บทที่ 4 การวัดการกระจายและการวัดตำแหน่ง (พิสัย ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์)

การวดั การกระจายและการวดั ตาํ แหนง่ 4 Measures of dispersion and position ในการสอบวชิ าเดียวกนั ของนกั ศึกษาสองกลุ่มปรากฏวา่ คะแนนสอบเฉลี่ยท้งั สองกลุ่มเท่ากนั คือ 20 แสดงวา่ นกั ศึกษาสองกลุ่มน้ีมีความสามารถพอๆกนั หรือไม่ คะแนนเฉลี่ยดงั กล่าวอาจจะทาํ ใหเ้ ราเขา้ ใจวา่ นกั ศึกษาสองกลุ่มมีความสามารถหรือเรียนไดพ้ อๆกนั แต่ถา้ เราไปพิจารณาคะแนนของนกั ศึกษาแตล่ ะคน ดงั น้ี คะแนนของนกั ศึกษาแต่ละคนในกลุ่มท่ี 1 เป็นดงั น้ี 20 20 20 20 20 คะแนนของนกั ศึกษาแตล่ ะคนในกลุ่มท่ี 2 เป็นดงั น้ี 19 20 15 18 28 จากขอ้ มูลขา้ งตน้ จะเห็นวา่ นกั ศึกษาสองกลุ่มมีความสามารถแตกตา่ งกนั ดงั น้นั ในการวเิ คราะห์ขอ้ มลู การพิจารณาค่าเฉลี่ยเพียงอยา่ งเดียวไม่เพียงพอในการสรุปลกั ษณะของขอ้ มลู สิ่งท่ีจะตอ้ งพิจารณาควบคู่ไปดว้ ย คือ ความแตกต่างของค่าขอ้ มูล ซ่ึงทางสถิติเรียกวา่ การกระจายของขอ้ มูล พจิ ารณาขอ้ มูลสองชุดต่อไปน้ี ชุดท่ี 1 : 10 90 90 170 ชุดท่ี 2 : 85 90 90 95จากขอ้ มลู สองชุดขา้ งตน้ ขอ้ มลู ชุดท่ี 2 จะมีค่าใกลเ้ คียงกนั มากกวา่ ขอ้ มูลชุดที่ 1 ถา้ ขอ้ มูลชุดใดมีค่าใกลเ้ คียงกนั ในทางสถิติจะกล่าววา่ ขอ้ มลู ชุดน้นั มีการกระจายนอ้ ย ถา้ ขอ้ มลู ชุดใดมีค่าแตกต่างกนั มากกจ็ ะกล่าววา่ ขอ้ มูลชุดน้นั มีการกระจายมาก พิจารณาเส้นโคง้ ความถี่ A กบั B ดงั น้ี f Aสถิติทว่ั ไป B x 49

เส้นโคง้ ความถ่ี B แสดงถึงการกระจายของข้อมูลมากกว่าเส้นโคง้ ความถ่ี Aเนื่องจากขอ้ มลู มีความแตกต่างกนั มากกวา่ การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางท่ีไดก้ ล่าวถึงไปแลว้ ไดแ้ ก่ คา่ เฉลี่ย มธั ยฐาน และฐานนิยม จะบอกเพียงวา่ ศนู ยก์ ลางของคา่ ขอ้ มลู อยทู่ ี่ค่าใด หรือค่าขอ้ มูลส่วนใหญม่ ีคา่ ใกลเ้ คียงค่าใด แตไ่ ม่บอกลกั ษณะความแตกตา่ งของคา่ ขอ้ มลู ดงั น้นั สถิติจึงไดเ้ สนอวธิ ีการวดั การกระจายของขอ้ มลู ข้ึนมา ซ่ึงมีหลายวธิ ีดว้ ยกนั เช่น พสิ ยั ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน4.1 พสิ ัย (Range) พิสัยเป็ นวิธีการวดั กระจายที่คาํ นวณง่ายที่สุดและรวดเร็วที่สุดเหมาะสมกบั ขอ้ มูลที่มีจาํ นวนนอ้ ย นิยามที่ 4.1 พสิ ัย พสิ ัย คือ ผลตา่ งระหวา่ งคา่ สูงสุดและคา่ ต่าํ สุดของขอ้ มูล ตวั อย่างที่ 4.1 จงหาพสิ ยั ของขอ้ มูลต่อไปน้ี (1) 40 38 40 42 (2) 84 85 86 87 405 วธิ ีทาํ (1) พสิ ัย = คา่ สูงสุด – ค่าต่าํ สุด = 42 – 38 =4 (2) พิสยั = 405 – 84 = 321 คา่ พิสัยในขอ้ (2) มีคา่ มากทาํ ใหส้ รุปลกั ษณะของขอ้ มูลไดว้ า่ ขอ้ มลู มีความแตกต่างกนัมาก แต่แทท้ ี่จริงแลว้ ขอ้ มูลส่วนใหญ่ค่าใกลเ้ คียงกนั จากตวั อยา่ งน้ีทาํ ใหไ้ ดข้ อ้ สังเกตวา่50 สถิติทว่ั ไป

ถา้ ขอ้ มูลที่มีคา่ ผิดปกติตรงกบั ค่าสูงสุด หรือค่าต่าํ สุดพอดีจะทาํ ใหค้ ่าพิสัยท่ีคาํ นวณไดม้ ีค่าผิดปกติดว้ ย ซ่ึงส่งผลให้การสรุปลกั ษณะขอ้ มูลผดิ พลาดดว้ ย จึงเป็ นสิ่งท่ีควรระมดั ระวงั4.2 ส่วนเบ่ยี งเบนควอไทล์ (Quartile Deviation) ก่อนจะกล่าวถึงการวดั การกระจายโดยใชส้ ่วนเบ่ียงเบนควอไทลจ์ าํ เป็ นที่จะตอ้ งเขา้ ใจค่าควอไทลเ์ สียก่อนวา่ คืออะไร นิยามท่ี 4.2 ควอไทล์ ควอไทล์ คือ ค่าของขอ้ มลู ที่แบ่งจาํ นวนขอ้ มูลออกเป็น 4 ส่วนเทา่ ๆ กนั เม่ือเรียงลาํ ดบั ขอ้ มลู จากคา่ นอ้ ยไปค่ามากแลว้ ค่าควอไทลจ์ ะมีอยู่ 3 ค่าดว้ ยกนั คือ ควอไทลท์ ่ี 1 ควอไทลท์ ่ี 2 และควอไทลท์ ี่ 3 นิยามที่ 4.3 ควอไทล์ท่ี 1 ควอไทลท์ ี่ 1 (Q1) คือค่าขอ้ มลู ท่ีแสดงใหท้ ราบวา่ มี 1/4 ของขอ้ มลู ท้งั หมดมีค่าต่าํกวา่ หรือเท่ากบั Q1 และอีก 3/4 ของขอ้ มลู ท้งั หมดมีคา่ สูงกวา่ หรือเทา่ กบั Q1 นิยามท่ี 4.4 ควอไทล์ท่ี 2 ควอไทลท์ ี่ 2 (Q2) คือค่าขอ้ มูลที่แสดงใหท้ ราบวา่ มี 2/4 ของขอ้ มลู ท้งั หมดมีคา่ ต่าํกวา่ หรือเทา่ กบั Q2 และอีก 2/4 ของขอ้ มูลท้งั หมดมีค่าสูงกวา่ หรือเทา่ กบั Q2 นิยามท่ี 4.5 ควอไทล์ที่ 3 ควอไทลท์ ่ี 3 (Q3) คือค่าขอ้ มลู ที่แสดงใหท้ ราบวา่ มี 3/4 ของขอ้ มลู ท้งั หมดมีคา่ ต่าํกวา่ หรือเท่ากบั Q3 และอีก 1/4 ของขอ้ มลู ท้งั หมดมีค่าสูงกวา่ หรือเทา่ กบั Q3สถิติทวั่ ไป 51

กรณีขอ้ มูลแจกแจงความถ่ี ตาํ แหน่งของ Q1 เท่ากบั N ตาํ แหน่งของ Q2 เท่ากบั N และ 4 2 3Nตาํ แหน่งของ Q3 เท่ากบั 4คา่ ท่ีแสดงตาํ แหน่งของขอ้ มูลอีก 2 ชนิดคือ เดไซล์ (deciles) และเปอร์เซ็นตไ์ ทล์(percentiles) โดยที่เดไซลจ์ ะแบ่งขอ้ มูลออกเป็ น 10 ส่วนเท่า ๆ กนั ค่าเดไซล์จะมีอยู่ 9ค่าดว้ ยกนั คือ D1, D2, ..., D9 ส่วนเปอร์เซ็นตไ์ ทลจ์ ะแบ่งขอ้ มลู ออกเป็น 100 ส่วนเทา่ ๆกนั คา่ เปอร์เซ็นตไ์ ทลจ์ ะมีอยู่ 99 คา่ ดว้ ยกนั คือ P1, P2, P3, …, P99นิยามท่ี 4.6 ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ส่วนเบ่ียงเบนควอไทลเ์ ป็ นค่าท่ีไดจ้ ากผลต่างระหวา่ งควอไทลท์ ่ี 3 (Q3) กบั ควอไทล์ที่ 1 (Q1) แลว้ หาร ดว้ ยสองซ่ึงมีสูตรดงั น้ี Q.D. = Q3 − Q1 2การหาค่า Q1 กบั Q3 มีสูตรการคาํ นวณคลา้ ยกบั สูตรการคาํ นวณคา่ มธั ยฐานตวั อย่างที่ 4.2จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอไทลข์ องขอ้ มลู ต่อไปน้ี คะแนน 48-52 53-57 58-62 63-67 68-72 73-77 78-82 83-87 88-92 93-97 ความถ่ี 2 2 2 4 5 7 4 7 9 8วธิ ีทาํX 48-52 53-57 58-62 63-67 68-72 73-77 78-82 83-87 88-92 93-97f 2 2 2 4 5f 7 4 7 9f 8F 2 4 6 10 15 22 26 33 42 5052 สถิติทว่ั ไป

F ช้ัน Q1 F ช้นั Q3การหา Q1 N 4ตาํ แหน่งของ Q1 = = 50 = 12.5 4Q1 ตกอยชู่ ้นั ที่ 5 Lo = 67.5 i = 5 F = 10 f = 5จากสูตร Q1 = Lo + i  N − F   f   4    แทนคา่ Q1 = 67.5 + 5 12.5 − 10  5  = 70การหา Q3ตาํ แหน่งของ Q3 = 3N = (3)(50) 4 = 37.5 4Q3 ตกอยชู่ ้นั ที่ 9 Lo = 87.5 i = 5 F = 33 f = 9จากสูตร Q3 = Lo + i  3N − F   4 f      แทนคา่ Q3 = 87.5 + 5 37.5 − 33  9  = 90สถิติทว่ั ไป 53

จากสูตร QD = Q3 − Q1แทนคา่ 2 = 90 − 70 2 = 10ดงั น้นั ส่วนเบี่ยงเบนควอไทลเ์ ทา่ กบั 1054 สถิติทวั่ ไป