Calculus 2

ສໍາລບັ : lim  2x + 3y2  = lim 2 y2 =2 lim x2 + y2  y2 y→0  x→0  x→0 ສໍາລບັ : lim  2x + 3y2  = lim 2x = lim 2 = 2 = +∞ lim x2 + y2  x2 xx→0 0 x→0  y→0 x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : ບ່ ໍປະກດົ ມີ lim 2x + 3y2 . x2 + y2 ( x , y)→( 0,0) ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ x2 − y2 lim x(x,y)→(0,0) 2 + y2 ບດົ ແກ:້ {{ }}ນໍາໃຊສ້ ູດ: = lxi→ma ( )lim f lyi→mb limf (x, y) =L =L ( x , y)→( a ,b) y→b x, y lim f (x, y) x→a  x2 − y2  −y 2 lim lim x2 + y2  y2 ສໍາລບັ : y→0 x→0  = lim = −1 y→0 ສໍາລບັ : lim  x 2 − y2  = lim x 2 = −1 lim x 2 + y2  x 2 x→0  y→0 x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : ບ່ ໍປະກດົ ມີ lim x2 − y2 . x2 + y2 ( x , y)→(0,0) ບດົ ເຝິກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ເພ່ ອື ເກດີ ທກັ ສະ 1. ຈ່ ງົ ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ມູ ນີ້ 1.1. lim 7x2 = 0 (x,y)→(0,0) 5x2 + 8y2 1.2. lim (3x + 2y) = 10 ( x , y)→( 2,2) ຈບັ ວງົ ທະວີ 11 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

1.3. lim y2 = 0 x + 4y(x,y)→(0,0) 2 2 ( )1.4. lim(x,y)→(2,1) xy − 3x + 4 = 0 1.5. lim (3x − 2y) = 10 (x ,y)→(4,1) 1.6. lim (4x − 5y) = 1 (x ,y)→(−1,−1) 1.7. lim (5x + 2y) = 7 (x ,y)→(1,1) 1.8. lim (x + y) = 5 ( x , y )→( 2 ,3) 1.9. lim (x2 + 2y) = 5 (x ,y)→(1,2) 1.10. lim (2x − y2 ) = −2 (x ,y)→(1,−2) 2. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນີ້ 2.1. lim x2 − 2 ( x , y)→(0,0) 3 + xy 2.2. lim( x , y )→( 0 ,0) x2 − y2 2.3. x − y ( )lim(x,y)→(1,−1) x3 + 4xy + x2 − y + 1 2.4. lim 2xy +1 2.5. ( x , y )→( 0 ,0) 2 + y2 2.6. lim ( x2 + 2xy − y2 ) ( y)→ ,− 1  x , 0 2 lim x3 + y3 ( x , y)→( 0,0) x+y 2.7. x4 − y4 lim(x,y)→(0,0) x 2 + y2 2.8. lim xy − x2 + y2 (x ,y)→(1,2) 3xy −1 12 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

4. ການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ ນຍິ າມ: ຕໍາລາ f (x, y) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ (x0, y0 ) ເມ່ ອື ( ) ( )lim f =f (x,y)→(x0 ,y0 ) x, y x0, y0 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ສງັ ເກດການຕ່ ເໍ ນ່ ອື ງຂອງ f (x, y) = x2 + 2xy − y2 ຢ່ ູເມດັ (0,−1) ບດົ ແກ:້ ສໍາລບັ : f (0,−1) = (0)2 + 2(0)(−1) − (−1)2 = −1 ສໍາລບັ : lim ( x2 + 2xy − y2 ) = −1 (x ,y)→(0,−1) ( ) ( )ສະແດງວ່ າ: lim(x,y)→(0,−1) x2 + 2xy − y2 = f 0, −1 = −1 ດ່ ງັ ນນັ້ : ຕໍາລາ f (x, y) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ (0, −1) . ຕວົ ຢ່ າງ 2: ສງັ ເກດການຕ່ ເໍ ນ່ ອື ງຂອງ f (x, y) = xy2 ຢ່ ູເມດັ (0,−1) x2 + y2 ບດົ ແກ:້ ສໍາລບັ : f ( 0, −1) = ( 0 ) ( −1)2 = 0 = 0 (0)2 + (−1)2 1 ສໍາລບັ : lim xy2 =0 ( x,y)→(0,−1) x2 + y2 ( )ສະແດງວ່ າ: xy2 =f (x lim,y)→(0,−1) x 2 + y2 0, −1 =0 ດ່ ງັ ນນັ້ : ຕໍາລາ f (x, y) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ (0, −1) . ຈບັ ວງົ ທະວີ 13 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ບດົ ເຝຶກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ເພ່ ອື ເກດີ ທກັ ສະ ຈ່ ງົ ສກຶ ສາການຕ່ ເໍ ນ່ ອື ງຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ູມນ:ີ້ 1. f (x, y) = x2y2 ຢ່ ູເມດັ (0,0) 2. f (x,y) = x + y −1 ຢ່ ູເມດັ 1, 1  2  3. f ( x, y) = 2x + 3 ຢ່ ູເມດັ  1 , 1  x+y  2 3  4. f ( x, y) = x − 2y ຢ່ ູເມດັ  − 1 , − 1  xy + 5 4 5 5. f (x, y) = x2 + y2 +1 ຢ່ ູເມດັ  − 3 , −1 2 6. f (x,y) = 2x + y ຢ່ ູເມດັ (4,5) x−y 7. f (x, y) = x3 − xy − y3 ຢ່ ູເມດັ (−1,−1) 8. f (x, y) = 3 y − 2x ຢ່ ູເມດັ (−3, 2) 9. f ( x, y) = 3xy + 4 ຢ່ ູເມດັ  − 1 , − 1  1 − 2xy 3 4 10. f ( x, y) = x3 + 4xy + x2 − y +1 ຢ່ ູເມດັ  1 , 1  2 4 11. f ( x, y ) = x x y ຢ່ ູເມດັ (1,1) + 12. f ( x, y ) = x x y ຢ່ ູເມດັ (1,1) . + ຈບັ ວງົ ທະວີ 14 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

5. ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສອງ a) ຖາ້ ວ່ າ a,b,c,d ∈ ℝ : b d f ( x, y ) dydx = b  d f ( x, y ) dy dx = d  b f ( x, y ) dx dy   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ a c a c c a b g(x ) ( ) b  g(x ) ( )   dx b) ຖາ້ ວ່ າ ∫ ∫ f x , y dydx = ∫ ∫ f x, y dy a f (x)  a f(x) c) ຖາ້ ວ່ າ f (x, y) = f (x)f ( y) : b d f ( x, y) dydx = b d f ( x ).f ( y ) dydx = b f ( x )dx.∫d f ( y )dy ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ac ac ac ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ I = 4 2 ( 2x + 6x 2 y ) dydx ∫ ∫ 1 −1 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ເຮາົ ມ:ີ I = 4 2 ( 2x + 6x2y)dydx ∫ ∫ 2 −1 ( )∫ ∫I4 2 dydx = 2  −1 2x + 6x2y I = 4  2xy + 6x2. y2  2  2  −1 dx ∫  2 ( )I =4  2 dx 2xy + 3x2y2 −1 ∫ 2 I = 4  2 x ( 2 ) + 3x 2 ( 2 )2  −  2x ( −1) + 3x 2 ( −1)2  dx ∫ 2 I = 4 ( 4x + 12x 2 ) − ( −2x + 3x 2 ) dx ∫ 2 I = 4 (4x + 12x 2 + 2x − 3x 2 )dx ∫ 2 I = 4 ( 6 x + 9x 2 )dx ∫ 2 I =  x2 + x3  4  6. 2 9.  2 3 ( )I = 3x2 + 3x3 4 2 I = 3(4)2 + 3(4)3  − 3(2)2 + 3(2)3  ຈບັ ວງົ ທະວີ 15 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

I = (48 +192) − (12 + 24) I = 240 − 36 = 204 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 204 . ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ I = 4 2 ( 2x + 6x2y)dydx ∫ ∫ 2 −1 ( )∫ ∫I2  4 dx dy = −1  2 2x + 6x2y I = 2  2. x2 + 6y. x3  4 2 3  dy ∫ 2  −1 ( )I= 2  4 dy x2 + 2yx3 2 ∫ −1 I = 2  ( 4 )2 + 2 y ( 4 )3  − ( 2 )2 + 2 y ( 2 )3  dy ∫ −1 I = 2 (16 + 128y) − (4 + 16y)dy ∫ −1 I = 2 (16 + 128y − 4 − 16 y )dy ∫ −1 I = 2 (12 + 112 y )dy ∫ −1 I =  + 112. y2  2 12y 2  −1 I = (12y + 56y2 ) 2 −1 I = 12(2) + 56(2)2  − 12(−1) + 56(−1)2  I = [24 + 224] − [−12 + 56] I = 248 − 44 = 204 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 204 . ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ I = 2 2x ( x3 + 4 y ) dydx ∫ ∫ 0 x2 ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມ:ີ I= (2 2x + 4y)dydx ∫ ∫ x3 0 x2 16 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

( )∫ ∫I 2 2x  = 0  x2 x3 + 4y dydx I = 2  x3y + 4. y2  2x  2  x2 dx ∫  0 ( )∫I = 2  x3y + 2y20 2x dx x2 I = 2   x 3 ( 2x ) + 2 ( 2x )2  −  x 3 ( x 2 ) + 2 ( x 2 )2  dx ∫ 0 I = 2 ( 2x 4 + 8x2 ) − (x5 + 2x4 )dx ∫ 0 ( )2 I = ∫ 2x4 + 8x2 − x5 − 2x4 dx 0 I = (2 − x5 )dx ∫ 8x2 0 I =  8. x3 − x6  2  3 6  0 I =  ( 2 )3 − ( 2)6  −  ( 0 )3 − (0)6  8.  8.   3 6   3 6  I =  ( 2 )3 − ( 2)6  8.   3 6  I = 8.8 − 64 36 I = 64 − 64 36 I = 2.64 − 64 2.3 6 I = 128 − 64 66 I = 128 − 64 6 I = 64 = 2 .32 = 32 6 2 .3 3 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 32 . 3 17 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

π 32 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຄດິ ໄລ່ I = ∫ ∫ x2 sin ydydx 10 ວທິ ແີ ກ ້ 1: π 32 ເຮາົ ມ:ີ I = ∫ ∫ x2 sin ydydx 10 I = 3  π x 2 sin y dy  dx  2  ∫   ∫ 1 0 ( )I 3  π =  −x2 cos y 2  dx ∫ 0 1 I = 3  −x2 cos π  − ( −x 2 cos 0) dx 2 ∫ 1 I = 3 ( − x 2 .0 ) − ( − x 2 .1)  dx ∫ 1 3 I = ∫ x2dx 1 I = x3 3 3 1 I = (3)3 − (1)3 33 I = 27 − 1 33 I = 27 −1 3 I = 26 3 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 26 . 3 ວທິ ແີ ກ ້ 2: π 32 ເຮາົ ມ:ີ I = ∫ ∫ x2 sin ydydx 10 π I = 2  3 x 2 sin y dx dy  ∫ ∫ 0 1 18 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

I = π  y. x3 3 2 sin dy 0  3 1  ∫ = π  (3)3 − (1)3  2 dy ∫ sin y. y. I 0  3 sin 3  π I = 2 sin y. 27 − sin y. 1 dy 3 3 ∫ 0 π I = 2  27 sin y − sin y dy 3 3 ∫ 0 π − I = 2 27 sin y sin ydy ∫03 π I = 2 26 sin ydy ∫03 −26 cos π 3 I =  y  2 0 I = −26cos π + 26cos 0 2 33 I = −26.0 + 26.1 33 I = 26 3 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 26 . 3 ວທິ ແີ ກ ້ 3: π 32 ເຮາົ ມ:ີ I = ∫ ∫ x2 sin ydydx 10 π 32 I = ∫ x2dx.∫ sin ydy 10 I =  x3 3 . − cos y π   3 1 2 0 19 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

I =  (3)3 − (1)3   . −cos π + cos0   2 3 3 I =  27 − 1 .(0 + 1)  3 3 I = 27 −1.1 3 I = 26 3 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 26 . 3 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຄດິ ໄລ່ 3 2 (1 + 8xy ) dydx ∫ ∫ 01 ວທິ ແີ ກ ້ 1: 3 2 (1 + 8xy ) dydx = 3  2 (1 + 8xy) dy dx  ∫ ∫ ∫ ∫ 0 1 0 1 = 3  y + 8xy2  2  dx 2  1  ∫  0 ( )=3  2  y + 4xy2 1 dx ∫ 0 = 3 ( 2 + 4.22 x ) − (1 + 4.12 x ) dx ∫ 0 = 3 ( 2 + 16x ) − (1 + 4x )  dx ∫ 0 = 3 ( 2 + 16x − 1 − 4 x ) dx ∫ 0 = 3 (1 + 12 x ) dx ∫ 0 =  x + 12 x 2  3  2  0 = (x + 6x2 ) 3 0 = (3 + 6.32 ) − (0 + 6.02 ) = 3 + 54 = 57 . 20 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ວທິ ແີ ກ ້ 2: 3 2 (1 + 8xy ) dydx = 2  3 (1 + 8xy) dx  dy   ∫ ∫ ∫ ∫ 0 1 1 0 = 2  x + 8x2 y  3  dy 2  0  ∫  1 ( )=2  3  x + 4x2y 0 dy ∫ 1 ( )=2  3  x + 4x2y 0 dy ∫ 1 = 2 ( 3 + 4.32 y ) − ( 0 + 4.02 y ) dy ∫ 1 = 2 ( 3 + 36 y ) dy ∫ 1 =  3y + 36y2  2  2  1 = (3y +18y2 ) 2 1 = (3.2 +18.22 ) − (3.1+18.12 ) = (6 + 72) − (3 +18) = 78 − 21 = 57 . 3 y2 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຄດິ ໄລ່ ∫ ∫ 2y cos x dxdy 1π 6 3 y2 3 ∫ y2   ∫ ∫ 2y cos x dydx = ∫  2y cos x dx  dx  1 π 1 π  6 6 ( )∫3 2 y sin x y2 dy π = 16 = 3  2 y sin y 2 − 2ysin π  dy 6 ∫ 1 = 3  2 y sin y2 − 2y. 1  dy 2 ∫ 1 = 3 ( 2y sin y2 − y ) dy ∫ 1 21 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

33 = ∫ 2ysin y2 dy − ∫ y dy 11 ( )∫3 y2 − y2 3 = sin y2 d 21 1 = − cos y2 3 − y2 3 12 1 = −  cos y2 + y2 3  2  1 = −  cos 9 + 9  +  cos1 + 1  2 2 = cos1 − cos9 − 4 . ບດົ ເຝິກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ເພ່ ອື ເກດີ ທກັ ສະ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສອງລ່ ຸມນ:ີ້ 21 1. I = ∫ ∫ ey2 dxdy 0 x2 1 2y 2. I = ∫ ∫ ey2 dxdy 00 12 3. I = ∫ ∫ x2ydxdy 00 21 4. I = ∫ ∫ x2ydydx 10 ln 2 0 5. I = ∫ ∫ 2xey dxdy 0 −1 6. I = 3 1 ( x + 2 y ) dydx ∫ ∫ 2 −1 7. I = 3 1 2xy dxdy x2 +1 ∫ ∫ 1 0 11 8. I = ∫ ∫ x2exydydx 00 4x 9. I = ∫ ∫ x2ydydx 00 22 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

15 10. I = ∫ ∫ y 1 − y2 dxdy 01 11. I = 1 1− y ( 2x + y ) dxdy ∫ ∫ 0 y−1 1x 12. I = ∫ ∫ 2xydydx 0 x2 14 13. I = ∫ ∫ xy dydx 00 1 2x 14. I = ∫ ∫ ey−x dydx 0x e ln x 15. I = ∫ ∫ xy dydx 10 3 10−y2 16. I = ∫ ∫ dxdy 02 y4 3 y2 17. I = ∫ ∫ 2ycos x dxdy 1π 6 2x 18. I = ∫ ∫ x2ydydx 1 1−x 19. I = 1 (x +1 + 2y)dydx ∫ 3x ∫ −1 x3 20. I = 2 2y ( 4x − y ) dxdy ∫ ∫ 0 y2 12 21. I = ∫ ∫ ey2 dydx 0 2x 93 22. I = ∫ ∫ sin x3 dx dy 0y 24 23. I = ∫ ∫ y cos x2dxdy 0 y2 24. I = 1 2 ( x + 3)dydx ∫ ∫ 04 21 25. I = ∫ ∫ x2ydydx 04 21 26. I = ∫ ∫ ysin x dxdy 00 23 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ln 3 ln x 27. I = ∫ ∫ ex+y dxdy 00 32 28. I = ∫ ∫ x2 + y2 dxdy 01 π2 29. I = ∫ ∫ x cos xydxdy π1 2 ln 2 1 30. I = ∫ ∫ xye2xy dydx 00 31. I = 1 2 ( 1 )2 dxdy xy ∫ ∫ 3 1 21 32. I = ∫ ∫ ey2 dydx 0 x2 12 33. I = ∫ ∫ x2ydxdy 00 1 2y 34. I = ∫ ∫ ey2 dxdy 00 21 35. I = ∫ ∫ x2ydydx 10 ln 2 0 36. I = ∫ ∫ 2xey dxdy 0 −1 37. I = 3 1 ( x + 2 y ) dydx ∫ ∫ 2 −1 38. I = 3 1 2xy dxdy x2 +1 ∫ ∫ 1 0 11 39. I = ∫ ∫ x2exydydx 00 4x 40. I = ∫ ∫ x2ydydx 00 15 41. I = ∫ ∫ y 1 − y2 dxdy 01 42. I = 1 1− y ( 2x + y ) dxdy ∫ ∫ 0 y−1 1x 43. I = ∫ ∫ 2xydydx 0 x2 14 44. I = ∫ ∫ xy dydx 00 24 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

1 2x 45. I = ∫ ∫ ey−x dydx 0x e ln x 46. I = ∫ ∫ xy dydx 10 3 10−y2 47. I = ∫ ∫ dxdy 02 y4 3 y2 48. I = ∫ ∫ 2ycos x dxdy 1π 6 2x 49. I = ∫ ∫ x2ydydx 1 1−x 50. I= 1 x +1 ( 3x + 2 y )dydx ∫ ∫ −1 x3 51. I = 2 2y ( 4x − y ) dxdy ∫ ∫ 0 y2 e ln x 52. I = ∫ ∫ ydydx 10 6. ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສາມ ຈາໍ ນວນຈງິ a1,a2,a3, b1, b2, b3 ∈ ℝ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( )b1 b2 b3 = b1 b2 b3  a1  a3 dydz f a2  a1 a 2 a3 x, y,z dxdydz f x, y, z dx  ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ( )1 2 1 ∫ ∫ ∫ x2 + y2 + z2 dxdydz −1 0 0 ບດົ ແກ:້ ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 2 1 1 2  1 dx dy dz −1 0 0 −1 0 0 x2 + y2 + z2 dxdydz = x2 + y2 + z2 = ∫1  ∫2  x3 + xy2 + xz2  1  dy  dz −1  0 3  0      = ∫1  ∫2  x3 + xy2 + xz2  −  03 + 0.y2 + 0.z2   dz −1  0  3   3  dy   ຈບັ ວງົ ທະວີ 25 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

= ∫1  ∫2  1 + y2 + z2  dy  dz −1  0 3 = ∫1  1 y + y3 +  2 −1 3 3 yz   dz 0  = ∫1  1 y + y3 +  −  1 .0 + 03 +  −1  3 3 yz   3 3 0.z  dz = ∫1  1 .2 + 8 + 2z dz 3 3 −1 = ∫1  10 + 2z dz 3 −1 =  10 z + z 2  1  3  −1 =  10 + 1 −  − 10 + 1  3  3 = 10 +1 + 10 −1 33 = 20 . 3 π 2 1 x2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ∫ ∫ ∫ x cos ydzdxdy 00 0 ບດົ ແກ:້ π 2 1 x2 x cos y dzdxdy = π  ∫1 ∫ x2 x cos ydz dx dy  0 ∫ ∫ ∫ ∫2  0 0 0 0 0 = π  ∫1 xz cos y x2 dx dy  0 0 ∫2 0 ( )∫ ∫=π dx dy 1 x.x2 cos y − x.0.cos y 2 0 0 = π  ∫1 x 3cosydx dy 0 ∫2 0 26 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

π  x 4cosy 1  2  dy = ∫ 0  4 0  = π cosy dy 4 ∫2 0 = 1 π cosy dy 4 ∫2 0 = 1 π cosydy 4 ∫2 0 π = − 1 siny 2 40 = 1 sin π + 1 sin0 4 24 =1. 4 ບດົ ເຝິກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ເພ່ ອື ເກດີ ທກັ ສະ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສາມລ່ ຸມນ:ີ້ π 1. π 1 6 xysin ( yz ) dxdydz ∫ ∫ ∫ 000 1 2. 2 π 1 xz sin ( xy ) dxdydz ∫ ∫ ∫ 100 3 3. 1 2y π ( x + 2z ) dzdxdy ∫ ∫ ∫ 000 3 x2 ln 2 4. ∫ ∫ ∫ xey dydzdx 1x 0 π 2π 4 4 5. ∫ ∫ ∫ x3 sin ycos y dxdydz 0 00 27 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

π 2π 4 sec y 6. ∫ ∫ ∫ x2 sin y dxdydz 00 0 7. ∫1∫ 2y ∫π (x + 2z)dz dx dy 00 0 ( )∫ ∫ ∫8. 1 2 1 x2 + y2 + z2 dx dy dz 00 0 9. ∫1∫1∫1(xy + yz + zx)dx dydz 000 ∫ ∫ ∫10. 2 3 212xy2z3 dz dydx −1 0 0 11. ∫ π ∫ 1 ∫ π xy sin ( yz ) dx dy dz 6 0 00 π 1 x2 2 x cos y dz dx dy ∫ ∫ ∫12. 0 00 13. ∫ ∫ ∫2π 2 6−r2 6xydx dydz 000 14. ∫2π ∫ ∫2 2 5x2ydxdydz 0 0 2y 15. ∫ ∫ ∫2π π cosy x2 sin ydxdydz 4 0 00 16. ∫∫∫ xysin ( yz)dv , S ຕອບສະໜອງ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ π S6 17. ∫∫∫ cos z dv , S ຕອບສະໜອງ π ≤ y ≤ π , y ≤ x ≤ π , 0 ≤ z ≤ 2xy Sy 62 2 18. ∫∫∫12xy2z3dv , S ຕອບສະໜອງ −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 2 S 19. ∫∫∫ x2zexyz dv , S ຕອບສະໜອງ 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ z ≤ 3 S ຈບັ ວງົ ທະວີ 28 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

7. ຕໍາລາຮແີ ປໂບລກິ (Hyperbolic functions) 7.1. ສູດພນື້ ຖານ 1.1.1. sinh ( x ) = ex − e−x 2 1.1.2. cosh ( x ) = ex + e−x 2 sinh (x) 1.1.3. tanh ( x) = cosh (x) ex − e−x = ex 2 + e−x 2 = ex − e−x ex + e−x ex − 1 = ex ex + 1 ex e2x −1 = ex e2x +1 ex = e2x −1 . e2x +1 1.1.4. coth ( x ) = cosh (x) sinh (x) ex + e−x = ex 2 − e−x 2 = ex + e−x . ex − e−x 29 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

1.1.5. sec h ( x ) = 1 x ) cosh ( = ex 1 + e−x 2 = ex 2 . + e−x 1.1.6. csc h ( x ) = 1 x ) sinh ( = ex 1 − e−x 2 = ex 2 − e−x ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ sinh (0) ເຮາົ ມ:ີ sinh ( x ) = ex − e−x 2 sinh (0) = e0 − e−0 = 1−1 = 0 = 0 2 22 ດ່ ງັ ນນັ້ : sinh (0) = 0. ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ cosh (0) ເຮາົ ມ:ີ cosh ( x ) = ex + e−x 2 cosh (0) = e0 + e−0 = 1 + 1 = 2 = 1 2 22 ດ່ ງັ ນນັ້ : cosh (0) = 1. ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ tanh (1) ເຮາົ ມ:ີ tanh (x) = sinh (x) cosh (x) tanh (1) = sinh (1) cosh (1) e1 − e−1 = e1 2 + e−1 2 30 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

= e − e−1 e + e−1 e−1 =e e+1 e e2 −1 = e e2 +1 e = e (e2 − 1) e (e2 + 1) = e2 − 1 . e2 + 1 ດ່ ງັ ນນັ້ : tanh (1) = e2 − 1. e2 + 1 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ພສິ ູດ sinh (x + y) = ey sinh (x) ເຮາົ ມ:ີ sinh ( x + y) = ex+y − e−(x+y) 2 = ex+y − e−x−y 2 ≠ ey  ex − e−x   2  = ey sinh (x) ດ່ ງັ ນນັ້ : sinh (x + y) ≠ ey sinh (x) ຕວົ ຢ່ າງ 5: ພສິ ູດວ່ າ sinh (x + y) = cosh (x)sinh ( y) + sinh (x)cosh ( y) ເຮາົ ມີ cosh ( x )sinh ( y) + sinh ( x )cosh ( y) = ex + e−x . ey − e−y + ex − e−x . ey + e−y 22 22 ( )( ) ( )( )= ex + e−x ey − e−y + ex − e−x ey + e−y 44 = ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y + ex+y + ex−y − e−x+y − e−x−y 44 = ex+y −ex−y +e−x+y − e−x−y + ex+y +ex−y −e−x+y − e−x−y 4 ຈບັ ວງົ ທະວີ 31 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

= 2ex+y − 2e−x−y 4 ( )= 2 e − ex+y −x−y 4 = ex+y − e−x−y 2 = ex+y − e−(x+y) 2 = sinh (x + y) . ຕວົ ຢ່ າງ 6: ພສິ ູດວ່ າ cosh x + sinh x = ex ເຮາົ ມ:ີ cosh x + sinh x = ex + e−x + ex − e−x 22 = ex + e−x + ex − e−x 2 = 2ex 2 = ex . ຕວົ ຢ່ າງ 7: ພສິ ູດວ່ າ sinh 2x = 2sinh x cosh x ເຮາົ ມ:ີ 2sinh x cosh x = 2  ex − e−x  ex + e−x   2   2  = 2  e2x + e0 − e0 − e−2x     2 .2  = e2x − e−2x = sinh 2x . 2 ບດົ ເຝຶກຫດັ 1. ຈ່ ງົ ພສິ ູດວ່ າ sinh (x − y) = cosh (x)sinh ( y) − sinh (x)cosh ( y) 2. ຈ່ ງົ ພສິ ູດວ່ າ cos(x + y) = cosh (x)cosh ( y) − sinh (x)sinh ( y) 3. ຈ່ ງົ ພສິ ູດວ່ າ cosh (x − y) = cosh (x)cosh ( y) + sinh (x)sinh ( y) 4. ຈ່ ງົ ພສິ ູດ cosh (2x) = cosh2 (x) − sinh2 (x) 5. ຈ່ ງົ ພສິ ູດ sinh (2x) = 2sinh (x)cosh (x) 6. ຈ່ ງົ ພສິ ູດ sinh2 (x) + cosh2 (x ) = 1 ຈບັ ວງົ ທະວີ 32 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

7. ຈ່ ງົ ພສິ ູດ tanh (x) = 1 coth (x) 7.2. ເສນັ້ ແດງຂອງຕາໍ ລາຮແີ ປໂບລກິ (Hyperbolic trig functions) 7.2.1. ຕໍາລາ y = sinh x 7.2.2.ຕໍາລາ y = cosh x 7.2.3.ຕໍາລາ y = tanh x 7.2.4.ຕໍາລາ y = coth x 33 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

7.2.5.ຕໍາລາ y = sech x 7.2.6.ຕໍາລາ y = csch x 7.3. ຜນົ ຕໍາຂອງຕໍາລາຮແີ ປໂບລກິ (Derivatives) 7.3.1. d (sinh x ) = cosh x dx 34 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

7.3.2. d (cosh x) = −sinh x dx 7.3.3. d ( tanh x ) = 1 − tanh2 x = sech2 x = 1 dx cosh2 x 7.3.4. d (coth x) = 1 − coth2 x = − csc h2x = −1 dx sinh2 x 7.3.5. d (csch x) = −coth x csc hx dx 7.3.6. d (sech x ) = − tanh x sec hx dx ຕວົ ຢ່ າງ 1: ພສິ ູດວ່ າ d (sinh x) = cosh x dx d (sinh x) = d  ex − e−x  dx dx  2  = d ex − e−x  dx  2 2  = ex − −1e−x 22 = ex + 1e−x 22 = ex + e−x 2 = cosh x . ດ່ ງັ ນນັ້ : d (sinh x) = cosh x . dx ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາຜນົ ຕໍາ(Find the derivative) ຂອງຕໍາລາ y = tanh (4x) dy = d tanh ( 4x ) dx dx = d ( 4x ). 1 4x ) dx cos2 ( = 4. 1 4 x ) cos2 ( = 4 sec h2 (4x ) ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາຜນົ ຕໍາ (Find the derivative) ຂອງຕໍາລາ y = ln (sinh x) ຈບັ ວງົ ທະວີ 35 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

dy = d ln (sinh x ) dx dx d (sinh x) = dx sinh x = cosh x sinh x = coth x . ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາຜນົ ຕໍາ (Find the derivative) ຂອງຕໍາລາ y = sinh x.tanhx dy = d [sinh x.tanhx] dx dx = d (sinh x).tanh x + sinh. d (tanh x) dx dx = cosh x.tanh x + sinh x.sec h2x = cosh x . sinh x + sinh x sec h2x cosh x = sinh x + sinh x.sec h2x = sinh x (1+ sech2x) . ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາຂອງບນັ ດາລາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x) = cosh (3x) 2. f (x) = tanh (2x) 3. f (x) = coth (7x) 4. f (x) = sec h (4x) 5. f (x) = csc h (2x) 6. f (x) = sinh (2x + 3) 7. f (x) = cosh (2 − 3x2 ) 8. f (x) = tanh (2 + x2 ) 9. f (x) = coth (1− x) 10. f (x) = sech (x2 +1) 11. f (x) = csc h (2x + 5) 36 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

7.4. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາປິນ້ ຮແີ ປໂບລກິ (Derivatives of the inverse Hyperbolic Functions) 7.4.1. d (sinh−1 x) = 1 dx 1 + x2 7.4.2. d (cosh−1 x) = 1 dx x2 −1 7.4.3. d ( tanh −1 x ) = 1 dx −x 1 2 7.4.4. d (csch−1 x) = − 1 dx x 1 + x2 7.4.5. d (sech−1 x ) = − 1 dx x 1 − x2 7.4.6. d ( coth −1 x ) = 1 dx −x 1 2 ຕວົ ຢ່ າງ 1: Find the derivative y = x2.sinh−1 (2x ) dy = d  x 2 .sinh −1 ( 2x ) dx dx = d ( x2 ).sinh −1 ( 2x ) + x2. d sinh −1 ( 2x ) dx dx = 2x sinh−1 (2x ) + x2. d (2x) dx 1+ (2x)2 = 2x sinh−1 (2x) + x2. 2 1+ (2x)2 = 2x  −1 ( 2 x ) + x sinh 1 + 4x2 . ຕວົ ຢ່ າງ 2: Find the derivative y = tanh−1 x ( )dy = d tanh−1 x dx dx d ( x) ( )= dx 1− 2 x ຈບັ ວງົ ທະວີ 37 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

1 = 2 x 1− x = 1 2 x (1− x) ຕວົ ຢ່ າງ 3: Find the derivative y = sec h−1 1 − x2 ( )dy = d sec h−1 1 − x2 dx dx ( )d 1− x2 ( )= − dx 1− x2 1− 1− x2 2 d (1− x2 ) dx =− 2 1− x2 1− x2 1 − (1 − x2 ) −2x = − 2 1− x2 1− x2 x2 −2x = − 2 1− x2 1− x2x = − 2x −2x 1 − x2 1 − x2 = − 2x 2x (1− x2 ) = 1 . 1− x2 ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ ບດົ ເຝຶກຫດັ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ 1. f ( x) = 2x2 sinh−1 (2x) 38 2. f (x) = x cosh−1 (5x) 3. f (x) = tanh−1 (6x ) ຈບັ ວງົ ທະວີ

4. f ( x) = coth−1 x 5. f (x) = sec h−1 (5x) 6. f ( x ) = c sc h −1  1 x  2 7. f ( x) = sinh−1 2x + 3 8. f ( x) = cosh−1 3 1− x 9. f ( x) = x3 tanh−1 (1 + x2 ) 10. f ( x ) = x5 coth−1 x2 4 11. f ( x) = sec h−1 x + 3 12. f ( x) = csc h−1 5 1− 2x ຈບັ ວງົ ທະວີ 39 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

8. ຕໍາລາປິນ້ ແລະ ສງັ ຄະນດິ 8.1. ສໍາລບັ ຕາໍ ລາປິນ້ sin−1 x , cos−1 x 8.1.1. d (sin−1 x ) = 1 dx 1 − x2 1 = d (sin−1 x ) 1 − x2 dx 1 dx = d(sin−1 x) 1− x2 ∫ 1 x2 dx = ∫ d(sin−1 x) 1− ∫ 1 dx = sin−1 x + C 1− x2 8.1.2. d (cos−1 x ) = −1 dx 1 − x2 −1 = d (cos−1 x) 1 − x2 dx −1 dx = d(cos−1 x) 1− x2 ∫ −1 dx = ∫ d (cos−1 x ) 1− x2 ∫ −1 dx = cos−1 x + C 1− x2 ∫ 1 dx = − cos−1 x + C 1− x2 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ 1 dt 1− 4t2 ∫ 1 dt = ∫ 1 dt 1− 4t2 1 − (2t)2 = 1 ∫ 1 2dt 2 1− (2t)2 = 1 ∫ 1 d(2t) 2 1− (2t)2 = 1 sin−1 (2t) + C 2 40 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ 1 dx 9 − x2 1 dx = ∫ 1 9− x2 9  − x2  1 9  =∫ 11 . dx 1− x2 3 9 =∫ 1 x d   1−  x 2 3 3 = sin −1  x  + C. 3 8.2. ສໍາລບັ ຕາໍ ລາປິນ້ tan−1 x , cot−1 x 8.2.1. d ( tan −1 x ) = 1 dx +x 1 2 1 = d ( tan−1 x) 1+ x2 dx 1 dx = d ( tan −1 x ) +x 1 2 ∫ 1 1 dx = ∫ d ( tan−1 x ) + x2 ∫ 1 1 dx = tan −1 x + C . + x2 8.2.2. d ( cot −1 x ) = −1 dx +x 1 2 −1 = d (cot−1 x ) 1+ x2 dx −1 dx = d (cot −1 x ) +x 1 2 ∫ 1 −1 dx = ∫ d ( cot −1 x ) + x2 ∫ 1 −1 dx = cot −1 x + C + x2 ∫ 1 1 dx = − cot −1 x + C + x2 41 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ∫ a2 1 x2 dx + ∫ a2 1 x2 dx = ∫ 1 x2  dx + 1 + a2  a 2 = 1 ∫ 1 . 1 dx a + x2 a 1 a2 = 1 ∫ 1 . 1 dx a a 1 +  x 2 a = 1 ∫ 1 d  x  a a 1 +  x 2 a = 1 tan −1  x  + C . a a ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ∫ 9 1 dx + x2 ∫ 9 1 dx = ∫  1 x2  dx + x2 91 + 9  = 1 ∫ 1 .1 dx 3 + x2 3 1 9 = 1 ∫ 1 d  x  3 3 1 +  x 2 3 = 1 tan −1  x  + C . 3 3 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຄດິ ໄລ່ ∫ sin−1 ( x) dx 1− x2 ∫ sin−1 ( x ) dx = ∫ sin −1 ( x ) d sin −1 ( x ) 1− x2 = sin−1 ( x )2 + C . 2 42 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ບດົ ເຝຶກຫດັ 1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 1.1. ຄດິ ໄລ່ 1 dt 1.2. ຄດິ ໄລ່ 1 dt 1 − 25t2 1 −16t2 1.3. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.4. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1 − 49x2 1 − 64x2 1.5. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.6. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 4 − x2 9 − x2 1.7. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.8. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 2 − x2 3− x2 1.9. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.10. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1− 5x2 1− 7x2 1.11. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.12. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 3 − 2x2 8 − 3x2 1.13. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.14. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 3 − 2x2 8 − 3x2 1.15. ຄດິ ໄລ່ 5 dx 1.16. ຄດິ ໄລ່ 12 2. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 2 −11x2 dx 5 −14x2 2.1. ຄດິ ໄລ່ ∫ 4 1 2 dx 2.2. ຄດິ ໄລ່ ∫ 16 1 x 2 dx +x + 2.3. ຄດິ ໄລ່ ∫ 25 1 x 2 dx 2.4. ຄດິ ໄລ່ ∫ 36 1 x 2 dx + + 2.5. ຄດິ ໄລ່ ∫ 64 1 x 2 dx 2.6. ຄດິ ໄລ່ ∫ 81 1 x 2 dx + + 2.7. ຄດິ ໄລ່ ∫ 1 + 1 2 dx 2.8. ຄດິ ໄລ່ ∫ 1 1 x 2 dx 4x +9 2.9. ຄດິ ໄລ່ ∫ 1 + 1 2 dx 2.10. ຄດິ ໄລ່ ∫ 1 + 1 2 dx 25x 25x 2.11. ຄດິ ໄລ່ ∫ 2 1 2 dx 2.12. ຄດິ ໄລ່ ∫ 5 1 2 dx +x +x 2.13. ຄດິ ໄລ່ ∫ 7 1 2 dx 2.14. ຄດິ ໄລ່ ∫ 2 1 2 dx + 5x + 9x ຈບັ ວງົ ທະວີ 43 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

2.15. ຄດິ ໄລ່ ∫ 8 1 2 dx 2.16. ຄດິ ໄລ່ ∫ 6 + 1 2 dx + 3x 15x 2.17. ຄດິ ໄລ່ ∫ 10 7 2 dx 2.18. ຄດິ ໄລ່ ∫ 7 9 2 dx . + 5x + 2x ຈບັ ວງົ ທະວີ 44 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ