ม.4 สรุประบบจำนวนจริง

การการจาแนกจานวนจรงิ จำนวนจรงิ (Real number) คอื จำนวนทีส่ ำมำรถเขียนแทนดว้ ยจดุ บนเสน้ จำนวนจริง ได้โดยจุด ๆ หนึ่งแทนไดเ้ พียง 1 จำนวน จำนวนจรงิ ประกอบดว้ ย เซตของจำนวนตรรกยะ และเซตของจำนวนอตรรกยะ ดังแผนผงั ของระบบจำนวนจริงดงั นี้ จำนวนจริง (R) จำนวนตรรกยะ (Q) จำนวนอตรรกยะ (Q) จำนวนเต็ม (I) ไมใ่ ช่จำนวนเต็ม จำนวนท่ถี อดรำกไมไ่ ด้ จำนวนท่ีเป็นเศษส่วน ( a ; b0 ) จำนวนเต็มลบ (I-) เศษส่วนแท้ b , ,e ... , -3, -2, -1 เศษส่วนเกิน ทศนิยมซำแบบไมร่ ู้จบ จำนวนเต็มศูนย์ (0) 1.214368... 0 จำนวนเต็มบวก (I+) เศษสว่ นจำนวนคละ 1, 2, 3, ... จำนวนทศนยิ มแบบรู้จบ 0.24 , 24.601 จำนวนทศนิยมไม่รจู้ บ 2.2222... , 3.548888...

การเท่ากนั ของจานวนจริงและสมบัติปดิ เน่ืองจำกจำนวนเดียวกันสำมำรถเขยี นด้วยสัญลักษณ์หลำกหลำย จงึ ใช้สญั ลกั ษณ์ = แทน กำรเทำ่ กนั หรือเปน็ สงิ่ เดียวกัน โดยมีสมบตั กิ ำรเทำ่ กัน ดงั นี้ กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ 1. สมบตั ิกำรสะทอ้ น : ถ้ำ a เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ แล้ว a = a เช่น 2 = 2 2. สมบตั กิ ำรสมมำตร : ถ้ำ a = b แล้ว b = a เชน่ ถำ้ 4 =2 แล้ว 2= 4 3. สมบัติกำรถำ่ ยทอด : ถำ้ a = b และ b = c แลว้ a = c เชน่ ถำ้ x = 2y และ 2y = 5 แล้ว x = 5 4. สมบัตกิ ำรบวกดว้ ยจำนวนท่ีเท่ำกนั : ถำ้ a = b แล้ว a + c = b + c เชน่ ถำ้ x = 9 แล้ว x + 3 = 9 + 3 5. สมบัติกำรคณู ดว้ ยจำนวนที่เท่ำกนั : ถ้ำ a = b แล้ว ac = bc เชน่ ถ้ำ 9 = 3 แลว้ 4 9 = 4(3)

การสมบตั ิปดิ (closure property) บทนยิ ำม ถำ้ นำสมำชิกใดๆ ในเซตมำกระทำกนั แลว้ ผลลัพธ์ท่ไี ด้ทกุ คู่ เปน็ สมำชกิ ของเซตเดมิ เสมอ เรำเรยี กว่ำ เซตน้ันมีสมบตั ิปิด ภำยใตก้ ำรกระทำนั้น ถ้ำ a  A , b  A แล้ว (a # b)  A เรำเรียกว่ำเซต A มสี มบัติปิดภำยใต้กำร #

สมบัตกิ ำรบวกในระบบจำนวนจรงิ กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ สมบัติกำรบวก รปู แบบ 1. ปิดกำรบวก ถำ้ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ แลว้ a+b เปน็ จำนวนจรงิ ด้วย 2. กำรสลบั ท่กี ำรบวก 3. กำรเปลีย่ นกล่มุ กำรบวก a+b = b+a 4. กำรมีเอกลักษณ์กำรบวก a+(b+c) = (a+b)+c 5. กำรมอี ินเวอรส์ กำรบวก มีจำนวนจรงิ 0 ซ่ึงทำให้ 0+a = a = a+0 สำหรับจำนวนจริง a ทกุ ตวั สำหรับ a แตล่ ะตัว จะมจี ำนวนจรงิ –a จำนวนเดียว ซ่งึ ทำให้ a+(–a) = 0 = (–a)+a

สมบัตกิ ำรคูณในระบบจำนวนจรงิ กำหนดให้ a, b, c เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ สมบัติกำรคูณ รูปแบบ 1. ปิดกำรคูณ ถ้ำ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ แลว้ ab เปน็ จำนวนจริงด้วย 2. กำรสลับทก่ี ำรคณู ab = ba 3. กำรเปลย่ี นกลมุ่ กำรคณู a(bc) = (ab)c 4. กำรมเี อกลักษณ์กำรคูณ มจี ำนวนจรงิ 1 ซ่งึ ทำให้ 1  a = a  1 สำหรบั จำนวนจรงิ a ทกุ ตวั 5. กำรมอี นิ เวอร์สกำรคณู สำหรับจำนวนจริง a แต่ละตัว และ a  0 จะมจี ำนวนจรงิ a-1 จำนวนเดยี วทีท่ ำให้ (a-1) a = 1 = a(a-1) 6. กำรแจกแจง a(b+c) = ab + ac (แจกแจงทำงซ้ำย) (b+c)a = ba + ca (แจกแจงทำงขวำ)

ระบบจำนวนจรงิ ประกอบด้วยเซตของจำนวนจริง R กบั กำรบวกและกำรคูณ ถำ้ a, b, c เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ สมบตั ิกำรบวกและกำรคณู ของระบบจำนวนจริงเป็นดงั นี้ สมบตั ิ กำรบวก กำรคูณ 1. ปดิ 2. กำรสลบั ที่ a+bR ab  R 3. กำรเปล่ียนกลุ่ม 4. กำรมเี อกลักษณ์ a+b = b+a ab = ba 5. กำรมีอินเวอร์ส 6. กำรแจกแจง (a + b) + c = a + ( b + c) a(bc) = (ab)c a+0 = a = 0+a 1a = a = a1 (–a) + a = 0 = a + (–a) a (a-1) 1 = (a-1) a a (b + c) = ab + ac

ในระบบจำนวนจรงิ จะมีระบบยอ่ ย R+ ซ่งึ R+  R มสี มบตั ดิ งั นี้ 0  R+ และ ถำ้ a เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ ทีไ่ มเ่ ปน็ ศนู ย์ แลว้ a จะตอ้ งเปน็ ประกำรใดประกำรหนึง่ ตอ่ ไปน้เี ทำ่ น้นั คือ a  R+ หรือ –a  R+ ถ้ำ a , b  R+ แลว้ a + b  R+ ถ้ำ a , b  R+ แลว้ ab  R

ทฤษฎบี ทในระบบจานวนจริง จำกบทนิยำม กำรลบ กำรหำร และสมบัตเิ กยี่ วกบั กำรบวก กำรคูณ 11 ข้อ ใชใ้ นกำรพิสจู น์ ทฤษฎีบทต่อไปนไ้ี ด้ ทฤษฎีบทท่ี 1 (กฎกำรตดั ออกสำหรับกำรบวก) เมอ่ื a , b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้ำ a + c = b + c แลว้ a = b ถำ้ a + b = a + c แล้ว b = c ทฤษฎีบทท่ี 2 (กฎกำรตัดออกสำหรบั กำรคณู ) เม่ือ a , b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ ถ้ำ ac = bc และ c  0 แล้ว a = b ถ้ำ ab = ac และ a  0 แล้ว b = c ทฤษฎบี ทที่ 3 เมอ่ื a เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ a  0 = 0 ทฤษฎีบทท่ี 4 เม่อื a เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ (–1) a = –a

ทฤษฎบี ทท่ี 5 เมอื่ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ ทฤษฎีบทที่ 6 ถำ้ ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎีบทท่ี 7 เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ ทฤษฎบี ทที่ 8 1. a(– b) = –ab 2. (–a)b = –ab 3. (–a)(–b) = ab เม่ือ a และ b เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ 1. a(b – c) = ab – ac 2. (a – b)c = ac – bc 3. (–a)(–b) = ab ถ้ำ a  0 จะได้ a-1  0

ทฤษฎีบทที่ 9 a , b , c , d เป็นจำนวนจรงิ เมื่อ b , c , d  0 a b −1 c b= a c d 1. c bc 5.  = 2. a = ac 6. a = ac b bc b b c 3. a + c = ad + bc 7.  a  = ad b d bd  b  bc c 4.  a  c  ac d b d bd =

การแกส้ มการของพหนุ ามดกี รีสอง กำรแกส้ มกำร หรอื กำรหำคำตอบของสมกำรกำลงั สองตวั แปรเดยี ว หมำยถงึ กำรหำคำตอบของสมกำรทเี่ ขียนในรูป ax2 + bx + c = 0 เม่ือ a, b และ c เปน็ คำ่ คงตวั และ a  0 ทำได้โดยอำศัยควำมรูเ้ กยี่ วกับจำนวนจริงดังนี้ ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนจริง และ ab = 0 แลว้ a หรือ b อยำ่ งน้อยหนึง่ ตวั ต้อง เป็นศนู ย์ ตวั อย่ำงท่ี 1 ถำ้ x (x – 2) = 0 วธิ ีทำ จะได้วำ่ x =0 หรือ x–2 = 0 ; x=2 ดังน้ัน 0 หรอื 2 เป็นคำตอบของสมกำร x (x – 2) = 0 ตวั อยำ่ งที่ 2 ถำ้ (x – 2) (x – 3) = 0 วิธที ำ จะไดว้ ่ำ x – 2 = 0 ; x=2 หรือ x – 3 = 0 ; x = 3 ดงั นัน้ 2 หรือ 3 เปน็ คำตอบของสมกำร (x – 2) (x – 3) = 0

ในกำรแกส้ มกำรกำลังสอง นอกจำกใช้วธิ แี ยกตัวประกอบดงั ทไ่ี ด้กลำ่ ว มำแล้ว ยังสำมำรถใชส้ ูตรเพ่ือหำคำตอบของสมกำรกำลังสอง โดยหำคำ่ x จำกสมกำร จำก ax2 + bx +c =0 เม่อื a0 x2 + b x + c = 0 คูณดว้ ย 1 ทัง้ สองขำ้ งของสมกำร a a a x2 + b x = − c คูณด้วย −c ทัง้ สองข้ำงของสมกำร a a a ทำสมกำรข้ำงตน้ ใหอ้ ยใู่ นรปู กำลงั สองสมบรู ณ์ โดยบวกดว้ ย b2 ทัง้ สองข้ำงของสมกำร 4a2 b b2 c b2 จะได้ x2 + a x + 4a2 = − a + 4a2 เนอ่ื งจำก  x + b 2 =  x + b  x + b  = x2 + b x +  b2  2a 2a 2a a  4a2   

ดงั นั้น  x + b 2 = − c + b2 2a a 4a2  x + b 2 = b2 − 4ac 2a 4a2 x + b =  b2 − 4ac 2a 4a2 x + b =  b2 − 4ac 2a 2a x = − b  b2 − 4ac 2a 2a x = −b b2 − 4ac 2a

จะได้ x = −b b2 − 4ac เมื่อ b2 −4ac 0 2a ข้อสงั เกต ในกำรหำคำตอบของสมกำร ax2 + bx +c =0 โดยใชส้ ตู ร x = −b b2 − 4ac 2a นั้น ค่ำของ x จะเปน็ จริง เมื่อ b2 −4ac 0 ฉะน้นั จะใช้สูตรเพ่ือหำคำตอบทเ่ี ป็นจำนวนจรงิ ของสมกำร เมอื่ b2 −4ac 0 เทำ่ นนั้

สมบตั ิการไมเ่ ทา่ กนั สมบัติของจำนวนจรงิ ตำมข้อ 12 เป็นพน้ื ฐำนในกำรใหค้ วำมหมำย “มำกกว่ำ” “น้อยกว่ำ” และเป็นพ้นื ฐำนสรำ้ งแนวทำงในกำรแกอ้ สมกำร ถำ้ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ ขอ้ ใดข้อหนึง่ และเพยี งขอ้ เดียวจะตอ้ งเปน็ จรงิ คือ 1. a = 0 2. a  R+ 3. –a  R+ นิยำม เรยี ก a ว่ำ จำนวนจริงศูนย์ ก็ตอ่ เมอื่ a = 0 เรยี ก a วำ่ จำนวนจริงบวก กต็ ่อเมอื่ a  R+ เรียก a ว่ำ จำนวนจรงิ ลบ ก็ต่อเม่อื –a  R+ ถำ้ a, b เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ ข้อใดข้อหน่งึ และเพยี งข้อเดียวจะตอ้ งเป็นจริง คือ 1. a – b=0 2. a – bR+ 3. – (a – b)R+ นิยำม เรยี ก a เทำ่ กบั b กต็ อ่ เมื่อ a – b = 0 (a=b) เรียก a มำกกวำ่ b ก็ตอ่ เมือ่ a – b  R+ (a>b) เรียก a นอ้ ยกวำ่ b กต็ อ่ เม่อื b – a  R+ (a<b)

สมบตั ไิ ตรวภิ าคของสองจานวน (Trichotomy property) ถ้ำ a และ b เปน็ จำนวนสองจำนวนใด ๆ แล้ว ขอ้ ตอ่ ไปนข้ี ้อใดข้อหน่ึงและ เพียงข้อเดยี วเท่ำนน้ั ทจ่ี ะต้องเปน็ จรงิ (1) a = b (2) a > b (3) a < b ทฤษฎบี ทของการไมเ่ ทา่ กันบางประการ ทฤษฎีบท สมบตั ิกำรถ่ำยทอด ถ้ำ a > b และ b > c แล้ว a > c ทฤษฎีบท สมบตั กิ ำรบวกดว้ ยจำนวนทีเ่ ทำ่ กัน ถำ้ a > b แล้ว a + c > b + c เมอ่ื c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ

ทฤษฎบี ท จำนวนบวกและจำนวนลบเปรยี บเทยี บกบั 0 ทฤษฎีบท 1. a เปน็ จำนวนจรงิ บวก ก็ตอ่ เม่อื a > 0 ทฤษฎีบท 2. a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมอ่ื a < 0 ทฤษฎบี ท สมบัติกำรคูณด้วยจำนวนเท่ำกนั ทไ่ี มเ่ ปน็ ศูนย์ 1. ถ้ำ a > b และ c > 0 แลว้ ac > bc 2. ถำ้ a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc สมบัติกำรตดั ออกสำหรับกำรบวก ถำ้ a + c > b + c แลว้ a > b สมบตั ิกำรตดั ออกสำหรบั กำรคณู 1. ถำ้ ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b 2. ถ้ำ ac > bc และ c < 0 แลว้ a < b

ทฤษฎีบท ถ้ำ r และ s เปน็ จำนวนจริง และ r < s บทนยิ ำม จะมีจำนวนตรรกยะ c ซง่ึ r < c < s ab หมำยถึง a < b หรือ a = b ab หมำยถึง a > b หรือ a = b a<b<c หมำยถงึ a < b และ b < c abc หมำยถึง a  b และ b  c a<bc หมำยถงึ a < b และ b  c ab<c หมำยถงึ a  b และ b < c

ช่วง (Interval) เมือ่ เอกภพสมั พัทธ์เป็นจำนวนจรงิ และ a < b แลว้ 1. ช่วงเปิด ( a , b) หมำยถงึ { x a < x < b } – a b  2. ชว่ งปิด [ a , b ] หมำยถึง { x a  x  b }  – a b 3. ชว่ งครึง่ เปิด [ a , b) หมำยถงึ { x a  x < b } – a b  4. ช่วงครึ่งเปดิ ( a , b] หมำยถงึ { x a < x  b } – ab 

5. ช่วง ( a , ) หมำยถงึ { x x > a }  – a   6. ช่วง [a , ) หมำยถึง { x x  a }  – a 7. ชว่ ง (– , a) หมำยถงึ { x x < a } – a 8. ชว่ ง (–, a] หมำยถงึ { x x  a } – a

การแก้อสมการตวั แปรเดียวดีกรไี มเ่ กินสอง อสมกำร หมำยถึง ประโยคท่มี ีเครอ่ื งหมำย  หรอื  หรือ  หรอื  หรอื  กำรแกอ้ สมกำร หมำยถึง กำรหำค่ำของตัวแปรในอสมกำรทที่ ำใหอ้ สมกำรเปน็ จรงิ หลักกำรแก้อสมกำร ใชส้ มบตั ิกำรไมเ่ ทำ่ กัน และมีขอ้ พึงระวังดงั นี้ 1. กำรคูณหรอื กำรหำรดว้ ยจำนวนลบ ถ้ำ a  b และ c  0 แล้ว ac  bc ถ้ำ a  b และ c  0 แล้ว ac  bc ดงั น้นั ไม่มกี ำรคณู หรอื กำรหำรด้วยตัวแปรที่ไมท่ รำบคำ่ บวกหรือลบแน่นอน 2. กำรยกกำลงั สองทังสองข้ำงต้องค่ำบวกทงั สองข้ำงหรอื ลบทงั สองข้ำง ถ้ำ a  b  0 แล้ว a2  b2 ถ้ำ a  b  0 แลว้ a2  b2

3. กำรกลับเศษเป็นสว่ น เน่อื งจำก ถำ้ a  b  0 แลว้ 11 ab 11 ถ้ำ 0  a  b แลว้ ab ถำ้ จำนวนบวก  จำนวนลบ แลว้ 1 1 จำนวนบวก จำนวนลบ 4. อสมกำรไมม่ ีกำรถอดรำกที่สอง เชน่ ไม่ทำ x2  9 แล้ว x   3 ข้อพงึ ระวัง จำกตัวอยำ่ งที่ 4 ถ้ำตวั ประกอบมีสมั ประสิทธขิ์ องตัวแปรเปน็ ลบ ตอ้ ง ทำใหเ้ ปน็ บวก กอ่ น โดยคูณดว้ ย –1 พรอ้ มทังเปล่ยี นเครือ่ งหมำย  เป็น  หรือ  เปน็ 

ค่าสมั บรู ณ์ จำกควำมหมำยในเชิงเรขำคณิต ค่ำสมั บรู ณข์ องจำนวนจริง x ใด ๆ เขียน แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ | x | หมำยถงึ ระยะหำ่ งระหวำ่ งจดุ แทน 0 กับจุด แทน x บนเสน้ จำนวน บทนยิ ำม สำหรบั จำนวนจริง x ทกุ ตัว คำ่ สมั บรู ณ์ของ x ซึ่งเขยี นแทนด้วย | x | มีควำมหมำยดังน้ี x เมื่อ x  0 | x |= 0 เมื่อ x = 0 –x เมื่อ x  0 เชน่ x – 3 เมื่อ x  3 หรอื |x – 3| = 0 เมือ่ x = 3 x – 3 เมอ่ื x – 3  0 |x – 3| = 0 เมือ่ x – 3 = 0 –(x – 3) เมอ่ื x  3 –(x – 3) เมื่อ x – 3  0

อสมการคา่ สัมบูรณ์ อสมกำรค่ำสมั บรู ณ์ คือ อสมกำรท่ีตวั แปรตดิ อยูใ่ นรูปคำ่ สมั บูรณ์ กำรแกอ้ สมกำรคำ่ สัมบรู ณ์ สำมำรถทำได้โดยใชท้ ฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี ทฤษฎบี ท กำหนดให้ x เป็นจำนวนจรงิ และ a เปน็ จำนวนจริงบวก จะได้ว่ำ 1) x  a ก็ต่อเม่ือ –a  x  a 2) x  a ก็ตอ่ เม่ือ –a  x  a 3) x  a ก็ตอ่ เม่ือ x  –a หรอื x  a 4) x  a ก็ตอ่ เมื่อ x  –a หรอื x  a

การแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลอื ให้ p(x) แทนพหนุ ำมท่ีมตี วั แปรเปน็ x ดังน้ี p(x) = an xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 ; an  0 เชน่ p(x) = 3x4 – 2x3 + x2 – x – 3 ทฤษฎีบทเศษเหลือ ( Remainder theorem ) 1. ถ้ำพหนุ ำม p(x)  (x–c) เม่ือ cR แลว้ เศษของกำรหำรเท่ำกับ p(c) 2. ถ้ำพหุนำม p(x)  (ax–b) เม่ือ a , bR และ a  0 b แล้ว เศษของกำรหำรเท่ำกับ p  a 

ตัวอย่ำงที่ 1 จงหำเศษของกำรหำร x4 – 2x2 + 3x – 1 ด้วย x+1 วิธีทำ ให้ p(x) = x4 – 2x2 + 3x – 1 โดยทฤษฎบี ทเศษเหลือ เมอ่ื หำร p(x) ด้วย x–c แล้วเศษของกำรหำรเทำ่ กับ p(c) จะได้วำ่ x–c = x+1 = ( x –(–1) ) นน่ั คือ c = –1 ดงั นนั้ เศษของกำรหำร p(x) ด้วย x+1 คือ p(–1) p(–1) = (–1)4 – 2(–1)2 + 3(–1) –1 = 1–2–3–1 = –5 นน่ั คือ เศษเหลือของกำรหำร p(x) ดว้ ย x+1 คอื –5

กำรหำรลงตวั และตวั ประกอบ ถ้ำพหนุ ำม p(x) หำรดว้ ย x–c แลว้ เศษ p(c) = 0 แสดงว่ำ 1. ( x–c ) หำรพหุนำม p(x) ได้ลงตัว 2. ( x–c ) เป็นตัวประกอบของ p(x) ทฤษฎีบทตวั ประกอบ 1. (x–c) เป็นตวั ประกอบตวั หนง่ึ ของพหุนำม p(x) ก็ตอ่ เม่อื p(c)=0 2. (ax–b), a  0 เปน็ ตวั ประกอบตัวหน่งึ ของพหุนำม p(x) ( )ก็ตอ่ เม่ือp b =0 a

การแยกตวั ประกอบโดยวิธีการหารสงั เคราะห์ ขน้ั ตอนวธิ กี ารหารสงั เคราะหด์ งั น้ี 1. นำสัมประสิทธ์ิของพหุนำมมำเรียงจำกดีกรีมำกไปหำนอ้ ย ถ้ำพจน์ใดไม่มี ใหเ้ ขียน สมั ประสิทธเ์ิ ปน็ 0 ดงั น้ี 4x3 + 13x2 + 4x – 11 เขียนไดด้ งั น้ี 4 13 4 –11 2x3 + 3x – 1 เขียนไดด้ ังน้ี 2 0 3 –1 2. ถำ้ x – c เปน็ ตวั หำร ให้นำ c ไปวำงไว้ข้ำหน้ำแถวที่ 1 เช่น ( 4x3 + 13x2 + 4x – 11 )  (x+2) จะได้ x+2 = x – (–2) น่ันคอื x = –2 เขยี นไดด้ ังนี้ –2 4 13 4 –11 แถวท่ี 1

3. ให้เขยี นสัมประสทิ ธ์ิของพหุนำมตัวแรกในแถวท่ี 3 เหมอื นกบั ตวั เลขตัวแรกใน แถวที่ 1 แลว้ นำตวั หำร คอื c ไปคณู กับตัวเลขตวั แรกในแถวท่ี 3 นำผลไปเขียนลงใน ตำแหน่งที่ 2 ของแถวท่ี 2 ต่อจำกนัน้ ให้นำตวั เลขในตำแหนง่ ที่ 2 ของแถวที่ 1 และ 2 มำบวกกนั นำผลทไ่ี ด้ไปเขียนไวใ้ นแถวท่ี 3 ในตำแหนง่ เดยี วกนั เชน่ –2 4 13 + 4 –11 แถวที่ 1 –8 แถวท่ี 2 แถวที่ 3 45 (–8 มำจำก 4(–2) ) ( 5 มำจำก 13+(-8) )

4. ใหน้ ำตวั หำร คอื c ไปคณู กบั ตวั เลขในตำแหน่งที่ 2 แถวที่ 3 แล้วนำผลคูณไป วำงไว้ในตำแหนง่ ถดั ไปของแถวท่ี 2 นำผลมำบวกกนั แลว้ เขยี นลงไว้ในแถวท่ี 3 ใน ตำแหนง่ เดียวกัน ทำเช่นน้ไี ปเรอ่ื ย ๆ จนหมดทกุ ตวั ดงั น้ี –2 4 13 4 –11 + แถวที่ 1 –8 –10 12 แถวที่ 2 แถวที่ 3 4 5 –6 1 ผลหำร เศษ 5. ตัวเลขในแถวท่ี 3 คอื สมั ประสทิ ธิข์ องผลหำรทม่ี ีดีกรีของพหนุ ำมน้อยกวำ่ ตัว ต้ังอยู่ 1 และตัวสุดท้ำยคือ เศษ ดงั นี้ จำกแถวที่ 3 จะได้ผลหำร คือ 4x2+ 5x – 6 เศษ 1

ตัวอยำ่ งท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ x4 – x3 – 7x2 + x + 6 วิธที ำ กำหนดให้ p(x) = x4 – x3 – 7x2 + x + 6 ตัวประกอบของ 6 คือ 1 , 2 , 3 , 6 พจิ ำรณำคำ่ x=1 จะได้ p(1) = 14 – 13 – 7(1)2 + 1 + 6 = 0 แสดงว่ำ (x–1) เปน็ ตัวประกอบหน่ึงของ p(x) จำกวธิ ีกำรหำรสงั เครำะห์ 1 1 –1 –7 1 6 + 1 0 –7 –6 1 0 –7 –6 0 ผลหำร เศษ นัน่ คือ จะได้ p(x) = (x–1)( x3–7x–6)

ให้ q(x) = x3 – 7x – 6 ตวั ประกอบของ –6 คือ 1 , 2 , 3 , 6 แทน x = –1 จะได้ q(x) = (–1)3 – 7(–1) – 6 = 0 แสดงวำ่ x + 1 เปน็ ตัวประกอบของ x3 – 7x – 6 จำกวิธีกำรหำรสงั เครำะห์ 1 1 0 –7 –6 + –1 1 6 1 –1 –6 0 ผลหำร เศษ จะได้ q(x) = x3 – 7x – 6 = (x+1)( x2– x – 6) = (x+1)(x–3)(x+2) สรุปไดว้ ำ่ p(x) = (x–1)(x+1)(x–3)(x+2) น่นั คอื ตัวประกอบของ x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = (x–1)(x+1)(x–3)(x+2)

THE END...