ตอนที่ 52 แบบฝึกหัดเรื่อง จำนวนจริง ตอนที่ 1

คมู่ อื ประกอบส่ือการสอน วชิ าคณิตศาสตร์ ตอนที่ 52 จานวนจรงิ แบบฝึกหดั เรือ่ ง จานวนจริง (ตอนท่ี 1) โดย อาจารย์ ดร.ดาวดุ ทองทา ส่อื การสอนชดุ นี้ เปน็ ความรว่ มมือระหวา่ ง คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั กับ สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ ปงี บประมาณ 2555

คูม่ ือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั ส่ือการสอน เรือ่ ง จานวนจรงิ สือ่ การสอน เรื่อง จานวนจรงิ มีจานวนตอนทง้ั หมดรวม 19 ตอน ซึ่งประกอบด้วย 1. บทนา เร่ือง จานวนจริง 2. เน้ือหาตอนท่ี 1 สมบัตขิ องจานวนจริง - ระบบจานวนจริง - สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจรงิ 3. เนื้อหาตอนท่ี 2 การแยกตัวประกอบ - การแยกตัวประกอบ 4. เนื้อหาตอนที่ 3 ทฤษฎบี ทตัวประกอบ - ทฤษฎบี ทเศษเหลือ - ทฤษฎบี ทตัวประกอบ 5. เนอ้ื หาตอนท่ี 4 สมการพหนุ าม - สมการพหุนามกาลงั หนึ่ง - สมการพหนุ ามกาลงั สอง - สมการพหนุ ามกาลังสงู - การประยุกต์สมการพหุนาม 6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ - เส้นจานวนและชว่ ง - อสมการทเี่ กีย่ วข้องกับพหุนามกาลงั หน่ึง - อสมการทเ่ี กยี่ วข้องกบั พหุนามกาลงั สูง 7. เนอ้ื หาตอนที่ 6 เทคนิคการแก้อสมการ - อสมการในรูปเศษส่วน - การแก้อสมการโดยวธิ ีการยกกาลงั สอง - การแกอ้ สมการโดยการแทนค่าตัวแปร - การประยกุ ต์โจทยก์ ารแกอ้ สมการ 8. เนื้อหาตอนที่ 7 ค่าสัมบูรณ์ - คา่ สมั บรู ณ์ - สมการคา่ สมั บูรณ์ 1

ค่มู ือสอื่ การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้นื ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลยั 9. เน้อื หาตอนท่ี 8 การแกอ้ สมการค่าสัมบูรณ์ -อสมการคา่ สัมบูรณ์ -โจทยป์ ระยุกต์อสมการค่าสมั บรู ณ์ 10. เน้อื หาตอนท่ี 9 กราฟคา่ สัมบรู ณ์ -กราฟค่าสมั บูรณ์ 11. แบบฝึกหัดตอนท่ี 1 แบบฝึกหัดเรื่อง จานวนจริง (ตอนที่ 1) -แบบฝกึ หัดขนั้ พื้นฐาน -แบบฝกึ หัดข้นั สงู -แบบทดสอบ 12. แบบฝึกหัดตอนท่ี 2 แบบฝึกหัดเร่ือง จานวนจริง (ตอนท่ี 2) -แบบฝึกหดั ขน้ั พนื้ ฐาน -แบบฝกึ หัดขน้ั สูง -แบบทดสอบ 13. แบบฝกึ หัดตอนที่ 3 แบบฝกึ หัดเรื่อง จานวนจริง (ตอนที่ 3) -แบบฝกึ หัดขั้นพื้นฐาน -แบบฝกึ หัดข้นั สูง -แบบทดสอบ 14. แบบฝกึ หัดตอนท่ี 4 แบบฝกึ หดั เร่ือง จานวนจริง (ตอนที่ 4) -แบบฝกึ หดั ขน้ั พื้นฐาน -แบบฝึกหดั ขั้นสงู -แบบทดสอบ 15. แบบฝกึ หดั ตอนที่ 5 แบบฝึกหดั เรอื่ ง จานวนจริง (ตอนท่ี 5) -แบบฝึกหดั ขน้ั พื้นฐาน -แบบฝกึ หัดข้ันสูง -แบบทดสอบ 16. แบบฝกึ หัดตอนท่ี 6 แบบฝกึ หัดเร่ือง จานวนจริง (ตอนท่ี 6) -แบบฝึกหัดขั้นพื้นฐาน -แบบฝึกหัดขั้นสูง -แบบทดสอบ 2

คูม่ ือสอ่ื การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั 17. ส่อื ปฏิสัมพันธ์ เร่ือง ชว่ งบนเส้นจานวน 18. ส่ือปฏสิ ัมพนั ธ์ เร่อื ง สมการและอสมการพหนุ าม (กาลังไมเ่ กินสี่) 19. สอ่ื ปฏิสัมพนั ธ์ เรือ่ ง กราฟคา่ สัมบูรณ์ คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า ส่ือการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน สาหรบั ครู และนักเรยี นทกุ โรงเรยี นทใ่ี ช้ส่ือชุดนี้ร่วมกบั การเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง เซต นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอ่ืนๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไป แล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และช่ือตอนได้จากรายช่ือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ท้ังหมดใน ตอนทา้ ยของคูม่ อื ฉบับนี้ 3

คู่มือสอื่ การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลัย เร่อื ง จานวนจริง หมวด แบบฝึกหัด ตอนที่ 1 (1/6) หัวข้อย่อย 1. แบบฝึกหัดขั้นพื้นฐาน 2. แบบฝกึ หดั ขน้ั สงู 3. แบบทดสอบ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เพ่อื ใหผ้ ู้เรียน 1. เขา้ ใจเก่ยี วกับจานวนจริง จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ จานวนเต็มและจานวนนับ 2. เข้าใจเกี่ยวกับการดาเนนิ การบนเซตของจานวนจริง 3. เข้าใจสมบัตแิ ละทฤษฎีบทท่สี าคญั ของจานวนจรงิ และสามารถนาไปใชใ้ นการแก้ปัญหาได้ 4

คมู่ ือสอื่ การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พน้ื ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั 1. แบบฝกึ หัดขน้ั พน้ื ฐาน แบบฝกึ หดั ขนั้ พืน้ ฐาน ใช้เพ่อื วัดความรคู้ วามสามารถขั้นพน้ื ฐานของผเู้ รียน ประกอบด้วยขอ้ คาถามแบบปรนยั แบบ 4 ตัวเลอื ก จานวน 10 ขอ้ พร้อมเฉลย ครอบคลุมตามจุดประสงคก์ ารเรยี นรูท้ ี่ กาหนด โดยผู้จัดทาได้ออกแบบใหโ้ ปรแกรมสามารถสุ่มขอ้ คาถาม เพ่อื สรา้ งเปน็ แบบฝึกหัดท่มี คี วาม แตกต่างกนั ไดม้ ากถงึ 310 แบบ 5

คู่มอื สอ่ื การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั โจทย์ข้อ 1 เนื้อหาหลกั : จานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ จุดประสงค์ คือ ต้องการทดสอบว่านักเรียนสามารถพิจารณาว่าจานวนจริงแต่ละจานวน เป็นจานวนตรรกยะหรอื จานวนอตรรกยะได้อยา่ งถกู ตอ้ งหรือไม่ จานวนตรรกยะ คือ จานวนทส่ี ามารถเขียนไดใ้ นรูปเศษส่วนของจานวนเต็มโดยท่ีตวั สว่ นไมเ่ ปน็ ศูนย์ จากความหมายน้ีทาให้ได้วา่ จานวนตรรกยะประกอบดว้ ย 1. จานวนเต็ม 2. จานวนท่ีเขยี นในรูปของเศษสว่ นของจานวนเต็ม และตวั ส่วนไมเ่ ปน็ ศนู ย์ 3. จานวนที่เขยี นในรปู ทศนยิ มซ้า จานวนอตรรกยะ คือ จานวนจริงท่ีไม่เปน็ จานวนตรรกยะ 1.1 จานวนในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้เป็นจานวนอตรรกยะ 1. 3.14 2. 22 3. 5 7 เฉลย 3 4. 1.414 จะเหน็ ไดว้ ่า ในตวั เลือก 2. 22 เขียนในรปู ของเศษสว่ นของจานวนเตม็ โดยที่ตวั ส่วนไมเ่ ป็นศูนย์ 7 ดงั นนั้ 22 เปน็ จานวนตรรกยะ 7 สว่ นตวั เลือก 1. 3.14  314 ซ่งึ สามารถเขียนได้ในรูปของเศษสว่ นของจานวนเต็มโดยที่ตัวสว่ นไม่ 100 เป็นศูนย์ ดังน้ัน 3.14 เปน็ จานวนตรรกยะ และด้วยเหตุผลเดยี วกนั กับตวั เลือก 1. จะได้ว่า ตัวเลอื ก 4. 1.414 เป็นจานวนตรรกยะเช่นกนั ในขณะท่ีตวั เลือก 3. 5 ไม่เปน็ จานวนทง้ั 3 แบบท่ีกล่าวข้างตน้ ดงั น้ัน 5 เปน็ จานวนอตรรกยะ 1.2 จานวนในข้อใดตอ่ ไปน้เี ป็นจานวนอตรรกยะ 1. 64 2. 7  3. 1.414 22 เฉลย 2 4. 1.57 พิจารณาแตล่ ะตวั เลือกดังนี้ 1. 64  8 เปน็ จานวนเตม็ ดงั น้ัน 64 เปน็ จานวนตรรกยะ 6

คมู่ ือสอ่ื การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั 2. เนื่องจาก  เปน็ จานวนอตรรกยะและ 7 เป็นจานวนตรรกยะท่ไี มเ่ ปน็ 0 ดงั น้ัน 7  เป็น 22 22 จานวนอตรรกยะ 3. 1.414  1414 เป็นจานวนทเ่ี ขียนได้ในรูปของเศษส่วนของจานวนเต็มโดยที่ตวั ส่วนไม่เปน็ ศูนย์ 1000 ดงั นั้น 1.414 เปน็ จานวนตรรกยะ 4. 1.57 เปน็ จานวนทเ่ี ขียนในรปู ทศนิยมซ้า ดงั นนั้ 1.57 เป็นจานวนตรรกยะ 1.3 จานวนในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเป็นจานวนตรรกยะ 1. 1.99 2.  2 3. 2 4. 48 2 เฉลย 1 พิจารณาแต่ละตวั เลือกดังนี้ 1. 1.99 เป็นจานวนทเี่ ขยี นในรูปทศนยิ มซ้า ดังน้นั 1.99 เป็นจานวนตรรกยะ 2. เนอ่ื งจาก  เปน็ จานวนอตรรกยะและ 1 เป็นจานวนตรรกยะท่ีไม่เป็น 0 ดงั น้นั  เป็น 22 จานวนอตรรกยะ 3. เนือ่ งจาก 2 เป็นจานวนอตรรกยะและ 1 เป็นจานวนตรรกยะท่ีไมเ่ ปน็ 0 ดงั นนั้ 2 เป็น 22 จานวนอตรรกยะ 4. เน่ืองจาก 3 เปน็ จานวนอตรรกยะและ 4 เป็นจานวนตรรกยะท่ีไม่เปน็ 0 ดังนน้ั 48  4 3 เป็นจานวนอตรรกยะ 7

คมู่ อื ส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพน้ื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลัย โจทย์ข้อ 2 เน้ือหาหลัก : ความสัมพันธข์ องจานวนชนิดต่าง ๆ จุดประสงค์ คือ ต้องการทดสอบว่านักเรียนมีความเข้าใจในความสัมพันธ์ของจานวนชนิด ต่าง ๆ หรือไม่ ซึ่งนักเรียนสามารถทาความเข้าใจได้จากแผนภาพแสดงความสัมพันธ์ของจานวน ชนิดตา่ ง ๆ 2.1 ข้อใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง 1. จานวนเต็มทุกจานวนเปน็ จานวนตรรกยะ 2. จานวนตรรกยะทกุ จานวนเปน็ จานวนเตม็ 3. มจี านวนอตรรกยะที่เป็นจานวนเต็ม 4. มจี านวนจริงทเี่ ป็นทั้งจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ เฉลย 1 1. ถูกตอ้ ง เนื่องจากจานวนเตม็ ทุกจานวนสามารถเขียนได้ในรปู เศษส่วนของจานวนเต็ม โดยท่ีตัวสว่ นไมเ่ ป็นศูนย์ ดงั น้ัน จานวนเต็มทกุ จานวนจึงเปน็ จานวนตรรกยะ 2. ไมถ่ ูกตอ้ ง เชน่ 1 เป็นจานวนตรรกยะ แต่ 1 ไม่เปน็ จานวนเตม็ 22 3. ไมถ่ กู ตอ้ ง เนื่องจากจานวนเต็มทกุ จานวนเป็นจานวนตรรกยะ ดังนนั้ จึงไม่มีจานวนเตม็ ท่ีเป็น จานวนอตรรกยะ 4. ไม่ถูกต้อง เนื่องจากจานวนอตรรกยะ คือ จานวนจริงทไี่ ม่ใช่จานวนตรรกยะ ดังน้นั จงึ ไมม่ ีจานวน จริงที่เป็นท้งั จานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ 2.2 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกต้อง 1. มีจานวนเตม็ ทเ่ี ป็นจานวนอตรรกยะ 2. มจี านวนอตรรกยะที่เขียนได้ในรูปเศษส่วนของจานวนเต็ม โดยทต่ี วั ส่วนไม่เป็นศูนย์ 3. มีจานวนตรรกยะท่ีไมเ่ ป็นจานวนเต็ม 4. มีจานวนจริงท่ีไมเ่ ป็นท้ังจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ เฉลย 3 1. ไมถ่ กู ตอ้ ง เนื่องจากจานวนเตม็ ทุกจานวนเป็นจานวนตรรกยะ ดังน้ัน จึงไมม่ ีจานวนเต็มทีเ่ ป็น จานวนอตรรกยะ 2. ไม่ถูกต้อง เน่ืองจากทุกจานวนทเี่ ขียนได้ในรูปเศษส่วนของจานวนเตม็ โดยทีต่ วั สว่ นไม่เป็นศูนย์ เปน็ จานวนตรรกยะ ดังน้ัน จึงไม่มจี านวนอตรรกยะท่ีเขียนไดใ้ นรูปเศษส่วนของจานวนเต็มโดยที่ ตัวส่วนไมเ่ ป็นศนู ย์ 8

คู่มอื ส่อื การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย 3. ถกู ตอ้ ง เช่น 1 เป็นจานวนตรรกยะ แต่ 1 ไม่เป็นจานวนเตม็ 22 4. ไมถ่ ูกตอ้ ง เนื่องจาก จานวนอตรรกยะ คอื จานวนจริงที่ไมเ่ ปน็ จานวนตรรกยะ ดงั นน้ั สาหรับจานวนจริง a ใด ๆ ก็ตาม a จะตอ้ งเป็นจานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะ อย่างใดอย่างหน่ึงเท่านั้น 2.3 ข้อใดต่อไปน้ีไม่ถูกตอ้ ง 1. มจี านวนท่เี ขียนในรปู ทศนิยมซ้าท่ีเป็นจานวนตรรกยะ 2. มจี านวนอตรรกยะที่ไมเ่ ปน็ จานวนจรงิ 3. มจี านวนจริงทีไ่ ม่เป็นจานวนตรรกยะ 4. แตล่ ะจานวนจริงจะเปน็ จานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะอยา่ งใดอยา่ งหนง่ึ เท่านน้ั เฉลย 2 1. ถูกต้อง เน่ืองจาก จานวนที่เขยี นได้ในรปู ทศนยิ มซ้าทกุ จานวนเป็นจานวนตรรกยะ 2. ไมถ่ ูกต้อง เน่ืองจาก จานวนอตรรกยะ คอื จานวนจริงที่ไมเ่ ปน็ จานวนตรรกยะ ดังน้ัน จานวนอตรรกยะทกุ จานวนเป็นจานวนจริง 3. ถกู ต้อง เชน่ 2 เป็นจานวนจรงิ แต่ 2 ไมเ่ ปน็ จานวนตรรกยะ 4. ถูกต้อง เน่ืองจาก จานวนอตรรกยะ คอื จานวนจรงิ ที่ไม่เปน็ จานวนตรรกยะ ดังน้ัน สาหรับจานวนจริง a ใด ๆ ก็ตาม a จะตอ้ งเป็นจานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะ อยา่ งใดอย่างหน่งึ เทา่ นั้น 9

คู่มอื สอ่ื การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พนื้ ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย โจทย์ข้อ 3 เนื้อหาหลัก : สมบตั ขิ องจานวนจริงเกี่ยวกบั การบวกและการคณู จดุ ประสงค์ คือ ตอ้ งการทดสอบความรู้เกี่ยวกับสมบัติปิด สมบัติการสลับที่และสมบัติการ เปลีย่ นหมภู่ ายใต้การดาเนินการตา่ ง ๆ บนเซตของจานวนจริงและสับเซตของจานวนจรงิ 3.1 จานวนจรงิ มีสมบัติการสลบั ทภี่ ายใต้การดาเนนิ การใด 1. การบวกและการลบ 2. การบวกและการคูณ 3. การลบและการหาร 4. การคณู และการหาร เฉลย 2 จานวนจรงิ มีสมบตั ิการสลบั ทกี่ ารบวกและการคูณ แต่ไม่มีสมบตั ิการสลบั ทภี่ ายใต้การลบและการหาร เชน่ 1 2  2 1 และ 1  2 21 3.2 จานวนจรงิ มีสมบัติการเปล่ียนหมู่ภายใต้การดาเนินการใด 1. การบวกและการลบ 2. การบวกและการคูณ 3. การลบและการหาร 4. การคูณและการหาร เฉลย 2 จานวนจรงิ มีสมบัตกิ ารเปล่ยี นหม่กู ารบวกและการคูณ แตไ่ มม่ ีสมบตั กิ ารเปลีย่ นหมูภ่ ายใต้การลบและ การหาร เชน่ (1 2)  3  4 แต่ 1 (2  3)  2 (8  2)  2  2 แต่ 8  (2  2)  8 3.3 จานวนเตม็ บวกมสี มบัตปิ ิดภายใตก้ ารดาเนนิ การใด 1. การบวกและการลบ 2. การบวกและการคูณ 3. การลบและการหาร 4. การคูณและการหาร เฉลย 2 จานวนเต็มบวกมีสมบตั ปิ ิดภายใต้การบวกและการคูณ แต่ไม่มสี มบตั ิปดิ ภายใตก้ ารลบและการหาร เชน่ 1 2  1 ไมเ่ ปน็ จานวนเต็มบวก และ (1 2)  1 ไมเ่ ปน็ จานวนเตม็ 2 10

คู่มือส่ือการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พน้ื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย โจทย์ขอ้ 4 เน้ือหาหลกั : สมบตั ขิ องจานวนจริงเก่ียวกับการบวกและการคณู จุดประสงค์ คือ ต้องการทดสอบว่ามีความเข้าใจเก่ียวกับสมบัติการสลับท่ีและสมบัติการ เปลยี่ นหมขู่ องการบวกและการคณู หรือไม่ 4.1 ขอ้ ใดต่อไปนเี้ ป็นจริงด้วยสมบตั กิ ารเปลี่ยนหมู่ 1. 3  (2  5)  (3  2)  (3  5) 2. 3  (2  5)  (3  2)  5 3. 3  (2  5)  (2  5)  3 4. 3  (2  5)  3  (5  2) เฉลย 2 1. 3 (2  5)  (3 2)  (3 5) เปน็ จรงิ ด้วยสมบัตกิ ารแจกแจง 2. 3  (2  5)  (3  2)  5 เปน็ จริงด้วยสมบตั กิ ารเปลีย่ นหมกู่ ารบวก 3. 3  (2  5)  (2  5)  3 เป็นจริงดว้ ยสมบัติการสลบั ทก่ี ารบวก 4. 3 (2  5)  3 (5  2) เป็นจริงด้วยสมบตั ิการสลบั ท่ีการคณู 4.2 ขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ป็นจรงิ ด้วยสมบตั กิ ารสลับที่ 1. 5  (2  7)  (5  2)  (5  7) 2. 5  (2  7)  (5  2)  7 3. 5  (2  7)  (2  7)  5 4. 5  (2  7)  (5  2)  7 เฉลย 3 1. 5  (2  7)  (5  2)  (5  7) เปน็ จริงด้วยสมบัติการแจกแจง 2. 5  (2  7)  (5  2)  7 เป็นจรงิ ด้วยสมบตั กิ ารเปลี่ยนหมกู่ ารบวก 3. 5  (2  7)  (2  7)  5 เปน็ จรงิ ดว้ ยสมบัตกิ ารสลับที่การบวก 4. 5  (2  7)  (5  2)  7 เปน็ จริงดว้ ยสมบตั กิ ารเปล่ียนหมกู่ ารคณู 4.3 ขอ้ ใดต่อไปนี้เปน็ จริงด้วยสมบตั ิการเปลีย่ นหมู่ 1. 6  (7  2)  (6  7)  (6  2) 2. 6  (7  2)  6  (2  7) 3. 6  (7  2)  (6  7)  2 4. 6  (7  2)  (7  2)  6 เฉลย 3 1. 6  (7  2)  (6  7)  (6  2) เป็นจรงิ ดว้ ยสมบตั ิการแจกแจง 2. 6  (7  2)  6  (2  7) เปน็ จริงดว้ ยสมบตั กิ ารสลบั ทก่ี ารคูณ 3. 6  (7  2)  (6  7)  2 เป็นจรงิ ดว้ ยสมบตั กิ ารเปล่ยี นหมูก่ ารบวก 4. 6  (7  2)  (7  2)  6 เป็นจรงิ ดว้ ยสมบัติการสลบั ทกี่ ารบวก 11

คมู่ ือสื่อการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พื้นฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั โจทย์ขอ้ 5 เนื้อหาหลัก : สมบัติของจานวนนบั จานวนเต็ม และจานวนตรรกยะบวก จุดประสงค์ คือ ต้องการทดสอบว่านักเรียนมีความเข้าใจเกี่ยวสมบัติปิดภายใต้การบวก การลบ การคูณและการหารหรือไม่ โดยให้นักเรียนพิจารณาสมบัติปิดบนเซตของจานวนเต็ม เซต ของจานวนนับและและเซตของจานวนตรรกยะบวก ว่ามีสมบัติปิดภายใต้การดาเนินการดังกล่าว หรือไม่ 5.1 ให้ a และ b เปน็ จานวนเตม็ ท่ีไม่เปน็ ศูนย์ ขอ้ ใดต่อไปน้ีไมถ่ กู ต้อง 1. a b เป็นจานวนเตม็ 2. a b เปน็ จานวนเตม็ 3. ab เปน็ จานวนเต็ม 4. a เป็นจานวนเตม็ เฉลย 4 b จานวนเต็มมสี มบัติปิดภายใตก้ ารบวก การลบและการคณู น่ันคือ สาหรับจานวนเต็ม a และ b ใด ๆ a  b, a  b และ ab เปน็ จานวนเต็ม แต่จานวนเต็มไมม่ สี มบตั ปิ ดิ ภายใต้การหาร เช่น (1 2)  1 2 ซง่ึ ไม่เป็นจานวนเต็ม 5.2 ให้ a และ b เปน็ จานวนตรรกยะบวก ข้อใดต่อไปน้ีไม่ถูกต้อง 1. a b เป็นจานวนตรรกยะบวก 2. a b เป็นจานวนตรรกยะบวก 3. ab เป็นจานวนตรรกยะบวก 4. a เป็นจานวนตรรกยะบวก เฉลย 2 b เน่ืองจาก จานวนตรรกยะมีสมบัตปิ ดิ ภายใตก้ ารบวก การคูณและการหาร(เมือ่ ตัวหารไม่เป็นศูนย์) และ จานวนจรงิ บวกมสี มบตั ปิ ิดภายใตก้ ารบวก การคณู และการหาร ดังน้ัน จานวนตรรกยะบวกจงึ มีสมบตั ปิ ดิ ภายใตก้ ารบวก การคูณและการหาร แต่จานวนตรรกยะบวกไม่มสี มบัตปิ ิดภายใตก้ ารลบ เชน่ 1 2  1 ซ่ึงไมเ่ ป็นจานวนตรรกยะบวก 5.3 ให้ a และ b เป็นจานวนนับ ข้อใดตอ่ ไปน้ีถกู ต้อง 1. a b และ a b เป็นจานวนนบั 2. a b และ a เปน็ จานวนนบั 3. a b และ ab เปน็ จานวนนับ เฉลย 3 b 4. ab และ a เปน็ จานวนนบั b จานวนนับมสี มบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ แตไ่ ม่มสี มบัตปิ ดิ ภายใต้การลบและการหาร เช่น 12

คมู่ ือสอ่ื การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พืน้ ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลัย 1 2  1 ซึ่งไมเ่ ปน็ จานวนนบั และ (1 2)  1 ซึง่ ไมเ่ ป็นจานวนนับ 2 13

คู่มอื สื่อการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั โจทย์ข้อ 6 เนื้อหาหลกั : การมเี อกลักษณก์ ารบวกและเอกลักษณ์การคณู การมอี นิ เวอร์สของ จานวนจริงภายใต้การบวกและภายใตก้ ารคณู จุดประสงค์ คือ ต้องการทดสอบความหมายของการมีเอกลักษณ์การบวกและการคูณ และ การมอี นิ เวอรส์ ของจานวนจริงภายใต้การบวกและการคณู 6.1 ให้ a และ b เปน็ จานวนจริง ซึ่ง a b  0 แล้วข้อใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง 1. a เป็นเอกลักษณ์การบวก 2. a เปน็ เอกลกั ษณก์ ารคูณ 3. a เป็นอนิ เวอร์สการบวกของ b 4. a เป็นอินเวอรส์ การคูณของ b เฉลย 3 เนื่องจาก 0 เปน็ เอกลักษณ์การบวก โดยนิยามของอินเวอร์สการบวกของจานวนจริง b และสมบตั ิ การสลับทกี่ ารบวก จะได้ว่า a เป็นอินเวอร์สการบวกของ b 6.2 ให้ a และ b เปน็ จานวนจริง ซ่ึง ab 1 แล้วขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู ต้อง 1. a เปน็ เอกลกั ษณ์การบวก 2. a เปน็ เอกลักษณก์ ารคูณ 3. a เปน็ อินเวอร์สการบวกของ b 4. a เป็นอินเวอร์สการคณู ของ b เฉลย 4 จากการที่ ab 1 ทาให้ได้ว่า a  0 และ b  0 เน่อื งจาก 1 เป็นเอกลกั ษณ์การคูณ โดยนิยามของอนิ เวอรส์ การคณู ของจานวนจริง b  0 และสมบัติ การสลับทกี่ ารคณู จะได้วา่ a เปน็ อินเวอรส์ การคูณของ b 6.3 ถ้า a เป็นจานวนจริง ซง่ึ ab  b ทกุ จานวนจริง b แล้วขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถูกต้อง 1. a เปน็ เอกลักษณ์การบวก 2. a เป็นเอกลักษณก์ ารคูณ 3. a เปน็ อนิ เวอร์สการบวกของ b 4. a เปน็ อนิ เวอร์สการคูณของ b เฉลย 2 โดยนยิ ามของเอกลักษณ์การคูณของจานวนจรงิ และสมบัติการสลับที่การคูณ จะได้ว่า a เปน็ เอกลกั ษณก์ ารคณู ของจานวนจรงิ 14

คมู่ ือสื่อการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพนื้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย โจทย์ขอ้ 7 เนื้อหาหลัก : สมบตั ิเก่ียวกับการเท่ากนั และการไม่เท่ากนั ของจานวนจริง จุดประสงค์ คือ ต้องการทดสอบว่านักเรียนมีความเข้าใจสมบัติเกี่ยวกับการเท่ากันและการ ไม่เท่ากันของจานวนจริงหรอื ไม่ 7.1 ถ้า a และ b เป็นจานวนจริง ซ่ึง a  b แลว้ ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูกตอ้ ง 1. a 2  b2 2. (a  b)2  2a2 3. a  b  2ab 4. a2  b เฉลย 1 1. ถูกตอ้ ง เนื่องจาก ถา้ a  b แล้ว a2  a  a  b  b  b2 2. ไมถ่ ูกต้อง เช่น a  b 1 จะไดว้ ่า (a  b)2  4 แต่ 2a2  2 3. ไม่ถกู ตอ้ ง เช่น a  b  2 จะไดว้ า่ a  b  4 แต่ 2ab  8 4. ไม่ถกู ต้อง เชน่ a  b  1 จะได้วา่ a2  (1)2  1 ซ่ึงไมเ่ ทา่ กบั b 7.2 ถ้า a และ b เปน็ จานวนจริง ซง่ึ a  b แล้วขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ต้อง 1. ab  ba 2. a  b  b  a 3. a 2  b2 4. a3  b3 เฉลย 4 1. ไม่ถูกต้อง เช่น a  0 และ b  1 จะไดว้ ่า ab  0  ba 2. ไมถ่ กู ต้อง เช่น a  0 และ b  1 จะไดว้ ่า a  b 1  b  a 3. ไม่ถูกตอ้ ง เชน่ a  1 และ b  1 จะไดว้ า่ a2  1  b2 4. ถูกต้อง เน่ืองจาก a  b ดงั น้ัน a  b  0 และ a2  ab  b2   2  ab  b2   3b 2   a  b 2  3b2 0 เสมอ a 4  4  2 4   ทาให้ไดว้ ่า  a3  b3  (a  b) a2  ab  b2  0 ดังนนั้ a3  b3 7.3 ถ้า a และ b เปน็ จานวนจริง ซึ่ง a2  b2 แลว้ ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง 1. a  b 2. a  b 3. a 2  ab 4. a3  b3 เฉลย 2 1. ไม่ถูกตอ้ ง เชน่ a  1 และ b  1 จะได้วา่ a2  1  b2 แต่ a  b 2. ถกู ตอ้ ง เน่ืองจาก a2  b2 ดงั นัน้ a2  b2  (a  b)(a  b)  0 ทาให้ไดว้ ่า 15

ค่มู ือส่อื การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพน้ื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย a  b หรือ a  b จากท้ังสองกรณีนี้ จะเห็นไดว้ า่ a  b 3. ไมถ่ กู ต้อง เชน่ a  1 และ b  1 จะไดว้ ่า a2  1  b2 แต่ a2  1  1  ab 4. ไมถ่ ูกต้อง เช่น a  1 และ b  1 จะไดว้ ่า a2  1  b2 แต่ a3  1  1  b3 16

คู่มอื ส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั โจทยข์ อ้ 8 เน้ือหาหลัก : การมีอนิ เวอรส์ การบวกและอินเวอรส์ การคูณของจานวนจริง จุดประสงค์ คือ ต้องการทดสอบว่านักเรียนสามารถหาอินเวอร์สการบวกและอินเวอร์ส การคณู ของจานวนจรงิ ไดห้ รือไม่ 8.1 อนิ เวอรส์ การบวกและอนิ เวอร์สการคูณของ 2 ตรงกับข้อใดตอ่ ไปน้ี ตามลาดบั 5 1. 2 , 5 2. 2 ,  5 52 52 3.  2 , 5 4.  2 ,  5 52 52 เฉลย 3 เนื่องจาก อินเวอร์สการบวกของจานวนจรงิ a คอื  a และ อินเวอร์สการคูณของจานวนจริง a เมือ่ a  0 คือ 1 a ดงั นนั้ อินเวอร์สการบวกและอนิ เวอร์สการคณู ของ 2 คอื  2 และ 5 ตามลาดบั 5 52 8.2 อนิ เวอรส์ การบวกและอินเวอรส์ การคณู ของ  1 ตรงกับข้อใดตอ่ ไปน้ี ตามลาดบั 2 1. 1 , 2 2. 2, 2 2 3. 2, 1 4. 1 , 2 2 2 เฉลย 4 ทานองเดยี วกันกับขอ้ 8.1 อนิ เวอร์สการบวกและอินเวอรส์ การคณู ของ  1 คอื 1 และ  2 22 ตามลาดบั 8.3 อินเวอรส์ การบวกและอนิ เวอรส์ การคณู ของ 3 ตรงกับข้อใดตอ่ ไปน้ี ตามลาดับ 1. 1 ,3 2. 3,  1 3 3 3. 1 ,  3 4.  3,  1 3 3 เฉลย 2 ทานองเดยี วกนั กบั ข้อ 8.1 อนิ เวอรส์ การบวกและอนิ เวอร์สการคณู ของ  3 คือ 3 และ  1 3 ตามลาดบั 17

ค่มู ือสอื่ การสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย โจทยข์ อ้ 9 เน้ือหาหลกั : การบวก การลบ การคูณและการหารจานวนจริง จุดประสงค์ คือ ต้องการทดสอบความรู้เก่ียวกับการบวก การลบ การคูณและการหาร จานวนจรงิ ที่อยใู่ นรปู เศษสว่ นและอนิ เวอร์สการคณู 9.1 ให้ a,b,c และ d เป็นจานวนจริงบวก ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกต้อง 1. a  c  a  c 2. 1  1  1 bb a b ab 3. a   c 1   ac 1 4.  a  b  a   a2  ab  c   d  cd b  d   bd  เฉลย 4 1. ไม่ถูกต้อง เช่น a  c 1 และ b  2 จะได้ว่า a  c  3 แต่ a  c  1 b2 b 2. ไม่ถกู ต้อง เช่น a  b 1 จะไดว้ ่า 1  1  2 แต่ 1  1 ab ab 2 3. ไมถ่ ูกตอ้ ง เช่น a  2 และ b  c  d 1 จะไดว้ ่า a   c 1   2   11  2 แต่  ac 1   2 11  1 b  d   1 1  bd   11  2 4. ถูกตอ้ ง ตามสมบตั ิการแจกแจง  a  b    a   (a  b)a  a2  ab  c   d  cd cd 9.2 ให้ a,b,c และ d เปน็ จานวนจรงิ บวก ขอ้ ใดต่อไปน้ีไมถ่ กู ต้อง 1. a  b   c  d 1 2. 1  1  a  b cd ab a b ab 3.  a 1 c 1  bd 4.  a    1 1   ac 1  b   d  ac b c  b  เฉลย 4 1. ถกู ตอ้ ง เน่ืองจาก  a  b    c  d   1   c  d    a  b  ดังนัน้  a  b    c  d 1 cd ab ab cd cd ab 2. ถูกตอ้ ง เนื่องจาก 1  1   b    1    a    1   b  a  b  a  a  b a b  b   a   a   b  ab ab ab ab 3. ถกู ตอ้ ง เนื่องจาก  a 1  b และ  c 1  d ดงั นนั้  a 1 c 1   b    d   bd b a d c  b   d   a   c  ac 4. ไม่ถกู ตอ้ ง เชน่ a  b 1 และ c  2  a    1 1  1   1 1  2 แต่  ac 1  1 2   1  b   c  1  2 b  1  2 18

คูม่ อื สอ่ื การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพนื้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลัย 9.3 ให้ a,b,c และ d เปน็ จานวนจรงิ บวก ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูกตอ้ ง a 2. a  c  a  c 1.  b   a  c b d bd cb 3.  a   c   ac 4.  a 1  b1  b   d  bd  b  a 1 เฉลย 3  a  1. ไมถ่ กู ต้อง เช่น a  b 1 และ c  2 จะได้วา่  b   1 แต่ a  c  2 c2 b 2. ไม่ถูกตอ้ ง เชน่ a  b  c  d 1 จะไดว้ ่า a  c  2 แต่ a  c  1 bd bd 3. ถูกตอ้ ง เนื่องจากจานวนจริงมีสมบตั ิการสลบั ทีก่ ารคูณและการเปลี่ยนหมู่การคูณ 4. ไม่ถกู ตอ้ ง เชน่ a 1 และ b  2 ดงั นัน้ a1  1 และ b1  1 ทาให้ได้วา่ 2  a 1   1 1  2 และ b 1  1 a 1 2 b 2 19

คู่มือสอื่ การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้ืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย โจทยข์ อ้ 10 เน้ือหาหลกั : การดาเนินการบนเซตของจานวนจริง จดุ ประสงค์ คือ ต้องการทดสอบว่านักเรยี นสามารถทาความเข้าใจการดาเนนิ การที่นิยาม ใหม่บนเซตของจานวนจริงหรือไม่ 10.1 ให้ a และ b เปน็ จานวนจริงใดๆ และ ab  3a 2b 1 แลว้ ค่าของ 23 ตรงกบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 1 3. 5 4. 6 เฉลย 2 จาก ab  3a  2b 1 ดงั นนั้ 2  3  (3  2)  (2  3) 1  1 10.2 ให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ ใดๆ และ a b  5(a  b)  3 แล้วค่าของ 42 ตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 3 2. 8 3. 22 4. 27 เฉลย 4 จาก a b  5(a  b)  3 ดังน้นั 4  2  5(4  2)  3  27 10.3 ให้ a และ b เปน็ จานวนจริงใดๆ และ ab  a b  2ab แลว้ คา่ ของ 34 ตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 24 2. 17 3. 8 4. 3 เฉลย 2 จาก ab  a  b  2ab ดงั นั้น 3  4  3  4  2  (3  4)  17 20

คมู่ ือสอ่ื การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พื้นฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย 2. แบบฝกึ หดั ขั้นสงู แบบฝึกหดั ขัน้ สงู ใช้เพือ่ วัดความรู้ความสามารถข้ันสงู ของผเู้ รยี น ครอบคลุมตามจุดประสงค์การ เรียนรู้ที่กาหนด ประกอบด้วยข้อคาถามแบบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จานวน 10 ข้อ พร้อมเฉลยที่ผู้ใช้ส่ือ สามารถเลือกดูคาอธิบายไดจ้ ากสอ่ื การสอน 21

คู่มอื ส่อื การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพน้ื ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 1 คือ ต้องการทดสอบเรื่องสมบัติทางพีชคณิตของจานวนตรรกยะและ จานวนอตรรกยะ เช่น การบวก การลบ การคูณ และการหาร เป็นต้น และทดสอบว่านักเรียนสามารถ พจิ ารณาไดห้ รอื ไมว่ า่ ผลลัพธ์ทีไ่ ดจ้ ากการดาเนนิ การเป็นจานวนตรรยะหรอื จานวนอตรรกยะ สาหรับข้อความที่เป็นจริง ผู้เขียนได้ให้เหตุผลไว้อย่างชัดเจน ส่วนข้อความท่ีไม่เป็นจริง ผู้เขียนได้ ยกตวั อย่างประกอบไวอ้ ย่างครบถ้วน 22

คู่มือส่ือการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พ้นื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 2 คือ ต้องการทดสอบว่านักเรียนสามารถพิจารณาว่าจานวนจริงแต่ละ จานวนเปน็ จานวนตรรกยะหรอื จานวนอตรรกยะได้อยา่ งถูกตอ้ งหรือไม่ ในการตรวจสอบนั้น เราพิจารณาจานวนว่าจานวนใดเป็นจานวนตรรกยะโดยการตรวจสอบว่า จานวนนน้ั สามารถจัดให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจานวนเต็มโดยท่ีตัวส่วนไม่เป็นศูนย์หรือในรูปของจานวนท่ี เขียนในรูปทศนยิ มซ้าได้หรือไม่ ถ้าสามารถจัดให้อยูใ่ นรปู ดงั กล่าวได้ จานวนนนั้ จะเปน็ จานวนตรรกยะ 23

ค่มู ือส่อื การสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พน้ื ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 3 คือ ต้องการทดสอบเร่ืองสมบัติของจานวนจริง จานวนตรรกยะและ จานวนอตรรกยะ เช่น  สมบัติความหนาแน่นของจานวนตรรกยะและจานวนตรรกยะ นั่นคือ ระหว่างจานวนจริง 2 จานวนจะมีจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะแทรกอยเู่ สมอ  สมบัติการจัดอันดับดีแล้วของจานวนนับ นั่นคือ สาหรับแต่ละจานวนจริง จะมีจานวนนับท่ี มากกวา่ หรอื เท่ากบั จานวนจรงิ น้ันเสมอ ซง่ึ ผเู้ ขียนไดบ้ รรยายไวใ้ นสอ่ื การสอนอยา่ งครบถว้ น 24

คู่มอื สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พืน้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวิทยาลยั จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 4 คือ ต้องการทดสอบว่านักเรียนมีความเข้าใจและเห็นความแตกต่าง ระหว่างสมบัติของจานวนจริงเกี่ยวกับการบวกและสมบัติของจานวนจริงเกี่ยวกับการบวกการคูณหรือไม่ โดยให้นักเรียนพิจารณาว่าข้อความในตัวเลือกเป็นจริงด้วยสมบัติการเปลี่ยนหมู่การบวก การมีเอกลักษณ์ การบวกและการคูณ และการมีอนิ เวอรส์ การคูณของจานวนจริง 25

คู่มอื สอื่ การสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลยั จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 5 เป็นการทดสอบว่านักเรียนมีความเข้าใจเก่ียวกับสมบัติปิดภายใต้การ บวก การลบและการคูณหรือไม่ โดยการใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาวา่ เซตท่ีกาหนดใหใ้ นแตล่ ะตัวเลือกมีสมบัติปิด ภายใต้การบวก การลบหรอื การคณู หรอื ไม่ นอกจากนี้ผู้เขียนคาดหวังว่า หลังจากนักเรียนทาโจทย์ข้อน้ีแล้ว นักเรียนจะเกิดทักษะการเรียนรู้ ทางดา้ นการคิด การลองผดิ ลองถูก และวเิ คราะหอ์ ย่างมีเหตผุ ล 26

คู่มอื สอ่ื การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพืน้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวิทยาลยั จดุ ประสงค์ของโจทย์ขอ้ 6 คือ ต้องการทดสอบว่านกั เรียนเข้าใจความหมายของการมีอินเวอร์สการ บวกของจานวนจรงิ พรอ้ มทั้งหาคา่ อนิ เวอรส์ ดังกล่าวได้หรือไม่ สาหรบั โจทย์ขอ้ น้ี นักเรียนจะต้องทราบความหมายของการมอี ินเวอร์สการบวก น่ันคือ “จานวนจรงิ a เปน็ อินเวอรส์ การบวกของจานวนจริง b กต็ ่อเม่อื a  b  0  b  a ” 27

ค่มู อื สอื่ การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้นื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 7 คือ ต้องการทดสอบว่านักเรียนเข้าใจความหมายของเอกลักษณ์ของการ ดาเนนิ การและอินเวอรส์ ของจานวนจรงิ ภายใตก้ ารดาเนนิ การบนเซตจานวนจริงหรือไม่ ในโจทยข์ อ้ น้ี ผเู้ ขียนได้นิยามการดาเนินการบนเซตของจานวนจริงและให้นักเรียนหาอินเวอร์สของ จานวนจริงภายใต้การดาเนินการนั้น ซึ่งนักเรียนจะต้องทราบความหมายของการมีเอกลักษณ์ของการ ดาเนนิ การและการมีอินเวอร์สของจานวนจริงภายใตก้ ารดาเนนิ การที่กาหนดให้ นัน่ คือ “จานวนจรงิ x เปน็ เอกลกั ษณ์ของการดาเนินการ  กต็ ่อเมอื่ xa  a  a  x ทกุ ๆ จานวนจริง a ” และ “จานวนจรงิ y จะเป็นอนิ เวอรส์ ของจานวนจริง a ภายใต้การดาเนนิ การ  ก็ตอ่ เมอื่ y  a  เอกลกั ษณข์ องการดาเนินการ   a  y ” 28

คมู่ อื สือ่ การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พนื้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั จุดประสงค์ของโจทยข์ ้อ 8 คือ ต้องการทดสอบความเข้าใจในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของจานวน จริงในการเขียนบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ และต้องการให้นักเรียนทราบข้อพึงระวังในการใช้ทฤษฎีบท ของจานวนจรงิ เช่น กฎการตดั ออกของจานวนจรงิ ภายใต้การคูณ นนั่ คอื สาหรับจานวนจริง a , b และ c “ถ้า ab  ac และ a  0 แลว้ b  c ” ซึ่งนกั เรียนจะตอ้ งตรวจสอบให้แนใ่ จก่อนประยกุ ต์ใช้ว่าจานวนจรงิ ทตี่ ัดออกไม่เปน็ ศนู ย์ 29

คมู่ ือสอื่ การสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พืน้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลยั เน้ือหาหลกั ของโจทยข์ อ้ 9 คือ ต้องการทดสอบความรู้และความเข้าใจในทฤษฎีบทและสมบตั ิบาง ประการเกี่ยวกับการเท่ากันของจานวนจรงิ เชน่ สมบัติเก่ียวกบั การยกกาลัง สมบัติการตดั ออกภายใต้การคณู และการมอี นิ เวอร์สการคูณของจานวนจริง 30

คู่มอื สอื่ การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พืน้ ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลยั เนื้อหาหลกั ของโจทยข์ อ้ 10 คอื ตอ้ งการทดสอบความรู้และความเข้าใจในทฤษฎีบทและสมบัติบาง ประการเก่ยี วกับการเท่ากนั ของจานวนจรงิ เชน่ สมบัติเกีย่ วกบั การยกกาลัง สมบัติการตัดออกภายใต้การคูณ เปน็ ต้น ซ่ึงผ้เู ขยี นไดอ้ ธิบายสมบตั ดิ ังกลา่ วไว้ในวิดีทศั นอ์ ย่างชัดเจน 31

ค่มู ือส่ือการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย 3. แบบทดสอบ แบบทดสอบ ใชเ้ พ่ือทดสอบความรคู้ วามสามารถข้ันสูงของผู้เรียน ประกอบดว้ ยข้อคาถามแบบ ปรนยั แบบ 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ พร้อมเฉลย ครอบคลมุ ตามจุดประสงค์การเรียนรู้ท่ีกาหนด โดย ผู้จัดทาได้ออกแบบให้โปรแกรมสามารถสมุ่ ขอ้ คาถาม เพือ่ สร้างเป็นแบบฝกึ หัดทม่ี ีความแตกต่างกัน ได้มากถึง 310 แบบ 32

ค่มู อื สอ่ื การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพนื้ ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั โจทย์ข้อ 1 เน้ือหาหลกั : จานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ 1.1 พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ก.  22 , 3  27 , 7  , 3.14 เปน็ จานวนตรรกยะทกุ จานวน 12 11 ข. มีสมาชกิ ในเซต  18  2, 1.732 , 2.19 , 7   ทเี่ ปน็ จานวนอตรรกยะ  3 0.19 22 3.14   ข้อใดต่อไปน้ีเป็นจริง 1. ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก 2. ข้อ ก. ถกู และ ขอ้ ข. ผดิ 3. ข้อ ก. ผดิ และ ข้อ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผดิ เฉลย 3 จานวนตรรกยะ คือ จานวนท่สี ามารถเขยี นได้ในรปู เศษส่วนของจานวนเต็มโดยทตี่ ัวสว่ นไมเ่ ปน็ ศนู ย์ จากความหมายนที้ าให้ได้ว่า จานวนตรรกยะประกอบดว้ ย 1. จานวนเตม็ 2. จานวนท่ีเขยี นในรูปของเศษสว่ นของจานวนเตม็ และตัวส่วนไมเ่ ปน็ ศูนย์ 3. จานวนท่ีเขยี นในรปู ทศนิยมซ้า จานวนอตรรกยะ คือ จานวนจริงที่ไม่เป็นจานวนตรรกยะ พจิ ารณาขอ้ ก.  22  4  2 เปน็ จานวนเตม็ 3  27  3  3 3  4 3  2 เปน็ จานวนเต็ม 12 2 3 2 3 3.14 เปน็ จานวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้า ดงั นน้ั  22 , 3  27 , 3.14 เป็นจานวนตรรกยะ ในขณะท่ี 7 เป็นจานวนอตรรกยะ เนอื่ งจาก 12 11 7 เปน็ ผลคูณของจานวนตรรกยะ 7 และจานวนอตรรกยะ  ดงั นัน้ ข้อ ก. ผดิ 11 11 พิจารณาข้อ ข. 18  2, 2.19 และ 7  3.14 เปน็ จานวนตรรยะ เน่อื งจาก 0.19 22 18  2  36  6 เป็นจานวนเตม็ 2.19 เปน็ จานวนท่อี ยใู่ นรูปของการหารจานวนตรรกยะดว้ ยจานวนตรรกยะ และ 0.19 7  3.14 เปน็ ผลคูณของจานวนตรรกยะ 2 จานวน 22 33

คมู่ อื สื่อการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลัย สว่ น 1.732 เปน็ จานวนอตรรกยะ เนอ่ื งจาก 1.732 เป็นผลคณู ของจานวนตรรกยะ 1.732 และ 33 จานวนอตรรกยะ 1 ดงั นัน้ ขอ้ ข. ถูก 3 1.2 พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี ก. 4 , 1 7 , 1.414  2 เปน็ จานวนอตรรกยะทุกจานวน 22, 2 22 ข. มีสมาชกิ ในเซต  5  4 , 1 , 1 ,  ท่ีเป็นจานวนตรรกยะ  5  4 5 314  32   ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเป็นจริง 1. ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก 2. ขอ้ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ผดิ 3. ขอ้ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ผดิ เฉลย 1 พิจารณาขอ้ ก. 4 , 1 7 , 1.414  2 เปน็ จานวนอตรรกยะทกุ จานวน เน่อื งจาก 22, 2 22 4  2  2 เปน็ จานวนอตรรกยะ 22 1 2 เป็นจานวนอตรรกยะ 22  7 เปน็ ผลคูณของจานวนตรรกยะ 7 และจานวนอตรรกยะ  และ 2 22 22 1.414  2 เป็นผลคณู ของจานวนตรรกยะ 1.414 และจานวนอตรรกยะ ดังน้นั ข้อ ก. ถูก พิจารณาข้อ ข. 1 1 และ 314 เปน็ จานวนอตรรกยะ เนื่องจาก 32 , 5 1 3 เป็นจานวนอตรรกยะ 32  1 เปน็ ผลคูณของจานวนตรรกยะ 1 และจานวนอตรรกยะ 1 และ 5 5  314 เปน็ ผลคูณของจานวนตรรกยะ 314 และจานวนอตรรกยะ  ส่วน 5  4  9  3   3 เปน็ จานวนตรรกยะ ดงั น้ัน ข้อ ข. ถกู 5  4   34

ค่มู ือสอ่ื การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั 1.3 พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ก. 32   2 9  4 , 3.14 เป็นจานวนตรรกยะทุกจานวน 2.32 2, 5 , ข. มสี มาชกิ ในเซต   1   , 32  ทเี่ ป็นจานวนอตรรกยะ 32 3  24 , 432 , 2 2  ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้เปน็ จริง 1. ขอ้ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ถูก 2. ขอ้ ก. ถูก และ ข้อ ข. ผดิ 3. ข้อ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ถูก 4. ขอ้ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผดิ เฉลย 3 พิจารณาขอ้ ก.  32  2, 2 และ 3.14 เป็นจานวนตรรกยะ เนอ่ื งจาก 2.32 5 32  2  64  8 เปน็ จานวนเตม็  2 5 เป็นจานวนเต็ม และ 5 3.14 เป็นจานวนทอี่ ย่ใู นรปู ของการหารจานวนตรรกยะด้วยจานวนตรรกยะ 2.32 สว่ น 9  4 เปน็ จานวนอตรรกยะ เน่ืองจาก 9  4 เป็นจานวนอตรรกยะ และรากท่สี องของจานวนอตรรกยะจะเป็นจานวนอตรรกยะเสมอ ดังน้นั ข้อ ก. ผดิ พิจารณาขอ้ ข. 32  24 และ 32 เป็นจานวนตรรกยะ เนอ่ื งจาก 22 32  24  9  4  36 เป็นจานวนเตม็ และ 32  4 2  2 เป็นจานวนเต็ม 22 22 สว่ น 1 และ    เปน็ จานวนอตรรกยะ เน่ืองจาก 1 และ  เปน็ จานวนอตรรกยะ 33 432 32 ดงั น้นั ข้อ ข. ถกู 35

คู่มอื สอ่ื การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพน้ื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั โจทย์ข้อ 2 เน้ือหาหลัก : จานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ 2.1 ให้ a และ b เปน็ จานวนตรรกยะ พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. ab เปน็ จานวนตรรกยะ ข. ab เป็นจานวนตรรกยะ เมื่อ a  b มีอินเวอร์สการคูณ ab ข้อใดตอ่ ไปน้ีเป็นจริง 1. ขอ้ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ถูก 2. ขอ้ ก. ถูก และ ข้อ ข. ผดิ 3. ขอ้ ก. ผดิ และ ข้อ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผดิ และ ข้อ ข. ผดิ เฉลย 3 พจิ ารณาขอ้ ก. เลือก a  2 และ b  1 จะได้วา่ 1  2 ซึง่ เป็นจานวนอตรรกยะ 2 ab  22 ดังนน้ั ข้อ ก. ผดิ พิจารณาข้อ ข. เนือ่ งจาก a และ b เปน็ จานวนตรรกยะ ดังน้นั ab และ a  b เปน็ จานวน ตรรกยะ ทาใหไ้ ด้ว่า ab  1  ab เป็นจานวนตรรกยะ ดงั นน้ั ข้อ ข. ถูก ab ab 2.2 ให้ a เปน็ จานวนอตรรกยะ และ b เปน็ จานวนตรรกยะ พิจารณาข้อความต่อไปน้ี ก. ab เป็นจานวนอตรรกยะ ข. ab เป็นจานวนอตรรกยะ ab ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้เปน็ จริง 1. ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก 2. ขอ้ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ผดิ 3. ขอ้ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผดิ เฉลย 4 พจิ ารณาข้อ ก. เลอื ก a  2 และ b  0 จะได้วา่ ab  ( 2)0  1 ซึ่งเปน็ จานวนตรรกยะ ดังนน้ั ข้อ ก. ผดิ พิจารณาขอ้ ข. เลือก a  2 และ b  0 จะไดว้ า่ ab  2  0  0 ซึง่ เปน็ จานวนตรรกยะ ab 20 ดงั นัน้ ข้อ ข. ผดิ 36

คมู่ ือสือ่ การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้ืนฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย 2.3 ให้ a และ b เปน็ จานวนอตรรกยะ พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. a  bab เปน็ จานวนอตรรกยะ ข. ab เปน็ จานวนอตรรกยะ เม่ือ a  b มีอินเวอร์สการคณู ab ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเป็นจริง 1. ข้อ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ถูก 2. ขอ้ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ผดิ 3. ขอ้ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ถูก 4. ขอ้ ก. ผิด และ ขอ้ ข. ผดิ เฉลย 4 พจิ ารณาข้อ ก. เลือก a  2 และ b  2 จะได้วา่  2    2 2 2  2 2 2 8 เปน็ จานวนตรรกยะ ดังนน้ั ข้อ ก. ผดิ พจิ ารณาข้อ ข. เลือก a  1 และ b  1 จะไดว้ ่า 2 1 2 1    1  1  ab   2 1 2   2 1 2 1 ซึ่งเปน็ จานวนตรรกยะ   a  b 1    1  2  2 1 2 1  2  2 1 2 ดังนนั้ ข้อ ข. ผดิ 37

คมู่ อื สอ่ื การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั โจทยข์ ้อ 3 เนื้อหาหลัก : สมบัตขิ องจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ 3.1 ขอ้ ความในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู ต้อง 1. สาหรับจานวนตรรกยะ 2 จานวนท่ีแตกต่างกนั จะมีจานวนตรรกยะอยรู่ ะหวา่ ง 2 จานวนนน้ั เสมอ 2. มจี านวนท่เี ป็นทั้งจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ 3. เซตของจานวนตรรกยะทม่ี ีค่าระหวา่ ง 1 กับ 2 เป็นเซตจากดั 4. มจี านวนอตรรกยะทีม่ ากท่สี ุดที่นอ้ ยกว่า 3.5 เฉลย 1 พิจารณาตัวเลอื ก 1. ให้ a และ b เป็นจานวนตรรกยะ โดยที่ a  b ดงั นนั้ จะมจี านวนตรรกยะ a  b 2 ซ่งึ a  a  b  b เสมอ ดังนนั้ ตวั เลือก 1. ถกู ต้อง 2 พจิ ารณาตัวเลือก 2. จากนิยาม จานวนอตรรกยะ คือ จานวนจรงิ ทไี่ มใ่ ชจ่ านวนตรรกยะ ทาให้ได้วา่ ไม่มีจานวนจริงใด ๆ ท่ีเป็นท้ังจานวนตรรกยะและอตรรกยะ ดังนั้น ตวั เลอื ก 2. ไมถ่ ูกต้อง พจิ ารณาตัวเลือก 3. จะแสดงว่าขอ้ ความนไี้ มเ่ ป็นจริง โดยใช้วธิ ีการพิสูจน์แบบขัดแยง้ สมมตวิ ่า เซตของจานวนตรรกยะท่ีมคี ่าระหวา่ ง 1 กบั 2 เปน็ เซตจากดั ให้ A เป็นเซตของจานวนตรรกยะทมี่ ีคา่ ระหว่าง 1 กับ 2 เนอื่ งจาก เซต A เป็นเซตจากัด เขียนเซต A  {a1, a2 ,..., an} โดยที่ ai  a j ทุก i  j ดังนน้ั จะไม่มีจานวนตรรกยะอ่ืนทอี่ ยู่ระหวา่ งจานวนตรรกยะ a1 และ a2 ซึง่ ขัดแย้งกับข้อความในตวั เลือก 1. ทีว่ ่า “สาหรับจานวนตรรกยะ 2 จานวนที่แตกต่างกัน จะมจี านวนตรรกยะอยรู่ ะหวา่ ง 2 จานวนนั้นเสมอ” จงึ สรปุ ไดว้ า่ เซตของจานวนตรรกยะที่มีคา่ ระหว่าง 1 กบั 2 ไม่เป็นเซตจากดั ดังนัน้ ตัวเลอื ก 3. ไม่ถกู ตอ้ ง พิจารณาตวั เลือก 4. สมมติวา่ มี a เป็นจานวนอตรรกยะท่มี ากท่ีสุดท่นี ้อยกวา่ 3.5 ดงั นั้น จะมี a  3.5 เปน็ จานวนอตรรกยะซงึ่ a  a  3.5  3.5 ทาให้ขัดกบั ข้อสมมตทิ วี่ า่ a 22 เป็นจานวนอตรรกยะทม่ี ากทส่ี ดุ ที่น้อยกว่า 3.5 จงึ สรุปได้วา่ ไมม่ ีจานวนอตรรกยะที่มากท่ีสดุ ทีน่ อ้ ย กว่า 3.5 ดังนนั้ ตัวเลือก 4. ไมถ่ ูกต้อง 3.2 ขอ้ ความในข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง 1. ระหวา่ งจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะใดๆ ก็ตาม จะมจี านวนอตรรกยะอยู่ระหว่าง 2 จานวน นั้นเสมอ 2. มจี านวนท่เี ขียนได้ในรูปทศนยิ มซ้าทเ่ี ป็นจานวนอตรรกยะ 38

คูม่ ือส่ือการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั 3. เซตของจานวนอตรรกยะทีม่ ีค่าระหว่าง 1.99 กับ 2 เป็นเซตจากัด 4. มีจานวนอตรรกยะท่นี อ้ ยที่สุดท่ีมากกว่า 2.79 เฉลย 1 พจิ ารณาตัวเลือก 1. ให้ a เปน็ จานวนตรรกยะ และ b เปน็ จานวนอตรรกยะ โดยไม่เสียนัยทัว่ ไป สมมติให้ a  b ดังนัน้ จะมี a  b เป็นจานวนอตรรกยะซ่งึ 2 a  a  b  b เสมอ 2 เพราะฉะน้นั ตัวเลอื ก 1. ถูกต้อง พจิ ารณาตวั เลอื ก 2. ทุกจานวนท่เี ขียนได้ในรปู ทศนยิ มซ้าเป็นจานวนตรรกยะ ดงั นนั้ ตวั เลอื ก 2. ไม่ถูกต้อง พจิ ารณาตัวเลือก 3. จะแสดงว่าขอ้ ความนไ้ี ม่เป็นจริง โดยใชว้ ธิ ีการพสิ จู นแ์ บบขดั แย้ง สมมตวิ า่ เซตของจานวนอตรรกยะทม่ี ีคา่ ระหวา่ ง 1.99 กับ 2 เปน็ เซตจากดั ให้ A เซตของจานวนอตรรกยะที่มคี า่ ระหว่าง 1.99 กบั 2 เนอ่ื งจาก เซต A เป็นเซตจากัด เขยี นเซต A  {a1, a2 ,..., an} โดยที่ ai  a j ทุก i  j ดังนั้น จะไม่มจี านวนอตรรกยะอ่นื ที่อยรู่ ะหว่างจานวนอตรรกยะ a1 และ a2 ซึ่งขดั แย้งกบั ขอ้ ความของตวั เลอื ก 1. ในขอ้ 3.3 ท่วี ่า “สาหรับ จานวนอตรรกยะ 2 จานวนทแี่ ตกต่างกัน จะมีจานวนอตรรกยะอยู่ระหว่าง 2 จานวนน้ันเสมอ” จึงสรุปได้ว่า เซตของจานวนอตรรกยะทม่ี ีค่าระหว่าง 1.99 กับ 2 ไม่เปน็ เซตจากดั ดงั นัน้ ตวั เลอื ก 3. ไมถ่ กู ตอ้ ง พจิ ารณาตัวเลือก 4. สมมตวิ ่ามี a เปน็ จานวนอตรรกยะทนี่ อ้ ยทสี่ ุดทมี่ ากกวา่ 2.79 ดังน้นั จะมี a  2.79 เปน็ จานวนอตรรกยะซึง่ 2.79  a  2.79  a ทาใหข้ ัดแย้งกบั ขอ้ สมมติ 22 ทวี่ ่า a เปน็ จานวนอตรรกยะท่ีน้อยที่สุดท่ีมากกว่า 2.79 จงึ สรุปไดว้ ่า ไม่มีจานวนอตรรกยะท่ีน้อยทีส่ ุด ท่ีมากกว่า 2.79 ดงั นนั้ ตัวเลอื ก 4. ไมถ่ ูกต้อง 3.3 ขอ้ ความในขอ้ ใดต่อไปน้ีไมถ่ กู ต้อง 1. สาหรับจานวนอตรรกยะ 2 จานวนทแี่ ตกตา่ งกนั จะมีจานวนอตรรกยะอยู่ระหวา่ ง 2 จานวนน้นั เสมอ 2. ทุกจานวนทส่ี ามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมซา้ เป็นจานวนตรรกยะ 3. เซตของจานวนตรรกยะที่มีค่าระหว่าง 3 กับ 3.1 เป็นเซตอนนั ต์ 4. มีจานวนตรรกยะที่นอ้ ยที่สดุ ที่มากกวา่ 55.3 39

คูม่ อื สือ่ การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลยั เฉลย 4 พิจารณาตวั เลือก 1. ให้ a และ b เป็นจานวนอตรรกยะ โดยไม่เสยี นัยทั่วไป สมมตใิ ห้ a  b กรณที ่ี 1 a  b เป็นจานวนอตรรกยะ ดังน้ัน จะมีจานวนอตรรกยะ a  b ซึ่ง a  a  b  b 22 กรณีท่ี 2 a  b เป็นจานวนตรรกยะ ดังนนั้ a  b จะเป็นจานวนตรรกยะ ซงึ่ a  a  b  b 22 เน่ืองจาก a  b เปน็ จานวนตรรกยะ และ a  b  b ดงั น้นั จากขอ้ ความใน 22 ตวั เลอื ก 1. ในขอ้ 3.2 “ระหว่างจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะใดๆ กต็ าม จะมจี านวนอตรรกยะอยรู่ ะหว่างสองจานวนนัน้ เสมอ” จะมีจานวนอตรรกยะ c ซึง่ a  b  c  b ทาใหไ้ ด้วา่ มจี านวนอตรรกยะ c ซึ่ง 2 a ab cb 2 ดงั น้นั ตัวเลอื ก 1. ถูกต้อง พจิ ารณาตวั เลอื ก 2. ทกุ จานวนทเี่ ขยี นได้ในรปู ทศนยิ มซ้าเปน็ จานวนตรรกยะ ดังน้นั ตัวเลือก 2. ถูกต้อง พจิ ารณาตวั เลอื ก 3. ตวั เลือก 3. ถูกต้อง โดยพสิ ูจนใ์ นทานองเดยี วกันกบั ตวั เลือก 3. ในข้อ 3.1 พิจารณาตัวเลอื ก 4. สมมตวิ ่า a เปน็ จานวนตรรกยะที่น้อยทีส่ ุดที่มากกวา่ 55.3 ดงั นนั้ a  55.3 เป็นจานวนตรรกยะซ่งึ 55.3  a  55.3  a ทาให้ขัดแย้งกับข้อสมมตทิ ว่ี า่ 22 a เปน็ จานวนตรรกยะที่นอ้ ยที่สุดที่มากกว่า 55.3 จึงสรุปไดว้ า่ ไมม่ ีจานวนอตรรกยะท่ีน้อยท่ีสดุ ท่ี มากกวา่ 55.3 ดังน้ัน ตวั เลอื ก 4. ไม่ถูกต้อง 40

คู่มอื สอื่ การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพืน้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั โจทย์ข้อ 4 เนื้อหาหลัก : สมบตั ิปิดภายใต้การบวกและการคณู และการมอี ินเวอรส์ การบวกของ จานวนจริง 4.1 กาหนดให้ A x   4 หาร x มเี ศษเหลือ 2 พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ก. เซต A มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและสมบัตปิ ิดภายใต้การคูณ ข. สมาชกิ ทุกตัวของ A มีอนิ เวอรส์ การบวกใน A ขอ้ ใดต่อไปนี้เป็นจรงิ 1. ขอ้ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ถูก 2. ข้อ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ผดิ 3. ข้อ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผดิ เฉลย 3 จากโจทย์ A x   4 หาร x เหลอื เศษ 2  {..., 10,  6,  2, 2,6,10,...} พจิ ารณาขอ้ ก. มี 2, 6  A ซึ่ง 2  6  8 A และ 2 6 12 A ดงั นั้น เซต A ไม่มสี มบัติปดิ ภายใต้การบวกและสมบัตปิ ิดภายใต้การคูณ จงึ ได้ข้อสรุปวา่ ขอ้ ก. ผดิ พิจารณาข้อ ข. เอกลกั ษณก์ ารบวกของ A คือ 0 ให้ a  A ดังน้ัน จะมจี านวนเตม็ k ซงึ่ ทาให้ a  4k  2 ดงั น้ัน อินเวอร์สการบวกของ a คอื  a   (4k  2) ซง่ึ  a   4k  2  4 k 1 2  A จงึ สรุปไดว้ ่า สมาชกิ ทุกตัวของ A มอี ินเวอร์สการบวกใน A ดงั นน้ั ข้อ ข. ถูก 4.2 กาหนดให้ Ax   4 หาร x มเี ศษเหลือ 1 พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. เซต A มีสมบตั ิปิดภายใต้การบวกและสมบตั ปิ ิดภายใตก้ ารคณู ข. สมาชิกทกุ ตวั ของ A มีอินเวอรส์ การบวกใน A ข้อใดตอ่ ไปน้ีเปน็ จรงิ 1. ขอ้ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ถูก 2. ขอ้ ก. ถูก และ ข้อ ข. ผดิ 3. ขอ้ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผิด และ ขอ้ ข. ผดิ เฉลย 4 จากโจทย์ A x   4 หาร x เหลือเศษ 1  {..., 11,  7,  3,1,5,9,...} พิจารณาขอ้ ก. มี 1,5  A ซึง่ 1 5  6 A ดงั น้นั เซต A ไมม่ ีสมบัติปิดภายใต้การบวก จะแสดงวา่ เซต A มีสมบัติปิดภายใต้การคณู ให้ a,b  A ดงั นนั้ จะมจี านวนเต็ม k และ m ซ่ึงทาให้ a  4k  1 และ b  4m  1 41

คมู่ ือสอ่ื การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พ้นื ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย ดงั น้นั a  b  (4k  1)(4m  1)  (4k)(4m)  4k  4m  1  4(4km  k  m)  1 เนอ่ื งจาก 4km k  m เป็นจานวนเต็ม จึงสรุปได้ว่า a  b  A ดังนนั้ เซต A มีสมบตั ิปดิ ภายใต้การคูณ จงึ ไดข้ อ้ สรุปวา่ เซต A มีสมบัติปดิ ภายใต้การคูณแตไ่ ม่มีสมบตั ิปดิ ภายใต้การบวก ดังน้นั ข้อ ก. ผดิ พิจารณาขอ้ ข. เนือ่ งจาก 1 A แต่อินเวอร์สการบวกของ 1 ซ่ึงกค็ อื 1 ไม่เปน็ สมาชกิ ของเซต A ดงั นัน้ ข้อ ข. ผดิ 4.3 กาหนดให้ Ax   4 หาร x ลงตัว  พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ก. เซต A มสี มบัติปดิ ภายใต้การบวกและสมบัตปิ ดิ ภายใตก้ ารคูณ ข. สมาชิกทุกตัวของ A มีอินเวอรส์ การบวกใน A ขอ้ ใดต่อไปน้ีเปน็ จริง 1. ขอ้ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก 2. ข้อ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ผดิ 3. ข้อ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผดิ เฉลย 1 จากโจทย์ A x   4 หาร x ลงตวั   {..., 12,  8,  4,0, 4,8,...} พิจารณาขอ้ ก. จะแสดงว่า เซต A มสี มบตั ปิ ดิ ภายใต้การบวกและสมบัตปิ ิดภายใต้การคูณ ให้ a,b  A ดงั นัน้ จะมจี านวนเต็ม k และ m ซ่งึ ทาให้ a  4k และ b  4m ดังน้ัน a  b  4k  4m  4(k  m) และ a  b  (4k)(4m)  4(4km) เน่ืองจาก k  m และ 4km เป็นจานวนเต็ม ดงั นั้น a  b และ a  b เปน็ สมาชกิ ของเซต A จงึ สรปุ ได้วา่ เซต A มีสมบตั ปิ ดิ ภายใต้การบวกและสมบตั ปิ ิดภายใต้การคูณ ดังนน้ั ขอ้ ก. ถูก พิจารณาขอ้ ข. จะแสดงว่า สมาชิกทกุ ตวั ของ A มีอินเวอรส์ การบวกใน A ให้ a  A ดงั น้ัน 4 หาร a ลงตัว ทาใหไ้ ด้ว่า 4 หาร  a ลงตวั เพราะฉะนนั้  a  A จงึ สรปุ ไดว้ ่า สมาชิกทกุ ตัวของ A มีอนิ เวอร์สการบวกใน A ดังน้ัน ข้อ ข. ถูก 42

คู่มอื สอ่ื การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพน้ื ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลยั โจทยข์ ้อ 5 เน้ือหาหลัก : สมบตั ิการสลับท่ีและสการเปลีย่ นหมู่ การดาเนินการบนเซตของ จานวนจริง 5.1 ให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ ใดๆ และ a bab  2a  b พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. เซตของจานวนจรงิ มีสมบัตกิ ารสลับทภี่ ายใต้การดาเนนิ การ  ข. เซตของจานวนจรงิ มีสมบตั ิการเปลย่ี นหมภู่ ายใต้การดาเนนิ การ  ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเปน็ จรงิ 1. ขอ้ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ถูก 2. ขอ้ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ผดิ 3. ขอ้ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ถูก 4. ขอ้ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผดิ เฉลย 2 พิจารณาข้อ ก. ให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ จากสมบัตกิ ารสลับทีก่ ารบวกและการสลบั ที่การคูณของจานวนจริง จะไดว้ า่ a  b ab  2a  b  ba  2(b  a)  b  a ดังนน้ั เซตของจานวนจรงิ มสี มบัติการสลบั ทีภ่ ายใตก้ ารดาเนินการ  จงึ สรุปได้วา่ ข้อ ก. ถูก พิจารณาขอ้ ข. เนื่องจาก (1 2)  0  (1 2)  2(1 2) 0  8  0  (8 0)  2(8  0)  16 และ 1 (2  0)  1 (2  0)  2(2  0)  1 4  (1 4)  2(1 4)  14 ดังน้ัน (1 2)  0  1 (2  0) ทาให้สรุปไดว้ ่า เซตของจานวนจริงไม่มีสมบัติการเปลีย่ นหมภู่ ายใต้การดาเนินการ  เพราะฉะนั้น ข้อ ข. ผดิ 5.2 ให้ a และ b เป็นจานวนจริงใดๆ และ ab  a  b  2ab พิจารณาข้อความต่อไปน้ี ก. เซตของจานวนจรงิ มสี มบตั ิการสลบั ท่ภี ายใตก้ ารดาเนินการ  ข. เซตของจานวนจรงิ มีสมบัตกิ ารเปลย่ี นหมูภ่ ายใต้การดาเนนิ การ  ข้อใดต่อไปน้ีเปน็ จรงิ 1. ข้อ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ถูก 2. ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ผดิ 3. ขอ้ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ถูก 4. ขอ้ ก. ผดิ และ ข้อ ข. ผดิ เฉลย 1 พจิ ารณาข้อ ก. ให้ a และ b เปน็ จานวนจริง จากสมบัติการสลับทีก่ ารบวกและการสลับทก่ี ารคณู ของจานวนจริง จะได้วา่ ab  a  b  2ab  b  a  2ba  ba 43

คู่มือสื่อการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้ืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั ดังนั้น เซตของจานวนจริงมสี มบัตกิ ารสลบั ที่ภายใต้การดาเนนิ การ  เพราะฉะน้นั ข้อ ก. ถกู พิจารณาข้อ ข. จะแสดงวา่ เซตของจานวนจริงมสี มบตั ิการเปลีย่ นหมภู่ ายใตก้ ารดาเนนิ การ  ให้ a,b และ c เปน็ จานวนจริง จะไดว้ ่า abc a  b  2abc  a  b  2ab  c  2a  b  2abc  a  b  c  2bc  2ab  c  2bc  abc ดงั นนั้ เซตของจานวนจริงมสี มบตั กิ ารเปล่ียนหม่ภู ายใต้การดาเนินการ  เพราะฉะน้ัน ข้อ ข. ถกู 5.3 ให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ ใดๆ และ a b  a  b  ab พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. เซตของจานวนจรงิ มสี มบัติการสลบั ทภี่ ายใต้การดาเนินการ  ข. เซตของจานวนจริงมสี มบตั ิการเปลยี่ นหมูภ่ ายใต้การดาเนินการ  ข้อใดตอ่ ไปนี้เป็นจรงิ 1. ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก 2. ขอ้ ก. ถูก และ ขอ้ ข. ผดิ 3. ขอ้ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ถูก 4. ขอ้ ก. ผดิ และ ขอ้ ข. ผดิ เฉลย 4 พจิ ารณาขอ้ ก เน่ืองจาก 1 01 0  1 0  1  1  0 1 (01)  0 1 ดงั นนั้ เซตของจานวนจริงไม่มสี มบัติการสลบั ทภ่ี ายใต้การดาเนินการ  จงึ สรุปได้วา่ ขอ้ ก ผดิ พจิ ารณาข้อ ข เซตของจานวนจรงิ ไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ภายใต้การดาเนนิ การ  เนื่องจาก 2  232  2  223 4 34  3  4313 แต่ 2  2 3 2  2  3  23 2 5 2  5  257 ดงั นนั้ ข้อ ข ผิด 44

คูม่ อื สอื่ การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พ้ืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั โจทย์ข้อ 6 เนื้อหาหลกั : การมีอนิ เวอร์สการบวกและอนิ เวอร์สการคูณ 6.1 ให้ p และ q เป็นจานวนจริง อินเวอรส์ การบวกและอินเวอร์สการคณู ของ p  1 คอื ข้อใดตามลาดบั เมื่อทกุ พจนม์ ีความหมาย q 1.   1  pq  , q 2. p  1 , 1  p q 1  pq qq 3. 1 pq , q 4. pq 1,  q q 1  pq q 1  pq เฉลย 1 อนิ เวอรส์ การบวกของจานวนจรงิ a คือ จานวนจริงที่บวกกบั a แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 0 และ อินเวอรส์ การคณู ของจานวนจรงิ a  0 คอื จานวนจรงิ ท่คี ูณกบั a แลว้ ได้ผลลัพธ์เปน็ 1 เนื่องจาก   1  pq    p  1     1 qpq    1  pq   0   1  pq     1  pq   q q q q  q    และ  q    p  1    q    1  pq   1   1  pq    q   pq q  pq q q  pq 1 1 1 ดงั นน้ั อินเวอรส์ การบวกและอนิ เวอรส์ การคูณของ p 1 คือ   1  pq  และ q ตามลาดับ q q  pq 1 6.2 ให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ อินเวอร์สการบวกและอินเวอรส์ การคูณของ 2  a คือขอ้ ใดตามลาดับ เมอ่ื ทกุ พจนม์ ีความหมาย b 1. 2  a , 1  b 2.  2  a , 1  b b2 a b2 a 3.   2b  a  , b 4. 2b  a ,   b   b  2b  b  2b   a a เฉลย 3 ทานองเดยี วกบั ข้อ 6.1 อนิ เวอร์สการบวกและอินเวอรส์ การคณู ของ 2  a คือ   2b  a  และ b b b ตามลาดับ หรือจะพจิ ารณาอยา่ งง่าย ๆ ว่า 2b  a อินเวอรส์ การบวกของ 2  a คอื   2b  a    2b  a  2  a และ b b b b b อนิ เวอรส์ การคณู ของ 2  a คอื 1  1 b 2 a 2b  a 2b  a b bb 45

ค่มู ือสือ่ การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พืน้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวิทยาลัย 6.3 ให้ x และ y เป็นจานวนจริง อนิ เวอรส์ การบวกและอินเวอร์สการคูณของ 3x  y คือข้อใดตามลาดับ เม่ือทกุ พจนม์ คี วามหมาย x 1. 3x  y ,   1  y  2.  3x2  y  x y  x  , x  3x x  3x2  3. 3x 2  y ,   x  4.   3x2  y  , x x 2 x 3x2  3x y y เฉลย 4 ทานองเดยี วกับขอ้ 6.1 อนิ เวอร์สการบวกและอินเวอรส์ การคณู ของ 3x  y คือ   3x 2 y  และ x x x ตามลาดับ 3x2  y 46

คมู่ ือสือ่ การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย โจทยข์ อ้ 7 เนื้อหาหลกั : เอกลกั ษณก์ ารบวกและเอกลกั ษณ์การคณู การมีอินเวร์สการบวกและ อินเวอร์สการคูณ 7.1 ให้ a เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ และ b เปน็ อนิ เวอรส์ การบวกของ a ถ้า c เป็นจานวนจรงิ ซึ่ง 3a  b  2c  0 แลว้ ข้อใดต่อไปน้ีถูกต้อง 1. c มีค่าเทา่ กับเอกลักษณ์การบวก 2. c มคี า่ เท่ากบั เอกลักษณ์การคูณ 3. c เปน็ อินเวอร์สการบวกของ a 4. c เป็นอินเวอรส์ การบวกของ b เฉลย 3 เน่ืองจาก b เป็นอนิ เวอรส์ การบวกของ a ดงั นน้ั a  b  0 ทาใหไ้ ดว้ า่ 3a  b  2c  2a  a  b 2c  2a  0  2c  2(a  c) ดังนัน้ ถา้ 3a  b  2c  0 แล้ว จะได้ว่า 2(a  c)  0 ดงั นั้น a  c  0  c  a ทาใหส้ รุปไดว้ ่า c เปน็ อินเวอรส์ การบวกของ a 7.2 ให้ a เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ และ b เป็นอนิ เวอร์สการคณู ของ a ถ้า c เป็นจานวนจริง ซงึ่ a2b  c  3 แลว้ ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง 1. c มคี า่ เทา่ กับเอกลกั ษณ์การบวก 2. c มีค่าเทา่ กบั เอกลกั ษณ์การคูณ 3. c เป็นอนิ เวอรส์ การคูณของ a 4. c เป็นอนิ เวอรส์ การคณู ของ b เฉลย 3 เน่ืองจาก b เป็นอินเวอร์สการคูณของ a ดงั น้ัน ab 1 ทาใหไ้ ด้ว่า a2b  c  2ab  ac  (2 1)  ac  2  ac ดังนั้น ถ้า a2b  c3 แล้วจะได้ว่า 2  ac 3 ดังน้นั ac 1  ca ทาให้สรุปได้ว่า c เปน็ อนิ เวอร์สการคูณของ a 7.3 ให้ a เปน็ จานวนจริงใดๆ และ b เปน็ อินเวอรส์ การคูณของ a ถ้า c เปน็ จานวนจริง ซงึ่ 2a2b2  abc  3 แล้วข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ตอ้ ง 1. c มคี า่ เทา่ กับเอกลักษณก์ ารบวก 2. c มีค่าเทา่ กบั เอกลักษณก์ ารคูณ 2. c เปน็ อินเวอรส์ การคูณของ a 4. c เปน็ อินเวอรส์ การคูณของ b เฉลย 2 เน่ืองจาก b เป็นอนิ เวอรส์ การคณู ของ a ดงั น้ัน ab 1 ทาใหไ้ ด้วา่ 2a2b2  abc  2(ab)2  (ab)c  2(1)2  (1)c  2  c 47

ค่มู อื ส่ือการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พน้ื ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั ดังน้นั ถา้ 2a2b2  abc 3 แล้วจะได้วา่ 2  c 3 ดงั นั้น c  1 เพราะฉะน้นั c จะมคี ่าเท่ากบั เอกลกั ษณ์การคณู 48

คู่มอื สอ่ื การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลัย โจทย์ขอ้ 8 เนื้อหาหลกั : อินเวอรส์ ของจานวนจริงภายใตก้ ารดาเนินการบนสบั เซตของจานวนจรงิ 8.1 ให้ a,b R 1 และ a  b  a  b  ab แล้วอนิ เวอร์สของ 3 ภายใต้การดาเนนิ การ  ตรงกับ ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1.  3 2. 1 3.  3 3 4 4. 4 เฉลย 3 3 หาเอกลักษณ์ของการดาเนนิ การ ให้ a  R 1 และ x เปน็ เอกลกั ษณ์ของการดาเนินการ  ดังนัน้ axa  xa จะหาคา่ x จากสมการ a  xa และ a  x  a พจิ ารณาสมการ a  xa จาก a  xa ดงั นั้น a  x  ax  a (1  a)x  0 เน่อื งจาก a  1 ดงั นัน้ (1 a)  0 ทาให้ได้ข้อสรปุ วา่ x  0 พจิ ารณาสมการ a  x a เนื่องจาก จานวนจรงิ มีสมบัตกิ ารสลบั ทภ่ี ายใตก้ ารดาเนินการ  ดังนนั้ x  0 เชน่ เดียวกัน จงึ สรุปไดว้ ่า เอกลกั ษณ์ของการดาเนินการ  คือ 0 หาอินเวอรส์ ของ 3 ภายใต้การดาเนนิ การ ให้ y เปน็ อินเวอรส์ ของ 3 ภายใต้การดาเนนิ การ ดงั นั้น 3 y  เอกลักษณข์ องการดาเนินการ   y  3 นนั่ คือ 3 y  0  y  3 จะหาคา่ y จากสมการ 3 y  0 และ 0  y  3 พิจารณาสมการ 3 y  0 จาก 3  y  0 ดังนั้น 3  y  3y  0 นนั่ คือ y   3 4 พิจารณาสมการ 0  y  3 เนือ่ งจาก จานวนจริงมสี มบตั กิ ารสลับทภ่ี ายใตก้ ารดาเนินการ  ดังน้นั y   3 เช่นเดียวกัน 4 จงึ สรปุ ได้ว่า อินเวอร์สของ 3 ภายใตก้ ารดาเนินการ คือ  3 4 49