หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 30 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน สาระการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ ▪ ระบบเลขฐานสิบ 1. มีความรู้เกี่ยวกับระบบเลขฐานที่ใชง้ านใน ▪ ระบบเลขฐานสอง คอมพิวเตอร์ ▪ ระบบเลขฐานแปด ▪ ระบบเลขฐานสบิ หก 2. เปลี่ยนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง ▪ การเปลย่ี นเลขฐาน เลขฐานแปด และเลขฐานสบิ หกได้ ▪ การเปรยี บเทยี บเลขฐานสบิ 3. เปลีย่ นเลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสอง เลขฐานแปด และ และเลขฐานสิบหก เป็นเลขฐานสบิ ได้ เลขฐานสบิ หก 4. เปรียบเทยี บเลขฐานสบิ เลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหกได้ สมรรถนะประจาหน่วย แสดงความรู้เก่ียวกับระบบเลขฐานท่ใี ชง้ านในคอมพิวเตอร์ และมีทักษะในการเปล่ียนเลขฐาน ประยกุ ต์ความรเู้ กยี่ วกบั ระบบเลขฐานไปใชใ้ นชีวิตประจำวันและการประกอบอาชพี หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 31 แบบทดสอบกอ่ นเรยี น หนว่ ยท่ี 2 ระบบเลขฐาน คำสงั่ จงทำเครอื่ งหมาย X หน้าขอ้ ทถ่ี ูกทสี่ ดุ ลงในกระดาษคำตอบ 1. ระบบเลขฐานในขอ้ ใด ทม่ี คี วามสอดคล้องกับการทำงานของคอมพวิ เตอร์มากท่ีสุด ก. ระบบเลขฐานแปด ข. ระบบเลขฐานสอง ค. ระบบเลขฐานสบิ ง. ระบบเลขฐานสบิ หก 2. จำนวน 89758.056 ค่าของเลข 9 เทา่ กบั ข้อใด ก. 90000 ข. 9000 ค. 900 ง. 90 3. 110.012 มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด ก. (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) + (0 x 2-1) + (1 x 2-2) ข. (1 x 22) + (0 x 21) + (0 x 20) + (0 x 2-1) + (1 x 2-2) ค. (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) + (0 x 2-1) + (1 x 2-2) ง. (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) + (0 x 2-1) + (0 x 2-2) 4. 61 มีคา่ เท่ากบั เลขฐานแปด ขอ้ ใด ก. 568 ข. 578 ค. 658 ง. 758 5. 75 มีคา่ เท่ากับเลขฐานสบิ หก ขอ้ ใด ก. 4A ข. 4B16 ค. 4E16 ง. 4C16 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 32 6. 11011011112 มคี า่ เท่ากับเลขฐานสิบ ขอ้ ใด ก. 879 ข. 798 ค. 877 ง. 789 7. 328 มคี า่ เท่ากบั เลขฐานสบิ ข้อใด ก. 56 ข. 26 ค. 42 ง. 22 8. 11011.0112 มีคา่ เทา่ กับเลขฐานแปด ข้อใด ก. 33.38 ข. 22.28 ค. 55.58 ง. 44.48 9. จำนวน 1110.11012 มีคา่ เท่ากับเลขฐานสบิ หก ข้อใด ก. E.716 ข. 9.D16 ค. E.A16 ง. E.D16 10. ค่าของ 76.518 มีคา่ เท่ากบั เลขฐานสบิ หก ขอ้ ใด ก. AC.AD16 ข. 4D.B316 ค. 25.AD16 ง. 3D.A416 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 33 ระบบเลขฐาน หวั ขอ้ เรอ่ื ง 2.1 ระบบเลขฐานสิบ 2.2 ระบบเลขฐานสอง 2.3 ระบบเลขฐานแปด 2.4 ระบบเลขฐานสิบหก 2.5 การเปลี่ยนเลขฐาน 2.6 การเปรียบเทียบเลขฐานสบิ เลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหก สาระสาคญั ระบบเลขฐาน เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงจำนวนต่าง ๆ ระบบเลขฐานแต่ละ ระบบมีจำนวนตัวเลขที่ใช้เหมือนกับชื่อระบบตัวเลขนั้น และมีฐานของจำนวนเลขตามชื่อ เช่น เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบ เลขฐานสบิ หก ระบบเลขฐานท่มี ีความเกีย่ วข้องกับคอมพิวเตอร์ คือ ช่วยในเรื่องการจัดระบบดิจิทัล หรือระบบอิเล็กทรอนิกส์ในคอมพิวเตอร์ โดยส่วนใหญ่ระบบเลข ฐานที่ใช้ในคอมพิวเตอร์ได้แก่ ระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานแปด และระบบเลขฐานสิบหก โดย จะต้องมีการนำระบบเลขฐานดังกล่าวมาหาผลรวม และผลต่าง ตลอดจนกระทั่งการเปลี่ยนระบบ เลขฐานสิบ ระบบเลขฐานแปด และระบบเลขฐานสิบหกให้เป็นระบบเลขฐานสิบ และการเปลี่ยน ระบบเลขฐานสิบให้เป็นระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานแปด และระบบเลขฐานสิบหก เพื่อให้เกิด ความเข้าใจระบบการทำงานของคอมพิวเตอร์ ซ่ึงในการประมวลผลข้อมูลดว้ ยคอมพวิ เตอร์น้ัน ข้อมูล ตา่ ง ๆ จะถูกนำเขา้ เปน็ ลำดับของบิต (Bit) หรือเลขฐานสองก่อน เช่น 110100110110 บทนา ระบบเลขฐาน หมายถึง กลุ่มข้อมูลที่มีจำนวนหลัก ตามชื่อของฐานนั้น ๆ เช่น เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบ และเลขฐานสิบหก ประกอบด้วยข้อมูลตัวเลขจำนวนสองหลัก (0-1) แปด หลกั (0-7) สิบหลกั (0-9) และสบิ หกหลัก (0-F) ตามลำดบั ระบบเลขฐานทใี่ ชก้ นั ทว่ั ไปจะเป็นระบบเลขฐานสิบ ซึง่ มเี ลขท้ังหมด 10 ตวั คอื 0 – 9 แต่ละ ระบบเลขฐานที่ถูกนำมาใช้งานในด้านการเขียนโปรแกรม การควบคุมการทำงานของระบบ หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 34 คอมพวิ เตอรน์ น้ั มอี ยู่ 4 ระบบ คือ ระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานแปด ระบบเลขฐานสิบ และระบบ เลขฐานสิบหก การทำงานในระบบคอมพิวเตอรน์ ้ันจะใช้สัญลักษณ์ดิจิทัลซ่ึงจะมีระดบั สัญญาณไฟฟา้ เป็น 0 และ 1 หรือระบบเลขฐานสองนั่นเอง แต่การแทนตัวเลขต่าง ๆ โดยใช้ระบบเลขฐานสองน้ัน หากมีจำนวนตัวเลขมาก ๆ จะทำให้ยากต่อการนำมาใช้งาน และยากต่อการทำความเข้าใจ จึงได้นำ ระบบเลขฐานแปดและระบบเลขฐานสิบหกมาใช้เพื่อแทนค่าเลขฐานสอง เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายข้ึน โดย การเปลี่ยนเลขฐานสองให้อยู่ในรูปของเลขฐานแปดหรือเลขฐานสิบหรือเลขฐานสิบหกก่อน เพื่อให้ เหมาะกบั การนำไปใช้งาน ระบบเลขฐานท่ีใช้งานด้านคอมพวิ เตอร์ ไดแ้ ก่ ระบบเลขฐานสิบ (Decimal Number System) ระบบเลขฐานสอง (Binary Number System) ระบบเลขฐานแปด (Octal Number System) ระบบเลขฐานสบิ หก (Hexadecimal Number System) 2.1 ระบบเลขฐานสบิ (Decimal Number System) ระบบเลขฐานสบิ เปน็ ระบบเลขฐานท่ีประกอบดว้ ยเลข 10 ตัว คอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ซึง่ ระบบเลขฐานสบิ เป็นระบบเลขฐานทีค่ นทัว่ ไปสามารถเขา้ ใจไดง้ า่ ย ตวั เลขที่มคี ่านอ้ ยท่ีสุด คือ 0 และเลขท่มี ีค่ามากทส่ี ุด คือ 9 แต่ถ้าตอ้ งการให้มีค่ามากขึ้น ก็ตอ้ งเพิม่ จำนวนหลักเข้าไป เชน่ 10, 11, 12, 13, ..., 100, 101, 102, ... ค่าของเลขในแต่ละหลักจะมีค่าน้ำหนัก (Weight) ต่างกัน โดย เลขฐานสิบจะมีค่านำ้ หนกั (Weight) เปน็ 10 ยกกำลัง ดังตารางท่ี 2.1 Weight 107 106 105 104 103 102 101 100 1 Value 10000000 1000000 100000 10000 1000 100 10 ตารางท่ี 2.1 แสดงค่านำ้ หนกั (Weight) ของเลขฐานสบิ ตามตำแหน่งบติ ตวั อย่าง 2.1 จงกระจายตวั เลข 45,678 45,678 = (4 x 104) + (5 x 103) + (6 x 102) + (7 x 101) + (8 x 100) = 40000 + 5000 + 600 + 70 + 8 = 45,678 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 35 สำหรับเลขฐานสิบที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยม จะมีค่าน้ำหนัก (Weight) ของตัวเลขหลังจุด ทศนยิ มเรียงตามลำดับ ดังตารางที่ 2.2 Weight 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 Value 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 ตารางที่ 2.2 แสดงค่าน้ำหนัก (Weight) ของเลขฐานสิบหลังจุดทศนยิ มตามตำแหน่งบิต ตวั อย่าง 2.2 จงกระจายตวั เลข 123.45 123.45 = (1 x 102) + (2 x 101) + (3 x 100) + (4 x 10-1) + (5 x 10-2) = 100 + 20 + 3 + .4 + .05 = 123.45 2.2 ระบบเลขฐานสอง (Binary Number System) ระบบเลขฐานสอง เปน็ ระบบเลขฐานท่ีประกอบด้วยเลข 2 ตวั คอื 0 และ 1 ซงึ่ เปน็ เลขฐานท่ี ใช้ในคอมพิวเตอร์ เพราะอุปกรณท์ างไฟฟ้าจะมีสถานะเพียง 2 สถานะ คือ เปิด และ ปดิ ซึง่ เทยี บได้ กบั 0 และ 1 ถา้ นำเลขทัง้ สองมาเรียงต่อกันหลาย ๆ หลัก จะเรยี กแต่ละหลกั วา่ บิต (Bit) เช่น 01 มีคา่ เท่ากับ 2 บิต 0101 มคี า่ เทา่ กบั 4 บิต 01010101 มคี า่ เท่ากับ 8 บิต เลขฐานสองจะมีค่านำ้ หนัก (Weight) เปน็ 2 ยกกำลัง ดังตารางที่ 2.3 Weight 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 Value 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 Position 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ตารางท่ี 2.3 แสดงคา่ น้ำหนกั (weight) ของเลขฐานสองตามตำแหนง่ บิต หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 36 ตวั อยา่ ง 2.3 จงกระจายตวั เลข 1101012 1 1 0 1 0 12 = (1 x 25) + (1 x 24) + (0 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53 สำหรบั เลขฐานสองที่มตี วั เลขหลังจดุ ทศนยิ ม จะมคี า่ น้ำหนัก (Weight) ของตวั เลขหลงั จดุ ทศนยิ มเรียงลำดบั ดังตารางท่ี 2.4 Weight 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 Value 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 Position -1 -2 -3 -4 -5 -6 ตารางท่ี 2.4 แสดงค่าน้ำหนกั (Weight) ของเลขฐานสองหลังจุดทศนิยมตามตำแหนง่ บติ ตัวอยา่ ง 2.4 จงกระจายตัวเลข 10.011012 10.011012 = (1 x 21) + (0 x 20) + (0 x 2-1) + (1 x 2-2) + (1 x 2-3) + (0 x 2-4) + (1 x 2-5) = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 22 23 25 = 2 + 0 + 0 + .25 + .125 + 0 + .03125 = 2.40625 เลขฐานสอง บติ ท่ีมีคา่ น้ำหนัก (Weight) ต่ำท่สี ดุ หรือคา่ นัยสำคัญนอ้ ยทีส่ ุดซึง่ อยู่ทางขวามอื สุด เรียกวา่ LSB (Least Significant Bit) และ บิตทม่ี คี า่ น้ำหนัก (Weight) มากทีส่ ุดหรอื นยั สำคัญ มากทสี่ ุด ซึ่งอยทู่ างซ้ายมือสุด เรียกว่า MSB (Most Significant Bit) ดังรปู ที่ 2.1 Most Significant Bit Least Significant Bit (MSB) (LSB) 11010011 ภาพที่ 2.1 แสดง MSB และ LSB ของเลขฐานสอง หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 37 ในการเขยี นเลขฐานต่าง ๆ มักจะเขยี นอยู่ในรูปวงเล็บและมเี ลขฐานกำกบั ไว้ เชน่ (10101)2 เพื่อเปน็ การบอกวา่ เป็นเลขฐานอะไร แตถ่ า้ เป็นเลขฐานสบิ จะไมน่ ยิ มเขยี นเลขฐานกำกับไว้เหมือนเลข ฐานอื่น ๆ เพราะเป็นที่รู้กนั อยแู่ ล้ววา่ เป็นเลขฐานสบิ 2.3 ระบบเลขฐานแปด (Octal Number System) ระบบเลขฐานแปด เป็นระบบเลขฐานท่ปี ระกอบดว้ ยเลข 8 ตวั คอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 เลขฐานแปดจะมคี า่ นำ้ หนัก (Weight) เป็น 8 ยกกำลงั ดงั ตารางท่ี 2.5 Weight 88 87 86 85 84 83 82 81 80 Value 16777216 2097152 262144 32768 4096 512 64 8 1 Position 8 7 6 5 4 3 210 ตารางท่ี 2.5 แสดงคา่ นำ้ หนัก (Weight) ของเลขฐานแปดตามตำแหน่งบิต ตวั อยา่ ง 2.5 จงกระจายตัวเลข 21738 21738 = (2 x 83) + (1 x 82) + (7 x 81) + (3 x 80) = 1024 + 64 + 56 + 3 = 1147 สำหรบั เลขฐานแปดท่ีมตี ัวเลขหลงั จดุ ทศนิยม จะมีค่านำ้ หนัก (Weight) ของตวั เลขหลังจุด ทศนิยมเรยี งลำดับ ดังตารางท่ี 2.6 Weight 8-1 8-2 8-3 8-4 Value 0.125 0.015625 0.001953125 0.000244141 Position -1 -2 -3 -4 ตารางท่ี 2.6 แสดงคา่ น้ำหนกั (Weight) ของเลขฐานแปดหลังจดุ ทศนยิ มตามตำแหนง่ บติ ตวั อยา่ ง 2.6 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 38 จงกระจายตวั เลข 65.018 65.018 = (6 x 81) + (5 x 80) + (0 x 8-1) + (1 x 8-2) = 48 + 5 + 0 + 1 82 = 48 + 5 + 0 + 0.15625 = 53.015625 2.4 ระบบเลขฐานสบิ หก (Hexadecimal Number System) ระบบเลขฐานสิบหก เป็นระบบเลขฐานที่ประกอบด้วยตัวเลขและตัวอักษรภาษาอังกฤษ รวมทั้งหมด 16 ตัว ตัวเลข 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ ตัวอักษรที่ใช้แทนตัวเลขอกี 6 ตวั คือ A, B, C, D, E, F ซึง่ แทนตวั เลขดังน้ี A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 เลขฐานสบิ หกจะมีค่าน้ำหนกั (Weight) เป็น 16 ยกกำลัง ดังตารางท่ี 2.7 Weight 167 166 165 164 163 162 161 160 Value 268435456 16777216 1048576 65536 4096 256 16 1 Position 7 6 5 4 3 210 ตารางที่ 2.7 แสดงคา่ น้ำหนัก (Weight) ของเลขฐานสิบหกตามตำแหนง่ บิต ตวั อยา่ ง 2.7 จงกระจายตวั เลข 13DF16 13DF16 = (1 x 163) + (3 x 162) + (13 x 161) + (15 x 160) = 4096 + 768 + 208 + 15 = 5087 สำหรบั เลขฐานสบิ หกทีม่ ีตวั เลขหลังจดุ ทศนยิ ม จะมคี ่านำ้ หนกั (Weight) ของตัวเลขหลงั จุด ทศนยิ มเรียงลำดับ ดังตารางที่ 2.8 Weight 16-1 16-2 16-3 16-4 Value 0.0625 0.00390625 0.000244140625 0.0000152587890625 Position -1 -2 -3 -4 ตารางท่ี 2.8 แสดงค่าน้ำหนกั (Weight) ของเลขฐานสบิ หกหลงั จดุ ทศนยิ มตามตำแหนง่ บิต ตัวอยา่ ง 2.8 หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 39 จงกระจายตัวเลข 7.2A16 7.2A16 = (7 x 160) + (2 x 16-1) + (10 x 16-2) = 7 + 2 + 10 16 162 = 7 + .125 + .0390625 = 7.1640625 2.5 การเปล่ียนเลขฐาน 2.5.1 การเปล่ยี นเลขฐานสิบเป็ นเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสบิ หก ▪ การเปลี่ยนเลขฐานสิบเป็ นเลขฐานสอง กรณีเลขจำนวนเต็ม 1. นำค่าตวั เลขฐานสบิ เป็นตัวต้ังแลว้ หารส้นั ดว้ ยเลข 2 2. นำเศษท่ีไดจ้ ากการหารในแตล่ ะครั้งมาเป็นคำตอบ โดยให้หารแล้วกำกับเศษไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะหารต่อไปไม่ได้ 3. คำตอบที่ได้คือ ลำดบั เศษทไี่ ดจ้ ากการหาร โดยการเรียงลำดับจากล่างข้นึ บน ตัวอยา่ ง 2.9 1 0 จงเปล่ยี น (25)10 เป็นเลขฐานสอง 0 2 ) 25 1 2 ) 12 1 2)6 2)3 2)1 0 ดงั น้ัน 25 = 110012 กรณีเลขทศนิยม 1. นำเลขหลังจุดทศนยิ มของเลขฐานสบิ เปน็ ตวั ตง้ั แลว้ คณู ด้วยเลข 2 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 40 2. แยกค่าตัวเลขที่อยู่หน้าจุดทศนิยมมาเป็นคำตอบ ส่วนตัวเลขหลังจุดทศนิยมใหน้ ำไปคณู ต่อไปเรื่อย ๆ จนไม่มีค่าหรือค่าเป็นศูนย์ หรือในกรณีเป็นเลขทศนิยมไม่รู้จบ ก็สามารถตัดตำแหน่ง ตามจำนวนท่ตี ้องการได้ 3. คำตอบทีไ่ ด้คือ ให้นำเลขหนา้ ทศนิยมทีแ่ ยกไว้ โดยเรยี งจากบนลงลา่ ง ตัวอย่าง 2.10 จงเปล่ยี น (.1875)10 เป็นเลขฐานสอง 0 .1875 x 2 0 .3750 x 2 0 .7500 x 2 1 .5000 x 2 1 .0000 ดังนัน้ 0.1875 = 0.00112 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 41 ตัวอย่าง 2.11 จงเปล่ียน (159.5720)10 เปน็ เลขฐานสอง ในกรณีนใ้ี ห้แยกทำสองสว่ น คือสว่ นเลขจำนวนเต็ม และส่วนเลขทศนิยม เปลย่ี น 159 ให้เปน็ ฐานสอง เปลีย่ น .5720 ใหเ้ ปน็ ฐานสอง 2 ) 159 0 .5720 x 2 ) 79 1 2 2 ) 39 1 1 .1440 x 2 ) 19 1 2 2)9 1 0 .2880 x 2)4 1 2 2)2 0 0 .5760 x 2)1 0 2 01 1 .1520 x 2 0 .5040 ดงั น้ัน 159.5720 = 10011111.100102 ▪ การเปลย่ี นเลขฐานสบิ เป็ นเลขฐานแปด กรณเี ลขจำนวนเตม็ 1. นำคา่ ตวั เลขฐานสิบเปน็ ตวั ตงั้ แล้วหารส้ันดว้ ยเลข 8 2. นำเศษท่ีได้จากการหารในแตล่ ะคร้ังมาเปน็ คำตอบ โดยให้หารแลว้ กำกับเศษไปเรื่อย ๆ จนกวา่ จะหารตอ่ ไปไม่ได้ 3. คำตอบที่ไดค้ ือ ลำดบั เศษท่ีได้จากการหาร โดยการเรียงลำดบั จากลา่ งขน้ึ บน ตัวอย่าง 2.12 จงเปล่ียน (501)10 เปน็ เลขฐานแปด 5 8 ) 501 6 8 ) 62 7 8)7 0 ดงั น้นั 501 = 7658 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 42 กรณีเลขทศนิยม 1. นำเลขหลงั จุดทศนิยมของเลขฐานสบิ เป็นตวั ต้ัง แลว้ คูณด้วยเลข 8 2. แยกค่าตัวเลขที่อยู่หน้าจุดทศนิยมมาเป็นคำตอบ ส่วนตัวเลขหลงั จุดทศนิยมใหน้ ำไปคูณ ต่อไปเรื่อย ๆ จนไม่มีค่าหรือค่าเป็นศูนย์ หรือในกรณีเป็นเลขทศนิยมไม่รู้จบ ก็สามารถตัดตำแหน่ง ตามจำนวนท่ีตอ้ งการได้ 3. คำตอบที่ได้คือ ใหน้ ำเลขหน้าทศนิยมทแ่ี ยกไว้ โดยเรียงจากบนลงลา่ ง ตัวอยา่ ง 2.13 จงเปลี่ยน (.45)10 เปน็ เลขฐานแปด 0 .45 x 8 3 .60 x 8 4 .80 x 8 6 .40 x 8 3 .20 x 8 1 .60 x 8 4 .80 ดงั นน้ั 0.45 = 0.3463148 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 43 ตัวอยา่ ง 2.14 จงเปลยี่ น 2345.0390625 เปน็ เลขฐานแปด ในกรณนี ้ีให้แยกทำสองส่วน คือส่วนเลขจำนวนเตม็ และสว่ นเลขทศนิยม เปลีย่ น 2345 ใหเ้ ปน็ ฐานแปด 1 เปลีย่ น .0390625 ใหเ้ ปน็ ฐานแปด 8 ) 2345 0 .0390625 x 8 ) 293 8 8 ) 36 5 0 .3125000 x 8)4 4 8 04 2 .5000000 x 8 4 .0000000 ดงั นนั้ 2345.0390625 = 4451.0248 ▪ การเปลย่ี นเลขฐานสบิ เปน็ เลขฐานสบิ หก กรณเี ลขจำนวนเต็ม 1. นำค่าตวั เลขฐานสิบเปน็ ตวั ต้งั แล้วหารสนั้ ดว้ ยเลข 16 2. นำเศษที่ได้จากการหารในแตล่ ะครงั้ มาเปน็ คำตอบ โดยให้หารแลว้ กำกบั เศษไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะหารตอ่ ไปไม่ได้ 3. คำตอบท่ีไดค้ ือ ลำดับเศษที่ได้จากการหาร โดยการเรยี งลำดบั จากลา่ งขึน้ บน ตัวอยา่ ง 2.15 จงเปล่ยี น 9871 เปน็ เลขฐานสบิ หก 16 ) 9871 16 ) 616 15 = F 16 ) 38 8 16 ) 2 6 0 2 ดังนัน้ 9871 = 268F16 หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 44 กรณเี ลขทศนิยม 1. นำเลขหลงั จุดทศนิยมของเลขฐานสบิ เปน็ ตวั ตั้ง แลว้ คณู ด้วยเลข 16 2. แยกค่าตัวเลขที่อยู่หน้าจุดทศนิยมมาเป็นคำตอบ ส่วนตัวเลขหลังจุดทศนิยมใหน้ ำไปคูณ ต่อไปเรื่อย ๆ จนไม่มีค่าหรือค่าเป็นศูนย์ หรือในกรณีเป็นเลขทศนิยมไม่รู้จบ ก็สามารถตัดตำแหน่ง ตามจำนวนทต่ี ้องการได้ 3. คำตอบทีไ่ ดค้ ือ ให้นำเลขหนา้ ทศนิยมทแ่ี ยกไว้ โดยเรียงจากบนลงล่าง ตัวอยา่ ง 2.16 จงเปลย่ี น .96875 เปน็ เลขฐานสิบหก 0 .96875 x 16 15.50000 x 16 8 .00000 ดังนนั้ .96875 = 0.F816 ตัวอยา่ ง 2.17 จงเปลย่ี น 9016.1015625 ในกรณนี ใี้ ห้แยกทำสองส่วน คือส่วนเลขจำนวนเต็ม และส่วนเลขทศนยิ ม เปลยี่ น 9016 ใหเ้ ป็นฐานสิบหก เปลี่ยน .1015625 ให้เป็นฐานสบิ หก 0 .1015625x 16 ) 9016 16 1 .6250000 x 16 ) 563 8 16 10.0000000 16 ) 35 3 16 ) 2 3 02 ดังน้ัน 9016.1015625 = 2338.1A16 หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 45 2.5.2 การเปล่ียนเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหกเป็ นเลขฐานสบิ ▪ การเปลย่ี นเลขฐานสองเป็ นเลขฐานสิบ กรณเี ลขจำนวนเตม็ 1. ให้นำตัวเลขแต่ละตัวของฐานสองมาคูณด้วย 2 n โดยที่ n คือค่าประจำหลักซึ่งค่า ประจำหลักจะเรมิ่ ตน้ จาก 0 แล้วเพิ่มขน้ึ ทลี ะหนง่ึ จากขวาไปซา้ ย 2. คำตอบท่ีได้คือ ให้นำผลคณู ของแต่ละหลกั มารวมกนั ตัวอยา่ ง 2.18 จงเปลยี่ น 1111100002 เป็นเลขฐานสิบ 111110000 = (1 x 28) +(1 x 27) + (1 x 26) + (1 x 25) + (1 x 24) + (0 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) + (0 x 20) = 256 + 128 + 64 + 32 + 16 = 496 ดังน้นั 1111100002 = 496 กรณีเลขทศนยิ ม 1. ให้นำตัวเลขแต่ละตัวของฐานสองมาคูณด้วย 2 -n โดยที่ n คือค่าประจำหลัก ซึ่งค่า ประจำหลักจะเริ่มต้นจาก -1 แล้วลดลงทีละหนึ่งจากตำแหน่งซ้ายที่ติดกับจุดทศนิยมแล้วไล่ไป ทางขวามอื 2. คำตอบท่ไี ดค้ อื ให้นำผลคูณของแตล่ ะหลกั มารวมกัน ตัวอยา่ ง 2.19 จงเปลี่ยน .01012 เป็นเลขฐานสบิ .01012 = (0 x 2-1) +(1 x 2-2) + (0 x 2-3) + (1 x 2-4) = (0 X 12) + (1 x 14) + (0 x 18) + (1 x 116) = (0 x 0.5) + (1 x 0.25) + (0 x 0.125) + (1 x 0.0625) = 0.25 + 0.0625 = 0.3125 ดงั นัน้ .01012 = 0.3125 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 46 ตัวอย่าง 2.20 จงเปล่ียน 111.0112 เป็นเลขฐานสิบ 111.01112 = (1 x 22) +(1 x 21) + (1 x 20) + (0 x 2-1) + (1 x 2-2) + (1 x 2-3) = (1 X 4) + (1 x 2) + (1 x 1) + (0 x 21) + (1 x 14) + (1 x 81) = 4 + 2 + 1 + 0.25 + 0.125 = 7 + 0.375 = 7.375 ดังน้ัน 111.0112 = 7.375 ▪ การเปลี่ยนเลขฐานแปดเป็ นเลขฐานสิบ กรณีเลขจำนวนเต็ม 1. ให้นำตัวเลขแต่ละตัวของฐานแปดมาคูณด้วย 8 n โดยที่ n คือค่าประจำหลักซึ่งค่า ประจำหลักจะเร่มิ ต้นจาก 0 แลว้ เพิม่ ขึน้ ทลี ะหนึ่งจากขวาไปซา้ ย 2. คำตอบทีไ่ ดค้ ือ ให้นำผลคูณของแตล่ ะหลักมารวมกนั ตัวอย่าง 2.21 จงเปลย่ี น 7608 เป็นเลขฐานสิบ 7608 = (7 x 82) +(6 x 81) + (0 x 80) = (7 x 64) + (6 x 8) + (0 x 1) = 448 + 48 + 0 = 496 ดงั น้ัน 7608 = 496 กรณีเลขทศนยิ ม 1. ให้นำตัวเลขแต่ละตัวของฐานแปดมาคูณด้วย 8 -n โดยที่ n คือค่าประจำหลัก ซึ่งค่า ประจำหลักจะเริ่มต้นจาก -1 แล้วลดลงทีละหนึ่งจากตำแหน่งซ้ายที่ติดกับจุดทศนิยมแล้วไล่ไป ทางขวามอื 2. คำตอบที่ไดค้ ือ ให้นำผลคณู ของแตล่ ะหลักมารวมกัน หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 47 ตัวอยา่ ง 2.22 จงเปลี่ยน .3158 เป็นเลขฐานสิบ .3158 = (3 x 8-1) +(1 x 8-2) + (5 x 8-3) = (3 x 18) + (1 x 614) + (5 x 5112) = 0.375 + 0.0156 + 0.00976 = 0.40036 ดงั น้นั 3158 = 0.40036 ตัวอยา่ ง 2.23 จงเปล่ยี น 635.248 เปน็ เลขฐานสิบ 635.248 = (6 x 82) +(3 x 81) + (5 x 80) + (2 x 8-1) + (4 x 8-2) = (6 X 64) + (3 x 8) + (5 x 1) + (2 x 18) + (4 x 614) = 384 + 24 + 5 + 0.25 + 0.0625 = 413 + 0.3125 = 413.3125 ดังนั้น 635.248 = 413.3125 ▪ การเปลย่ี นเลขฐานสบิ หกเป็ นเลขฐานสิบ กรณีเลขจำนวนเต็ม 1. ให้นำตัวเลขแต่ละตัวของฐานสิบหกมาคูณด้วย 16 n โดยที่ n คือค่าประจำหลักซึ่งค่า ประจำหลักจะเรมิ่ ต้นจาก 0 แล้วเพม่ิ ข้ึนทีละหนึง่ จากขวาไปซา้ ย 2. คำตอบท่ไี ด้คือ ให้นำผลคณู ของแต่ละหลักมารวมกัน หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 48 ตัวอยา่ ง 2.24 จงเปล่ียน 1AF16 เป็นเลขฐานสบิ 1AF16 = (1 x 162) +(10 x 161) + (15 x 160) = (1 x 256) + (10 x 16) + (15 x 1) = 256 + 160 + 15 = 431 ดังน้นั 1AF16 = 431 กรณีเลขทศนิยม 1. ให้นำตัวเลขแต่ละตัวของฐานสบิ หกมาคูณด้วย 16 -n โดยที่ n คือค่าประจำหลัก ซึ่งค่า ประจำหลักจะเริ่มต้นจาก -1 แล้วลดลงทีละหนึ่งจากตำแหน่งซ้ายที่ติดกับจุดทศนิยมแล้วไล่ไป ทางขวามือ 2. คำตอบทีไ่ ด้คือ ใหน้ ำผลคูณของแต่ละหลกั มารวมกนั ตัวอยา่ ง 2.25 จงเปลย่ี น .2C16 เป็นเลขฐานสิบ .2C16 = (2 x 16-1) +(12 x 16-2) = (1 x 116) + (12 x 2156) = 0.0625 + 0.046875 = 0.109375 ดงั น้นั .2C16 = 0.109375 หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 49 ตัวอย่าง 2.26 จงเปลีย่ น E5A.6B16 เปน็ เลขฐานสิบ E5A.6B16 = (14 x 162) +(5 x 161) + (10 x 160) + (6 x 16-1) + (11 x 16-2) = (14 X 256) + (5 x 16) + (10 x 1) + (6 x 116) + (11 x 2156) = 3584 + 80 + 10 + (6 x 0.0625) + (11 x 0.0429) = 3674.8469 ดงั นน้ั E5A.6B16 = 3674.8469 2.6 การเปรยี บเทยี บเลขฐานสบิ เลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสบิ หก เลขฐานสบิ เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบหก 0 0000 0000 0 0 1 0000 0001 1 1 2 0000 0010 2 2 3 0000 0011 3 3 4 0000 0100 4 4 5 0000 0101 5 5 6 0000 0110 6 6 7 0000 0111 7 7 8 0000 1000 10 8 9 0000 1001 11 9 10 0000 1010 12 A 11 0000 1011 13 B 12 0000 1100 14 C 13 0000 1101 15 D 14 0000 1110 16 E 15 0000 1111 17 F หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 50 เลขฐานสบิ เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบหก 16 0001 0000 20 10 17 0001 0001 21 11 18 0001 0010 22 12 19 0001 0011 23 13 20 0001 0100 24 14 ตารางท่ี 2.9 ตารางเปรยี บเทียบคา่ ตัวเลข 0-20 ของเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสบิ หก การเปลี่ยนเลขฐานจากเลขฐานหนึ่งไปเป็นเลขอีกฐานหนึ่ง สาเหตุที่ต้องมีการเปลี่ยนของ ตัวเลข เน่ืองจากระบบเลขทัว่ ไปจะมีการใช้เฉพาะระบบเลขฐานสบิ การเตรยี มขอ้ มลู สำหรับการนำมา คำนวณในเครื่องคอมพิวเตอร์จะใช้ระบบเลขฐานสิบเช่นกัน แต่ในการคำนวณภายในเครื่อง คอมพิวเตอร์ระบบเลขฐานสองจะเปน็ ระบบเลขฐานที่เหมาะสมที่สดุ เพราะในระบบเลขฐานสอง นั้น มีค่าที่ใช้อยูเ่ พียง 2 ค่าคือ 0 กับ 1 ซึ่งเมื่อมาประยกุ ต์ใช้กับระบบอุปกรณท์ างอิเล็กทรอนิกส์จะเทียบ ไดก้ บั สภาวะ 2 สภาวะคอื เปดิ กบั ปดิ หรือ ลบ กบั บวก จึงนับไดว้ ่าระบบเลขฐานสองเป็นหวั ใจหลัก ของการคำนวณในเครอื่ งคอมพิวเตอร์ทจ่ี ะสามารถทำงานไดอ้ ย่างรวดเร็ว และมปี ระสิทธภิ าพสูง ทำ ใหบ้ ริษทั ผผู้ ลิตเคร่อื งคอมพวิ เตอร์สว่ นใหญ่ นิยมออกแบบเครื่องให้ใชก้ ับระบบเลขฐานสอง เป็นส่วน ใหญ่ นอกจากระบบเลขฐานสอง แล้วยังมีระบบเลขฐานแปด และระบบเลขฐานสิบหก ซึ่งเป็น ระบบเลขฐานทมี่ ีความสัมพนั ธก์ ับเลขฐานสอง เพราะ 23 = 8 และ 24 = 16 ซึ่งเครอ่ื งคอมพิวเตอร์จะ ใช้กบั ระบบเลขฐานดงั กลา่ ว ในการเปลี่ยนระบบเลขฐานไม่จำเป็นจะต้องเปลี่ยนเฉพาะระบบเลขฐานที่ได้กล่าวไว้นั้น จะ ใช้ได้ทั่วไปกับเลขทุกฐาน แต่ที่เป็นเฉพาะเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหกนั้น เพราะเป็นระบบ เลขฐานที่ใช้กับเครื่องคอมพิวเตอร์ สำหรับกรณีที่เลขฐานไม่มีความสัมพันธ์กันนอกจากเลขฐานสอง เลขฐานแปด และและฐานสิบหกแล้ว การเปลี่ยนเลขฐานอื่น ๆ จากฐานหนึ่งไปเป็นอีกฐานหนึ่ง สามารถทำได้โดยการเปลี่ยนเลขฐานนั้นให้เป็นเลขฐานสิบก่อน โดยใช้วิธีการกำหนดหลักของตัวเลข (Positional Notation) แล้วเปลี่ยนเป็นเลขฐานตามที่เราต้องการอีกครั้งหนึ่ง และในการเปลี่ยนเลข ฐานใด ๆ สามารถเปลี่ยนจากเลขฐานหนึ่งไปเป็นอีกเลขฐานหนึ่งได้ โดยผลลัพธ์จากการเปลี่ยนน้ัน ยังคงเท่าเดิม (คา่ ตวั เลขจะเปลี่ยนไปตามเลขฐานนั้น ๆ แตจ่ ะมีคา่ เท่ากนั ) หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 51 2.6.1 การเปลยี่ นเลขฐานสองกบั เลขฐานแปด เลขฐานสอง เลขฐานแปด 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 ตารางท่ี 2.10 แสดงความสัมพันธ์ระหวา่ งเลขฐานสองกับเลขฐานแปด การเปลี่ยนเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานแปด ทำได้โดยการแบ่งตัวเลขฐานสองออกเป็นชุด ๆ ละ 3 บติ ▪ ถ้าเป็นเลขจำนวนเต็มให้นับจากทางขวามือไปทางซ้ายมือ ถ้าชุดสุดท้ายไม่ครบ จำนวน 3 บิต ให้เติมเลข 0 ลงไป แลว้ แทนค่าใหเ้ ป็นเลขฐานแปด ▪ ถ้าเป็นเลขทศนยิ มใหน้ ับจากทางซ้ายมอื ไปทางขวามอื ถ้าชุดสุดทา้ ยไม่ครบจำนวน 3 บิต ใหเ้ ตมิ เลข 0 ลงไป แล้วแทนค่าให้เป็นเลขฐานแปด ตัวอย่าง 2.27 จงเปล่ียน 100011011101.0101012 เป็นเลขฐานแปดโดยการแบ่งกลุม่ บติ 100011011101.0101012 = 100 011 011 101 . 010 1012 = 4 3 3 5. 2 5 ดงั นั้น 100011011101.0101012 = 4335.258 หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 52 ตวั อยา่ ง 2.28 จงเปล่ียน 10111011.01101112 เป็นเลขฐานแปด โดยการแบง่ กลุม่ บิต 10111011.01101112 = 010 111 011 . 011 011 1002 = 2 7 3 .3 3 4 ดังนนั้ 10111011.01101112 = 273.3348 การเปลี่ยนเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสอง ทำได้โดยการกระจายเลขฐานแปดหนึ่งหลัก ให้ เป็นเลขฐานสอง กลมุ่ ละ 3 บิต ตวั อยา่ ง 2.29 จงเปล่ยี น 7608 เปน็ เลขฐานสอง โดยการแบ่งกลมุ่ บิต 7608 = 7 6 08 = 111 110 000 ดังนัน้ 7608 = 1111100002 ตัวอยา่ ง 2.30 จงเปลย่ี น 653.2018 เปน็ เลขฐานสอง โดยการแบ่งกลมุ่ บิต 653.2018 = 6 5 3 . 2 0 18 = 110 101 011 . 010 000 001 ดังนน้ั 653.2018 = 110101011 . 0100000012 หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 53 2.6.2 การเปล่ยี นเลขฐานสองกบั เลขฐานสิบหก เลขฐานสอง เลขฐานสบิ หก 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F ตารางท่ี 2.11 แสดงความสัมพนั ธร์ ะหว่างเลขฐานสองกบั เลขฐานสิบหก การเปลี่ยนเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบหก ทำได้โดยการแบ่งตัวเลขฐานสองออกเป็นชุด ๆ ละ 4 บิต ▪ ถ้าเป็นเลขจำนวนเต็มให้นับจากทางขวามือไปทางซ้ายมือ ถ้าชุดสุดท้ายไม่ครบ จำนวน 4 บิต ใหเ้ ตมิ เลข 0 ลงไป แล้วแทนค่าใหเ้ ปน็ เลขฐานสบิ หก ▪ ถ้าเป็นเลขทศนิยมใหน้ บั จากทางซา้ ยมือไปทางขวามือ ถ้าชุดสุดท้ายไม่ครบจำนวน 4 บิต ใหเ้ ติมเลข 0 ลงไป แลว้ แทนค่าใหเ้ ป็นเลขฐานสบิ หก หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 54 ตัวอย่าง 2.31 จงเปลีย่ น 11011110101110.101011012 เปน็ เลขฐานสิบหก โดยการแบ่งกลุ่มบิต 11011110101110.101011012 = 0011 0111 1010 1110 . 1010 11012 =3 7 A E .A D ดงั นน้ั 10111011.01101112 = 37AE.AD16 ตัวอย่าง 2.32 จงเปลยี่ น 1110100101.10001010112 เปน็ เลขฐานสบิ หก โดยการแบง่ กลุ่มบิต 1110100101.10001010112 = 0011 1010 0101 . 1000 1010 11002 =3 A 5. 8 A C ดังนน้ั 1110100101.10001010112 = 3A5.8AC16 ในการเปลี่ยนเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสอง ทำได้โดยการกระจายเลขฐานสิบหกหน่ึง หลัก ใหเ้ ป็นเลขฐานสอง กลุ่มละ 4 บติ ตัวอยา่ ง 2.33 จงเปลี่ยน 9A7D16 เปน็ เลขฐานสอง โดยการแบง่ กลุ่มบิต 9A7D16 = 9 A 7 D16 = 1001 1010 0111 1101 ดงั นน้ั 9A7D16 = 10011010011111012 หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 55 ตัวอย่าง 2.34 716 จงเปล่ียน 1CDE.2B716 เป็นเลขฐานสอง โดยการแบ่งกลุ่มบติ 1CDE.2B716 = 1 C D E . 2 B = 0001 1100 1101 1110 . 0010 1011 0111 ดังนน้ั 1CDE.2B716 = 0001110011011110 .0010101101112 2.6.3 การเปล่ยี นเลขฐานแปดกบั เลขฐานสิบหก การเปลี่ยนเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสิบหก สามารถทำได้โดยการเปลี่ยนเลขฐานแปดให้ เป็นเลขฐานสองก่อน แล้วจงึ เปลีย่ นจากเลขฐานสองทไี่ ด้ไปเปน็ เลขฐานสบิ หก เลขฐานแปด เลขฐานสอง เลขฐานสิบหก (Octal) (Binary) (Hex) ภาพที่ 2.2 ลำดับขน้ั การเปลี่ยนจากเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสบิ หก ตวั อย่าง 2.35 จงเปลย่ี น 67158 เป็นเลขฐานสิบหก โดยการแบง่ กลุ่มบติ 67158 = 6 7 1 58 = 110 111 001 101 เปลีย่ นจากเลขฐานแปดเปน็ = 1101 1100 1101 เลขฐานสอง แบ่งตวั เลขชดุ ละ 4 บิต =D C D เปลีย่ นเปน็ เลขฐานสิบหก ดังนน้ั 67158 = DCD16 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 56 ตัวอยา่ ง 2.36 68 จงเปล่ยี น 7436.5168 เป็นเลขฐานสบิ หก โดยการแบ่งกลุ่มบติ 7436.5168 = 7 4 3 6 . 5 1 = 111 100 011 110 . 101 001 110 = 1111 0001 1110 . 1010 0111 0000 = F 1 D .A 7 0 ดงั นนั้ 7436.5168 = F1D.A7016 การเปลี่ยนเลขฐานสิบหกใหเ้ ป็นเลขฐานแปด สามารถทำได้โดยการเปลี่ยนเลขฐานสิบหกให้ เปน็ เลขฐานสองก่อน แลว้ จึงเปลี่ยนจากเลขฐานสองท่ีได้ไปเปน็ เลขฐานแปด เลขฐานสบิ หก เลขฐานสอง เลขฐานแปด (Hex) (Binary) (Octal) ภาพที่ 2.3 ลำดบั ขน้ั การเปลี่ยนจากเลขฐานสบิ หกเป็นเลขฐานแปด ตัวอย่าง 2.37 จงเปล่ียน A1C916 เปน็ เลขฐานแปด โดยการแบง่ กลมุ่ บิต A1C916 = A 1 C 916 = 1010 0001 1100 1001 เปลย่ี นจากเลขฐานสิบหกเปน็ = 001 010 000 111 001 001 เลขฐานสอง แบง่ ตวั เลขชดุ ละ 3 บิต =1 2 0 7 1 1 เปลย่ี นเป็นเลขฐานแปด ดงั นน้ั A1C916 = 1207118 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 57 ตัวอยา่ ง 2.38 จงเปล่ยี น E13D.61A816 เปน็ เลขฐานแปด โดยการแบง่ กลมุ่ บติ E13D.61A816 = E 1 3 D . 6 1 A 816 = 1110 0001 0011 1101 . 0110 0001 1010 1000 = 001 110 000 100 111 101 . 011 000 011 010 100 000 =1 6 0 4 7 5.3 0 3 2 4 0 ดังน้นั E13D.61A816 = 160475.3032408 สรุปทา้ ยหน่วย ระบบเลขฐานสบิ เปน็ ระบบเลขฐานท่ีใชใ้ นการสอื่ สารกันทวั่ ไป ประกอบดว้ ย 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, และ 9 ระบบเลขฐานสอง เป็นระบบเลขฐานที่ใช้งานภายในระบบคอมพิวเตอร์ ประกอบด้วย ตวั เลข 0 กบั 1 ซึ่งมีความเหมาะสมและลงตวั ตอ่ การกำหนดสถานะของวงจรไฟฟา้ คอื สถานะเปดิ กับ ปิด เนื่องจากระบบเลขฐานสองซึ่งมีเพียง 0 กับ 1 จึงทำให้ต้องแทนค่าข้อมูลต่าง ๆ ด้วยบิต จำนวนมาก ดังนั้น เพื่อให้เกิดความสะดวกต่อการอ้างอิงมากขึ้น จึงมีการนำระบบเลขฐานแปดและ ระบบเลขฐานสิบหกมาใช้ อกี ทงั้ ยงั ช่วยประหยัดหนว่ ยความจำได้มากขนึ้ ระบบเลขฐานแปด ประกอบด้วยตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 มีความสัมพันธ์ใกล้ชิด กบั เลขฐานสองคือ เลขสามหลกั ของเลขฐานสองมีค่าเทา่ กบั หนึ่งหลักในเลขฐานแปด ระบบเลขฐานสิบหก ประกอบด้วยตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E และ F มีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับเลขฐานสองคือ เลขสี่หลักของเลขฐานสองมีค่าเท่ากับหนึ่งหลักใน เลขฐานสบิ หก การเปลี่ยนเลขฐาน การเปลีย่ นเลขฐานสิบใหเ้ ปน็ เลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหก ในกรณีเลขจำนวนเต็ม มีขน้ั ตอนในการเปลยี่ นดงั น้ี 1. นำค่าตวั เลขฐานสิบเปน็ ตัวตั้ง แลว้ หารสัน้ ดว้ ยเลขฐานท่ีต้องการเปล่ียน หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 58 2. นำเศษที่ได้จากการหารในแต่ละครั้งมาเป็นคำตอบ โดยให้หารแล้วกำกับเศษไปเรื่อย ๆ จนหารตอ่ ไปไมไ่ ด้ 3. คำตอบท่ไี ด้คอื ลำดบั เศษท่ีไดจ้ ากการหาร โดยการเรียงลำดบั จากล่างข้ึนบน ในกรณเี ลขทศนยิ ม มีขั้นตอนการเปล่ยี นดังนี้ 1. นำตัวเลขหลงั จุดทศนยิ มของเลขฐานสิบเปน็ ตวั ตง้ั แล้วคูณด้วยเลขฐานที่ต้องการเปลี่ยน 2. แยกค่าตวั เลขที่อยู่หน้าจุดทศนยิ มมาเป็นคำตอบ ส่วนตัวเลขหลังจุดทศนิยมให้นำมาคูณ ต่อไปเรื่อย ๆ จนไม่มีค่าหรือเป็นค่าศูนย์ หรือในกรณีเป็นเลขทศนิยมไม่รู้จบ ก็สามารถ ตดั ตำแหน่งตามจำนวนทต่ี อ้ งการ 3. คำตอบทไี่ ด้คอื ให้นำเลขหน้าทศนยิ มท่ีแยกไว้ โดยการเรียงจากบนลงลา่ ง การเปลีย่ นเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสบิ ในกรณีเลขจำนวนเตม็ มีขน้ั ตอนการเปลย่ี นดงั นี้ 1. นำค่าตัวเลขฐานแต่ละตัว ที่ต้องการเปลี่ยนเป็นเลขฐานสิบ มาคูณด้วยเลขฐานนั้น ๆ แล้วยกกำลังค่าประจำหลัก ซึ่งค่าประจำหลักจะเริ่มต้นจาก 0 แล้วเพิ่มขึ้นทีละหนึ่งจาก ขวาไปซ้าย 2. คำตอบทไี่ ด้คอื ใหน้ ำผลคณู ของแตล่ ะหลกั มารวมกัน ในกรณีเลขทศนยิ ม มีขัน้ ตอนการเปลีย่ นดังน้ี 1. นำค่าตัวเลขฐานแต่ละตัว ที่ต้องการเปลี่ยนเป็นเลขฐานสิบ มาคูณด้วยเลขฐานนั้น ๆ แล้วยกกำลังค่าประจำหลัก ซึ่งค่าประจำหลักจะเริ่มต้นจาก -1 แล้วลดลงทีละหนึ่งจาก ตำแหน่งซา้ ยท่ตี ดิ กับจดุ ทศนิยมแล้วไล่ไปทางขวามือ 2. คำตอบทไี่ ดค้ อื ให้นำผลคณู ของแตล่ ะหลกั มารวมกัน การเปรียบเทียบเลขฐานสบิ เลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสบิ หก การใช้ตารางในการเปรียบเทียบข้อมูลระบบเลขฐานสามารถทำได้ โดยการเรียงข้อมูลใน ตารางระบบเลขฐานแต่ละฐาน การเปลี่ยนเลขฐานสองกับเลขฐานแปด สามารถดำเนินการอย่างง่ายด้วยการนำเลขแต่ละ หลกั ของฐานแปดไปเทยี บค่าในตาราง โดย 1 หลักของฐานแปดจะเท่ากับ 3 หลักในฐานสอง การเปลี่ยนเลขฐานสองกับเลขฐานสบิ หก สามารถดำเนินการอย่างง่ายด้วยการนำเลขแต่ละ หลกั ของฐานสบิ หกไปเทยี บค่าในตาราง โดย 1 หลักของฐานสบิ หกจะเทา่ กับ 4 หลักในฐานสอง การเปลี่ยนเลขฐานแปดกับเลขฐานสบิ หก สามารถทำไดโ้ ดยการเปล่ียนเลขฐานน้ัน ๆ ให้เป็น เลขฐานสองก่อน แล้วจึงเปล่ียนไปเป็นเลขฐานอนื่ ๆ ตามทีต่ อ้ งการ หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 59 แบบฝึกหดั ทา้ ยหนว่ ย หนว่ ยที่ 2 ระบบเลขฐาน คำชี้แจง จงตอบคำถามต่อไปนี้ 1. เหตใุ ดเลขฐานสองจึงมคี วามเหมาะสมกบั ระบบคอมพิวเตอร์ ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. เลขฐานแปดมีความสัมพันธ์อย่างใกลช้ ดิ กบั เลขฐานสองอย่างไร จงอธิบายพร้อมยกตวั อย่าง ประกอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. เลขฐานสบิ หกมคี วามสมั พนั ธ์อย่างใกลช้ ิดกบั เลขฐานสองอย่างไร จงอธิบายพร้อมยกตวั อย่าง ประกอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. จงสรปุ การเปลยี่ นเลขฐานสบิ มาเปน็ เลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสบิ หก ท้ังกรณี เลขจำนวนเตม็ และเลขทศนิยม ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. จงสรุปการเปลี่ยนเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหก มาเป็นเลขฐานสิบ ทัง้ กรณี เลขจำนวนเตม็ และเลขทศนยิ ม ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 60 แบบฝกึ ทักษะที่ 2.1 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน คำชแี้ จง ข้อ 1. จงตอบคำถามตอ่ ไปน้ี 1. จำนวน 152.25 กระจายได้เป็น .....…………………………………………………………………………………………………………………………….. 2. จำนวน 254 และ 789 ค่าของ 5 และ 8 ต่างกันเท่าไร .....…………………………………………………………………………………………………………………………….. 3. ตัวเลขในระบบเลขฐานแปด ได้แก่ .....…………………………………………………………………………………………………………………………….. 4. (1011)2 มีคา่ ในระบบเลขฐานสบิ .....…………………………………………………………………………………………………………………………….. 5. (2031)8 มคี า่ ในระบบเลขฐานสบิ .....…………………………………………………………………………………………………………………………….. 6. ระบบเลขฐานทีเ่ หมาะสมกบั คอมพิวเตอร์ท่ีสุด คือ .....…………………………………………………………………………………………………………………………….. 7. ระบบเลขฐานสิบหก มีชื่อภาษาอังกฤษ คอื .....…………………………………………………………………………………………………………………………….. 8. อักษร D และ F ในระบบเลขฐานสิบหก คอื .....…………………………………………………………………………………………………………………………….. 9. (2AD)16 มคี า่ ในฐานสิบ คือ .....…………………………………………………………………………………………………………………………….. 10. (0.3AC)16 กระจายไดเ้ ป็น .....…………………………………………………………………………………………………………………………….. หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 61 แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2.2 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน คำชี้แจง ขอ้ 1. จงเปล่ียนเลขฐานสิบตอ่ ไปนใี้ หเ้ ปน็ เลขฐานตา่ ง ๆ (กรณีเลขทศนิยม ต้องการทศนิยม 3 ตำแหนง่ ) 1. จงเปลย่ี น 96 ใหเ้ ปน็ เลขฐานสอง = ………………………………………… 2. จงเปลี่ยน .784 ให้เปน็ เลขฐานสอง = ………………………………………… 3. จงเปลย่ี น 123.6875 ให้เป็นเลขฐานสอง = ………………………………………… 4. จงเปลย่ี น 5746 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปด = ………………………………………… 5. จงเปลี่ยน .549 ใหเ้ ปน็ เลขฐานแปด = ………………………………………… 6. จงเปล่ยี น 4060.159 ให้เป็นเลขฐานแปด = ………………………………………… 7. จงเปลี่ยน 9811 ใหเ้ ปน็ เลขฐานสบิ หก = ………………………………………… 8. จงเปลยี่ น .365 ใหเ้ ป็นเลขฐานสบิ หก = ………………………………………… 9. จงเปลย่ี น 28.6785 ใหเ้ ปน็ เลขฐานสิบหก = ………………………………………… 10. จงเปลย่ี น 43.50 ใหเ้ ป็นเลขฐานสิบหก = ………………………………………… ขอ้ 2. จงเปล่ียนเลขฐานตา่ ง ๆต่อไปนี้ใหเ้ ป็นเลขฐานสิบ = ………………………………………… = ………………………………………… 1. จงเปลี่ยน 10001110112 ใหเ้ ป็นเลขฐานสบิ = ………………………………………… 2. จงเปลี่ยน .110112 ใหเ้ ปน็ เลขฐานสิบ = ………………………………………… 3. จงเปลี่ยน 11011.0112 ให้เปน็ เลขฐานสิบ = ………………………………………… 4. จงเปลยี่ น 34168 ใหเ้ ปน็ เลขฐานสิบ = ………………………………………… 5. จงเปลยี่ น .6758 ให้เป็นเลขฐานสิบ = ………………………………………… 6. จงเปลย่ี น 761.048 ใหเ้ ป็นเลขฐานสบิ = ………………………………………… 7. จงเปล่ยี น 3A1D16 ให้เปน็ เลขฐานสิบ = ………………………………………… 8. จงเปลีย่ น .ABCD16 ให้เปน็ เลขฐานสบิ = ………………………………………… 9. จงเปล่ียน 705D.1AF16 ใหเ้ ปน็ เลขฐานสิบ 10. จงเปลี่ยน 230.128 ให้เป็นเลขฐานสิบ หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพวิ เตอร์ 20291-2207 62 แบบฝกึ ทักษะท่ี 2.3 หนว่ ยท่ี 2 ระบบเลขฐาน คำช้ีแจง = .............…………………………… ข้อ 1. จงเปล่ยี นเลขฐานสองกบั เลขฐานแปดต่อไปนี้ = .............………………………….. = .............………………………….. 1. จงเปลย่ี น 1101102 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปด = .............………………………….. 2. จงเปลี่ยน 110010111.0011112 ให้เปน็ เลขฐานแปด = .............………………………….. 3. จงเปลี่ยน 6548 ใหเ้ ป็นเลขฐานสอง 4. จงเปลีย่ น 165.25648 ให้เป็นเลขฐานสอง 5. จงเปลย่ี น 320.7428 ใหเ้ ป็นเลขฐานสอง ข้อ 2. จงเปลย่ี นเลขฐานสองกบั เลขฐานสิบหกต่อไปนี้ 1. จงเปลี่ยน 110010111012 ใหเ้ ป็นเลขฐานสบิ หก = .............………………………… 2. จงเปลย่ี น 111001110110.100100112 ใหเ้ ปน็ เลขฐานสิบหก = ........…………………………… 3. จงเปลย่ี น A1CE16 ให้เปน็ เลขฐานสอง = ..........…………………………… 4. จงเปลีย่ น C81A.13B016 ใหเ้ ปน็ เลขฐานสอง = ..........…………………………… 5. จงเปลี่ยน 34DC16 ใหเ้ ปน็ เลขฐานสอง = ..........…………………………… ขอ้ 3. จงเปลย่ี นเลขฐานแปดกับเลขฐานสบิ หกต่อไปน้ี = .............………………………… 1. จงเปลี่ยน 72568 ใหเ้ ปน็ เลขฐานสิบหก = .............………………………… 2. จงเปลยี่ น 2463.16128 ให้เปน็ เลขฐานสิบหก = .............………………………… 3. จงเปลย่ี น A39F16 ให้เปน็ เลขฐานแปด = .............………………………… 4. จงเปล่ียน 10CD.1BE16 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปด = .............………………………… 5. จงเปลย่ี น 5DE.3A16 ใหเ้ ปน็ เลขฐานแปด หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 63 แบบทดสอบหลังเรยี น หนว่ ยที่ 2 ระบบเลขฐาน คำส่ัง จงทำเครื่องหมาย X หน้าขอ้ ท่ถี กู ทส่ี ุดลงในกระดาษคำตอบ 1. ระบบเลขฐานในข้อใด ท่ีมคี วามสอดคล้องกับการทำงานของคอมพวิ เตอรม์ ากที่สดุ ก. ระบบเลขฐานสอง ข. ระบบเลขฐานแปด ค. ระบบเลขฐานสิบ ง. ระบบเลขฐานสบิ หก 2. จำนวน 89758.056 คา่ ของเลข 9 เท่ากับข้อใด ก. 9 ข. 90 ค. 900 ง. 9000 3. 110.012 มีค่าตรงกบั ข้อใด ก. (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) + (0 x 2-1) + (1 x 2-2) ข. (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) + (0 x 2-1) + (1 x 2-2) ค. (1 x 22) + (0 x 21) + (0 x 20) + (0 x 2-1) + (1 x 2-2) ง. (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) + (0 x 2-1) + (0 x 2-2) 4. 61 มีค่าเท่ากบั เลขฐานแปด ข้อใด ก. 658 ข. 568 ค. 758 ง. 578 5. 75 มคี ่าเท่ากบั เลขฐานสบิ หก ขอ้ ใด ก. 4A ข. 4B16 ค. 4C16 ง. 4D16 หน่วยท่ี 2 ระบบเลขฐาน

คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ 20291-2207 64 6. 11011011112 มีค่าเท่ากับเลขฐานสิบ ขอ้ ใด ก. 789 ข. 798 ค. 877 ง. 879 7. 328 มคี ่าเท่ากบั เลขฐานสบิ ข้อใด ก. 21 ข. 22 ค. 26 ง. 42 8. 11011.0112 มีค่าเทา่ กับเลขฐานแปด ข้อใด ก. 22.28 ข. 33.38 ค. 44.48 ง. 55.58 9. จำนวน 1110.11012 มีคา่ เท่ากับเลขฐานสบิ หก ข้อใด ก. E.716 ข. 9.D16 ค. E.A16 ง. E.D16 10. คา่ ของ 76.518 มคี า่ เท่ากบั เลขฐานสบิ หก ขอ้ ใด ก. 4D.B316 ข. 25.AD16 ค. 3D.A416 ง. 75.6A16 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ หน่วยที่ 2 ระบบเลขฐาน