หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 1 หน่วยที่ 1 ระบบจานวน สาระการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ ▪ วิวัฒนาการของระบบจำนวน 1. มีความร้เู กยี่ วกบั วิวฒั นาการของระบบจำนวน ▪ ระบบจำนวนจรงิ 2. เข้าใจโครงสร้างของระบบเลขจำนวนจริง ▪ สมบัติของจำนวนจริง 3. บอกสมบัติของจำนวนจรงิ ในรปู แบบต่าง ๆ ได้ ▪ สมบตั กิ ารไมเ่ ทา่ กัน (อสมการ) 4. บอกคุณสมบตั ิของอสมการได้ ▪ สมบตั ิการไมเ่ ทา่ กนั ของจำนวนจรงิ 5. บอกคุณสมบัตติ ่าง ๆ เกย่ี วกับการไมเ่ ท่ากัน ▪ ชว่ งของจำนวน ของจำนวนจริงได้ ▪ การแก้อสมการ 6. กำหนดช่วงของจำนวนแต่ละรปู แบบได้ 7. แก้อสมการได้ สมรรถนะประจาหน่วย แสดงความร้เู กีย่ วกบั วิวฒั นาการของระบบจำนวน โครงสรา้ งของระบบจำนวนจรงิ สมบัตขิ องจำนวน จริง สมบัติการไม่เท่ากันของจำนวนจริง กำหนดช่วงของจำนวนจริง การแก้อสมการประยุกต์ใช้ความรู้ เกย่ี วกบั ระบบจำนวนไปใช้ในชวี ติ ประจำวนั และการประกอบอาชีพ หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 2 แบบทดสอบก่อนเรียน หนว่ ยที่ 1 ระบบจำนวน ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ คำสง่ั จงทำเครอ่ื งหมาย X หน้าขอ้ ทถ่ี กู ทส่ี ดุ ลงในกระดาษคำตอบ 1. สัญลักษณ์ หมายถึงข้อใด ก. 1000 ข. 10,000 ค. 100,000 ง. 1,00,000 2. จำนวนตรรกยะ คอื ข้อใด ก. 5+ 16 ข. 12 - 5 ค. 0.5193... ง.  3. จำนวนอตรรกยะ คอื ขอ้ ใด ก. 1 3 ข. 45 ค. -25 ง. 10.25 4. ถ้า a = b แล้ว b = c น่นั หมายความว่า a = c เป็นสมบตั ิตามข้อใด ก. สมบัติการบวกดว้ ยจำนวนทเ่ี ท่ากนั ข. สมบัติการคณู ด้วยจำนวนท่เี ท่ากัน ค. สมบตั ิการถา่ ยทอด ง. สมบัตกิ ารสมมาตร 5. ถา้ x + (y + z) = (x + y) + z เปน็ สมบัตติ ามขอ้ ใด ก. สมบตั กิ ารปดิ ของการบวก ข. สมบัติการสลบั ที่ของการบวก ค. สมบตั ิเอกลกั ษณข์ องการบวก ง. สมบตั กิ ารเปล่ียนกลมุ่ การบวก หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 3 6. คณุ สมบัติตามข้อใด ทเี่ กดิ ข้ึนไดเ้ ม่ือเซตของจำนวนจรงิ มีการเปรียบเทียบ ก. a < b < c ข. a = b, a < b, a > b ค. a ≤ b, a ≥ b ง. ถกู ทกุ ขอ้ 7. a + c > b + c นนั่ หมายความว่า a > b เปน็ สมบตั ิตามขอ้ ใด ก. สมบตั ิการตดั ออกของการบวก ข. สมบตั กิ ารตดั ออกของการคูณ ค. สมบัติการบวกด้วยจำนวนทีเ่ ทา่ กนั ง. สมบตั กิ ารคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน 8. [a, ∞) ตรงกบั เส้นจำนวนตามขอ้ ใด ก. a ข. a ค. 9. ง. I x =R} ตรงกับเสน้ จำนวนตามขอ้ ใด a {x a ก. ข. a ค. 10. ง. (x – 1)(x + 3) ≤ a คือข้อใด คำตอบของอสมการ a0 ก. [-1, 3] ข. (-1, 3) ค. [-3, 1] ง. (-3, 1) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 4 ระบบจำนวน หวั ขอ้ เร่อื ง 1.1 ววิ ฒั นาการของระบบจำนวน 1.2 ระบบจำนวนจริง 1.3 สมบตั ิของจำนวนจริง 1.4 สมบัติการไมเ่ ทา่ กนั (อสมการ) 1.5 สมบัติการไม่เท่ากันของจำนวนจริง 1.6 ชว่ งของจำนวน 1.7 การแก้อสมการ สาระสาคญั ระบบจำนวนมีวิวัฒนาการมาตั้งแต่ดึกดำบรรพ์ และพัฒนาการเป็นระบบตัวเลขที่รวมกลุ่ม แบบง่ายๆ เป็นโครงสร้างของระบบจำนวนที่ใช้ในปัจจุบัน ประกอบด้วยจำนวนจริง จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ และจำนวนเต็ม มีบทบาทเกี่ยวข้องในชีวิตประจำวันในการติดต่อซื้อขาย การ คำนวณทางคณิตศาสตรแ์ ละวิทยาศาสตร์ที่ใช้กนั อย่างกว้างขวาง บทนา โดยทั่วไปมักใช้คำว่า “จำนวน” กับ “ตัวเลข” ปะปนกันอยูเ่ สมอ ซึ่งความจริงแล้วคำทั้งสอง นม้ี ีความหมายต่างกัน จำนวน เป็นคำที่แสดงถึงปริมาณ ทำให้มีความรู้สึกว่ามีมากน้อยเท่าใด เช่น มาก, มากกว่า, น้อย, นอ้ ยกวา่ , เท่ากนั ฯลฯ ตัวเลข เป็นสัญลกั ษณ์ท่ใี ชแ้ ทนจำนวนซง่ึ บางทีจำนวนเดยี วกันกอ็ าจเขียนแทนสัญลักษณ์ด้วย ตัวเลขต่าง ๆ กันออกไป แลว้ แตล่ กั ษณะระบบแต่ละภาษาและวธิ ีเขยี น แนวคิดเกี่ยวกับจำนวนและระบบการนับ มีมาตั้งแต่สมัยโบราณ เพียงแต่ไม่ทราบแน่ชัดว่า เกิดขึ้นได้อย่างไรและในสมัยใด อาจกล่าวได้ว่า แม้แต่มนุษยใ์ นโลกดึกดำบรรพ์ก็ยังมีความรูส้ กึ นึกคดิ เกี่ยวกับจำนวน ดังจะเห็นได้จากหลักฐานที่เป็นเครื่องหมาย (Mark) หรือรอยบาก (Notch) แทน จำนวน หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 5 จากประวัตคิ วามเป็นมาของระบบจำนวน มนษุ ยเ์ ริ่มรจู้ กั จำนวนนบั เป็นพวกแรกในการศึกษา เกี่ยวกับจำนวนนับมีอยู่หลายวิธี วิธีแรกคือ ให้จำนวนนับ (Counting number) เป็นจำนวนที่ไม่ นิยามความหมายและให้สอดคล้องตามสัจพจน์ (Axioms) และอีกวิธีหนึ่งก็คือ นิยามจำนวนนับใน ลักษณะของเซต ดังนน้ั คณุ สมบตั แิ ละทฤษฎตี า่ ง ๆ ของเซตจะนำมาใชก้ ับเซตของจำนวนนบั ได้ทนั ที 1.1 วิวฒั นาการของระบบจานวน ระบบจำนวน ถูกทำมาใช้เพื่อแสดงปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการนับและการวัด โดยสัญลักษณ์ จำนวนที่ใช้แสดงถึงค่าตัวเลข (เช่น 1, 2, 3,) คือตัวเลขฮินดูอารบิก (Hindu-Arabic Numerals) ซ่ึง เป็นต้นกำเนิดมาจากประเทศอินเดียโบราณ จนกระทั่งต่อมา นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี นามว่า ลีเล โอนาร์โด ปิซิซาโน ฟิโบนักชี (Leonardo Pisano Fibonacci) ได้นำศาสตร์วิทยาการนี้มาศึกษาต่อ ในเชิงลึก จนพิสูจน์ได้ว่า ตัวเลขอินเดียทั้งเก้าตัว คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8 และ 9 พร้อมกับ เลข 0 (เลขฐานสิบ) จะทำให้สามารถเขียนจำนวนตัวเลขเทา่ ใดก็ได้ และด้วยหลักการคำนวณด้วย เลขอารบิกนั้นมีความง่ายและนำมาใช้งานได้ดีกว่าตัวเลขโรมัน โดยภายหลงั จากท่เี ขาได้ศึกษาเชิงลึก ก็ได้เผยแพร่หลักการเขียนและวิธีการคำนวณระบบจำนวนที่กำหนดค่าตามตำแหน่งของเลขอารบิก จนนำมาใชป้ ระโยชน์ต่าง ๆ มากมาย ไมว่ า่ จะเป็นการทำบัญชีการคา้ การแปลงหน่วยการช่ังการวัด และการแลกเปลย่ี นเงินตรา เปน็ ต้น ภาพที่ 1.1 เลโอนารโ์ ด ปิซิซาโน ฟโิ บนกั ชี (Leonardo Pisano Fibonacci) ทม่ี า : https://sites.google.com/site/kruinintira/fi-bo-nak-chi สบื ค้นเม่ือวันท่ี 28 สงิ หาคม 2560 อย่างไรก็ตาม ก่อนที่ระบบเลขอารบิกจะได้รบั การยอมรับเปน็ มาตรฐานสากลจนถงึ ทุกวันนี้ มนุษยย์ คุ ก่อนก็ได้มีการคิดคน้ ระบบตัวเลขมายาวนานหลายยุคหลายสมยั สำหรับระบบพ้ืนฐานท่ีสุด ที่นำมาใช้นับจำนวนวัตถุด้วยการใช้สัญลักษณ์แทนจำนวน หรือเรียกกันว่า “ระบบยูนารี (Unary Systems)” ซ่ึงระบบดังกล่าวนำมาใช้ประโยชน์ได้แค่เพียงนับปริมาณตัวเลขจำนวนเล็กน้อย โดยเฉพาะตัวเลขค่ามาก ๆ จะไม่สามารถทำได้ ที่หลายคนรู้จักกันดีคือ ระบบเลขโรมันและอียิปต์ โบราณนั่นเอง และในเวลาถัดมา ระบบเลขเหล่านี้ก็ได้ถูกแทนที่ในภายหลังด้วยระบบอื่น ๆ ตาม หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 6 วิวัฒนาการ จนกระทั่งมาจบที่ “ระบบเลขเชิงตำแหน่ง (Positional Systems)” ที่ใช้งานจนถึง ปจั จุบัน ภาพที่ 1.2 เลขโรมนั และอยี ิปต์โบราณ ทม่ี า : http://www.needformen.com/english/pali-roman.html สบื คน้ เม่อื วนั ท่ี 28 สิงหาคม 2560 1.2 ระบบจานวนจริง การนำจำนวนต่าง ๆ มาจัดเปน็ กลมุ่ เปน็ พวกเดียวกนั ท่ีเรียกว่า “เซต” ทง้ั น้ีจำนวนใด ๆ จะ อยู่ในเซตเดียวกันหรือไม่ ขึ้นอยู่กับลักษณะหรือคุณสมบัติของจำนวนนั้น ๆ ว่ามีความเหมือนหรือ ตา่ งกันอยา่ งไร สำหรับจำนวนตา่ ง ๆ ทีเ่ กยี่ วขอ้ งกบั เซตของจำนวนจริง ประกอบไปด้วยรายละเอียด ดังน้ี ▪ เซตของจานวนเต็มบวก หรือเซตของจานวนนบั จำนวนนับ (Natural Number) จัดเป็นระบบจำนวนที่มนุษย์คิดค้นขึ้นเป็นครั้งแรก โดยเฉพาะการนำไปใช้นับวัตถุสิ่งของ ในขณะเดียวกัน จำนวนเต็มบวก (Positive Number) คือ เลขจำนวนนับนั่นเอง สำหรับเซตของจำนวนเต็มบวก จะประกอบไปด้วยสมาชิกของตัวเลขจำนวน เต็มบวกต่าง ๆ (เช่น 1, 2, 3, 4, 5, ...) ซง่ึ มกั นยิ มเขียนแทนดว้ ย N หรอื I+ ตวั อย่างเช่น N = I+ = {1, 2, 3, 4, 5, …} ▪ เซตของจานวนเต็มลบ จำนวนเต็มลบ (Negative Number) หมายถึงจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ มักนิยม เขียนแทนดว้ ย I- แทนเซตดงั กล่าว ตัวอยา่ งเช่น I- = {-1, -2, -3, -4, -5, …} ▪ เซตของจานวนเตม็ ศนู ย์ ศูนย์ (Zero) คือเลขที่ไม่มีค่า กล่าวคือเลขศูนยม์ ิใชเ่ ลขจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบ แต่เลขศูนย์ก็ยงั สามารถบ่งบอกปริมาณสิ่งที่นบั ได้เช่นกัน นั่นหมายถงึ ไมม่ ีค่า ตัวอย่างเช่น ถ้ามีวัตถุ หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 7 ภายในกลอ่ งเทา่ กับศูนย์ชิ้น น่นั หมายความวา่ ไมม่ วี ตั ถุใด ๆ ภายในกลอ่ งเลย ดังนั้น เซตของศูนย์ ก็ จะมเี พยี งสมาชกิ เพียงตัวเดียวคอื {0} ▪ เซตของจานวนเตม็ เลขจำนวนเต็ม (Integer) คือเลขจำนวนเต็มชนิดต่าง ๆ นั่นเอง ดังนั้นเมื่อแทนค่า I เป็น เลขจำนวนเต็ม เซตของ I จะประกอบไปด้วยสมาชิกของเลขจำนวนเต็มลบ เลขจำนวนเต็มศูนย์ และเลขจำนวนเตม็ บวก ดังน้ี I = {…,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} ▪ เซตของเศษสว่ น เศษส่วน (Fraction) คอื เลขท่ไี ม่ใช่จำนวนเต็ม สามารถเขยี นอยูใ่ นรปู เศษสว่ นหรือทศนิยม ได้ แต่มีเงื่อนไขว่า “เศษ” ต้องเป็นจำนวนเตม็ และ “ส่วน” ต้องเป็นจำนวนเต็มไมเ่ ท่ากับศูนย์ และ ไม่สามารถตัดทอนให้เหลือส่วนเป็น 1 ได้ (เพราะจะกลายเป็นเลขจำนวนเต็ม) ตัวอย่างเซตของ เศษสว่ น เช่น 1 , - 512 , 1 , 2 12 2 100 3 หรือเขียนเปน็ ทศนยิ มดังนี้ 0.5, -5.12, 0.33..., 2.5 ▪ เซตของจานวนตรรกยะ จากรายละเอียดที่ผ่านมา ที่มีการกล่าวถึงเชตของจำนวนเต็ม (จำนวนเต็มลบ, จำนวนเต็มศูนย์, จำนวนเต็มบวก) กับเซตของเศษส่วน ครั้นเมื่อนำเซตทั้งสองมายูเนียน (Union) เข้าด้วยกัน ก็จะได้ เซตของจำนวนตรรกยะ (Rational Number) ซึ่งมักนิยมเขียนแทนด้วย Q เป็นตวั แทนของเซตดังกลา่ ว นัน่ หมายความวา่ Q = { a เมือ่ a, b ∈I และ b ≠ 0 } b จึงสรุปได้ว่า จำนวนตรรกยะ หมายถึงเลขจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วน หรือเลขทศนิยมก็ได้ (ทั้งทศนิยมรู้จบและทศนิยมซ้ำกันไม่รู้จบ) ดังนั้น สมาชิกของเซตของจำนวน ตรรกยะต้องเป็นเศษส่วน โดยส่วนต้องไม่ใช่ค่าศูนย์ (ตัวหารที่มีค่าเป็นศูนย์ จะทำให้ผลลัพธ์ที่ได้ จากการหารเปน็ คา่ อนันต์ (Infinity) และหากมีการนำนิพจนด์ ังกล่าวไปตั้งสูตรในคอมพิวเตอร์ จะเกิด ข้อผดิ พลาดแสดงออกมา “Divide by zero” ซึ่งหากพิจารณาตามหลักเลขจำนวนจริงแลว้ จะถือว่า ค่าท่ีหารด้วยศูนย์น้ันไม่มคี วามหมายใด ๆ)ทสี่ ำคญั ตวั เศษและสว่ นตา่ งกเ็ ปน็ จำนวนเตม็ ทงั้ ส้ิน หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 8 จำนวนตรรกยะ จำนวนเต็ม ทศนยิ มซ้ำ เศษส่วน จำนวนเตม็ บวก จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเตม็ ลบ ภาพท่ี 1.3 ผังสรุปโครงสร้างของเลขจำนวนตรรกยะ ตัวอย่าง 1.1 เลขจำนวนตอ่ ไปนี้ เป็นจำนวนตรรกยะหรอื ไม่ 1 เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะตรงตามเงือ่ นไข 1, 2 ∈ I และ 2 ≠ 0 2 x y โดย x = 10, y=0 ไมเ่ ป็นจำนวนตรรกยะ เพราะ y = 0 9.50 เปน็ จำนวนตรรกยะ เพราะ 9.50 = 950 100 3.3333 เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะ 130= 3.3333… 0.157893… ไมเ่ ป็นจำนวนตรรกยะ เพราะเปน็ ทศนิยมไม่ซ้ำกนั ไม่ร้จู บ 3 ไมเ่ ป็นจำนวนตรรกยะ เพราะเปน็ ทศนยิ มไม่ซำ้ กนั ไม่รู้จบ 49 ไมเ่ ป็นจำนวนตรรกยะ เพราะ 49 = 7 ซง่ึ เปน็ จำนวนเตม็ ▪ เซตของจานวนอตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) จำนวนที่ไม่ใชจ่ ำนวนตรรกยะ เพราะเขียนอยู่ใน รูปของเศษส่วนไม่ได้ จะเขียนได้เป็นทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถหาค่าได้โดยประมาณ (มักเขียนแทน ด้วย Q’) ตัวอย่างเช่น 2 ≈ 1.41421... สญั ลกั ษณ์ ≈ แทนคา่ ประมาณ 3 ≈ 1.73205… π ≈ 3.14159… ℯ ≈ 2.71828… 0.1257486…, 2.4652435…., 0.4251468…. เปน็ ตน้ หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 9 ▪ เซตของจานวนจริง ระบบจำนวนจริง (Real Number) เป็นระบบที่ครอบคลุมระบบจำนวนชนิดต่าง ๆ เป็นลำดับ ช้ัน (มกั เขียนแทนดว้ ย R) หรืออาจกล่าวได้วา่ ระบบจำนวนจรงิ คอื ยูเนยี นของเซตจำนวนตรรกยะกับ เซตจำนวนอตรรกยะ ซงึ่ ระบบจำนวนจริงสามารถจำแนกเป็นโครงสร้างไดด้ ังน้ี จำนวนจรงิ จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะ จำนวนท่ีเขียนในรปู ทศนิยมไม่ซ้ำกันไมร่ จู้ บ จำนวนเต็ม ทศนยิ มซ้ำ เศษส่วน ของกรณฑ์ หรอื จำนวนเตม็ บวก จำนวนเตม็ ศนู ย์ เรยี กว่ารากหรอื รูต จำนวนเตม็ ลบ ภาพท่ี 1.4 โครงสรา้ งของระบบจำนวนจรงิ อักษรย่อที่มกั ใช้แทนเซตของระบบจำนวนจรงิ ไดแ้ ก่ R = เซตของจำนวนจรงิ R+ = เซตของจำนวนจริงบวก R- = เซตของจำนวนจริงลบ Q = เซตของจำนวนตรรกยะ Q’ = เซตของจำนวนอตรรกยะ I = เซตของจำนวนเตม็ I+ = เซตของจำนวนเต็มบวก I- = เซตของจำนวนเตม็ ลบ N = เซตของจำนวนนับ I0 = เซตของจำนวนเตม็ ศูนย์ 1.3 สมบตั ิของจานวนจรงิ กฎกติกาต่าง ๆ ทเ่ี กีย่ วขอ้ งกับระบบจำนวนจรงิ ทส่ี ามารถนำไปใชป้ ระโยชน์เพ่ือการอ้างอิง ประกอบด้วยคุณสมบัติดังต่อไปนี้ คือ สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง สมบัติของจำนวนจริง เกีย่ วกบั การบวก และสมบัตขิ องจำนวนจริงเกย่ี วกับการคณู ซึง่ สามารถอธิบายตามรายละเอียดดงั น้ี หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 10 ▪ สมบตั ิการเท่ากนั ของจานวนจริง ▪ สมบัตกิ ารสะท้อน หมายถงึ จำนวนจรงิ ใด ๆ ตอ้ งมคี า่ เทา่ กบั จำนวนจริงนน้ั ๆ เสมอ กล่าวคือ ตัวมนั เองยอ่ มเทา่ กันกับตวั มันเอง ตัวอย่างเช่น เมอ่ื ให้ a เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ แล้ว a กย็ อ่ มเทา่ กบั a ดงั นน้ั a = a ย่อมหมายถึง 9 = 9 ▪ สมบตั กิ ารสมมาตร หมายถงึ ถ้ามีจำนวนจรงิ 2 จำนวนเท่ากนั จะเขียนจำนวนใดไว้ทางซา้ ยมือ ของเครื่องหมายเท่ากับ หรือจะเขียนไว้ทางขวามือของเครื่องหมายเท่ากับก็ได้ ซึ่งยังคงความหมาย เหมอื นเดิม ตัวอย่างเชน่ เมอ่ื ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ ถ้า a = b น่นั หมายความวา่ b = a ดงั น้ัน ถ้า 10 = 2 + 8 แล้ว 2 + 8 = 10 ▪ สมบัติการถา่ ยทอด หมายถงึ การเช่ือมโยง หรอื ความต่อเน่ืองของการเทา่ กนั ตัวอยา่ งเช่น เมอ่ื ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ ถา้ a = b แล้ว b = c นั่นหมายความว่า a = c ดงั น้ัน ถา้ 52 = 25 และ 25 = 15 + 10 แล้ว 52 = 15 + 10 ▪ สมบตั ิการบวกด้วยจำนวนที่เทา่ กัน หมายถงึ ถา้ มีจำนวนจริงใด ๆ สองจำนวนเทา่ กนั หากมกี ารเพมิ่ เข้าไปอีก จำนวนละเท่าๆ กัน ผลลพั ธ์ท่ไี ดย้ งั คงเทา่ กนั เสมอ ตวั อย่างเชน่ เมอื่ ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c ดงั นั้น ถ้า 42 = 16 แลว้ 42 + 4 = 16 + 4 หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 11 ▪ สมบตั ิการคณู ดว้ ยจำนวนท่เี ท่ากัน หมายถึง ถา้ มีจำนวนจริงใด ๆ สองจำนวนเทา่ กนั ถ้านำไปคณู ดว้ ยจำนวน ท่เี ทา่ กนั ผลลพั ธ์ทไี่ ด้กย็ ังคงเท่ากนั ตวั อยา่ งเชน่ เมอ่ื ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ ถ้า a = b แลว้ a ⋅ c = b ⋅ c ดังนน้ั ถา้ 22 = 4 แล้ว 22 x 10 = 4 x 10 ▪ สมบตั กิ ารบวกในระบบจานวนจรงิ ▪ สมบัติปิดของการบวก หมายถึง ถ้านำสมาชกิ ท่ีอยใู่ น R มาบวกกนั แล้ว ผลทไี่ ด้ก็ยังคงเป็นสมาชิก ที่อยู่ใน R เสมอ กล่าวคือ จำนวนจริงบวกกับจำนวนจริง ผลลัพธ์ที่ได้ก็ยังคงเป็นจำนวนจริง ตัวอยา่ งเช่น ถ้า a, b ∈ R แลว้ a + b ∈ R ดังนน้ั ถ้า 8, 9 ∈ R แล้ว 8 + 9 ∈ R ▪ สมบตั กิ ารสลบั ท่ขี องการบวก หมายถงึ ถ้ามีการนำสมาชิกใน R มาบวกกนั จะนำสมาชิกตวั ใดตวั หนึ่งมา เปน็ ตวั ตง้ั หรือตัวบวกกไ็ ด้ ผลลพั ธท์ ่ไี ด้ย่อมเท่ากนั เสมอ ตวั อยา่ งเชน่ ถ้า a, b ∈ R แล้ว a + b = b + a ดังนน้ั 4+6=6+4 ▪ สมบตั กิ ารเปลี่ยนกลมุ่ การบวก หมายถึง ถ้ามีการนำจำนวนจริงหลายๆ จำนวนมาบวกกัน จะนำจำนวน จริงคู่ใดมาบวกกันก่อนก็ได้ ท้ายสุดเมื่อนำไปบวกเขากับจำนวนที่เหลือ ผลลัพธ์ที่ได้ก็ยังคงเท่ากัน เสมอ ตัวอยา่ งเชน่ ถา้ a, b, c ∈ R แล้ว a + (b + c) = (a + b) + c ดังนนั้ 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3 หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 12 ▪ สมบัตกิ ารมเี อกลักษณ์ของการบวก หมายถึง ภายในเซตของจำนวนจริง จะมจี ำนวนจรงิ พิเศษอยู่ตัวหนงึ่ คือ 0 (คา่ ศูนย)์ ซ่ึงเม่ือนำค่านี้ไปบวกกบั จำนวนจรงิ ใด ๆ ผลทไ่ี ด้กย็ ังคงเป็นจำนวนจริงตัวนนั้ เสมอ และยัง มคี ณุ สมบัติของการสลบั ที่ดว้ ย จึงเรยี ก 0 ว่าเป็นเอกลกั ษณ์ของการบวก ตวั อยา่ งเชน่ ถา้ เซตของ R มี 0 ∈ R แล้ว 0 + a = a = a + 0 ดงั นั้น 0+9=9=9+0 ▪ สมบัติการมีอินเวิร์สของการบวก หมายถึง ถ้ามีการกำหนดสมาชิกใน R ขึ้นมา 1 ตัว จะเป็นตัวใดก็ได้ เช่น สมมติให้เป็น a ก็จะมี -a อยู่ใน R ด้วยเช่นกัน และสมาชิกทั้งสองจำนวนนี้ เมื่อนำมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเปน็ 0 นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวิร์ส ของการบวก และ การบวกกนั น้ันยงั สามารถสลับที่กนั ได้ ตวั อย่างเชน่ ถ้า a ∈ R กจ็ ะมี -a ∈ R แลว้ (-a) + a = 0 = a +(-a) ดังน้นั (-1) + 1 = 0 = 1 + (-1) ▪ สมบตั กิ ารคูณในระบบจานวนจริง ▪ สมบตั ิปิดของการคณู หมายถงึ ถ้านำสมาชกิ ทอี่ ยูใ่ น R มาคูณเข้าดว้ ยกัน ผลลัพธ์ทไ่ี ด้ก็ยังคงเป็น สมาชิกอยู่ใน R เสมอ กล่าวคือ จำนวนจริงคูณกับจำนวนจริง ผลลัพธ์ที่ได้ก็ยังคงเป็นจำนวนจริง ตัวอยา่ งเชน่ ถา้ a, b ∈ R แล้ว a ⋅ b ∈ R ดงั นน้ั ถา้ 2, 4 ∈ R นน่ั หมายความว่า 2 x 4 ∈ R ▪ สมบัติการสลบั ทขี่ องการคณู หมายถึง ถ้ามีการนำสมาชิกใน R มาคูณกัน ก็สามารถนำสมาชกิ ตัวใดตวั หนง่ึ มาเปน็ ตวั ต้ัง หรือตวั คณู ก็ได้ ผลลัพธ์ทไ่ี ด้ย่อมเท่ากันเสมอ ตวั อยา่ งเชน่ ถา้ a, b ∈ R แล้ว a ⋅ b = b ⋅ a ดังนั้น 2x3=3x2 หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 13 ▪ สมบัตกิ ารเปลยี่ นกลุม่ ของการคูณ หมายถึง มีการนำจำนวนจริงหลายๆจำนวนมาคูณกัน จะนำจำนวนจรงิ คู่ ใดมาคูณกันก่อนก็ได้ ท้ายสุดเมื่อนำไปคูณเข้ากับจำนวนที่เหลือ ผลลัพธ์ที่ได้ก็ยังคงเท่ากันเสมอ ตัวอยา่ งเชน่ ถ้า a, b, c ∈ R แลว้ a (b ⋅ c) = (a ⋅ b) c ดงั นั้น 1 x (2 x 3) = (1 x 2) x 3 ▪ สมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณ์ของการคูณ หมายถึง ภายในเซตของจำนวนจรงิ จะมจี ำนวนจรงิ พิเศษอยู่ตัวหน่ึงคือ 1 ซ่ึงเมื่อนำค่าน้ีไปคูณกับจำนวนจริงใด ๆ ผลทไ่ี ดก้ ย็ งั คงเปน็ จำนวนจรงิ ตัวนั้นเสมอ และยังมีคุณสมบัติ ของการสลบั ทด่ี ้วย จงึ เรยี ก 1 วา่ เปน็ เอกลกั ษณข์ องการคณู ตัวอยา่ งเช่น ถ้าเซตของ R มี 1 ∈ R แล้ว 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1 ดังนนั้ 1x5=5=5x1 ▪ สมบตั ิการมีอนิ เวริ ์สของการคูณ หมายถึง ถ้ามีการกำหนดสมาชิกใน R ขึ้นมา 1 ตัว ที่มิใช่ 0 เช่น ถ้า กำหนดสมาชิกที่เป็นจำนวนจริงคือ a ก็จะมีจำนวนจริง a-1 (ซึ่งสามารถแทนค่าด้วย 1 ) ครั้นเมื่อ a นำมาคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเปน็ 1 ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของการคูณ และการคูณกันนั้นสามารถสลบั ที่ กนั ได้ ตัวอยา่ งเช่น ถ้า a ∈ R และ a ≠ 0 ก็จะมี a-1 ∈ R แลว้ (a-1) ⋅ a = 1 = a ⋅ (a-1) ดังนน้ั ( 1 ) x 2 = 1 = 2 x ( 1 ) 2 2 ▪ สมบตั กิ ารแจกแจง นอกเหนือจากคุณสมบัติต่าง ๆ ตามข้างต้นที่ได้กล่าวมาแล้ว ก็ยังมีอีก คณุ สมบัติหนึง่ ซ่ึงเก่ยี วขอ้ งกับการบวกและการคณู ท่ีเรียกว่าสมบตั ิการแจกแจง ตวั อย่างเชน่ a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a ดงั นัน้ 5 x (2 + 3) = 5 x 2 + 5 x 3 (2 + 3) x 5 = 2 x 5 + 3 x 5 หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 14 และจากรายละเอียดของคุณสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง, คุณสมบัติของจำนวนจริง เก่ียวกับการบวก และคณุ สมบัติของจำนวนจริงเกย่ี วกับการคูณ สามารถสรุปไดด้ ังนี้ คุณสมบัติ ตวั อยา่ ง 1. การสะทอ้ น ถ้า a = a 8=8 2. การสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a 10 = 8 + 2 แลว้ 8 + 2 = 10 3. การถา่ ยทอด ถ้า a = b แลว้ b = c แล้ว a = c 52 = 25 และ 25 = 15 + 10 แล้ว 52 = 15 + 10 4. การบวกด้วยจำนวนที่เทา่ กัน ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c 42 = 16 แล้ว 42 + 4 = 16 + 4 5. การคณู ดว้ ยจำนวนเท่ากนั ถา้ a = b แลว้ a ⋅ c = b ⋅ c 22 = 4 แลว้ 22 x 10 = 4 x 10 ตารางที่ 1.1 สรุปคุณสมบัตกิ ารเท่ากันของจำนวนจรงิ คุณสมบัติ ตัวอยา่ ง 1. ปิด ถ้า a, b ∈ R แล้ว a + b ∈ R 8, 9 ∈ R แลว้ 8 + 9 ∈ R 2. การสลบั ท่ี ถ้า a, b ∈ R แล้ว a + b = b + a 4+2=2+4 3. การเปลี่ยนกลุม่ ถ้า a, b, c ∈ R แล้ว a + (b + c) = 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3 (a + b) + c 4. เอกลักษณก์ ารบวก ถ้าเซตของ R มี 0 ∈ R แลว้ 0 + a = a = 0 + 9 = 9 = 9 + 0 a+0 5. อนิ เวิรส์ การบวก ถา้ a ∈ R กจ็ ะมี -a ∈ R (-1) + 1 = 0 = 1 + (-1) แลว้ (-a) + a = 0 = a + (-a) ตารางท่ี 1.2 สรุปคุณสมบตั ขิ องจำนวนเก่ียวกบั การบวก หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 15 คณุ สมบัติ ตัวอย่าง 1. ปิด ถ้า a, b ∈ R แล้ว a ⋅ b ∈ R 8, 9 ∈ R ดงั นนั้ 8 x 9 ∈ R 2. การสลบั ที่ ถ้า a, b ∈ R แล้ว a ⋅ b = b ⋅ a 5x6=6x5 3. การเปล่ียนกลมุ่ ถา้ a, b, c ∈ R แลว้ a (b ⋅ c) = (a ⋅ b) c 1 x (2 + 3) = (1 + 2) + 3 4. เอกลักษณ์การคูณ ถ้าเซตของ R มี 1 ∈ R แลว้ 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1 1 x 9 = 9 = 9 x 1 5. อนิ เวิร์สการคณู ( 1 ) x 2 = 1 = 2 x ( 1 ) ถ้า a ∈ R และ a ≠ 0 ก็จะมี a-1 ∈ R 2 2 แลว้ (a-1) ⋅ a = 1 = a ⋅ (a-1) 6. การแจกแจง a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c 5 x (2 + 3) = 5 x 2 + 5 x 3 ตารางท่ี 1.3 สรปุ คุณสมบัติของจำนวนจรงิ เกี่ยวกบั การคูณ 1.4 สมบตั กิ ารไม่เทา่ กนั (อสมการ) อสมการ หมายถึง การไม่เท่ากนั ของจำนวนหรอื ส่ิงของ นิยาม กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ แลว้ 1. a < b หมายถึง a น้อยกวา่ b โดยที่ ถ้า a – b < 0 คือจำนวนลบ 2. a > b หมายถึง a มากกวา่ b โดยที่ ถา้ a – b > 0 คือจำนวนบวก 3. เซตของจำนวนจริง เม่ือมกี ารเปรยี บเทยี บกนั จะเกดิ คุณสมบัตหิ นึ่งในสามอย่างคือ (1) a = b (2) a > b (3) a < b และจากผลการเปรียบเทียบจำนวนจริง a, b ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้จะทำให้เกิดคุณสมบัติหนึ่งใน สามอย่างน้ัน นน่ั หมายความวา่ ▪ ถ้าปฏิเสธการเท่ากันของสมการข้อ (1) กจ็ ะไดอ้ สมการตามขอ้ (2) หรือ (3) ▪ ถ้าปฏิเสธทงั้ 3 ขอ้ นัน่ หมายความวา่ a ≥ b หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 16 1.5 สมบตั ิการไม่เท่ากนั ของจานวนจรงิ กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใด ๆ นยิ าม a≤b หมายความว่า a นอ้ ยกว่าหรอื เท่ากับ b a≥b หมายความวา่ a มากกวา่ หรอื เทา่ กบั b a<b<c หมายความวา่ a < b และ b < c a≤b≤c หมายความว่า a ≤ b และ b ≤ c ▪ สมบัตกิ ารถา่ ยทอด ถ้า a > b และ b > c ดงั นั้น a > c ▪ สมบตั กิ ารบวกด้วยจำนวนท่ีเทา่ กนั ถา้ a > b ดงั นั้น a + c > b + c ▪ จำนวนจริงบวกและจำนวนจรงิ ลบ a เปน็ จำนวนจริงบวก กต็ อ่ เม่อื a > 0 a เป็นจำนวนจรงิ ลบ กต็ ่อเม่อื a < 0 ▪ สมบัตกิ ารคณู ด้วยจำนวนเทา่ กันทไ่ี ม่เทา่ กับศนู ย์ ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว a ⋅ c > b ⋅ c ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว a ⋅ c < b ⋅ c ▪ สมบตั กิ ารตดั ออกสำหรับการบวก ถา้ a + c > b + c นัน่ หมายความวา่ a > b ▪ สมบัตกิ ารตดั ออกสำหรับการคูณ ถ้า a ⋅ c > b ⋅ c และ c > 0 แล้ว a > b ถ้า a ⋅ c < b ⋅ c และ c < 0 แล้ว a < b 1.6 ช่วงของจานวน ชว่ ง (Interval) หมายถงึ เซตของจำนวนจรงิ ทแี่ สดงอยใู่ นรูปของเส้นจำนวน และสามารถ กำหนดเป็นช่วงของจำนวนได้ โดยทกุ ๆ จำนวนจะมีจดุ อยบู่ นเสน้ จำนวนไดเ้ พียงจุดเดียว หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 17 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … และตอ่ ไปน้คี ือช่วงของจำนวนจรงิ ในรปู แบบตา่ ง ๆ พร้อมตัวอยา่ งที่แสดงอยู่บนเสน้ จำนวน กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยท่ี a < b 1. ช่วงเปดิ (a, b) a b (a, b) = { x I a < x < b} -4 5 a b (-4, 5) = { x I -4 < x < 5} 1 10 2. ชว่ งปดิ [a, b] a b [a, b] = { x I a ≤ x ≤ b} [1, 10] = { x I 1 ≤ x ≤ 10} 3. ชว่ งก่ึงเปิด/ก่ึงปิด ▪ ชว่ งก่ึงเปดิ - ปิด (a, b] (a, b] = { x I a < x ≤ b} (-5, 10] = { x I -5 < x ≤ 10} -5 10 ▪ ชว่ งก่ึงปิด-เปิด [a, b) a b [a, b) = { x I a ≤ x < b} [-5, -1) = { x I -5 ≤ x < -1} -5 -1 a 4. ชว่ งอนนั ต์ ▪ ช่วง (a, ∞) (a, ∞) = { x I x > a} (1, ∞) = { x I x > 1} 1 หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 18 ▪ ชว่ ง [a, ∞) a [a, ∞) = { x I x ≥ a} [1, ∞) = { x I x ≥ 1} 1 ▪ ชว่ ง (-∞, a) [- ∞, a) = { x I x < a} a [- ∞, -5) = { x I x < -5} -5 [- ∞, ∞) = { x I x เป็นจำนวนจรงิ } a ▪ ชว่ ง (-∞, a] 0 (- ∞, a] = { x I x ≤ a} (- ∞, 0] = { x I x ≤ 0} 1.7 การแกอ้ สมการ ในการแก้อสมการจะคล้ายกับการแก้สมการ แต่ในอสมการใช้คุณสมบัติการไม่เท่ากัน เช่น ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ ถา้ a > b แลว้ a + c > b + c (การบวกดว้ ยจำนวนทเี่ ทา่ กนั ) ถา้ a > b แลว้ ac > bc (การคณู ด้วยจำนวนทเ่ี ท่ากัน) ตวั อย่าง 1.2 จงแก้อสมการและแสดงคำตอบโดยเส้นจำนวนและชว่ ง 2X + 1 > 11 วธิ ีทำ 2X + 1 > 11 2X > 11 – 1 2X > 10 X > 10 2 X> 5 หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 19 ดงั นั้น เชตของคำตอบคอื {X I X > 5} หรอื (5, ∞) หรอื ∞ -∞ 5 ตวั อยา่ ง 1.3 จงแก้อสมการและแสดงคำตอบโดยเสน้ จำนวนและช่วง 8X + 3 ≤ 2X + 9 วิธที ำ 8X + 3 ≤ 2X + 9 8X – 2X ≤ 9 – 3 6X ≤ 6 X ≤ 6 6 X≤1 ดังนั้น เชตของคำตอบคือ {X I X ≤ 1} หรือ (- ∞, 1] หรอื 1∞ -∞ ตัวอยา่ ง 1.4 จงแก้อสมการและแสดงคำตอบโดยเส้นจำนวนและชว่ ง -9 < 2X – 3 ≤ 5 วิธที ำ -9 < 2X – 3 ≤ 5 -9 + 3 < 2X – 3 + 3 ≤ 5 + 3 -6 < 2X ≤ 8 -3 > X ≤ 4 ดังนัน้ เชตของคำตอบคือ {X I -3 > X ≤ 4} หรือ (- 3, 4] หรอื 4∞ -∞ -3 หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 20 สรุปทา้ ยหน่วย ระบบจำนวนจริง เป็นระบบจำนวนที่ครอบคลุมจำนวนชนิดต่าง ๆ หรือกล่าวได้ว่า ระบบ จำนวนจริงคือ ยูเนียนของเซตจำนวนตรรกยะกบั เซตจำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะ คือเลขจำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูปของเศษส่วนหรือเลขทศนิยมได้ ซึ่ง ประกอบดว้ ยเลขจำนวนเตม็ (จำนวนเตม็ ลบ, จำนวนเตม็ ศูนย์, และจำนวนเต็มบวก) และเศษสว่ น จำนวนอตรรกยะ คือจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ แต่สามารถเขียนอยู่ในรูปของ ทศนิยมไม่ซ้ำแบบไมร่ จู้ บ ซ่ึงทศนิยมประเภทนจี้ ะไม่สามารถเขยี นเปน็ เศษส่วนได้ อกั ษรยอ่ ที่มกั ใช้แทนเซตของระบบจำนวนจรงิ ไดแ้ ก่ R = เซตของจำนวนจรงิ R+ = เซตของจำนวนจรงิ บวก R- = เซตของจำนวนจรงิ ลบ Q = เซตของจำนวนตรรกยะ Q’ = เซตของจำนวนอตรรกยะ I = เซตของจำนวนเต็ม I+ = เซตของจำนวนเตม็ บวก I- = เซตของจำนวนเต็มลบ N = เซตของจำนวนนบั I0 = เซตของจำนวนเตม็ ศูนย์ สมบตั ิของจำนวนจริง ประกอบด้วย 1. สมบัติการเท่ากันของจำนวนจรงิ 2. สมบัติการบวกในระบบจำนวนจรงิ 3. สมบัติการคณู ในระบบจำนวนจริง สมบตั กิ ารเท่ากันของจำนวนจรงิ ประกอบด้วย 1. สมบัติการสะทอ้ น a = a 2. สมบตั กิ ารสมมาตร ถา้ a = b แล้ว b = a 3. สมบัติการถ่ายทอด ถา้ a = b และ b = c แลว้ a = c 4. สมบตั กิ ารบวกดว้ ยจำนวนที่เท่ากนั ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c 5. คณุ สมบตั ิการคณู ดว้ ยจำนวนเทา่ กัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc สมบตั กิ ารบวกในระบบจำนวนจรงิ ประกอบดว้ ย 1. สมบัตปิ ิดของการบวก ถ้า a, b เปน็ จำนวนจรงิ แลว้ a + b ย่อมเป็นจำนวนจริง 2. สมบตั ิการสลบั ทขี่ องการบวก a + b = b + a หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 21 3. สมบตั กิ ารเปลีย่ นกลุ่มของการบวก a + (b + c) = (a + b) + c 4. สมบัติการมเี อกลกั ษณข์ องการบวก 0 + a = a = a + 0 5. สมบตั ิการมอี นิ เวิร์สของการบวก a + (-a) = 0 = (-a) + a สมบตั กิ ารคูณในระบบจำนวนจริง ประกอบดว้ ย 1. สมบัตปิ ิดของการคณู ถา้ a, b เป็นจำนวนจริง แลว้ a ⋅ b ยอ่ มเปน็ จำนวนจรงิ 2. สมบัติการสลับทีข่ องการคูณ a ⋅ b = b ⋅ a 3. สมบตั ิการเปลยี่ นกลุ่มของการคูณ a (b ⋅ c) = (a ⋅ b) c 4. สมบัติการมีเอกลกั ษณ์ของการคณู 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1 5. สมบัติการมอี ินเวริ ์สของการคูณ (a-1) ⋅ a = 1 = a ⋅ (a-1) 6. สมบัติการแจกแจง a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c อสมการ หมายถึง การไม่เท่ากันของจำนวนหรือสิ่งของ เป็นการเปรียบเทียบของจำนวน สองจำนวนใด ๆ คณุ สมบตั กิ ารไม่เทา่ กนั ของจำนวนจริง ประกอบด้วย 1. สมบัติการถ่ายทอด ถา้ a > b และ b > c ดังนั้น a > c 2. สมบัตกิ ารบวกด้วยจำนวนเท่ากนั ถา้ a > b ดงั นน้ั a + c > b + c 3. จำนวนจรงิ บวกและจำนวนจริงลบ a เปน็ จำนวนจรงิ บวก ก็ตอ่ เมื่อ a > 0 a เปน็ จำนวนจรงิ ลบ กต็ ่อเมือ่ a < 0 4. สมบัติการคูณดว้ ยจำนวนเท่ากันทไี่ มเ่ ท่ากับศูนย์ ถา้ a > b และ c > 0 แลว้ a ⋅ c > b ⋅ c ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว a ⋅ c < b ⋅ c 5. สมบัติการตดั ออกสำหรบั การบวก ถา้ a + c > b + c แล้ว a > b 6. สมบัตกิ ารตัดออกสำหรบั การคณู ถา้ a ⋅ c > b ⋅ c และ c > 0 แล้ว a > b ถ้า a ⋅ c > b ⋅ c และ c < 0 แลว้ a < b ช่วง หมายถึง เชตของจำนวนจริง ที่แสดงอยู่ในรูปของเส้นจำนวน และสามารถกำหนด เป็นชว่ งของจำนวนได้ โดยทกุ ๆ จำนวนจะมจี ุดอยบู่ นเส้นจำนวนได้เพียงจุดเดียวเทา่ นนั้ ชว่ งของจำนวนจรงิ ประกอบดว้ ยรปู แบบต่าง ๆดังน้ี 1. ช่วงเปดิ (a, b) 2. ชว่ งปิด [a, b] 3. ช่วงก่ึงเปิด - ปดิ (a, b] หรือ ช่วงกงึ่ ปดิ - เปิด [a, b) หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 22 4. ชว่ งอนันต์ ประกอบด้วย (a, ∞), [a, ∞), (-∞, a) และ (-∞, a] การแกอ้ สมการ ใช้คณุ สมบตั กิ ารไม่เท่ากนั เช่น ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c (การบวกด้วยจำนวนทเี่ ทา่ กัน) ถ้า a > b แล้ว ac > bc (การคณู ดว้ ยจำนวนทีเ่ ทา่ กนั ) หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 23 แบบฝกึ หัดทา้ ยหน่วย หนว่ ยที่ 1 ระบบจำนวน คำชีแ้ จง จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้ 1. ระบบจำนวน มตี น้ กำเนดิ มาจากประเทศใด ............................................................................. 2. ระบบจำนวน หมายถึง ………………………………………………………………………………………………… 3. ระบบจำนวนจริง หมายถงึ …………………………………………………………………………………………… 4. จำนวนตรรกยะ หมายถงึ …………………………………………………………………………………………….. 5. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง …………………………………………………………………………………………… 6. สมบัตขิ องจำนวนจรงิ ประกอบดว้ ยอะไรบ้าง ………………………………………………………………… 7. สมบตั กิ ารเท่ากันของจำนวนจรงิ ประกอบดว้ ยอะไรบา้ ง …………………………………………………. 8. สมบตั กิ ารบวกในระบบจำนวนจรงิ ประกอบด้วยอะไรบา้ ง ………………………………………………. 9. สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง ประกอบดว้ ยอะไรบา้ ง ……………………………………………….. 10. สมการ หมายถงึ …………………………………………………………………………………………………………. 11. อสมการ หมายถึง ………………………………………………………………………………………………………. 12. คุณสมบัตกิ ารไมเ่ ท่ากันของจำนวนจรงิ ประกอบด้วยอะไรบา้ ง ………………………………………… 13. ช่วง หมายถึง ……………………………………………………………………………………………………………… 14. ช่วงของจำนวนจรงิ ประกอบด้วยรปู แบบใดบ้าง …………………………………………………………….. 15. การแก้อสมการ ใชค้ ณุ สมบตั ใิ ดบา้ ง ………………………………………………………………………………. หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 24 แบบฝึกทักษะที่ 1.1 หนว่ ยท่ี 1 ระบบจำนวน คำชแ้ี จง ข้อ 1. จงทำเคร่อื งหมาย  ระบุชนดิ ของจำนวนท่กี ำหนดให้ จำนวน จำนวนนบั จำนวนเตม็ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนจรงิ - 3 5 15 0.3254 0.24444 5 0 -9 1.25 - 17 3 25 ขอ้ 2. จงทำเคร่ืองหมาย  หน้าขอ้ ทีถ่ ูก และทำเครอื่ งหมาย  หนา้ ข้อที่ผิด 1. ....................... 7.1369.... เป็นจำนวนตรรกยะ 2. ....................... -5 + 5 เป็นจำนวนอตรรกยะ 3. ....................... จำนวนเต็มลบทมี่ คี ่านอ้ ยท่ีสดุ คอื -1 4. ....................... 0 เป็นจำนวนนับ 5. ....................... 8.454545...เป็นจำนวนตรรกยะ 6. ....................... มจี ำนวนเตม็ ระหว่าง 1 กับ 2 7. ....................... 0.2020020000...เปน็ จำนวนอตรรกยะ 8. ....................... จำนวนท่เี ขยี นได้ในรปู ทศนยิ มซ้ำไมเ่ ปน็ จำนวนตรรกยะ 9. ....................... จำนวนที่เขยี นไดใ้ นรปู ทศนิยมไมซ่ ้ำเปน็ จำนวนจรงิ 10. ....................... 3.75 + 2.1 เปน็ จำนวนตรรกยะ หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 25 แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.2 หนว่ ยท่ี 1 ระบบจำนวน คำชีแ้ จง ข้อ 1. จงทำเครือ่ งหมาย  หนา้ ข้อที่ถกู และทำเครื่องหมาย  หน้าข้อท่ีผิด 1. ....................... ถ้า ab = ac แล้ว b = c เมอ่ื a ≠ 0 2. ....................... ถา้ a = b แลว้ a2 = b2 3. ....................... ถ้า a2 = b2 แลว้ a = b 4. ....................... ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c 5. ....................... ถา้ a < b หมายถงึ a – b > 0 6. ....................... ถา้ a ⋅ b = 0 แลว้ a = 0 7. ....................... ถ้า a < b แลว้ a2 < b2 8. ....................... (a – b)2 ≥ 0 เสมอ 9. ....................... a ⋅ b > 0 แสดงว่า a > 0 และ b > 0 เทา่ นัน้ 10. ....................... a ⋅ b < 0 แสดงวา่ a < 0 และ b > 0 11. ....................... (a + b) x c = c x (a + b) เรยี กลกั ษณะเชน่ น้ีว่าสมบตั กิ ารสลับทข่ี องการ คณู จำนวนจรงิ 12. ....................... อนิ เวิร์สการคูณของจำนวนจริงใด ๆ คือ 0 13. ....................... (5 x 7) x 6 = 5 x (7 x 6) เรยี กว่าลกั ษณะเชน่ นวี้ า่ สมบตั ิการเปล่ียนกลมุ่ ของการคูณ 14. ....................... ผลคูณของจำนวนบวกสองจำนวนเปน็ จำนวนบวก 15. ....................... (3 x (6 + 2) = (3 x 6) + (3 x 2) เรียกลักษณะเชน่ นว้ี ่าสมบตั กิ ารเปลย่ี น กลุ่มการบวก 16. ....................... จำนวนคู่คือจำนวนเต็มท่หี ารดว้ ย 2 ลงตวั 17. ....................... ถา้ a, b และ c คดื จำนวนจริงใดๆ แล้ว (a + b)c = ac + bc 18. ....................... ในระบบจำนวนจรงิ เรยี ก 0 ว่าเปน็ เอกลกั ษณก์ ารบวก 19. ....................... ถ้า a < b และ c < 0 แลว้ ac < bc 20. ....................... จำนวนเต็มมสี มบตั ิปิดกับการหาร หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 26 แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.3 หนว่ ยท่ี 1 ระบบจำนวน คำชแี้ จง ข้อ 1. จงเขยี นชว่ งตอ่ ไปนใ้ี ห้อยใู่ นรปู ของเซตและเส้นจำนวน 1.1 (-5, 3] = ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.2 [6, ∞) = ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.3 (-∞, -3) = ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.4 (2, 9) = ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.5 (-∞, 0] = ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.6 [-2, 5] = ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ขอ้ 2. จงหาคำตอบของอสมการต่อไปนี้ และเขยี นคำตอบในรปู ของเซตและเส้นจำนวน 2.1 5x – 3 ≤ x + 9 ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 27 2.2 4 – x < 5(2 + x) ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. 2.3 -9 < 5x + 1 ≤ 16 ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. 2.4 -11 ≤ -2x -5 < 7 ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………….. หน่วยท่ี 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 28 แบบทดสอบหลงั เรยี น หนว่ ยที่ 1 ระบบจำนวน คำสงั่ จงทำเครอ่ื งหมาย X หนา้ ข้อทถี่ ูกทส่ี ุดลงในกระดาษคำตอบ 1. สญั ลกั ษณ์ หมายถงึ ข้อใด ก. 1000 ข. 10,000 ค. 1,00,000 ง. 10,00,000 2. จำนวนตรรกยะ คอื ขอ้ ใด ก. 12 - 5 ข. 0.5193... ค. 5+ 16 ง.  3. จำนวนอตรรกยะ คือข้อใด ก. 1 3 ข. 45 ค. 10.25 ง. 25 4. ถา้ a = b แลว้ b = c นั่นหมายความวา่ a = c เปน็ สมบตั ิตามขอ้ ใด ก. สมบัติการถ่ายทอด ข. สมบัติการบวกด้วยจำนวนทเี่ ท่ากนั ค. สมบตั กิ ารคณู ดว้ ยจำนวนทเี่ ทา่ กนั ง. สมบตั กิ ารสมมาตร 5. ถา้ x + (y + z) = (x + y) + z เปน็ สมบตั ติ ามขอ้ ใด ก. สมบัตกิ ารปิดของการบวก ข. สมบัติการเปล่ยี นกลมุ่ การบวก ค. สมบตั ิการสลับท่ีของการบวก ง. สมบัติการสะท้อน หน่วยที่ 1 ระบบจานวน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 29 6. คณุ สมบตั ติ ามขอ้ ใด ท่เี กิดขนึ้ ไดเ้ มอ่ื เซตของจำนวนจริงมกี ารเปรียบเทียบ ก. a < b < c ข. a = b, a < b, a > b ค. a ≤ b, a ≥ b ง. ถกู ทุกขอ้ 7. a + c > b + c น่นั หมายความวา่ a > b เปน็ สมบัตติ ามขอ้ ใด ก. สมบตั ิการตัดออกของการบวก ข. สมบัตกิ ารตัดออกของการคณู ค. สมบตั ิการบวกด้วยจำนวนท่ีเทา่ กนั ง. สมบตั ิการคูณดว้ ยจำนวนทเ่ี ทา่ กนั 8. [a, ∞) ตรงกบั เส้นจำนวนตามขอ้ ใด ก. a ข. a ค. 9. ง. I x =R} ตรงกับเสน้ จำนวนตามข้อใด a {x a ก. a a ข. a ค. ง. 10. คำตอบของอสมการ (x – 1)(x + 3) ≤ 0 คอื ขอ้ ใด ก. [-3, 1] ข. [-1, 3] ค. (-3, 1) ง. (1, 3) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ หน่วยที่ 1 ระบบจานวน