Maple

ບດົ ທີ 10 ແນະນາໍ ການນາໍ ໃຊ້ Maple ຊ່ ວຍໃນການຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ f (x)dx ຄໍາສ່ ງັ ຂອງMaple: [>Int(f(x),x)=int(f(x),x); Enter ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ບ່ ໍກາໍ ນດົ ຕ່ ໍໄປນ:ີ້ 1. ∫ (x2 + 5x + 4)dx 2. ∫ ( x 2 − 2x + )4 3 dx ∫ ( )3. x2 + 2x −1 e2x−3dx 4. ∫ ln 2 xdx x ex 1− 2ex 3 dx ( )∫5. 6. ∫ (sin x +1)dx 7. ∫ dx x −1 8. ∫ x 2 + x −1 dx x +1 9. ∫ sin x dx (1+ cos x)2 10. ∫ x (1 dx x ) − ln ບດົ ແກ:້ 1. ∫ (x2 + 5x + 4)dx [> Int(x^2+5*x+4,x)=int(x^2+5*x+4,x); ⌡⌠x2 + 5 x + 4 dx = 1 x3 + 5 x2 + 4 x 3 2 ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 47 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

2. ∫ ( x 2 − 2x + )4 3 dx [> Int((x^2-2*x+3)^4,x)=int((x^2-2*x+3)^4,x); ⌠⌡( x2 − 2 x + 4 dx = 81 x + 1 x9 − x8 + 36 x7 − 52 x6 + 214 x5 − 78 x4 + 108 x3 − 108 x2 9 7 3 5 3) ∫ ( )3. x2 + 2x −1 e2x−3dx [> Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x- 1)*exp(2*x3),x); ⌡⌠( x2 + 2 x − 1 ) (2 x − 3) dx = 1 (2 x − 3) ( 2 x − 3 )2 + (2 x − 3) ( 2 x − 3 ) + 9 (2 x − 3) 8 8 e e e e 4. ∫ ln2 xdx x [> Int((ln(x))^2/x,x)=int((ln(x))^2/x,x); ⌠⌡ ln( x )2 dx = 1 ln( x )3 x 3 ex 1− 2ex 3 dx ( )∫5. [>Int(exp(x)/(1+2*exp(x))^3,x)=int(exp(x)/(1+2*exp(x) )^3,x); ⌡⌠( 1 ex 3 dx = −1 1 2 +2 4 +2 e x ) (1 e x ) 6. ∫ (sin x +1)dx [> Int(sin(x)+1,x)=int(sin(x)+1,x); ⌠⌡sin( x ) + 1 dx = −cos( x ) + x 7. ∫ dx x −1 [> Int(1/(x-1),x)=int(1/(x-1),x); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 48 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

⌡⌠ x 1 1 dx = ln( x − 1) − 8. ∫ x 2 + x −1 dx x +1 [> Int((x^2+x-1)/(x+1),x)=int((x^2+x-1)/(x+1),x); ⌡⌠ x2 +x − 1 dx = x2 − ln( x + 1) x+ 1 2 9. ∫ sin x dx (1+ cos x)2 [>Int(sin(x)/(1+cos(x))^2,x)=int(sin(x)/(1+cos(x))^2, x); ⌡⌠( 1 sin( x ) dx = 1 + 1 + cos( x ) )2 cos( x ) 10. ∫ x (1 dx x ) − ln [> Int(1/(x*(1+ln(x))),x)=int(1/(x*(1+ln(x))),x); ⌡⌠ x (1 1 dx = ln( 1 + ln( x ) ) + ln( x ) ) ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 49 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ບດົ ທີ 11 ແນະນາໍ ການນາໍ ໃຊ້ Maple ຊ່ ວຍໃນການຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ b ( x ) dx ∫f a ຄໍາສ່ ງັ ຂອງ Maple: [>Int(f(x),x=a..b)=int(f(x),x=a..b);Enter ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້ ( )∫1.3 1 x3 − 4x + 2 dx 2 ∫2. 5 x dx 2 x2 − 4 π ∫3. 2 sin5 2x cos2x dx 0 ∫4. π cos 2x −1 dx 2 cos 2x +1 0 ∫5. −10 1 −6 x + 2 dx ∫6. 21 −2 x2 + 4 dx ∫7. 4 dx dx 3 4x − x2 ∫8. π 1 x sin x x dx 0 + cos 2 ∫9. 2 3 x − x3 1 x4 dx 10. ∫2 (2x x2 )+1 3 dx 0 ∫11.π cos x 2 6 − 5sin x + sin2 x dx 0 12. ∫4 x dx 0 2 + 4x ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 50 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ບດົ ແກ:້ ( )∫1. 3 1 x3 − 4x + 2 dx 2 [> Int(x^3-4*x+2,x=1/2..3)=int(x^3-4*x+2,x=1/2..3); ⌡⌠3 x3 − 4 x + 2 dx = 495 64 1/2 ∫2. 5 x dx 2 x2 − 4 [> Int(x/sqrt(x^2-4),x=2..4)=int(x/sqrt(x^2- 4),x=2..4); ⌡⌠4 x dx = 2 3 x2 − 4 2 π ∫3. 2 sin5 2x cos2x dx 0 [>Int(sin(2*x)^5*cos(2*x),x=0..Pi/2)=int(sin(2*x)^5*c os(2*x),x=0..Pi/2); π ⌠⌡ 2 sin( 2 x )5 cos( 2 x ) dx = 0 0 ∫4. π cos 2x −1 2 dx 0 cos 2x +1 [> Int((cos(2*x)-1)/(cos(2*x)+1),x=0..Pi/4) =int((cos(2*x)-1)/(cos(2*x)+1),x=0..Pi/4); π ⌠⌡ 4 cos( 2 x) − 1 dx = −1 + π cos( 2 x) + 1 4 0 ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 51 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

∫5.−10 x 1 2 dx −6 + [> Int(1/(x+2),x=-6..-10)=int(1/(x+2),x=-6..-10); ⌠⌡-10 x 1 2 dx = ln( 2 ) + -6 ∫6.2 1 4 dx −2 x2 + [> Int(1/(x^2+4),x=-2..2)=int(1/(x^2+4),x=-2..2); ⌡⌠2 x 2 1 4 dx = π + 4 -2 ∫7. 4 dx dx 3 4x − x2 [> Int(x/sqrt(x^2-4),x=2..4)=int(x/sqrt(x^2- 4),x=2..4); ⌡⌠4 x dx = 2 3 x2 − 4 2 I=∫8. π x sin x 0 1+ cos2 x dx ໃນບດົ ເລກນີ້ Maple ບ່ ໍສາມາດຄດິ ໄລ່ ໂດຍກງົ ໄດ,້ ຢາກແກບ້ ດົ ເລກນດີ້ ວ້ ຍການນາໍ ໃຊ ້ Maple ພວກເຮາົ ຕອ້ ງຜນັ ປ່ ຽນຮູບຮ່ າງສງັ ຄະນດິ ຄດື ່ ງັ ຕ່ ໍໄປນ:ີ້ ວາງ t = π − x ແມ່ ນ x = π − t , dx = − dt ເມ່ ອື x = 0 ⇒ t =π , x =π ⇒ t = 0 I = ∫π x sin x dx = ∫0 (π − t)sin (π − t ) ( −dt ) 0 1+ cos2 x π + cos2 (π − t 1 ) π (π − t)sin t π sin t π t sin t 0 0 + cos 0 1+ cos2 1+ cos2 t ∫ ∫ ∫= =π 1 2 t dt − t dt π sin t π π sin t 0 1+ cos2 t dt 2 0 1+ cos2 t dt ∫ ∫2 I =π ⇒ I= ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 52 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ້ π x sin x =π π sin t 0 1+ cos2 x 2 0 1+ cos2 ∫ ∫I = dx t dt [>Int(Pi/2*sin(t)/(1+cos(t)^2),t=0..Pi)=int(Pi/2*sin(t)/(1 +cos(t)^2),t=0..Pi); ⌡⌠ π 1 π sin( t ) dt = π2 2 1 + cos( t )2 4 0 ໃນບດົ ເລກນຖີ້ າ້ ພວກເຮາົ ແກໂ້ ດຍກງົ ຈະໄດຄ້ ໍາຕອບຄດື ່ ງັ ຕ່ໄໍ ປນ,ີ້ ແຕ່ ວ່ າຄໍາຕອບຂອງ ມນັ ບ່ ໍງາມເທ່ າົ ວທິ ຜີ ນັ ປ່ ຽນຂາ້ ງເທງິ : [>Int(x*sin(x)/(1+cos(x)^2),x=0..Pi)=int(x*sin(x)/(1+cos(x )^2),x=0..Pi); ⌠⌡ ππ [> evalf(%); ⌡⌠ 1 x sin( x ) dx = x sin( x ) + cos( x )2 1 + cos( x )2 dx 00 2.467401100 = 2.467401100 ∫9. 2 3 x − x3 dx 1 x4 [> Int((x-x^3)^(1/3)/x^4,x=1..sqrt(2))=int((x-x^3)^(1/3)/ x^4,x=1..sqrt(2)); ⌠⌡ 2 ( x − x3 ( 1/3 ) dx = − ( 2/3 ) ) 32 32 x4 1 10. ∫2 (2x x2 )+1 3 dx 0 [>Int(2*x*(x^2+1)^3,x=0..2)=int(2*x*(x^2+1)^3,x=0..2); ⌡⌠22 x ( x2 + 1 3 dx = 156 ) 0 53 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ

∫11.π cos x x dx 2 6 − 5sin x + sin2 0 [> Int(cos(x)/(6-5*sin(x)+sin(x)^2),x=0..Pi/2)=int(cos(x)/ (6-5*sin(x)+sin(x)^2),x=0..Pi/2); π ⌡⌠ 2 6 − 5 cos( x ) dx = 2 ln( 2 ) − ln( 3 ) sin( x ) + sin( x )2 0 12. ∫4 x dx 0 2 + 4x [>Int(x/sqrt(2+4*x),x=0..4)=int(x/sqrt(2+4*x),x=0..4); ⌡⌠4 x x dx = 52 2+4 3 0 ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 54 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ບດົ ທີ 12 ແນະນາໍ ການນາໍ ໃຊ້ Maple ຊ່ ວຍໃນການຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ສອງຊນັ້ ∫b ∫d f (x, y)dxdy ac ຄໍາສ່ ງັ ຂອງ Maple: [>Int(Int(f(x,y),x=c..d),y=a..b)= int(int(f(x,y),x=c..d),y=a..b); Enter ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້ 1. ∫ ∫1 2 x2y dxdy 01 ∫ ∫ ( )2. −1 3 4xy3 + y dydx −2 0 ∫ ∫3. 2 x x2y dy dx 1 1−x ∫ ∫4. 2 2y (4x − y) dx dy 0 y2 ∫ ∫5. 1 x+1(3x + 2y) dy dx −1 x3 π sin x ey cosx dy dx ∫ ∫6. π4 0 6 ບດົ ແກ:້ 1. ∫ ∫1 2 x2y dxdy 01 [>Int(Int(x^2*y,x=0..1),y=1..2)=int(int(x^2*y,x=0..1) ,y=1..2); ⌡⌠2⌡⌠1x2 y dx dy = 1 2 ∫ ∫ ( )2. −1 3 4xy3 + y dydx 10 −2 0 [> Int(Int(4*x*y^3+y,y=0..3),x=-2..- 1)=int(int(4*x*y^3+y,y=0..3),x=-2..-1); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 55 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

⌠⌡-1⌡⌠34 x y3 + y dy dx = -117 -2 0 ∫ ∫3. 2 x x2y dy dx 1 1−x [> Int(Int(x*y,y=1-x..sqrt(x)),x=1..2) =int(int(x*y,y=1-x..sqrt(x)),x=1..2); ⌡⌠2⌡⌠ x x y dy dx = 7 11 − 8 x ∫ ∫4. 2 2y (4x − y) dx dy 0 y2 [> Int(Int(4*x-y,x=y^2..2*y),y=0..2)=int(int(4*x-y, x=y^2..2*y),y=0..2); ⌠⌡2⌡⌠2 y x − y dx dy = 36 5 4 0 y2 ∫ ∫5. 1 x+1(3x + 2y) dy dx −1 x3 [> Int(Int(3*x+2*y,y=x^3..x+1),x=-1..1)=int (int(3*x+2*y,y=x^3..x+1),x=-1..1); ⌡⌠1⌡⌠x + 1 334 105 3 x + 2 y dy dx = -1 x3 π sin x ey cosx dy dx ∫ ∫6. π4 0 6 [>Int(Int(exp(y)*cos(x),y=0..sin(x)),x=Pi/6..Pi/4)=in t(int(exp(y)*cos(x),y=0..sin(x)),x=Pi/6..Pi/4); π ⌠⌡π4 ⌠⌡ sin( x ) y cos( x ) dy dx = ( 2) − 2 − e ( 1/2 ) + 1 0 2 2 e e 6 ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 56 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

[> evalf(%); 0.1722869290 = 0.1722869290 ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 57 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ບດົ ທີ 13 ແນະນາໍ ການນາໍ ໃຊ້ Maple ຊ່ ວຍໃນການຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ສາມຊນັ້ ∫b ∫d ∫q f (x, y,z)dxdydz acp ຄໍາສສ່ ງັ ຂອງMaple:[>Int(Int(Int(f(x,y,z),x=p..q),y=c..d),z=a..b)=int(int(int(f(x,y, z),x=p..q),y=c..d),z=a..b); Enter ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສງັ ຄະນດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້ ( )∫ ∫ ∫1. 1 2 1 x2 + y2 + z2 dx dy dz 00 0 2. ∫1 ∫ 2y ∫π (x + 2z) dz dx dy 00 0 ∫ ∫ ∫3. 2 3 212xy2z3 dz dy dx −1 0 0 4. ∫1 ∫1 ∫1(xy + yz + zx) dx dy dz 000 π 1 x2 2 x cos y dz dx dy ∫ ∫ ∫5. 0 00 6. ∫π ∫1 ∫ π xy sin ( yz ) dx dy dz 6 0 00 ບດົ ແກ:້ ( )∫ ∫ ∫1. 1 2 1 x2 + y2 + z2 dx dy dz 00 0 [> Int(Int(Int(x^2+y^2+z^2,x=0..1),y=0..2),z=0..1)= int(int(int(x^2+y^2+z^2,x=0..1),y=0..2),z=0..1); ⌠⌡1⌡⌠2⌡⌠1x2 + y2 + z2 dx dy dz = 4 000 2. ∫1 ∫ 2y ∫π (x + 2z) dz dx dy 00 0 [>Int(Int(Int(x+2*z,z=0..Pi),x=0..2*y),y=0..1)=int(in ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 58 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

t(int(x+2*z,z=0..Pi),x=0..2*y),y=0..1); ⌠⌡1⌠⌡2 y⌠⌡πx + 2 z dz dx dy = 2 π + π2 3 00 0 ∫ ∫ ∫3. 2 3 212xy2z3 dz dy dx −1 0 0 [> Int(Int(Int(12*x*y^2*z^3,z=0..2),y=0..3),x=- 1..2)=int(int(int(12*x*y^2*z^3,z=0..2),y=0..3),x=-1..2); ⌠⌡2⌠⌡3⌡⌠212 x y2 z3 dz dy dx = 648 -1 0 0 4. ∫1 ∫1 ∫1(xy + yz + zx) dx dy dz 000 [>Int(Int(Int(x*y+y*z+z*x,x=0..1),y=0..1),z=0..1)=int (int(int(x*y+y*z+z*x,x=0..1),y=0..1),z=0..1); ⌠⌡1⌡⌠1⌡⌠1x y + y z + z x dx dy dz = 3 4 000 π 1 x2 2 x cos y dz dx dy ∫ ∫ ∫5. 0 00 [>Int(Int(Int(x*cos(y),z=0..x^2),x=0..1),y=0..Pi/2)=i nt(int(int(x*cos(y),z=0..x^2),x=0..1),y=0..Pi/2); π 2 ⌡⌠1⌡⌠x2x ⌠⌡ cos( y ) dz dx dy = 1 4 0 00 6. ∫π ∫1 ∫ π xy sin ( yz ) dx dy dz 6 0 00 [>Int(Int(Int(x*y*sin(y*z),x=0..Pi/6),y=0..1),z=0..Pi )=int(int(int(x*y*sin(y*z),x=0..Pi/6),y=0..1),z=0..Pi); π ⌡⌠π⌠⌡1⌠⌡ 6 x y sin( y z) dx dy dz = π2 72 000 ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 59 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ບດົ ທີ 14 ການນາໍ ໃຊ້ Maple ຊ່ ວຍໃນການຜນັ ປ່ ຽນ P(x) ເປັບເສດສ່ ວນຍ່ ອຍ Q(x) ຄໍາສ່ ງັ ຂອງ Maple: [>f(x)=convert(f(x),parfrac,x); ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ແຍກໝວດຄໍານວນຕ່ ໍໄປນ:ີ້ 1. x2 + 2x + 5 2x −1 2. x3 − 2x − 5 2x −1 3. x4 − 2 x3 − x 4. 1 x (x +1)2 5. x−3 x (x +1)(x + 2) 6. 1 (x −1)(x + 2)(x − 3) ບດົ ແກ:້ 1. x2 + 2x + 5 2x −1 [> (x^2+2*x+5)/(2*x-1)=convert((x^2+2*x+5)/(2*x- 1),parfrac,x); x2 + 2 x + 5 = 5 + x + 25 2x−1 4 2 (2 x − 4 1) 2. x3 − 2x − 5 2x −1 [> (x^3-2*x-5)/(2*x-1)=convert((x^3-2*x-5)/(2*x- 1),parfrac,x); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 60 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

x3 − 2 x − 5 = x2 + x − 7 − 47 2x−1 2 4 8 (2 x − 8 1) 3. x4 − 2 x3 − x [> (x^4-2)/(x^3-x)=convert((x^4-2)/(x^3-x),parfrac,x); x4 − 2 = x + 2 − 2 1 1) − 2 1 1) x3 − x x (x + (x − 4. 1 x (x +1)2 [> 1/(x*(x+1)^2)=convert(1/(x*(x+1)^2),parfrac,x); x 1 1 )2 = − (x 1 + 1 − x 1 1 (x + + 1 )2 x + 5. x−3 x (x +1)(x + 2) [> (x-3)/(x*(x+1)*(x+2))=convert((x- 3)/(x*(x+1)*(x+2)),parfrac,x); x (x x− 3 + 2) = − 3 − 2 5 2) + x 4 1 + 1) (x 2x (x + + 6. 1 (x −1)(x + 2)(x − 3) [> 1/((x-1)*(x+2)*(x-3))=convert(1/((x-1)*(x+2)*(x- 3)),parfrac,x); (x − 1) (x 1 2) (x − 3) = 10 1 3) + 15 1 2) − 6 1 1) + (x − (x + (x − ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 61 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ບດົ ທີ 15 ແນະນາໍ ການນາໍ ໃຊ້ Maple ຊ່ ວຍໃນການແຕມ້ ເສນັ້ ສະແດງ ໃນໜາ້ ພຽງ ແລະ ກາງຫາວ ຄໍາສ່ ງັ ຂອງMaple: ໜາ້ ພຽງ:[>With(plots):implicitplot({y=f(x)}, x=a..b,y=c..d); Enter ກາງຫາວ:[>With(plots):implicitplot3d({z=f(x,y)},x=a..b,y=c..d,z= p..q); Enter ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ແຕມ້ ເສນັ້ ສະແດງຕ່ໄໍ ປນ:ີ້ 1. x2 + y2 = 4 2. x2 + y2 = 1 49 3. x = 0, x = 2, y2 ≤ 2x 4. x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 1, x = y 5. y = 1− x2, y = x 6. y = 0, y = x, y = −x, x = −2, x = 5 7. z = 2x2 + y2 8. z = x + y +1, x2 + y2 = 2 ( )9. z = x2 + y2, z = 2 x2 + y2 , y = x, y2 = x ບດົ ແກ:້ 1. x2 + y2 = 4 [> with(plots):implicitplot(x^2+y^2=4,x=-2..2,y=- 2..2); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 62 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

2. x2 + y2 = 1 49 [> with(plots):implicitplot(x^2/4+y^2/9=1,x=-2..2,y=- 4..4); 3. x = 0, x = 2, y2 ≤ 2x [> with(plots):implicitplot({0=x,x=2,y^2<=2*x},x=- 3..3,y=-3..3); 4. x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 1, x = y [> with(plots):implicitplot({x^2+y^2=4,x^2+y^2=1,x=y}, x=-2..2,y=-2..2); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 63 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

5. y = 1− x2, y = x [> with(plots):implicitplot({y=1-x^2,y=x},x=-2..2,y=- 2..1.2); 6. y = 0, y = x, y = −x, x = −2, x = 5 [> with(plots):implicitplot({y=0,y=x,y=-x,x=- 2,x=5},x=-4..6,y=-6..6); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 64 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

7. z = 2x2 + y2 [> with(plots):implicitplot3d(z=sin(sqrt(2*x^2+y^2)), x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2); 8. z = x + y +1, x2 + y2 = 2 [> with(plots):implicitplot3d({z=x+y+1,x^2+y^2=2},x=- 2..2,y=-2..2,z=-2..2); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 65 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

( )9. z = x2 + y2, z = 2 x2 + y2 , y = x, y2 = x [>with(plots):implicitplot3d({z=x^2+y^2,z=2*(x^2+y^2) ,y=x,y^2=x},x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 66 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ບດົ ທີ 16 ແນະນໍາການນາໍ ໃຊ້ Maple ຊ່ ວຍໃນການຊອກຜນົ ຕໍາລາ ຄໍາສ່ ງັ ຂອງMaple: [>Diff(f(x),x)=diff(f(x),x); Enter ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ຕໍາຕ່ ໍໄປນ:ີ້ 1. f (x ) = 2x3 − 4x2 − x + 5 2. f (x) = x4 − x3 + 4x2 −1 3. f ( x ) = 2x +3 5x +1 4. f (x) = x2 +1 x2 +2 5. f (x)=(2x2 + 5)(4x + 3) 6. f (x) = (x3 + 4)(x2 +1) 7. ( )f (x ) = x2 + 3x −1 4 8. ( )f (x) = 10 + 6x − 5x2 3 9. f (x) = x2 +1 + 3 x 10. f (x) = 1− 4x − x 11. f (x) = 5 2x +1 12. f (x) = 7 x2 − 3 13. f ( x ) = 71 − x2 14. f ( x ) = 8x2 −3x ( )15. f x = ex3 −x2 +6x − 1 16. f ( x ) = e 1 − 5x2 17. f (x) = sin x + cos x 18. f (x) = sin 5x − cos 4x ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 67 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ບດົ ແກ:້ 1. f (x) = 2x3 − 4x2 − x + 5 [> Diff(2*x^3-4*x^2-x+5,x)=diff(2*x^3-4*x^2-x+5,x); d ( 2 x3 − 4 x2 − x + 5 ) = 6 x2 − 8 x − 1 dx [> Diff(2*x^3-4*x^2-x+5,x$2)=diff(2*x^3-4*x^2- x+5,x$2); d2 ( 2 x3 − 4 x2 − x + 5 ) = 12 x − 8 dx2 [> Diff(2*x^3-4*x^2-x+5,x$3)=diff(2*x^3-4*x^2- x+5,x$3); d3 ( 2 x3 − 4 x2 − x + 5 ) = 12 dx3 2. f (x) = x4 − x3 + 4x2 −1 [> Diff(x^4-x^3+4*x^2+1,x)=diff(x^4-x^3+4*x^2+1,x); d ( x4 − x3 + 4 x2 + 1 ) = 4 x3 − 3 x2 + 8 x dx [> Diff(x^4-x^3+4*x^2+1,x$2)=diff(x^4- x^3+4*x^2+1,x$2); d2 ( x4 − x3 + 4 x2 + 1 ) = 12 x2 − 6 x + 8 dx2 [> Diff(x^4-x^3+4*x^2+1,x$3)=diff(x^4- x^3+4*x^2+1,x$3); d3 ( x4 − x3 + 4 x2 + 1 ) = 24 x − 6 dx3 [> Diff(x^4-x^3+4*x^2+1,x$4)=diff(x^4- ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 68 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

x^3+4*x^2+1,x$4); d4 ( x4 − x3 + 4 x2 + 1 ) = 24 dx4 3. f ( x ) = 2x +3 5x +1 [> Diff((2*x+3)/(5*x+1),x)=diff((2*x+3)/(5*x+1),x); d  2 x + 3  = 5 2 1 − 5 (2 x + 3) dx 5 x + 1 x+ (5 x + 1 )2 4. f (x) = x2 +1 x2 +2 [> Diff((x^2+1)/(x^2+2),x)=diff((x^2+1)/(x^2+2),x); d  x2 + 1  = 2x − 2 ( x2 + 1 ) x dx x2 + 2 x2 + 2 ( x2 + 2 )2 5. f (x)=(2x2 + 5)(4x + 3) [>Diff((2*x^2+5)*(4*x+3),x)=diff((2*x^2+5)*(4*x+3),x) ; d ( ( 2 x2 + 5 ) ( 4 x + 3 ) ) = 4 x ( 4 x + 3 ) + 8 x2 + 20 dx 6. f (x) = (x3 + 4)(x2 +1) [> Diff((x^3+4)*(x^2+1),x)=diff((x^3+4)*(x^2+1),x); d ( ( x3 + 4 ) ( x2 + 1 ) ) = 3 x2 ( x2 + 1 ) + 2 ( x3 + 4 ) x dx [>Diff((x^3+4)*(x^2+1),x$2)=diff((x^3+4)*(x^2+1),x$2) ; d2 ( ( x3 + 4 ) ( x2 + 1 )) = 6 x ( x2 + 1 ) + 14 x3 + 8 dx2 [> Diff((x^3+4)*(x^2+1),x$3)=diff((x^3+4)*(x^2+1),x$3) ; ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 69 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

d3 ( ( x3 + 4 ) ( x2 + 1 ) ) = 60 x2 + 6 dx3 [> Diff((x^3+4)*(x^2+1),x$4)=diff((x^3+4)*(x^2+1),x$4) ; d4 ( ( x3 + 4 ) ( x2 + 1 ) ) = 120 x dx4 [> Diff((x^3+4)*(x^2+1),x$5)=diff((x^3+4)*(x^2+1),x$5) ; d5 ( ( x3 + 4 ) ( x2 + 1 ) ) = 120 dx5 7. ( )f (x ) = x2 + 3x −1 4 [> Diff((x^2+3*x-1)^4,x)=diff((x^2+3*x-1)^4,x); d ( ( x2 + 3 x − 1 4 ) = 4 ( x2 + 3 x − 1 3 ( 2 x + 3 ) dx ) ) 8. ( )f (x ) = 10 + 6x − 5x2 3 [> Diff((10+6*x-5*x^2)^3,x)=diff((10+6*x-5*x^2)^3,x); d ( ( 10 + 6 x − 5 x2 3 = 3 ( 10 + 6 x − 5 x2 2 ( 6 − 10 x) dx )) ) 9. f (x) = x2 +1 + 3 x [> Diff(sqrt(x^2+1)+3*sqrt(x),x)=diff(sqrt(x^2+1)+3* sqrt(x),x); d ( x2 + 1 + 3 x)= x +3 dx x2 + 1 2 x 10. f (x) = 1− 4x − x [> Diff(sqrt(1-4*x)-sqrt(x),x)=diff(sqrt(1-4*x)- sqrt(x),x); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 70 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

d ( 1−4x − x)=− 1 2 x − 1 dx −4 2x 11. f (x) = 5 2x +1 [> Diff((2*x+1)^(1/5),x)=diff((2*x+1)^(1/5),x); d ((2 x + 1 )( 1/5 ) ) = 2 1 )( 4/5 ) dx + 5 (2 x 12. f (x) = 7 x2 − 3 [> Diff((x^2+3)^(1/3),x)=diff((x^2+3)^(1/2),x); d ( ( x2 + 3 ( 1/3 ) ) = x dx x2 + 3 ) 13. f ( x ) = 71 − x2 > Diff(7^(1-x^2),x)=diff(7^(1-x^2),x); 14. d 7(1 − x2 ) = −2 7(1 − x2 ) x ln( 7 ) dx 15. f ( x ) = 8x2 −3x [> Diff(8^(x^2-3*x),x)=diff(8^(x^2-3*x),x); d 8( x2 − 3 x ) = 8( x2 − 3 x) ( 2 x − 3 ) ln( 8 ) dx ( )16. f x = ex3 −x2 +6x − 1 [> Diff(exp(x^3-x^2+6*x-1),x)=diff(exp(x^3-x^2+6*x- 1),x); d ( e( x3 − x2 + 6 x − 1) ) = (3 x2 − 2 x + 6 ) e( x3 − x2 + 6 x − 1) dx 17. f ( x ) = e 1 − 5x2 [> Diff(exp(sqrt(1-5*x^2)),x)=diff(exp(sqrt(1- 5*x^2)),x); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 71 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

d ( e ( 1− 5 x2 ) ) = − 5 x e( 1 − 5 x2 ) dx 1 − 5 x2 18. f (x) = sin x + cos x [> Diff(sin(x)+cos(x),x)=diff(sin(x)+cos(x),x); d ( sin( x ) + cos( x ) ) = cos( x ) − sin( x ) dx 19. f (x) = sin 5x − cos 4x [> Diff(sin(5*x)+cos(4*x),x)=diff(sin(5*x)+cos(4*x) ,x); d ( sin( 5 x) + cos( 4 x) ) = 5 cos( 5 x) − 4 sin( 4 x) dx ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 72 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

ບດົ ທີ 17 ແນະນາໍ ການນາໍ ໃຊ້ Maple ຊ່ ວຍໃນການຊອກຫາເນອື້ ທ່ ີ S ທ່ ຂີ ອບດວ້ ຍ ເສນັ້ ໂຄງ້ y = f ( x) ; ເສນັ້ ຊ່ ື x = a , x = b ແລະ ແກນ ox ບດົ ເລກ: ຄດິ ໄລ່ ເນອື້ ທ່ ີ S ຂອບດວ້ ຍເສນັ້ ໂຄງ້ y = x2 ແລະ ເສນັ້ ຊ່ ື y = 0 ; x = 1 (ຕາມນຍິ າມຂອງສງັ ຄະນດິ ). ວທິ ີ 1: ແບ່ ງຫວ່ າງ [0; 1] ອອກເປັນ 4 ສ່ ວນ ແລະ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກ Riemann ດວ້ ຍມ:ື ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກເນອື້ ທ່ ບີ ນັ ດາຮູບສ່ ແີ ຈສາກ(ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກ Riemann): S = (0, 25)2 .0, 25 + (0,5)2 .0, 25 + (0,75)2 .0, 25 +12.0, 25 = 0, 46875 . ວທິ ີ 2: ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກ Riemann ດວ້ ຍການນໍາໃຊຄ້ ໍາສງັ ຂອງ Maple: > rightsum(x^2,x=0..1,4); ∑1 i 4 1  i2   > value(%); = 16 4 15 32 > evalf(%); 0.4687500000 + ສມົ ທຽບຜນົ ໃນສອງວທິ ເີ ທງິ ເຮາົ ເຫນັ ວ່ າເທ່ າົ ກນັ ແລະ ເທ່ າົ 0,46875. + ເມ່ ອື ເຮາົ ແບ່ ງ [0; 1] ຍ່ ງິ ເພ່ ມີ ຂນຶ້ ແມ່ ນເຮາົ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກ Riemann ດວ້ ຍມຍື ່ ງິ ພບົ ຄວາມຫຍຸງ້ ຍາກ. ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ຕອ້ ງນາໍ ໃຊ ້ Maple ເຂາົ້ ຊ່ ວຍຊ່ ວຍ: • ນາໍ ໃຊ້ Maple ແບ່ ງຫວ່ າງ [0; 1] ເປັນ 10 ສ່ ວນ ແລະ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກ Riemann: > with(student): > rightbox(x^2,x=0..1,10); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 73 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

- ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກ Riemann: > rightsum(x^2,x=0..1,10); ∑1 10 i2   i=1 100  10 - ຄດິ ໄລ່ ຄ່ າຂອງຜນົ ບວກ: > value(%); 77 200 - ຄ່ າເປັນຈາໍ ນວນທດົ ສະນຍິ ມົ ຂອງຜນົ ບວກເທງິ : > evalf(%); 0.3850000000 • ນາໍ ໃຊ້ Maple ແບ່ ງຫວ່ າງ [0; 1] ເປັນ 30 ສ່ ວນ ແລະ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກ Riemann: > with(student): > rightbox(x^2,x=0..1,30); - ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກເນອື້ ທ່ ຂີ ອງບນັ ດາຮູບສ່ ແີ ຈສາກ: > rightsum(x^2,x=0..1,30); ∑1 30 i2   i=1 900  30 - ຄດິ ໄລ່ ຄ່ າຂອງຜນົ ບວກ: > value(%); 1891 5400 - ຄ່ າເປັນຈາໍ ນວນທດົ ສະນຍິ ມົ ຂອງຜນົ ບວກເທງິ : > evalf(%); 0.3501851852 • ນາໍ ໃຊ້ Maple ແບ່ ງຫວ່ າງ [0; 1] ເປັນ 60 ສ່ ວນ ແລະ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກ Riemann: > with(student): > rightbox(x^2,x=0..1,60); ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 74 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

- ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກເນອື້ ທ່ ຂີ ອງບນັ ດາຮູບສ່ ແີ ຈສາກ: > rightsum(x^2,x=0..1,60); ∑1  60  i2   i=1 3600 60 - ຄດິ ໄລ່ ຄ່ າຂອງຜນົ ບວກ: > value(%); 7381 21600 - ຄ່ າເປັນຈາໍ ນວນທດົ ສະນຍິ ມົ ຂອງຜນົ ບວກເທງິ : > evalf(%); 0.3417129630 • ນາໍ ໃຊ້ Maple ແບ່ ງຫວ່ າງ [0; 1] ເປັນ 100 ສ່ ວນ ແລະ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກ Riemann: > with(student): > rightbox(x^2,x=0..1,100); - ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກເນອື້ ທ່ ຂີ ອງບນັ ດາຮູບສ່ ແີ ຈສາກ: > rightsum(x^2,x=0..1,100); ∑1 100  i2   i=1 10000 100 - ຄດິ ໄລ່ ຄ່ າຂອງຜນົ ບວກ: > value(%); 6767 20000 - ຄ່ າເປັນຈາໍ ນວນທດົ ສະນຍິ ມົ ຂອງຜນົ ບວກເທງິ : > evalf(%); 0.3383500000 • ນາໍ ໃຊ້ Maple ແບ່ ງຫວ່ າງ [0; 1] ເປັນ 1000 ສ່ ວນ ແລະ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກ Riemann: > with(student): ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 75 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

> rightbox(x^2,x=0..1,1000); - ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກເນອື້ ທ່ ຂີ ອງບນັ ດາຮູບສ່ ແີ ຈສາກ: > rightsum(x^2,x=0..1,1000); ∑1  1000  i2   i=1 1000000 1000 - ຄດິ ໄລ່ ຄ່ າຂອງຜນົ ບວກ: > value(%); 667667 2000000 - ຄ່ າເປັນຈາໍ ນວນທດົ ສະນຍິ ມົ ຂອງຜນົ ບວກເທງິ : > evalf(%); 0.3338335000 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເມ່ ອື ເມດັ ຫານຫວ່ າງ [0; 1] ຍ່ ງິ ເພ່ ມີ ຂນຶ້ ແມ່ ນຄ່ າຂອງຜນົ ບວກເນອື້ ທ່ ບີ ນັ ດາຮູບສ່ ແີ ຈສາກຍ່ ງິ ໃກຄ້ ຽງກບັ ເນອື້ ທ່ ີ S ແລະ ພວກມນັ ເທ່ າົ ກນັ ເມ່ ອື n ກາ້ ວຫາອະສງົ ໄຂ ເຊ່ ນັ : ນາໍ ໃຊ້ Maple ແບ່ ງຫວ່ າງ [0; 1] ເປັນ n ສ່ ວນ ແລະ ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກ Riemann: - ຄດິ ໄລ່ ຜນົ ບວກເນອື້ ທ່ ຂີ ອງບນັ ດາຮູບສ່ ແີ ຈສາກ: > rightsum(x^2,x=0..1,n); ∑n i2 i = 1 n2 n - ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດຂອງຜນົ ບວກເມ່ ອື n ກາ້ ວຫາອະສງົ ໄຂ: > imit(rightsum(x^2,x=0..1,n),n=infinity)=limit(rightsum (x^2,x=0..1,n),n=infinity); lim ∑n i2 =1 3 n→∞ i = 1 n2 n ດ່ ງັ ນນັ້ , ເຮາົ ສະຫຸຼບໄດວ້ ່ າ: ນໍາໃຊຄ້ ໍາສງັ Maple: > nt(x^2,x=0..1)=int(x^2,x=0..1); ເຮາົ ໄດ້ ⌡⌠1x2 dx = 1 3 0 ແລະ ທຽບໃສ່ ຜນົ ຂາ້ ງເທງິ lim ∑n i2 i = 1 n2 = 1 n→∞ n 3 ບດົ ເລກ 2. ນໍາໃຊ້ Maple ຊ່ ວຍຄດິ ໄລ່ ບໍລມິ າດກອ້ ນວດັ ຖຸ: ໃຫໜ້ າ້ ພຽງ (H) ຂອບດວ້ ຍສອງ ເສນັ້ ກງົ ວງົ ມນົ y = x3 ແລະ y = 2x . ຄດິ ໄລ່ ບໍລມິ າດທ່ ເີ ກດີ ການປ່ ິນຮູບອອມ້ Ox ແລະ Oy. ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 76 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ

• ບໍລມິ າດທ່ ເີ ກດີ ຈາກຮູບ (H) ປ່ ິນອອ້ ມແກນ Ox: > with(Student[Calculus1]): > 'y' = x^3,'y' = 2*x,'x' = -sqrt(2),'x' = sqrt(2); y = x3, y = 2 x, x = − 2 , x = 2 >VolumeOfRevolution(f,g,-sqrt(2)..sqrt(2),output= plot); ບໍລມິ າດວດັ ຖຸເວລາປ່ ິນອອ້ ມແກນ Ox ແມ່ ນ: > Int(Pi*abs(x^6-4*x^2),x = -sqrt(2)..sqrt(2)) = int(Pi*abs(x^6-4*x^2),x = - sqrt(2)..sqrt(2)); ⌡⌠− 2 x6 − 4 x2 dx = 64 2 π 21 π 2 • ບໍລມິ າດທ່ ເີ ກດີ ຈາກຮູບ (H) ປ່ ິນອອ້ ມແກນ Oy: >VolumeOfRevolution(f,g,-sqrt(2)..sqrt(2),axis = vertical,output = plot); ບໍລມິ າດວດັ ຖຸເວລາປ່ ິນອອ້ ມແກນ Oy ແມ່ ນ: >Int(2*Pi*abs(x)*abs(x^3-2*x),x = -sqrt(2)..sqrt(2)) = int(2*Pi*abs(x)*abs(x^3-2*x),x = - sqrt(2)..sqrt(2)); ⌡⌠ 2 x x3 − 2 x dx = 32 2 π 15 2π −2 ປອ ຈບັ ວງົ ທະວີ 77 ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນໍາ້ ທາ