Εξίσωση Ευθείας

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π Blog: https://papageorgiouxristoforos.blogspot.gr Email : [email protected]

Τάμε B΄ Γεληθνύ Λπθείνπ Μαζεκαηηθά Οκάδαο Πξνζαλαηνιηζκνύ Φύιιν εξγαζίαο – Εμίζσζε Επζείαο Έθδνζε 1εΗ ζπιινγή απηή δηαλέκεηαη δσξεάλ ζε ςεθηαθή κνξθή κέζσ δηαδηθηύνπ πξννξίδεηαη γηα νπνηαδήπνηε εθπαηδεπηηθή ρξήζε θαη είλαη ειεύζεξε γηα αμηνπνίεζε αξθεί λα κελ αιιάμεη ε κνξθή ηεο Παπαγεσξγίνπ Χξηζηόθνξνο - Μαζεκαηηθόο Πξέβεδα - Δεθέκβξεο 2017 blog: https://papageorgiouxristoforos.blogspot.gr email: [email protected]

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -1. Δμίζσζε επζείαο ΘΕΩΡΙΑ 1/ ΘΤΜΑΜΑΙ Όηαλ ζε κηα άζθεζε καο δεηεζεί λα εμεηάζνπκε όηη έλα ζεκείν επαιεζεύεη ηελ επζεία ηόηε πξέπεη λα ηνπνζεηήζνπκε ηηο ζπληεηαγκέλεο πνπ καο δίλεη ζηελ εμίζσζε ηεο επζεία θαη λα δνύκε αλ ηελ επαιεζεύεη Όηαλ καο δεηεζεί λα βξνύκε ηα ζεκεία ηνκήο κε ηνπο άμνλεο , γηα λα ηέκλεη ηνλ άμνλαζέηνπκε ζηελ εμίζσζε ηεο επζείαο θαη γηα λα ηέκλεη ηνλ άμνλα ζέηνπκε ζηελεμίζσζε ηεο επζείαο . Γηα λα βξνύκε ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο (ζπκβνιίδεηαη κε ι , ,σ ε γσλία πνπζρεκαηίδεη ε επζεία κε ηνλ άμνλα ) κηαο επζείαο ε νπνία δηέξρεηαη από 2 γλσζηά ζεκεία( ) ( ) ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ εμήο ηύπν : Όηαλ γλσξίδνπκε έλα ζεκείν ( ) από ην νπνίν δηέξρεηαη ε επζεία θαη ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ηεο επζείαο ηόηε κπνξνύκε λα βξνύκε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο από ηνλ ηύπν : ()* αλ ε επζεία είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα έρεη εμίζσζε αλ ε επζεία είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα έρεη εμίζσζε Όηαλ γλσξίδνπκε δπν ζεκεία ( ) ( ) κπνξνύκε λα βξνύκε ηελ επζεία σο εμήο :αλ βξίζθνπκε ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο θαη δηαιέγνπκε έλα από ηα δπν ζεκείαόπνην ζέινπκε θαη βξίζθνπκε ηελ επζεία ,αλ όκσο ηόηε ε επζεία έρεη ηελ κνξθή Όηαλ ζε κηα άζθεζε καο δεηεζεί ή καο δίλεη όηη 2 επζείεο είλαη θάζεηεο αλ δπν επζείεο είλαη παξάιιειεο : ηα ίδηα αθξηβώο ηζρύνπλ θαη αλ ε επζεία είλαη θάζεηε κε έλα δηάλπζκα ή παξάιιειε ⃑⃑ ⃑⃑ Όηαλ ζε κηα άζθεζε δεηεζεί λα βξεζεί ε κεζνθάζεηνο ελόο επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ θάλσ ηα εμήο :βξίζθνπκε ην κέζν ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ζπλήζσο ( )ρξεζηκνπνηώ ηελ θαζεηόηεηα γηα λα βξσ ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ηεο κεζνθαζέηνπ θαη ηέινο βξίζθσ ηελ επζεία από ηνλ ηύπν ηεο Γηα λα βξσ ηα θνηλά ζεκεία δπν επζεηώλ ιύλνπκε ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ ηνπο Αλ ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηόηε νη επζείεο έρνπλ έλα θνηλό ζεκείν Αλ ην ζύζηεκα έρεη άπεηξεο ιύζεηο , ηόηε νη επζείεο ηαπηίδνληαη Αλ ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην ηόηε νη επζείεο δελ έρνπλ θνηλά ζεκείαΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 1

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 1.Έζησ σ ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία ε κε ηνλ άμνλα . Να βξείηε ηνλ ζπληειεζηήδηεύζπλζεο ηεο επζείαο ε ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο :α) β) γ)δ) ε) ζη) )) √ ) Απαντήσεις : √ ) ) √)Άσκηση 2.Έζησ ι ν ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο κηαο επζείαο ε λα βξείηε ηελ γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία ε κεηνλ άμνλα ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο :α) ι δελ νξίδεηαη β) γ) √ Απαντήσεις : )) )Άσκηση 3.Έζησ όηη ε επζεία ε είλαη παξάιιειε κε ην δηάλπζκα ⃗ .Να βξείηε ην ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ηεοεπζείαο ε θαζώο θαη ην είδνο ηεο γσλίαο ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο :α) ⃗ ( ) β) ⃗ ( ) γ) ⃗ ( ) Απαντήσεις : ) ))Άσκηση 4.(Σχ.Βιβλίο Αζκ1.Α΄Ομάδας ζελ 64.) Απαντήσεις :Να βξείηε ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο :α) Σεο επζείαο , ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) ))β) Σεο επζείαο , ε νπνία ηέκλεη ηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία ( ) θαη ( )γ) Σεο επζείαο , ε νπνία δηέξρεηαη από ην θαη είλαη θάζεηε ζηελ )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 2

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 5.(Σχ.Βιβλίο Αζκ2.Α΄Ομάδας ζελ 64.)Να βξείηε ηελ γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ κε ηνλ άμνλα νη επζείεο πνπ δηέξρνληαη από ηα ζεκεία :α) ( ) () β) ( ) ( ) γ) ( ) ( )δ) ( ) () Απαντήσεις : ) )))Άσκηση 6.Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε ( ) ( ) ( ) , λα βξείηε ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο :α) Σεο πιεπξάο ΒΓ β) Σεο δηακέζνπ ΒΜ γ) Σεο επζείαο ε πνπ είλαηδ) Σνπ ύςνπο ΑΓ παξάιιειε ζηελ ΒΓ Απαντήσεις : )) ))Άσκηση 7.Να βξείηε ηελ γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ κε ηνλ άμνλα νη επζείεο πνπ δηέξρνληαη από ηα ζεκεία :α) ( √ ) ( ) β) ( ) ( ) γ) ( ) () Απαντήσεις : ) ))Άσκηση 8.(Σχ.Βιβλίο Αζκ3.Α΄Ομάδας ζελ 64.)Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ( ) θαη είλαη :α) Παξάιιειε πξνο ην δηάλπζκα ⃗ ( )β) Παξάιιειε πξνο ην δηάλπζκα ⃗ ( )γ) ΢ρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα γσλία Απαντήσεις : ) ))ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 3

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 9.Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ( ) θαη είλαη :α) Παξάιιειε πξνο ην δηάλπζκα ⃗ ( )β) Κάζεηε πξνο ην δηάλπζκα ⃗ ( ) Απαντήσεις : ))Άσκηση 10.Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ( ) θαη είλαη :α) Παξάιιειε πξνο ην δηάλπζκα ⃗ ( )β) Κάζεηε πξνο ην δηάλπζκα ⃗ ( ) Απαντήσεις : ))Άσκηση 11.Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ( ) θαη είλαη :α) Παξάιιειε πξνο ην δηάλπζκα ⃗ ( )β) Κάζεηε πξνο ην δηάλπζκα ⃗ ( ) Απαντήσεις : ))Άσκηση 12.Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ( ) θαη είλαη :α) παξάιιειε ζηελ επζεία β) θάζεηε ζηελ επζεία γ) ζρεκαηίδεη γσλία κε ηνλ άμνλαδ) παξάιιειε ζηνλ άμνλα ε) παξάιιειε ζηνλ άμνλα )) Απαντήσεις : ) ))Άσκηση 13.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) λα βξείηε ηελ κεζνθάζεην ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ. Απαντήσεις :ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 4

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 14.Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ( ) θαη είλαη :α) παξάιιειε ζηελ επζείαβ) θάζεηε ζηελ επζείαγ) ζρεκαηίδεη γσλία κε ηνλ άμνλαδ) θάζεηε ζην ⃗ ( )ε) παξάιιειε ζην ⃑⃑⃗ ( ) ) Απαντήσεις : ) ) ))Άσκηση 15.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) ( ) ( ) κε .Αλ ε επζεία ΒΓ έρεηζπληειεζηή δηεύζπλζεο -5 λα βξείηε :α) Σνλ αξηζκόβ) Σελ εμίζσζε ηεο επζείαογ) Σελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία ΒΓδ) Σελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Β θαη είλαη θάζεηε ζηελ ΑΓ. Απαντήσεις : )) ) )Άσκηση 16. ) θαη από ην ζεκείν ηνκήο Απαντήσεις :Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (ησλ επζεηώλ :Άσκηση 17. ) θαη από ην ζεκείν Απαντήσεις :Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν (ηνκήο ησλ επζεηώλ :ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 5

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 18.Θεσξνύκε ηελ επζεία ε πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) λα βξείηε:α) Σελ εμίζσζε ηεο επζείαοβ) Σα ζεκεία ηνκήο ηεο κε ηνπο άμνλεογ) Σελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ ε θαη δηέξρεηαη από ην ( )δ) Σελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη θάζεηε ζηελ ε θαη δηέξρεηαη από ην ( )ε) Σν ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ θαη Απαντήσεις : ) )( ) ( ) ) ) )( )Άσκηση 19. αληίζηνηραΓίλεηαη ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ , κε ( ) θαη ( )α) Σε κεζνθάζεην ε ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ Απαντήσεις :β) Σα ζεκεία ηνκήο Γ θαη Γ ηεο επζείαο ε κε ηνπο άμνλεο θαηγ) Σν ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ ΑΓ θαη ΒΓ . )( )( )) )Άσκηση 20.Να απνδείμεηε όηη νη επζείεο θαη δηέξρνληαη απόην ίδην ζεκείν . Απαντήσεις : ()Άσκηση 21.Γίλεηαη ε επζεία , λα βξείηε :α) ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο δ πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ ε θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν ( )β) ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε πνπ είλαη θάζεηε ζηελ ε θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν ( )γ) ην ζεκείν ηνκήο ησλ παξαπάλσ επζεηώλ δ θαη ε Απαντήσεις : ) ) )( )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 6

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 22.Οη επζείεο : () θαη ( ) είλαη παξάιιειεο λαβξείηε :α) ηνλ αξηζκό αβ) ηα ζεκεία ηνκήο ησλ θαη κε ηνπο άμνλεο Απαντήσεις : )) () () () ()Άσκηση 23.Οη επζείεο : θαη ( ) είλαη θάζεηεο λα βξείηε :α) ηνλ αξηζκό θβ) ην ζεκείν ηνκήο Α ησλ θαηγ) ηνλ αξηζκό α , ώζηε ε επζεία λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α. Απαντήσεις : ) )( ) )Άσκηση 24.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) θαη έζησ ε ε κεζνθάζεηνο ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνοΑΒ .Να βξείηε :α) ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο εβ) ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία ε κε ηνπο άμνλεο . Απαντήσεις : ))Άσκηση 25.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) λα βξείηε :α) ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε πνπ δηέξρεηαη από ηα Α θαη Ββ) γηα πνηα ηηκή ηνπ ε επζεία ε δηέξρεηαη από ην ζεκείν ( ) Απαντήσεις : ))ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 7

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 26.Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν ( ) θαη από ην ζεκείνηνκείο ηεο επζείαο κε ηνλ αμνλα .Μεηά λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ , ώζηε ην ζεκείν ( ) λα αλήθεη ζηελ ε Απαντήσεις : ))Άσκηση 27.Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) . Γηα πνηαηηκή ηνπ ε επζεία απηή δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . Απαντήσεις :Άσκηση 28.Θεσξνύκε ηελ επζεία θαη ην δηάλπζκα ⃗ ( ) κε .Η επζεία ε είλαηθάζεηε ζην δηάλπζκα ⃗ .α) Να βξείηε ηνλ αξηζκό θβ) Σν ζεκείν ( ) , κε αλήθεη ζηελ επζεία ε λα βξείηε :i. Σνλ αξηζκόii. Σελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην Α θαη είλαη παξάιιειε ζηελ ε Απαντήσεις : ) )) )Άσκηση 29.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) , κε . Η επζεία δηέξρεηαηαπό ην κέζν ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ . Να βξείηε :α) Σνλ αξηζκό ιβ) Σα ζεκεία ηνκήο ηεο επζείαο ΑΒ κε ηνπο άμνλεογ) Σν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία ΑΒ κε ηνπο άμνλεο . Απαντήσεις : ) )( ) ( ) )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 8

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 30.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) κε .Αλ ην επζύγξακκν ηκήκαέρεη κέζν ην ζεκείν ( ) ηνηε :Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ θαηΆσκηση 31.(Σχ.Βιβλίο Αζκ4.Α΄Ομάδας ζελ 64.) ) .Να βξείηε : Απαντήσεις :Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ( ) ( ) θαη (α) ηηο εμηζώζεηο ησλ πςώλ ηνπ )β) ηηο εμηζώζεηο ησλ κεζνθαζέησλ ησλ πιεπξώλ Απαντήσεις :Άσκηση 32. )Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ( ) ( ) θαη ( )α) ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ) .Να βξείηε :β) ηελ εμίζσζε ηνπ ύςνπο ΒΓ Απαντήσεις :γ) ηελ εμίζσζε ηεο δηακέζνπ ΑΜδ) ηελ εμίζσζε ηεο κεζνθαζέηνπ ηεο πιεπξάο ΑΒ ) ) ))Άσκηση 33.(Σχ.Βιβλίο Αζκ5.Α΄Ομάδας ζελ 64.)Να δείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν κε θνξπθέο ( ) ( ) ( ) ( ) , είλαη Απαντήσεις :ξόκβνο . Πνηεο είλαη νη εμηζώζεηο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ;ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 9

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 34.Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε ( ) , ελώ ε πιεπξά βξίζθεηαη πάλσ ζηελ επζεία : θαη ηνύςνο βξίζθεηαη πάλσ ζηελ επζεία : . Να βξείηε :α) ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Γβ) ηελ εμίζσζε ηεο πιεπξάο ΑΓγ) ηελ εμίζσζε ηεο πιεπξάο ΑΒδ) ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Βε) ηελ εμίζσζε ηεο δηάκεζνπ ΒΜζη) ηελ εμίζσζε ηεο κεζνθαζέηνπ ηεο πιεπξάο ΒΓ. Απαντήσεις : )( )) ) ) ( )) )Άσκηση 35. ) , ελώ ε δηάκεζνο ηνπ ΒΜ βξίζθεηαη πάλσ ζηελ επζεία :Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε ( θαη ην ύςνο ηνπ ΓΓ βξίζθεηαη πάλσ ζηελ επζεία .Να βξείηε :α) ηελ εμίζσζε ηεο πιεπξάο ΑΒβ) ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Βγ) ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Γ Απαντήσεις : ) )( )) ( )Άσκηση 36.Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ , κε ( ) , ηνπ νπνίνπ νη δηάκεζνη ΒΜ θαη ΓΝ βξίζθνληαη πάλσ ζηηο αληίζηνηρα .Να βξείηε :επζείεο : θαηα) ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ Β θαη Γβ) ηηο εμηζώζεηο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ Απαντήσεις : )( ) ( ))ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 10

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 37.(Σχ.Βιβλίο Αζκ8.Α΄Ομάδας ζελ 64.)Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) ( ) ( ).Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπδηέξρεηαη από ηελ θνξπθή Α θαη ην θέληξν βάξνπο G ηνπ ηξηγώλνπ Απαντήσεις :Άσκηση 38. θαη Απαντήσεις :Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ ε πνπ είλαη παξάιιειεο ζηελ επζείαζρεκαηίδνπλ κε ηνπο άμνλεο ηξίγσλν κε εκβαδόλ 16 η.κ.Άσκηση 39.(Σχ.Βιβλίο Αζκ6.Β΄Ομάδας ζελ 65.)Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία : θαη ηέκλεηηνπο άμνλεο θαη ζηα ζεκεία Α θαη Β , ώζηε ην άζξνηζκα ηεο ηεηκεκέλεο ηνπ Α θαη ηνπ Β ,λα είλαη ίζν κε 15 . Απαντήσεις :Άσκηση 40. (Τράπεζα θεμάηων )΢ε παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ νη πιεπξέο ηνπ ΑΒ θαη ΑΓ βξίζθνληαη πάλσ ζηηο επζείεο κε εμηζώζεηοε1 : 2x  y  2  0 θαη ε2 : x  2y  6  0 αληίζηνηρα. Αλ ην θέληξν ηνπ είλαη ην ζεκείν Κ(1,2),ηόηε:α) λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Α θαη λα απνδείμεηε όηη Γ(0,6).β) λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο πιεπξάο ΓΓ θαη ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Γ. Απαντήσεις : )( )) ( )Άσκηση 41.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) ( ) .Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε ε νπνία είλαηθάζεηε ζην δηάλπζκα ⃑⃑⃑⃑⃑⃗ θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηξίγσλν κε εκβαδόλ 12 η.κ. Απαντήσεις :ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 11

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 42.(Σχ.Βιβλίο Αζκ1.Β΄Ομάδας ζελ 65.) ) θαη ζρεκαηίδνπλ κε Απαντήσεις :Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ , πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν (ηνπο άμνλεο ηζνζθειέο ηξίγσλν .Άσκηση 43.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( )( ) , κε .Να απνδείμεηε όηη ην κέζν Απαντήσεις :ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ θηλείηαη ζε επζεία .Άσκηση 44.Να βξείηε ηελ επζεία ε πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν ( ) θαη ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηξίγσλνκε εκβαδόλ 4 η.κ. Απαντήσεις :Άσκηση 45. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ηα ζεκεία Α(3,1) , Β(−1,1) θαη Γ(2,4) .α) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο πιεπξάο ΑΓ .β) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ηνπ ύςνπο ΒΓ θαη ηεο δηακέζνπ ΑΜ. Απαντήσεις : ))Άσκηση 46.Γίλεηαη ε επζεία θαη ην ζεκείν ( ) .Να βξείηε ηελ επζεία δ , ε νπνία δηέξρεηαηαπό ην ζεκείν θαη ηέκλεη ηελ ε ζε ζεκείν Α , πνπ απέρεη απόζηαζε 5 από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ . Απαντήσεις :ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 12

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 47. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(2, 3), Β(-1, 5) θαη Γ(-2, -4). Απαντήσεις :α) Να απνδείμεηε όηη ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν.β) Να βξείηε ην ζπκκεηξηθό Γ ηνπ Β σο πξνο ην κέζν Μ ηεο ΑΓ )( ))γ) Ση ζρήκα είλαη ην ΑΒΓΓ; Να αηηηνινγήζεηε ηνλ ηζρπξηζκό ζαο )Άσκηση 48.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) κεα) Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Α θηλείηαη ζε επζεία ε θαη ην ζεκείν Β θηλείηαη ζε επζεία δβ) Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ ε θαη δ Απαντήσεις : ) )( )Άσκηση 49. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(1,2) θαη Β(5,6) .α) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α θαη B .β) Να απνδείμεηε όηη ε κεζνθάζεηνο ε ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ έρεη εμίζσζε ηελ Απαντήσεις : )Άσκηση 50. (Τράπεζα θεμάηων )Θεσξνύκε ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ κε κέζν Μ θαη Α(1, −2) , Μ(−2, 5) .α) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Β .β) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο κεζνθαζέηνπ ε ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ , θαζώο θαη ηα θνηλάζεκεία απηήο κε ηνπο άμνλεο θαη Απαντήσεις : )( )) () ()ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 13

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -2. Γεληθή κνξθή εμίζσζε επζείαο ΘΕΩΡΙΑ 2/ ΘΤΜΑΜΑΙ Κάζε επζεία ηνπ επηπέδνπ έρεη εμίζσζε ηεο κνξθήο :θαη αληηζηξόθσο , θάζε εμίζσζε ηεο παξαπάλσ κνξθήο παξηζηάλεη επζεία γξακκή . Η εμίζσζε :i. Παξηζηάλεη επζεία , αλ θαη κνλό αλii. Γελ παξηζηάλεη επζεία , αλ θαη κόλν αλ Αλ , ηνηε ε επζεία έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο : Η εμίζσζε , παξηζηάλεη επζεία : i. Παξάιιειε ζηνλ άμνλα αλ θαη κόλν αλ ii. Παξάιιειε ζηνλ άμνλα αλ θαη κόλν αλ Αλ ζηελ άζθεζε δεηεζεί λα βξνύκε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε εμίζσζε παξηζηάλεη επζείαθάλσ ηα εμήο : 1. Φέξλσ ηελ εμίζσζε ζηελ κνξθή ( ) ( ) , αλ δελ είλαη 2. Βξίζθσ ηηο θνηλέο ιύζεηο ησλ ( ) () 3. Γηα ηηο ηηκέο πνπ βξήθα παξαπάλσ δελ παξηζηάλεη επζεία , νπόηε γηα ηηο ππόινηπεο ηηκέο παξηζηάλεη επζεία . Αλ ζηελ άζθεζε δεηεζεί κηα παξακεηξηθή εμίζσζε παξηζηάλεη επζείεο πνπ δηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν θάλσ ηα εμήο : 1. Σνπνζεηώ δπν ηπραίεο ηηκέο ζηελ παξάκεηξν 2. Πξνθύπηνπλ 2 επζείεο από ηηο νπνίεο βξίζθσ ην ζεκείν ηνκήο ηνπο 3. Διέγρσ αλ ην ζεκείν ηνκήο επαιεζεύνπλ ηελ παξακεηξηθή εμίζσζε γηα θάζε ηηκή ηεο παξακέηξνπ . Αλ ζηελ άζθεζε δεηεζεί λα βξνύκε ηελ ζρεηηθή ζέζε 2 επζεηώλ ηόηε ιύλσ ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ ηνπο θαη:  Αλ ην παξαπάλσ ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηόηε νη επζείεο ηέκλνληαη  Αλ ην παξαπάλσ ζύζηεκα είλαη αδύλαην , ηόηε νη επζείεο δελ έρνπλ θνηλά ζεκεία , επνκέλσο είλαη παξάιιειεο  Αλ ην παξαπάλσ ζύζηεκα έρεη άπεηξεο ιύζεηο , ηόηε νη επζείεο ηαπηίδνληαη*Αλ είλαη παξακεηξηθέο νη εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ γηα λα βξσ ηελ ζρεηηθή ηνπο ζέζε , ηόηε γηα λαιύζσ ην ζύζηεκα ρξεζηκνπνηώ νξίδνπζεοΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 14

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 51.Γίλεηαη ε επζεία . Να βξείηε :α) ηελ επζεία πνπ είλαη θάζεηε ζηελ θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν ( )β) Σν ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ θαη Απαντήσεις : ) )( )Άσκηση 52.Γίλεηαη ε επζεία . Να βξείηε :α) ηελ επζεία πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν ( )β) Σν ζεκείν ηνκήο ηεο επζείαο κε ηνπο άμνλεο . Απαντήσεις : ) ) () ()Άσκηση 53.(Σχ.Βιβλίο Αζκ1.Α΄Ομάδας ζελ 69.) παξηζηάλεη επζεία , πόηε πξνο ηνλ θαη πόηεΝα απνδείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ηνπ ε εμίζσζε ( )γξακκή .Πόηε ε επζεία απηή είλαη παξάιιειε πξνο ηνλ άμνλα Απαντήσεις :δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ .Άσκηση 54.Γίλεηαη ε εμίζσζε : ( )( ) , λα βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε εμίζσζε : Απαντήσεις :α) παξηζηάλεη επζεία ) )))β) παξηζηάλεη επζεία παξάιιειε ζηνλ άμνλαγ) παξηζηάλεη επζεία παξάιιειε ζηνλ άμνλαδ) παξηζηάλεη επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ .ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 15

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 55.(Σχ.Βιβλίο Αζκ2.Α΄Ομάδας ζελ 69.)Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν ( ) θαη είλαη θάζεηε ζηελεπζεία . Πνην είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ δπν επζεηώλ ; Απαντήσεις : ()Άσκηση 56.Γίλεηαη ε επζεία ( ) . Να βξείηε γηα πνηα ηηκή ηνπ ε επζεία ε:α) είλαη παξάιιειε ζηελ επζείαβ) είλαη θάζεηε ζηελ επζείαγ) ζρεκαηίδεη γσλία κε ηνλ άμνλαδ) δηέξρεηαη από ην ζεκείν ( ) Απαντήσεις : ) )))Άσκηση 57.(Σχ.Βιβλίο Αζκ3.Α΄Ομάδας ζελ 69.)Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ θαη θαη είλαη θάζεηε ζηελ επζεία Απαντήσεις :Άσκηση 58.Γίλεηαη ε εμίζσζε ( ) ( ) , λα απνδείμεηε όηη :α) ε εμίζσζε παξηζηάλεη επζεία γηα θάζεβ) όιεο νη επζείεο πνπ παξηζηάλεη ε παξαπάλσ εμίζσζε γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ δηέξρνληαηαπό ην ίδην ζεκείν ην νπνίν θαη λα βξείηε Απαντήσεις : ) ()ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 16

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 59. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλνληαη νη παξάιιειεο επζείεο 1 : x 2 y8  0 , 2 : 2x  4y 10  0 θαη ην ζεκείν Α ηεο 1 πνπέρεη ηεηκεκέλε ην 4 .α) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Αβ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α θαηείλαη θάζεηε ζηελ επζεία 1γ) Αλ Β είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ 1 θαη 2 , ηόηε λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ Β . Απαντήσεις : )( ) ) )( )Άσκηση 60. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x8 y16  0 θαη 2 : 2x  y 15  0 νη νπνίεο ηέκλνληαη ζην ζεκείν Μ.Αλ νη επζείεο 1 θαη 2 ηέκλνπλ ηνλ άμνλα y ' y ζηα ζεκεία Α θαη B αληίζηνηρα, ηόηε:α) λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ Μ, A θαη Bβ) αλ Κ είλαη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ , λα βξείηε ηνλ ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ηνπδηαλύζκαηνο⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ Απαντήσεις : )( ) ( ) ( ) ) ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗Άσκηση 61. )( )Γίλεηαη ε εμίζσζε : (α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ε εμίζσζε παξηζηάλεη επζείαβ) Να απνδείμεηε όηη όιεο νη επζείεο πνπ παξηζηάλεη ε παξαπάλσ εμίζσζε γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέοηνπ δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν , ην νπνίν θαη λα βξείηεγ) Να βξείηε ην , ώζηε ε επζεία ε πνπ έρεη ηελ παξαπάλσ εμίζσζε λα είλαη παξάιιειε ζηελεπζεία Απαντήσεις : ) ( ))ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 17

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 62. (Τράπεζα θεμάηων )Θεσξνύκε ηηο εμηζώζεηο ελ : (λ 1)x  (λ  2)y  λ  3  0 , ιIRα) Να απνδείμεηε όηη θαζεκηά από ηηο ελ  παξηζηάλεη επζεία θαη θαηόπηλ όηη όιεο νη επζείεοδηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν.β) Έζησ λ  1 θαη λ  2 . Αλ ε ελ  ηέκλεη ηνπο άμνλεο x΄x θαη y΄y ζηα ζεκεία Α(α,0) θαη Β(0,β)αληίζηνηρα, ηόηε:i. λα εθθξάζεηε ηα α, β ζπλαξηήζεη ηνπ ι.ii. λα βξείηε ηελ επζεία ηεο παξαπάλσ κνξθήο ώζηε λα ηζρύεη 1  1  2. α2 β2 Απαντήσεις : ) ( ) )) )Άσκηση 63.Γίλεηαη ε εμίζσζε : ( )α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ε εμίζσζε παξηζηάλεη επζείαβ) Να απνδείμεηε όηη όιεο νη επζείεο πνπ παξηζηάλεη ε παξαπάλσ εμίζσζε γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέοηνπ δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν , ην νπνίν θαη λα βξείηεγ) Να βξείηε ην , ώζηε ε επζεία ε πνπ έρεη ηελ παξαπάλσ εμίζσζε λα είλαη θάζεηε ζηελεπζεία Απαντήσεις : ) ( ))Άσκηση 64.Γίλεηαη ε εμίζσζε ( )( ) ,α) λα βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε εμίζσζε παξηζηάλεη επζείαβ) Έζησ ε κηα επζεία πνπ έρεη εμίζσζε ηελ παξαπάλσ θαη δηέξρεηαη από ην ( ) , λα βξείηε : i. Σνλ αξηζκό ιii. Σελ επζεία πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ ε θαη δηέξρεηαη από ην ( )iii. Σελ επζεία πνπ είλαη θάζεηε ζηελ ε θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν ( ) Απαντήσεις : ) )) ) )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 18

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 65.(Σχ.Βιβλίο Αζκ2.B΄ Ομάδας ζελ 70.)Να απνδείμεηε όηη όιεο νη επζείεο ηεο κνξθήο ( )( )( )δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν . Απαντήσεις : ()Άσκηση 66.(Σχ.Βιβλίο Αζκ3.B΄ Ομάδας ζελ 70.)Να απνδείμεηε όηη νη επζείεο δηέξρνληαη από ηνίδην ζεκείν . Απαντήσεις : ()Άσκηση 67.Γίλνληαη νη επζείεο : () θαη ( )Να βξείηε ηελ ζρεηηθή ζέζε ησλ επζεηώλ θαη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ Απαντήσεις :Άσκηση 68.Γίλνληαη νη επζείεο : () θαη ( )α) Να βξείηε γηα πνηέο ηηκέο ηνπ νη επζείεο θαη έρνπλ κνλαδηθό θνηλό ζεκείνβ) Να βξείηε ην ι , ώζηε ε επζεία : , λα δηέξρεηαη από ην θνηλό ζεκείν ησλθαη Απαντήσεις : ))Άσκηση 69.Γίλνληαη νη επζείεο : () θαη ( ) ( )α) Να απνδείμεηε όηη νη επζείεο θαη έρνπλ κνλαδηθό θνηλό ζεκείν γηα θάζεβ) Να απνδείμεηε όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ , ην ζεκείν ηνκήο Μ ησλ θαη θηλείηαηπάλσ ζε επζεία . Απαντήσεις : )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 19

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ - ΘΕΩΡΙΑ 3/ ΘΤΜΑΜΑΙ Η επζεία κε εμίζσζε είλαη :α) παξάιιειε ζην δηάλπζκα ⃗ ( )β) θάζεηε ζην δηάλπζκα ⃗ ( ) Όηαλ ζε κηα άζθεζε δεηεζεί λα βξνύκε ηελ παξάκεηξν γηα ηελ νπνία :1. Θεσξνύκε δηαλύζκαηα ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗2. Αλ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗Αλ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ (⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗) Όηαλ ζε κηα άζθεζε δεηεζεί λα βξνύκε ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο :1. Θεσξνύκε δηαλύζκαηα ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗2. Βξίζθνπκε ηελ γσλία (⃑⃑⃑̂⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗) ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ ηύπν : (⃑⃑⃑̂⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗) ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ |⃑⃑⃑⃑⃗| |⃑⃑⃑⃑⃗|3. Αλ (⃑⃑⃑̂⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗) ηόηε θαη (⃑⃑⃑̂⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗) , ελώ αλ (⃑⃑⃑̂⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗) ηόηε θαη (⃑⃑⃑̂⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗) Όηαλ ζε κηα άζθεζε δεηεζεί λα δείμσ όηη ε εμίζσζε πνπ ζα κνπ δίλεηαη παξηζηάλεη 2 επζείεο θάλσ ηα εμήο :  Θεσξώ ηελ δνζκέλε εμίζσζε σο έλα ηξηώλπκν κε άγλσζην ηνλ (ή ηνλ ) ιύλσ ηελ εμίζσζε θαη βξίζθσ 2 ζρέζεηο αλάκεζα ζηα θαη , νη νπνίεο είλαη νη εμηζώζεηο ησλ δεηνύκελσλ επζεηώλ .Άσκηση 70. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλνληαη νη επζείεο 1 : x 3 y 5  0 θαη 2 : 3x  y  5  0α) Να απνδείμεηε όηη νη επζείεο 1 θαη 2 είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνποβ) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο Α ησλ επζεηώλ 1 θαη 2γ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α θαη ηελ αξρή Ο ησλ αμόλσλ Απαντήσεις : )( ))Άσκηση 71. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλνληαη νη επζείεο 1 :8x  y  28  0 θαη 2 : x  y 1  0 νη νπνίεο ηέκλνληαη ζην ζεκείν Μ.α) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Μ θαη, ζηε ζπλέρεηα, λα βξείηε ηελεμίζσζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ην Μ θαη είλαη θάζεηε ζηνλ άμνλα x ' xβ) Να απνδείμεηε όηη νη επζείεο πνπ δηέξρνληαη από ην Μ θαη έρνπλ ζπληειεζηήδηεύζπλζεο ι έρνπλ εμίζσζε ηελ: x  y  3  4  0 , όπνπ   R Απαντήσεις : ))ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 20

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 72. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3x  y  3  0 θαη 2 : x 2 y 4  0α) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο Α ησλ επζεηώλ 1 θαη 2β) Αλ ε επζεία 1 ηέκλεη ηνλ άμνλα y ' y ζην ζεκείν Β θαη ε επζεία 2 ηέκλεη ηνλάμνλα x ' x ζην ζεκείν Γ , ηόηε:i) λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ Β θαη Γ .ii) λα απνδείμεηε όηη ε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Β θαη Γ έρεη εμίζσζε ηελ 3x  4 y 12  0 Απαντήσεις : ) ( ) )) ( ) )Άσκηση 73.Γίλνληαη νη επζείεο ( ) θαη ( )α) Να απνδείμεηε όηη νη επζείεο θαη ηέκλνληαη γηα θάζεβ) Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ θαη Απαντήσεις : ) )( )Άσκηση 74.Γίλνληαη νη επζείεο ( ) θαη ( ) , νη νπνίεοείλαη παξάιιειεο λα βξείηε :α) ηνλ αξηζκό ιβ) ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ θαη Απαντήσεις : ) )( )Άσκηση 75.Γίλνληαη νη επζείεο () θαη ( ) λα βξείηε ην ιέηζη ώζηε : Απαντήσεις :α) νη επζείεο θαη λα είλαη παξάιιειεο )β) νη επζείεο θαη λα είλαη θάζεηεο )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 21

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 76.Γίλνληαη νη επζείεο () θαη ( ) ( ) , νη νπνίεοείλαη θάζεηεο λα βξείηε :α) ηνλ αξηζκό ιβ) ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ θαη Απαντήσεις : ) )( )Άσκηση 77.Να βξείηε ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο :Άσκηση 78.(Σχ.Βιβλίο Αζκ4.B΄ Ομάδας ζελ 70.) ) Απαντήσεις :Να βξείηε ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο : Απαντήσεις : ( )(Άσκηση 79.Να βξείηε ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο :Άσκηση 80. ) Απαντήσεις : ηέκλνληαη ζην ζεκείνΟη επζείεο ( ) θαη ( ( ).Να βξείηε: Απαντήσεις :α) ηνπο αξηζκνύο α θαη β ))β) ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεο θαηΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 22

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 81. (Τράπεζα θεμάηων )Θεσξνύκε ηελ εμίζσζε (2λ 1)x  (18 11λ) y 9λ 17  0 , ιIR, (1)α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ιIR, παξηζηάλεη επζεία.β) Αλ ε1 , ε2  είλαη νη επζείεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα λ  1, λ  2 αληίζηνηρα, λα βξείηε ηελ νμεία γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ. Απαντήσεις : )Άσκηση 82.(Σχ.Βιβλίο Αζκ1.B΄ Ομάδας ζελ 70.)Να ζρεδηάζεηε ηηο γξακκέο ηηο νπνίεο παξηζηάλνπλ νη εμηζώζεηο :α)β) Απαντήσεις : ))Άσκηση 83. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλεηαη ε εμίζσζε: x2  2xy  y2  6x  6y  8  0α) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε παξηζηάλεη γεσκεηξηθά δύν επζείεο γξακκέο ε θαη ε νη νπνίεο 12 είλαη παξάιιειεο κεηαμύ ηνπο.β) Αλ ε1 : x  y  2  0 θαη ε2 : x  y  4  0, λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ε ησλ ε1 θαη ε2γ) Αλ Α είλαη ζεκείν ηεο επζείαο ε1 κε ηεηαγκέλε ην 2 θαη Β ζεκείν ηεο επζείαο ε2 κε ηεηκεκέλε ην 1 , ηόηε: i) λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ A θαη Βii) λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο δύν ζεκείσλ Γ θαη Γ ηεο επζείαο ε έηζη, ώζηε ην ηεηξάπιεπξνΑΓΒΓ λα είλαη ηεηξάγσλν. Απαντήσεις : )( ) ( ) ) )) ( ) ( ) )( ) ( ) ( ) ( )Άσκηση 84.Γηλεηαη ε εμίζσζε :α) Να απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη 2 επζείεο , νη νπνίεο είλαη θάζεηεο .β) Να βξείηε ην ζεκείν ηνκήο ησλ 2 επζεηώλ ηνπ εξσηήκαηνο (α) Απαντήσεις : ) )( )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 23

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 85. Γηλεηαη ε εμίζσζε :α) Να απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη 2 επζείεοβ) Να βξείηε ηελ νμεία γσλία ησλ 2 επζεηώλ ηνπ εξσηήκαηνο (α) Απαντήσεις : ))Άσκηση 86.Γίλεηαη ε εμίζσζε :α) Να απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη 2 επζείεοβ) Να απνδείμεηε όηη νη 2 επζείεο ηέκλνληαη ζηνλ άμνλα Απαντήσεις : ) )( )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 24

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -3. Δκβαδόλ ηξηγώλνπ ΘΕΩΡΙΑ 4/ ΘΤΜΑΜΑΙ Η απόζηαζε ελόο ζεκείνπ ( ) από ηελ επζεία ζπκβνιίδεηαη κε ( ) θαη είλαη ίζε κε : || () √ Όηαλ ζε κηα άζθεζε δεηεζεί λα βξνύκε κηα επζεία πνπ δηέξρεηαη από έλα ζεκείν θαη έρεηαπόζηαζε (αξηζκν) ηόηε έρνπκε όηη νη επζείεο πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν απηό πρ ην( ) είλαη ε ( ) ,έπεηηα παίξλνπκε ηνλ ηύπν ηεο απόζηαζεοθαη γηα ηηο δπν πεξηπηώζεηο ησλ επζεηώλ ζηελ 1ε βιέπνπκε αλ επαιεζεπηεί ν αξηζκόο ελώ ζηελ2ε βξίζθνπκε ην θαη αθνινύζσο ηελ επζεία . Όηαλ καο δεηεζεί λα βξνύκε ηελ απόζηαζε 2 παξάιιεισλ επζεηώλ ηηο θέξλνπκε ζηελ κνξθή θαη παίξλνπκε ηνλ ηύπν : | | () √ Όηαλ καο δεηεζεί λα βξνύκε ηελ κεζνπαξάιιειε δπν παξάιιεισλ επζεηώλ θάλσ ηαεμήο :Θεσξώ ( ) ζεκείν ηεο κεζνπαξάιιειεοΠαίξλσ ηνλ ηύπν ( ) ( ) θαη κε νδεγεί ζηνλ ηύπν ηεο κεζνπαξάιιειεο Όηαλ καο δεηάεη ζε κηα άζθεζε λα βξνύκε ηηο δηρνηόκνπο ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ δπν επζείεο , εξγαδόκαζηε σο εμήο : Σν ζεκείν ( ) αλήθεη ζηε δηρνηόκν κηαο γσλίαο πνπ ζρεκαηίδνπλ δπν επζείεο αλ θαη κόλν αλ ( ) ( ) Γηα λα βξνύκε ην εκβαδόλ ελόο ηξηγώλνπ ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν : ( ) | (⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)| Όηαλ καο δεηεζεί λα βξνύκε ηελ ειάρηζηε απόζηαζε ελόο ζεκείνπ Μ εθηόο από ηελ επζεία ηόηε () Γηα λα βξνύκε ηελ ειάρηζηε απόζηαζε πνπ απέρεη έλα ζεκείν ηεο επζείαο από ην ζεκείνεθηόο ηεο επζείαο ηόηε θάλνπκε ηα εμήο :Βξίζθνπκε ηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην θαη είλαη θάζεηε ζηελΣν ζεκείν είλαη ην ζεκείν ηνκήο ηεο επζείαο θαη ιύλνπκε ην ζύζηεκα θαη βξίζθνπκεηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ .ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 25

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 87.Γίλεηαη ε επζεία λα βξείηε ηηο απνζηάζεηο ησλ ζεκείσλ ( ) θαη ( )από ηελ επζεία ε Απαντήσεις : () ()Άσκηση 88.(Σχ.Βιβλίο Αζκ1.Α΄ Ομάδας ζελ 74.)Να βξείηε ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ ( ) από ηελ επζεία :i) ii)iii) + =1 iv) Απαντήσεις : ) √) √) √)Άσκηση 89.Να βξείηε ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ ( ) από ηελ επζεία :i) ii)iii) iv) Απαντήσεις : √ √ ) )) )Άσκηση 90.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) ( ) ( ) . Να βξείηε :α) ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ΑΒβ) ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Γ από ηελ επζεία ΑΒ Απαντήσεις : ) )√ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 26

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 91.Γίλνληαη νη επζείεο :Να βξείηε ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ησλ επζεηώλ θαη από ηελ επζεία Απαντήσεις :Άσκηση 92. θαη ( ) .Να βξείηε γηα πνηα ηηκήΓίλνληαη νη επζείεο : ) απέρεη από ηελ επζεία απόζηαζε θαη από ηελ επζείαηνπ ην ζεκείν (απόζηαζε √ Απαντήσεις :Άσκηση 93.Να βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ επζεηώλ : θαη Απαντήσεις : ( )√Άσκηση 94.(Σχ.Βιβλίο Αζκ2.Α΄ Ομάδας ζελ 75.)Γίλνληαη νη επζείεο θαηα) Να δείμεηε όηηβ) Να ππνινγίζεηε ηηο απνζηάζεηο ηεο αξρήο ησλ αμόλσλ από ηηο επζείεογ) Να ππνινγίζεηε ηελ απόζηαζε ησλ επζεηώλ Απαντήσεις : )( ) √ ( ) √ )( ) √ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 27

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 95.Γίλνληαη νη επζείεο ( ) θαη ( ) ( ) νη νπνίεο είλαηπαξάιιειεο .Να βξείηε :α) Σνλ αξηζκόβ) ηελ απόζηαζε ησλ επζεηώλ Απαντήσεις : ) )( ) √Άσκηση 96.Γίλνληαη νη επζείεο θαη ,κε , ησλ νπνίσλ εαπόζηαζε είλαη 1 .Να βξείηε :α) ηνλ αξηζκό ιβ) ηα ζεκεία ηνπ άμνλα πνπ απέρνπλ από ηελ επζεία απόζηαζε ίζε κε 4 Απαντήσεις : ) )( ) ( )Άσκηση 97. Απαντήσεις :Γίλεηαη ε εμίζσζε :α) Να απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη δπν παξάιιειεο επζείεο )( ) √β) Να βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ επζεηώλ )Άσκηση 98.Γίλεηαη ε εμίζσζε :α) Να απνδείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη δπν παξάιιειεο επζείεο Απαντήσεις :β) Να βξείηε ηελ απόζηαζε ησλ επζεηώλ )( ) √ )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 28

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 99.(Σχ.Βιβλίο Αζκ3.Α΄ Ομάδας ζελ 75.)Γίλνληαη νη επζείεο θαηα) Να δείμεηε όηηβ) Να βξείηε έλα ζεκείν ηεο θαη ζηε ζπλερεία λα ππνινγίζεηε ηελ απόζηαζε ησλ επζεηώλΆσκηση 100. Απαντήσεις :Να βξείηε ηηο επζείεο πνπ είλαη παξάιιειεο ζηελ επζεία )( )ζεκείν ( ) απόζηαζε ίζε κε √ θαη απέρνπλ από ην Απαντήσεις :Άσκηση 101. θαη απέρνπλ από ην Απαντήσεις :Να βξείηε ηηο επζείεο πνπ είλαη θάζεηεο ζηελ επζείαζεκείν ( ) απόζηαζε ίζε κε √Άσκηση 102.(Σχ.Βιβλιο Αζκ5.Α΄ Ομάδας ζελ 75.)Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε νπνία έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο θαη απέρεη από ηελαξρή ησλ αμόλσλ απόζηαζε ίζε κε 5 κνλάδεο . Απαντήσεις : √√Άσκηση 103.Να βξείηε ηηο επζείεο πνπ ζρεκαηίδνπλ γσλία κε ηνλ αμνλα θαη απέρνπλ από ην ζεκείν ( ) απόζηαζε ίζε κε √ Απαντήσεις :ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 29

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 104.Να βξείηε ηηο επζείεο πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν Κ(-2,4) θαη απέρνπλ από ην ζεκείν Α(2,4)απόζηαζε ίζε κε 2 . √√ Απαντήσεις : √√Άσκηση 105. (Τράπεζα θεμάηων )Θεσξνύκε ηελ επζεία ε : 3x  4y  2  0 θαη ην ζεκείν Α(2,1).α) Να απνδείμεηε όηη ην Α δελ αλήθεη ζηελ (ε) θαη λα βξείηε ηελ απόζηαζή ηνπ από απηή.β) Να βξείηε όιεο ηηο επζείεο πνπ είλαη παξάιιειεο ζηελ (ε) θαη απέρνπλ από ην Α απόζηαζε ίζεκε 3 κνλάδεο. Απαντήσεις : )( ) )Άσκηση 106. (Σχ. Βιβλίο Αζκ4.Α΄ Ομάδας ζελ 75.)Πνην ζεκείν ηεο επζείαο ηζαπέρεη από ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) Απαντήσεις : ()Άσκηση 107.Να βξείηε ηελ επζεία ε νπνία είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία θαη ηζαπέρεη από ηαζεκεία ( ) θαη ( ) Απαντήσεις :Άσκηση 108. (Σχ. Βιβλίο Αζκ1.B΄ Ομάδας ζελ 75.)Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο , ε νπνία δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ηζαπέρεη απόηα ζεκεία ( ) θαη ( ) Απαντήσεις :Άσκηση 109. (Σχ. Βιβλίο Αζκ4.B΄ Ομάδας ζελ 76.)Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ νη νπνίεο δηέξρνληαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Ο θαη απέρνπλαπό ην ζεκείν ( ) απόζηαζε ίζε κε 1. Απαντήσεις :ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 30

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 110. (Σχ. Βιβλίο Αζκ9.B΄ Ομάδας ζελ 76.)Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε νπνία δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ θαη θαη απέρεη από ην ζεκείν ( ) απόζηαζε ίζε κε Απαντήσεις :Άσκηση 111.Γίλνληαη νη παξάιιειεο επζείεο :Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ επζεηώλ θαη Απαντήσεις :Άσκηση 112. (Σχ. Βιβλίο Αζκ6.A΄ Ομάδας ζελ 75.)Η επζεία είλαη κεζνπαξάιιειε δπν παξάιιεισλ επζεηώλ θαη πνπαπέρνπλ 8 κνλάδεο . Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ απηώλ . Απαντήσεις : √√Άσκηση 113. (Τράπεζα θεμάηων )΢ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αμόλσλ Οxy ζεσξνύκε ηα ζεκεία Α (ι1,ι2) θαη Β (κ3,κ),ι, κIR.α) Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α, Β θηλνύληαη ζηηο επζείεο ε1 : y  x  3 θαη ε2 : y  x  3 αληίζηνηρα.β) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο κεζνπαξάιιειεο ησλ επζεηώλ ε , ε2 . 1 Απαντήσεις : )Άσκηση 114. ) θαη ( ) ( ) νηΓίλνληαη νη επζείεο (νπνίεο είλαη παξάιιειεο .Να βξείηε :α) Σνλ αξηζκό ιβ) ηελ επζεία , ώζηε ε επζεία λα είλαη ε κεζνπαξάιιειε ησλ θαη Απαντήσεις : ))ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 31

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 115. (Σχ. Βιβλίο Αζκ8.B΄ Ομάδας ζελ 76.)Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη επζείεοθαη Απαντήσεις :Άσκηση 116. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(1, −2) θαη Β(2, 3) .α) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ε πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α,Β .β) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΚΛ, όπνπ Ο είλαη ε αξρή ησλ αμόλσλ θαη Κ, Λ είλαηηα ζεκεία ηνκήο ηεο ε κε ηνπο άμνλεο x΄x θαη y΄y αληίζηνηρα. Απαντήσεις : ))Άσκηση 117. (Τράπεζα θεμάηων )Θεσξνύκε ηα ζεκεία Α (ι1, 2ι) , Β(2ι, 4) θαη Γ(1, 2), ιIRα) Να απνδείμεηε όηη γηα νπνηνδήπνηε πξαγκαηηθό αξηζκό ι, ηα ζεκεία ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν.β) Έζησ όηη γηα ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηζρύεη (ΑΒΓ)  3 . i. Να απνδείμεηε όηη λ  1 ή λ  2 . ii. Να βξείηε ηε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ ΓΑ , ΓΒ όηαλ λ  1. Απαντήσεις : )(⃑⃑⃑⃑̂⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗)Άσκηση 118.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) , ( ) θαη ( ) .Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ Απαντήσεις : ()Άσκηση 119.Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) .Να βξείηε ζεκείν Γ ηνπ άμνλα , ώζηε ην ηξίγσλν λαέρεη εκβαδόλ 12 Απαντήσεις : () ( )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 32

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 120. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(0,2), Β(1,5) θαη Γ(t1,3t2), tIR.α) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ΑΒ.β) Να δείμεηε όηη ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Γ από ηελ επζεία ΑB θαζώο θαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη αλεμάξηεηα ηνπ t. Απαντήσεις : )( ) )( )Άσκηση 121. (Σχ. Βιβλίο Αζκ7.A΄ Ομάδας ζελ 75.)Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ κε θνξπθέο :α) ( ) ( ) ()β) ( ) ( ) ()γ) ( ) ( ) ( ) Απαντήσεις : )( ) )( ) )( )Άσκηση 122. (Σχ. Βιβλίο Αζκ8.A΄ Ομάδας ζελ 75.)Γίλνληαη ηα ζεκεία ( ) θαη ( ) .Να βξείηε ην ζεκείν Μ ηνπ άμνλα , γηα ην νπνίν ηνεκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΜΑΒ είλαη ίζν κε 7 Απαντήσεις : () ( )Άσκηση 123.Θεσξνύκε ηα ζεκεία ( ) ( ) θαη έζησ Γ έλα ζεκείν ηεο επζείαο .Ναβξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Γ , ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα έρεη εκβαδόλ Απαντήσεις : () ()Άσκηση 124. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλεηαη ε επζεία ε : x  4y  7  0 θαη ηα ζεκεία Α(−2,4) θαη B(2,6)α) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ζεκείνπ M ηεο επζείαο ε ην νπνίν ηζαπέρεη από ηα ζεκεία A θαη Bβ) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΜΑΒγ) Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Κ(x,y) γηα ηα νπνία ηζρύεη (ΚΑΒ)  (ΜΑΒ) αλήθνπλ ζηηο επζείεο κε εμηζώζεηο ηηο: x  2y  5  0 θαη x  2y  25  0 Απαντήσεις : ) ( ) )( )ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 33

ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑ΢ΙΑ΢ – ΕΞΙ΢Ω΢Η ΕΤΘΕΙΑ΢ – Β΄ΛΤΚΕΙΟΤ Ο.Π ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ -Άσκηση 125. (Τράπεζα θεμάηων )Γίλνληαη νη επζείεο ε1 : 2 x y10λ 16  0 θαη ε2 :10x  y  2λ  4  0, όπνπ ιIRα) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ηεο παξακέηξνπ ι νη επζείεο ε1 θαη ε2 ηέκλνληαη, θαη λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ηνπο Mβ) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ηεο παξακέηξνπ ι ην ζεκείν M αλήθεη ζηελ επζεία ε : 8 x y 6  0γ) Αλ ε επζεία ε ηέκλεη ηνπο άμνλεο x΄x θαη y΄y ζηα ζεκεία Α θαη B αληίζηνηρα, ηόηε: i) λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο δ πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή Ο ησλ αμόλσλ θαη είλαη παξάιιειε πξνο ηελ επζεία AB ii) αλ Κ είλαη ηπραίν ζεκείν ηεο επζείαο δ, λα απνδείμεηε όηη (ΚΑΒ)  9 4 )( ) ( Απαντήσεις : ) ))Άσκηση 126.Γίλεηαη ε επζεία . Να βξείηε :α) ηε κηθξόηεξε απόζηαζε πνπ απέρεη έλα ζεκείν ηεο επζείαο ε από ηελ αξρή ησλ αμόλσλβ) πνην ζεκείν ηεο επζείαο ε απέρεη ηε κηθξόηεξν απόζηαζε από ην ζεκείν ( ) Απαντήσεις : )( ) √ )( )Άσκηση 127.Θεσξνύκε ηα ζεκεία ( ) κεα) Να απνδείμεηε όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ηα ζεκεία Κ θηλνύληαη ζε επζεία ε , ηεονπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζσζεβ) Να βξείηε ηελ ειάρηζηε απόζηαζε πνπ απέρεη έλα ζεκείν ηεο επζείαο ε από ηελ αξρή ησλαμόλσλ Απαντήσεις : ) )( ) √ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢ - ΠΑΠΑΓΔΩΡΓΙΟΤ ΥΡΙ΢ΣΟΦΟΡΟ΢ –email: [email protected] ΣΕΛΙΔΑ 34