Calculus 2-2

ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນໍາ້ ທາ ເອກະສານປະກອບການຮຽນ - ການສອນ ວຊິ າ: ແຄນຄລູ ດັ ສ໌ 2 ເຫມຼັ້ ທີ 2 ຂຽນໂດຍ: ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ ຫວຼ ງນາໍ້ ທາ - 2019

ຄໍານໍາ ເພ່ ອື ພດັ ທະນາສາຍຄູຄະນດິ ສາດສ່ ູຄວາມເປັນເລດີ ຄວາມຈາໍ ເປັນທ່ ສີ ຸດສໍາລບັ ວທິ ະຍາໄລ ຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາໃນຕອນນີ້ ກໍຄກື ານສາ້ ງເອກະສານປະກອບການຮຽນ ເພ່ ອື ສ່ ງົ ເສມີ ແລະ ສາ້ ງສນັ ການ ຮຽນຮູຂ້ ອງນກັ ສກຶ ສາໃຫມ້ ຄີ ຸນນະພາບ ສາມາດສອນຄະນດິ ສາດໄດແ້ ຕ່ ມ1-ມ7 ໄດ.້ ເອກສານສະບບັ ນປີ້ ະກອບມເີ ນອື້ ໃນ: ການຊອກຫາຄ່ າຂອງຕໍາລາ f (x, y) ຢ່ ູເມດັ (x0, y0 ) , ຜນົ ຕໍາຊອ້ ນໃນ, ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ, ການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ, ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສອງ, ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສາມ, ຕໍາລາຮແີ ປໂບລກິ (Hyperbolic functions), ຕໍາລາປິນ້ ແລະ ສງັ ຄະນດິ . ແຕ່ ລະເນອື້ ໃນເນນັ້ ຕວົ ຢ່ າງ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ . ດ່ ງັ ນນັ້ , ບນັ ດາຄູອາຈານ ແລະ ນກັ ສກຶ ສາ ທ່ໄີ ດນ້ ໍາໃຊເ້ ອກະສານສະບບັ ນີ້ ຫາກໄດພ້ ບົ ພໍຂ້ ໍ້ ຂາດຕກົ ບກົ ພ່ ອງທາງດາ້ ນເນອື້ ໃນ ກໍຄທື າງດາ້ ນສໍານວນຄໍາເວາົ້ ຈ່ ງົ ໄດສ້ ່ ງົ ຄໍາຄດິ ເຫນັ ອນັ ຈງິ ໃຈຂອງ ພວກທ່ ານໄປຍງັ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ເພ່ ອື ວ່ າຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈະໄດເ້ ກບັ ກາໍ ແລວ້ ນໍາໃຊເ້ ຂາົ້ ການປັບປຸງໃຫສ້ ມົ ບຸນ ແລະ ດຂີ ນຶ້ . ດວ້ ຍຄວາມຮກັ ແພງ ແລະ ນບັ ຖື ຈບັ ວງົ ທະວີ

ສາລະບານ 1 3 1. ການຊອກຫາຄ່ າຂອງຕໍາລາ f (x, y) ຢ່ ູເມດັ (x0, y0 ) 8 2. ຜນົ ຕໍາລາຊອ້ ນໃນ 13 3. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ 15 4. ການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ 25 29 5. ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສອງ 40 6. ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສາມ 7. ຕໍາລາຮແີ ປໂບລກິ (Hyperbolic functions) 8. ຕໍາລາປິນ້ ແລະ ສງັ ຄະນດິ

1. ການຊອກຫາຄ່ າຂອງຕໍາລາ f (x, y) ຢ່ ູເມດັ (x0, y0 ) ຕວົ ຢ່ າງ: ໃຫຕ້ າໍ ລາ f (x, y) = xy +1 . ຊອກຫາ f (1,5), f (2,8), f (−1,5) ? y − x2 ບດົ ແກ:້ ເຮາົ ມີ f (x, y) = xy +1 y − x2 ສໍາລບັ : f (1,5) = ? f (1,5) = 1.5 +1 = 5+1 = 6 = 6 = 3. 5 −1 42 5 − (1)2 ສໍາລບັ : f (2,8) = ? f (2,8) = 2.8 + 1 = 16 +1 = 17 = 17 . 8 − (2)2 8 − 4 4 2 ສໍາລບັ : f (−1,5) = ? f (−1,5) = (−1)(5) +1 = −5 +1 = −4 = −4 = −2 5 − (−1)2 5 −1 4 2 ບດົ ເຝຶກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກແກ ້ ເພ່ ອື ໃຫເ້ ກດີ ທກັ ສະ 1. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x, y) = y2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (1,1), f (−2,2), f (−3,−1) ? x2 + 4y2 2. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x, y) = 5x2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (0,1), f (1, 2), f (−1,−2) ? 4x2 + 5y2 3. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x,y) = x3 − x2y + xy2 − y3 . ຈ່ ງົ ຊອກ f (1, −2 ) , f ( −1, 7 ) ? x2 + y2 4. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x2 − 2 . ຈ່ ງົ ຊອກ f 1, 1  , f  1 , −2  , f  − 1 , − 1  ? 3 + xy 2 2 3 5 ຈບັ ວງົ ທະວີ 1 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

5. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x2 1 −1 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  1 , − 1  , f  − 1 , 1  ? + y2  4 2   5 10  6. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x,y) = x2 − xy + 3y2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  1 , −1 , f  1 , − 1  ?  5  2 3  7. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x+y . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  5 , −1 , f  − 1,− 3  ? xy −1 2 2 2 8. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x, y) = xy . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (−2,−2), f (5, −7)? x2 + y2 9. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = 2x − y . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  − 1 , 1  , f  − 1 , − 1  ? xy +1 3 4 5 2 10. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x+y . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (0,1), f ( a, 2a + b) ? 1+ xy 11. ໃຫຕ້ າໍ ລາ f (x,y) = 2x + y ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f (1,−3), f (a + b,ab) ? 1 − xy 12. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x2 − y2 + 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  1 , −2  , f (a − b,a + b) ? 5 13. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x3 + y3 + 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  1 , 3  , f ( 2a + b, a − 2b) ? 2 2 14. ໃຫຕ້ ໍາລາ f ( x, y) = x + y . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  − 1 ,− 2  , f  1 , − 1  ? x − y 23 5 4 15. ໃຫຕ້ ໍາລາ f (x,y) = xy + x2 + y2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາ f  −1, − 1  , f  1 ,1 ?. x+y 2 2 ຈບັ ວງົ ທະວີ 2 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

2. ຜນົ ຕໍາລາຊອ້ ນໃນ ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x3 + y3 = 15 dx ວທິ ແີ ກ:້ ວາງ y = f (x): x3 + f 3 ( x) = 15 x3 + f 3 (x )′ = (15)′ 3x2 + 3f ′(x )f 2 (x) = 0 ຂຽນຕາມຮູບແບບຈນຸ ຄະນດິ f ′(x) = d f (x) = dy dx dx 3x2 + 3. dy .y2 = 0 dx 3. dy .y2 = −3x2 dx dy = − 3x2 dx 3 y2 dy = −x2 dx y2 dy = −  x 2 dx  y  dy  x  2 dx  y  ດ່ ງັ ນນັ້ : = − . ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ ax2 + by2 = 2aby dx ວທິ ແີ ກ:້ ວາງ y = f (x): ax2 + bf 2 (x) = 2abf (x ) ax2 + bf 2 (x )′ = 2abf (x)′ (ax2 )′ + bf 2 (x)′ = 2abf ′(x) 2ax + 2bf ′(x)f (x) = 2abf ′(x) 3 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ຂຽນຕາມຮູບແບບຈນຸ ຄະນດິ f ′(x) = d f (x) = dy dx dx 2ax + 2b. dy .y = 2ab. dy dx dx 2by. dy − 2ab. dy = −2ax dx dx (2by − 2ab) dy = −2ax dx dy = −2ax dx 2by − 2ab dy = − 2ax dx 2 (by − ab) dy = −ax dx by − ab dy = b −ax ) dx (y−a ດ່ ງັ ນນັ້ : dy = −ax ) . dx b(y −a ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dx ຖາ້ ວ່ າ x = 5y + x3 dy ວທິ ແີ ກ:້ ວາງ x = f ( y): f (y) = 5y + f 3 (y) f ( y)′ = 5y + f 3 ( y)′ f ′( y) = (5y)′ + f 3 ( y)′ f ′( y) = 5 + 3f ′( y)f 2 ( y) ຂຽນຕາມຮູບແບບຈນຸ ຄະນດິ f ′(x) = d f (x) = dy dx dx dx = 5 + 3. dx .x2 dy dy dx − 3x2 dx = 5 dy dy 4 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

(1− 3x2 ) dx = 5 dy dx = 5 dy 1 − 3x2 ດ່ ງັ ນນັ້ : dx =5 . dy 1 − 3x2 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2y3 − 6 = 5y3 + x ຕອບສະໜອງ x = 2 dx ວທິ ແີ ກ:້ ວາງ y = f (x): x2f 3 ( x) − 6 = 5f 3 ( x) + x x2f 3 ( x ) − 6′ = 5f 3 ( x ) + x′ x2f 3 (x)′ − (6)′ = 5f 3 (x)′ + (x)′ (x2 )′.f 3 (x) + f 3 (x)′ .x2 − 0 = 15f ′(x)f 2 (x) +1 2x.f 3 (x) + 3f ′(x)f 2 (x).x2 = 15f ′(x)f 2 (x) +1 ຂຽນຕາມຮູບແບບຈນຸ ຄະນດິ f ′(x) = d f (x) = dy dx dx 2xy3 + 3x2y2 dy = 15y2 dy + 1 dx dx 3x2y2 dy −15y2 dy = 1 − 2xy3 dx dx ( )3x2y2 −15y2 dy = 1− 2xy3 dx dy = 1 − 2xy3 dx 3x2y2 −15y2 ເມ່ ອື x = 2 : x2y3 − 6 = 5y3 + x 4y3 − 6 = 5y3 + 2 4y3 − 5y3 = 2 + 6 −y3 = 8 y3 = −8 ຈບັ ວງົ ທະວີ 5 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

3 y3 = 3 −8 y = −2 ຊອກຫາຄ່ າຂອງ dy ຢ່ ູເມດັ (2, −2) : dx dy = 1− 2xy3 = 1− 2(2)(−2)3 = 33 = 3 .11 = 11 = −11 . dx 3x2y2 − 15y2 3(2)2 (−2)2 −15(−2)2 −12 −4 4 3 (−4) ບດົ ເຝຶກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ເພ່ ອື ເກດີ ທກັ ສະ 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2y2 + 2y4 = 5x + 4y dx 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x4y3 −12 = 10y5 + 7x dx 3. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2 + y2 = 16 dx 4. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x3 + y3 = 2xy dx 5. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2 + 5xy2 − x + 3 = 0 dx 6. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ y = 2x + y2 dx 7. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ y = x + ln y dx 8. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ y = x2 − ln 2y dx 9. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2y + 2y3 = 3x + 2y dx 10. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x3 + y3 = xy dx 11. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2 + y = x3 + y2 dx 12. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ 5x − x2y3 = 2y dx 6 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

13. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ y2 + 2xy2 − 3x + 1 = 0 dx 14. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ 1 + 1 = 1 dx x y 15. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ (2x + y)3 = x dx 16. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ (x − 2y)2 = y dx 17. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ ( )x2 + 3y2 5 = 2xy dx 18. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ (3xy2 +1)4 = 2x − 3y dx 19. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2 + y3 = 12 dx 20. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ xy + 2y = x2 dx 21. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x + 1 = 5 dx x 22. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ xy − x = y + 2 dx 23. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2 = y3 ຕອບສະໜອງ x = 8 dx 24. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ 1 − 1 = 2 ຕອບສະໜອງ x = 1 dx x y 4 25. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ xy = 2 ຕອບສະໜອງ x = 2 dx 26. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ x2y3 − 2xy = 6x + y + 1 ຕອບສະໜອງ x = 0 dx 27. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ (1 − x + y)3 = 2x + 7 ຕອບສະໜອງ x = 1 dx 28. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ ( )x2 + 2y 3 = 2xy2 + 64 ຕອບສະໜອງ x = 0 dx 29. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ dy ຖາ້ ວ່ າ ( )2xy3 + 1 3 = 2x − y3 ຕອບສະໜອງ x = 0 . dx ຈບັ ວງົ ທະວີ 7 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

3. ຂອບເຂດຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ ນຍິ າມ: ເຮາົ ເວາົ້ ວ່ າຕໍາລາ f (x, y) ມຂີ ອບເຂດແມ່ ນ L ເວລາ (x, y) → (a,b) ຖາ້ ວ່ າສໍາລບັ ທຸກໆ ε > 0 ປະກດົ ມີ δ > 0 ເຮດັ ໃຫ ້ (x − a )2 + ( y − b)2 < δ ແມ່ ນ f ( x, y) − L < ε . ໝາຍຄວາມວ່ າ: lim f (x, y) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : (x − a )2 + ( y − b)2 < δ ⇒ f (x, y) − L < ε ( x , y)→( a ,b) ຕວົ ຢ່ າງ 1: ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດ lim(x,y)→(0,0) 5x2 = 0 4x2 + 5y2 ວທິ ແີ ກ:້ ∀ε > 0 , ເຮາົ ມີ f (x, y) − L < ε : ⇔ 5x2 − 0 < ε 4x2 + 5y2 ⇔ 5x2 < ε 4x2 + 5y2 ⇔ 5x2 ≤ 5x2 ≤ 5x2 + 5y2 < ε 4x2 + 5y2 4x2 + 4y2 4x2 + 4y2 ( )( )⇔ 5 x2 + y2 −1 <ε x2 + y2 2 2 ( )⇔ 5 1 2 x2 + y2 2 <ε ⇔ 5 x2 + y2 < ε 2 ⇔ x2 + y2 < 2ε 5 ສະແດງວ່ າປະກດົ ມ:ີ δ = 2ε . ດ່ ງັ ນນັ້ lim 5x2 = 0 . 5 (x,y)→(0,0) 4x2 + 5y2 ຈບັ ວງົ ທະວີ 8 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ຕວົ ຢ່ າງ 2: ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດ lim( x , y )→( 0,0) x 2x 3 =0 2+ y2 ວທິ ແີ ກ:້ ∀ε > 0 , ເຮາົ ມີ f (x, y) − L < ε : ⇔ 2x3 −0 <ε x2 + y2 ⇔ 2x3 < 2x3 < ε x2 + y2 x2 ⇔ 2 x < 2 x2 + y2 < ε ⇔ x2 + y2 < ε 2 ສະແດງວ່ າປະກດົ ມ:ີ δ = ε . ດ່ ງັ ນນັ້ lim 2x3 =0. 2 ( x , y )→( 0 ,0) x2 + y2 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດ lim (x2 + y) = 2 (x ,y)→(1,1) ບດົ ແກ:້ ∀ε > 0 , ເຮາົ ມີ f (x, y) − L < ε : ⇔ x2 + y − 2 < ε ⇔ (x2 −1) + ( y −1) < ε ⇔ (x +1)(x −1) + (y −1) < ε ⇔ 2.(x −1) +1( y −1) < ε ( )( )ນໍາໃຊສ້ ູດ a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ + a2 + a2 + ... + an b2 + b2 ... + bn 1 2 n 1 2 n ⇔ 2.(x −1) +1( y −1) ≤ (22 +12 ) (x −1)2 + ( y −1)2  < ε ⇔ 5 (x −1)2 + ( y −1)2 < ε ຈບັ ວງົ ທະວີ 9 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

⇔ (x −1)2 + ( y −1)2 < 5ε 5 ( )ສະແດງວ່ າປະກດົ ມ:ີ δ (ε ) = 5ε 5 . ດ່ ງັ ນນັ້ lim( x , y )→(1,1) x2 + y = 2. ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ {lim 2x + 3y y2 x→0 y→1 ບດົ ແກ ້ 1: {lim 2x + 3y = 2(0) + 3(1) = 3 = 3. y2 (1)2 1 x→0 y→1 ບດົ ແກ ້ 2: { }( )ນໍາໃຊສ້ ູດ lim f = lxi→ma lyi→mb { }(x,y)→(a,b) x, y limf (x, y) =L =L y→b lim f (x, y) x→a ສໍາລບັ : lim  2x + 3y  = lim 3y = lim 3 = 3 =3 lim y2  y2 yy→1 1 y→1  x→0 y→1 ສໍາລບັ : lim  2x + 3y  = lim 2x + 3 = 3 lim y2  1 x→0  y→1 x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : lim( x , y )→( 0,1) 2x + 3y = 3. y2 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim( x , y )→( 0 ,0) 2x + 3y2 x2 + y2 ບດົ ແກ:້ {{ }}ນໍາໃຊສ້ ູດ: = lxi→ma ( )(x,yli)→m(a,b) f lyi→mb limf (x, y) =L x, y =L y→b lim f (x, y) x→a ຈບັ ວງົ ທະວີ 10 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ສໍາລບັ : lim  2x + 3y2  = lim 2 y2 =2 lim x2 + y2  y2 y→0  x→0  x→0 ສໍາລບັ : lim  2x + 3y2  = lim 2x = lim 2 = 2 = +∞ lim x2 + y2  x2 xx→0 0 x→0  y→0 x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : ບ່ ໍປະກດົ ມີ lim 2x + 3y2 . x2 + y2 ( x , y)→( 0,0) ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ x2 − y2 lim x(x,y)→(0,0) 2 + y2 ບດົ ແກ:້ {{ }}ນໍາໃຊສ້ ູດ: = lxi→ma ( )lim f lyi→mb limf (x, y) =L =L ( x , y)→( a ,b) y→b x, y lim f (x, y) x→a  x2 − y2  −y 2 lim lim x2 + y2  y2 ສໍາລບັ : y→0 x→0  = lim = −1 y→0 ສໍາລບັ : lim  x 2 − y2  = lim x 2 = −1 lim x 2 + y2  x 2 x→0  y→0 x→0 ດ່ ງັ ນນັ້ : ບ່ ໍປະກດົ ມີ lim x2 − y2 . x2 + y2 ( x , y)→(0,0) ບດົ ເຝິກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ເພ່ ອື ເກດີ ທກັ ສະ 1. ຈ່ ງົ ນາໍ ໃຊນ້ ຍິ າມພສິ ູດບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ມູ ນີ້ 1.1. lim 7x2 = 0 (x,y)→(0,0) 5x2 + 8y2 1.2. lim (3x + 2y) = 10 ( x , y)→( 2,2) ຈບັ ວງົ ທະວີ 11 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

1.3. lim y2 = 0 x + 4y(x,y)→(0,0) 2 2 ( )1.4. lim(x,y)→(2,1) xy − 3x + 4 = 0 1.5. lim (3x − 2y) = 10 (x ,y)→(4,1) 1.6. lim (4x − 5y) = 1 (x ,y)→(−1,−1) 1.7. lim (5x + 2y) = 7 (x ,y)→(1,1) 1.8. lim (x + y) = 5 ( x , y )→( 2 ,3) 1.9. lim (x2 + 2y) = 5 (x ,y)→(1,2) 1.10. lim (2x − y2 ) = −2 (x ,y)→(1,−2) 2. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນີ້ 2.1. lim x2 − 2 ( x , y)→(0,0) 3 + xy 2.2. lim( x , y )→( 0 ,0) x2 − y2 2.3. x − y ( )lim(x,y)→(1,−1) x3 + 4xy + x2 − y + 1 2.4. lim 2xy +1 2.5. ( x , y )→( 0 ,0) 2 + y2 2.6. lim ( x2 + 2xy − y2 ) ( y)→ ,− 1  x , 0 2 lim x3 + y3 ( x , y)→( 0,0) x+y 2.7. x4 − y4 lim(x,y)→(0,0) x 2 + y2 2.8. lim xy − x2 + y2 (x ,y)→(1,2) 3xy −1 12 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

4. ການຕ່ ໍເນ່ ອື ງຂອງຕໍາລາສອງຕວົ ປ່ ຽນ ນຍິ າມ: ຕໍາລາ f (x, y) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ (x0, y0 ) ເມ່ ອື ( ) ( )lim f =f (x,y)→(x0 ,y0 ) x, y x0, y0 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ສງັ ເກດການຕ່ ເໍ ນ່ ອື ງຂອງ f (x, y) = x2 + 2xy − y2 ຢ່ ູເມດັ (0,−1) ບດົ ແກ:້ ສໍາລບັ : f (0,−1) = (0)2 + 2(0)(−1) − (−1)2 = −1 ສໍາລບັ : lim ( x2 + 2xy − y2 ) = −1 (x ,y)→(0,−1) ( ) ( )ສະແດງວ່ າ: lim(x,y)→(0,−1) x2 + 2xy − y2 = f 0, −1 = −1 ດ່ ງັ ນນັ້ : ຕໍາລາ f (x, y) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ (0, −1) . ຕວົ ຢ່ າງ 2: ສງັ ເກດການຕ່ ເໍ ນ່ ອື ງຂອງ f (x, y) = xy2 ຢ່ ູເມດັ (0,−1) x2 + y2 ບດົ ແກ:້ ສໍາລບັ : f ( 0, −1) = ( 0 ) ( −1)2 = 0 = 0 (0)2 + (−1)2 1 ສໍາລບັ : lim xy2 =0 ( x,y)→(0,−1) x2 + y2 ( )ສະແດງວ່ າ: xy2 =f (x lim,y)→(0,−1) x 2 + y2 0, −1 =0 ດ່ ງັ ນນັ້ : ຕໍາລາ f (x, y) ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເມດັ (0, −1) . ຈບັ ວງົ ທະວີ 13 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ບດົ ເຝຶກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ເພ່ ອື ເກດີ ທກັ ສະ ຈ່ ງົ ສກຶ ສາການຕ່ ເໍ ນ່ ອື ງຂອງບນັ ດາຕໍາລາລ່ ູມນ:ີ້ 1. f (x, y) = x2y2 ຢ່ ູເມດັ (0,0) 2. f (x,y) = x + y −1 ຢ່ ູເມດັ 1, 1  2  3. f ( x, y) = 2x + 3 ຢ່ ູເມດັ  1 , 1  x+y  2 3  4. f ( x, y) = x − 2y ຢ່ ູເມດັ  − 1 , − 1  xy + 5 4 5 5. f (x, y) = x2 + y2 +1 ຢ່ ູເມດັ  − 3 , −1 2 6. f (x,y) = 2x + y ຢ່ ູເມດັ (4,5) x−y 7. f (x, y) = x3 − xy − y3 ຢ່ ູເມດັ (−1,−1) 8. f (x, y) = 3 y − 2x ຢ່ ູເມດັ (−3, 2) 9. f ( x, y) = 3xy + 4 ຢ່ ູເມດັ  − 1 , − 1  1 − 2xy 3 4 10. f ( x, y) = x3 + 4xy + x2 − y +1 ຢ່ ູເມດັ  1 , 1  2 4 11. f ( x, y ) = x x y ຢ່ ູເມດັ (1,1) + 12. f ( x, y ) = x x y ຢ່ ູເມດັ (1,1) . + ຈບັ ວງົ ທະວີ 14 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

5. ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສອງ a) ຖາ້ ວ່ າ a,b,c,d ∈ ℝ : b d f ( x, y ) dydx = b  d f ( x, y ) dy dx = d  b f ( x, y ) dx dy   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ a c a c c a b g(x ) ( ) b  g(x ) ( )   dx b) ຖາ້ ວ່ າ ∫ ∫ f x , y dydx = ∫ ∫ f x, y dy a f (x)  a f(x) c) ຖາ້ ວ່ າ f (x, y) = f (x)f ( y) : b d f ( x, y) dydx = b d f ( x ).f ( y ) dydx = b f ( x )dx.∫d f ( y )dy ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ac ac ac ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ I = 4 2 ( 2x + 6x 2 y ) dydx ∫ ∫ 1 −1 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ເຮາົ ມ:ີ I = 4 2 ( 2x + 6x2y)dydx ∫ ∫ 2 −1 ( )∫ ∫I4 2 dydx = 2  −1 2x + 6x2y I = 4  2xy + 6x2. y2  2  2  −1 dx ∫  2 ( )I =4  2 dx 2xy + 3x2y2 −1 ∫ 2 I = 4  2 x ( 2 ) + 3x 2 ( 2 )2  −  2x ( −1) + 3x 2 ( −1)2  dx ∫ 2 I = 4 ( 4x + 12x 2 ) − ( −2x + 3x 2 ) dx ∫ 2 I = 4 (4x + 12x 2 + 2x − 3x 2 )dx ∫ 2 I = 4 ( 6 x + 9x 2 )dx ∫ 2 I =  x2 + x3  4  6. 2 9.  2 3 ( )I = 3x2 + 3x3 4 2 I = 3(4)2 + 3(4)3  − 3(2)2 + 3(2)3  ຈບັ ວງົ ທະວີ 15 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

I = (48 +192) − (12 + 24) I = 240 − 36 = 204 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 204 . ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ I = 4 2 ( 2x + 6x2y)dydx ∫ ∫ 2 −1 ( )∫ ∫I2  4 dx dy = −1  2 2x + 6x2y I = 2  2. x2 + 6y. x3  4 2 3  dy ∫ 2  −1 ( )I= 2  4 dy x2 + 2yx3 2 ∫ −1 I = 2  ( 4 )2 + 2 y ( 4 )3  − ( 2 )2 + 2 y ( 2 )3  dy ∫ −1 I = 2 (16 + 128y) − (4 + 16y)dy ∫ −1 I = 2 (16 + 128y − 4 − 16 y )dy ∫ −1 I = 2 (12 + 112 y )dy ∫ −1 I =  + 112. y2  2 12y 2  −1 I = (12y + 56y2 ) 2 −1 I = 12(2) + 56(2)2  − 12(−1) + 56(−1)2  I = [24 + 224] − [−12 + 56] I = 248 − 44 = 204 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 204 . ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ I = 2 2x ( x3 + 4 y ) dydx ∫ ∫ 0 x2 ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມ:ີ I= (2 2x + 4y)dydx ∫ ∫ x3 0 x2 16 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

( )∫ ∫I 2 2x  = 0  x2 x3 + 4y dydx I = 2  x3y + 4. y2  2x  2  x2 dx ∫  0 ( )∫I = 2  x3y + 2y20 2x dx x2 I = 2   x 3 ( 2x ) + 2 ( 2x )2  −  x 3 ( x 2 ) + 2 ( x 2 )2  dx ∫ 0 I = 2 ( 2x 4 + 8x2 ) − (x5 + 2x4 )dx ∫ 0 ( )2 I = ∫ 2x4 + 8x2 − x5 − 2x4 dx 0 I = (2 − x5 )dx ∫ 8x2 0 I =  8. x3 − x6  2  3 6  0 I =  ( 2 )3 − ( 2)6  −  ( 0 )3 − (0)6  8.  8.   3 6   3 6  I =  ( 2 )3 − ( 2)6  8.   3 6  I = 8.8 − 64 36 I = 64 − 64 36 I = 2.64 − 64 2.3 6 I = 128 − 64 66 I = 128 − 64 6 I = 64 = 2 .32 = 32 6 2 .3 3 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 32 . 3 17 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

π 32 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຄດິ ໄລ່ I = ∫ ∫ x2 sin ydydx 10 ວທິ ແີ ກ ້ 1: π 32 ເຮາົ ມ:ີ I = ∫ ∫ x2 sin ydydx 10 I = 3  π x 2 sin y dy  dx  2  ∫   ∫ 1 0 ( )I 3  π =  −x2 cos y 2  dx ∫ 0 1 I = 3  −x2 cos π  − ( −x 2 cos 0) dx 2 ∫ 1 I = 3 ( − x 2 .0 ) − ( − x 2 .1)  dx ∫ 1 3 I = ∫ x2dx 1 I = x3 3 3 1 I = (3)3 − (1)3 33 I = 27 − 1 33 I = 27 −1 3 I = 26 3 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 26 . 3 ວທິ ແີ ກ ້ 2: π 32 ເຮາົ ມ:ີ I = ∫ ∫ x2 sin ydydx 10 π I = 2  3 x 2 sin y dx dy  ∫ ∫ 0 1 18 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

I = π  y. x3 3 2 sin dy 0  3 1  ∫ = π  (3)3 − (1)3  2 dy ∫ sin y. y. I 0  3 sin 3  π I = 2 sin y. 27 − sin y. 1 dy 3 3 ∫ 0 π I = 2  27 sin y − sin y dy 3 3 ∫ 0 π − I = 2 27 sin y sin ydy ∫03 π I = 2 26 sin ydy ∫03 −26 cos π 3 I =  y  2 0 I = −26cos π + 26cos 0 2 33 I = −26.0 + 26.1 33 I = 26 3 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 26 . 3 ວທິ ແີ ກ ້ 3: π 32 ເຮາົ ມ:ີ I = ∫ ∫ x2 sin ydydx 10 π 32 I = ∫ x2dx.∫ sin ydy 10 I =  x3 3 . − cos y π   3 1 2 0 19 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

I =  (3)3 − (1)3   . −cos π + cos0   2 3 3 I =  27 − 1 .(0 + 1)  3 3 I = 27 −1.1 3 I = 26 3 ດ່ ງັ ນນັ້ : I = 26 . 3 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຄດິ ໄລ່ 3 2 (1 + 8xy ) dydx ∫ ∫ 01 ວທິ ແີ ກ ້ 1: 3 2 (1 + 8xy ) dydx = 3  2 (1 + 8xy) dy dx  ∫ ∫ ∫ ∫ 0 1 0 1 = 3  y + 8xy2  2  dx 2  1  ∫  0 ( )=3  2  y + 4xy2 1 dx ∫ 0 = 3 ( 2 + 4.22 x ) − (1 + 4.12 x ) dx ∫ 0 = 3 ( 2 + 16x ) − (1 + 4x )  dx ∫ 0 = 3 ( 2 + 16x − 1 − 4 x ) dx ∫ 0 = 3 (1 + 12 x ) dx ∫ 0 =  x + 12 x 2  3  2  0 = (x + 6x2 ) 3 0 = (3 + 6.32 ) − (0 + 6.02 ) = 3 + 54 = 57 . 20 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ວທິ ແີ ກ ້ 2: 3 2 (1 + 8xy ) dydx = 2  3 (1 + 8xy) dx  dy   ∫ ∫ ∫ ∫ 0 1 1 0 = 2  x + 8x2 y  3  dy 2  0  ∫  1 ( )=2  3  x + 4x2y 0 dy ∫ 1 ( )=2  3  x + 4x2y 0 dy ∫ 1 = 2 ( 3 + 4.32 y ) − ( 0 + 4.02 y ) dy ∫ 1 = 2 ( 3 + 36 y ) dy ∫ 1 =  3y + 36y2  2  2  1 = (3y +18y2 ) 2 1 = (3.2 +18.22 ) − (3.1+18.12 ) = (6 + 72) − (3 +18) = 78 − 21 = 57 . 3 y2 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຄດິ ໄລ່ ∫ ∫ 2y cos x dxdy 1π 6 3 y2 3 ∫ y2   ∫ ∫ 2y cos x dydx = ∫  2y cos x dx  dx  1 π 1 π  6 6 ( )∫3 2 y sin x y2 dy π = 16 = 3  2 y sin y 2 − 2ysin π  dy 6 ∫ 1 = 3  2 y sin y2 − 2y. 1  dy 2 ∫ 1 = 3 ( 2y sin y2 − y ) dy ∫ 1 21 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

33 = ∫ 2ysin y2 dy − ∫ y dy 11 ( )∫3 y2 − y2 3 = sin y2 d 21 1 = − cos y2 3 − y2 3 12 1 = −  cos y2 + y2 3  2  1 = −  cos 9 + 9  +  cos1 + 1  2 2 = cos1 − cos9 − 4 . ບດົ ເຝິກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ເພ່ ອື ເກດີ ທກັ ສະ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສອງລ່ ຸມນ:ີ້ 21 1. I = ∫ ∫ ey2 dxdy 0 x2 1 2y 2. I = ∫ ∫ ey2 dxdy 00 12 3. I = ∫ ∫ x2ydxdy 00 21 4. I = ∫ ∫ x2ydydx 10 ln 2 0 5. I = ∫ ∫ 2xey dxdy 0 −1 6. I = 3 1 ( x + 2 y ) dydx ∫ ∫ 2 −1 7. I = 3 1 2xy dxdy x2 +1 ∫ ∫ 1 0 11 8. I = ∫ ∫ x2exydydx 00 4x 9. I = ∫ ∫ x2ydydx 00 22 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

15 10. I = ∫ ∫ y 1 − y2 dxdy 01 11. I = 1 1− y ( 2x + y ) dxdy ∫ ∫ 0 y−1 1x 12. I = ∫ ∫ 2xydydx 0 x2 14 13. I = ∫ ∫ xy dydx 00 1 2x 14. I = ∫ ∫ ey−x dydx 0x e ln x 15. I = ∫ ∫ xy dydx 10 3 10−y2 16. I = ∫ ∫ dxdy 02 y4 3 y2 17. I = ∫ ∫ 2ycos x dxdy 1π 6 2x 18. I = ∫ ∫ x2ydydx 1 1−x 19. I = 1 (x +1 + 2y)dydx ∫ 3x ∫ −1 x3 20. I = 2 2y ( 4x − y ) dxdy ∫ ∫ 0 y2 12 21. I = ∫ ∫ ey2 dydx 0 2x 93 22. I = ∫ ∫ sin x3 dx dy 0y 24 23. I = ∫ ∫ y cos x2dxdy 0 y2 24. I = 1 2 ( x + 3)dydx ∫ ∫ 04 21 25. I = ∫ ∫ x2ydydx 04 21 26. I = ∫ ∫ ysin x dxdy 00 23 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ln 3 ln x 27. I = ∫ ∫ ex+y dxdy 00 32 28. I = ∫ ∫ x2 + y2 dxdy 01 π2 29. I = ∫ ∫ x cos xydxdy π1 2 ln 2 1 30. I = ∫ ∫ xye2xy dydx 00 31. I = 1 2 ( 1 )2 dxdy xy ∫ ∫ 3 1 21 32. I = ∫ ∫ ey2 dydx 0 x2 12 33. I = ∫ ∫ x2ydxdy 00 1 2y 34. I = ∫ ∫ ey2 dxdy 00 21 35. I = ∫ ∫ x2ydydx 10 ln 2 0 36. I = ∫ ∫ 2xey dxdy 0 −1 37. I = 3 1 ( x + 2 y ) dydx ∫ ∫ 2 −1 38. I = 3 1 2xy dxdy x2 +1 ∫ ∫ 1 0 11 39. I = ∫ ∫ x2exydydx 00 4x 40. I = ∫ ∫ x2ydydx 00 15 41. I = ∫ ∫ y 1 − y2 dxdy 01 42. I = 1 1− y ( 2x + y ) dxdy ∫ ∫ 0 y−1 1x 43. I = ∫ ∫ 2xydydx 0 x2 14 44. I = ∫ ∫ xy dydx 00 24 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

1 2x 45. I = ∫ ∫ ey−x dydx 0x e ln x 46. I = ∫ ∫ xy dydx 10 3 10−y2 47. I = ∫ ∫ dxdy 02 y4 3 y2 48. I = ∫ ∫ 2ycos x dxdy 1π 6 2x 49. I = ∫ ∫ x2ydydx 1 1−x 50. I= 1 x +1 ( 3x + 2 y )dydx ∫ ∫ −1 x3 51. I = 2 2y ( 4x − y ) dxdy ∫ ∫ 0 y2 e ln x 52. I = ∫ ∫ ydydx 10 6. ສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສາມ ຈາໍ ນວນຈງິ a1,a2,a3, b1, b2, b3 ∈ ℝ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( )b1 b2 b3 = b1 b2 b3  a1  a3 dydz f a2  a1 a 2 a3 x, y,z dxdydz f x, y, z dx  ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ( )1 2 1 ∫ ∫ ∫ x2 + y2 + z2 dxdydz −1 0 0 ບດົ ແກ:້ ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 2 1 1 2  1 dx dy dz −1 0 0 −1 0 0 x2 + y2 + z2 dxdydz = x2 + y2 + z2 = ∫1  ∫2  x3 + xy2 + xz2  1  dy  dz −1  0 3  0      = ∫1  ∫2  x3 + xy2 + xz2  −  03 + 0.y2 + 0.z2   dz −1  0  3   3  dy   ຈບັ ວງົ ທະວີ 25 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

= ∫1  ∫2  1 + y2 + z2  dy  dz −1  0 3 = ∫1  1 y + y3 +  2 −1 3 3 yz   dz 0  = ∫1  1 y + y3 +  −  1 .0 + 03 +  −1  3 3 yz   3 3 0.z  dz = ∫1  1 .2 + 8 + 2z dz 3 3 −1 = ∫1  10 + 2z dz 3 −1 =  10 z + z 2  1  3  −1 =  10 + 1 −  − 10 + 1  3  3 = 10 +1 + 10 −1 33 = 20 . 3 π 2 1 x2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ∫ ∫ ∫ x cos ydzdxdy 00 0 ບດົ ແກ:້ π 2 1 x2 x cos y dzdxdy = π  ∫1 ∫ x2 x cos ydz dx dy  0 ∫ ∫ ∫ ∫2  0 0 0 0 0 = π  ∫1 xz cos y x2 dx dy  0 0 ∫2 0 ( )∫ ∫=π dx dy 1 x.x2 cos y − x.0.cos y 2 0 0 = π  ∫1 x 3cosydx dy 0 ∫2 0 26 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

π  x 4cosy 1  2  dy = ∫ 0  4 0  = π cosy dy 4 ∫2 0 = 1 π cosy dy 4 ∫2 0 = 1 π cosydy 4 ∫2 0 π = − 1 siny 2 40 = 1 sin π + 1 sin0 4 24 =1. 4 ບດົ ເຝິກຫດັ ສ່ ງົ ເສມີ ນກັ ສກຶ ສາຝຶກປະຕບິ ດັ ເພ່ ອື ເກດີ ທກັ ສະ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາສງັ ຄະນດິ ຊອ້ ນສາມລ່ ຸມນ:ີ້ π 1. π 1 6 xysin ( yz ) dxdydz ∫ ∫ ∫ 000 1 2. 2 π 1 xz sin ( xy ) dxdydz ∫ ∫ ∫ 100 3 3. 1 2y π ( x + 2z ) dzdxdy ∫ ∫ ∫ 000 3 x2 ln 2 4. ∫ ∫ ∫ xey dydzdx 1x 0 π 2π 4 4 5. ∫ ∫ ∫ x3 sin ycos y dxdydz 0 00 27 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

π 2π 4 sec y 6. ∫ ∫ ∫ x2 sin y dxdydz 00 0 7. ∫1∫ 2y ∫π (x + 2z)dz dx dy 00 0 ( )∫ ∫ ∫8. 1 2 1 x2 + y2 + z2 dx dy dz 00 0 9. ∫1∫1∫1(xy + yz + zx)dx dydz 000 ∫ ∫ ∫10. 2 3 212xy2z3 dz dydx −1 0 0 11. ∫ π ∫ 1 ∫ π xy sin ( yz ) dx dy dz 6 0 00 π 1 x2 2 x cos y dz dx dy ∫ ∫ ∫12. 0 00 13. ∫ ∫ ∫2π 2 6−r2 6xydx dydz 000 14. ∫2π ∫ ∫2 2 5x2ydxdydz 0 0 2y 15. ∫ ∫ ∫2π π cosy x2 sin ydxdydz 4 0 00 16. ∫∫∫ xysin ( yz)dv , S ຕອບສະໜອງ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ π S6 17. ∫∫∫ cos z dv , S ຕອບສະໜອງ π ≤ y ≤ π , y ≤ x ≤ π , 0 ≤ z ≤ 2xy Sy 62 2 18. ∫∫∫12xy2z3dv , S ຕອບສະໜອງ −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 2 S 19. ∫∫∫ x2zexyz dv , S ຕອບສະໜອງ 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ z ≤ 3 S ຈບັ ວງົ ທະວີ 28 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

7. ຕໍາລາຮແີ ປໂບລກິ (Hyperbolic functions) 7.1. ສູດພນື້ ຖານ 1.1.1. sinh ( x ) = ex − e−x 2 1.1.2. cosh ( x ) = ex + e−x 2 sinh (x) 1.1.3. tanh ( x) = cosh (x) ex − e−x = ex 2 + e−x 2 = ex − e−x ex + e−x ex − 1 = ex ex + 1 ex e2x −1 = ex e2x +1 ex = e2x −1 . e2x +1 1.1.4. coth ( x ) = cosh (x) sinh (x) ex + e−x = ex 2 − e−x 2 = ex + e−x . ex − e−x 29 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

1.1.5. sec h ( x ) = 1 x ) cosh ( = ex 1 + e−x 2 = ex 2 . + e−x 1.1.6. csc h ( x ) = 1 x ) sinh ( = ex 1 − e−x 2 = ex 2 − e−x ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ sinh (0) ເຮາົ ມ:ີ sinh ( x ) = ex − e−x 2 sinh (0) = e0 − e−0 = 1−1 = 0 = 0 2 22 ດ່ ງັ ນນັ້ : sinh (0) = 0. ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ cosh (0) ເຮາົ ມ:ີ cosh ( x ) = ex + e−x 2 cosh (0) = e0 + e−0 = 1 + 1 = 2 = 1 2 22 ດ່ ງັ ນນັ້ : cosh (0) = 1. ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ tanh (1) ເຮາົ ມ:ີ tanh (x) = sinh (x) cosh (x) tanh (1) = sinh (1) cosh (1) e1 − e−1 = e1 2 + e−1 2 30 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

= e − e−1 e + e−1 e−1 =e e+1 e e2 −1 = e e2 +1 e = e (e2 − 1) e (e2 + 1) = e2 − 1 . e2 + 1 ດ່ ງັ ນນັ້ : tanh (1) = e2 − 1. e2 + 1 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ພສິ ູດ sinh (x + y) = ey sinh (x) ເຮາົ ມ:ີ sinh ( x + y) = ex+y − e−(x+y) 2 = ex+y − e−x−y 2 ≠ ey  ex − e−x   2  = ey sinh (x) ດ່ ງັ ນນັ້ : sinh (x + y) ≠ ey sinh (x) ຕວົ ຢ່ າງ 5: ພສິ ູດວ່ າ sinh (x + y) = cosh (x)sinh ( y) + sinh (x)cosh ( y) ເຮາົ ມີ cosh ( x )sinh ( y) + sinh ( x )cosh ( y) = ex + e−x . ey − e−y + ex − e−x . ey + e−y 22 22 ( )( ) ( )( )= ex + e−x ey − e−y + ex − e−x ey + e−y 44 = ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y + ex+y + ex−y − e−x+y − e−x−y 44 = ex+y −ex−y +e−x+y − e−x−y + ex+y +ex−y −e−x+y − e−x−y 4 ຈບັ ວງົ ທະວີ 31 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

= 2ex+y − 2e−x−y 4 ( )= 2 e − ex+y −x−y 4 = ex+y − e−x−y 2 = ex+y − e−(x+y) 2 = sinh (x + y) . ຕວົ ຢ່ າງ 6: ພສິ ູດວ່ າ cosh x + sinh x = ex ເຮາົ ມ:ີ cosh x + sinh x = ex + e−x + ex − e−x 22 = ex + e−x + ex − e−x 2 = 2ex 2 = ex . ຕວົ ຢ່ າງ 7: ພສິ ູດວ່ າ sinh 2x = 2sinh x cosh x ເຮາົ ມ:ີ 2sinh x cosh x = 2  ex − e−x  ex + e−x   2   2  = 2  e2x + e0 − e0 − e−2x     2 .2  = e2x − e−2x = sinh 2x . 2 ບດົ ເຝຶກຫດັ 1. ຈ່ ງົ ພສິ ູດວ່ າ sinh (x − y) = cosh (x)sinh ( y) − sinh (x)cosh ( y) 2. ຈ່ ງົ ພສິ ູດວ່ າ cos(x + y) = cosh (x)cosh ( y) − sinh (x)sinh ( y) 3. ຈ່ ງົ ພສິ ູດວ່ າ cosh (x − y) = cosh (x)cosh ( y) + sinh (x)sinh ( y) 4. ຈ່ ງົ ພສິ ູດ cosh (2x) = cosh2 (x) − sinh2 (x) 5. ຈ່ ງົ ພສິ ູດ sinh (2x) = 2sinh (x)cosh (x) 6. ຈ່ ງົ ພສິ ູດ sinh2 (x) + cosh2 (x ) = 1 ຈບັ ວງົ ທະວີ 32 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

7. ຈ່ ງົ ພສິ ູດ tanh (x) = 1 coth (x) 7.2. ເສນັ້ ແດງຂອງຕາໍ ລາຮແີ ປໂບລກິ (Hyperbolic trig functions) 7.2.1. ຕໍາລາ y = sinh x 7.2.2.ຕໍາລາ y = cosh x 7.2.3.ຕໍາລາ y = tanh x 7.2.4.ຕໍາລາ y = coth x 33 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

7.2.5.ຕໍາລາ y = sech x 7.2.6.ຕໍາລາ y = csch x 7.3. ຜນົ ຕໍາຂອງຕໍາລາຮແີ ປໂບລກິ (Derivatives) 7.3.1. d (sinh x ) = cosh x dx 34 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

7.3.2. d (cosh x) = −sinh x dx 7.3.3. d ( tanh x ) = 1 − tanh2 x = sech2 x = 1 dx cosh2 x 7.3.4. d (coth x) = 1 − coth2 x = − csc h2x = −1 dx sinh2 x 7.3.5. d (csch x) = −coth x csc hx dx 7.3.6. d (sech x ) = − tanh x sec hx dx ຕວົ ຢ່ າງ 1: ພສິ ູດວ່ າ d (sinh x) = cosh x dx d (sinh x) = d  ex − e−x  dx dx  2  = d ex − e−x  dx  2 2  = ex − −1e−x 22 = ex + 1e−x 22 = ex + e−x 2 = cosh x . ດ່ ງັ ນນັ້ : d (sinh x) = cosh x . dx ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາຜນົ ຕໍາ(Find the derivative) ຂອງຕໍາລາ y = tanh (4x) dy = d tanh ( 4x ) dx dx = d ( 4x ). 1 4x ) dx cos2 ( = 4. 1 4 x ) cos2 ( = 4 sec h2 (4x ) ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາຜນົ ຕໍາ (Find the derivative) ຂອງຕໍາລາ y = ln (sinh x) ຈບັ ວງົ ທະວີ 35 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

dy = d ln (sinh x ) dx dx d (sinh x) = dx sinh x = cosh x sinh x = coth x . ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາຜນົ ຕໍາ (Find the derivative) ຂອງຕໍາລາ y = sinh x.tanhx dy = d [sinh x.tanhx] dx dx = d (sinh x).tanh x + sinh. d (tanh x) dx dx = cosh x.tanh x + sinh x.sec h2x = cosh x . sinh x + sinh x sec h2x cosh x = sinh x + sinh x.sec h2x = sinh x (1+ sech2x) . ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາຂອງບນັ ດາລາຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. f (x) = cosh (3x) 2. f (x) = tanh (2x) 3. f (x) = coth (7x) 4. f (x) = sec h (4x) 5. f (x) = csc h (2x) 6. f (x) = sinh (2x + 3) 7. f (x) = cosh (2 − 3x2 ) 8. f (x) = tanh (2 + x2 ) 9. f (x) = coth (1− x) 10. f (x) = sech (x2 +1) 11. f (x) = csc h (2x + 5) 36 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

7.4. ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາປິນ້ ຮແີ ປໂບລກິ (Derivatives of the inverse Hyperbolic Functions) 7.4.1. d (sinh−1 x) = 1 dx 1 + x2 7.4.2. d (cosh−1 x) = 1 dx x2 −1 7.4.3. d ( tanh −1 x ) = 1 dx −x 1 2 7.4.4. d (csch−1 x) = − 1 dx x 1 + x2 7.4.5. d (sech−1 x ) = − 1 dx x 1 − x2 7.4.6. d ( coth −1 x ) = 1 dx −x 1 2 ຕວົ ຢ່ າງ 1: Find the derivative y = x2.sinh−1 (2x ) dy = d  x 2 .sinh −1 ( 2x ) dx dx = d ( x2 ).sinh −1 ( 2x ) + x2. d sinh −1 ( 2x ) dx dx = 2x sinh−1 (2x ) + x2. d (2x) dx 1+ (2x)2 = 2x sinh−1 (2x) + x2. 2 1+ (2x)2 = 2x  −1 ( 2 x ) + x sinh 1 + 4x2 . ຕວົ ຢ່ າງ 2: Find the derivative y = tanh−1 x ( )dy = d tanh−1 x dx dx d ( x) ( )= dx 1− 2 x ຈບັ ວງົ ທະວີ 37 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

1 = 2 x 1− x = 1 2 x (1− x) ຕວົ ຢ່ າງ 3: Find the derivative y = sec h−1 1 − x2 ( )dy = d sec h−1 1 − x2 dx dx ( )d 1− x2 ( )= − dx 1− x2 1− 1− x2 2 d (1− x2 ) dx =− 2 1− x2 1− x2 1 − (1 − x2 ) −2x = − 2 1− x2 1− x2 x2 −2x = − 2 1− x2 1− x2x = − 2x −2x 1 − x2 1 − x2 = − 2x 2x (1− x2 ) = 1 . 1− x2 ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ ບດົ ເຝຶກຫດັ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ 1. f ( x) = 2x2 sinh−1 (2x) 38 2. f (x) = x cosh−1 (5x) 3. f (x) = tanh−1 (6x ) ຈບັ ວງົ ທະວີ

4. f ( x) = coth−1 x 5. f (x) = sec h−1 (5x) 6. f ( x ) = c sc h −1  1 x  2 7. f ( x) = sinh−1 2x + 3 8. f ( x) = cosh−1 3 1− x 9. f ( x) = x3 tanh−1 (1 + x2 ) 10. f ( x ) = x5 coth−1 x2 4 11. f ( x) = sec h−1 x + 3 12. f ( x) = csc h−1 5 1− 2x ຈບັ ວງົ ທະວີ 39 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

8. ຕໍາລາປິນ້ ແລະ ສງັ ຄະນດິ 8.1. ສໍາລບັ ຕາໍ ລາປິນ້ sin−1 x , cos−1 x 8.1.1. d (sin−1 x ) = 1 dx 1 − x2 1 = d (sin−1 x ) 1 − x2 dx 1 dx = d(sin−1 x) 1− x2 ∫ 1 x2 dx = ∫ d(sin−1 x) 1− ∫ 1 dx = sin−1 x + C 1− x2 8.1.2. d (cos−1 x ) = −1 dx 1 − x2 −1 = d (cos−1 x) 1 − x2 dx −1 dx = d(cos−1 x) 1− x2 ∫ −1 dx = ∫ d (cos−1 x ) 1− x2 ∫ −1 dx = cos−1 x + C 1− x2 ∫ 1 dx = − cos−1 x + C 1− x2 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ 1 dt 1− 4t2 ∫ 1 dt = ∫ 1 dt 1− 4t2 1 − (2t)2 = 1 ∫ 1 2dt 2 1− (2t)2 = 1 ∫ 1 d(2t) 2 1− (2t)2 = 1 sin−1 (2t) + C 2 40 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ 1 dx 9 − x2 1 dx = ∫ 1 9− x2 9  − x2  1 9  =∫ 11 . dx 1− x2 3 9 =∫ 1 x d   1−  x 2 3 3 = sin −1  x  + C. 3 8.2. ສໍາລບັ ຕາໍ ລາປິນ້ tan−1 x , cot−1 x 8.2.1. d ( tan −1 x ) = 1 dx +x 1 2 1 = d ( tan−1 x) 1+ x2 dx 1 dx = d ( tan −1 x ) +x 1 2 ∫ 1 1 dx = ∫ d ( tan−1 x ) + x2 ∫ 1 1 dx = tan −1 x + C . + x2 8.2.2. d ( cot −1 x ) = −1 dx +x 1 2 −1 = d (cot−1 x ) 1+ x2 dx −1 dx = d (cot −1 x ) +x 1 2 ∫ 1 −1 dx = ∫ d ( cot −1 x ) + x2 ∫ 1 −1 dx = cot −1 x + C + x2 ∫ 1 1 dx = − cot −1 x + C + x2 41 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ∫ a2 1 x2 dx + ∫ a2 1 x2 dx = ∫ 1 x2  dx + 1 + a2  a 2 = 1 ∫ 1 . 1 dx a + x2 a 1 a2 = 1 ∫ 1 . 1 dx a a 1 +  x 2 a = 1 ∫ 1 d  x  a a 1 +  x 2 a = 1 tan −1  x  + C . a a ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ∫ 9 1 dx + x2 ∫ 9 1 dx = ∫  1 x2  dx + x2 91 + 9  = 1 ∫ 1 .1 dx 3 + x2 3 1 9 = 1 ∫ 1 d  x  3 3 1 +  x 2 3 = 1 tan −1  x  + C . 3 3 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຄດິ ໄລ່ ∫ sin−1 ( x) dx 1− x2 ∫ sin−1 ( x ) dx = ∫ sin −1 ( x ) d sin −1 ( x ) 1− x2 = sin−1 ( x )2 + C . 2 42 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ຈບັ ວງົ ທະວີ

ບດົ ເຝຶກຫດັ 1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 1.1. ຄດິ ໄລ່ 1 dt 1.2. ຄດິ ໄລ່ 1 dt 1 − 25t2 1 −16t2 1.3. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.4. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1 − 49x2 1 − 64x2 1.5. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.6. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 4 − x2 9 − x2 1.7. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.8. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 2 − x2 3− x2 1.9. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.10. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1− 5x2 1− 7x2 1.11. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.12. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 3 − 2x2 8 − 3x2 1.13. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 1.14. ຄດິ ໄລ່ 1 dx 3 − 2x2 8 − 3x2 1.15. ຄດິ ໄລ່ 5 dx 1.16. ຄດິ ໄລ່ 12 2. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 2 −11x2 dx 5 −14x2 2.1. ຄດິ ໄລ່ ∫ 4 1 2 dx 2.2. ຄດິ ໄລ່ ∫ 16 1 x 2 dx +x + 2.3. ຄດິ ໄລ່ ∫ 25 1 x 2 dx 2.4. ຄດິ ໄລ່ ∫ 36 1 x 2 dx + + 2.5. ຄດິ ໄລ່ ∫ 64 1 x 2 dx 2.6. ຄດິ ໄລ່ ∫ 81 1 x 2 dx + + 2.7. ຄດິ ໄລ່ ∫ 1 + 1 2 dx 2.8. ຄດິ ໄລ່ ∫ 1 1 x 2 dx 4x +9 2.9. ຄດິ ໄລ່ ∫ 1 + 1 2 dx 2.10. ຄດິ ໄລ່ ∫ 1 + 1 2 dx 25x 25x 2.11. ຄດິ ໄລ່ ∫ 2 1 2 dx 2.12. ຄດິ ໄລ່ ∫ 5 1 2 dx +x +x 2.13. ຄດິ ໄລ່ ∫ 7 1 2 dx 2.14. ຄດິ ໄລ່ ∫ 2 1 2 dx + 5x + 9x ຈບັ ວງົ ທະວີ 43 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

2.15. ຄດິ ໄລ່ ∫ 8 1 2 dx 2.16. ຄດິ ໄລ່ ∫ 6 + 1 2 dx + 3x 15x 2.17. ຄດິ ໄລ່ ∫ 10 7 2 dx 2.18. ຄດິ ໄລ່ ∫ 7 9 2 dx . + 5x + 2x ຈບັ ວງົ ທະວີ 44 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ