ระบบตัวเลข

ผู้สอน : ครูปัทมาพร อุทาจันทร์



 ระบบตวั เลข (Number System) ฐานของระบบตวั เลข คือ จำนวนตวั เลขพ้นื ฐำนที่ไมไ่ ดอ้ ยใู่ นระบบ เลขฐำนจำนวนน้นั ฐานสอง (Binary) ฐานแปด (Octal) ฐานสิบ (Decimal) ฐานสิบหก (Hexadecimal)

ฐานของระบบตวั เลข ตวั เลขพืน้ ฐาน ฐำนสอง (Binary) 0, 1 ฐำนแปด (Octal) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ฐำนสิบ (Decimal) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ฐำนสิบหก (Hexadecimal) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

 การคานวณแปลงเลขฐาน ระบบเลขฐานสอง 27 26 25 24 23 22 21 20 . 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 MSB Decimal LSB Point

 จงเปลี่ยน (1011.101)2 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสิบ วธิ ีทา (1011.101)2 = (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) + (1 x 2-1) + (0 x 2-2) + (1 x 2-3) = 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0 + 0.125 = (11.625)10

 การคานวณแปลงเลขฐาน ระบบเลขฐานแปด 84 83 82 81 80 . 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 MSB Decimal LSB Point

 จงเปล่ียน (142)8 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสิบ วธิ ที า (142)8 = (1 x 82) + (4 x 81) + (2 x 80) = 64 + 32 + 2 = (98)10

 การคานวณแปลงเลขฐาน ระบบเลขฐานสิบหก 164 163 162 161 160 . 16-1 16-2 16-3 16-4 16-5 MSB Decimal LSB Point

 จงเปลี่ยน (256)16 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสิบ วธิ ที า (256)16 = (2 x 162) + (5 x 161) + (6 x 160) = 512 + 80 + 6 = (598)10

 จงเปลี่ยน (D3C.2F)16 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสิบ วธิ ีทา (D3C.2F)16 = (13 x 162) + (3 x 161) + (12 x 160) + (2 x 16-1) + (15 x 16-2) = 3328 + 48 + 12 + 0.125 + 0.05859 = (3388.18359)10

 จงเปลี่ยน (26)10 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสอง LSB วธิ ีทา 2 26 MSB 2 13 เศษ 0 2 6 เศษ 1 2 3 เศษ 0 2 1 เศษ 1 0 เศษ 1 #นน่ั คือ (26)10 = (11010)2

 จงเปล่ียน (0.6875)10 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสอง วธิ ีทา 0.6875x 0.3750 x 0.7500 x 0.5000x 2 2 2 2 1.3750 0.7500 1.5000 1.0000 #นนั่ คือ (0.6875)10 = (0.1011)2

 จงเปล่ียน (49.21875)10 ใหเ้ ป็นเลขฐำนแปด วธิ ที า 8 49 8 6 เศษ 1 0 เศษ 6 #นนั่ คือ (49)10 = (61)8

0.218758x 0.750008x 1.75000 6.00000 #นนั่ คือ (0.21875)10 = (0.16)8 #ฉะน้นั (49.21875)10 = (61.16) 8

 จงเปล่ียน (2606.1015625)10 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสิบหก วธิ ที า 16 2606 16 162 เศษ E ( E = 14 ) 16 10 เศษ 2 0 เศษ A ( A = 10 ) #นนั่ คือ (2606)10 = (A2E)16

0.101561265x 0.62156x 1.6250000 10.000 #นน่ั คือ (0.1015625)10 = (0.1A)16 #ฉะน้นั (2606.1015625)10 = (A2E.1A) 16

เลขฐานแปด เลขฐานสอง (Octal Number) (Binary Number) 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111

 จงเปล่ียน (10101001000.01011)2 ใหเ้ ป็นเลขฐำนแปด วิธีทา (10101001000.01011)2 = ( 010 101 001 000 . 010 110 ) = 2 5 1 0. 2 6 = (2510.26) 8

 จงเปลี่ยน (624.61)8 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสอง วธิ ีทา (624.61)8 = ( 6 2 4 . 6 1 ) = 110 010 100 . 110 001 = (110010100.110001) 2

เลขฐานสิบหก เลขฐานสอง 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001

เลขฐานสิบหก เลขฐานสอง A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111

 จงเปล่ียน (100100111010)2 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสิบหก วิธีทา (100100111010)2 = ( 1001 0011 1010) =9 3 A = (93A) 16

 จงเปล่ียน (10111010100.10011)2 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสิบหก วิธีทา (10111010100.10011)2 = (0101 1101 0100 . 1001 1000) = 5 D 4. 9 8 = (5D4.98) 16

 จงเปลี่ยน (5F.7C)16 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสอง C) วิธีทา (5F.7C)16 = ( 5 F . 7 = 0101 1111 . 0111 1100 = (1011111.01111100) 2

 จงเปลี่ยน (5246.23)8 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสิบหก วิธีทา (5246.23)8 = 5 2 4 6 . 2 3 = (101 010 100 110 . 010 011)2 = (1010 1010 0110 . 0100 1100)2 =A A 6 .4 C = (AA6.4C) 16

 จงเปล่ียน (ABCD.EF)16 ใหเ้ ป็นเลขฐำนแปด วิธีทา (ABCD.EF)16 = A B C D . E F = (1010 1011 1100 1101 . 1110 1111)2 = (001 010 101 111 001 101 . 111 011 110)2 =1 2 5 7 1 5.7 3 6 = (125715.736) 8

รหสั BCD เป็นรหสั ที่ใชเ้ ลขไบนำร่ี 4 บิต สำหรับแทนฐำนสิบแต่ละ ตวั จำก 0 ถึง 9 โดยท่ีแต่ละบิตของเลขไบนำร่ีเหล่ำน้ีจะมี “น้ำหนกั ” (8 4 2 1 จะตรงกบั น้ำหนกั ในระบบเลขฐำนสอง 4 บิต) เช่น 0010 แทนน้ำหนักได้ 0 x8 , 0 x4 , 1 x2 , 0 x1 จะได้ 0 + 0 + 2 +0 = 2 0011 แทนน้ำหนักได้ 0 x8 , 0 x4 , 1 x2 , 1 x1 จะได้ 0 + 0 + 2 +1 = 3

เลขฐานสิบ รหัส 8421 BCD เลขฐานสอง 0 0000 0000 1 0001 0001 2 0010 0010 3 0011 0011 4 0100 0100 5 0101 0101 6 0110 0110 7 0111 0111 8 1000 1000 9 1001 1001

เป็นรหสั ท่ีประกอบดว้ ยกลุ่มของเลขฐำนสองจำนวน 4 บิต คือ ใช้ แทนแต่ละตวั เลขของฐำนสิบ แต่ตอ้ งเพ่ิมค่ำในแต่ละตวั เลขของเลขฐำนสิบ อีก 3 ก่อนท่ีจะเปล่ียนรหสั มำเป็นเลขฐำนสอง เช่น 4+3=7 จะได้ 0111 ฐานสิบ บวกเพมิ่ อีก 3

 จงเปล่ียน (19)10 ใหเ้ ป็นรหสั เพิม่ 3 บวกเพิม่ อีก 3 1+ 9+ เปล่ียนเป็ น 33 เลขฐานสอง 4 12 0100 1100 #นน่ั คือ (19)10 เมื่อเปลี่ยนเป็นรหสั เพิ่ม 3 จะไดเ้ ป็น 0100 1100

เลขฐานสิบ รหัส 8421 BCD รหัสเพม่ิ สาม 0 0000 0011 1 0001 0100 2 0010 0101 3 0011 0110 4 0100 0111 5 0101 1000 6 0110 1001 7 0111 1010 8 1000 1011 9 1001 1100

กลุ่มของรหัสเกรยท์ ่ีเรียงลำดบั กนั ไปจะมีกำรเปลี่ยนแปลง ของรหัสคร้ังละ 1 บิต เท่ำน้ัน จึงมกั จะนำไปใช้ประโยชน์กบั อุปกรณ์อินพุต/เอำตพ์ ุตของระบบดิจิตอล และกำรเปลี่ยนระบบแอ นะลอ็ กเป็นดิจิตอล และอปุ กรณ์ส่วนอื่นๆ

เลขฐานสิบ เลขฐานสอง รหัส 8421 BCD รหัสเกรย์ 0 0000 0000 0000 1 0001 0001 0001 2 0010 0010 0011 3 0011 0011 0010 4 0100 0100 0110 5 0101 0101 0111 6 0110 0110 0101 7 0111 0111 0100 8 1000 1000 1100 9 1001 1001 1101

เลขฐานสิบ เลขฐานสอง รหัส 8421 BCD รหัสเกรย์ 10 1010 0001 0000 1111 11 1011 0001 0001 1110 12 1100 0001 0010 1010 13 1101 0001 0011 1011 14 1110 0001 0100 1001 15 1111 0001 0101 1000

 จงเปลี่ยน (1100)2 ใหเ้ ป็นรหสั เกรย์ วธิ ีทำ MSB 1 10 0 1 01 0 #นน่ั คือ (1100)2 เมื่อเปลี่ยนเป็นรหสั เกรยจ์ ะไดเ้ ท่ำกบั 1010

 จงเปลี่ยนรหสั เกรย์ 101110101 ใหเ้ ป็นเลขฐำนสอง 1 วธิ ีทำ 1 0 1 1 1 0 10 1 1 0 1 0 0 11 0 #นนั่ คือ รหสั เกรย์ 101110101 เมื่อเปล่ียนเป็นเลขฐำนสองจะได้ เท่ำกบั (110100110)2

กำรนำหลกั กำรทำงคณิตศำสตร์พ้ืนฐำน ไดแ้ ก่ กำรบวก กำรลบ กำรคูณ และกำรหำร มำใชก้ บั ระบบตวั เลขดิจิตอล ซ่ึงจะได้ ผลลพั ธ์เป็นเลขไบนำรี่

หลกั เกณฑก์ ำรบวกเลขฐำนสอง มีดงั ต่อไปน้ี 0+0 =0 ทดไปยงั หลงั ต่อไป 1 0+1 =1 1+0 =1 1+1 =0

 จงหำผลลพั ธต์ ่อไปน้ี (10111)2 + (10110)2 วิธีทำ 10111 + จะได้ 10110110110

หลกั เกณฑก์ ำรลบเลขฐำนสอง มีดงั ต่อไปน้ี 0-0 =0 ยมื จำกบิตที่มีน้ำหนกั มำกกวำ่ 1 0-1 =1 1-0 =1 1-1 =0

 จงหำผลลพั ธต์ ่อไปน้ี (100110)2 - (1011)2 วธิ ีทำ 100110 - จะได้ 111001111

หลกั เกณฑก์ ำรคูณเลขฐำนสอง มีดงั ต่อไปน้ี 0x0 =0 0x1 =0 1x0 =0 1x1 =1

 จงหำผลลพั ธ์ต่อไปน้ี (111)2 x (101)2 วิธีทำ 111 x 101 111 000 111 (100011) 2

หลกั เกณฑก์ ำรหำรเลขฐำนสอง มีดงั ต่อไปน้ี 0÷1 =0 1÷1 =1

 จงหำผลลพั ธ์ต่อไปน้ี (11010)2 ÷ (10)2 วธิ ีทำ 1 1 0 1 10 11010 10 10 10 0010 10 00 ดงั น้นั (11010)2÷ (10)2 = (1101)2