Calculus 1-4

47 97. ∫ x2 dx −1 + 3x 98. ∫ x2 dx − 12 − 4x 99. ∫ 4x2 dx +3 − 4x 100. ∫ x2 dx −x−2 101. ∫ x2 dx − 3x −10 102. ∫ x2 dx − 5x + 6 103. ∫ x2 dx + x −12 104. ∫ x2 dx − 7x + 12 105. ∫ x2 dx − 4x −1 106. ∫ 2x2 dx + 7x + 2 107. ∫ 7x2 dx = 4x +1 108. ∫ x2 dx + 3x − 5 109. ∫ x2 dx −x−3 110. ∫ 4x2 dx − 2x − 3 111. ∫ x2 dx −x−2 112. ∫ x2 dx + 5x + 6 113. ∫ x2 dx + x −12

48 114. ∫ x2 dx + 2x − 3 115. ∫x dx +6 −5 x 116. ∫ x2 dx + 2x − 8 117. ∫ dx 7 −5x2 − 118. ∫ dx x 7x2 − 119. ∫ dx 1 3x2 2x x −1 − x3 −1 − x2 +x + 1 120. ∫ 3 dx 1 . (x −1)(x − 2) + (x 2 − 1) − (x − 2)(x − 3) − 3)(x ຮູບຮ່ າງ 2.4: ∫ (mx + n)dx ax2 + bx + c ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ∫ (mx + n)dx = ∫ ax 2 mx + c dx + ∫ ax 2 n + c dx + bx + bx ax2 + bx + c = m∫ ax 2 x + c dx + n∫ ax 2 1 + c dx + bx + bx = m ∫ ax 2 ax + c dx + n∫ ax 2 1 + c dx a + bx + bx = m ∫ ax + b−b dx + n∫ ax 2 1 + c dx a ax 2 + bx + c + bx = m ∫  ax +b c − ax 2 b + c  dx + n∫ ax 2 1 + c dx a  ax2 + bx + + bx  + bx = m ∫ ax +b c dx − m ∫ ax 2 b + c dx + n∫ ax 2 1 + c dx a ax2 + bx + a + bx + bx = m ∫ d(ax2 + bx + c) +  n − m  ∫ ax 2 1 + c dx a  a  + bx ax2 + bx + c

49 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u(x) + C u(x) = m ln ax 2 + bx + c +  n − m  ∫ ax 2 1 + c dx a  a  + bx ສໍາລບັ : ∫ ax2 1 + c dx ວທິ ແີ ກໃ້ ຫປ້ ະຕບິ ດັ ຕາມຮູບຮ່ າງ 1.1. + bx ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ (x + 2)dx x2 − 5x + 6 ບດົ ແກ:້ ∫ (x + 2) dx = ∫ x2 − x + 6 dx + ∫ x2 − 2 + 6 dx +6 5x 5x x2 − 5x = 1 ∫ x2 2x + 6 dx + 2∫ x2 − 1 + 6 dx 2 − 5x 5x = 1 ∫ 2x − 5 + 5 dx + 2∫ x2 − 1 + 6 dx 2 x2 − 5x + 6 5x = 1 ∫ 2x − 5 6 dx + 5 ∫ x2 − 1 + 6 dx + 2∫ x2 − 1 + 6 dx 2 x2 − 5x + 2 5x 5x = 1 ∫ 2x − 5 6 dx + 9 ∫ x2 − 1 + 6 dx 2 x2 − 5x + 2 5x (x2 − 5x + 6) = 1 ∫ d + 9 ∫ 1 dx 2 x2 − 5x + 6 2 ( x − 3)( x − 2 ) ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u(x) + C u(x) = 1 ln x2 − 5x + 6 + 9 ∫  x 1 3 − x 1 2  dx 2 2  − −  = 1 ln x2 − 5x + 6 + 9 ∫ x 1 3 dx − ∫ x 1 2 dx  2 2 − −  = 1 ln x2 − 5x + 6 + 9 ∫ d(x − 3) − ∫ d(x − 2)  2 2  x−3 x−2 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u(x) + C u(x)

50 = 1 ln x2 − 5x + 6 + 9 ln x − 3 − ln x − 2  + C 2 2 = 1 ln x2 − 5x +6 + 9 ln x −3 + C. 2 2 x−2 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x2 x +1 3 dx − 7x − 2. ∫ 3x 2 x+3 + 5 dx + 9x 3. ∫ 2x 2 x −1 − 2 dx + 5x 4. ∫ 3x 2 x−3 + 1 dx + 7x 5. ∫ 5x 2 x+4 − 4 dx − 2x 6. ∫ x2 x+5 + 5 dx + 10x 7. ∫ x 2 x +7 − 1 dx − 6x 8. ∫ 4x x+8 + 1 dx 2 − 6x 9. ∫ x 2 1− x 21 dx − 4x − 10. ∫ x 2 2−x 10 dx +10x + 11. ∫ 3x 2 3−x − 5 dx + 2x 12. ∫ 5x 2 4−x + 2 dx + 8x 13. ∫ x 2 5 −x 5 dx + 2x − 14. ∫ 7 x 4−x − 1 dx 2 − 3x

51 15. ∫ x 2 2x +1 3 dx − 7x + 16. ∫ 6x 3x +2 6 dx 2+ 5x − 17. ∫ x 2 2x +1 3 dx − 7x + 18. ∫ 6x 3x +2 6 dx 2+ 5x − 19. ∫ 2x 1− 2x 12 dx 2 + 5x − 20. ∫ 3x 2 − 3x 2 dx 2 − 2x − 21. ∫ ( x 7 − 5x 25 dx − 3)2 − 22. ∫ 3x 2 − 3x 2 dx 2 − 2x − 23. ∫ x2 5 + 4x 72 dx + 6x − 24. ∫ x 12x + 5 dx 2 − 4x − 21 25. ∫ ( 2x + 3)2 7x − 2 4 ) ( x + 3) dx x + −( 26. ∫ 11x + 12 dx 121x 2 − 36 1 x +1 ∫ 2 27. 18x − 24 − 3x 2 dx 1x+2 ∫ 3 28. x 2 + 14x + 13 dx 29. ∫ x2 8x + 9 28 dx −12x − 30. ∫ x 2 13x + 5 dx − 22x + 120

52 ( )ຮູບຮ່ າງ 2.5: + + ... + ∫ anxn a x n−1 a0 dx n −1 ax + b ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x3 + 5x2 + x − 5 dx x+2 ບດົ ແກ:້ ∫ x3 + 5x2 + x − 5 dx = ∫  x2 + 3x − 5 + 5  dx x+2  +  x 2 = ∫ x 2dx + 3∫ x dx − 5∫ dx + 5∫ x 1 2 dx − = x3 + 3x 2 − 5x + 5∫ d(x + 2) 3 2 x−2 = x3 + 3x2 − 5x + 5ln x + 2 + C. 32 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ ∫ x 2 − 7x − 3 x +1 1. dx ∫ 3x 2 + 9x + 5 x+3 2. dx ∫ 2x 2 + 5x − 2 x −1 3. dx ∫ 3x 2 + 7x + 1 x−3 4. dx ∫ 5x 2 −2 x − 4 x+ 4 5. dx ∫ x 2 + 10x + 5 x+5 6. dx 7. ∫ x2 − 6x − 1 dx x +7

53 8. ∫ 4x 2 − 6x + 1 dx x+8 9. ∫ 5x2 − x − 7 dx 2x + 3 10. ∫ 4x2 − x + 9 dx 5x +1 ∫11. 2x3 − x2 + 2x + 3 dx x−5 12. ∫ x 4+x+ 1 dx 2−x 13. ∫ x5 −x+ 5 dx x−7 ∫14. 2x3 − 5x2 − 2x − 5 dx 3x + 2 15. ∫ x3 − x + 2 dx 5x − 3 16. ∫ 5x3 + 2x + 7 dx 2x −9 ຮູບຮ່ າງ 2.6: ∫ ( x − m) ( x P ( x ) dx k )( x − r ) − n)(x − ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1: ວາງ ( x − m)( x P(x ) − k ) ( x − r ) = x A + x B n + x C k + D r − n)( −m − − x− x - ຂນຶ້ ພູດຮ່ ວມ P(x) = A(x − n)(x − k)(x − r) + B(x − m)(x − k)(x − r) + C(x − m)(x − n)(x − r) + D(x − m)(x − n)(x − k) - ນໍາໃຊກ້ ານເທ່ າົ ກນັ ຂອງພະຫຸພດົ ສາ້ ງເປັນລະບບົ ສມົ ຜນົ - ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ A,B,C,D ບາດກາ້ ວ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫  x A + x B + C + D r  dx  −m −n x−k x−  ບາດກາ້ ວ 3: ສະຫຸຼບ.

54 ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ (x 3x − 8 3) dx − 2)(x − ບດົ ແກ:້ ບາດກາ້ ວ 1: ວາງ (x 3x − 8 3) = A + B x−2 x −3 − 2)(x − - ຂນຶ້ ພູດຮ່ ວມ 3x − 8 = A (x − 3) + B(x − 2) (x − 2)( x − 3) ( x − 2)(x − 3) 3x − 8 = A(x − 3) + B(x − 2) 3x − 8 = Ax − 3A + Bx − 2B 3x − 8 = (A + B) x + (−3A − 2B) - ນໍາໃຊກ້ ານເທ່ າົ ກນັ ຂອງສອງພະຫຸພດົ ສາ້ ງເປັນລະບບົ ສມົ ຜນົ −A3+AB−=2B3 = −8 - ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ A + B = 3 = −8 ⇔ A = 2, B = 1 −3A − 2B ສະແດງວ່ າ: (x 3x − 8 = 2 + 1 x−2 x −3 − 2)(x − 3) ບາດກາ້ ວ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫  x 2 2 + x 1 3  dx − − = ∫ x 2 2 dx +∫ x 1 3 dx − − = 2∫ x 1 2 d ( x − 2) + ∫ x 1 3 d ( x − 3) − − = 2ln x − 2 + ln x − 3 + C = ln (x − 2)2 + ln x − 3 + C = ln ( x − 2)2 x − 3  + C

55 ບາດກາ້ ວ 3: ດ່ ງັ ນນັ້ ∫ ( x 3x − 8 3) dx = ln ( x − 2 )2 x − 3  + C . − 2)(x − ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ ( x 2x − 3 2) dx −1)(x − 2. ∫ ( x − x+ 7 − 5) dx x 4)( 3. ∫ ( x 5x − 2 3) dx + 2)(x + 4. ∫ ( x + x x − 2) dx 1)( 5. ∫ ( x 7x − 3 4) dx − 3)(x − 6. ∫ ( x 8x + 9 1) dx − 7)(x + 7. ∫ ( 2x 2x −1 − 4) dx − 1) ( x 8. ∫ ( x − 3x − 5 − 2) dx 4)(5x 9. ∫ (3x 11x −6 − 7) dx + 2) (5x 10. ∫ ( 4x 7x − 12 − 5) dx 2x + 3)( 11. ∫ ( x − 1)( x + 5 ( x − 3) dx x − 2) 12. ∫ ( x − x2 +x+ 1 − 6 ) dx 4)( x − 5) (x 13. ∫ ( x + 2x2 − 5x + 3 + 4 ) dx x 2)( x + 3)(

56 14. ∫ ( x + x2 −x+ 6 + 5) dx 1)( x − 2) (x 15. ∫ ( x − 3) 8x + 7 x − 5) dx (x − 4)( 16. ∫ ( x − x2 − 5x + 9 + 2 ) dx 7)(x + 1) ( x 17. ∫ ( 2x 2x −1 − 4) dx − 1) ( x 18. ∫ ( x − 4 x3 − x2 + 5 − 3x ) dx )(5x − 2)(2 19. ∫ ( 3x + x2 + 5x + 6 − 3x ) dx 2)( 5x − 7) (2 20. ∫ ( 4x + 3 5x2 − x −1 + 11) dx )(2x − 5)(3x 21. ∫ x 2x 2 − 5x − 3 ) dx (x −1)(x + 2 22. ∫ ( x − 1) ( x x3 + 2 1) ( x + 2 ) dx − 2)(x + 23. ∫ x 5x2 + 6x +1 dx (x −2 )(x − 3) 24. ∫ ( 3x2 + 3x + 3 ) dx + 2 x −1)2 (x 25. ∫ ( x − 6x 2 + 18x x + 1) dx 1)3 ( x − 2)( 26. ∫ ( x2 − 3x + 2 dx x+ 1)4 (x + 3) ຮູບຮ່ າງ 2.7: ∫ ( x − k P (x ) dx + c ) + bx )( ax 2

57 ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1: ວາງ (x − P(x) bx + c) = x A + Bx +C c −m ax2 + bx + k)(ax2 + - ຂນຶ້ ພູດຮ່ ວມ P(x) = A(ax2 + bx + c) + (Bx + C)(x − m) - ນໍາໃຊກ້ ານເທ່ າົ ກນັ ຂອງໄຕພດົ ສາ້ ງເປັນລະບບົ ສມົ ຜນົ - ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ A,B,C ບາດກາ້ ວ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫  x A + Bx +C c  dx −m ax2 + bx + ບາດກາ້ ວ 3: ສະຫຸຼບ. ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ (x2 + x x2 +1 − x + 1) dx + 1) ( x 2 ວທິ ແີ ກ:້ ບາດກາ້ ວ 1: ວາງ (x2 x2 +1 −x + 1) = Ax + B + Cx + D x2 + x +1 x2 − x +1 + x +1)(x2 - ຂນຶ້ ພູດຮ່ ວມ x2 +1 = ( Ax + B)( x2 − x +1) + (Bx + D)(x2 + x + 1) (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) ( x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 1) x2 + 1 = (Ax + B)(x2 − x + 1) + (Cx + D)(x2 + x + 1) x2 +1= (A + C)x3 + (−A + B + C + D)x2 + (A − B + C + D)x + B + D - ນໍາໃຊກ້ ານເທ່ າົ ກນັ ຂອງສອງພະຫຸພດົ ສາ້ ງເປັນລະບບົ ສມົ ຜນົ A + C = 0 −AA−+BB++CC++DD==01 B + D = 1 - ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ຊອກຫາຄ່ າ A,B,C,D

58 A + C = 0 ⇔ A + C = 0 ⇔ A = C = 0 A−A−+BB++CC++DD==01  1 B = D = 1 B + D = 1 C + D = 2 2 BD B 0 − D = 1 + = 1 1   ບາດກາ້ ວ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫  2 +1 + 2  dx x2 +x x2 −x + 1   = 1 ∫  x2 1 +1 + x2 1 + 1  dx 2 +x −x = 1  ∫ x2 1 + 1 dx + ∫ x2 1 + dx  2 +x −x 1 = 1  ∫ x2 1 + 1 dx + ∫ x2 1 + dx  2 +x −x 1     = 1  ∫ 1 dx + ∫ 1 dx  2  2 +  2 2 +  2    x + 1  3   x − 1  3   2  2  2  2  = 1  ∫ d x + 1  + ∫ d  x − 1   2  + 2 3 −1 2 + 2 3    x + 1 2  2 2  x  2 2   2   2            ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u ( x) = 1 arct an u(x) + C u ( x )2 + a2 a a  x+1 − 1   ar tan 2 + x  = 1  1 1 arctan 2  + C 2  3 33 3  2 22 2 =  1 ar tan 2x + 1 + 1 arctan 2x − 1  + C  33 3 3 

59 = 1  ar tan 2x + 1 + arctan 2x −1  + C 3  3 3  ບາດກາ້ ວ 3: ດ່ ງັ ນນັ້ ∫ (x2 x2 +1 +1) dx = 1  ar tan 2x +1 + arctan 2x −1  + C . 3  3 3  + x +1)(x2 −x ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ ( x 2 + 3x 2x2 + 5 + x + 2) dx + 5)(x2 2. ∫ ( x x3 + 2x +1 3) dx 2+ 2 +1)(x 3. ∫ ( x2 + 2x + x−2 + 3x + 11) dx 7)(x2 4. ∫ ( x2 + x2 − 3x + 4) dx 5x + 7)(x2 5. ∫ ( x 2 − x + 2x3 − 1 4x + 12 ) dx − 7)(x2 6. ∫ ( x 2 + x3 − x +1 2 + 1) dx 2x + 2)(x 7. ∫ ( x2 + x x +1 x 2 + 5) dx + 2)( 8. ∫ ( x + 1) 4x − 3 + 5) dx (x2 − 3x 9. ∫ ( x + 1) ( 1 − x + 1) dx x2 10. ∫(x 1 −x +1) dx + 1) ( x 2 11. ∫(x x+2 + 7) dx − 2)(x2 12. ∫ (x2 x3 + 2x + 5 x + 9) dx + 5x + 7)(x2 +

60 13. ∫ (x2 − 2x 2x3 −1 − x + 5) dx + 3)(x2 14. ∫ (x2 − x3 − x + 5) dx . x + 2)(x ບດົ ທີ 3 - ເຄາົ້ ຕາໍ ລາອະປົກກະຕິ

61 ຮູບຮ່ າງ 3.1: ∫ dx ax2 + bx + c ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ∫ dx = ∫ dx + bx ax 2 + c  + b + c  a a a x2 x =1∫ dx a x2 + b x + c aa =1∫ dx b 2  b 2 a       x + a  −  a  +c  2 2  a    ∫= 1 dx a  x + b 2 −  b 2 + c 2a 2a a ∫= 1 dx a  x + b 2 − b2 + c 2a  4a 2 a 1 d  x + b  a 2a = ∫ 2 −b2 + 4ac  x + b  + 4a 2 2a ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u (x) + u (x)2 + k + C u ( x)2 + k = 1 ln x + b +  x + b 2 + −b2 + 4ac +C. a 2a 2a  4a 2 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ dx 2x2 − 5x + 6 ບດົ ແກ:້

62 ∫ dx = ∫ dx − 5x 2x 2 + 6 2 − 5 + 3 2 x2 x =1∫ dx 2 x2 − 5 x + 3 2 = 1 ∫ dx 2  5 2  5 2      x − 2  −  2  +3  2   2  ∫= 1 dx 2  x − 5 2 −  5 2 + 3 4 4 =1∫ dx 2  x − 5 2 − 25 + 3 4  16 = 1 ∫ dx 2  x − 5 2 + −25 + 48 4 16 1 d  x − 5  2 4 = ∫ 2  x − 5 + 23 4 16 ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = ln u (x) + u (x)2 + k + C u ( x)2 + k = 1 ln x − 5 +  x − 5 2 + 23 + C. 24 4  16 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ dx 4 − 6x − 3x2 ບດົ ແກ:້

63 ∫ dx = ∫ dx 6x − 4 − 3x2 3  4 − 2x − x 2  3 = 1 ∫ dx 3 4 − 2x − x2 3 =1∫ dx 3 4 − (2x + x2 ) 3 =1∫ dx 3 4 − (1 + x )2 − 1 3 =1∫ dx 3 4 +1− (1+ x)2 3 = 1 ∫ dx 3 7 − (1+ x)2 3 =1∫ d(1+ x) 3  7 2 − (1 + )2    3 x ນໍາໃຊສ້ ູດ ∫ d u (x) = arcsin u (x) + C a2 − u ( x )2 a = 1 arcsin 1 + x + C 37 3 = 1 arcsin 3 (1+ x) + C . 37 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້

64 1. ∫ dx 4x2 −10x − 5 2. ∫ dx 2 2 x2 − 6x + 3 3. ∫ dx 2x2 + x + 3 4. ∫ dx 9x2 − 6x +1 5. ∫ dx 3x2 − 8x + 1 6. ∫ dx 7 − 8x −10x2 7. ∫ dx 5 −12x − 4 2 x2 8. ∫ dx 2x2 − 3x + 9 9. ∫ dx 3x2 − 5x + 4 10. ∫ 9−3 dx 2 x2 2x− ຮູບຮ່ າງ 3.2: ∫ (mx + n)dx ax2 + bx + c ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ ∫ ( mx + n ) dx = ∫  mx dx + ax 2 n +  dx +  ax2 + bx + c + bx  ax 2 bx + c c =∫ ax 2 mx + dx + ∫ n dx + bx ax2 + bx + c c = m∫ ax 2 x + dx + n∫ 1 dx + bx ax2 + bx + c c

65 = m ∫ 2ax + dx + n ∫ 1 dx 2a ax2 + bx ax2 + bx + c c = m ∫ 2ax + b−b dx + n ∫ 1 dx 2a ax 2 + bx + c ax2 + bx + c  2ax + b − b  1  ax2 + bx + c + bx  dx ∫ ∫= m  +  dx + n ax2 + bx + c 2a ax 2 c = m ∫ 2ax +b dx − m ∫ ax 2 b + dx + n∫ 1 dx 2a ax2 + bx + 2a + bx ax2 + bx + c c c = m ∫ 2ax +b dx − mb ∫ ax 2 1 + dx + n∫ 1 dx 2a ax2 + bx + 2a + bx ax2 + bx + c c c = m ∫ 2ax +b dx +  n − mb  ∫ 1 dx 2a ax2 + bx +  2a  ax2 + bx + c c = m ∫ 2ax +b dx +  n − mb  ∫ 1 dx 2a ax2 + bx + 2a ax2 + bx + c c ( ) ( )∫ ∫= m −1  − mb  1 dx 2a 2a ax2 + bx + c 2d ax2 + bx + c + n   a x2 + b x + c a a ( )= m . − 1 +1 2 ∫2a ax 2 + bx + c + 1  n − mb  dx a 2a −1 +1  b 2  b 2 2      x + a  −  a  +c 2   2  a     ( )1 ax2 + bx + c 2 1   1 a ∫= m . + n − mb dx 2a 2a  b 2  b 2 2     x + a  −  a  +c  2   2  a    ∫= m 1  mb  dx a  2a  a ax2 + bx + c + n − 2 2    x + b −  b + c 2a 2a a

66 ∫= m 1  − mb  dx a 2a a ax2 + bx + c + n 2  x + b − b2 + c 2a 4a 2 a ∫= m 1  mb  dx a  2a  a ax2 + bx + c + n − 2   x + b − b2 + 4ac 2a 4a 2 4a 2 ∫= m 1  mb  d  x + b  a a 2a 2a ax2 + bx + c + n − 2 −b2 + 4ac  x + b  + 4a 2 2a =m ax2 + bx + c + 1  n − mb  ln x + b +  x + b 2 + −b2 + 4ac +C a a 2a 2a 2a  4a 2 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ (11x + 3) dx 2x2 + 9x − 4 ບດົ ແກ:້ ∫ (11x + 3) dx = ∫ (11x + 3) dx + −4 2x2 9x 2 x2 + 9 x − 2  2 = 1 ∫ (11x + 3) dx 2 x2 + 9 x − 2 2     = 1 ∫  11x + 3  dx 2  x2 + 9 x − 2  2     = 1 ∫  11x + 3  dx 2  x2 + 9 x − 2 x2 + 9 x − 2  2 2

67 = 1 ∫ 11x dx + 1 ∫ 3 dx 2 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 22 = 11 ∫ x dx + 3 ∫ 1 dx 2 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 22 = 11 ∫ 2x dx + 3 ∫ 1 dx dx 2 2 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 22 = 11 ∫ 2x + 9 − 9 dx + 3 ∫ 1 dx 22 22 x2 + 9 x − 2 x2 + 9 x − 2 2 2 2  2x + 9 9   2−  = 11 ∫  2 dx + 3 ∫ 1 dx 22  x2 + 9 x − 2 9  2 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 2 x − 2 2 2x + 9 9 2 = 11 ∫ dx − 11 ∫ 2 dx + 3 ∫ 1 dx x2 + 9 x − 2 22 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 22 2 2 2 11 d  x2 + 9 x − 2  99 1 dx + 3 ∫ 1 dx 2 x2 + 9 x − 2 = ∫ dx − ∫ 2 2 x2 + 9 x − 2 42 x2 + 9 x − 2 2 2 2 2 11 d  x2 + 9 x − 2  99 1 dx + 12 ∫ 1 dx 2 x2 + 9 x − 2 = ∫ dx − ∫ 2 2 x2 + 9 x − 2 42 x2 + 9 x − 2 42 2 2 2 11 d  x2 + 9 x − 2  87 1 dx 2 x2 + 9 x − 2 = ∫ dx − ∫ 2 2 x2 + 9 x − 2 42 2 2

68 d  x 2 + 9 x − 2  2 ∫ ∫= 11 dx − 87 1 dx 22 1 42  9 2  9 2  2 2 x2 + 9 x −  + 2  −  2  −2 2 x 2   2      = 11  x2 + 9 x − 2 − 1 d  x2 + 9 x − 2  − 87 1 dx 2  2 2 42 ∫ ∫2 2  x + 9 2 −  9 2 − 2 4  4   9 − 1 +1 2 2 x2 + x − 2 11 87 1 ∫= − dx 2 2 −1 +1 42 2  x + 9 − 81 − 2 2 4 16  x2  1   + 9 x − 2 2 d x + 9 2 4 11 87 ∫= − dx 22 1 42 2  x + 9 − 113 2 4 16  x2 1 d  x + 9  − 2 2 4 11∫= + 9x − 87 dx 2 2 42 2  + 9 − 113 x 4 16 = 11 x2 + 9 x − 2 − 87 ln  x + 9  +  x + 9 2 − 113 +C. 2 2 42  4   4  16 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ (5x −1)dx −3x2 + 8x + 4 ບດົ ແກ:້ ∫ (5x −1)dx = ∫ (5x −1)dx −3x2 + 8x + 4 3 −x2 + 8 x + 4  3 3

69 = 1 ∫ (5x −1)dx 3 −x2 + 8 x + 4 33     = 1 ∫  5x − 1  dx 3  −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4  33 3 3 = 5 ∫ x dx − 1 ∫ 1 dx 3 −x2 + 8 x + 4 3 −x2 + 8 x + 4 33 33 = −5 ∫ −2x dx − 1 ∫ 1 dx 2 3 −x2 + 8 x + 4 3 −x2 + 8 x + 4 33 33 = − 5 ∫ −2x + 8 − 8 dx − 1 ∫ 1 dx 2 3 33 −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4 3 33 33  −2x + 8 −8   3+  = − 5 ∫  3 dx − 1 ∫ dx 2 3  −x2 + 8 x + 4 8 4  3 −x2 + 8 x + 4 33 −x2 + 3 x + 3 33 = − 5 ∫ −2x + 8 dx − 5 ∫ − 8 dx −1∫ dx 2 3 3 3 −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4 23 −x2 + 8 x + 4 3 33 33 33 = − 5 ∫ −2x + 8 dx + 40 ∫ dx − 1 ∫ dx 3 3 −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4 3 2 −x2 + 8 x + 4 63 33 33 33

70 = − 5 ∫ −2x + 8 dx + 40 ∫ dx − 6 ∫ dx 3 3 −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4 6 3 2 −x2 + 8 x + 4 63 33 33 33 = − 5 ∫ −2x + 8 dx + 17 ∫ dx 3 3 −x2 + 8 x + 4 2 −x2 + 8 x + 4 33 33 33 5 d  −x2 + 8 x + 4  17 dx 3 3 =− ∫ dx + ∫ 2 3 −x2 + 8 x + 4 33   4 − x2 − 8 x 33 3 3 d  −x2 + 8 x + 4  ∫ ∫= − 5 3 3 17 dx + 23 1     2 33 2  2  −x2 + 8 + 4 8   8   3 x 3 4 − −  −    3 3   3   x 2  2  =− 5  −x2 + 8 x + 4 − 1 d  −x2 + 8 x + 4  + 17 dx 3 3  2 3 3 33 ∫ ∫2 3 4 −  − 8 2 −  8 2  3 x 6  6    =− 5  −x2 + 8 x + 4 − 1 d  −x2 + 8 x + 4  + 17 dx  3 3  2  3 3  33 ∫ ∫2 3 4 −  − 4 2 −  4 2  3 x 3 3    8 4 − 1 +1 3 3 2 −x2 + x + 5 17 dx ∫= − + 2 3 −1 +1 33 2 4 −  x − 4 + 16 2 3 3 9

71  1  2 5 −x2 + 8 x + 4 17 dx 3 3 ∫= − + 23 1 33 2 28 −  x − 4 2 9 3 5  8 4 2 ∫1 17 d  x − 4  3  3 3  33 3 =− − x 2 + x + +  28 2 −  x − 4 2  3  3    5  −x2 8x 4 1 17 x −4 3 3 3 33 3 =− + + 2 + arcsin + C  28 3  −x2 1 3x − 4 2 28 =− 5 + 8 x + 4  + 17 arcsin + C . 3 3 3 33 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ (8x + 7)dx 4x2 + 16x − 3 2. ∫ (x + 4)dx x2 + 4x + 5 3. ∫ (x + 2)dx x2 + 2x + 2 4. ∫ (x −1)dx −x2 − 4x + 5 5. ∫ (5 − 4x)dx 3x2 − 2x + 1

72 6. ∫ (3x + 7)dx 2x2 − 5x −1 7. ∫ (8x −11)dx 9 − 6x − 4x2 8. ∫ (4 − 5x)dx 6 + 7x − 5x2 9. ∫ (7x − 4)dx x2 − 2x − 3 10. ∫ (9x − 5)dx . 2 − 4x − 4x2 ( )∫ຮູບຮ່ າງ 3.3: p xm a + bxn dx ແນະນາໍ ວທິ ແີ ກ:້ - ຖາ້ ວ່ າ m +1 ເປັນຈາໍ ນວນຖວ້ ນ. ເຮາົ ວາງ a + bxn = ts ເຊ່ ງິ ວ່ າ s ແມ່ ນພຸດຂອງ p . n - ຖາ້ ວ່ າ m + 1 + p ເປັນຈາໍ ນວນຖວ້ ນ. ເຮາົ ວາງ ax−n + b = ts ເຊ່ ງິ ວ່ າ s ແມ່ ນພຸດຂອງ p . n ∫ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ 3 1 + 4 x dx x ບດົ ແກ:້  1 1 3 ∫ ∫3 1+ 4 x dx = −1 + x 1  dx 4 x2 x  ສະແດງວ່ າ:

73 m = − 1 , n = 1 , p = 1 , s = 3, a = 1, b = 1 243 m +1 = −1 +1 = 2 ເປັນຈາໍ ນວນຖວ້ ນ n 2 1 4 1 ວາງ 1+ x 4 = t3 1 1+ x4 = t3 1 x4 =t3 −1 ( )x = t3 −1 4 ( )dx = d t3 −1 4 ( ) ( )dx = 4 t3 −1 ′ t3 −1 3 dt ( )dx = 12t2 t3 −1 3 dt ( )dx = 12t2 t3 −1 3 dt ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້  1 −1 1 3 2 −1 1  4 ∫ ∫ ( ) ( ) ( )x 2 + x dx =  t3 −1 4 t3 1 t3 −1 3 dt    3 .12t2 ( ) ( )∫= 12 t3 −1 −2 t3 t3 −1 3 dt = 12∫ t3 (t3 −1)dt = 12∫ (t6 − t3 )dt =  t7 − t4  +C 12 7 4  = 12 t7 − 3t4 + C 7 ( ) ( )= 12 7 3 1+ 4 x 7 3 1+ 4 x 4 −3 + C.

74 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ ∫1. x 3 1 + x2 dx 2. ∫ x2 1 + x dx 3. ∫ x2 3 − x dx ∫( )1 4. x3 + 3 4 x5dx ∫5. x5 x3 + 1dx ∫6. x3 dx 3 x2 + 4 7. ∫ x − 4 dx x 8. ∫ dx x 1− x3 ∫ ∫ ∫ຮູບຮ່ າງ 3.4: a2 − b2x2 dx ; a2 + b2x2 dx ; b2x2 − a2 dx ແນະນາໍ ສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : sin2 x = 1− cos2 x cos2 x = 1− sin2 x 1 + tan 2 x = 1 1 + co t 2 x = 1 cos2 sin2 x x sin2 x = 1 − cos 2x cos2 x = 1 + cos 2x 2 2 d(sin x) = cos xdx d(cos x) = −sin xdx d ( tan x ) = dx d ( cot x ) = − 1 dx cos2 sin 2 x x ຕວົ ຢ່ າງ 1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ 9 − x2 dx ບດົ ແກ:້ ວາງ x = 3cost cost = x 3

75 t = arccos x 3 ເຮາົ ມີ x = 3cost dx = d(3cost) dx = −3sin t dt ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 9 − x2 dx = ∫ 9 − (3cost)2 (−3sin tdt) = ∫ 9 − 9.cos2 t (−3sin t dt) = ∫ 9(1− cos2 t) (−3sin tdt) = ∫ 9.sin2 t (−3sin t dt) = ∫ 3.sin t (−3sin t dt) = −9∫ sin2 t dt = −9∫ 1 − cos 2t dt 2 = − 9 ∫ (1 − cos 2t )dt 2 = − 9 ∫ dt + 9 ∫ cos 2t dt 2 2 = − 9 ∫ dt + 9 ∫ cos 2t.2dt 2 2.2 = − 9 t + 9 ∫ cos 2t d ( 2t ) 2 4 = − 9 t + 9 sin 2t + C ເຊ່ ງິ ວ່ າ t = arccos x 24 3 = − 9 arccos x + 9 sin  2 arccos x  + C . 2 3 4  3  ∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ 1 dx x2 4 + x2 ບດົ ແກ:້ ວາງ x = 2 tan t

76 tan t = x 2 t = arctan x 2 ເຮາົ ມີ x = 2 tan t dx = d(2 tan x) dx = 2 dt cos2 t ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x2 1 dx = ∫ (2 tan t)2 1 ( )2 . 2 dt 4 + x2 4 cos2t + 2 tan t ∫= sin2 1 . 2 2t dt cos2 4+ cos 4. t ( 2 tan t )2 t ∫= cos2 t . 2 dt 4 sin2 t 4 + 4 tan2 t cos2t ( )∫= 1 dt 2sin2 t 4 1 + tan2 t = ∫ 1 dt 4sin2 t 1 cos2 t =∫ 1 1 dt 4sin2 t. cos t = ∫ cost dt 4sin2 t = 1 ∫ d(sin t ) 4 sin2 t = 1 ∫ sin 2 t d ( sin t ) 4 = 1 . sin−2+1 t + C 4 −2 + 1

= − 1 .sin−1 t + C 77 4 ບດົ ເຝິດຫດັ =− 1 +C 4sin t ເຮາົ ມ:ີ t = arctan x 2 = −  1  + C . arctan 4sin x 2 ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x2 − 9 dx x ∫ x3 2. dx 2 − x2 3. ∫ 1 dx x2 + 3 x 4. ∫ 1− x2 dx 5. ∫ 16 + x2 dx 6. ∫ x2 − 4 dx 7. ∫ 9 + x2 dx 8. ∫ 2 + x2 dx 9. ∫ 36 − x2 dx 10. ∫ 9 + x2 dx 11. ∫ x2 − 5 dx 12. ∫ 7 + x2 dx

78 ບດົ ທີ 4 - ເຄາົ້ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາໄຕມມູ ມຕິ ິ ຮູບຮ່ າງ 4.1: ∫ R (sin x,cos x )dx ແນະນາໍ ບນັ ດາສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : t = tan x sin x = 2t 2 2 +t 1 x = arctan t 2 cos x = 1 − t 2 x = 2arctan t 1 + t 2 dx = d(2arctan t) dx = 2 dt + t2 1 a.x2 + b.x + c = a ( x − x )( x − x ) a.x2 + + =  + b 2 −  b 2 + 1 2  2a   2a  b.x c a.x c ∫ u2 1 a2 du = 1 arctan u + C ∫ u2 1 du = 1 ln u−a +C + a a − a2 2a u+a ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ 1 + 1 dx c os x

79 ບດົ ແກ:້ +∫ ∫11 dx = 1 t2 . 2 dt cos 1− t2 1 + t2 x 1 + 1+ ∫= 1+ 1 . 2 2 dt +1− 1 +t t2 t2 1+ t2 =∫ 1 2 2 . 1+ t2 dt 1+ t2 = ∫dt = t + C ເຊ່ ງິ ວ່ າ t = tan x 2 = tan x + C . 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫1+ 1 dx x− sin cos x ບດົ ແກ:້ +∫ ∫1 1 dx = 1 − 2 . 2 2 dt x− + 2 1 +t sin cos x 1 + 2t 2 − 1 t +t 1 t 1 ∫= + t2 + 1 − + t2 . 2 dt 2t 1 + t2 1 1 1+ t2 ∫= 2 1 . 2 2 dt + 1 +t 2t 2t 1+ t2 12 ( )∫= . dt t2 + t 1 + 2 2 t 1+ t2 ( )∫= 1 . 2 2 dt . t2 +t 2 +t 1 1+ t2

80 = ∫ 2 1 dt + t t = ∫ 1 1) dt t (t + = ∫  1 − t 1 1 dt  t + = ∫ 1 dt − ∫ 1 dt t + 1 t = ln t − ∫ 1 d ( t + 1) + t 1 = ln t − ln t +1 + C = ln t + C ເຊ່ ງິ ວ່ າ t = tan x +1 2 t tan x = ln 2 + C. x +1 tan 2 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ 4sin dx x x − 3cos ວທິ ແີ ກ:້ dx 2 dt x − 3cos 1+ t2 ∫ ∫4sin = − x 2t 3.1 + t 2 4. +t − 1 t 2 1 2 2 dt 1+ t2 ∫= 8t − 3 + 3t2 1+ t2 2 (1+ t2 )dt = ∫ (3t2 + 8t − 3) (1+ t2 ) = ∫ 3t 2 2 − dt + 8t 3

81 = ∫ (3t − 2 + 3) dt 1)(t = ∫[ 3 1) − 1 3) ]dt 5(3t − 5(t + = 3 ∫ 1 dt − 1 ∫ t 1 dt 5 3t − 1 5 + 3 = 1 ∫ 3t1− 1.3dt − 1 ∫ t 1 dt 5 5 + 3 = 1 ∫ 1 d (3t − 1) − 1 ∫ 1 d (t + 3) 5 3t −1 5 + 3 t = 1 ln 3t −1 − 1 ln t + 3 + C 55 = 1 ln 3t −1 + C ເຊ່ ງິ ວ່ າ t = tan x 5 t+3 2 = 1 ln 3tan x −1 + C. 5 2 tan x + 3 2 ບດົ ເຝິດຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ 1 dx x + sin 2. ∫ 3sin dx x x + 4cos 3. ∫ 1 dx x + cos 4. ∫ 3 − dx x 2 cos 5. ∫ 2 dx x + sin 6. ∫ 1 dx x − cos

82 7. ∫ 2sin dx 2x x + sin 8. ∫ sin dx x x + cos 9. ∫ sin dx x x − cos 10. ∫ 1 dx x − sin 11. ∫ 4 − dx x 3sin 12. ∫ 1 − dx x 5cos 13. ∫ 1 − dx sin x cos x + 14. ∫ 2sin dx cos x x− 15. ∫ 3 + dx x 2 cos 16. ∫ 1 − dx x 2sin ຮູບຮ່ າງ 4.2: ∫ sin Ax.sin Bx dx ແນະນາໍ ສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : a. sin A .sin B = 1 cos ( A − B) − cos ( A + B) 2 b. sin (−α ) = −sinα c. cos(−α ) = cosα ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin 8x.sin 5x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin 8x sin 5x dx = ∫ 1 cos (8x − 5x ) − cos (8x + 5x )dx 2 = ∫ 1 [cos 3x − cos13x]dx 2

83 = 1 ∫ cos 3x dx − 1 ∫ cos13x dx 2 2 = 1 ∫ cos3x.3dx − 1 ∫ cos13x.13dx 6 26 = 1 ∫ cos 3x d (3x ) − 1 ∫ cos13x d (13x ) 6 26 = 1 sin 3x − 1 sin13x + C . 6 26 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin 3x.sin 9x dx ∫ sin 3x sin 9x dx = ∫ 1 cos (3x − 9x ) − cos (3x + 9x )dx 2 = ∫ 1 cos ( −6x ) − cos12x  dx 2 = 1 ∫ cos 6x dx − 1 ∫ cos12x dx 2 2 = 1 ∫ cos 6x .6dx − 1 ∫ cos12x. 12dx 12 24 = 1 ∫ cos 6x d(6x) − 1 ∫ cos12x d(12x) 12 24 = 1 sin 6x − 1 sin12x + C . 12 24 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ sin 2x.sin 3x dx 2. ∫ sin 3x.sin 2x dx 3. ∫ sin x.sin 2x dx 4. ∫ sin 2x.sin x dx 5. ∫ sin 7x.sin 5x dx 6. ∫ sin 5x.sin 7x dx 7. ∫ sin 7x sin 3xdx

84 8. ∫ sin 9x sin 7xdx 9. ∫ sin 2x sin 5xdx 10. ∫ sin 3x sin 9xdx ຮູບຮ່ າງ 4.3: ∫ cos Ax.cos Bx dx ແນະນາໍ ສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : a. cos A.cos B = 1 cos ( A − B) + cos(A + B) 2 b. sin (−α ) = −sinα c. cos(−α ) = cosα ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ cos 4x cos x dx ບດົ ແກ:້ ∫ cos 4x cos x dx = ∫ 1 cos ( 4x − x) + cos(4x + x )dx 2 = ∫ 1 [cos 3x + cos 5x]dx 2 = 1 ∫ cos3x dx + 1 ∫ cos5x dx 2 2 = 1 ∫ cos 3x.3dx + 1 ∫ cos 5x.5dx 6 10 = 1 ∫ cos 3x d (3x ) + 1 ∫ cos 5x d (5x ) 6 10 = 1 sin 3x + 1 sin 5x + C . 6 10 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ cos 2x cos 7x dx ∫ cos 2x cos 7x dx = ∫ 1 cos ( 2x − 7x ) + cos ( 2x + 7x )dx 2 = ∫ 1 cos ( −5x ) + cos 9x  dx 2

85 = 1 ∫ cos 5x dx + 1 ∫ cos9x dx 2 2 = 1 ∫ cos5x.5dx + 1 ∫ cos9x.9dx 10 18 = 1 ∫ cos 5x d (5x ) + 1 ∫ cos 9x d (9x ) 10 18 = 1 sin 5x + 1 sin 9x + C . 10 18 ບດົ ເຝຶກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ cos 2x.cos3x dx 2. ∫ cos3x.cos 2x dx 3. ∫ cos x.cos 2x dx 4. ∫ cos 2x.cos x dx 5. ∫ cos 7x.cos5x dx 6. ∫ cos5x.cos 7x dx 7. ∫ cos 4x cos xdx 8. ∫ cos 2x cos xdx 9. ∫ cos3x cos 4xdx 10. ∫ cos5x cos12xdx ຮູບຮ່ າງ 4.4: ∫ sin Ax.cos Bx dx ແນະນາໍ ສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : a. sin Ax.cos B = 1 sin (A − B) + sin (A + B) 2 b. sin (−α ) = −sinα c. cos(−α ) = cosα ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin 5x cos 3x dx ບດົ ແກ:້

86 ∫ sin 5x cos 3x dx = ∫ 1 sin (5x − 3x ) + sin (5x + 3x )dx 2 = ∫ 1 [sin 2x +sin 8x]dx 2 = 1 ∫ sin 2x dx + 1 ∫ sin 8x dx 2 2 = 1 ∫ sin 2x .2dx + 1 ∫ sin 8x .8dx 4 16 = 1 ∫ sin 2xd (2x ) + 1 ∫ sin 8x d (8x ) 4 16 = 1 (−cos 2x) + 1 (−cos8x) + C 4 16 = − 1 cos 2x − 1 cos8x + C. 4 16 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin x cos 7x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin x cos 7x dx = ∫ 1 sin ( x − 7x ) + sin ( x + 7x)dx 2 = ∫ 1 sin ( −6x ) + sin 8x  dx 2 = − 1 ∫ sin 6x dx + 1 ∫ sin 8x dx 22 = −1 ∫ sin 6x 6dx + 1 ∫ sin 8x 8dx 12 16 = − 1 ∫ sin 6x .d ( 6x ) + 1 ∫ sin 8x.d (8x ) 12 16 = − 1 (−cos 6x) + 1 (− cos8x) + C 12 16 = 1 cos 6x − 1 cos8x + C . 12 16 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້

87 1. ∫ sin 7x cos 4x dx 2. ∫ sin12x cos8xdx 3. ∫ sin 2x cos5xdx 4. ∫ sin x cos 4xdx 5. ∫ cos 2x sin 3xdx 6. ∫ cos5x sin xdx 7. ∫ cos3x sin 4xdx 8. ∫ cos5x sin 7xdx ຮູບຮ່ າງ 4.5: ∫ sinn xdx ; ∫ cosn x dx ແນະນາໍ ບນັ ດາສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : sin2 x = 1 − cos2 x cos2 x = 1 − sin2 x sin2 x = 1 − cos 2x 2 cos2 x = 1 + cos 2x 2 sin3 x = −sin 3x + 3sin x 4 cos3 x = cos3x + 3cos x 4 ( )a + b n = C0na nb0 + C1na n b−1 1 + C 2 a n − 2b2 + .... + C a bn−1 1 n−1 + Cnna 0bn n n Cnk = n! k )! k!(n − m! = m(m −1)...2.1.0! 0! = 1 ແນະນາໍ ວທິ ຊີ ອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ sinn x dx ; ∫ cosn x dx - ຖາ້ ວ່ າ n ເປັນຈາໍ ນວນຄ່ ູແມ່ ນນໍາໃຊສ້ ູດຫຸຼດກາໍ ລງັ - ຖາ້ ວ່ າ n = 3 ແມ່ ນນໍາໃຊສ້ ູດຫຸດຼ ກໍາລງັ

88 - ຖາ້ ວ່ າ n ≥ 3 ເປັນຈາໍ ນວນຄກີ (n = 2p + 1) ແມ່ ນປະຕບິ ດັ ດ່ ງັ ນ:ີ້ ສໍາລບັ : ∫(sin x)n dx = ∫ (sin )x 2p+1 dx = ∫(sin x)2p . sin x dx = ∫(sin x)2p . sin x dx = ∫ (sin2 x)p . sin x dx = −∫ (1 − cos2 x )p (−sin x dx) = −∫ (1 − cos2 x )p . d (cos x ) = −∫ (1 − cos2 x )p . d (cos x ) = −∫ 1 + (−cos2 x )p . d (cos x ) ສໍາລບັ : ∫(cos x)n dx = ∫ (cos )x 2p+1 dx = ∫(cos x)2p . cos x dx = ∫(cos x)2p . cos x dx = ∫ (cos2 x )p . cos x dx = ∫ (1 − sin2 x )p d (sin x ) = −∫ 1 + (−sin2 x )p . d (sin x ) ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ cos4 3x dx ບດົ ແກ:້ ∫ cos4 3x dx = ∫ (cos2 3x )2 dx = ∫  1+ cos 6x 2 dx 2  = 1 ∫ (1 + cos6x )2 dx 4 = 1 ∫ (1+ 2cos6x + cos2 6x) dx 4

89 = 1 ∫ 1 + 2 cos 6x + 1+ cos12x  dx 4 2 = 1 ∫ ( 2 + 4 cos 6x +1 + cos12x ) dx 8 = 1 ∫ ( 3 + 4 cos 6x + cos12x ) dx 8 = 1 ∫ 3dx + 1 ∫ 4 cos 6x dx + 1 ∫ cos12x dx 8 8 8 = 3 ∫ dx + 4 ∫ cos 6x dx + 1 ∫ cos12 dx 8 8 8 = 3 ∫ dx + 4 ∫ cos 6x .6dx + 1 ∫ cos12.12 dx 8 8.6 8.12 = 3 x + 4 ∫ cos 6x d (6x ) + 1 ∫ cos12x d (12x ) 8 48 96 = 3 x + 1 sin 6x + 1 sin12x + C . 8 12 96 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin4 5x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin4 5x dx = ∫ (sin2 5x )2 dx = ∫ 1− cos10x 2 dx 2  = 1 ∫ (1 − cos10x )2 dx 4 = 1 ∫ (1 − 2 cos10x + cos2 10x ) dx 4 = 1 ∫ 1 − 2 cos10x + 1 + cos 20x  dx 4 2 = 1 ∫ ( 2 − 4 cos10x + 1 + cos 20x ) dx 8 = 1 ∫ (3 − 4 cos10x + cos 20x ) dx 8 = 1 ∫ 3dx − 1 ∫ 4 cos10x dx + 1 ∫ cos 20x dx 8 8 8

90 = 3 ∫ dx − 4 ∫ cos10x dx + 1 ∫ cos 20x dx 8 8 8 = 3 x − 4 ∫ cos10x.10 dx + 1 ∫ cos 20x.20 dx 8 8.10 8.20 = 3 x − 4 ∫ cos10x d (10x ) + 1 ∫ cos 20x d ( 20x ) 8 8.10 8.20 = 3 x − 1 sin10x + 1 sin 20x + C . 8 20 160 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ cos6 x dx ບດົ ແກ:້ ∫ cos6 x dx = ∫ (cos2 x)3 dx = ∫  1 + cos 2x 3 dx 2  = 1 ∫ (1 + cos 2x )3 dx 8 = 1 ∫ (1 + 3cos 2x + 3cos2 2x + cos3 2x )dx 8 = 1 ∫ 1 + 3cos 2x + 3.1 + cos 4x + cos 6x + 3cos 2x  dx 8 2 4 = 1 ∫  4(1 + 3cos 2x ) + 6(1 + cos 4x ) + cos 6x + 3cos 2x  dx 8  4 4 4  = 1 ∫ ( 4 + 12 cos 2x + 6 + 6 cos 4x + cos 6x + 3 cos 2x ) dx 32 = 1 ∫ (10 + 15 cos 2x + 6 cos 4x + cos 6x ) dx 32 = 1 ∫10 dx + 1 ∫15cos 2x dx + 1 ∫ 6 cos 4x dx + 1 ∫ co6x dx 32 32 32 32 = 10 ∫ dx + 15 ∫ cos 2x dx + 6 ∫ cos 4x dx + 1 ∫ co6x dx 32 32 32 32 = 10 x + 15 ∫ cos 2x.2 dx + 6 ∫ cos 4x.4 dx + 1 ∫ co6x.6 dx 32 32.2 32.4 32.6

91 = 5 x + 15 ∫ cos 2x d ( 2x ) + 6 ∫ cos 4x d (4x ) + 1 ∫ co6x d (6x ) 16 64 128 192 = 5 x + 15 sin 2x + 3 sin 4x + 1 sin 6x + C . 16 64 64 192 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin9 5x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin9 5x dx = ∫ sin8 5x.sin 5x dx = − 1 ∫ (sin2 5x)4 (−5sin 5x dx) 5 = − 1 ∫ (1− cos2 5x)4 d(cos5x) 5 = − 1 ∫ (1 − 4cos2 5x + 6cos4 5x − 4cos6 5x + cos8 5x)d (cos5x ) 5 = − 1  cos 5x − 4 cos3 5x + 6 cos5 5x − 4 cos7 5x + 1 cos9 5x  + C . 5 3 5 7 9 ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ cos13 2x dx ບດົ ແກ:້ ∫ cos13 2x dx = ∫ cos12 2x.cos 2x dx = 1 ∫ (cos2 2x )6 .2 cos 2x dx 2 = 1 ∫ (1− sin2 2x)6 d(sin 2x) 2 ∫ ( )= 1 1− 6sin2 2x +15sin4 2x − 20sin6 2x +15sin8 2x − 6sin10 2x + sin12 2x d (sin 2x) 2 = 1  sin 2x − 2 sin3 2x + 3 sin 5 2x − 20 sin7 2x + 5 sin9 2x − 6 sin11 2x + 1 sin13 2x  . 2  7 3 11 13  5.4. ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ cos6 4x dx 2. ∫ sin8 3x dx 3. ∫ sin11 7x dx

92 4. ∫ cos13 5x dx 5. ∫(2 − sin x)6 dx 6. ∫(3 + cos x)7 dx 7. ∫(1− 2sin x)5 dx 8. ∫(1+ cos3x)4 dx 9. ∫(3 + cos x)5 dx ຮູບຮ່ າງ 4.6: ∫ sinm x cosn x dx ແນະນາໍ ບນັ ດາສູດນາໍ ໃຊຈ້ າໍ ນວນໜ່ ງຶ : sin2 x = 1 − cos2 x cos2 x = 1 − sin2 x sin2 x = 1 − cos 2x 2 cos2 x = 1 + cos 2x 2 sin3 x = −sin 3x + 3sin x 4 cos3 x = cos3x + 3cos x 4 cos A.cos B = 1  cos ( A + B) + cos ( A − B) 2 sin A .sin B = 1 cos ( A − B) − cos ( A + B) 2 sin Ax.cos B = 1 sin (A −B) + sin(A + B) 2 d(sin x) = cos x dx d(cos x) = −sin x dx ∫ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ sin3 x.cos−5 xdx ບດົ ແກ:້ ∫ ∫sin3 x.cos−5 xdx = sin2 x.cos−5 x.sin xdx ( )∫= 1 − cos2 x cos−5 x.sin xdx

93 ( )∫= cos−5 x − cos−3 x sin xdx ∫ ∫= cos−5 x.sin xdx − cos−3 x.sin xdx = −∫ cos−5 xd(cos x) +∫ cos−3 xd(cos x) = − cos−5+1 x + cos−3+1 x + C −5 + 1 −3 +1 = − cos−4 x + cos−2 x + C −4 −2 = 1 − 1 +C 4cos4 x 2cos2 x ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin4 x.cos5 xdx ບດົ ແກ:້ ∫ ∫sin4 x.cos5 xdx = sin4 x.cos4 x.cos xdx ( )∫= 2 sin4 x cos2 x .cos xdx ( )∫= sin4 x 1− sin2 x 2 d(sin x) ( )∫= sin4 x 1 − 2sin2 x + sin4 x d(sin x) ( )∫= sin4 x − 2sin6 x + sin8 x d(sin x) ( )∫= sin4 x − 2sin6 x + sin8 x d(sin x) = ∫ sin4 xd(sin x) − 2∫sin6 xd(sin x) + ∫sin8 xd(sin x) = sin4+1 x − 2. sin6+1 x + sin8+1 x + C 4 +1 6 +1 8+1 = sin5 x − 2sin7 x + sin9 x + C . 579 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin2 x cos4 x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin2 x cos4 x dx = ∫ sin2 x cos2 x cos2 x dx = ∫(sin x cos x)2 cos2 x dx = ∫  2sin x cos x 2 cos2 x dx 2 

94 = 1 ∫ sin2 2x cos2 x dx 4 = 1 ∫  1 − cos 4x .1 + cos 2x  dx 4 2 2 = 1 ∫ (1 − cos 4x ) (1 + cos2x ) dx 16 = 1 ∫ (1 + cos 2x − cos 4x − cos 2x cos 4x ) dx 16 = 1 ∫ 1 + cos 2x − cos 4x − 1 ( cos 6x + cos 2x ) dx 16 2 = 1 ∫  2(1 + cos 2x − cos 4x ) − cos 6x + cos 2x  dx 16  2 2  = 1 ∫ [2 + 2 cos 2x − 2 cos 4x − cos 6x − cos 2x] dx 32 = 1 ∫ [2 + cos 2x − 2 cos 4x − cos 6x ] dx 32 = 1 ∫ 2 dx + 1 ∫ cos 2x dx − 1 ∫ 2 cos 4x dx − 1 ∫ cos 6x dx 32 32 32 32 = 2 ∫ dx + 1 ∫ cos 2x.2 dx − 1 ∫ cos 4x .4dx − 1 ∫ cos 6x.6 dx 32 32.2 32.2 32.6 = 1 x + 1 ∫ cos 2x d ( 2x ) − 1 ∫ cos 4x d ( 4x ) − 1 ∫ cos 6x d (6x ) 16 64 64 192 = 1 x + 1 sin 2x − 1 sin 4x − 1 sin 6x + C . 16 64 64 192 ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin10 3x cos5 3x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin10 3x cos5 3x dx = ∫ sin10 3x cos4 3x cos3x dx = 1 ∫ sin10 3x (cos2 3x )2 3cos3x dx 3 = 1 ∫ sin10 3x (1 − sin2 3x)2 d(sin 3x ) 3 = 1 ∫ sin10 3x (1 − 2sin2 3x + sin4 3x )d (sin 3x ) 3

95 = 1 ∫ (sin10 3x − 2sin12 3x + sin14 3x )d(sin 3x ) 3 = 1 sin11 3x − 2 sin13 3x + sin15 3x  + C . 3  11 13 15  ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin7 2x cos100 2x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin7 2x cos100 2x dx = ∫ sin7 2x cos100 2x dx = ∫ sin6 2x cos100 2x sin 2xdx ( )= ∫ sin2 2x 3 cos100 2x sin 2xdx = − 1 ∫ (1 − cos2 2x )3 cos100 2x (−2sin 2xdx ) 2 = − 1 ∫ (1 − cos2 2x)3 cos100 2x d(cos 2x ) 2 = − 1 ∫ (1 − 3cos2 2x + 3cos4 2x − cos6 2x)cos100 2x d (cos 2x ) 2 ( )= 1 d(cos 2x) − 2 ∫ cos100 2x − 3cos102 2x + 3cos104 2x − cos106 2x = − 1  cos101 2x − 3 cos103 2x + 3cos105 2x − cos107 2x  + C . 2  101 103 105 107  ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາໍ ລາ ∫ sin9 5x cos111 5x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin9 5x cos111 5x dx = ∫ sin8 5x cos111 5x.sin 5x dx ( )= ∫ sin2 5x 4 cos111 5x.sin 5x dx = − 1 ∫ (1 − cos2 5x )4 cos111 5x.(−5sin 5x dx) 5 ( )= − 1 ∫ 1 − 4cos2 5x + 6cos4 5x − 4cos6 5x + cos8 5x 4 cos111 5x d(cos5x) 5 ( )= − 1 ∫ cos111 5x − 4cos113 5x + 6cos115 5x − 4cos117 5x + cos119 5x d (cos5x ) 5 = − 1  cos112 5x − 4 cos114 5x + 6 cos115 5x − 4 cos119 5x + cos120 5x  + C . 5  112 114 116 118 120 

96 ບດົ ເຝິກຫດັ ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ບນັ ດາເຄາົ້ ຕໍາລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ sin6 3x cos8 3x dx 2. ∫ sin11 9x cos6 9x dx 3. ∫ cos9 2x sin15 2x dx ∫4. sin3 x cos10 xdx ∫5. cos3 xsin15 xdx ∫6. sin3 x cos−7 xdx ∫7. cos3 xsin−12 xdx ∫8. sin5 x cos20 xdx ∫9. cos5 xsin16 xdx ∫10. sin5 x cos−2 xdx ∫11. cos5 xsin−3 xdx 12. ∫sin3 xdx 13. ∫ cos3 xdx 14. ∫sin5 xdx 15. ∫ cos5 xdx ∫16. sin2 x cos2 xdx 17. ∫sin6 xdx 18. ∫ sin11 4x dx 7 cos3 4x 19. ∫(sin 5x + 2cos5x)3 dx 20. ∫(3sin x − 2cos x)4 dx