ความแขง็ แกร่งของคณติ ศาสตร์ สําหรับ นิสิตนักศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้ันปี ที่ 1 และ นักเรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย แนวคดิ ทางสถติ ิ ผลติ โดย ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ
i คาํ นํา เอกสารน้ีจดั ทาํ ข้ึนเพือ่ สรุปแนวคิดท่ีแขง็ แกร่งของคณิตศาสตร์เพื่อสนบั สนุน การเรียนการสอนและการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของทกั ษะพื้นฐานทางคณิตศาสตร์และทกั ษะ คณิตศาสตร์ข้นั สูง สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้นั ปี ท่ี 1 และนกั เรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลายในประเทศไทย โปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจดีสาํ หรับหวั ขอ้ ท้งั หมด 16 เรื่อง ในขณะที่ โปรแกรมท่ีไม่ใช่วทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจไดด้ ีเพยี ง 8 เรื่อง คือ 1. เซต 2. การใช้ เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ 3. จาํ นวนจริง 4. ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 5. ตรีโกณมิติ 6. ลาํ ดบั และอนุกรม 7. ความน่า จะเป็น และ 8. สถิติ และมีอีก 8 เร่ืองท่ีควรรวม ไวใ้ นโปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ ไดแ้ ก่ 9. เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 10. ฟังกช์ นั เลขช้ีกาํ ลงั และลอการิทึม 11. เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ 12. ตรรกศาสตร์เชิงสญั ลกั ษณ์ 13. เวกเตอร์ 14. จาํ นวนเชิงซอ้ น 15. โปรแกรมเชิงเสน้ และ 16. แคลคลู สั วตั ถุประสงคข์ องเอกสารน้ี คือ เป็นการใชส้ ่ือการเรียนการสอนเพอ่ื เนน้ ใหน้ ิสิต นกั ศึกษาและนกั เรียนมีความเขา้ ใจคณิตศาสตร์โดยมีการคิดอยา่ งเป็นข้นั เป็นตอน โดยให้ นิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ควรถามตนเองวา่ “ทาํ ไม” และ “อยา่ งไร\" เนื่องจากคาํ ถาม ประเภทน้ีจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน คน้ หาคาํ ตอบอยา่ งสมเหตุสมผล หวงั วา่ เน้ือหาในเอกสารน้ีจะเป็นประโยชนต์ ่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์และ กิจกรรมการเรียนรู้ของคณาจารยแ์ ละนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ซ่ึงจะเป็นประโยชน์ต่อ การพฒั นาความรู้และทกั ษะทางคณิตศาสตร์สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคน และจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคนประสบความสาํ เร็จในการสอบ ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ
เนือ้ หาแนวคดิ ทางสถติ ิ ii หน้า 1. ความเบือ้ งต้น …..……………………….………………………… 1 2. วธิ ีการในการอธิบายชุดข้อมูล ………………….…………………. 4 3. การวเิ คราะห์ข้อมูลข้นั พนื้ ฐาน …………………………………. 13 4. มาตรการวดั ทเี่ กย่ี วข้อง ……….……..……………… …….……. 14 5. ค่าแนวโน้มเข้าสู่ค่ากลาง …….……….……………….…………..… 15 6. การวดั ความแปรปรวน …………………………….……………...… 18 7. คะแนนมาตรฐาน ..………………………………………………..….. 22 8. ความสัมพนั ธ์ของข้อมูล ………………………………… 24 9. อนุกรมเวลา …………………….…………….……………………… 28 ตวั อย่างข้อทดสอบ ………….…………………………………………. 30 คาํ ตอบ ……………………………………………………...............…… 48 บรรณานุกรม ……………………………………………...............…… 49
แนวคดิ ทางสถติ ิ 1 แนวคดิ ทางสถิติ I 1. ความเบอื้ งต้น สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive statistics) เป็ นศาสตร์แห่งการสรุปหรืออธิบาย ขอ้ มูล โดยทวั่ ไปแลว้ นกั วจิ ยั จะใชส้ ถิติเชิงพรรณนาเพอ่ื อธิบายลกั ษณะ ตวั อยา่ งเช่น ค่าเฉลี่ย ค่าฐานนิยม ค่ามธั ยฐาน ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าความแปรปรวน ค่าความถี่ ค่าเปอร์เซ็นต์ ฯลฯ สถิติเชิงอนุมาน (Inferential statistics) เป็ นศาสตร์แห่งการตีความขอ้ มลู เพื่อทาํ นาย การคาดการณ์หรือการตดั สินใจ นกั วจิ ยั ใชส้ ถิติเชิงอนุมานเพอ่ื สรุปเก่ียวกบั ประชากรโดย ใชต้ วั อยา่ งขอ้ มลู คาํ ศัพท์ทางสถิติ 1. ประชากร (Population) คือ การกาํ หนดใหเ้ ป็นรวบรวมสิ่งท่ีเกี่ยวขอ้ ง ท้งั หมดของสิ่งของ เหตุการณ์ หรือบุคคลที่เป็นที่สนใจของนกั วจิ ยั 2. ตวั อย่าง (Sample) คือ สบั เซตของประชากร 3. การอนุมาน (Inference) คือ การตดั สินใจของการคาดการณ์ หรือ การ กาํ หนดกรณีทว่ั ไปท่ีเกี่ยวกบั ประชากร 4. ความน่าเช่ือถือ (Reliability) คือ การวดั ที่ช้ีบอกวา่ มีความมนั่ ใจอยา่ งไร ท่ีทาํ ใหก้ ารอนุมานน้นั ถกู ตอ้ ง 5. พารามเิ ตอร์ (Parameter) คือ ปริมาณตวั เลขที่อธิบายลกั ษณะประชากร เช่น ค่าเฉล่ีย ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าความแปรปรวน ฯลฯ การคาํ นวณโดยใชว้ ธิ ีการ ทางสถิติเชิงพรรณนา นกั วจิ ยั มกั ใชพ้ ารามิเตอร์เพือ่ แสดงค่าเฉล่ีย ค่าความเบี่ยงเบน มาตรฐาน และค่าความแปรปรวนของประชากร เช่น µ , σ , σ2 ตามลาํ ดบั
6. สถติ ิ (Statistic) คือ ปริมาณตวั เลขท่ีอธิบายลกั ษณะของตวั อยา่ ง เช่น 2 ค่าเฉลี่ย ค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าความแปรปรวน ค่ามธั ยฐาน ค่าฐานนิยม ฯลฯ นกั วจิ ยั มกั ใชส้ ถิติเพ่ือเป็นตวั แทนของค่าเฉลี่ย ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และค่าความ แปรปรวนของตวั อยา่ ง เช่น x , s, s 2 ตามลาํ ดบั 7. ประเภทของข้อมูล (Types of Data) ขอ้ มูลมี 2 ประเภท คือ ขอ้ มลู เชิง ปริมาณและขอ้ มลู เชิงคุณภาพ ขอ้ มูลเชิงปริมาณเป็นขอ้ มูลท่ีสามารถวดั ได้ เช่น ตวั เลข น้าํ หนกั ส่วนสูง คะแนน ฯลฯ ในขณะท่ีขอ้ มูลเชิงคุณภาพ คือ ขอ้ มูลที่ไม่สามารถวดั ได้ เป็นตวั เลข เช่น เพศ ศาสนา สญั ชาติ ฯลฯ 8. แหล่งข้อมูล (Sources of Data) นกั วจิ ยั สนใจขอ้ มูลปฐมภูมิและขอ้ มลู ทุติยภูมิ ขอ้ มลู ปฐมภูมิ คือ ขอ้ มูลที่นกั วจิ ยั รวบรวมโดยตรงจากสถานที่จริง ในขณะท่ี ขอ้ มูลทุติยภมู ิ คือ ขอ้ มลู ที่นกั วจิ ยั รวบรวมจากบางสถานที่ หรือองคก์ รท่ีไดร้ วบรวม ขอ้ มูลไวก้ ่อนหนา้ น้ี 9. ระบบการวดั (Scales of measurement) ในสถิติเราสามารถแยกขอ้ มลู ออกเป็น 4 ระดบั หรือ ระดบั ของการวดั และเราจะใชร้ ะดบั หรือระบบของขอ้ มูล เพอ่ื เลือกแบบจาํ ลองทางสถิติหรือเทคนิคที่เหมาะสม การวดั ขอ้ มลู 4 ระดบั มีดงั น้ี: 9.1 มาตราแบบนอมมิเนิล (Nominal Scale) คือ การวดั ระดบั ต่าํ สุดเพราะ เป็นการใหข้ อ้ มูลเก่ียวกบั สิ่งที่วดั ที่เป็นกลุ่มเท่าน้นั ตวั อยา่ ง เช่น การระบุวา่ 1 เป็นผชู้ าย และ 0 เป็นผหู้ ญิง ตวั อยา่ งอ่ืน ๆ เช่น สีผม สีตา สญั ชาติ ศาสนา ช่ือถนน โดยทวั่ ไปจาํ นวนสเกลระบุจะใชเ้ พ่อื จดั ประเภทวตั ถุเท่าน้นั ตวั อยา่ งของขอ้ มลู ท่ีปรับขนาด เลก็ นอ้ ยเช่นการติดฉลากของ 1 เป็นผชู้ ายและ 0 เป็นผหู้ ญิงซ่ึงเป็นการใชก้ ารจดั ประเภท โดยนยั ตวั อยา่ งอื่น ๆ ของขอ้ มูลท่ีปรับขนาดเลก็ นอ้ ย ไดแ้ ก่ สีผม, สีตา, สญั ชาติ, ศาสนา, ช่ือถนน, หมายเลขผเู้ ล่นในทีม เป็นตน้ นกั วิจยั ควรช้ีใหเ้ ห็นวา่ ตวั เลขท่ีใชแ้ ทน ขอ้ มลู เพอ่ื แยกขอ้ มูลในแต่ละหมวดหมู่ใหเ้ ห็นวา่ แตกต่างกนั ในแต่ละกลุ่ม
3 9.2 มาตราแบบออร์ ดิเนิล (Ordinal Scale) คือ การวดั ที่ถกู สร้างข้ึนผา่ น กระบวนการของการจดั ลาํ ดบั แต่กไ็ ม่ไดแ้ สดงใหเ้ ห็นวา่ แต่ละลาํ ดบั น้นั มากหรือนอ้ ยกวา่ กนั เท่าไร ตวั อยา่ งของขอ้ มลู มาตราออร์ดิเนิลหรือลาํ ดบั เช่น ขนาดของเส้ือยดื ขนาด ของรองเทา้ คาํ ตอบของแบบสอบถามมาตราส่วน ลิเคอร์ (Liker) คือ เห็นดว้ ยอยา่ งยงิ่ เห็นดว้ ย เป็นกลาง ไม่เห็นดว้ ย และไม่เห็นดว้ ยอยา่ งยงิ่ หรือคาํ ตอบของคาํ ถามเก่ียวกบั ทศั นคติ เช่น ดีเยย่ี ม ดี ยตุ ิธรรม แย่ ลม้ เหลว ฯลฯ นกั วจิ ยั สามารถกาํ หนดหมายเลข เก่ียวกบั ทศั นคติ เช่น 4 = ดีเยย่ี ม 3 = ดี 2 = ยตุ ิธรรม 1 = แย่ และ 0 = ลม้ เหลว สาํ หรับระดบั ลิเคอร์ เราอาจระบุวา่ 5 = เห็นดว้ ยอยา่ งยงิ่ 4 = เห็นดว้ ย 3 = เป็นกลาง 2 = ไม่เห็นดว้ ย และ 1 = ไม่เห็นดว้ ยอยา่ งยงิ่ ฯลฯ มาตราออร์ดิเนิลหรือลาํ ดบั สูงกวา่ มาตรานอมมิเนิลเลก็ นอ้ ยเน่ืองจากเราไม่ สามารถจดั กลุ่มเป็นหมวดหมู่แยกกนั ได้ เพียงเพ่ือเรียงลาํ ดบั เท่าน้นั สิ่งสาํ คญั คือตอ้ ง ตระหนกั วา่ มาตรวดั ตามมาตราออร์ดิเนิลหรือลาํ ดบั ไม่ไดใ้ หข้ อ้ มลู ใด ๆ เกี่ยวกบั ขนาดของ ความแตกต่างระหวา่ งสิ่งต่าง ๆ ตวั อยา่ งเช่นเพยี งเรารู้เท่าน้นั นาย A สูงกวา่ นาย B แต่ไม่สามารถบอกไดว้ า่ สูงกวา่ เท่าไหร่ และเราไม่ สามารถพดู ไดว้ า่ ความแตกต่างระหวา่ งนาย A กบั นาย B น้นั นอ้ ยกวา่ ความแตกต่าง ระหวา่ งนาย B และนาย C มาตราออร์ดิเนิลหรือลาํ ดบั น้นั แตกต่างจากมาตรานอมมิ เนิลคือสามารถใชส้ มบตั ิการบวกได้ สิ่งสาํ คญั ท่ีควรเขา้ ใจคือการแบ่งกลุ่มลาํ ดบั ของกลุ่ม ต่าง ๆ ไม่ไดเ้ ห็นอยา่ งชดั เจน ตวั อยา่ งเช่นการวดั ชนช้นั ทางสงั คม ท่ีมีชนช้นั สูง ชนช้นั กลาง และชนช้นั ต่าํ เป็นตน้ ดงั น้นั เราจึงไม่สามารถบวกหรือลบมาตราออร์ดิเนิลหรือลาํ ดบั ได้ ยกเวน้ ใน ความหมายที่กาํ หนดไว้ และท่ีสาํ คญั คือมาตราออร์ดิเนิลหรือลาํ ดบั แตกต่างจากมาตรา นอมมิเนิล คือ สามารถใชส้ มบตั ิการบวกระหวา่ งกลุ่มได้
4 9.3 มาตราแบบช่วง ( Interval Scale) มาตราแบบช่วงถกู กาํ หนดใหช้ ่วง ระหวา่ งคะแนนท้งั หลายมีความต่อเน่ืองซ่ึงเท่ากนั มาตราน้ีไม่มีค่าศนู ยส์ มั บรู ณ์ การ นาํ ไปใชก้ บั ขอ้ มูลสามารถจดั อนั ดบั ได้ ซ่ึงความแตกต่างระหวา่ งค่าสามารถคาํ นวณและ ตีความได้ มาตราแบบช่วงบางคร้ังเรียกวา่ ช่วงที่เท่ากนั ที่เนน้ ลกั ษณะท่ีแตกต่างจาก มาตราออร์ดิเนิลหรือลาํ ดบั ตวั อยา่ ง เช่น ถา้ เรารู้วา่ นาย A สูงกวา่ นาย B และ นาย B สูงกวา่ นาย C เราไม่มีขอ้ มูลของความสูง 180, 160, และ 155 เซนติเมตร ของเดก็ ชายสามคนน้ี ความสูงอนั ดบั 1, 2 และ 3 ไม่สามารถบอกไดว้ า่ ระยะทาง ระหวา่ งความสูงสองอนั ดบั เพราะวา่ ความสูงไม่ระบุ อยา่ งไรกต็ ามมาตราแบบ ช่วงความสูงสองค่าสามารถกาํ หนดได้ สาํ คญั คุณลกั ษณะท่ีสาํ คญั ของมาตราแบบช่วง คือสามารถ บวก ย คูณ หารไดโ้ ดยไม่มีผลต่อระยะทางที่เก่ียวขอ้ งระหวา่ งขอ้ มูล ที่สาํ คญั อีกประการหน่ึงคือคุณลกั ษณะของมาตราแบบช่วงคือจุดศูนยส์ ามารถเปล่ียนไปได้ ซ่ึงหมายความวา่ เราไม่สามารถตีความความหมายของขนาดม่ีเป็นขอ้ มลู เฉพาะของอตั รา ตวั อยา่ ง เช่น เราไม่สามารถพดู ไดว้ า่ 100oF มีความร้อนเป็นสองเท่าของ 50oF การ ทดสอบทางจิตวทิ ยาส่วนใหญ่จะทาํ คะแนนใหเ้ ป็นมาตราแบบช่วง มาตราแบบอตั ราส่วน 9.4 มาตราแบบอัตราส่วน (Ratio Scale) คือ มาตราแบบการวดั ที่ ครอบคลุมมากที่สุด ซ่ึงเป็นมาตราที่มีจุดศูนยส์ มั บรู ณ์ นนั่ คือจุดศูนยส์ มั บรู ณ์แสดงถึงการ ไม่มีปริมาณที่หายไปจากการถูกวดั มาตราแบบอตั ราส่วนมีคุณสมบตั ิท้งั หมดของมาตราแบบช่วงดว้ ย ซ่ึงมีการเพมิ่ จุดศูนยส์ มั บรู ณ์ นอกจากน้ีมาตราแบบอตั ราส่วนสามารถนาํ ไปใชก้ บั ขอ้ มลู ที่เป็นมาตราออร์ดิเนิลหรือลาํ ดบั และสามารถดาํ เนินการทางคณิตศาสตร์ม่ีเป็น การบวก การลบ การคูณ และการหารไดท้ ้งั หมด
5 2. วธิ ีการในการอธิบายชุดข้อมูล (Methods for Describing Sets of Data) ขอ้ มลู ท้งั หมดและตวั แปรท่ีเราวดั สามารถจดั ประเภทเป็นหน่ึงในสองประเภททวั่ ไป: ข้อมลู เชิงปริมาณ (Quantitative data) และข้อมลู เชิงคุณภาพ (Qualitative data.) ขอ้ มูลเชิงปริมาณเป็นขอ้ มลู ท่ีวดั เป็นมาตราแบบตวั เลขที่เกิดข้ึนเองตามธรรมชาติ ต่อไปน้ีเป็นตวั อยา่ งของขอ้ มูลเชิงปริมาณ: 1. อุณหภูมิเป็นองศาเซลเซียสซ่ึงแต่ละตวั อยา่ งพลาสติก 20 ชิ้นที่ทนความ ร้อนแลว้ เร่ิมละลาย 2. อตั ราการวา่ งงานปัจจุบนั ที่วดั เป็นเปอร์เซ็นตส์ าํ หรับ แต่ละ 50 รัฐในสหรัฐอเมริกา 3. คะแนนจากกลุ่มตวั อยา่ ง 150 คน ของผสู้ มคั รเขา้ เรียนท่ีโรงเรียน กฎหมายในมหาวทิ ยาลยั ซานตาคลารา 4. จาํ นวนฆาตกรท่ีถูกตดั สินใหร้ ับการลงโทษประหารชีวติ ในแต่ละปี บนช่วงระยะเวลา 10 ปี ในทางตรงกนั ขา้ ม ขอ้ มลู เชิงคุณภาพไม่สามารถวดั ไดด้ ว้ ยมาตรแบบตวั เลขที่เป็น ธรรมชาติ สามารถแบง่ ไดเ้ ป็นหมวดหมู่เท่าน้นั ต่อไปน้ีเป็นตวั อยา่ งของขอ้ มลู เชิงคุณภาพ 1. การเขา้ ร่วมพรรคการเมืองในฐานะพรรคดีโมแครต (Democrat) พรรค รีพบั ลิกนั (Republican) หรือพรรคอิสระ (Independent) ของกลุ่มตวั อยา่ งที่มีผู้ ลงคะแนน 50 คน 2. สถานะที่บกพร่องน้นั ชาํ รุดหรือไม่ในแต่ละ 100 คอมพิวเตอร์ชิป (Computer chips) ที่ผลิตโดย อินเทล (Intel) 3. ขนาดของรถยนตท์ ี่เป็นแบบ ก่ึงกะทดั รัด กะทดั รัด ขนาดกลาง หรือขนาดใหญ่ ท่ีมีไวใ้ หเ้ ช่าสาํ หรับนกั ท่องเที่ยวธุรกิจ 30 คน 4. การจดั อนั ดบั ของผทู้ ดสอบเป็นที่ดีท่ีสุด เลวร้ายท่ีสุด ฯลฯ ของ ซอสบาร์บีคิว 4 ยห่ี อ้ สาํ หรับแผงทดสอบ 19 อนั
6 เราอาจกาํ หนดค่าตวั เลขไดอ้ ยา่ งอิสระใหก้ บั ขอ้ มลู เชิงคุณภาพเพื่อความสะดวก ของรายการคอมพวิ เตอร์และการวเิ คราะห์ แต่ค่าตวั เลขท่ีกาํ หนดเหล่าน้ีเป็นรหสั ง่ายๆ ตวั อยา่ งเช่นเราอาจใชร้ หสั ดีโมแครต = 1 รีพบั ลิกนั = 2 และอิสระ = 3 ในทาํ นองเดียวกนั ผทู้ ดสอบรสชาติอาจจดั อนั ดบั ซอสบาร์บีคิวจาก 1 เป็นดีที่สุด ถึง 4 สาํ หรับแยท่ ี่สุด โปรดทราบวา่ ขอ้ มลู เชิงคุณภาพที่กาํ หนดข้ึนน้ีไม่สามารถนาํ มา บวก ลบ คูณ หรือหารได้ การนําเสนอข้อมูล (Data Presentation) ขอ้ มูลสรุปจะแสดงต่อสาธารณะหลงั จากรวบรวมขอ้ มูล นกั วจิ ยั จะตอ้ งตดั สินใจวา่ ขอ้ มูลใดที่ควรนาํ เสนอเพื่อทาํ ใหก้ ารนาํ เสนอมีความหมายและเขา้ ใจได้ ซ่ึงมีหลายวธิ ีใน การนาํ เสนอขอ้ มลู นกั วจิ ยั จะตอ้ งเลือกวธิ ีที่เหมาะสมกบั ขอ้ มูลของตวั เองมากท่ีสุด ดงั ต่อไปน้ี 1. การนาํ เสนอข้อความ (Text Presentation) นกั วจิ ยั ดาํ เนินการนาํ เสนอขอ้ ความ เม่ือเขาตอ้ งการที่จะนาํ เสนอขอ้ มูลโดยใชเ้ พยี งคาํ พดู ไม่มีตาราง ไม่มีแผนภูมิ และ ไม่มีกราฟ ผวู้ จิ ยั อธิบายขอ้ มลู ของเขาดว้ ยคาํ พดู อยา่ งยดื ยาว การนาํ เสนอขอ้ มูลดว้ ยวธิ ีน้ี จึงไม่น่าสนใจ และไม่มีเสน่ห์ดึงดูด ตวั อยา่ ง เช่น มหาวทิ ยาลยั เอเชียประกอบดว้ ย 3 คณะ ในปี การศึกษาถดั ไป ผบู้ ริหารมีแผนงบประมาณดงั น้ี คณะธุรกิจจะไดร้ ับ 10 ลา้ นบาท คณะวศิ วกรรม จะไดร้ ับ 15 ลา้ นบาท คณะศิลปศาสตร์จะไดร้ ับ 8 ลา้ นบาท และผบู้ ริหารจะไดร้ ับ 6 ลา้ นบาท 2. การนาํ เสนอแบบกึ่งตาราง (Semi-tabular Presentation) การนาํ เสนอแบบ ก่ึงตารางเมื่อขอ้ มลู มีตวั เลขหรือจาํ นวนสิ่งของ วธิ ีน้ีจะนาํ เสนอขอ้ มลู โดยใชค้ าํ พดู และ มีการจดั ระเบียบขอ้ มูลมากข้ึน ตวั อยา่ ง เช่น จากขอ้ มลู ขา้ งตน้ เราสามารถใชง้ านนาํ เสนอ แบบก่ึงตารางดงั น้ี
7 ในปี การศึกษาถดั ไปผบู้ ริหารมหาวทิ ยาลยั เอเชียไดจ้ ดั สรรงบประมาณของแต่ละ คณะดงั น้ี คณะธุรกิจ 10 ลา้ นบาท คณะวศิ วกรรม 15 ลา้ นบาท คณะศิลปะศาสตร์ 8 ลา้ นบาท ผบู้ ริหาร 6 ลา้ นบาท จะเห็นไดว้ า่ การนาํ เสนอขอ้ มูลในลกั ษณะน้ีสามารถอา่ นไดส้ ะวกและเขา้ ใจ. ง่ายข้ึน 3. การนาํ เสนอแบบตาราง (Tabular Presentation) วธิ ีการนาํ เสนอแบบน้ีจะ มีการนาํ เสนอที่จดั เป็นระเบียบมากข้ึน นกั วจิ ยั สามารถนาํ เสนอขอ้ มูลโดยใชต้ าราง ทางเดียว ตารางสองทาง หรือตารางหลายทาง ดงั เช่นตวั อยา่ งดา้ นล่างน้ี ตาราง 1 (ตารางทางเดียว) ความคิดเห็นของคณาจารยม์ หาวทิ ยาลยั เอเชีย ท่ีเป็ นนโยบายการเงิน ความคิดเห็น จาํ นวน เห็นดว้ ย 120 ไม่เห็นดว้ ย 100 ตาราง 2 (ตารางสองทาง) ความคิดเห็นของคณาจารยม์ หาวทิ ยาลยั เอเชีย ที่เป็ นนโยบายการเงินโดยแยกตามคณะ คณะ ความคิดเห็น เห็นดว้ ย ไม่เห็นดว้ ย ธุรกิจ วศิ วกรรม 60 50 ศิลปะศาสตร์ 40 40 20 10
8 ตาราง 3 (ตารางหลายทาง) ความคิดเห็นของคณาจารยม์ หาวิทยาลยั เอเชีย ท่ีเป็นนโยบายการเงินโดยแยกตามคณะและตาํ แหน่งทางวชิ าการ คณะ เห็นดว้ ย ความคิดเห็น ไม่เห็นดว้ ย ศ รศ ผศ. ศ รศ ผศ ธุรกิจ 10 6 4 9 8 8 วศิ วกรรม 9 8 89 7 5 ศิลปะศาสตร์ 8 10 5 9 6 3 4. การนาํ เสนอตารางความถ่ี (Frequency Table Presentation) ตารางความถี่ ประกอบดว้ ยขอ้ มูลและความถ่ี หลายคร้ังท่ีการวจิ ยั ตอ้ งการนาํ เสนอขอ้ มลู อยา่ งต่อเนื่องดงั เช่นตารางความถี่เป็นตารางด้านล่าง จาํ นวนเลขในการโยนลกู เต๋า ความถี่ 15 24 36 47 56 6 32 5. การนาํ เสนอเสน้ กราฟความถ่ี (Frequency Curve Presentation) ข้นั ตอน ต่อไปน้ี คือ สร้างเส้นกราฟความถ่ี 5.1 สร้างแผนภมู ิฮิสโตแกรม (Histogram) จากตารางความถ่ีโดยใชข้ อบเขต จดั แบ่งหมวดหมู่ในแนวแกนนอนและความถี่ในแกนแนวต้งั ดงั น้นั จากตารางความถี่ ดา้ นบนเราจะไดฮ้ ิสโตแกรมดงั ดา้ นล่าง
9 แผนภมู ิฮิสโตแกรมประกอบดว้ ยแท่งส่ีเหลี่ยมที่เชื่อมต่อซ่ึงกนั และกนั ดง้ รูปของหนา้ ท่ีผา่ นมา 5.2 สร้างรูปหลายเหลี่ยมโดยเช่ือมต่อจุดก่ึงกลางของแต่ละจุด แถบจากฮิสโตแกรมดงั ต่อไปน้ี 5.3 ปรับรูปหลายเหลี่ยมใหเ้ รียบเพื่อรับเส้นโคง้ ความถ่ีดงั ต่อไปน้ี กราฟความถ่ีแสดงการกระจายขอ้ มูลและมีการใชส้ ถิติมาก เพราะสามารถ อธิบายรูปร่างของขอ้ มูลไดอ้ ยา่ งชดั เจน ซ่ึงจาํ นวนบนหนา้ ของลูกเต๋าส่วนใหญ่อยทู่ ี่ ตวั เลขท่ีมีความถี่ต่าํ หรือที่มีความถี่สูง
10 ในการวจิ ยั มีการกระจายหลายรูปแบบท่ีข้ึนอยกู่ บั ในแต่ละขอ้ มลู ที่ผวู้ จิ ยั ไดร้ ับจากการเกบ็ ขอ้ มลู ในสนาม ตวั อยา่ งของเสน้ โคง้ ความถ่ีต่อไปน้ีมีการใชใ้ นการวจิ ยั กราฟความถ่ีของแต่ละเสน้ โคง้ จะถูกใชเ้ พื่ออธิบายขอ้ มลู และการเลือกตวั แบบเพ่อื การ วเิ คราะห์ทางสถิติเพิ่มเติม 5.6 แผนภมู ิแท่ง (Bar Chart) แผนภมู ิแท่งสามารถสร้างไดจ้ ากความถ่ี ความสูงของแถบแทนความถี่ แผนภมู ิแท่งมีแถบแยกออกจากกนั เป็นแผนภมู ิดงั ดา้ นล่างน้ี
11 อีกตวั อยา่ งหน่ึงของแผนภมู ิแท่งเมื่อตอ้ งการเปรียบเทียบขอ้ มูล ดงั น้ี 5.7 แผนภูมิวงกลม (Pie Chart) เมื่อตอ้ งการเปรียบเทียบ เปอร์เซ็นตข์ องแต่ละหมวดหมู่ไดโ้ ดยเราสามารถใชแ้ ผนภมู ิวงกลม แผนภมู ิวงกลม สามารถสร้างไดเ้ หมือนวงกลมท่ีมีการจดั สรรส่วนหรือส่วนของวงกลมในแต่ละหมวดหมู่ ขนาดของส่วนท่ีสร้างข้ึนสาํ หรับหมวดหมู่เป็นสดั ส่วนกบั เศษส่วนของการสงั เกตใน หมวดหมู่น้นั ตวั อยา่ งแผนภมู ิวงกลมแสดงจาํ นวนตาํ แหน่งงานที่มีอยใู่ น สหรัฐอเมริกา. South- West west South Midwest North
12 5.8 ภาพความคิด (Pictograph) เราอาจใชร้ ูปภาพเพอื่ แสดงขอ้ มลู ซ่ึง ทาํ ใหก้ ารตีความขอ้ มลู ง่ายข้ึน แต่ละภาพจะถกู ตีความหมายสาํ หรับอตั ราส่วนบางอยา่ ง ภาพหน่ึงแสดงถึงบางส่วนของจาํ นวนเลข ตวั อยา่ งเช่นแผนภมู ิต่อไปน้ีคือการแสดง จาํ นวนนกั เรียนที่สาํ เร็จการศึกษาจากวทิ ยาลยั ในมหาวทิ ยาลยั เอเชีย 5.9 กราฟเส้น (Line Graph) เมื่อตอ้ งการดูแนวโนม้ ของชุดขอ้ มลู เราสามารถใชก้ ราฟเสน้ ไดด้ งั น้ี
13 5.10 แผนท่ี (Map) เราสามารถใชแ้ ผนท่ีเพือ่ นาํ เสนอขอ้ มลู ทางภมู ิศาสตร์ ในแต่ละพ้ืนท่ีหรือบางส่วนของประเทศไทย เช่นดงั ต่อไปน้ี 3. การวเิ คราะห์ข้อมูลข้นั พนื้ ฐาน (Basic Analysis of Data) - ความกวา้ งของช่วงช้นั = ขีดจาํ กดั บน - ขีดจาํ กดั ล่าง - จุดก่ึงกลางของช่วงช้นั = 1 (ขีดจาํ กดั บน + ขีดจาํ กดั ล่าง) 2 - การแปลงลาํ ตน้ และใบ = ขอ้ มูลดิบมีความหมายมากข้ึน - ตารางความถี่ = ประเมินขอ้ มลู ไดง้ ่ายข้ึน - ฮิสโทแกรม = กราฟแท่งชนิดหน่ึงท่ีแสดงใหเ้ ห็นคือ รูปหลายเหลี่ยมของความถ่ีเดียวกนั และกราฟเสน้ เป็นสิ่งเดียวกนั
4. มาตรการวดั ทเี่ กย่ี วข้อง ( Measures of Relative Standing) 14 อันดบั เปอร์ เซ็นไทล์ (Percentile Rank) P i อนั ดบั เปอร์เซ็นตไ์ ทลจ์ ะบอกใหเ้ ราทราบวา่ มีขอ้ มลู ก่ีเปอร์เซ็นตท์ ี่ ต่าํ กวา่ หรือเท่ากบั จาํ นวนน้นั และมีจาํ นวนขอ้ มลู ท่ีมีขนาดใหญ่กวา่ น้นั . อันดบั เดไซล์ (Decile Rank) D i อันดบั เดไซล์ จะบอกใหเ้ ราทราบวา่ มีขอ้ มูลจาํ นวนเท่าใดใน 10 ส่วนท่ี ต่าํ กวา่ หรือเท่ากบั จาํ นวนน้นั และมีจาํ นวนขอ้ มลู ที่มีขนาดใหญ่กวา่ น้นั อันดบั ควอไทล์ (Quartile Rank) Q i อนั ดบั ควอไทลจ์ ะบอกใหเ้ ราทราบวา่ มีขอ้ มลู จาํ นวนเท่าใดใน 4 ส่ีส่วนที่ ต่าํ กวา่ หรือเท่ากบั จาํ นวนน้นั และมีจาํ นวนขอ้ มูลที่มีขนาดใหญ่กวา่ น้นั สูตรในการคาํ นวณเปอร์เซ็นตไ์ ทล์ เดไซล์ และควอไทล์ ซ่ึงจะถกู แยกออกสาํ หรับ ขอ้ มลู ที่ไมจ่ ดั กลุ่มและขอ้ มลู ที่จดั กลุ่ม ดงั ต่อไปน้ี ข้อมลู ท่ีไม่จัดกล่มุ (Ungroup Data) P = Xi i(n + 1) 100 D = Xi i(n + 1) 10 Q = Xi i(n + 1) 4 เม่ือกาํ หนดให้ L = ขอบเขตช้นั ล่างของช้นั ท่ีมี Pi , Di , Qi n = การสงั เกตขอ้ มลู ท้งั หมด ∑ fi = ความถี่สะสมจนกระทงั่ ก่อนถึงช้นั ที่มี Pi , Di , Qi fs = ความถี่ของช้นั ที่มี P i , D i , Q i
15 ข้อมลู ท่ีจัดกล่มุ (Group Data) Pi =L+ i ⋅ n − ∑ fi 100 ⋅i fs Di =L+ i ⋅ n − ∑ fi 10 ⋅i fs Qi =L+ i ⋅ n − ∑ fi 4 ⋅i fs เมื่อกาํ หนดให้ L = ขอบเขตช้นั ล่างของช้นั ท่ีมี Pi , Di , Qi n = การสงั เกตขอ้ มูลท้งั หมด ∑ fi = ความถ่ีสะสมจนกระทงั่ ก่อนถึงช้นั ท่ีมี Pi , Di , Qi fs = ความถี่ของช้นั ที่มี P i , D i , Q i 5. ค่าแนวโน้มเข้าสู่ค่ากลาง (Central Tendency Value) ค่าเฉล่ียเลขคณติ (Arithmetic Mean) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเซตขอ้ มูลคือผลรวม ของการวดั ท้งั หมดหารดว้ ยจาํ นวนการวดั ท้งั หมดในเซตขอ้ มลู ข้อมลู ท่ีไม่จัดกล่มุ (Ungroup Data) กาํ หนดให้ µ คือ ค่าเฉล่ียเลขคณิตของ ประชากร และ X คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตวั อยา่ ง โดย µ = ∑ x , N = จาํ นวนของประชากร N X = ∑ x , n = จาํ นวนของกลุ่มตวั อยา่ ง n
16 ข้อมลู ที่จัดกล่มุ (Group Data) µ = ∑ fx , N = จาํ นวนของประชากร N X= ∑ fx n = จาํ นวนของกลุ่มตวั อยา่ ง n , ข้อมลู ถ่วงนา้ํ หนัก (Weighted Data) µ = ∑ wx , w = น้าํ หนกั ของแต่ละขอ้ มูล ∑ w X = ∑ wx , w = น้าํ หนกั ของแต่ละขอ้ มูล ∑ w ข้อมลู รวม (Combined Data) µ = ∑ Nµ , N = จาํ นวนประชากรสาํ หรับเซตของทุกขอ้ มูล ∑ N X = ∑ nX , n = จาํ นวนกลุ่มตวั อยา่ งสาํ หรับเซตของทุกขอ้ มลู ∑ n มัธยฐาน (Median) ค่ามธั ยฐาน คือ ดารวดั ท่ีใชก้ นั ทวั่ ไปในการหาค่าความ โนม้ เอียงสู่กลาง ซ่ึงอยตู่ รงจุดกลางของเซตขอ้ มลู หลงั จากจดั อนั ดบั ขอ้ มลู ค่ามธั ยฐานของเซตขอ้ มลู ที่มีการวดั เป็นจาํ นวนคี่ คือ ตวั เลขตรงกลางเมื่อขอ้ มูล ถกู จดั เรียงจากนอ้ ยที่สุดไปหามากท่ีสุด หรือ มากท่ีสุดไปหานอ้ ยท่ีสุด เม่ือมีตวั เลขตรง กลางสองตวั ค่ามธั ยฐานเป็นค่าเฉล่ียของท้งั สองตวั น้นั นนั่ คือคร่ึงหน่ึงของขอ้ มลู ดา้ นล่าง ของค่ามธั ยฐานมีค่าเท่ากบั อีกคร่ึงหน่ึงท่ีอยเู่ หนือค่ามธั ยฐาน ค่าฐานนิยม (Mode) ค่าฐานนิยมของเซตขอ้ มลู คือ การวดั ท่ีเกิดข้ึนมากที่สุด ในเซตเซตขอ้ มูลอาจมีมากกวา่ หน่ึงฐานนิยม เซตของ 1 2 3 4 5 5 6 มีฐานนิยม = 5 เซตของ 1 2 3 3 5 5 6 มีฐานนิยม = 3 และ 5 เซตของ 1 2 3 4 5 6 ไม่มีฐานนิยม เซตของ 0 0 0 1 1 2 มีฐานนิยม = 0
17 เซตขอ้ มูลท่ีมีฐานนิยมค่าเดียว เรียกวา่ ขอ้ มลู ท่ีมีฐวนนิยมต่าเดียว (Uni-modal) เซตขอ้ มูลท่ีมีฐานนิยมสองค่า เรียกวา่ ขอ้ มูลที่มีฐวนนิยมสองต่า (Bi-modal) และเซต ขอ้ มูลท่ีมีฐานนิยมมากกวา่ สองค่า เรียกวา่ ขอ้ มูลท่ีมีหลายฐานนิยม ความสัมพนั ธ์ระหว่างค่าเฉลยี่ ค่ามธั ยฐาน และฐานนิยม 1. เม่ือเซตขอ้ มลู มีค่าสามค่า คือ ค่าเฉลี่ย ค่ามธั ยฐาน และค่าฐานนิยมใกลเ้ คียง กนั หรือเท่ากบั ค่าอื่น ๆ การกระจายของเซตขอ้ มูลจะกลายเป็นเส้นโคง้ ปกติ หรือ รูประฆงั ควา่ํ ดงั ในรูปดา้ นล่างน้ี 2. เมื่อเซตขอ้ มลู มีเส้นโคง้ ท่ีเบใ้ นเชิงบวกใหเ้ อียงไปทางขวามือ แลว้ คา่ ฐานนิยม จะมีค่านอ้ ยที่สุด และค่าเฉล่ียจะมากท่ีสุดดงั ในรูปดา้ นล่างน้ี 3. เม่ือเซตขอ้ มูลมีเส้นโคง้ แบบเบเ้ ชิงลบใหเ้ อียงไปทางซา้ ยมือ แลว้ ค่าเฉล่ียจะนอ้ ย ที่สุด และฐานนิยมจะมีค่ามากที่สุดดงั ในรูปดา้ นล่างน้ี
18 4. สาํ หรับเซตขอ้ มลู ขนาดใหญ่ เราสามารถเขียนความสมั พนั ธ์ในรูปแบบสมการ ไดด้ งั น้ี ค่าเฉล่ีย - ฐานนิยม = 3 ( ค่าเฉลี่ย - มธั ยฐาน) คาํ แนะนําในการใช้ ค่าเฉลยี่ ค่ามธั ยฐาน หรือ ฐานนิยม 1. ค่าเฉลี่ยเป็นตวั ช้ีวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ค่ากลางท่ีไดร้ ับความนิยมมากท่ีสุด เหมาะ สาํ หรับเซตขอ้ มูลท่ีไม่มีค่าผดิ ปกติ (จุดขอ้ มูลผดิ ปกติที่อาจเลก็ หรือใหญ่เกินไป) ค่าเฉลี่ย ไม่เหมาะสมจะใชก้ บั ขอ้ มูลที่ไม่ใช่เซตจาํ กดั และสามารถใชเ้ มื่อขอ้ มลู ท่ีมีมาตราแบบช่วง เป็นอยา่ งนอ้ ย 2. ค่ามธั ยฐานเป็นวธิ ีที่ไดร้ ับความนิยมเป็นอนั ดบั สอง เหมาะสาํ หรับเซตขอ้ มูล ที่มีค่าผดิ ปกติหรือค่าผดิ ปกติเน่ืองจากค่าผดิ ปกติเหล่าน้นั จะไม่ส่งผลกระทบต่อค่ามธั ยฐาน ค่ามธั ยฐานน้ีเหมาะสาํ หรับขอ้ มลู ปลายเปิ ดเช่นกนั มนั เป็นสิ่งที่ดีสาํ หรับขอ้ มลู ท่ีมีมาตรา แบบออร์ดิเนิลเป็นอยา่ งนอ้ ย 3. ฐานนิยมเป็นการวดั ที่ดีเม่ือเซตขอ้ มูลน้นั มีจุดขอ้ มูลบางอยา่ งที่เกิดข้ึนบ่อยที่สุด มนั ง่ายในการคาํ นวณและสามารถใชส้ าํ หรับขอ้ มูลที่มีมาตราแบบนอมมิเนิลเป็นอยา่ งนอ้ ย ค่าเฉล่ียรวม (Pooled Mean) กาํ หนดให้ X1 คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตวั อยา่ งแรกท่ีมีขนาดของกลุ่มตวั อยา่ ง n1 และ X2 คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตวั อยา่ งแรกท่ีมีขนาดของกลุ่มตวั อยา่ ง n2 ค่าเฉลี่ยรวม ของตวั อยา่ งท้งั สองเท่ากบั Xp โดยท่ี Xp = n1 ⋅ X1 + n2 ⋅ X2 n1 + n2 6. การวดั ความแปรปรวน (Measures of Variability) พิสัย (Range) พสิ ยั ของเซตขอ้ มูลเท่ากบั ค่าท่ีมากที่สุดลบดว้ ยค่าท่ีเลก็ ท่ีสุด คือ Range = X max - X min เมื่อ Xmax = ค่าท่ีมากท่ีสุดของขอ้ มูล Xmin = ค่าท่ีเลก็ ที่สุดของขอ้ มูล
19 ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile Deviation (Q.D.)) ค่าเบ่ียงเบนควอไทลเ์ ทา่ กบั คร่ึงหน่ึงของความแตกต่างระหวา่ งควอไทลท์ ่ีสามและควอไทลแ์ รก คือ Q.D. = Q3 − Q1 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) ค่าเบ่ียงเบนมาตรฐานจะบอกเราวา่ ขอ้ มูลแต่ละค่าจะแตกต่างจากค่าเฉลี่ยโดยเฉล่ียอยา่ งไร ในวชิ าสถิติ เรากาํ หนดวา่ σ = ค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร s (S.D. หรือ S) = ค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของกลุ่มตวั อยา่ ง σ 2 = ค่าความแปรปรวนของประชากร s2 = ค่าความแปรปรวนของกลุ่มตวั อยา่ ง N = จาํ นวนการสงั เกตท่ีเป็นขอ้ มลู ของประชากร n = จาํ นวนการสงั เกตที่เป็นขอ้ มูลของกลุ่มตวั อยา่ ง แลว้ เรามีสูตรในการคาํ นวณค่าเบ่ียงเบนมาตรฐานสาํ หรับขอ้ มลู ท่ีไม่ไดจ้ ดั กลุ่มและ ขอ้ มลู ท่ีจดั กลุ่มดงั น้ี ข้อมลู ที่ไม่ได้จัดกล่มุ (Ungroup Data) σ = ∑ ( X − µ)2 = ∑ X2 − µ2 NN ∑s = ∑ ( X − X )2 = X2 − 2 nX n−1 n−1 = n ∑ X2 − (∑ X)2 n(n − 1)
20 ข้อมลู ท่ีจัดกล่มุ (Group Data) σ = ∑ f ( X − µ )2 = ∑ fX2 − µ2 NN ∑s = ∑ f ( X − X )2 = fX 2 − 2 nX n−1 n−1 = n ∑ fX2 − (∑ fX)2 n(n − 1) สิ่งท่ีควรทราบ คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใชง้ านไดด้ ีกบั ค่าเฉลี่ย โดยท่ี ส่วนเบี่ยงเบนควอไทลใ์ ชง้ านไดด้ ีกบั ค่ามธั ยฐาน และใชง้ านไดด้ ีกบั ค่าฐานนิยม ค่าความแปรปรวนรวม (Pooled Variance) กาํ หนดให้ S12 คือความแปรปรวนของกลุ่มตวั อยา่ งแรกที่มีขนาด n1 และ S22 คือความแปรปรวนของกลุ่มตวั อยา่ งแรกท่ีมีขนาด n 2 ค่าความแปรปรวนรวมของสองกลุ่มตวั อยา่ งมีค่าเท่ากบั SP2 โดย SP2 = (n1 − 1)S12 − (n2 − 1)S22 n1 + n2 − 2 สัมประสิทธิ์ของความแปรปรวน (Coefficient of Variation (CV)) เราใชส้ มั ประสิทธ์ิของการแปรปรวนหรือ CV ในการเปรียบเทียบ ขอ้ มลู สองชุดเพอื่ ดูเซตขอ้ มูลท่ีมีการกระจายมากข้ึนหรือความแปรปรวนมากข้ึน สูตรการคาํ นวณ CV มีดงั น้ี CV = S × 100 X เซตขอ้ มลู ที่มี CV มาก จะแสดงใหเ้ ห็นวา่ เซตขอ้ มลู น้ีมีความแปรปรวน มากกวา่ เซตขอ้ มูลอ่ืน
21 การวดั ความเบ้ (Measure of Skewness (SK)) สูตรการคาํ นวณความเบ้ (Skewness) มีดงั ต่อไปน้ี SK = 3(Mean − Median) S tan dard Deviation (i) ถา้ SK > 0 แลว้ ความเบข้ องการกระจายขอ้ มูล คือ เบไ้ ปทางขวา ตามรูปดา้ นล่างน้ี (ii) ถา้ SK < 0 แลว้ ความเบข้ องการกระจายขอ้ มูล คือ เบไ้ ปทางซา้ ย ตามรูปดา้ นล่างน้ี (iii) ถา้ SK = 0 ความเบข้ องการกระจายขอ้ มลู คือ โคง้ ระฆงั ตามรูปดา้ นล่างน้ี
22 การวดั ความเคิร์ ตซีส (Measure of Kurtosis (KU)) เคิร์ตซีสจะบอกเราเกี่ยวกบั ความแปรปรวนของขอ้ มลู เมื่อเคิร์ตซีสมีขนาด ใหญ่แสดงวา่ เซตขอ้ มูลมีการเปล่ียนแปลงนอ้ ยลง สูตรการคาํ นวณมีดงั น้ี KU = ∑ f (X − X)4 n S4 (i) ถา้ KU > 3 แลว้ จะไดว้ า่ กราฟเป็ นเลพโตเคิร์อติก (Leptokurtic) (ii) ถา้ KU = 3 แลว้ จะไดว้ า่ กราฟเป็ นเมโสเคิร์อติก (Mesokurtic) (iii) ถา้ KU < 3 แลว้ จะไดว้ า่ กราฟเป็ นพลาตีเคิร์อติก (Platykurtic) ดูกราฟขา้ งล่างน้ี 7. คะแนนมาตรฐาน ( Standard Score) ในการแจกแจงท่ีมีความต่อเน่ืองไดน้ าํ ไปใชว้ ชิ าสถิติเป็นจาํ นวนมาก สิ่งสาํ คญั ที่สุด คือ การแจกแจงแบบปกติ (Normal distribution) การกระจายของความ คลาดเคลื่อนอาจใกลเ้ คียงกนั โดยเสน้ โคง้ ท่ีมีความต่อเน่ือง เม่ือพจิ ารณากราฟที่มี \"เส้นโคง้ ปกติท่ีมีความผดิ พลาด\" และท่ีเกิดจากกฎแห่งโอกาส เราจึงมีสมการ ทางคณิตศาสตร์สาํ หรับโคง้ ประเภทน้ี คือ f (x) = 1 − 1 x − µ 2 σ 2π e 2 σ เมื่อ − ∞ < x < ∞ โดย e คือจาํ นวนอตรรกยะท่ีมีค่าเท่ากบั 2.71828 … .
23 ลกั ษณะท่ีสาํ คญั ของการแจกแจงแบบปกติ (ตามรูปกราฟขา้ งบนน้ี) ซ่ึงไดจ้ าก สมการขา้ งตน้ น้นั ข้ึนอยกู่ บั สองค่า คือ µ และ σ ซ่ึงก็คือค่าเฉล่ียและส่วนเบ่ียงเบน มาตรฐาน กล่าวอีกนยั หน่ึง คือ มีการแจกแจงปกติเพยี งหน่ึงเดียวท่ีมีค่าเฉล่ีย µ ที่ กาํ หนดข้ึนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ที่กาํ หนดข้ึน ในการทาํ งานท้งั หมดของเราที่มีการแจกแจงแบบปกติ เราจะตอ้ งคิดถึงเฉพาะกบั พ้นื ที่ภายใตส้ ่วนโคง้ ท่ีเรียกวา่ พนื้ ทเี่ ส้นโค้งปกติ (Normal-curve areas) ซ่ึงเราจะ กาํ หนดพ้ืนที่เฉพาะสาํ หรับการแจกแจงแบบปกติดว้ ย µ = 0 และ σ = 1 ท่ีทาํ ให้ เรียกวา่ การแจกแจงแบบปกตมิ าตรฐาน (Standard normal distribution) ตามรูป ขา้ งล่างน้ี แลว้ เราจะไดพ้ ้ืนท่ีภายใตโ้ คง้ ปกติโดยการเปลี่ยนแปลงของหน่วยของการวดั จาก ด้งั เดิม (x-scale) ใหเ้ ป็นหน่วยมาตรฐานที่เรียกวา่ คะแนนมาตรฐาน (Standard scores) หรือคะแนน z (z-scores) โดยใชส้ ูตร z = x − µ σ ค่าของ z น้ีสามารถบอกเราไดว้ า่ ค่าเบ่ียงเบนมาตรฐานสอดคลอ้ งกบั ค่าของ x ท่ีมากกวา่ หรือนอ้ ยกวา่ ต่าํ กวา่ ค่าเฉล่ียของการกระจาย
สถิติ II 24 8. ความสัมพนั ธ์ของข้อมูล (Relationship of Data) เราไดพ้ ยายามที่จะอธิบายหรือประมาณค่า ที่เป็นความสมั พนั ธ์ระหวา่ งปริมาณ ค่าจริงและปริมาณท่ีคาดการณ์ในรูปของสมการทางคณิตศาสตร์ สมการทางคณิตศาสตร์ ท่ีอธิบายความสมั พนั ธ์ระหวา่ งตวั แปรสองตวั เพ่อื ปรับโคง้ (Curve fitting) ใหเ้ หมาะสม เราตอ้ งเผชิญกบั ปัญหา 3 ขอ้ ดงั น้ี 1. เราตอ้ งตดั สินใจวา่ เส้นโคง้ แบบไหนที่จะใชเ้ ป็นสมการทาํ นาย 2. เราตอ้ งหาสมการเฉพาะท่ีดีที่สุดในบางแง่มุม 3. เราตอ้ งตรวจสอบคาํ ถามบางอยา่ งเกี่ยวกบั ขอ้ ดีของสมการเฉพาะและการ คาดคะเนจากสมการน้ี เราลงจุดขอ้ มูลบนกระดาษกราฟเราจะเห็นกราฟเส้นโคง้ ท่ีมีลีกษณะเป็นสมการเชิง เส้น (Linear equations) หรือ สมการที่ไม่ใช่เชิงเสน้ (Non-linear equations) ซ่ึงมี ฟังกช์ นั ดงั น้ี 1. สมการเชิงเส้น รูปแบบของขอ้ มลู เป็นเส้นตรงหรือสมการเชิงเสน้ ซ่ึงมี ตวั แปร 2 ตวั ท่ีไม่ทราบค่า และมีรูปแบบดงั น้ี Y = a + bX เม่ือ Y คือตวั แปรตาม และ X คือตวั แปรอิสระ b คือความชนั ของเสน้ ตรง หรือ ค่าของการเปล่ียนค่า Y เมื่อค่าของ X เปลี่ยนไป และเป็นค่าท่ีตอ้ งการหาจากสมการ a คือค่าตดั แกน Y และเป็นค่าคงที่ที่ตอ้ งการหาจากสมการ กราฟที่สอดคลอ้ งกนั ของรูปแบบของขอ้ มูลท่ีเป็นสมการเชิงเสน้ จะแสดงใหเ้ ห็น ในรูปดา้ นล่างน้ี
25 2. สมการทไี่ ม่ใช่เชิงเส้น เมื่อขอ้ มลู มีแนวโนม้ ออกจากเส้นตรงมากข้ึนหรือนอ้ ยลง เราจะตอ้ งพจิ ารณาเสน้ โคง้ อื่นที่ไม่ใช่เสน้ ตรง ในตอนน้ีเราใหม้ ีสองกรณีท่ีเป็นความ สมั พนั ธ์ไม่เป็นเชิงเสน้ นนั่ คือ เส้นโคง้ พาราโบลา (Parabola) และเลขยกกาํ ลงั (Exponential) สมการของเส้นโคง้ พาราโบลา คือ Y = a + bX + cX 2 เม่ือ Y คือตวั แปรตาม และ X คือตวั แปรอิสระ a, b และ c คือค่าคงท่ีที่ตอ้ งการหาจากสมการ กราฟที่สอดคลอ้ งกนั ของรูปแบบของขอ้ มูลที่เป็นเสน้ โคง้ พาราโบลา แสดงในรูป ดา้ นล่างน้ี สมการของเส้นโคง้ เลขช้ีกาํ ลงั คือ Y = ab X หรือในรูปแบบลอการิทึม คือ log Y = log a + X log b เมื่อ Y คือตวั แปรตาม และ X คือตวั แปรอิสระ a และ b คือค่าคงท่ีที่ตอ้ งการหาจากสมการ กราฟท่ีสอดคลอ้ งกนั ของรูปแบบของขอ้ มลู เป็นเส้นโคง้ เลขช้ีกาํ ลงั แสดงในรูป ดา้ นล่าง
วธิ ีการของกาํ ลงั สองน้อยทส่ี ุด (The Method of Least Squares) 26 เกณฑท์ ่ีใชส้ าํ หรับการกาํ หนดแบบที่ดีท่ีสุดเกือบจะยอ้ นกลบั ไปในช่วงตน้ ของ ศตวรรษท่ีสิบเกา้ และการทาํ งานของนกั คณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส (Adrien Legendre) ซ่ึง เป็ นท่ีรู้จกั ในฐานะวธิ ีการของกาํ ลงั สองนอ้ ยที่สุด (Method of least squares) ตามท่ีจะ ใชว้ ธิ ีน้ีตอ้ งมีเส้นโคง้ ท่ีพอดีกบั ขอ้ มลู โดยผลรวมของกาํ ลงั สองของระยะทางแนวดิ่งจาก จุดหน่ึงถึงโคง้ น้นั นอ้ ยท่ีสุด ในการแสดงใหเ้ ห็นวา่ เส้นโคง้ ของกาํ ลงั สองนอ้ ยที่สุดน้นั ตอ้ งเหมาะสมกบั เซตของ จุดขอ้ มลู นนั่ คือ สาํ หรับเซตขอ้ มลู ท่ีจบั คู่กนั ใหเ้ ราพจิ ารณาตวั เลข n คู่ (X1, Y1), (X 2 , Y 2 ), . . . , (X n , Y n ) ซ่ึงอาจเป็ นตวั แทนของสิ่งต่าง ๆ เช่นส่วนสูงและน้าํ หนกั ของคน n คน หรือ จาํ นวนคนวา่ งงานในสองเมืองใน n ปี เป็นตน้ กาํ หนดให้ yi คือค่าของตวั แปรตาม Y จากการสงั เกตในสถานการณ์จริง เมื่อ i = 1, 2, . . . , n yˆ i (y-hat) คือค่าของตวั แปรตาม Y จากการคาํ นวณท่ีเหมาะสมกบั เส้นโคง้ เมื่อ i = 1, 2, . . . , n วธิ ีการที่ทาํ ใหก้ าํ ลงั สองนอ้ ยท่ีสุด โดยทาํ ให้ n yˆ i )2 มีค่านอ้ ย ∑ (yi − i =1 แลว้ เรากห็ าค่าคงที่จากสมการเชิงเส้นและสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้น ดงั น้ี 1. สาํ หรับสมการเชิงเสน้ ท่ีมีรูปแบบ คือ Y = a + bX. จะไดส้ มการปกติที่ใชห้ าค่าคงท่ี a และ b คือ nn ∑ yi = an + b ∑ xi ……………….... (1) i =1 i =1 nn + b n xi2 ………. (2) ∑ xiyi = a ∑ xi ∑ i =1 i =1 i =1
27 2. สาํ หรับสมการพาราโบลาท่ีมีรูปแบบ คือ Y = a + bX + cX 2 จะไดส้ มการปกติท่ีใชห้ าค่าคงที่ a, b และ c คือ n n + c n xi2 ………...... (1) ∑ yi = an + b ∑ xi ∑ i =1 i =1 i =1 n = n b n xi2 + c n x 3 ………. (2) i ∑ xiyi a ∑ xi + ∑ ∑ i =1 i =1 i =1 i =1 n xi2 yi = n xi2 + n x 3 + c n xi4 ….. (3) i ∑ a∑ b∑ ∑ i =1 i =1 i =1 i =1 3. สาํ หรับสมการเลขช้ีกาํ ลงั ท่ีมีรูปแบบ คือ Y = ab X หรือ log Y = log a + X log b. จะไดส้ มการปกติที่ใชห้ าค่าคงท่ี a และ b คือ nn ..……….... (1) ∑ log yi = n log a + (log b) ∑ xi i =1 i =1 n xi log yi = (log a) n xi + (log b) n xi2 ..….. (2) ∑ ∑ ∑ i =1 i =1 i =1 หมายเหตุ ในทาํ นองเดียวกนั ค่ากาํ ลงั สองท่ีนอ้ ยท่ีสุดของเส้นโคง้ คือ การประมาณค่า ของ xi จากค่าของ yi เม่ือกาํ หนดให้ xi คือค่าของตวั แปรตาม X จากการสงั เกตในสถานการณ์จริง เมื่อ i = 1, 2, . . . , n xˆ i (x-hat) คือค่าของตวั แปรตาม X จากการคาํ นวณท่ีเหมาะสมกบั เส้นโคง้ เมื่อ i = 1, 2, . . . , n วธิ ีการที่ทาํ ใหก้ าํ ลงั สองนอ้ ยที่สุด โดยทาํ ให้ n xˆ i )2 มีค่านอ้ ย ∑ (xi − i =1 แลว้ สมการเชิงเสน้ ที่มีค่ากาํ ลงั สองนอ้ ยท่ีสุดจะมีรูปแบบ คือ X = a + bY
28 และจะไดส้ มการปกติท่ีใชห้ าค่าคงท่ี a และ b คือ nn ∑ xi = an + b ∑ yi ……………….... (1) i =1 i =1 nn + b n yi2 ………. (2) ∑ yixi = a ∑ yi ∑ i =1 i =1 i =1 9. อนุกรมเวลา (Time Series) วธิ ีการสหสมั พนั ธ์สามารถใชใ้ นการศึกษาความสมั พนั ธ์ภายในไดก้ บั เซตอนุกรม ขอ้ มลู ท่ีรวบรวมในช่วงเวลาปกติ ขอ้ มูลดงั กล่าวเรียกวา่ อนุกรมเวลา (Time series) และ มกั พบในสาขาเศรษฐศาสตร์โดยมีการรายงานขอ้ มลู เป็นรายปี รายเดือน รายสปั ดาห์ และอื่น ๆ มีสองเป้ าหมายหลกั ของการวเิ คราะห์อนุกรมเวลา คือ (a) ระบุลกั ษณะ ของปรากฏการณ์ท่ีแสดงโดยลาํ ดบั การสงั เกตและ (b) การพยากรณ์หรือทาํ นายค่าใน อนาคตของตวั แปรอนุกรมเวลา เป้ าหมายท้งั สองน้ีตอ้ งการใหร้ ะบุรูปแบบของขอ้ มูล อนุกรมเวลาท่ีสงั เกตและอธิบายอยา่ งเป็นทางการ เม่ือรูปแบบถูกสร้างข้ึนเราสามารถ ตีความและรวมเขา้ กบั ขอ้ มูลโดยใชใ้ นทฤษฎีและความถกู ตอ้ งของการตีความปรากฏการณ์ เราจึงสามารถคาดการณ์รูปแบบท่ีระบุของเหตุการณ์ในอนาคตและทาํ นายได้ โดยปกติแลว้ เราจะใชฟ้ ังกช์ นั ลอการิทึมหรือเลขช้ีกาํ ลงั มาใชใ้ นการตาํ นวณ และโด เราใช้ t เป็นตวั แปรอิสระแทนการใช้ x และเราต้งั ค่าของ t ใหอ้ ยตู่ รงกลางท่ีเท่ากนั ถึง - 1 และ 1 จากน้นั ใหค้ ่าของ t ก่อนก่ึงกลางเป็น - 3, - 5, - 7, . . . และหลงั ก่ึงกลางเป็น 3, 5, 7, . . . ตามลาํ ดบั ดงั น้นั รูปแบบทวั่ ไปของสมการทาํ นายจึงมี รูปแบบ คือ Y = ab t หรือ log Y = log a + t log b.
29 และจึงไดส้ มการปกติที่ใชห้ าค่าคงท่ี a และ b คือ nn ∑ log yi = n log a + (log b) ∑ ti ..……... (1) i =1 i =1 n ti log yi = (log a) n ti + (log b) n ti2 .... (2) ∑ ∑ ∑ i =1 i =1 i =1
ตวั อย่างข้อทดสอบ 30 ข้อสอบแบบเลอื กคาํ ตอบทเี่ หมาะสมสําหรับคาํ ถามแต่ละข้อต่อไปนีเ้ พยี งข้อเดยี ว 1. กาํ หนดใหแ้ ผนภาพตน้ ไมด้ งั ต่อไปน้ี ลาํ ต้น ใบ 3 24 4 5 2556 6 018 70 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคที่ไม่จริง 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 54.3 2. ค่ามธั ยฐาน = 55.5 3. ค่าฐานนิยม = 55 4. ค่าพิสยั = 40 2. สมมติวา่ ความแตกต่างระหวา่ งขอ้ มลู 11 คู่แต่ละคู่คือ 1, 0, – 3, – 1, 2, – 2, 3 และ 2 พิจารณาประโยคต่อไปน้ี A. ค่าเฉล่ีย – ค่าฐานนิยม = 3 (ค่าเฉล่ีย – ค่ามธั ยฐาน) B. ค่าเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลน้ีเท่ากบั 2 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคที่เป็ นจริง 1. A เป็นจริง และ B เป็นจริง 2. มีเพยี ง A เท่าน้นั ที่เป็นจริง 3. มีเพยี ง B เท่าน้นั ท่ีเป็นจริง 4. A เป็นเทจ็ และ B เป็นเทจ็ 3. จากการทดสอบความถนดั ของนกั เรียนกลุ่มหน่ึงค่าเฉล่ียคือ 51 หลงั จากตรวจสอบ พบวา่ มีนกั เรียน 2 คนที่ขาดค่าเฉล่ียน้นั เม่ือเพิ่มนกั เรียนสองคนน้ีคะแนนรวมจะ เพิ่มข้ึน 180 และคา่ เฉล่ียกลายเป็น 55 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั จาํ นวนนกั เรียน 1. 47 คน 2. 45 คน 3. 43 คน 4. 41 คน
31 4. ขอ้ มลู ต่อไปน้ีถกู จดั เรียงจากนอ้ ยท่ีสุดไปจนถึงมากท่ีสุด คือ 10, 20, 30, a, b, 60, 61, 90, 120 โดยมีค่าฐานนิยมค่าเดียวและค่ามธั ยฐาน คือ 30 และ 40 ตามลาํ ดบั สมมุติวา่ กลุ่มขอ้ มลู ชุดท่ีสองถูกจดั เรียงจากค่านอ้ ยที่สุดไปจนถึงมากท่ีสุด คือ 11, 22, 33, 34, a + 5, a + 6, 67, 99, 130 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ค่าเฉล่ียเขคณิตของขอ้ มลู ชุดท่ีสอง 1. 51.89 2. 55.59 3. 60 4. 60.59 5. สมมติวา่ 4 ขอ้ มูลคือ 5, a, b, 1 โดยที่ 1 < b < a ค่าเฉล่ียเลขคณิต คือ 4 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน คือ 0.5 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั b – a 1. 2.875 2. 3.875 3. 6.875 4. 8.875 6. นกั ท่องเท่ียวในเดือนมีนาคม 2544 ของจงั หวดั เชียงใหม่มีดงั น้ี จุดประสงค์ จาํ นวนนักท่องเทย่ี ว เพ่ือพกั ผอ่ น 5000 ธุรกิจ 650 ประชุม 2650 ศึกษาดูงาน 1200 อ่ืน ๆ 1800 รวม 11300 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคที่เป็ นจริง 1. ค่ามธั ยฐาน = 180 2. ค่าเฉล่ียเลขคณิต = 226 3. ค่าฐานนิยม = 500 4. ไม่มีคาํ ตอบถูกตอ้ ง
32 7. ในพนี่ อ้ งสี่คนของครอบครัว มี 2 คนที่มีน้าํ หนกั เท่ากนั และอีกสองคนมีน้าํ หนกั นอ้ ยกวา่ สมมุติวา่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน และพสิ ยั เท่ากบั 40, 41 และ 6 กิโลกรัมตามลาํ ดบั ขอ้ ใดต่อไปน้ีเท่ากบั ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1. 2.83 2. 2.73 3. 2.63 4. 2.53 8. คะแนนของนกั เรียน 120 คนดงั แสดงในตารางดา้ นล่างน้ี คะแนน จาํ นวนนักเรียน 30 – 39 1 40 – 49 4 50 – 59 10 60 – 69 22 70 – 79 45 80 – 89 30 90 – 99 8 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคท่ีไม่จริง 1. นกั เรียนส่วนใหญ่ของกลุ่มน้ีมีคะแนนระหวา่ ง 70 – 79 2. มีนกั เรียน 150 คนท่ีมีคะแนนนอ้ ยกวา่ 60 คะแนน 3. มีนกั เรียน 25% ในกลุ่มน้ีท่ีมีคะแนนระหวา่ ง 80 – 89 4. มีนกั เรียน 38 คนที่มีคะแนนมากกวา่ 80 คะแนน 9. จากผลการสอบคณิตศาสตร์ของนกั เรียน 39 คนพบวา่ เปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 25 เท่ากบั 35 คะแนน มี นกั เรียน 30 คน ที่มีคะแนนนอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั 80 คะแนน และมีนกั เรียนเพยี ง 1 คนท่ีมีคะแนน 35 คะแนน ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ จาํ นวนท่ีมีค่าเท่ากบั นกั เรียนที่มีคะแนนในช่วง 35 - 80 1. 18 คน 2. 19 คน 3. 20 คน 4. 21 คน
33 10. ตารางดา้ นล่างแสดงน้าํ หนกั ของนกั เรียน 50 คน นํา้ หนัก (กโิ ลกรัม) จํานวน (คน) 30 – 39 4 40 – 49 5 50 – 59 13 60 – 69 17 70 – 79 6 80 – 89 5 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคท่ีไม่จริง 1. นกั เรียนส่วนใหญ่ในกลุ่มน้ีมีน้าํ หนกั ระหวา่ ง 60 - 69 กิโลกรัม 2. มีนกั เรียน 9 คนที่มีน้าํ หนกั นอ้ ยกวา่ 50 กิโลกรัม 3. มีนกั เรียน 26% ท่ีมีน้าํ หนกั ระหวา่ ง 50 - 59 กิโลกรัม 4. มีนกั เรียน 10% ท่ีมีน้าํ หนกั มากกวา่ 80 กิโลกรัม 11. ครอบครัวของเดก็ 4 คนสองคนมีน้าํ หนกั เท่ากนั และนอ้ ยกวา่ อีกสองคน สมมติวา่ ค่าฐานนิยม ค่ามธั ยฐาน และ ค่าพสิ ยั ของเดก็ ท้งั 4 คน คือ 45, 47.5 และ 7 กิโลกรัมตามลาํ ดบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนท่ีมีค่า เท่ากบั ค่าเฉล่ียเลขคณิตของเดก็ ท้งั 4 คนน้ี 1. 46 กิโลกรัม 2. 47 กิโลกรัม 3. 48 กิโลกรัม 4. 49 กิโลกรัม 12. ในปี 2547 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายพุ นกั งานใน บริษทั มีค่าเท่ากบั 23 ปี ปี ต่อมามีพนกั งานเพิม่ ข้ึน 20 คน และทาํ ใหค้ ่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายพุ นกั งาน ในปี 2548 มีค่าเท่ากบั 25 ปี และจาํ นวนพนกั งานเพิ่มข้ึนจากปี 2547 เป็น 652 ปี ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนที่มีค่า เท่ากบั จาํ นวนพนกั งาน ณ สิ้นปี 2548 1. 76 คน 2. 96 คน 3. 326 คน 4. 346 คน
34 13. น้าํ หนกั เป็นกิโลกรัมของนกั เรียนสองกลุ่มแสดงเป็นแผนภาพใบในดา้ นล่างน้ี นักเรียนกล่มุ 1 นักเรียนกล่มุ 2 864 3 49 866 4 224 50 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคที่เป็ นจริง 1. ค่าเฉล่ียของนกั เรียนในกลุ่มที่ 2 มากกวา่ ค่าเฉล่ียในกลุ่มที่ 1 2. ค่าฐานนิยมของนกั เรียนในกลุ่ม 2 มากกวา่ ค่าฐานนิยมในกลุ่มที่ 1 3. ค่ามีธยฐานของนกั เรียนในกลุ่ม 2 มากกวา่ ค่ามธั ยฐานในกลุ่มท่ี 1 4. ค่ามธั ยฐานของนกั เรียนทุกคนสูงกวา่ ค่ามธั ยฐานของนกั เรียนกลุ่มที่ 1 14. มีขอ้ มลู 5 ตวั จากค่าท่ีนอ้ ยที่สุดไปหาค่าที่มากท่ีสุด คือ x1, x2, x3, x4, x5 เม่ือให้ x1 = 7 ซ่ึง x คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต และ ความแปรปรวนคือ 16 ตารางดา้ นล่างน้ีแสดงค่าของ xi – x . i xi – x 1 7– x 2 –3 3 –1 43 56 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนที่มีค่า เท่ากบั x 1. 10 2. 10.5 3. 12 4. 12.5
35 15. รูปดา้ นล่างน้ีเป็นแผนภาพของคะแนนคณิตศาสตร์ของนกั เรียนซ่ึงอธิบาย ไวใ้ นแบบเพศสภาพ ดงั น้ี ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุปผลท่ีเป็ นจริง 1. คะแนนเฉล่ียของคะแนนคณิตศาสตร์ของนกั เรียนชายสูงกวา่ ค่าเฉล่ียของคะแนน คณิตศาสตร์ของนกั เรียนหญิง 2. กราฟของคะแนนคณิตศาสตร์ของนกั เรียนชายเป็นแบบเบข้ วา 3. มีการแจกแจงคะแนนคณิตศาสตร์ของนกั เรียนหญิงมากกวา่ ของนกั เรียนชาย 4. กราฟของคะแนนคณิตศาสตร์ของนกั เรียนหญิงเป็นแบบเบข้ วา 16. มีคะแนนสอบ 15 คะแนน ดงั น้ี 45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81 ผทู้ ่ีสอบผา่ นจะตอ้ งไม่ต่าํ กวา่ เปอร์เซ็นไตลท์ ี่ 60 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนคะแนนท่ีสอบผา่ นมีค่าเท่ากบั 1. 68 2. 70 3. 72 4. 73 17. กลุ่มนกั เรียน 80 คนซ่ึงรวมถึงลาํ เจียก ลาํ ดวน และ ลาํ พนู กาํ หนดให้ คะแนนของลาํ ดวนอยทู่ ่ีควอร์ไทลท์ ี่ 3 คะแนนของลาํ พนู อยทู่ ี่เปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 50 และ คะแนนของลาํ เจียกอยใู่ นอนั ดบั ท่ี 30 จากค่ามากที่สุด ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือลาํ ดบั รายชื่อของผทู้ ่ีมีคะแนนนอ้ ยท่ีสุดถึงมากที่สุด 1. ลาํ พนู ลาํ เจียก และ ลาํ ดวน 2. ลาํ พนู ลาํ ดวน และ ลาํ เจียก 3. ลาํ เจียก ลาํ พนู และ ลาํ ดวน 4. ลาํ เจียก ลาํ ดวน และ ลาํ พนู
36 18. กาํ หนดให้ x คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มแรก x1 , x 2 , x 3 , . . . , x10 y คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มที่สอง y1 , y 2 , y 3 , . . . , y 20 เม่ือ ∑ ∑ และ10 20 ( xi − x )2 = 160 , ( y i − y )2 = 110 x=y i=1 i=1 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนท่ีมีค่าเท่ากบั ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนใน กลุ่มแรกและกลุ่มท่ีสอง? 1. 3 2. 5 3. 7 4. 9 19. กาํ หนดใหก้ ลุ่มขอ้ มูลเป็นลาํ ดบั เลขคณิตจากนอ้ ยที่สุดไปหามากท่ีสุด คือ 2, 5, 8, . . . , 92 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนท่ีมีค่าเท่ากบั ควอไทลอ์ นั ดบั ที่ 3 1. 68 2. 69 3. 71 4. 72 20. กาํ หนดใหค้ ะแนนการทดสอบความถนดั ของกลุ่มนกั เรียนเป็นตารางดา้ นล่างน้ี คะแนน ความถ่ี 0–4 4 5–9 5 10 – 14 x 15 – 19 7 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนท่ีมีค่าเท่ากบั เปอร์เซ็นตข์ องนกั เรียนท่ีมีคะแนนระหวา่ ง 5 - 14 ถา้ ค่าเฉลี่ยของกลุ่มน้ีคือ 11 1. 46.67% 2. 56.67% 3. 63.33% 4. 73.33%
37 21. กาํ หนดใหใ้ บ-ลาํ ตน้ ของกลุ่มขอ้ มลู มีดงั น้ี ลาํ ต้น ใบ 0 375 1 643 2 0212 3 01 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุปผลท่ีเป็ นจริง 1. ค่ามธั ยฐาน < ค่าฐานนิยม < ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 2. ค่ามธั ยฐาน < ค่าเฉล่ียเลขคณิต < ค่าฐานนิยม 3. ค่าเฉล่ียเลขคณิต < ค่าฐานนิยม < ค่ามธั ยฐาน 4. ค่าเฉล่ียเลขคณิต < ค่ามธั ยฐาน < ค่าฐานนิยม 22. ในกีฬามหาวทิ ยาลยั โลกคร้ังที่ 24 ในประเทศไทย ประเทศไทยส่งรายช่ือผเู้ ล่น กีฬาสาํ หรับผเู้ ขา้ ร่วม 379 คน ซ่ึงมีอายเุ ฉลี่ย 22 ปี สมมุติวา่ มีผเู้ ล่นกีฬา 4 คน ถอนชื่อออกจากการแข่งขนั ซ่ึงมีอายุ 24, 25, 25 และ 27 และเพิ่มผเู้ ล่นกีฬาอีก 5 คน ท่ีมีอายเุ ฉล่ีย 17 ปี ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนท่ีมีค่าเท่ากบั ต่าอายเุ ฉลี่ยของ ผเู้ ล่นกีฬาจากประเทศไทย 1. 21.6 ปี 2. 21.7 ปี 3. 21.8 ปี 4. 21.9 ปี 23. สมมุติวา่ เราสุ่มเลือกขอ้ มลู จาก 101 หมายเลข ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุป ผลท่ีเป็ นจริง 1. ความน่าจะเป็นที่จะไดต้ วั เลขนอ้ ยกวา่ ค่ามธั ยฐาน < 1 . 2 2. ความน่าจะเป็นท่ีจะไดต้ วั เลขนอ้ ยกวา่ ค่าเฉล่ียเลขคณิต < 1 . 2 3. ความน่าจะเป็นที่จะไดต้ วั เลขมากกวา่ ค่ามธั ยฐาน > 1 . 2 4. ความน่าจะเป็นท่ีจะไดต้ วั เลขมากกวา่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต > 1 . 2
38 24. มีพนกั งาน 1,000 คน ในโรงงานที่มีเงินเดือนเฉล่ียเท่ากบั 8,000 บาท และค่าเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากบั 1,000 บาท ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุป ผลท่ีไม่เป็ นจริง 1. มีพนกั งานนอ้ ยกวา่ 600 คน ที่รับเงินเดือนนอ้ ยกวา่ 6,000 บาท 2. มีพนกั งานมากท่ีสุด 930 คนท่ีจะไดร้ ับเงินเดือนมากกวา่ หรือเท่ากบั 6,000 บาท 3. มีพนกั งานนอ้ ยกวา่ 70 คน ท่ีจะไดร้ ับเงินเดือนมากกวา่ 10,000 บาท 4. ถา้ พนกั งานทุกคนมีเงินเดือนเพิม่ ข้ึน 400 บาททุกคน แลว้ ค่าเบี่ยงเบน มาตรฐานยงั คงเหมือนเดิม 25. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุปผลที่ไม่เป็ นจริง 1. สถิติเชิงพรรณนาเป็นสถิติของการวเิ คราะห์ขอ้ มูลพ้ืนฐานสาํ หรับการอธิบาย ขอ้ มูลอยา่ งคร่าว ๆ 2. ตวั เลขสายรถบสั เป็นขอ้ มลู เชิงคุณภาพ 3. ขอ้ มูลปฐมภูมิคือการรวบรวมขอ้ มูลจากแหล่งขอ้ มลู ด้งั เดิม 4. ขอ้ มูลท่ีนกั เรียนไดร้ ับจากหน่วยงานของรัฐคือขอ้ มูลปฐมภูมิ 26. พิสยั ของความสูงของพนี่ อ้ งสองคนคือ 12 เซนติเมตร และ ค่าเฉล่ีย คือ 171 เซนติเมตร ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนท่ีมีค่าเท่ากบั ความสูงคนหน่ึงของพ่ีนอ้ งคู่น้ี 1. 167 เซนติเมตร 2. 172 เซนติเมตร 3. 175 เซนติเมตร 4. 177 เซนติเมตร 27. สมมุติวา่ ขอ้ มูลคือ 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุปผลที่เป็ นจริง 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต < ค่าฐานนิยม < ค่ามธั ยฐาน 2. ค่าฐานนิยม < ค่ามธั ยฐาน < ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 3. ค่าฐานนิยม < ค่าเฉล่ียเลขคณิต < ค่ามธั ยฐาน 4. ค่ามธั ยฐาน < ค่าฐานนิยม < ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
39 28. สมมุติวา่ ความสูงของนกั เรียน 10 คนเป็นเซนติเมตรมีดงั น้ี 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166. ถา้ มีนกั เรียนอกั หน่ึงคนเพิม่ ข้ึนซ่ึงมีความสูง 158 เซนติเมตร แลว้ ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนที่มีค่าเท่ากบั ค่าสถิติท่ีไม่เปล่ียนแปลง 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 2. ค่ามธั ยฐาน 3. ค่าฐานนิยม 4. ค่าพิสยั 29. จากการใชแ้ นวโนม้ กลางของขอ้ มลู ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือการพจิ ารณาอยา่ งรอบคอบ ยกเว้นขอ้ ใดขอ้ หน่ึงต่อไปน้ี 1. ลกั ษณะของขอ้ มลู 2. การจดั เรียงขอ้ มูลตามลาํ ดบั 3. วตั ถุประสงคข์ องการนาํ ไปใช้ 4. ขอ้ ดีและขอ้ เสียของแต่ละประเภทของแนวโนม้ กลาง 30. กาํ หนดใหข้ อ้ มลู มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากบั 20 ค่ามธั ยฐานเท่ากบั 25 และ ฐานนิยมเท่ากบั 30 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุปผลที่เป็ นจริง 1. มีการกระจายขอ้ มลู เบซ้ า้ ยมือ 2. มีการกระจายขอ้ มูลเบข้ วามือ 3. มีการกระจายขอ้ มูลแบบสมมาตร 4. ไม่สามารถสรุปคุณสมบตั ิของการกระจายขอ้ มลู น้ีได้ 31. พจิ ารณาขอ้ มูลต่อไปน้ี 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนที่มีค่าเท่ากบั ค่าประมาณท่ีใกลเ้ คียง P80 มากที่สุด 1. 15.1 2. 15.4 3. 15.6 4. 16.0
40 32. ถา้ มีขอ้ มูลจาํ นวนมาก แลว้ ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือการนาํ เสนอท่ีมีความชัเจนนอ้ ยท่ีสุด 1. ตารางความถ่ี 2. แผนภาพใบ-ลาํ ตน้ 3. ฮิสโทแกรม 4. แสดงขอ้ มูลการสงั เกตดิบท้งั หมด 33. จากการสาํ รวจเยาวชน 12 คนเกี่ยวกบั ความถ่ีในการฟังพระเทศนแ์ สดงดงั รูป ดา้ นล่างน้ี ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนที่มีค่าเท่ากบั ค่ามธั ยฐานของอ้ มลู น้ี 1. 3 คร้ัง 2. 3.25 คร้ัง 3. 3.5 คร้ัง 4. 4 คร้ัง 34. ขอ้ เทจ็ จริงขอ้ ใดต่อไปน้ี คือสิ่งท่ีคาดวา่ จะส่งผลกระทบต่อการตดั สินใจ 1. ขอ้ มลู 2. ข่าวสาร 3. ข่าว 4. ความเช่ือ 35. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี: A. การสุ่มตวั อยา่ งเป็นการทดลองเพ่อื ใหร้ ู้วา่ อะไรจะเกิดข้ึนกบั ผลลพั ธ์ B. ผลลพั ธข์ องการสุ่มตวั อยา่ งแต่ละคร้ังมีโอกาสที่จะเกิดข้ึนเท่ากนั ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุปผลที่เป็ นจริง 1. A เป็ นจริง และ B เป็นจริง 2. A เป็นจริง และ B เป็นเทจ็ 3. A เป็นเทจ็ และ B เป็นจริง 4. A เป็นเทจ็ และ B เป็นเทจ็
41 36. ครูวทิ ยาศาสตร์มอบหมายใหน้ กั เรียน 40 คน ทาํ โครงงานตามความสนใจ ของนกั เรียน ผลการประเมินโดยใหเ้ กรดดงั ตารางดา้ นล่างน้ี ผลการประเมนิ จาํ นวนโครงการ ดีมาก 3 ดี 20 ค่อนขา้ งดี 12 พอใช้ 5 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุปผลที่เป็ นจริง 1. ปริมาณของขอ้ มลู ปฐมภูมิ 2. ปริมาณของขอ้ มลู ทุติยภมู ิ 3. คุณภาพของขอ้ มลู ปฐมภมู ิ 4. คุณภาพของขอ้ มูลทุติยภมู ิ 37. น้าํ หนกั เฉล่ียของพนกั งานใน บริษทั คือ 40.01 กิโลกรัม ซ่ึงมีเพศชาย 43 คนและ เพศหญิง 57 คน สมมุติวา่ น้าํ หนกั เฉล่ียของเพศหญิง 45 กิโลกรัม ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนท่ีมีค่าเท่ากบั น้าํ หนกั รวมของเพศชาย 1. 1,436 กิโลกรัม 2. 1,365 กิโลกรัม 3. 1,322 กิโลกรัม 4. 1,279 กิโลกรัม 38. แสดงแผนภาพใบ-ลาํ ตน้ ของน้าํ หนกั ของไข่ 10 ฟองเป็นกรัม ดงั ต่อไปน้ี 5 78 6 789 7 0447 81 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุปผลท่ีไม่เป็ นจริง 1. น้าํ หนกั ของไข่มีฐานนิยมเพียงค่าเดียวเท่าน้นั 2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่ามธั ยฐานของน้าํ หนกั ของไข่มีค่าเท่ากนั 3. มีไข่ 5 ฟองท่ีมีน้าํ หนกั นอ้ ยกวา่ 70 กรัม 4. ไม่มีคาํ ตอบถกู
39. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าสถิติท่ีมีค่าเท่ากบั ค่าหน่ึงเของขอ้ มูลเชิงคุณภาพ 42 1. ค่าพิสยั 2. ค่าเฉล่ียเลขคณิต 3. ค่ามธั ยฐาน 4. ค่าฐานนิยม 40. กาํ หนดใหข้ อ้ มูลน้าํ หนกั เป็นกิโลกรัมของนกั เรียน ดงั น้ี 41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าแนวโนม้ เขา้ สู่ศนู ยก์ ลางที่เป็นตวั แทนทด่ี ที สี่ ุดเของขอ้ มูลน้ี 1. ค่ามธั ยฐาน 2. ค่าฐานนิยม 3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 4. ค่าเฉลี่ยของค่าท่ีมากที่สุดและนอ้ ยท่ีสุด 41. ความรู้ทวั่ ไปของนกั เรียน 200 คน แสดงเป็นแผนภาพ ดงั ดา้ นล่างน้ี ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุปผลที่ไม่เป็ นจริง 1. จาํ นวนนกั เรียนท่ีมีคะแนน 12 ถึง 16 คะแนนเท่ากบั จาํ นวนนกั เรียน ท่ีมีคะแนน 16 ถึง 18 คะแนน 2. จาํ นวนนกั เรียนที่มีคะแนน 12 ถึง 18 คะแนนเท่ากบั จาํ นวนนกั เรียน ท่ีมีคะแนน 18 ถึง 24 คะแนน 3. จาํ นวนนกั เรียนที่มีคะแนน 10 ถึง 12 คะแนนเท่ากบั จาํ นวนนกั เรียน ท่ีมีคะแนน 18 ถึง 24 คะแนน 4. จาํ นวนนกั เรียนที่มีคะแนน 10 ถึง 16 คะแนนเท่ากบั จาํ นวนนกั เรียน ที่มีคะแนน 16 ถึง 24 คะแนน
43 42. จากการสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของผเู้ ขา้ ร่วม 400 คน พบวา่ Mr. A อยใู่ นควอไทล์ ที่สาม และ Mr. B อยใู่ นเปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 60 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนของผเู้ ขา้ สอบท่ีมีคะแนนระหว่างคะแนนของ Mr. A กบั คะแนนของ Mr. B 1. 15 คน 2. 30 คน 3. 45 คน 4. 60 คน 43. ตารางดา้ นล่างเป็นส่วนหน่ึงของการนาํ เสนอขอ้ มูล อนั ตรภาคช้ัน ความถี่ ความถส่ี ะสม ความถี่สัมพทั ธ์ 2–6 6 11 0.2 7 – 11 14 12 – 16 17 – 21 0.3 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าอนั ตรภาคช้นั ที่มีค่าเท่ากบั ค่าท่ีมีความถ่ีมากท่ีสุด 1. 2 – 6 2. 7 – 11 3. 12 – 16 4. 17 – 21
44 44. จาํ นวนผวู้ า่ งงานในประเทศไทยในเดือนกนั ยายน 2551 คือ 4.29 ลา้ นคน ตารางดา้ นล่างบ้ีแสดงอตั ราคนวา่ งงานระหวา่ งเดือนกนั ยายน 2550 และ 2551 อตั ราคนว่างงานในเดอื นกนั ยายน (เป็ นอตั ราส่วนของจํานวนคนว่างงานต่อผู้ใช้ พนื้ ทส่ี ํารวจ แรงงานท้งั หมด 100 เท่า) ปี 2550 ปี 2551 ภาคใต้ ภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือ 1.0 1.0 ภาคเหนือ ภาคกลาง (ยกเวน้ กรรุงเทพฯ) 0.9 1.3 กรุงเทพฯ 1.5 1.2 ท้งั หมดประเทศไทย 1.3 0.9 1.2 1.2 1.2 1.1 พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี: A. จาํ นวนคนวา่ งงานในภาคใตใ้ นเดือนกนั ยายน 2550 และ 2551 เท่ากนั B. จาํ นวนแรงงานท้งั หมดทวั่ ประเทศไทยในเดือนกนั ยายน 2551 มีประมาณ 39 ลา้ นคน ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคสรุปผลที่เป็ นจริง 1. ท้งั A และ B เป็นจริง 2. มีเพยี ง A เท่าน้นั ท่ีเป็นจริง 3. มีเพียง B เท่าน้นั ที่เป็นจริง 4. ท้งั A และ B เป็นเทจ็ 45. ขอ้ ความใดต่อไปน้ีเป็นข้นั ตอนแรกในเร่ืองของการใชส้ ถิติเพื่อการตดั สินใจ และการวางแผนขอ้ มลู สารสนเทศ 1. การรวบรวมขอ้ มลู 2. การเลือกวธิ ีการวเิ คราะห์ขอ้ มูล 3. การเลือกวธิ ีการรวบรวมขอ้ มูล 4. การกาํ หนดขอ้ มลู ที่จาํ เป็นสาํ หรับการใชง้ าน
ข้อสอบแบบแสดงวธิ ีทาํ 45 46. กาํ หนดใหม้ ี 10 ขอ้ มูล ดงั น้ี 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25. จงหาควอร์ไทลท์ ี่สามของขอ้ มลู น้ี วธิ ีทาํ 47. สมมุติวา่ คุณทาํ งานใหก้ บั นกั สาํ รวจความคิดเห็นสาธารณะและคุณตอ้ งการ ประมาณเปอร์เซ็นตข์ องผทู้ ี่จะลงคะแนนใหพ้ รรครุ่งไทย จงกาํ หนดกลุ่มประชากร ท่ีคุณตอ้ งการจากกลุ่มตวั อยา่ งที่เลือกข้ึนอยา่ งชดั เจน วธิ ีทาํ
46 48. ผผู้ ลิตแบตเตอรี่รถยนตต์ อ้ งการทราบอายกุ ารใชง้ านเฉล่ียของแบตเตอรี่เพ่ือใชเ้ ป็น นโยบายรับประกนั วา่ จะสามารถขายแบตเตอร่ีได้ กลุ่มตวั อยา่ งของ บริษทั 100 หน่วย แสดงค่าเฉล่ีย 3 ปี และค่าเบ่ียงเบนมาตรฐาน 1 ปี จงกาํ หนดค่าเฉลี่ย ของประชากรที่มีช่วงความเช่ือมนั่ 95% ในการรับประกนั ผผู้ ลิต วธิ ีทาํ 49. จงยกตวั อยา่ งของการวดั อยา่ งละ 3 ตวั อยา่ ง สาํ หรับการวดั ขอ้ มลู แบบ นอมินอล แบบออร์ดินอล แบบช่วง และแบบอตั ราส่วน วธิ ีทาํ
47 50. จากการกาํ หนดราคาเครื่องปรับอากาศจาก 12 ร้าน มีดงั น้ี 25,500 25,800 26,000 27,500 28,000 29,000 27,500 28,300 26,500 25,000 25,500 26,500 จงทดสอบทดสอบสมมติฐานวา่ ราคาเฉล่ียสูงกวา่ 26,000 บาทหรือไม่ โดยตอบ คาํ ถามต่อไปน้ี 1) กาํ หนด H0 และ H1 2) อะไรคือจุดวกิ ฤติที่ระดบั ความเชื่อมนั่ 90% หรือ α = .10 3) อะไรคือบริเวณวกิ ฤต 4) ผลลพั ธ์ของการคาํ นวณค่าสถิติเพอ่ื ทดสอบคืออะไร 5) ขอ้ สรุปผลที่เป็นคาํ พดู คืออะไร วธิ ีทาํ
Search
