Set_Thai

ความแขง็ แกร่งของคณติ ศาสตร์ สําหรับ นิสิตนักศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้ันปี ท่ี 1 และ นักเรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย เซต ผลติ โดย ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

i คาํ นํา เอกสารน้ีจดั ทาํ ข้ึนเพอื่ สรุปแนวคิดที่แขง็ แกร่งของคณิตศาสตร์เพือ่ สนบั สนุนการเรียน การสอนและการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของทกั ษะพ้ืนฐานทางคณิตศาสตร์และทกั ษะคณิตศาสตร์ ข้นั สูง สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้นั ปี ที่ 1 และนกั เรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอน ปลายในประเทศไทย โปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจดีสาํ หรับหวั ขอ้ ท้งั หมด 16 หวั ขอ้ ในขณะท่ี โปรแกรมท่ีไม่ใช่วทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจไดด้ ีเพียง 8 หวั ขอ้ คือ 1. เซต 2. การใช้ เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ 3. จาํ นวนจริง 4. ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 5. ตรีโกณมิติ 6. ลาํ ดบั และอนุกรม 7. ความน่าจะเป็น และ 8. สถิติ และมีอีก 8 หวั ขอ้ ที่ควรจะรวมไว้ ในโปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ ไดแ้ ก่ 9. เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 10. ฟังกช์ นั เลข ช้ีกาํ ลงั และลอการิทึม 11. เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ 12. ตรรกศาสตร์เชิงสญั ลกั ษณ์ 13. เวกเตอร์ 14. จาํ นวนเชิงซอ้ น 15. โปรแกรมเชิงเสน้ และ 16. แคลคลู สั วตั ถุประสงคข์ องเอกสารน้ี คือ เป็นการใชส้ ่ือการเรียนการสอนเพือ่ เนน้ ใหน้ ิสิต นกั ศึกษาและนกั เรียนมีความเขา้ ใจคณิตศาสตร์โดยมีการคิดอยา่ งเป็นข้นั เป็นตอน โดยให้ นิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ควรถามตนเองวา่ “ทาํ ไม” และ “อยา่ งไร\" เนื่องจากคาํ ถาม ประเภทน้ีจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน คน้ หาคาํ ตอบอยา่ งสมเหตุสมผล หวงั วา่ เน้ือหาในเอกสารน้ีจะเป็นประโยชนต์ ่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์และ กิจกรรมการเรียนรู้ของคณาจารยแ์ ละนกั เรียน มนั ควรจะเป็นประโยชนต์ ่อการพฒั นาความรู้ และทกั ษะทางคณิตศาสตร์สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคน และจะทาํ ใหน้ ิสิต นกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคนประสบความสาํ เร็จในการสอบ ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

เนือ้ หาเซต ii หน้า 1. ความเบอื้ งต้น ……………………………………………….…… 1 2. ประเภทของเซต …………………………………………….……. 2 3. สมมุตฐิ านเกยี่ วกบั เซต ………………………………………………. 2 4. ความสัมพนั ธ์ระหว่างเซต ……………………………………….… 2 5. การดาํ เนินงานในเซต ………………………………………………..…. 3 6. ทฤษฎขี องเซต …...…………………………………………….….. 4 ตวั อย่างทอี่ ธิบายใน Youtube ……………...………………………..…. 5 ตวั อย่างข้อทดสอบ ………………………………………………….….. 9 คาํ ตอบ …………………………………………………………………… 17 บรรณานุกรม …………………………………………………………… 18

1 เซต 1. ความเบอื้ งต้น ในวชิ าคณิตศาสตร์ เราใชค้ าํ วา่ “เซต” เมื่อเราพดู ถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ เมื่อเราพดู กลุ่มของสิ่งต่าง ๆ เราจะรู้วา่ สมาชิกของกลุ่มน้นั คืออะไร? โดยทวั่ ไป เราใชต้ วั พมิ พใ์ หญ่ของตวั อกั ษรภาษาองั กฤษเพ่ือเป็นตวั แทนเซตต่าง ๆ เช่น A, B, C และใชต้ วั พมิ พเ์ ลก็ ของตวั อกั ษรภาษาองั กฤษเพอ่ื แสดงส่วนประกอบของ เซตต่าง ๆ เช่น a, b, c เป็ นตน้ คาํ วา่ “เป็นสมาชิกของ” เรากาํ หนดใหม้ ีสญั ลกั ษณ์คือ “ ∈ ” และคาํ วา่ “ไม่เป็นสมาชิกของ” เรากาํ หนดใหม้ ีสญั ลกั ษณ์คือ “ ∉ ” เช่น ถา้ กาํ หนดให้ A = { 2, 1 } แลว้ เราจะไดวั า่ 2 2 ∈ A หมายถึง 2 เป็นสมาชิกของ A และ 1 ∉ A หมายถึง 1 ไม่เป็นสมาชิกของ A 33 n(A) หมายถึง จาํ นวนสมาชิกของเซตจาํ กดั A เซตสามารถเขียนไดส้ องแบบ คือ แบบแจกแจงสมาชิก และ แบบอธิบายสมาชิก ดงั น้ี (1) แบบแจกแจงสมาชิก เราจะเขียนสมาชิกท้งั หมดของเซตอยใู่ นวงเลบ็ ปี กกา และเราจะใชเ้ คร่ืองหมาย “ , ” (comma) เพื่อแยกแต่ละสมาชิกในเซตน้นั ตวั อยา่ งเช่น เซตของตวั เลขที่เป็นจาํ นวนนบั ท่ีนอ้ ยกวา่ 5 จะสามารถเขียนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิก ไดค้ ือ { 1, 2, 3, 4 } (2) แบบอธิบายสมาชิก เราจะใชต้ วั แปรเพือ่ อธิบายลกั ษณะของสมาชิกของเซต เช่น A = { x | x คือตวั อกั ษรภาษาองั กฤษสามตวั แรก } ซ่ึงเราจะอ่านวา่ A คือเซตของ x ซ่ึง x คือตวั อกั ษรภาษาองั กฤษสามตวั แรกสญั ลกั ษณ์ “ | ” แทนคาํ วา่ “ซ่ึง”

2. ประเภทของเซต 2 1. เซตจาํ กดั คือ เซตที่มีจาํ นวนสมาชิกเท่ากบั ศูนย์ หรือ มีจาํ นวนสมาชิกเท่ากบั จาํ นวนเตม็ บวก ดงั น้นั เซตวา่ ง φ ซ่ึงเป็นเซตท่ีไม่มีสมาชิกจึงเป็น เซตจาํ กดั 2. เซตอนันต์ คือ เซตท่ีไม่เป็นเซตจาํ กดั เราจะใชจ้ ุดไข่ปลา . . . เพอื่ แสดงค่าของ สมาชิกในเซตท่ีเหลือค่าอ่ืน ๆ 3. เซตเอกภพสัมพทั ธ์ u คือ การกาํ หนดสมมุติฐานวา่ การศึกษาเซตท้งั หมดท่ี กล่าวถึงจะตอ้ งอยใู่ นเซตเอกภพสัมพทั ธ์ u เท่าน้นั 3. สมมุตฐิ านเกยี่ วกบั เซต 1) เซตวา่ ง φ เป็นเซตจาํ กดั 2) ในการเขียนเซตท่ีเป็นรูปแบบการอธิบายสมาชิก เราจะใชอ้ งคป์ ระกอบแต่ละคร้ัง เพียงคร้ังเดียวเท่าน้นั เช่น เซตของตวั เลขในหลกั ต่าง ๆ ของจาํ นวน 121 คือเซต { 1, 2 } 3) เซตของจาํ นวนเลขที่เรานิยมใชม้ ีดงั น้ี I + คือ เซตของจาํ นวนเตม็ บวก หรือ I + = { 1, 2, 3, . . . } I − คือ เซตของจาํ นวนเตม็ ลบ หรือ I − = { - 1, - 2, - 3, . . . } I คือ เซตของจาํ นวนเตม็ หรือ I = {0, - 1, 1, - 2, 2, . . . } N คือ เซตของจาํ นวนนบั หรือ N = { 1, 2, 3, . . . } P คือ เซตของจาํ นวนเฉพาะ หรือ P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . } 4. ความสัมพนั ธ์ระหว่างเซต 1. เซตเท่ากนั เซต A และเซต B คือ เซตเท่ากนั A = B กต็ ่อเม่ือ สมาชิกทุก ตวั ของเซต A เป็นสมาชิกทุกตวั ของเซต B และ สมาชิกทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชิกทุก ตวั ของเซต A 2. สับเซต เซต A เป็นสบั เซตของเซต B จะเขียนไดว้ า่ A ⊂ B กต็ ่อเมื่อ สมาชิก ทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกทุกตวั ของเซต B เซต A ไม่เป็นสบั เซตของเซต B จะเขียน ไดว้ า่ A ⊄ B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B

3 3. เพาเวอร์เซต เพาเวอร์เซตของเซต A จะเขียนไดว้ า่ P(A) คือ เซตชองสบั เซต ท้งั หมดของเซต A ขอ้ เทจ็ จริงพ้ืนฐานบางประการท่ีนาํ ไปใชอ้ ยเู่ สมอมีดงั น้ี (i) φ ⊂ A และ A ⊂ A (ii) φ ∈ P(A) และ A ∈ P(A) (iii) φ ⊂ P(A) (iv) ถา้ A ⊂ B แลว้ P(A) ⊂ P(B) (v) ถา้ A มีสมาชิก n ตวั แลว้ P(A) จะมีสมาชิก 2n ตวั หรือกล่าวไดว้ า่ n (P(A)) = 2n 5. การดาํ เนินงานในเซต (1) ยูเนียน เซต A ยเู นียนเซต B จะเขียนไดว้ า่ A ∪ B ซ่ึงกาํ หนดนิยามดงั น้ี A ∪ B = { x | x ∈ A หรือ x ∈ B หรือ x เป็ นสมาชิดท้งั สองเซต } (2) อนิ เตอร์เช็คชัน เซต A อินเตอร์เชค็ เซต B จะเขียนไดว้ า่ A ∩ B ซ่ึงกาํ หนด นิยามดงั น้ี A ∩ B = { x | x ∈ A และ x ∈ B } (3) คอมพลเี มนต์ กาํ หนดใหเ้ ซต A และเอกภพสมั พทั ธ์ของมนั คือ u uA′ = { x | x ∈ และ x ∉ A }. หมายเหตุ ในตาํ ราอ่ืน ๆ อาจเขียนสญั ลกั ษณ์ของ A′ เป็ น A, Ac, A~, C(A) ถา้ เซต A และเซต B คือเซตท่ีอยใู่ นเอกภพสมั พทั ธ์เดียวกนั แลว้ ผลต่าง ระหวา่ งเซต A กบั เซต B และผลต่างระหวา่ งเซต B กบั เซต A กาํ หนด นิยามไดด้ งั น้ี A - B = { x | x ∈ A และ x ∉ B } B - A = { x | x ∈ B และ x ∉ A }. หมายเหตุ A - B เรียกวา่ คอมพลเี มนต์ของเซต B ท่ีมุ่งตรงต่อเซต A B - A เรียกวา่ คอมพลเี มนต์ของเซต A ท่ีมุ่งตรงต่อเซต B

6. ทฤษฎขี องเซต 4 ทฤษฎี ชื่อของทฤษฎี S1. A ∪ φ = A Identity laws S2. A ∩ u = A S3. A ∪ u = u Domination laws S4. A ∩ φ = φ S5. A ∪ A = A Idempotent laws S6. A ∩ A = A S7. (A′)′ = A Complementation laws S8. A ∪ B = B ∪ A Commutative laws S9. A ∩ B = B ∩ A S10. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C Associative laws S11. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C S12. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Distributive laws S13. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) S14. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ De Morgan’s laws S15. (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ S16. P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B) Power set of union sets S17. P(A ∪ B) ⊂ P(A) ∪ P(B) and intersection sets S18. A – B = A ∩ B′ S19. n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B) S20. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) S21. n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

ตวั อย่างทอี่ ธิบายใน Youtube 5 1. กาํ หนดให้ C = { x | x คือจาํ นวนเตม็ คู่ }, D = { 2, 4, 6, 8, . . . }, F = { x | x คือจาํ นวนเตม็ บวกและเป็นจาํ นวนคี่ }. แลว้ เซตที่เท่ากนั คือ ……………………………. วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=vR3VSXZaAaM 2. กาํ หนดให้ A = { x | x คือ จาํ นวนเตม็ บวกระหวา่ ง 0 และ 1 }, B = { x | x คือ จาํ นวนเตม็ ซ่ึงมากกวา่ 3 และนอ้ ยกวา่ 4 }, C = { x | x คือ จาํ นวนเฉพาะซ่ึงมากกวา่ 2 และนอ้ ยกวา่ 10 } แลว้ เซตที่เท่ากนั คือ ……………………….. วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=Ps7qXEkAN_s 3. กาํ หนดให้ A = { x | x คือ จาํ นวนเตม็ ซ่ึงหารดว้ ย 5 ลงตวั }, B = { x | x คือ จาํ นวนเตม็ ท่ีหารดว้ ย 5 ลงตวั และนอ้ ยกวา่ 200 } C = { x | x = 1 เมื่อ n คือจาํ นวนนบั ที่นอ้ ยกวา่ 1000 }. n แลว้ เซตที่เท่ากนั คือ …………………….. วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=tz_6WLQ0Vf4

6 4. กาํ หนดให้ A = { 1, { - 1, 2 }, - 1 } แลว้ สมาชิกของเซต A คือ ………….. วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=2KgnYNXM8wA 5. กาํ หนดให้ A = { 1, { - 1, 2 } } แลว้ เพาเวอร์เซต ของเซต A คือ ………………….. วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=4egF57yXMxk 6. กาํ หนดให้ u = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, B = { 2, 5, 8 } แลว้ ค่าของ A ∪ B, A ∩ B, A′ ∩ B′ , (A ∪ B)′ มีค่าเท่ากบั ……………………………………………………………………… วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=R_TvvLlOlVs 7. กาํ หนดให้ A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 2, 3, 4, 5, 6 } แลว้ n(A ∪ B), n(A ∩ B), n(A) + n(B), n(A ∪ B), n(A) + n(B) – n(A ∩ B) มีค่าเท่ากบั …………………… วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=f6cZXe58pR4

7 8. กาํ หนดให้ u = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, B = { 2, 6, 9 } จงเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และหาค่าของเซตต่อไปน้ี A′ , B′ , A ∪ B , (A ∪ B)′ , A′ ∩ B′ . …………………………………………………………………………….. วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=b666lMDgXnw 9. จงหาเพาเวอร์เซตของเซต A = { - 10, 0, 10 } และ B = { 0, { 10, - 10 } } …………………………………………………………………………….. วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=RUeNT1q58Lo 10. ในการประชุมท่ีมีตวั แทนจาํ หน่าย เคร่ืองนอน 500 ตวั แทนที่ขายผา้ ห่มหรือผา้ ปู ที่นอน หรือท้งั คู่ ถา้ มี 173 ตวั แทนจาํ หน่ายท่ีขายท้งั ผา้ ห่มและผา้ ปูที่นอน และ 115 ตวั แทนจาํ หน่ายที่ ขายผา้ ห่มเท่าน้นั อยากทราบวา่ มีตวั แทนจาํ หน่ายกี่ราย ท่ีขายเฉพาะผา้ ปทู ่ีนอนเท่าน้นั …………………………………………………………………………….. วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=gm7mgWwBxhk

8 11. จากการสาํ รวจของแม่บา้ นที่ใชผ้ งซกั ฟอกพบวา่ พวกเขาใชผ้ งซกั ฟอก ประเภท A, B และ C เป็น 25%, 45% และ 55% ตามลาํ ดบั พวกเขาใชป้ ระเภท A และ B คือ 5% ประเภท A และ C คือ 10% ประเภท B และ C คือ 15% ประเภท A, B และ C คือ 1% จงหา 1) เปอร์เซ็นตข์ องแม่บา้ นท่ีใชผ้ งซกั ฟอกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงชนิด A, B หรือ C 2) เปอร์เซ็นตข์ องแม่บา้ นที่ใชผ้ งซกั ฟอกงานประเภทอื่น และไม่ใช้ ผงซกั ฟอกประเภท A, B และ C ………………………………… วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=JVDtBPkq50A 12. จากการสุ่มตวั อยา่ งนกั เรียนมธั ยมปลาย 10,000 คน พบวา่ 3,700 คน ตอ้ งการ ศึกษาต่อ 5,500 คน ตอ้ งการหางานทาํ และ 8,500 คน ตอ้ งการศึกษาต่อ หรือ หางานทาํ แลว้ จงหาวา่ จาํ นวนนกั เรียนท่ีตอ้ งการศึกษาต่อและหางานทาํ มีค่าเท่ากบั ……………………………. และ จาํ นวนนกั เรียนท่ีไม่ตอ้ งการศึกษาต่อ หรือ ไม่ตอ้ งการหาทาํ มีค่าเท่ากบั ……………………… วธิ ึทาํ http://www.youtube.com/watch?v=nUtoulJnU9c

ตวั อย่างข้อทดสอบ 9 ข้อสอบแบบเลอื กคาํ ตอบทเี่ หมาะสมสําหรับคาํ ถามแต่ละข้อต่อไปนีเ้ พยี งข้อเดยี ว 1. กาํ หนดให้ I เป็นเซตของจาํ นวนเตม็ A = { x ∈ I | x = 2k, k ∈ I } และ B = { x ∈ I | 2x 2 – 7x – 4 < 0 }. จาํ นวนเลขในขอ้ ใดต่อไปน้ี ท่ีมีค่าเท่ากบั จาํ นวนสมาชิกของเพาเวอร์ของ A ∩ B 1. 4 2. 8 3. 16 4. 32 2. กาํ หนดให้ A = { x | x = – 2 และ n คือจาํ นวนนบั } n B = { 0, 1, 1 , 1 , . . . } และ 23 C = { – 1, 0, 1 , { 1 , 2 , 3 , . . . } }. 2 345 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคที่เป็นจริงสาํ หรับเซตของ (A∩ C) – B 1. มนั คือเซตอนนั ต์ 2. มนั คือเซตจาํ กดั ที่มีสมาชิกมากกวา่ 1 ตวั 3. มนั คือเซตท่ีมีสมาชิก 1 ตวั 4. มนั คือเซตวา่ ง 3. กาํ หนดให้ P – Q = { 1, 2, 8, 10 } Q – P = { 5, 6, 9 } และ P ∪ Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } จาํ นวนเลขในขอ้ ใดต่อไปน้ี ที่เป็นสบั เซตของเซต P ∩ Q 1. { 1, 2, 3, 4, 7, 8 } 2. { 2, 3, 6, 8, 10 } 3. { 2, 4, 6, 8, 10 } 4. { 1, 3, 5, 7, 9 }

10 4. กาํ หนดให้ R เป็นเซตของจาํ นวนจริง และ I เป็นเซตของจาํ นวนเตม็ ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคท่ีเป็นจริง 1. { x ∈ I | 3x 2 - 4x = 0 } คือเซตวา่ ง 2. { x ∈ I | x 2 - 4 ≠ 0 } คือเซตจาํ กดั 3. { x ∈ R | x ≠ x 2 } คือเซตอนนั ต์ 4. { x ∈ R | x 2 + 1 = 0 } คือเซตอนนั ต์ 5. กาํ หนดให้ เซต A, B, และ C มีจาํ นวนสมาชิก 25 ตวั , 14 ตวั , และ 18 ตวั ตามลาํ ดบั และจาํ นวนสมาชิกของเซต A∩ B, A∩ C, B∩ C, และ A∩ B∩ C คือ 6 ตวั , 8 ตวั , 10 ตวั , และ 2 ตวั ตามลาํ ดบั จาํ นวนเลขในขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนของ สมาชิกของเซต (A∩ C) – B, B – (A ∪ C), และ (A ∪ B) – C ตามลาํ ดบั 1. 6, 10, 17 2. 6, 1, 26 3. 4, 1, 21 4. 6, 0, 17 6. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือเซตที่มคี ่าเท่ากบั ส่วนท่ีแรเงาในรูปขา้ งล่างน้ี 1. A – (B ∪ C) 2. (A – C) ∪ B 3. C′ ∩ (A ∩ B) 4. (C − A)′ ∩ B 7. กาํ หนดให้ เซต A ∪ B = { 3, 4, 5, 7, 8 } A ∪ C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 } A∩C = φ B∩C = { 8 } A ∩ B = { 3, 5 } และ 4 ∉ B ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือเซตท่ีมคี ่าเท่ากบั เซต C 1. { 1, 2, 6, 8 } 2. { 1, 2, 4, 8 } 3. { 2, 3, 4, 8 } 4. { 3, 4, 5, 8 }

11 8. กาํ หนดให้ เซต A = { a, {a}, {b}, {b, c} }. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือเซตท่ีมคี ่าเท่ากบั เซต (A – { {b, c} }) ∪ { b } 1. { a, {a}, {b} } 2. { a, b, {a} } 3. { a, b, {a}, {b} } 4. { a, b, {a}, {b}, {b, c} } 9. กาํ หนดให้ เซต A = { 1, 2, {3, 4}, 3, 4, {5}, 6 }. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือเซตท่ีมีค่าเท่ากบั เซตซ่ึงไม่เป็ นสบั เซตของเซต A 1. { 1, 2, {3, 4} } 2. { 1, {3, 4}, {5} } 3. { 1, {3, 4}, 6 } 4. { {3, 4}, 5, 6 } 10. กาํ หนดให้ เซต A = [1, 3], B = (2, 4), C = (3, 5) และกราฟแสดงเซตตามรูป ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือเซตท่ีมคี ่าเท่ากบั ตามรูปกราฟขา้ งบนน้ี 1. (A ∪ C) – B 2. (C ∪ B) – A 3. (A ∪ B) – C 4. (A ∩ C) – B 11. กาํ หนดใหโ้ รงเรียนมีนกั เรียน 70 คน ในโรงเรียนมี 3 ชมรม คือ ศิลปะ ดนตรี และ การปรุงอาหาร นกั เรียนทุกคนจะตอ้ งเป็นสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงชมรม สมมุติวา่ มี นกั เรียน 20 คนท่ีไม่เป็นสมาชิกของชมรมการปรุงอาหาร มีนกั เรียน 20 คนท่ีเป็น สมาชิกของชมรมการปรุ งอาหารและไม่เป็ นสมาชิกของชมรมศิลปะและไม่เป็ นสมาชิก ของชมรมดนตรี และมีนกั เรียน 25 คนที่เป็นสมาชิกของชมรมดนตรีและชมรมของ การปรุงอาหาร ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าของจาํ นวนของนกั เรียนท่ีเป็นสมาชิกของท้งั สาม ชมรม 1. 8 2. 12 3. 14 4. 15

12 12. ในกลุ่มหน่ึงมีนกั เรียน 50 คน ซ่ึงในกลุ่มน้ีมีนกั เรียน 30 คน ที่ไม่เล่นกีฬาและไม่ฟัง เพลง มีนกั เรียน 6 ตน ที่ฟังเพลงและไม่เล่นกีฬา และมีนกั เรียน 1 ตน ที่เล่นกีฬาและ ไม่ฟังเพลง ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าของจาํ นวนของนกั เรียนท่ีเล่นกีฬาและฟังเพลง 1. 11 2. 13 3. 17 4. 18 13. ในการสาํ รวจคนกลุ่มหน่ึง 32 คน ซ่ึงคนกลุ่มน้ีมี 18 คน ที่ชอบด่ึมชาเขียว มี 16 คน ท่ีชอบด่ึมกาแฟ และมี 8 ที่ไม่ชอบด่ึมชาเขียวและไม่ชอบด่ึมกาแฟ ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ ค่าของจาํ นวนของคนที่ชอบดื่มชาเขียวเพยี งอยา่ งเดียว 1. 6 คน 2. 8 คน 3. 10 คน 4. 12 คน 14. กาํ หนดให้ เซต A = { 1, 2, 3, . . . } และ B = { { 1, 2 }, { 3, 4, 5 }, 6, 7, 8, . . . }. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยตท่ีเป็นจริง 1. จาํ นวนสมาชิกของเซต A – B มีค่าเท่ากบั 5 2. จาํ นวนสมาชิกของเซต B – A มีค่าเท่ากบั 4 3. จาํ นวนสมาชิกของเซต (A – B)∪ (B – A) มีค่าเป็ นเลขจาํ นวนเตม็ ตู่ 4. จาํ นวนสมาชิกของเซต A∩ B มีค่าเป็นเลขจาํ นวนนบั ท่ีมีค่ามากกวา่ 5 15. กาํ หนดให้ เซต A – B = { 2, 4, 6 } B – A = { 0, 1, 3 } และ A ∪ B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือเซตที่เป็นสับาซตของเซต A∩ B 1. { 0, 1, 4, 5, 6, 7 } 2. { 1, 2, 4, 5, 6, 8 } 3. { 0, 1, 3, 5, 7, 8 } 4. { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

13 16. กาํ หนดให้ เซต A = { 3, 5, 7, . . . , 199 } และ B = { 2, 5, 8, . . . } ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนสมาชิกของเซต A∩ B 1. 31 2. 33 3. 35 4. 37 17. กาํ หนดให้ เซต I คือเซตของจาํ นวนเตม็ และ เซต A =  x∈I | |x − 1| − 1 ≤ 2  .  |x − 1| 3    ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนสมาชิกของเซต A 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 18. กาํ หนดใหเ้ ซต A = { x | x = (a + 1 ) 2 - (| a | + 1 ) 2 โดย a คือจาํ นวนจริงที่ a ≠ 0} |a| a ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนสมาชิกของเซต A 1. 1 2. 2 3. 3 4. มากกวา่ หรือเท่ากบั 4 19. กาํ หนดให้ จาํ นวนสมาชิกของเซตตามตารางขา้ งล่างน้ี เซต A ∪ B A ∪ C B ∪ C A ∪ B ∪ C A ∩ B ∩ C จาํ นวนสมาชิกของเซต 25 27 26 30 7 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจํานวนสมาชิกของเซต (A∩ B)∪ C 1. 23 2. 24 3. 25 4. 26 20. กาํ หนดให้ เซต A เป็นเซตจาํ กดั และเซต B เป็นเซตอนนั ต์ ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคที่ไม่จริง 1. มีสบั เซตของเซต A เป็ นเซตจาํ กดั 2. มีสบั เซตของเซต B เป็นเซตจาํ กดั 3. มีสบั เซตของเซต A เป็นเซตอนนั ต์ 4. มีสบั เซตของเซต B เป็นเซตอนนั ต์

ข้อสอบแบบแสดงวธิ ีทาํ 14 21. นกั เรียนท่ีสอบผา่ นเกณฑม์ าตรฐานในวิชาคณิตศาสตร์ วชิ าสงั คมศึกษา และ วชิ าภาษาไทย ของนกั เรียนระดบั ประถมศึกษาแห่งหน่ึงปรากฏผลดงั น้ี วชิ าคณิตศาสตร์ 36 คน วชิ าสงั คมศึกษา 50 คน วชิ าภาษาไทย 44 คน วชิ าคณิตศาสตร์และวชิ าสงั คมศึกษา 15 คน วชิ าภาษาไทยและวชิ าสงั คมศึกษา 12 คน วชิ าคณิตศาสตร์และวชิ าภาษาไทย 7 คน ผา่ นท้งั สามวชิ า 5 คน อยากทราบวา่ จะมีจาํ นวนนกั เรียนท่ีสอบผา่ นอยา่ งนอ้ ย 1 วชิ าก่ีคน วธิ ีทาํ 22. จากการสาํ รวจแม่บา้ นที่เขา้ รับการอบรมจาํ นวน 300 คน ปรากฏวา่ มีแม่บา้ น 100 คน ท่ีไม่ชอบด่ืมชาและไม่ชอบด่ืมกาแฟ มีแม่บา้ น 100 คน ที่ชอบด่ืมชา และมีแม่บา้ น 150 คน ท่ีชอบด่ืมกาแฟ อยากทราบวา่ จะมีจาํ นวนแม่บา้ นกี่คน ท่ีชอบท้งั สองอยา่ งคือ ชอบด่ืมชาและชอบด่ืมกาแฟ วธิ ีทาํ

15 23. จากการสาํ รวจประชาชนเกี่ยวกบั สตั วเ์ ล้ียงจาํ นวน 75 คน ปรากฏวา่ มีประชาชน ชอบเล้ียงนก 37 คน ชอบเล้ียงแมว 33 คน ชอบเล้ียงหมา 40 คน ชอบเล้ียงนก และชอบเล้ียงหมา 16 คน ชอบเล้ียงแมวและชอบเล้ียงหมา 11 คน ชอบเล้ียงนกและ ชอบเล้ียงหมา 12 คน และไม่มีใครเลยท่ีชอบเล้ียงสตั วเ์ ล้ียงท้งั สามชนิดน้ี อยากทราบ วา่ จะมีจาํ นวนประชาชนก่ีคน ท่ีไม่ชอบเล้ียงสตั วเ์ ล้ียงท้งั สามชนิดน้ี วธิ ีทาํ . 24. จากการสาํ รวจประชาชนเกี่ยวกบั การรับประทานอาหารปรากฏวา่ มีประชาชนไม่ รับประทานไก่ 7 คน ไม่รับประทานหมู 6 คน ไม่รับประทานปลา 5 คน ไม่ รับประทานไก่และไม่รับประทานหมู 4 คน ไม่รับประทานไก่และไม่รับประทาน ปลา 3 คน ไม่รับประทานหมแู ละไมร่ ับประทานปลา 2 คน ไม่รับประทานอาหาร ท้งั สามชนิดน้ี 1 คน อยากทราบวา่ มีจาํ นวนประชาชนก่ีคนที่เขา้ ร่วมในการสาํ รวจน้ี วธิ ีทาํ

16 25. จากการสาํ รวจนกั ท่องเที่ยว 100 คน ปรากฏวา่ นกั ท่องเที่ยวชอบภเู กต็ 50 คน นกั ท่องเที่ยวชอบเชียงใหม่ 60 คน นกั ท่องเที่ยวชอบท้งั สามสถานท่ีท่องเที่ยว (ภเู กต็ เชียงใหม่ ขอนแก่น) 10 คน นกั ท่องเที่ยวชอบภเู กต็ และเชียงใหม่ 25 คน นกั ท่องเท่ียวชอบเชียงใหม่และขอนแก่น 20 คน นกั ท่องเที่ยวชอบภเู กต็ และขอนแก่น 15 คน อยากทราบวา่ มีจาํ นวนนกั ท่องเท่ียวท่ีชอบขอนแก่นกี่คนท่ีเขา้ ร่วมในการ สาํ รวจน้ี วธิ ีทาํ

คาํ ตอบ (เซต : หน้า 9) 17 1. 4 2. 3 3. 1 4. 3 5. 4 6. 2 7. 1 10. 2 11. 4 12. 4 13. 3 14. 1 8. 3 9. 4 17. 1 18. 1 19. 1 20. 3 21. 111 24. 10 25. 15 15. 1 16. 1 22. 50 23. 4

บรรณานุกรม 18 Arshavsky, N. et al. (2000). Impact Mathematics: Algebra and More for the Middle Grades. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Bass, L. E. et al. (2004). Prentice Hall Mathematics: Geometry. New Jersey: Prentice Hall. Bluman, A. G. (2004). Elementary Statistics: A Step by Step Approach. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Clements, D. H. et al. (2002). Mathematics. New York: McGraw-Hill School Division. Emanuel, R. et al. (2002 a). Pure Mathematics 1. England: Pearson Education Limited. Emanuel, R. et al. (2002 b). Pure Mathematics 2. England: Pearson Education Limited. Epp, S. S. (2004). Discrete Mathematics with Applications. California: Books/Cole-Thomson Learning Finney, R. L. et al. (2007). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic. New York: Pearson Prentice Hall. Gerver, R. et al. (1998). Geometry: An Integrated Approach. Illinois: National Textbook Company. Haffmann. L. D. et al. (2005). Applied Calculus for Business, Economics, and Social and Life Science. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Hungerford, T. W. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Payne, V. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 a). Algebra 1. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 b). Algebra 2. New York: Holt, Rinehart and Winston. Senk, S. L. et al. (1998). Functions, Statistics, and Trigonometry. California: Addition Wesley Longman Inc.

Educations Sri Nakharinwirot University, Prasarnmitr, Thailand 1967 B.Ed. Mathematics 1971 M.Ed. Mathematics Vanderbilt University, Peabody College, USA 1992 Ed.D. Curriculum and Supervision, Mathematics Concentration Academic and Administrative Experience 2006 – 2016 Lecturer in Mathematics, Asian University 2003 – 2004 Adviser to the President, Naresuan University 2001 – 2003 Vice-President for Research, Naresuan University 1996 – present Full Professor in Mathematics Education, Naresuan University 1998 – 2003 Part Time Lecturer in Mathematics, Mae Fah Luang University 1992 – 1996 Associate Professor in Mathematics, Naresuan University 1977 – 1992 Assistance Professor in Mathematics, Naresuan University 1971 – 1977 Lecturer in Mathematics, Naresuan University