TrigonometryThai

ความแขง็ แกร่งของคณติ ศาสตร์ สําหรับ นิสิตนักศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้ันปี ที่ 1 และ นักเรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย ตรีโกณมติ ิ ผลติ โดย ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

i คาํ นํา เอกสารน้ีจดั ทาํ ข้ึนเพ่อื สรุปแนวคิดที่แขง็ แกร่งของคณิตศาสตร์เพ่ือสนบั สนุน การเรียนการสอนและการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของทกั ษะพื้นฐานทางคณิตศาสตร์และ ทกั ษะคณิตศาสตร์ข้นั สูง สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้นั ปี ที่ 1 และนกั เรียน ระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลายในประเทศไทย โปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจดีสาํ หรับหวั ขอ้ ท้งั หมด 16 เรื่อง ในขณะท่ี โปรแกรมที่ไม่ใช่วทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจไดด้ ีเพียง 8 เรื่อง คือ 1. เซต 2. การใช้ เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ 3. จาํ นวนจริง 4. ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 5. ตรีโกณมิติ 6. ลาํ ดบั และอนุกรม 7. ความน่าจะเป็น และ 8. สถิติ และมีอีก 8 เร่ืองที่ควรรวมไว้ ในโปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ ไดแ้ ก่ 9. เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 10. ฟังกช์ นั เลขช้ีกาํ ลงั และลอการิทึม 11. เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ 12. ตรรกศาสตร์เชิงสญั ลกั ษณ์ 13. เวกเตอร์ 14. จาํ นวนเชิงซอ้ น 15. โปรแกรมเชิงเส้น และ 16. แคลคลู สั วตั ถุประสงคข์ องเอกสารน้ี คือ เป็นการใชส้ ื่อการเรียนการสอนเพอ่ื เนน้ ใหน้ ิสิต นกั ศึกษาและนกั เรียนมีความเขา้ ใจคณิตศาสตร์โดยมีการคิดอยา่ งเป็นข้นั เป็นตอน โดยให้ นิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ควรถามตนเองวา่ “ทาํ ไม” และ “อยา่ งไร\" เนื่องจากคาํ ถาม ประเภทน้ีจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน คน้ หาคาํ ตอบอยา่ งสมเหตุสมผล หวงั วา่ เน้ือหาในเอกสารน้ีจะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์และ กิจกรรมการเรียนรู้ของคณาจารยแ์ ละนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ซ่ึงจะเป็นประโยชนต์ ่อ การพฒั นาความรู้และทกั ษะทางคณิตศาสตร์สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคน และจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคนประสบความสาํ เร็จในการสอบ ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

ii เนือ้ หาตรีโกณมติ ิ หน้า 1. อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ …………………………….……………… 1 2. การนําไปใช้ .....…………………………………………………. 2 3. สูตรตรีโกณมติ ิ ………………...……………………………………. 2 ตวั อย่างข้อทดสอบ …………..……………………………………..….. 4 คาํ ตอบ ……..………………………………………………………….… 11 บรรณานุกรม ……..………………………………………………….… 12

ตรีโกณมิติ 1 ตรีโกณมติ ิ I 1. อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ กาํ หนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซ่ึงดา้ นตรงขา้ มของมุม A, B, และ C เท่ากบั a, b, และ c ตามลาํ ดบั โดยที่ C คือมุมฉาก (ดูรูป) แลว้ จะไดว้ า่ sin A = a , cos A = b , cc tan A = a = sin A , csc A = c = 1 = cosec A , b cos A a sin A sec A = c = 1 , cot A = b = cos A . b cos A a sin A Angle 0 30o ( π ) 45o ( π ) 60o ( π ) 90o ( π ) (θ) 0 6 4 3 2 sin θ 1 0 1 2 3 1 cos θ 2 2 2 2 1 0 tan θ 3 2 2 2 หาค่าไม่ได้ 1 1 3 3

2. การนําไปใช้ 2 มุมกม้ และมุมเงยคือมุมจากระดบั สายตาถึงสิ่งท่ีเราสงั เกต หากมุมอยตู่ ่าํ ระดบั สายตา มุมน้นั จะเรียกวา่ “มมุ ก้ม” และถา้ มุมอยเู่ หนือระดบั สายตามุมน้นั เรียกวา่ “มมุ เงย” ตรีโกณมติ ิ II 3. สูตรตรีโกณมติ ิ sin (– θ ) = – sin θ cos (– θ ) = cos θ sin 2 θ + cos 2 θ = 1 1 + cot 2 θ = cosec 2 θ ; sin θ ≠ 0 tan 2 θ + 1 = sec 2 θ ; cos θ ≠ 0 sin (A ± B) = sin A cos B ± sin B cos A cos (A ± B) = cos A cos B  sin A sin B tan (A ± B) = tan A ± tan B 1  tan A tan B cot (A ± B) = cot A cot B  1 cot A ± cot B 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A – B) sin A + sin B = 2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) 22 sin A – sin B = 2 cos ( A + B ) sin ( A − B ) 22 cos A + cos B = 2 cos ( A + B ) cos ( A − B ) 22 cos A – cos B = – 2 sin ( A + B ) sin ( A − B ) 22

3 sin 2A = 2 sin A cos A = 2 tan A 1 + tan 2 A cos 2A = cos 2 A – sin 2 A =1 – 2 sin 2 A = 2 cos 2 A – 1 tan 2A = 2 tan A 1 − tan 2 A sin 3A = 3 sin A – 4 sin 3 A cos 3A = 4 cos 3 A – 3 cos A tan 3A = 3 tan A − tan3 A 1 − 3 tan 2 A sin A = ± 1 − cos A 22 cos A = ± 1 + cos A 22 tan A = ± 1 − cos A 2 1 + cos A

ตวั อย่างข้อทดสอบ 4 ข้อสอบแบบเลอื กคาํ ตอบทเี่ หมาะสมสําหรับคาํ ถามแต่ละข้อต่อไปนีเ้ พยี งข้อเดยี ว และ1. กาํ หนดให้ 180o ≤ θ ≤ 270o 3 tan θ = 4. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ค่าของ cos θ − sin θ ? 1. – 7 2. 1 5 5 3. 2 4. 1 5 2. กาํ หนดให้ ABC คือสามเหล่ียมมุมฉากท่ีมีมุมฉาก ABC และมีมุม CAB เท่ากบั 60o ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ค่าของความยาวของ CB เม่ือกาํ หนดใหผ้ ลบวก ของความยาวของ AB และ AC คือ 6 หน่วย 1. 6( 2 – 1) หน่วย 2. 2 2 หน่วย 3. 2 หน่วย 4. 2 3 หน่วย 3. กาํ หนดให้ PQR คือสามเหล่ียมมุมฉากท่ีมีมุมฉากคือมุม R และมีมุม P เท่ากบั 60o ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ค่าของความยาวของ PQ เมื่อกาํ หนดใหพ้ ้นื ท่ี ของสามเหล่ียมเท่ากบั 18 3 ตารางหน่วย 1. 12 หน่วย 2. 4 2 หน่วย 3. 6 หน่วย 4. 3 3 หน่วย 4. กาํ หนดให้ PQR คือสามเหล่ียมมุมฉากที่มีมุมฉากคือมุม Q และ cos P = 3 5 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ค่าของ cos (90o – P) 1. 3 2. 3 4 5 3. 4 4. 1 5

5 5. ชายคนหน่ึงอยบู่ นหนา้ ผามองเห็นเรือสามลาํ ที่ลอยน้าํ อยู่ ซ่ึงทาํ ใหม้ ีมุมกม้ จาก หนา้ ผาเท่ากบั 60o , 45o และ 30o โดยกลอ้ งสาํ รวจของเขาที่มีหมายเลขเรือ คือ 1, 2 และ 3 ตามลาํ ดบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ระยะทางบนระดบั น้าํ จาก หนา้ ผาถึงเรือหมายเลข 1 เม่ือกาํ หนดใหเ้ รือหมายเลข 2 ถึง 3 มีระยะทาง ระหวา่ งกนั 1 หน่วย 1. 2 หน่วย 2. 2 3 หน่วย 3. 1 หน่วย 4. 3 3 หน่วย 3− 3 6. เคร่ืองบินมีความสูง 500 เมตร นกั บินเห็นเครื่องหมายสนามบินในการสงั เกต คร้ังแรกและคร้ังที่สองเป็นมุมกม้ 30o และ 60o ตามลาํ ดบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ ค่าที่เท่ากบั ระยะทางห่างจากการสงั เกตของนกั บินระหวา่ งคร้ังแรกและคร้ังที่สอง 1. 750 เมตร 2. 1000 เมตร 3 3 3. 2500 เมตร 4. 4000 เมตร 3 3 7. กาํ หนดให้ ABC คือสามเหลี่ยมท่ีมีมุมฉากคือมุม B และมีมุม A เท่ากบั 30o และสามเหล่ียมมีพ้ืนที่ 24 3 ตารางหน่วย ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ค่า ของความยาวของ AB 1. 12 หน่วย 2. 14 หน่วย 3. 16 หน่วย 4. 18 หน่วย 8. กาํ หนดให้ ABC คือสามเหล่ียมที่มีมุมฉากคือมุม C ความยาวของ BC คือ 10 3 หน่วย ความยาวของ AB คือ 20 หน่วย และลากเส้นต้งั ฉากจาก จุด C ไปยงั เส้นตรง AB ที่จุด D ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าจาํ นวนเลขท่ีเท่ากบั ค่า ของความยาวของ CD 1. 5 2 หน่วย 2. 5 3 หน่วย 3. 10 2 หน่วย 4. 10 3 หน่วย

6 9. กาํ หนดให้ ABC คือสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากคือมุม C สามเหล่ียมมีพ้ืนที่ 25 ตารางหน่วย และ sin B = sin A ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าจาํ นวนเลขท่ีเท่ากบั ค่าของความยาวของ AB 1. 5 หน่วย 2. 5 3 หน่วย 3. 5 2 หน่วย 4. 10 หน่วย 10. กาํ หนดให้ ความสูงของสามเหล่ียมดา้ นเท่ามีค่าเท่ากบั 1 หน่วย ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ความยาวของดา้ นของสามเหล่ียม 1. 3 หน่วย 2. 2 3 หน่วย 2 3 3. 4 หน่วย 4. 3 หน่วย 3 2 11. กาํ หนดให้ ABC คือสามเหล่ียมมุมฉากที่มีมุมฉากคือมุม C มีค่า cos B = 2 3 และความยาวของดา้ น BC มีค่าเท่ากบั 1 หน่วย ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือค่าที่เท่ากบั พ้ืนที่ของสามเหล่ียม ABC 1. 5 ตารางหน่วย 2. 5 ตารางหน่วย 5 4 3. 5 ตารางหน่วย 4. 5 ตารางหน่วย 3 2 12. กาํ หนดใหส้ ี่เหลี่ยมผนื ผา้ ABCD มีพ้นื ท่ี 12 ตารางหน่วย และ tan ABˆ D = 1 3 ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือค่าที่เท่ากบั ความยาวของ AE โดยที่ AE ต้งั ฉากกบั BD ที่จุด E 1. 10 หน่วย 2. 2 10 หน่วย 3 5 3. 10 หน่วย 4. 3 10 หน่วย 2 5

7 13. พจิ ารณารูปดา้ นล่างน้ี กาํ หนดใหม้ ุม CFˆE, CAˆ B, AEˆB, EDˆ B เป็ นมุมฉาก ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคท่ีไม่เป็ นจริง 1. sin 1ˆ = sin 5ˆ 2. cos 3ˆ = cos 5ˆ 3. sin 2ˆ = cos 4ˆ 4. cos 2ˆ = sin 3ˆ 14. กาํ หนดให้ รูปตามดา้ นล่างน้ี ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคที่ผลสรุปท่ีเป็ นจริง 1. sin 21 o = cos 69 o 2. sin 21 o = cos 21 o 3. cos 21 o = tan 21 o . 4. tan 21 o = cos 69 o 15. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคที่เป็ นจริง 1. sin 31 o < sin 45 o 2. cos 30 o < cos 45 o 3. tan 45 o < cot 45 o 4. tan 60 o < cot 60 o

8 16. กาํ หนดใหต้ าราง A, ตาราง B, และตาราง C คือค่าของอตั ราส่วนตรีโกณมิติของ มุมตามท่ีกาํ หนด ตาราง A ตาราง B ตาราง C θ sin θ θ cos θ θ tan θ 40 o 0.643 40 o 0.766 40 o 0.839 41 o 0.656 41 o 0.755 41 o 0.869 42 o 0.669 42 o 0.743 42 o 0.900 รูปดา้ นล่างน้ีคือสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ท่ีมีมุม B เป็นมุมฉาก มุม C คือ 41o และส่านสูง BX เท่ากบั 1 หน่วย ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ ตาราง ท่ีเราสามารถนาํ ไปใชห้ าค่าความยาวของ AX 1. ใน ตาราง A 2. ใน ตาราง B 3. ใน ตาราง C 4. เราไมส่ ามารถหาค่าไดจ้ ากตาราง A ตาราง B และตาราง C 17. กาํ หนดใหต้ ารางค่าของอตั ราส่วนตรีโกณมิติของมุมตามที่กาํ หนด θ sin θ cos θ 72 o 0.951 0.309 73 o 0.956 0.292 74 o 0.961 0.276 75 o 0.966 0.259 ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือค่าของมุมทเี่ ลก็ ทสี่ ุดที่มีดา้ นของสวมเหลี่ยมคือ 7, 24, และ 25 1. 15 o 2. 16 o 3. 17 o 4. 18 o

9 18. กาํ หนดใหม้ ุมหน่ึงของสามเหลี่ยมมุมฉากมีค่าเท่ากบั 60 องศา และเสน้ รอบรูป สามเหล่ียมเท่ากบั 3 – 3 ฟุต ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือค่าความยาวของดา้ นทเ่ี ป็ นอนั ดบั สองของสามเหล่ีนม 1. 2 – 3 ฟุต 2. 2 + 3 ฟุต 3. 2 3 – 3 ฟุต 4. 2 3 + 3 ฟุต 19. กลอ้ งถ่ายรูปของวงจรปิ ดต้งั อยสู่ ูงกวา่ ถนน 2 เมตร และสามารถถ่ายภาพที่มีมุม กม้ ระหวา่ ง 45o และ 30o ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือระยะทางทเี่ ป็ นความสามารถ มากทสี่ ุดของกลอ้ งถ่ายรูปน้ี (กาํ หนดให้ 3 ≈ 1.73 ) 1. 1.00 เมตร 2. 1.46 เมตร 3. 2.00 เมตร 4. 3.46 เมตร

10 ข้อสอบแบบแสดงวธิ ีทาํ 20. กาํ หนดให้ ABC คือสามเหลี่ยมที่มุมฉากคือมุม B ถา้ cot A = 12 5 แลว้ จะไดค้ ่าของ 10 cosec A + 12 sec A มีค่าเท่าไร วธิ ีทาํ 21. กาํ หนดให้ ABC คือสามเหล่ียมที่มุมฉากคือมุม B ถา้ cos A = 3 5 แลว้ จะไดค้ ่าของ cos (B – A) มีค่าเท่าไร วธิ ีทาํ

คาํ ตอบ (ตรีโกณมติ ิ : หน้า 4) 11 1. 2 2. 4 3. 4 4. 3 5. 3 6. 2 7. 1 8. 2 9. 4 10. 2 11. 2 12. 4 13. 3 14. 1 18. 3 19. 2 20. 39 21. 3 15. 1 16. 3 17. 2 5

บรรณานุกรม 12 Arshavsky, N. et al. (2000). Impact Mathematics: Algebra and More for the Middle Grades. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Bass, L. E. et al. (2004). Prentice Hall Mathematics: Geometry. New Jersey: Prentice Hall. Bluman, A. G. (2004). Elementary Statistics: A Step by Step Approach. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Clements, D. H. et al. (2002). Mathematics. New York: McGraw-Hill School Division. Emanuel, R. et al. (2002 a). Pure Mathematics 1. England: Pearson Education Limited. Emanuel, R. et al. (2002 b). Pure Mathematics 2. England: Pearson Education Limited. Epp, S. S. (2004). Discrete Mathematics with Applications. California: Books/Cole-Thomson Learning Finney, R. L. et al. (2007). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic. New York: Pearson Prentice Hall. Gerver, R. et al. (1998). Geometry: An Integrated Approach. Illinois: National Textbook Company. Haffmann. L. D. et al. (2005). Applied Calculus for Business, Economics, and Social and Life Science. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Hungerford, T. W. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Payne, V. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 a). Algebra 1. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 b). Algebra 2. New York: Holt, Rinehart and Winston. Senk, S. L. et al. (1998). Functions, Statistics, and Trigonometry. California: Addition Wesley Longman Inc.

Educations Sri Nakharinwirot University, Prasarnmitr, Thailand 1967 B.Ed. Mathematics 1971 M.Ed. Mathematics Vanderbilt University, Peabody College, USA 1992 Ed.D. Curriculum and Supervision, Mathematics Concentration Academic and Administrative Experience 2006 – 2016 Lecturer in Mathematics, Asian University 2003 – 2004 Adviser to the President, Naresuan University 2001 – 2003 Vice-President for Research, Naresuan University 1996 – present Full Professor in Mathematics Education, Naresuan University 1998 – 2003 Part Time Lecturer in Mathematics, Mae Fah Luang University 1992 – 1996 Associate Professor in Mathematics, Naresuan University 1977 – 1992 Assistance Professor in Mathematics, Naresuan University 1971 – 1977 Lecturer in Mathematics, Naresuan University