฎของการบวกร่วมกนัแกป้ ัญหา ตวั อย่างท่ี 5.33 มีหลอดไฟ 6 หลอด เป็นหลอดเสีย 2 หลอด หยบิ หลอดไฟมา 3 หลอด จงหาจาํ นวนวธิ ีที่จะไดห้ ลอดดี 2 หลอด หลอดเสีย 1 หลอด วธิ ีทาํ หลอดดีมีท้งั หมด 4 หลอด จาํ นวนวธิ ีท่ีจะไดห้ ลอดดี 2 หลอด เท่ากบั 4C2 วธิ ีสลบั ที่ไมม่ ีความหมายจึงใชท้ ฤษฎีการจดั หมู่ หลอดเสียมีท้งั หมด 2 หลอด จาํ นวนวธิ ีท่ีจะไดห้ ลอดเสีย 1 หลอด เท่ากบั 2C1 วธิ ี จาํ นวนวธิ ีที่จะไดห้ ลอดดี 2 หลอด และหลอดเสีย 1 หลอด ตอ้ งทาํ ตอ่ เน่ืองกนั ไปจึงจะจบภารกิจ ดงั น้นั จาํ นวนวธิ ีใน 2 ข้นั ตอนน้ีจึงนาํ มาคูณกนั∴ จาํ นวนวธิ ีท่ีจะไดห้ ลอดดี 2 หลอด หลอดเสีย 1 หลอดเทา่ กบั x4C2 2C1 = 12 วธิ ี ตัวอย่างท่ี 5.34 ในการเลือกกรรมการชุดหน่ึงมี 6 คน โดยเลือกจากชาย 3 คน หญิง 9 คน จะเลือกได้ก่ีวธิ ี ถา้ ตอ้ งการใหก้ รรมการแต่ละชุดมีผชู้ ายอยา่ งนอ้ ย 1 คน วธิ ีทาํ ในกรรมการแต่ละชุดให้มีผชู้ ายอยา่ งนอ้ ย 1 คน ดงั น้นั อาจจะมีผชู้ าย 1 คน หรือ 2คน หรือ 3 คน ก็ได้86 สถิติทวั่ ไป

กรณีมีผู้ชาย 1 คน จะตอ้ งเลือกผหู้ ญิงมาสมทบอีก 5 คน เพื่อใหค้ รบ 6 คน จะมีจาํ นวนวธิ ีเลือกกรรมการ 6 คน โดยท่ีมีผชู้ าย 1 คน ไดเ้ ทา่ กบั x3C1 9C5 วธิ ี กรณมี ีผ้ชู าย 2 คน จะตอ้ งเลือกผหู้ ญิงมาสมทบอีก 4 คน ดงั น้นั จะมีจาํ นวนวธิ ีเลือกกรรมการ 6 คน โดยท่ีมีผชู้ าย 2 คน ไดเ้ ทา่ กบั x3C2 9C4 วธิ ี กรณมี ผี ู้ชาย 3 คน จะตอ้ งเลือกผหู้ ญิงมาสมทบอีก 3 คน ดงั น้นั จะมีจาํ นวนวธิ ีเลือกกรรมการ 6 คน โดยที่มีผชู้ าย 3 คน ไดเ้ ทา่ กบั 3C3 x 9C3 วธิ ี ท้งั สามกรณีตา่ งกท็ าํ ภารกิจจบสิ้นดว้ ยตวั เอง ดงั น้นั จาํ นวนวธิ ีที่จะเลือกกรรมการชุดหน่ึงมี 6 คน โดยแตล่ ะชุดมีผชู้ ายอยา่ งนอ้ ย 1 คน จึงเท่ากบั การนาํ จาํ นวนวธิ ีของท้งัสามกรณีบวกกนั จะได้ + +x3C1 9C5 x3C2 9C4 x3C3 9C3 = 840 วธิ ี5.5 การใช้หลักการนับในการหาค่าความน่าจะเป็ น ในการหาคา่ ความน่าจะเป็นจากหวั ขอ้ ท่ีผา่ นมา เราจะนาํ จาํ นวนวธิ ีที่จะเกิดเหตุการณ์A หารดว้ ยจาํ นวนวธิ ีใน S จึงจะไดค้ า่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A การหาจาํ นวนวธิ ีใน A และใน S ถา้ เราสามารถเขียนแจกแจงทุกผลลพั ธ์ใน A และใน S ได้ ก็นบัจาํ นวนผลลพั ธ์หรือจาํ นวนสมาชิกใน A และใน S แลว้ นาํ มาคาํ นวณค่าความน่าจะเป็ นแต่กรณีท่ีเราไม่สามารถเขียนแจกแจงผลลพั ธ์ไดห้ มดเพราะจะเสียเวลามาก เช่น โยนเหรียญ 1 อนั 10 คร้ัง แต่ถา้ โยนเหรียญ 1 อนั 2 คร้ัง เราสามารถเขียนแจกแจงได้กรณีที่ผลลพั ธ์มีมากน้ี เราจึงใชเ้ ทคนิคการนบั เขา้ มาช่วยในการนบั ฉะน้นั ในหวั ขอ้ น้ีจะนาํ เทคนิคการนบั มาประยกุ ตใ์ ชใ้ นการหาค่าความน่าจะเป็ น ตัวอย่างที่ 5.35 ถุงใบหน่ึงมีลูกบอลสีขาว 4 ลูก สีดาํ 5 ลูก หยบิ ลูกบอล 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็ นที่หยบิ ไดส้ ีดาํ ท้งั หมด วธิ ีทาํ การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดใหส้ มมติสญั ลกั ษณ์ข้ึนมาแทนเหตุการณ์น้นั ในที่น้ีให้ A แทนเหตุการณ์ท่ีหยบิ ไดส้ ีดาํ ท้งั หมดสถิติทวั่ ไป 87

จาก P(A) = n จาํ นวนวธิ ีที่จะไดส้ ีดาํ ท้งั หมด (ท้งั สามลูก) N = จาํ นวนวธิ ีที่เป็ นไปไดท้ ้งั หมดในการหยบิ บอล 3 ลูก = 5C3 = 10 = 0.12 84 9C3ตัวอย่างท่ี 5.36สุ่มหยบิ ไพ่ 2 ใบ จากไพ่ท้งั สาํ รับ ซ่ึงมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่จะ(1) ไดแ้ ตม้ ควนี 2 ใบ(2) ไดแ้ ตม้ 5 1 ใบ และคิง 1 ใบ(3) ไดไ้ พส่ ีเดียวกนั(4) ไดไ้ พ่แตม้ เดียวกนัวธิ ีทาํ(1) ให้ A แทนเหตุการณ์ที่ไดแ้ ตม้ ควนี 2 ใบจาก P(A) = n N = จาํ นวนวธิ ีท่ีจะไดแ้ ตม้ ควนี 2 ใบ จาํ นวนวธิ ีที่เป็นไปไดท้ ้งั หมดในการหยบิ ไพ่ 2 ใบ 6 = 4C2 = 1326 = 0.0045 52C2(2) ให้ B แทนเหตุการณ์ท่ีไดแ้ ตม้ 5 1 ใบ และคิง 1 ใบจาก P(B) = n N = จาํ นวนวธิ ีท่ีจะได้5 1 ใบ และคิง 1 ใบ จาํ นวนวธิ ีที่เป็นไปไดท้ ้งั หมดในการหยบิ ไพ่ 2 ใบ = 4C1 4C1 = 0.0121 1326(3) ให้ C แทนเหตุการณ์ท่ีไดไ้ พส่ ีเดียวกนั ท้งั สองใบ ไพม่ ี 2 สีคือสีแดง กบั สีดาํอยา่ งละ 26 ใบ88 สถิติทว่ั ไป

จาํ นวนวธิ ีที่จะไดไ้ พส่ ีเดียวกนั อาจจะไดส้ ีแดงหรือสีดาํ เทา่ กบั 26C2 + 26C2 วธิ ี∴ P(C) = 26C2 + 26C2 = 650 = 0.4902 52C2 1326(4) ให้ D แทนเหตุการณ์ที่ไดไ้ พแ่ ตม้ เดียวกนั ท้งั สองใบ ไพม่ ี 13 แตม้ คือ 2, 3, 4,....., J, Q, K แต่ละแตม้ มี 4 ดอกจาํ นวนวธิ ีท่ีจะไดไ้ พแ่ ตม้ เดียวกนั ท้งั 2 ใบ อาจจะไดแ้ ตม้ 2 ท้งั สองใบ หรือ 3 ท้งั สองใบ หรือ 4 ท้งั สองใบ หรือ . . . Q ท้งั สองใบ หรือ K ท้งั สองใบ ซ่ึงเท่ากบั4C2 + 4C2 +.....+ 4C2 = 13 • 4C2∴ P(D) = 13 ⋅ 4C2 = 78 = 0.0588 1326 52C2 การหาคา่ ความน่าจะเป็นท่ีไดก้ ล่าวมาท้งั หมดเป็นวธิ ีคลาสสิค วธิ ีน้ีเราหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จากการนบั จาํ นวนสมาชิกที่อยใู่ นเหตุการณ์ A และในแซมเปิ ลสเปซ S ในการหาค่าความน่าจะเป็ นอีกวธิ ีหน่ึง คือ ใชค้ วามถี่สัมพทั ธ์ของเหตุการณ์ที่เราสนใจจากการทดลอง ดงั น้นั การหาค่าความน่าจะเป็นสามารถหาไดส้ องวธิ ีคือ (1) วธิ ีคลาสสิค (Classical Method) และ (2) การใชค้ วามถ่ีสัมพทั ธ์ (Empirical Method)นิยามที่ 5.10ถา้ ทาํ การทดลองซ้าํ กนั N คร้ัง ภายใตส้ ภาวะแวดลอ้ มเดียวกนั และสังเกตเหตุการณ์ A เกิดข้ึน n คร้ัง ความถ่ีสัมพทั ธ์ของเหตุการณ์ A คือ n Nจะมีคา่ เขา้ ใกลค้ วามน่าจะเป็นของ A โดยวธิ ีคลาสสิค เมื่อ N มีค่าเพ่ิมข้ึน ตวั อย่างท่ี 5.37 ถา้ โยนเหรียญ 1,000 คร้ังไดห้ วั 502 คร้ัง กอ้ ย 498 คร้ัง จงหาความน่าจะเป็ นของการไดห้ วั จากเหรียญบาทน้ี วธิ ีทาํ จากนิยาม 5.10 เราใชค้ วามถี่สมั พทั ธ์แทนคา่ ความน่าจะเป็นได้ เม่ือ N มีคา่ มากสถิติทวั่ ไป 89

∴ P(ไดห้ วั ) = จาํ นวนคร้ังที่ข้ึนหวั จาํ นวนการทดลองท้งั หมด 502 = 1000 = 0.502 โดยประมาณตัวอย่างท่ี 5.38ในบรรดานกั ศึกษา 85 คน ท่ีเขา้ เรียนต้งั แต่เวลา 9.00 ถึง 12.00 น. มีนกั ศึกษาที่มาถึงก่อน 8.30 น. 70 คน ถา้ เลือกนกั ศึกษาอยา่ งสุ่มมา 1 คนจงหาความน่าจะเป็นท่ีผนู้ ้นั มาถึงหอ้ งเรียนก่อน 8.30 น.วธิ ีทาํให้ A แทนท่ีผนู้ ้นั มาถึงหอ้ งเรียนก่อน 8.30 น. 70P(A) = 85 = 0.8235 โดยประมาณ5.6 คุณสมบัตแิ ละทฤษฎคี วามน่าจะเป็ น คุณสมบตั ิและทฤษฎีความน่าจะเป็นต่อไปน้ีจะช่วยคาํ นวณความน่าจะเป็นในบางสถานการณ์ใหง้ ่ายข้ึนคุณสมบตั ขิ องความน่าจะเป็ นให้ A เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ในแซมเปิ ลสเปซ S และ ∅ เป็นเซตวา่ งคุณสมบตั ิท่ีสาํ คญั ของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A มีดงั น้ี (1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 (2) P(S) = 1 (3) P(∅ ) = 0ทฤษฎีท่ี 5.10P(A) = 1 – P( A′ )90 สถิติทวั่ ไป

ตัวอย่างท่ี 5.39ในกล่องใบหน่ึงมีลูกบอลสีขาว 4 ลูก สีดาํ 5 ลูก หยิบลูกบอลจากกล่องมา 3 ลูกจงหาความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้ลูกบอลสีดาํ ท้งั สามลูกวธิ ีทาํคํานวณโดยใช้เทคนิคการนับให้ A แทนเหตุการณ์ท่ีไม่ได้ลูกบอลสีดาํ ท้งั สามลูกS A′ จากรูปแสดงผลลพั ธ์ที่เป็นไปไดท้ ้งั หมด ขาว 3 ของสีลูกบอล 3 ลูก (S) ส่วนที่แรเงาคือ ขาว 2 ดํา 3 เหตุการณ์ที่ไม่ได้ลูกบอลสีดาํ ท้งั สามลูก ดํา 1 ขาว 1 หรือ A ดํา 2 Aเหตุการณ์ที่ไม่ได้ลูกบอลสีดาํ ท้งั สามลูก หมายถึง อาจจะไดส้ ีขาวท้งั 3 ลูก หรือไดส้ ีขาว 2 ลูก สีดาํ 1 ลูก หรือไดส้ ีขาว 1 ลูก สีดาํ 2 ลูกดงั น้นั จาํ นวนวิธีท่ีไม่ได้ลูกบอลสีดาํ ท้งั 3 ลูก = จาํ นวนวิธีที่ไดส้ ีขาวท้งั 3 ลูก +จาํ นวนวธิ ีท่ีไดส้ ีขาว 2 ลูก สีดาํ 1 ลูก + จาํ นวนวธิ ีท่ีไดส้ ีขาว 1 ลูก สีดาํ 2 ลูก∴P(A) = 4C3 + 4C2 × 5C1 + 4C1 × 5C2 = 74 9C3 84 = 0.8810คํานวณโดยใช้ทฤษฎีท่ี 5.10P(A) = 1 - P(A′) A′ คือ เหตุการณ์ท่ีไดล้ ูกบอลสีดาํ ท้งั 3 ลูก = 1- 5C 3 9C 3 = 1 - 10 = 0.8810 84ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้ลูกบอลสีดาํ ท้งั 3 ลูกเทา่ กบั 0.8810สถิติทว่ั ไป 91

ทฤษฎที ี่ 5.11ถา้ A และ B เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ในแซมเปิ ลสเปซ S จะได้ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) A ∪ B หมายถึง เหตุการณ์ A เกิด หรือเหตุการณ์ B เกิด หรือท้งั สองเหตุการณ์เกิดข้ึนร่วมกนั อาจจะกล่าวไดอ้ ีกอยา่ งวา่ A ∪ B คือ อยา่ งนอ้ ยหน่ึงเหตุการณ์เกิดข้ึน ส่วน A ∩ B หมายถึง เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เกิดร่วมกนัตวั อย่างที่ 5.40สาขาวชิ าสถิติ มีโทรศพั ทส์ องหมายเลข คือ หมายเลข 025494137 และ 025494138ความน่าจะเป็นท่ีหมายเลข 025494137 จะไม่วา่ งเทา่ กบั 0.7ความน่าจะเป็นที่หมายเลข 025494138 จะไม่วา่ งเทา่ กบั 0.4ความน่าจะเป็นท่ีหมายเลข 025494137 และ 025494138 จะไม่วา่ งเทา่ กบั 0.53จงหาความน่าจะเป็นที่หมายเลขโทรศพั ทอ์ ย่างน้อย 1 หลายเลขจะไม่วา่ งวธิ ีทาํให้ A แทนเหตุการณ์ที่หมายเลข 025494137 จะไม่วา่ ง จะได้ P(A) = 0.7ให้ B แทนเหตุการณ์ที่หมายเลข 025494138 จะไม่วา่ ง จะได้ P(B) = 0.4ความน่าจะเป็นที่หมายเลขท้งั สอง จะไม่วา่ งแทนดว้ ย P(A ∩ B) = 0.53หมายเลขโทรศพั ทอ์ ย่างน้อยหน่ึงหมายเลขจะไม่วา่ งหมายความวา่ หมายเลข025494137 อาจจะไม่วา่ ง หรือหมายเลข 025494138 ไม่วา่ ง หรือท้งั หมายเลข 025494137และ 025494138 ไม่วา่ งซ่ึงเป็นความหมายของ A ∪ B นน่ั เองจากทฤษฎีที่ 5.11 คือP(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)แทนค่าจะได้ = 0.7 + 0.4 - 0.53 = 0.57 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่หมายเลขโทรศพั ทอ์ ยา่ งนอ้ ยหน่ึงหมายเลขจะไม่วา่ งเทา่ กบั0.5792 สถิติทวั่ ไป

จากผลของทฤษฎีที่ 5.11 ถา้ A กบั B เกิดร่วมกนั ไม่ได้ หรือ เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกนั โดยเดด็ ขาด กล่าวคือ A ∩ B = φ จะไดผ้ ลตามบทแทรกดงั ต่อไปน้ี บทแทรกท่ี 1 ถา้ A กบั B เป็นเหตุการณ์ท่ีแยกจากกนั โดยเด็ดขาด กล่าวคือA ∩ B = φ แลว้ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) บทแทรกที่ 2 ถา้ A1 , A2 , …. , Anเป็ นเหตุการณ์ท่ีแยกจากกนั โดยเด็ดขาด กล่าวคือ Ai ∩ Aj = φ โดยท่ี i ≠ j และ i, j = 1, 2, …, n ความน่าจะเป็นท่ีอยา่ งนอ้ ยหน่ึงเหตุการณ์ ใน n เหตุการณ์น้ีจะเกิดข้ึนคือ P(A1 ∪ A2 ∪ ……. ∪ An) = P(A1) + P(A2) + …. + P(An) ตวั อย่างท่ี 5.41 ถา้ การเลือกต้งั ในคราวต่อไป ตวั เก็งท่ีจะไดร้ ับเลือกเป็ นนายกรัฐมนตรีมี 3 คน คือนาย ก นาย ข และ นาย ค โอกาสท่ีนาย ข และ นาย ค จะไดเ้ ป็นนายกรัฐมนตรีมีโอกาสเทา่ ๆ กนั แต่นาย ก มีโอกาสจะไดเ้ ป็นนายกรัฐมนตรีเป็ นสองเท่าของนาย ข หรือ นาย ค จงหา (1) ความน่าจะเป็นท่ี นาย ก จะไดเ้ ป็นนายกรัฐมนตรี (2) ความน่าจะเป็นท่ี นาย ค จะไม่ไดเ้ ป็นนายกรัฐมนตรี วธิ ีทาํ ให้ A แทนเหตุการณ์ท่ี นาย ก เป็นนายกรัฐมนตรี B แทนเหตุการณ์ท่ี นาย ข เป็นนายกรัฐมนตรี C แทนเหตุการณ์ที่ นาย ค เป็นนายกรัฐมนตรี คนท้งั สามจะเป็ นนายกรัฐมนตรีพร้อมกนั ไม่ไดห้ มายความวา่ A, B และ C เป็ นเหตุการณ์ท่ีแยกจากกนั โดยเด็ดขาด จะได้ P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) และ A ∪ B ∪ C จะได้ Sสถิติทว่ั ไป 93

ให้ P(B) = X = P(C)∴ P(A) = 2Xแทนคา่ P(S) = 2X + X + X 1 = 4X …… ( P(S) = 1 จากคุณสมบตั ิความน่าจะเป็น) 1 X= 4(1) ความน่าจะเป็นที่นาย ก จะไดเ้ ป็นนายกรัฐมนตรีเทา่ กบั P(A) = 2X = 2 1  = 1 4  2 (2) ความน่าจะเป็นท่ีนาย ค จะไม่ไดเ้ ป็น นายกรัฐมนตรี เทา่ กบั P(C′) = 1 - P(C) 3 1 4 = 1 - 4 =จากทฤษฎีที่ 5.11 อาจขยายออกไปสาํ หรับเหตุการณ์มากกวา่ สองเหตุการณ์ดงั ทฤษฎีต่อไปน้ีทฤษฎที ่ี 5.12ถา้ A, B, C เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ในแซมเปิ ลสเปซ S จะได้P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) ทฤษฎีน้ีกล่าวว่าความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ท่ีมีอย่างน้อยที่สุดหน่ึงเหตุการณ์เกิดข้ึนจะมีค่าเท่ากบั ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เพียงเหตุการณ์เดียวของแต่ละเหตุการณ์ ลบดว้ ยความน่าจะเป็นของการเกิดข้ึนร่วมกนั ของสองเหตุการณ์ใด ๆ บวกดว้ ยความน่าจะเป็นของการเกิดข้ึนร่วมกนั ของสามเหตุการณ์94 สถิติทวั่ ไป

ทฤษฎีท่ี 5.13ถา้ A, B เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ในแซมเปิ ลสเปซ S และ A ⊆ B จะได้ P(A) ≤ P(B)5.7 ความน่าจะเป็ นแบบมีเงือ่ นไขและกฎของเบส์ 5.7.1 ความน่าจะเป็ นแบบมเี ง่อื นไข (Conditional Probability) ในบางคร้ังเหตุการณ์ที่เราสนใจหาค่าความน่าจะเป็ น จะเก่ียวขอ้ งกบั อีกเหตุการณ์หน่ึงซ่ึงเป็ นเหตุการณ์ท่ีเรามีขอ้ มูลวา่ เป็ นเหตุการณ์ที่ไดเ้ กิดข้ึนแลว้ เราเรียกความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ในลกั ษณะน้ีวา่ ความน่าจะเป็ นแบบมีเงื่อนไขนิยามท่ี 5.11ถ้า A และ B เป็ นเหตุการณ์ในแซมเปิ ลสเปซ S ความน่าจะเป็ นแบบมีเง่ือนไขของเหตุการณ์ A เมื่อกาํ หนดวา่ เหตุการณ์ B ไดเ้ กิดข้ึนแลว้ เขียนแทนดว้ ย P(A/B)คือ P(A/B) = P( A ∩ B) P(B)เครื่องหมาย “/ “ อ่านวา่ กิฟเวน เหตุการณ์ท่ีเกิดข้ึนแลว้ จะเขียนหลงั เครื่องหมายน้ีในทาํ นองเดียวกนั ความน่าจะเป็ นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B เมื่อกาํ หนดวา่เหตุการณ์ A ไดเ้ กิดข้ึนแลว้ เขียนแทนดว้ ย P(B/A) คือ P(◌ฺ B/A) = P( A ∩ B) 1 P( A)จะสงั เกตวา่ ตวั หารคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดข้ึนแลว้ถา้ นาํ P(B) คูณตลอดสมการในนิยามที่ 5.11 และ P(A) คูณตลอดสมการ 1 จะไดท้ ฤษฎีดงั น้ีทฤษฎที ี่ 5.14 กฎของการคูณ (General Multiplication Rule)P(A ∩ B) = P(A/B) • P(B) = P(B/A) • P(A)สถิติทว่ั ไป 95

ตวั อย่างท่ี 5.42ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าข้ึนหนา้ 4 เม่ือทราบวา่ ลูกเต๋าข้ึนหนา้ คูแ่ น่ ๆวธิ ีทาํทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 คร้ัง จะไดแ้ ซมเปิ ลสเปซ คือ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }เหตุการณ์ท่ีกาํ ลงั หาความน่าจะเป็นคือลูกเต๋าข้ึนหนา้ 4เหตุการณ์ท่ีเกิดข้ึนแลว้ คือลูกเต๋าข้ึนหนา้ คู่สมมติสญั ลกั ษณ์ข้ึนมาแทนเหตุการณ์ท้งั สองโดยให้ A แทนเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าข้ึนหนา้ 4A = {4}และ B แทนเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าข้ึนหนา้ คู่B = { 2, 4, 6 }A ∩B = {4}ความน่าจะเป็นท่ีลูกเต๋าข้ึนหนา้ 4 เมื่อทราบวา่ ลูกเต๋าข้ึนหนา้ คูแ่ น่ ๆ เขียนเป็นสญั ลกั ษณ์จะได้ P(A/B) = P( A ∩ B) P(B) 1 1 = 63 = 3 6การท่ีเราทราบวา่ ในการทอดลูกเต๋าคร้ังน้ีจะตอ้ งข้ึนหนา้ คูอ่ ยา่ งแน่นอน จาํ นวนสมาชิกในแซมเปิ ลสเปซจะเหลือเพียง 3 ตวั เท่าน้นั คือ B = {2, 4, 6} ซ่ึงเป็นสับเซตของ S เราเรียก B วา่ เป็น Reduced Sample Space ดงั น้นั P(A/B) จึงอาจหาไดจ้ าก P(A/B) = จาํ นวนสมาชิกใน A ∩ B 1 จาํ นวนสมาชิกใน B 3 =96 สถิติทวั่ ไป

ตัวอย่างที่ 5.43ครอบครัวหน่ึงมีบุตร 3 คน ถา้ เป็ นที่รู้กนั วา่ บุตรคนแรกของครอบครัวน้ีเป็ นหญิงจงหาความน่าจะเป็นท่ีครอบครัวน้ีจะมีลูกสาว 2 คนวธิ ีทาํแซมเปิ ลสเปซของเพศบุตร 3 คน คือ S = { ชชช, ชชญ, ชญช, ชญญ, ญชช, ญชญ, ญญช, ญญญ } ให้ A แทนเหตุการณ์ท่ีบุตรคนแรกเป็นหญิง A = { ญชช, ญชญ, ญญช, ญญญ } และ B แทนเหตุการณ์ท่ีมีลูกสาว 2 คน B = { ชญญ, ญชญ, ญญช } A ∩ B = { ญชญ, ญญช }ความน่าจะเป็นท่ีครอบครัวน้ีจะมีลูกสาว 2 คน ถา้ เป็นท่ีรู้กนั วา่ บุตรคนแรกของครอบครัวน้ีเป็นหญิง เขียนเป็ นสญั ลกั ษณ์จะได้ P(B/A) = P( A ∩ B) = P( A) = 1 2 2 84 8 ตวั อย่างที่ 5.44 มีกล่องอยู่ 2 ใบ ใบท่ี 1 มีบอลขาว 4 ลูก เขียว 2 ลูก ใบที่ 2 มีบอลขาว 3 ลูกเขียว 5 ลูก หยบิ บอล 1 ลูก อยา่ งสุ่มจากกล่องใบที่ 1 แลว้ ใส่ในกล่องใบที่ 2 และหยบิจากกล่องใบท่ี 2 มา 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่บอลหยบิ จากกล่องใบท่ี 2 เป็นสีเขียว วธิ ีทาํ ใบท่ี 1 ใบท่ี 2 ขาว เขียว ขาว เขียว 42 35สถิติทวั่ ไป 97

ให้ A แทนเหตุการณ์ที่บอลหยบิ จากกล่องใบที่ 2 เป็นสีเขียว B แทนเหตุการณ์ท่ีบอลหยบิ จากกล่องใบท่ี 1 เป็นสีเขียว C แทนเหตุการณ์ท่ีบอลหยบิ จากกล่องใบที่ 1 เป็นสีขาวตอนที่เราหยบิ บอลจากกล่องใบที่ 1 อาจจะเป็ นสีเขียวหรือสีขาวก็ได้P (บอลหยบิ จากกล่องใบท่ี 2 เป็นสีเขียว) = P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ C) = P(A/B) ⋅ P(B) + P(A/C) ⋅ P(C) = 6 x 2 + 5 x 4 = 32 = 0.593 9 6 9 6 545.7.2 กฎของเบส์ (Bayes’ Rule)ทฤษฎที ี่ 5.15 กฎของเบส์ถา้ B1, B2, …, Bn เป็นเหตุการณ์ท่ีเกิดข้ึนร่วมกนั ไม่ได้ (mutually exclusive events)และ B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = S (exhaustive events) และ P(Bi) > 0 และ A เป็ นเหตุ-การณ์ท่ีเกิดข้ึนแลว้ จะได้P(Bk/A) = P (A / Bk )P (Bk ) P (A / Bn ) ⋅ P (Bn ) P (A / B1)⋅ P (B1) + P (A / B2) ⋅ P (B2) + ... + กฎของเบส์เป็ นแนวคิดของความน่าจะเป็ นแบบมีเง่ือนไข โดยท่ีเหตุการณ์ที่เรามีขอ้ มูลเพิม่ เติมถือเป็ นเหตุการณ์ที่เกิดข้ึนแลว้ (A) ส่วนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีสนใจมีหลายเหตุการณ์ (B1, B2, … , Bn) ตวั อย่างท่ี 5.45 ชายคนหน่ึงมีรถ 2 คนั คนั ที่ 1 โตโยตา้ คนั ท่ี 2 ฮอนดา้ การไปทาํ งานของเขาจะใช้สบั เปล่ียนกนั เป็ นอตั ราส่วน 3:1 ถา้ เขาขบั โตโยตา้ ไป ความน่าจะเป็ นท่ีเขาจะไปทาํ งานทนั เวลามีค่า 0.7 แต่ถา้ เขาขบั ฮอนดา้ ไป ความน่าจะเป็นท่ีเขาจะไปทาํ งานทนั เวลามีค่า0.6 ในวนั หน่ึงเขาไปทาํ งานไมท่ นั เวลา98 สถิติทวั่ ไป

จงหาความน่าจะเป็นท่ีเขาขับรถโตโยต้าไปทาํ งาน วธิ ีทาํ เหตุการณ์ท่ีเกิดข้ึนแลว้ คือเขาไปทาํ งานไม่ทนั เวลา ให้ A แทนเหตุการณ์ท่ีเขาไปทาํ งานไม่ทนั เวลา และ B1 แทนเหตุการณ์ที่เขาขับโตโยต้าไปทาํ งาน และ B2 แทนเหตุการณ์ที่เขาขบั ฮอนดา้ ไปทาํ งาน ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีเขาขบั รถโตโยตา้ ไปทาํ งาน เม่ือวนั หน่ึงเขาไปทาํ งานไมท่ นั เวลาจากกฎของเบส์ ไดเ้ ทา่ กบั P(B1/A) = P( A / B1 )P(B1 ) P( A / B1 )⋅ P(B1 ) + P( A / B2 ) ⋅ P(B2 )โดยท่ี P(B1) คือ ความน่าจะเป็นท่ีเขาขบั รถโตโยตา้ ไปทาํ งานเทา่ กบั 3 4 P(B2) คือ ความน่าจะเป็นที่เขาขบั ฮอนดา้ ไปทาํ งานเท่ากบั 1 4 P(A/B1) คือ ความน่าจะเป็ นท่ีเขาไปทาํ งานไม่ทนั เวลาเม่ือกาํ หนดวา่ เขาขบั โตโยตา้ไปทาํ งานเท่ากบั 0.3 (1 - 0.7) P(A/B2)คือ ความน่าจะเป็ นท่ีเขาไปทาํ งานไม่ทนั เวลาเม่ือกาํ หนดวา่ เขาขบั ฮอนดา้ไปทาํ งานเทา่ กบั 0.4 (1 - 0.6)แทนค่าต่าง ๆ ในสูตรจะได้ P(B1/A) = (0.3) (0.75) (0.3)(0.75) + (0.25)(0.4) = 0.225 0.325 = 0.692 เพราะฉะน้นั เม่ือในวนั หน่ึงเขาไปทาํ งานไมท่ นั เวลา ความน่าจะเป็นที่เขาขบั รถโตโยตา้ ไปทาํ งานเทา่ กบั 0.692สถิติทว่ั ไป 99

ตวั อย่างท่ี 5.46 มีกล่องอยู่ 3 ใบ ใบที่ 1 บรรจุบอลแดง 3 ลูก ดาํ 1 ลูก ใบที่ 2 มีบอลแดง 2 ลูกดาํ 2 ลูก ใบที่ 3 มีบอลแดง 1 ลูก ดาํ 3 ลูก หยิบบอลข้ึนมา 1 ลูกโดยไม่ทราบวา่หยิบจากกล่องใบไหน ปรากฏวา่ เป็นบอลแดง จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยบิ บอลมาจากกล่องใบท่ี 2 วธิ ีทาํ ให้ A แทนเหตุการณ์ที่ไดบ้ อลแดง B1 แทนเหตุการณ์ที่หยบิ บอลมาจากกล่องใบที่ 1 B2 แทนเหตุการณ์ท่ีหยบิ บอลมาจากกล่องใบท่ี 2 และ B3 แทนเหตุการณ์ที่หยบิ บอลมาจากกล่องใบท่ี 3 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่หยบิ บอลมาจากกล่องใบท่ี 2 เม่ือทราบวา่ เป็นบอลแดง จากกฎของเบส์จะไดเ้ ท่ากบัP(B /A) = P (A / B )P (B )2 22 P (A / B1)⋅ P (B ) + P (A / B ) ⋅ P (B ) + P (A / B) ⋅ P (B ) 1 2 2 3 3โดยที่ P(B1) คือ ความน่าจะเป็นท่ีหยบิ บอลมาจากกล่องใบท่ี 1 ซ่ึงเท่ากบั 1 3 P(B2) คือ ความน่าจะเป็นที่หยบิ บอลมาจากกล่องใบท่ี 2 ซ่ึงเท่ากบั 1 3 P(B3) คือ ความน่าจะเป็นที่หยบิ บอลมาจากกล่องใบที่ 3 ซ่ึงเทา่ กบั 1 3 P(A/B1) คือ ความน่าจะเป็นที่ไดบ้ อลแดง เม่ือกาํ หนดวา่ หยบิ มาจากกล่องใบท่ี 1 3ซ่ึงเท่ากบั 4 P(A/B2) คือ ความน่าจะเป็นที่ไดบ้ อลแดง เมื่อกาํ หนดวา่ หยบิ มาจากกล่องใบท่ี 2 2ซ่ึงเทา่ กบั 4 P(A/B3) คือ ความน่าจะเป็นท่ีไดบ้ อลแดง เม่ือกาํ หนดวา่ หยบิ มาจากกล่องใบที่ 3 1ซ่ึงเทา่ กบั 4100 สถิติทว่ั ไป

แทนค่าต่าง ๆ ในสูตรจะได้P(B2/A) = 1  2  1  3  4  3  3 2 1 1 1  4   +  4  3  +  4  3           1 = 3 = 0.333ดงั น้นั ความน่าจะเป็ นที่หยบิ บอลมาจากกล่องใบท่ี 2 เมื่อทราบวา่ เป็นบอลแดงเท่ากบั 0.3335.8 เหตุการณ์ทเ่ี ป็ นอสิ ระต่อกนั (Independent Events) สาํ หรับเหตุการณ์ใด ๆ สองเหตุการณ์ ถา้ เหตุการณ์หน่ึงท่ีเกิดข้ึนไม่มผี ลทาํ ใหโ้ อกาสที่อีกเหตุการณ์หน่ึงจะเกิดข้ึนเปล่ียนไป เรียกเหตุการณ์ท้งั สองวา่ เป็นเหตุการณ์ที่เป็ นอิสระต่อกนั นิยามที่ 5.12 เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระกนั กต็ ่อเมื่อ P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) ตวั อย่างท่ี 5.47 ทอดลูกเต๋าเท่ียงตรงหน่ึงลูก 20 คร้ัง จงหาความน่าจะเป็นท่ี 19 คร้ังแรกไม่ขนึ้ หนา้ ส่ีและคร้ังท่ี 20 ข้ึนหนา้ สี่ วธิ ีทาํ ให้ A1 แทนเหตุการณ์ท่ีคร้ังที่ 1 ไม่ขนึ้ หนา้ ส่ี A2 แทนเหตุการณ์ที่คร้ังที่ 2 ไม่ขนึ้ หนา้ สี่  A19 แทนเหตุการณ์ท่ีคร้ังท่ี 19 ไม่ขนึ้ หนา้ สี่ และ A20 แทนเหตุการณ์ที่คร้ังที่ 20 ข้ึนหนา้ สี่ เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าข้ึนหนา้ ตา่ ง ๆ ในการทดลองแต่ละคร้ังเป็นอิสระกนัสถิติทว่ั ไป 101

ดงั น้นั P(A1) , P(A2) ,…, P(A19) เทา่ กบั 5 6เพราะวา่ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } A1, …. , A19 = { 1, 2, 3, 5, 6, } 1ส่วน P(A20) = 6 เพราะวา่ A20 = { 4 }ดงั น้นั P(A1 ∩ A2 ∩ ….. ∩ A20) = P(A1) ⋅ P(A2) …. P(A20) = 519 620 ตัวอย่างที่ 5.48 ความน่าจะเป็ นท่ีนาย ก. จะมีชีวิตอยใู่ นอีก 20 ปี ขา้ งหนา้ เท่ากบั 0.6 และความน่าจะเป็ นที่นาย ข. จะมีชีวติ อยใู่ นอีก 20 ปี ขา้ งหนา้ เทา่ กบั 0.9 จงหาความน่าจะเป็ นท่ีคนท้งั สองจะเสียชีวติ ใน 20 ปี ขา้ งหนา้ วธิ ีทาํ ให้ A แทนเหตุการณ์ท่ี ก. จะเสียชีวติ ใน 20 ปี ขา้ งหนา้ จะได้ P(A) = 1 - 0.6 = 0.4 B แทนเหตุการณ์ที่ ข. จะเสียชีวติ ใน 20 ปี ขา้ งหนา้ จะได้ P(B) = 1 - 0.9 = 0.1 การมีชีวติ หรือเสียชีวติ ของคนท้งั สองไมเ่ กี่ยวขอ้ งกนั ดงั น้นั A และ B เป็นอิสระกนั ความน่าจะเป็นท่ีคนท้ังสองจะเสียชีวติ ใน 20 ปี ขา้ งหนา้ จึงเท่ากบั P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) = (0.4) (0.1) = 0.04ข้อสังเกต จะใชส้ ูตรน้ีไดต้ ้องรู้ก่อนวา่ เหตุการณ์เป็นอิสระกนั102 สถิติทว่ั ไป