สรุปปลายภาค ค30201

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค30201 *ปรนยั 14 ขอ้ 14 คะแนน - พาราโบลา 4 ขอ้ - วงรี 5 ขอ้ - ไฮเพอร์โบลา 5 ขอ้ *อตั นยั 3 ขอ้ 6 คะแนน - หาสมการพาราโบลา - ใหส้ มการ จดั รปู หาส่วนประกอบ วงรี - หาสมการไฮเพอรโ์ บลา



พาราโบลา พาราโบลา คอื เซตของจดุ ทุกจดุ บนระนาบ ซึ่งอยูห่ ่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนง่ึ บนระนาบ และจุด คงท่จี ดุ หน่งึ บนระนาบท่ไี ม่อยบู่ นเสน้ ตรงน้ัน เป็นระยะทางเท่ากันเสมอ องคป์ ระกอบของพาราโบลา ไดเรกตริกซ์ (Di) กราฟพาราโบลา จดุ ยอด (V) ลาตัสเรกตัม (L) แกนพาราโบลา จุดโฟกสั (F) หรือแกนสมมาตร

พาราโบลา - จดุ ยอดทจี่ ุด (0,0) - จดุ โฟกสั ที่จุด (c,0) - ไดเรกตรกิ ซ์ เสน้ ตรง x=-c - แกน x เป็นแกนพาราโบลา สมการพาราโบลา คือ y2=4cx x=-c x=-c V(0,0) F(c,0) F(c,0) V(0,0) เม่ือ c>0 กราฟเปดิ ทางขวา เม่ือ c<0 กราฟเปดิ ทางซ้าย ความยาว L = |4c|

พาราโบลา - จุดยอดที่จดุ (0,0) - จดุ โฟกัสทจ่ี ดุ (0,c) - ไดเรกตรกิ ซ์ เส้นตรง y=-c - แกน Y เป็นแกนพาราโบลา สมการพาราโบลา คอื x2=4cy F(0,c) y=-c V(0,0) เม่อื c>0 กราฟหงาย V(0,0) y=-c F(0,c) เมือ่ c>0 กราฟควา่ ความยาว L = |4c|

พาราโบลา - จุดยอดทจี่ ุด (h,k) - จดุ โฟกัสท่ีจดุ (h+c,k) - ไดเรกตริกซ์ เส้นตรง x=h-c - แกนพาราโบลาขนานแกน X สมการพาราโบลา คอื (y-k)2=4c(x-h) เม่ือ c>0 กราฟเปดิ ทางขวา เม่ือ c<0 กราฟเปิดทางซ้าย ความยาว L = |4c|

พาราโบลา - จุดยอดทจี่ ุด (h,k) - จุดโฟกสั ทจ่ี ดุ (h,k+c) - ไดเรกตรกิ ซ์ เส้นตรง y=k-c - แกนพาราโบลาขนานแกน Y สมการพาราโบลา คือ (x-h)2=4c(y-k) F(h,k+c) y=k-c V(h,k) V(h,k) F(h,k+c) y=k-c เมื่อ c>0 กราฟหงาย เม่ือ c>0 กราฟคว่า ความยาว L = |4c|



วงรี วงรี คอื เซตของจุดทกุ จดุ บนระนาบซึง่ ผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยงั จุดคงทส่ี องจดุ บนระนาบมคี า่ คงตวั และคา่ คงตัวนี้มากกวา่ ระยะหา่ งระหว่างจดุ คงที่ท้งั สองน้นั องค์ประกอบของวงรี ไดเรกตริกซ์ (Di) กราฟวงรี ลาตัสเรกตมั (L)  แกนเอก จดุ ศนู ยก์ ลาง (C)  จุดโฟกสั (F) แกนโท

วงรี วงรี สมการวงรี คอื + = จดุ ศูนยก์ ลาง C(0,0) จุดยอด/จุดปลายแกนเอก A(a,0) , A(-a,0) a2=b2+c2 b2=a2-c2 จดุ โฟกสั F(c,0) , F(-c,0) จุดปลายแกนโท B(0,b) , B(0,-b) แกนเอกอย่บู นแกน X ลาตสั เรกตมั ยาว = หนว่ ย  ค่าความเยอ้ื งศนู ย์  = สมการไดเรกตริกซ์ =  =   ลกั ษณะวงรีแนวนอน

วงรี วงรี สมการวงรี คอื + = จุดศนู ยก์ ลาง C(0,0)  a2=b2+c2 จุดยอด/จุดปลายแกนเอก A(0,a) , A(0,-a) b2=a2-c2 จุดโฟกสั F(0,c) , F(0,-c) จุดปลายแกนโท B(b,0) , B(-b,0)  แกนเอกอยบู่ นแกน Y  หน่วย ลาตสั เรกตมั ยาว = ค่าความเย้อื งศูนย์ = สมการไดเรกตริกซ์ =  =  ลกั ษณะวงรีแนวต้ัง

วงรี วงรี สมการวงรี += += จุดศูนย์กลาง C(0,0) C(0,0) จุดยอด/จดุ ปลายแกนเอก A(a,0) , A(-a,0) A(0,a) , A(0,-a) จดุ โฟกสั F(c,0) , F(-c,0) F(0,c) , F(0,-c) จุดปลายแกนโท B(0,b) , B(0,-b) B(b,0) , B(-b,0) แกนเอก อย่บู นแกน X อยบู่ นแกน Y ลาตัสเรกตัมยาว = ***ระวงั a2=b2+c2 ค่าความเยือ้ งศูนย์ = b2=a2-c2 สมการไดเรกตริกซ์ = = = = ลกั ษณะของวงรี รแี นวนอน รีแนวตง้ั

วงรี สมการวงรี คือ −+ − = จดุ ศูนย์กลาง C(h,k) a2=b2+c2 b2=a2-c2 จุดยอด/จุดปลายแกนเอก A(h+a,k) , A(h-a,k) จุดโฟกสั F(h+c,k) , F(h-c,k) จดุ ปลายแกนโท B(h,k+b) , B(h,k-b) แกนเอกอยขู่ นานแกน X อยู่บนเส้นตรง y=k ลาตัสเรกตมั ยาว = หน่วย  ค่าความเยอ้ื งศูนย์ =  สมการไดเรกตรกิ ซ์ − =  − =   ลกั ษณะวงรีแนวนอน

วงรี สมการวงรี คือ − +− = จดุ ศนู ยก์ ลาง C(h,k) a2=b2+c2 b2=a2-c2 จดุ ยอด/จดุ ปลายแกนเอก A(h,k+a) , A(h,k-a) จดุ โฟกัส F(h,k+c) , F(h,k-c) จุดปลายแกนโท B(h+b,k) , B(h-b,k) แกนเอกอยูข่ นานแกน Y อยู่บนเส้นตรง x=h ลาตัสเรกตัมยาว = หน่วย  คา่ ความเยอื้ งศูนย์ = − =  สมการไดเรกตริกซ์ − =   ลกั ษณะวงรแี นวต้ัง

วงรี − +− = − +− = สมการวงรี C(h,k) C(h,k) ขนานแกน X จดุ ศูนยก์ ลาง A(h+a,k) , A(h-a,k) ขนานแกน Y แกนเอก F(h+c,k) , F(h-c,k) จดุ ยอด/จุดปลายแกนเอก B(h,k+b) , B(h,k-b) A(h,k+a) , A(h,k-a) จดุ โฟกสั จุดปลายแกนโท F(h,k+c) , F(h,k-c) ลาตัสเรกตัมยาว คา่ ความเย้ืองศนู ย์ B(h+b,k) , B(h-b,k) ***ระวัง สมการไดเรกตริกซ์ a2=b2+c2 ลักษณะของวงรี = = b2=a2-c2 − = − = − = − = รแี นวนอน รีแนวตั้ง



ไฮเพอร์โบลา องค์ประกอบของไฮเพอรโ์ บลา จดุ ปลายแกนสังยคุ กราฟไฮเพอรโ์ บลา จุดยอด ลาตัสเรกตมั เส้นก่ากับ  (L) แกนตามกวาง  จุดโฟกัส (F) จดุ ศูนยก์ ลาง (C) แกนสังยคุ

ไฮเพอร์โบลา ไฮเพอรโ์ บลา ไฮเพอร์โบลา คอื เซตของจดุ ทกุ จุดบนระนาบ ซง่ึ ผลตา่ งของระยะห่างจากจุดใดๆ ในเซตน้ีไป ยังจุดคงทีส่ องจุดบนระนาบมคี ่าคงตวั ซงึ่ มากกวา่ ศนู ย์ แต่น้อยกวา่ ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ คงทีท่ ้งั สอง   | PF-PF| = 2a PF-PF= 2a

ไฮเพอรโ์ บลา สมการไฮเพอรโ์ บลา คอื −= c2=a2+b2 b2=c2-a2 จดุ ศนู ยก์ ลาง C(0,0)  จุดยอด/จดุ ปลายแกนตามขวาง A(a,0) , A(-a,0) จดุ โฟกัส F(c,0) , F(-c,0) จดุ ปลายแกนสงั ยคุ B(0,b) , B(0,-b) ลาตัสเรกตัมยาว =  สมการเส้นกา่ กับ =  

ไฮเพอรโ์ บลา สมการไฮเพอร์โบลา คือ − = จดุ ศูนย์กลาง C(0,0) c2=a2+b2 b2=c2-a2 จุดยอด/จดุ ปลายแกนตามขวาง A(0,a) , A(0,-a)  จุดโฟกัส F(0,c) , F(0,-c)  จุดปลายแกนสงั ยุค B(b,0) , B(-b,0) ลาตัสเรกตมั ยาว =  สมการเสน้ กา่ กบั = 

ไฮเพอรโ์ บลา สมการไฮเพอร์โบลา −= −= จดุ ศนู ย์กลาง C(0,0) C(0,0) จดุ ยอด/จดุ ปลายแกนตามขวาง A(a,0) , A(-a,0) A(0,a) , A(0,-a) จุดโฟกัส F(c,0) , F(-c,0) F(0,c) , F(0,-c) จุดปลายแกนสังยคุ B(0,b) , B(0,-b) B(b,0) , B(-b,0) แกนตามขวาง อยบู่ นแกน X อยบู่ นแกน Y ลาตัสเรกตมั ยาว = ***ระวงั = c2=a2+b2 สมการเสน้ กา่ กับ = b2=c2-a2 ลักษณะของไฮเพอร์โบลา แนวตัง้ แนวนอน

ไฮเพอรโ์ บลา สมการไฮเพอร์โบลา คือ − −− = จดุ ศูนยก์ ลาง C(h,k) c2=a2+b2 b2=c2-a2 จุดยอด/จดุ ปลายแกนตามขวาง A(h+a,k) , A(h-a,k) จุดโฟกสั F(h+c,k) , F(h-c,k) จุดปลายแกนสังยุค B(h,k+b) , B(h,k-b) B ลาตสั เรกตมั ยาว = F bc F สมการเส้นกา่ กับ A − = − Ca A B

ไฮเพอรโ์ บลา สมการไฮเพอร์โบลา คือ − −− = c2=a2+b2 b2=c2-a2 จดุ ศูนยก์ ลาง C(h,k) B F จุดยอด/จุดปลายแกนตามขวาง A(h,k+a) , A(h,k-a) c Aa b จุดโฟกสั F(h,k+c) , F(h,k-c) CB A จุดปลายแกนสังยุค B(h+b,k) , B(h-b,k) F ลาตสั เรกตมั ยาว = สมการเสน้ กา่ กับ − =  −

ไฮเพอร์โบลา สมการไฮเพอร์โบลา − −− = − −− = จุดศนู ย์กลาง C(h,k) C(h,k) จดุ ยอด/จดุ ปลายแกนตามขวาง จุดโฟกสั A(h+a,k) , A(h-a,k) A(h,k+a) , A(h,k-a) จดุ ปลายแกนสังยคุ F(h+c,k) , F(h-c,k) F(h,k-c) , F(h,k-c) แกนตามขวาง B(h,k+b) , B(h,k-b) B(h+b,k) , B(h-b,k) อยบู่ นเสน้ ตรง y=k อยบู่ นเส้นตรง x=h ลาตัสเรกตมั ยาว − = − = ***ระวัง สมการไดเรกตรกิ ซ์ − = − c2=a2+b2 ลักษณะของไฮเพอรโ์ บลา แนวนอน b2=c2-a2 แนวต้ัง